St va равнобедрен трапец. Диагонали на трапец

Разделът съдържа геометрични задачи (раздел планиметрия) за трапеци. Ако не сте намерили решение на проблем, пишете за него във форума. Курсът със сигурност ще бъде допълнен.

Трапец. Определение, формули и свойства

Трапецът (от старогръцки τραπέζιον - „маса“; τράπεζα - „маса, храна“) е четириъгълник с точно една двойка противоположни страни, успоредни.

Трапецът е четириъгълник, чиято двойка противоположни страни са успоредни.

Забележка. В този случай успоредникът е частен случай на трапец.

Успоредните противоположни страни се наричат ​​основи на трапеца, а другите две се наричат ​​странични страни.

Трапеците са:

- универсален ;

- равностранен;

- правоъгълен

.
Червено и кафяви цветяПосочени са страните, а основите на трапеца са означени в зелено и синьо.

А - равнобедрен (равнобедрен, равнобедрен) трапец
B - правоъгълен трапец
C - скален трапец

Увеличеният трапец има всички страни различни дължини, а основите са успоредни.

Страните са равни, а основите са успоредни.

Успоредна в основата, една странаперпендикулярна на основите, а втората страна е наклонена към основите.

Свойства на трапец

• Средна линия на трапецуспоредни на основите и равни на тяхната полусума
• Отсечка, свързваща средните точки на диагоналите, е равно на половината от разликата на основите и лежи на средната линия. Дължината му
• Паралелни прави, пресичащи страните на произволен ъгъл на трапец, отрязват пропорционални сегменти от страните на ъгъла (виж теоремата на Талес)
• Пресечна точка на диагонали на трапец, пресечната точка на продълженията на неговите страни и средата на основите лежат на една и съща права линия (вижте също свойствата на четириъгълника)
• Триъгълници, лежащи върху основитрапеци, чиито върхове са пресечната точка на неговите диагонали, са подобни. Съотношението на площите на такива триъгълници е равно на квадрата на съотношението на основите на трапеца
• Триъгълници, разположени отстранитрапец, чиито върхове са пресечната точка на неговите диагонали, са равни по площ (равни по площ)
• В трапеца можете да впишете кръг, ако сборът от дължините на основите на трапец е равен на сбора от дължините на неговите страни. Средната линия в този случай е равна на сумата от страните, разделена на 2 (тъй като средна линиятрапецът е равен на половината от сбора на основите)
• Отсечка, успоредна на основитеи преминавайки през точката на пресичане на диагоналите, се разделя на последния наполовина и е равен на удвоения продукт на основите, разделен на тяхната сума 2ab / (a ​​​​+ b) (формула на Бураков)

Ъгли на трапец

Ъгли на трапец има остри, прави и тъпи.
Само два ъгъла са прави.

Правоъгълният трапец има два прави ъгъла, а другите две са остри и тъпи. Други видове трапец имат два остри ъгъла и два тъпи ъгъла.

Тъпите ъгли на трапец принадлежат към по-малкитепо дължината на основата и пикантно - повечебаза.

Всеки трапец може да се разглежда като пресечен триъгълник, чиято сечение е успоредна на основата на триъгълника.
важно. Моля, обърнете внимание, че по този начин (чрез допълнително конструиране на трапец до триъгълник) могат да бъдат решени някои задачи за трапеци и някои теореми могат да бъдат доказани.

Как да намерите страните и диагоналите на трапец

Намирането на страните и диагоналите на трапец се извършва с помощта на формулите, дадени по-долу:

В тези формули използваните обозначения са както на фигурата.

a - по-малката от основите на трапеца
b - по-голямата от основите на трапеца
c,d - страни
h 1 h 2 - диагонали

Сумата от квадратите на диагоналите на трапец е равна на два пъти произведението на основите на трапеца плюс сумата от квадратите на страничните страни (Формула 2)

Инструкции

Според свойството на равнобедрен трапец отсечката n е равна на половината от разликата между основите x и y. Следователно по-малката основа на трапеца y може да бъде представена като разликата между по-голямата основа и отсечката n, умножена по две: y = x - 2*n.

