Намерена е средната линия на формулата на трапеца. Зона на трапец

Зона на трапец. Поздравления! В тази публикация ще разгледаме посочената формула. Защо е точно така и как да го разберем. Ако има разбиране, тогава не е нужно да го учите. Ако просто искате да видите тази формула и това, което е спешно, можете веднага да превъртите страницата надолу))

Сега подробно и по ред.

Трапецът е четириъгълник, двете страни на този четириъгълник са успоредни, другите две не са. Тези, които не са успоредни, са основите на трапеца. Другите две се наричат ​​страни.

Ако страните са равни, тогава трапецът се нарича равнобедрен. Ако една от страничните страни е перпендикулярна на основите, тогава такъв трапец се нарича правоъгълен.

В класическата форма трапецът е изобразен по следния начин - по-голямата основа е отдолу, съответно по-малката е отгоре. Но никой не забранява да я изобразяват и обратно. Ето скиците:

Следващата важна концепция.

Средната линия на трапеца е отсечката, която свързва средните точки на страните. Средната линия е успоредна на основите на трапеца и е равна на тяхната полусума.

Сега нека се задълбочим. Защо е така?

Помислете за трапец с основи а и би със средната линия л, и изпълнете някои допълнителни конструкции: начертайте прави линии през основите и перпендикуляри през краищата на средната линия, докато се пресичат с основите:

* Буквените обозначения на върховете и други точки не се въвеждат умишлено, за да се избегнат ненужни обозначения.

Вижте, триъгълници 1 и 2 са равни във втория знак за равенство на триъгълниците, триъгълници 3 и 4 са еднакви. От равенството на триъгълниците следва равенството на елементите, а именно краката (те са обозначени съответно в синьо и червено).

Сега внимание! Ако мислено "отрежем" синия и червения сегмент от долната основа, тогава ще имаме сегмент (това е страната на правоъгълника), равен на средната линия. Освен това, ако "залепим" отрязаната синя и червена линия към горната основа на трапеца, тогава ще получим и сегмент (това е и страната на правоъгълника), равен на средната линия на трапеца.

Схванах го? Оказва се, че сумата от основите ще бъде равна на двете средни линии на трапеца:

Вижте друго обяснение

Нека направим следното - изградим права линия, минаваща през долната основа на трапеца и права линия, която ще минава през точки A и B:

Получаваме триъгълници 1 и 2, те са равни по страната и ъглите в съседство с нея (вторият знак за равенство на триъгълниците). Това означава, че полученият сегмент (в скицата е посочен в синьо) е равен на горната основа на трапеца.

Сега помислете за триъгълника:

* Средната линия на този трапец и средната линия на триъгълника съвпадат.

Известно е, че триъгълникът е равен на половината от неговата паралелна основа, т.е.

Добре, оправих се. Сега за площта на трапеца.

Формула на зоната на трапеция:

Те казват: площта на трапеца е равна на произведението на половината сума на неговите основи и височината.

Тоест, оказва се, че е равно на произведението на средната линия и височината:

Вероятно вече сте забелязали, че това е очевидно. Геометрично това може да се изрази по следния начин: ако умствено отрежем триъгълници 2 и 4 от трапеца и ги поставим съответно върху триъгълници 1 и 3:

След това получаваме правоъгълник, равен по площ на площта на нашия трапец. Площта на този правоъгълник ще бъде равна на произведението на средната линия и височината, тоест можем да напишем:

Но смисълът тук не е в записа, разбира се, а в разбирането.

Изтеглете (прегледайте) материал за статията в * pdf формат

Това е всичко. Успех на вас!

С уважение, Александър.

В тази статия ще се опитаме да отразим свойствата на трапеца възможно най-пълно. По-специално, ще говорим за общи признаци и свойства на трапец, както и за свойствата на вписан трапец и за окръжност, вписана в трапец. Ще засегнем и свойствата на равнобедрен и правоъгълен трапец.

Пример за решаване на проблем с помощта на разглежданите свойства ще ви помогне да подредите на места в главата си и да запомните по-добре материала.

Трапец и всички-всички-всички

За начало нека си припомним накратко какво е трапец и какви други понятия са свързани с него.

И така, трапецът е четириъгълна фигура, две от страните на която са успоредни една на друга (това са основите). И две не са успоредни - това са страните.

В трапеца височината може да се намали - перпендикулярно на основите. Изчертават се средната линия и диагоналите. Също така е възможно да се начертае ъглополовяща от всеки ъгъл на трапеца.

Сега ще говорим за различните свойства, свързани с всички тези елементи и техните комбинации.

Свойства на трапецовидни диагонали

За да стане по-ясно, докато четете, скицирайте трапец AKME върху лист хартия и начертайте диагонали в него.

1. Ако намерите средните точки на всеки от диагоналите (означете тези точки с X и T) и ги свържете, ще получите сегмент. Едно от свойствата на диагоналите на трапец е, че сегментът XT лежи на средната линия. И неговата дължина може да се получи чрез разделяне на основната разлика на две: XT = (a - b) / 2.
2. Пред нас е същият трапец на AKME. Диагоналите се пресичат в точка O. Нека разгледаме триъгълниците AOE и MOC, образувани от сегментите на диагоналите заедно с основите на трапеца. Тези триъгълници са подобни. Коефициентът на подобие на k триъгълници се изразява чрез съотношението на основите на трапеца: k = AE / KM.
   Съотношението на площите на триъгълниците AOE и MOC се описва с коефициента k 2.
3. Същият трапец, същите диагонали, пресичащи се в точка О. Само този път ще разгледаме триъгълниците, които сегментите на диагоналите образуваха заедно със страничните страни на трапеца. Площите на триъгълниците AKO и EMO са равни - техните площи са еднакви.
4. Друго свойство на трапеца включва изграждането на диагонали. Така че, ако продължим страничните страни на AK и ME в посока на по-малката основа, тогава рано или късно те ще се пресекат до някаква точка. Освен това, през средните точки на основите на трапеца, начертайте права линия. Той пресича основите в точки X и T.
   Ако сега удължим линията XT, тогава тя ще свърже заедно точката на пресичане на диагоналите на трапец O, точката, в която се пресичат разширенията на страничните страни и средните точки на основите на X и T.
5. През точката на пресичане на диагоналите начертайте сегмент, който свързва основите на трапеца (T лежи върху по-малката основа на CM, X - върху по-голямата AE). Точката на пресичане на диагоналите разделя този сегмент в следното съотношение: TO / OX = KM / AE.
6. И сега, през точката на пресичане на диагоналите, начертайте сегмент, успореден на основите на трапеца (a и b). Пресечната точка ще го раздели на две равни части. Можете да намерите дължината на сегмент с помощта на формулата 2ab / (a ​​+ b).

Свойства на централната линия на трапец

Начертайте средната линия в трапеца, успоредна на основите му.

1. Дължината на средната линия на трапец може да се изчисли, като се съберат дължините на основите и се разделят наполовина: m = (a + b) / 2.
2. Ако начертаете сегмент (напр. височина) през двете основи на трапеца, средната линия ще го раздели на две равни части.

Свойство на симетрала на трапец

Изберете произволен ъгъл на трапеца и начертайте ъглополовяща. Вземете например ъгъла KAE на нашия трапец AKME. След като завършите сами конструкцията, можете лесно да се уверите, че бисектрисата отрязва от основата (или нейното продължение по права линия извън самата фигура) сегмент със същата дължина като страната.

Свойства на трапецовиден ъгъл

1. Който и от двете двойки ъгли, съседни на страничната страна, изберете, сумата от ъглите в една двойка винаги е 180 0: α + β = 180 0 и γ + δ = 180 0.
2. Свържете средните точки на основите на трапец с TX сегмент. Сега нека разгледаме ъглите в основата на трапеца. Ако сумата от ъглите при някой от тях е 90 0, дължината на TX сегмента може лесно да бъде изчислена въз основа на разликата в дължините на основите, разделени наполовина: TX = (AE - KM) / 2.
3. Ако се начертаят успоредни прави линии през страните на ъгъла на трапеца, те ще разделят страните на ъгъла на пропорционални сегменти.