Намерете неизвестната по-малка отсечка n. За да направите това, изчислете една от страните на получения правоъгълен триъгълник. Триъгълникът се образува от височина - h (катет), страна - a (хипотенуза) и сегмент - n (катет). Според Питагоровата теорема неизвестният катет n² = a² - h². Заместител числови стойностии изчислете квадрата на катет n. Вземете квадратен корен от получената стойност - това ще бъде дължината на сегмента n.

Заместете тази стойност в първото уравнение, за да изчислите y. Площта на трапеца се изчислява по формулата S = ((x + y)*h)/2. Изразете неизвестната променлива: y = 2*S/h – x.

източници:

• височина на равнобедрен трапец

За да се дефинира четириъгълник като трапец, трябва да се дефинират поне три от страните му. Следователно, например, можем да разгледаме задача, в която са дадени дължините на диагоналите трапецовидни, както и един от страничните вектори.

Инструкции

Фигурата от условията на задачата е представена в 1.B в такъв случайследва да се приеме, че разглежданата е ABCD, в която са дадени дължините на диагоналите AC и BD, както и страничната страна AB, представена от вектора a(ax,ay). Приетите първоначални данни ни позволяват да намерим и двете основания трапецовидни(отгоре и отдолу). IN конкретен примерпърво ще бъде намерена долната основа AD.

Да разгледаме триъгълник ABD. Дължината на неговата страна AB е равна на абсолютната стойност на вектора a. Нека |a|=sqrt((ax)^2+(ay)^2)=a, тогава cosф =ax/sqrt(((ax)^2+(ay)^2), като насочващ косинус на a. Нека дадения диагонал BD има дължина p, и желания AD дължинаХ. Тогава, съгласно косинусовата теорема, P^2=a^2+ x^2-2axcosф. Или x^2-2axcosф+(a^2-p^2)=0.

Да намериш върха основания BC (дължината му също се означава с x при търсене), използва се модулът |a|=a, както и вторият диагонал BD=q и косинусът на ъгъла ABC, който очевидно е равен на (n-ph) .

След това се разглежда триъгълник ABC, към който, както и преди, се прилага косинусовата теорема и възниква следното. Като се има предвид, че cos(п-ф)=-cosф, на базата на решението за AD, можем да използваме следната формула, замествайки p с q:ВС=- a*ax|sqrt(((ax)^2+(ay) ^2) +sqrt((((a)^2)(ax^2))/(ax^2+ay^2))-a^2+q^2).

Това е квадрат и съответно има два корена. По този начин в този случай остава да изберете само онези корени, които имат положителна стойност, тъй като дължината не може да бъде отрицателна.

Пример Let in трапецовидниСтраната на ABCD, страната AB е дадена от вектора a(1, sqrt3), p=4, q=6. намирам основания трапецовидни.Решение. Използвайки получените по-горе алгоритми, можем да запишем: |a|=a=2, cosф=1/2. AD=1/2+sqrt(4/4 -4+16)=1/2 +sqrt(13)=(sqrt(13)+1)/2.BC=-1/2+sqrt(-3+36 )=(sqrt(33)-1)/2.

Видео по темата

Трапецът е четириъгълник, в който две страни са успоредни, а другите две не са. Височината на трапеца е сегмент, начертан перпендикулярно между две успоредни прави. В зависимост от изходните данни те могат да бъдат изчислени по различни начини.

Ще имаш нужда

• Познаване на страните, основите, средната линия на трапец, а също и по желание неговата площ и/или периметър.

Инструкции

Да кажем, че има трапец със същите данни като на фигура 1. Нека начертаем 2 височини, получаваме , който има 2 по-малки страни от краката на правоъгълни триъгълници. Нека означим по-малката ролка с x. Намира се чрез разделяне на разликата в дължината между по-голямата и по-малката основа. След това, според Питагоровата теорема, квадратът на височината равно на суматаквадрати на хипотенузата d и катет x. Извличаме от тази сума и получаваме височината h. (фиг. 2)

Видео по темата

източници:

• как да изчислим височината на трапец

Математическа фигура с четири ъгъла се нарича трапец, ако една двойка противоположни страни е успоредна, а другата двойка не е. Паралелни страни се наричат причини трапецовидни, другите две са странични. В правоъгълен трапецовидниедин от ъглите отстрани е прав.