Свойства на равнобедрен (равнобедрен) трапец

1. В равнобедрен трапец ъглите са равни при всяка от основите.
2. Сега изградете трапеца отново, за да ви е по-лесно да си представите за какво става въпрос. Погледнете внимателно основата на AE - върхът на противоположната основа на M се проектира в точка от правата, която съдържа AE. Разстоянието от върха A до точката на проекция на върха M и средната линия на равнобедрен трапец са равни.
3. Няколко думи за свойството на равнобедрените трапецовидни диагонали - дължините им са равни. И също така ъглите на наклон на тези диагонали към основата на трапеца са еднакви.
4. Само около равнобедрен трапец може да се опише окръжност, тъй като сумата от противоположните ъгли на четириъгълника 180 0 е предпоставка за това.
5. Свойството на равнобедрен трапец следва от предишния параграф - ако може да се опише кръг близо до трапеца, той е равнобедрен.
6. От характеристиките на равнобедрен трапец следва свойството на височината на трапеца: ако диагоналите му се пресичат под прав ъгъл, тогава дължината на височината е равна на половината от сбора на основите: h = (a + b) / 2.
7. Начертайте отново сегмент от TX през средните точки на основата на трапеца - в равнобедрен трапец той е перпендикулярен на основите. И в същото време TX е оста на симетрия на равнобедрен трапец.
8. Този път намалете до по-голямата основа (означете я с а) височината от противоположния връх на трапеца. Ще има два сегмента. Дължината на един може да се намери, ако дължините на основите се сгънат и намалят наполовина: (a + b) / 2... Втората се получава, когато извадим по -малката от по -голямата основа и разделим получената разлика на две: (а - б) / 2.

Свойства на трапец, вписан в окръжност

Тъй като вече говорихме за трапец, вписан в кръг, нека се спрем на този въпрос по-подробно. По -специално, където центърът на окръжността е спрямо трапеца. И тук се препоръчва да не бъдете твърде мързеливи, за да вземете молив в ръка и да нарисувате това, което ще бъде обсъдено по -долу. Така ще разберете по-бързо и ще запомните по-добре.

1. Местоположението на центъра на окръжността се определя от ъгъла на наклон на диагонала на трапеца към страничната му страна. Например, диагонал може да се простира от върха на трапец под прав ъгъл встрани. В този случай по -голямата основа пресича центъра на описаната окръжност точно в средата (R = ½AE).
2. Диагоналът и страната също могат да се срещат под остър ъгъл - тогава центърът на окръжността е вътре в трапеца.
3. Центърът на описаната окръжност може да бъде извън трапеца, отвъд голямата му основа, ако между диагонала на трапеца и страничната страна има тъп ъгъл.
4. Ъгълът, образуван от диагонала и голямата основа на трапеца AKME (вписан ъгъл), е половината от централния ъгъл, който му съответства: MAE = ½ MOE.
5. Накратко за два начина за намиране на радиуса на описаната окръжност. Метод първи: погледнете внимателно рисунката си - какво виждате? Лесно ще забележите, че диагоналът разделя трапеца на два триъгълника. Радиусът може да се намери като отношението на страната на триъгълник към синуса на противоположния ъгъл, умножен на две. Например, R = AE / 2 * sinAME... По същия начин формулата може да бъде написана за всяка страна на двата триъгълника.
6. Метод втори: откриваме радиуса на описаната окръжност през областта на триъгълника, образувана от диагонала, страната и основата на трапеца: R = AM * ME * AE / 4 * S AME.

Свойства на трапец, описан около окръжност

Можете да впишете окръжност в трапец, ако е изпълнено едно условие. Повече за това по-долу. И заедно, тази комбинация от форми има редица интересни свойства.

1. Ако в трапеца е вписан кръг, дължината на средната му линия може лесно да се намери чрез добавяне на дължините на страните и разделяне на получената сума наполовина: m = (c + d) / 2.
2. В трапеца AKME, описан около окръжност, сумата от дължините на основите е равна на сумата от дължините на страничните страни: AK + ME = KM + AE.
3. От това свойство на основите на трапец следва обратното твърдение: в този трапец може да бъде вписана окръжност, чийто сбор от основи е равен на сбора от страничните страни.
4. Допирателната точка на окръжност с радиус r, вписан в трапец, разделя страничната страна на две отсечки, нека ги наречем a и b. Радиусът на окръжността може да се изчисли по формулата: r = √ab.
5. И още един имот. За да не се объркате, нарисувайте и този пример сами. Имаме добър стар трапец AKME, описан около кръг. В него са начертани диагонали, пресичащи се в точка O.
   Височините на тези триъгълници, пуснати върху хипотенузите (т.е. страничните страни на трапеца), съвпадат с радиусите на вписаната окръжност. А височината на трапеца съвпада с диаметъра на вписаната окръжност.

Свойства на правоъгълен трапец

Нарича се правоъгълен трапец, единият от ъглите на който е десен. И неговите свойства произтичат от това обстоятелство.