Инструкции

Задача 1. Намерете основите BC и AD трапецовидни, ако е известна дължината AC = f; Дължина на страната CD = c и ъгъл ADC = α Решение: Да разгледаме правоъгълен CED. Известни са хипотенузата c и ъгълът между хипотенузата и катета EDC. Намерете дължините CE и ED: като използвате формулата за ъгъл CE = CD*sin(ADC); ED = CD*cos(ADC). Така че: CE = c*sinα; ED=c*cosα.

Да разгледаме правоъгълния триъгълник ACE. Знаете хипотенузата AC и CE, намерете страната AE с помощта на правилото: сумата от квадратите на катетите е равна на квадрата на хипотенузата. И така: AE(2) = AC(2) - CE(2) = f(2) - c*sinα. Изчисли Корен квадратенот дясната страна на равенството. Намерихте горната част правоъгълна трапецовидни.

Дължината на основата AD е сумата от дължините на две отсечки AE и ED. AE = корен квадратен (f(2) - c*sinα); ED = c*cosα). Така че: AD = корен квадратен (f(2) - c*sinα) + c*cosα. Намерихте долната основа на правоъгълника трапецовидни.

Задача 2. Намерете основите BC и AD на правоъгълника трапецовидни, ако е известна дължината на диагонала BD = f; Дължина на страната CD = c и ъгъл ADC = α Решение: Да разгледаме правоъгълния триъгълник CED. Намерете дължините на страните CE и ED: CE = CD*sin(ADC) = c*sinα; ED = CD*cos(ADC) = c*cosα.

Да разгледаме правоъгълника ABCE. По свойството AB = CE = c*sinα Да разгледаме правоъгълния триъгълник ABD. Според свойството на правоъгълен триъгълник квадратът на хипотенузата е сумата от квадратите на катетите. Следователно AD(2) = BD(2) - AB(2) = f(2) - c*sinα Намерихте долната основа на правоъгълника трапецовидни AD = корен квадратен (f(2) - c*sinα).

Съгласно правилото за правоъгълника, BC = AE = AD - ED = квадратен корен(f(2) - c*sinα) - c*cosα. Намерихте горната основа на правоъгълника трапецовидни.

По-малката основа на трапеца е една от неговите успоредни страни, която има минимална дължина. Тази стойност може да се изчисли по няколко начина, като се използват определени данни.

Ще имаш нужда

• - калкулатор.

Инструкции

Ако са известни две дължини - основата и средната линия - използвайте свойството на трапеца, за да изчислите най-малката основа. Според него средната линия на трапеца е равна на половината от сбора на основите. В този случай най-малката основа ще бъде равна на разликата между удвоената дължина на средната линия и дължината на голямата основа на тази фигура.

Ако са известни такива параметри на трапеца като , височина, дължина на голямата основа, тогава изчислете най-малката основа на тази основа въз основа на трапеца. В този случай ще получите крайния резултат, като извадите от разликата между частното от удвоената площ и височината параметър като дължината на голямата основа на трапеца.

Изчислете дължината на страничната страна от другата

Курсът по геометрия за 8. клас включва изучаване на свойствата и характеристиките на изпъкнали четириъгълници. Те включват успоредници, специални случаи на които са квадрати, правоъгълници и ромби и трапеци. И ако решаването на проблеми с различни варианти на успоредник най-често не създава много трудности, тогава да разберете кой четириъгълник се нарича трапец е малко по-трудно.

Определение и видове

За разлика от другите четириъгълници, изучавани в училищна програма, трапец обикновено се нарича такава фигура, две противоположни страни на която са успоредни една на друга, а другите две не са. Има и друго определение: това е четириъгълник с чифт страни, които са неравни и успоредни.

Различните видове са показани на снимката по-долу.

Изображение номер 1 показва произволен трапец. Номер 2 показва специален случай - правоъгълен трапец, една от страните на който е перпендикулярна на основите му. Последната фигура също специален случай: Това е равнобедрен (равностранен) трапец, т.е. четириъгълник с равни страни.

Най-важните свойства и формули

За да се опишат свойствата на четириъгълника, е обичайно да се подчертават определени елементи. Като пример, разгледайте произволен трапец ABCD.

Включва:

• основи BC и AD - две страни, успоредни една на друга;
• страните AB и CD са два неуспоредни елемента;
• диагоналите AC и BD са сегменти, свързващи противоположни върхове на фигурата;
• височината на трапеца CH е сегмент, перпендикулярен на основите;
• средна линия EF - линия, свързваща средните точки на страничните страни.

Основни свойства на елементите

За решаване на задачи по геометрия или доказване на всякакви твърдения най-често се използват свойствата, които свързват различните елементи на четириъгълник. Те са формулирани, както следва:

Освен това често е полезно да знаете и прилагате следните твърдения:

1. Ъглополовяща, начертана от произволен ъгъл, разделя сегмент в основата, чиято дължина е равна на страната на фигурата.
2. При чертане на диагонали се образуват 4 триъгълника; 2 от тях са триъгълници, образувани от основии сегменти от диагонали са подобни, а останалата двойка има същата площ.
3. През пресечната точка на диагоналите О, средите на основите, както и точката, в която се пресичат продълженията на страните, може да се начертае права линия.

Изчисляване на периметър и площ

Периметърът се изчислява като сбор от дължините на всички четири страни(подобно на всяка друга геометрична фигура):

P = AD + BC + AB + CD.

Вписана и описана окръжност

Около трапец може да се опише окръжност само ако страните на четириъгълника са равни.

За да изчислите радиуса на описана окръжност, трябва да знаете дължините на диагонала, страната и по-голямата основа. величина п,използван във формулата се изчислява като половината от сумата на всички горепосочени елементи: p = (a + c + d)/2.

За вписан кръг условието ще бъде следното: сумата от основите трябва да съвпада със сумата от страните на фигурата. Неговият радиус може да се намери през височината и той ще бъде равен на r = h/2.

Особени случаи

Нека разгледаме един често срещан случай - равнобедрен (равностранен) трапец. Неговите знаци са равенството на страничните страни или равенството на противоположните ъгли. Всички твърдения важат за нея, които са характерни за произволен трапец. Други свойства на равнобедрен трапец:

Правоъгълният трапец не се среща много често в задачите. Неговите признаци са наличието на две съседни ъгли, равен на 90 градуса, и наличието на страна, перпендикулярна на основите. Височината в такъв четириъгълник също е една от страните му.

Всички разгледани свойства и формули обикновено се използват за решаване на планиметрични задачи. Те обаче трябва да се използват и в някои задачи от курса по стереометрия, например при определяне на повърхността пресечена пирамида, външно наподобяващ обемен трапец.

В различни материали тестовеи изпитите са много чести задачи за трапец, чието решаване изисква познаване на неговите свойства.

Нека разберем какви интересни и полезни свойства има трапецът за решаване на задачи.

След изучаване на свойствата на средната линия на трапец може да се формулира и докаже свойство на отсечка, свързваща средите на диагоналите на трапец. Отсечката, свързваща средите на диагоналите на трапец, е равна на половината от разликата на основите.

MO е средната линия на триъгълник ABC и е равна на 1/2BC (Фиг. 1).

MQ е средната линия на триъгълник ABD и е равна на 1/2AD.

Тогава OQ = MQ – MO, следователно OQ = 1/2AD – 1/2BC = 1/2(AD – BC).

Когато решавате много задачи върху трапец, една от основните техники е да нарисувате две височини в него.

Помислете за следното задача.

Нека BT е височината на равнобедрен трапец ABCD с основи BC и AD, като BC = a, AD = b. Намерете дължините на отсечките AT и TD.

Решение.

Решаването на проблема не е трудно (фиг. 2), но ви позволява да получите свойство на височината на равнобедрен трапец, изтеглена от върха на тъп ъгъл: височината на равнобедрен трапец, изтеглена от върха на тъп ъгъл, разделя по-голямата основа на два сегмента, по-малкият от които е равен на половината от разликата на основите, а по-големият е равен на половината от сбора на основите .

Когато изучавате свойствата на трапец, трябва да обърнете внимание на такова свойство като сходство. Така например диагоналите на трапец го разделят на четири триъгълника, а триъгълниците, съседни на основите, са подобни, а триъгълниците, съседни на страните, са еднакви по размер. Това твърдение може да се нарече свойство на триъгълници, на които трапецът е разделен от своите диагонали. Освен това първата част от твърдението може да се докаже много лесно чрез знака за подобие на триъгълници под два ъгъла. Нека докажемвтора част на изявлението.

Триъгълниците BOC и COD имат обща височина (фиг. 3), ако вземем отсечките BO и OD за техни бази. Тогава S BOC /S COD = BO/OD = k. Следователно S COD = 1/k · S BOC .

По същия начин триъгълниците BOC и AOB имат обща височина, ако приемем отсечките CO и OA за техни основи. Тогава S BOC /S AOB = CO/OA = k и S A O B = 1/k · S BOC .

От тези две изречения следва, че S COD = S A O B.

Нека не се спираме на формулираното твърдение, а намерете връзката между площите на триъгълниците, на които е разделен трапецът от неговите диагонали. За целта нека решим следната задача.

Нека точка O е пресечната точка на диагоналите на трапеца ABCD с основите BC и AD. Известно е, че площите на триъгълниците BOC и AOD са равни съответно на S 1 и S 2 . Намерете площта на трапеца.

Тъй като S COD = S A O B, тогава S ABC D = S 1 + S 2 + 2S COD.

От подобието на триъгълници BOC и AOD следва, че BO/OD = √(S₁/S 2).

Следователно S₁/S COD = BO/OD = √(S1/S 2), което означава S COD = √(S 1 · S 2).

Тогава S ABC D = S 1 + S 2 + 2√(S 1 · S 2) = (√S 1 + √S 2) 2.

С помощта на подобие се доказва, че свойство на отсечка, минаваща през точката на пресичане на диагоналите на трапец, успоредни на основите.

Нека помислим задача:

Нека точка O е пресечната точка на диагоналите на трапеца ABCD с основите BC и AD. BC = a, AD = b. Намерете дължината на отсечката PK, минаваща през пресечната точка на диагоналите на трапеца, успоредни на основите. На какви отсечки е разделена PK от точка O (фиг. 4)?

От подобието на триъгълници AOD и BOC следва, че AO/OC = AD/BC = b/a.

От подобието на триъгълници AOP и ACB следва, че AO/AC = PO/BC = b/(a + b).

Следователно PO = BC b / (a ​​​​+ b) = ab/(a + b).

По същия начин от сходството на триъгълници DOK и DBC следва, че OK = ab/(a + b).

Следователно PO = OK и PK = 2ab/(a + b).

И така, доказаното свойство може да се формулира по следния начин: сегмент, успореден на основите на трапеца, минаващ през точката на пресичане на диагоналите и свързващ две точки от страничните страни, се разделя наполовина от точката на пресичане на диагонали. Дължината му е средната хармонична стойност на основите на трапеца.

Следване четири точки собственост: в трапец пресечната точка на диагоналите, пресечната точка на продължението на страните, средите на основите на трапеца лежат на една права.

Триъгълниците BSC и ASD са подобни (фиг. 5)и във всяка от тях медианите ST и SG разделят върховия ъгъл S на равни части. Следователно точките S, T и G лежат на една права.

По същия начин точките T, O и G са разположени на една права. Това следва от подобието на триъгълниците BOC и AOD.

Това означава, че всичките четири точки S, T, O и G лежат на една права.

Можете също така да намерите дължината на сегмента, разделящ трапеца на два подобни.

Ако трапецът ALFD и LBCF са подобни (фиг. 6),тогава a/LF = LF/b.

Следователно LF = √(ab).

По този начин сегмент, разделящ трапец на два подобни трапеца, има дължина, равна на средното геометрично от дължините на основите.

Нека докажем свойство на отсечка, разделяща трапец на две равни части.

Нека площта на трапеца е S (фиг. 7). h 1 и h 2 са части от височината, а x е дължината на търсената отсечка.

Тогава S/2 = h 1 (a + x)/2 = h 2 (b + x)/2 и

S = (h 1 + h 2) · (a + b)/2.

Да създадем система

(h 1 (a + x) = h 2 (b + x)
(h 1 · (a + x) = (h 1 + h 2) · (a + b)/2.

Решавайки тази система, получаваме x = √(1/2(a 2 + b 2)).

По този начин, дължината на отсечката, разделяща трапеца на две равни, е равна на √((a 2 + b 2)/2)(среден квадрат на дължините на основата).

И така, за трапеца ABCD с основи AD и BC (BC = a, AD = b) доказахме, че сегментът:

1) MN, свързваща средите на страничните страни на трапеца, е успоредна на основите и равна на тяхната полусума (ср. аритметични числаа и б);

2) PK, минаваща през точката на пресичане на диагоналите на трапеца, успоредни на основите, е равно на
2ab/(a + b) (средно хармонично на числата a и b);

3) LF, който разделя трапец на два подобни трапеца, има дължина, равна на средното геометрично на числата a и b, √(ab);

4) EH, разделящ трапец на два равни, има дължина √((a 2 + b 2)/2) (средно квадратен корен на числата a и b).

Признак и свойство на вписан и описан трапец.

Свойство на вписан трапец:трапецът може да бъде вписан в окръжност тогава и само ако е равнобедрен.

Свойства на описания трапец.Трапецът може да бъде описан около окръжност тогава и само ако сборът от дължините на основите е равен на сбора от дължините на страните.

Полезни последици от факта, че кръгът е вписан в трапец:

1. Височината на описания трапец е равна на два радиуса на вписаната окръжност.

2. Страната на описания трапец се вижда от центъра на вписаната окръжност под прав ъгъл.

Първото е очевидно. За доказване на второто следствие е необходимо да се установи, че ъгълът COD е прав, което също не е трудно. Но познаването на това следствие ви позволява да използвате правоъгълен триъгълник, когато решавате задачи.

Да уточним следствия за равнобедрен описан трапец:

Височината на равнобедрен описан трапец е средната геометрична стойност на основите на трапеца
h = 2r = √(ab).

Разгледаните свойства ще ви позволят да разберете по-задълбочено трапеца и ще гарантирате успех при решаването на проблеми с помощта на неговите свойства.

Все още имате въпроси? Не знаете как да решавате задачи с трапец?
За да получите помощ от преподавател, регистрирайте се.
Първият урок е безплатен!

уебсайт, при пълно или частично копиране на материал се изисква връзка към източника.

Трапецът е изпъкнал четириъгълник, в който едната двойка противоположни страни е успоредна една на друга, а другата не е.

Въз основа на определението за трапец и характеристиките на успоредник, успоредни странитрапецовете не могат да бъдат равни един на друг. В противен случай другата двойка страни също ще станат успоредни и равни една на друга. В този случай ще имаме работа с успоредник.

Успоредните противоположни страни на трапеца се наричат причини. Тоест трапецът има две основи. Неуспоредни противоположни страни на трапец се наричат страни.

В зависимост от това кои странични страни, какви ъгли образуват с основите, се разграничават различни видоветрапец. Най-често трапецът се разделя на неравни (едностранни), равнобедрени (равностранни) и правоъгълни.

U наклонени трапецистраните не са равни една на друга. Освен това при голяма основа и двата могат да образуват само остри ъгли или единият ъгъл ще бъде тъп, а другият остър. В първия случай трапецът се нарича остроъгълен, във втория - тъп.

U равнобедрени трапецистраните са равни една на друга. Освен това с голяма основа те могат да образуват само остри ъгли, т.е. Всички равнобедрени трапеци са остроъгълни. Поради това не се делят на остроъгълни и тъпоъгълни.

U правоъгълни трапециедната страна е перпендикулярна на основите. Втората страна не може да бъде перпендикулярна на тях, защото в този случай ще имаме работа с правоъгълник. При правоъгълните трапеци неперпендикулярната страна винаги се образува с по-голямата основа остър ъгъл. Перпендикулярна страна е перпендикулярна на двете основи, защото основите са успоредни.