1. В правоъгълен трапец една от страничните страни е перпендикулярна на основите.
2. Височината и страничната страна на трапеца, съседни на десния ъгъл, са равни. Това ви позволява да изчислите площта на правоъгълен трапец (обща формула S = (a + b) * h / 2) не само през височината, но и през страничната страна, съседна на десния ъгъл.
3. За правоъгълен трапец са от значение общите свойства на диагоналите на трапец, които вече са описани по-горе.

Доказателства за някои свойства на трапеца

Равенство на ъглите в основата на равнобедрен трапец:

• Вероятно вече се досещате, че тук отново се нуждаем от трапец AKME - нарисувайте равнобедрен трапец. Начертайте права линия MT от върха на M, успоредна на страничната страна на AK (MT || AK).

Полученият четириъгълник AKMT е успоредник (AK || MT, KM || AT). Тъй като ME = KA = MT, ∆ MTE е равнобедрен и MET = MTE.

AK || MT, следователно MTE = KAE, MET = MTE = KAE.

Откъдето AKM = 180 0 - MET = 180 0 - KAE = KME.

Q.E.D.

Сега, въз основа на свойството на равнобедрен трапец (равенство на диагоналите), доказваме, че трапецът AKME е равнобедрен:

• За начало нека начертаем права линия MX - MX || KE. Получаваме паралелограм KMXE (база - MX || KE и KM || EX).

∆AMX е равнобедрен, тъй като AM = KE = MX и MAX = MEA.

MX || KE, KEA = MXE, следователно MAE = MXE.

Оказа се, че триъгълниците AKE и EMA са равни един на друг, тъй като AM = KE и AE са общата страна на два триъгълника. И също така MAE = MXE. Можем да заключим, че AK = ME, и от това следва, че трапецът AKME е равнобедрен.

Задача за повторение

Основите на трапеца AKME са 9 cm и 21 cm, страничната страна на космическия кораб, равна на 8 cm, образува ъгъл от 150 0 с по-малка основа. Необходимо е да се намери площта на трапеца.

Решение: От върха на K спускаме височината до по-голямата основа на трапеца. И нека започнем да разглеждаме ъглите на трапеца.

Ъглите AEM и KAN са едностранни. Това означава, че те дават общо 180 0. Следователно KAN = 30 0 (въз основа на свойствата на ъглите на трапеца).

Помислете сега за правоъгълен ∆ANK (мисля, че тази точка е очевидна за читателите без допълнителни доказателства). От него намираме височината на трапеца KN - в триъгълника това е катетът, който лежи срещу ъгъла 30 0. Следователно, KH = ½AB = 4 cm.

Площта на трапеца се намира по формулата: S AKME = (KM + AE) * KN / 2 = (9 + 21) * 4/2 = 60 cm 2.

Послеслов

Ако сте проучили внимателно и замислено тази статия, не сте били твърде мързеливи да нарисувате трапеци за всички горепосочени свойства с молив в ръка и да ги разглобите на практика, материалът трябва да е добре разбран от вас.

Разбира се, тук има много информация, разнообразна и понякога дори объркваща: не е толкова трудно да се объркат свойствата на описания трапец със свойствата на вписания. Но вие сами сте се убедили, че разликата е огромна.

Вече имате подробно описание на всички общи свойства на трапец. Както и специфичните свойства и характеристики на равнобедрените и правоъгълните трапеции. Много е удобно да ги използвате за подготовка за тестове и изпити. Опитайте сами и споделете връзката с приятелите си!

блог.сайт, при пълно или частично копиране на материала е необходима връзка към източника.

Отсечката от права линия, свързваща средните точки на страните на трапеца, се нарича средна линия на трапеца. По-долу ще опишем как да намерим средната линия на трапец и как тя се свързва с други елементи от тази форма.

Теорема за централната линия

Нека начертаем трапец, в който AD е по-голямата основа, BC е по-малката основа, EF е средната линия. Разширете основата AD отвъд точка D. Начертайте линия BF и я удължете до пресечната точка с продължение на основата AD в точка O. Разгледайте триъгълниците ∆BCF и ∆DFO. Ъгли ∟BCF = ∟DFO като вертикални. CF = DF, ∟BCF = ∟FDО, защото VS // АД. Следователно триъгълниците ∆BCF = ∆DFO. Следователно страните са BF = FO.

Сега разгледайте ∆ABO и ∆EBF. ∟ABO е общ и за двата триъгълника. BE / AB = ½ по условие, BF / BO = ½, тъй като ∆BCF = ∆DFO. Следователно триъгълниците ABO и EFB са подобни. Оттук и съотношението на страните EF / AO = ½, както и съотношението на другите страни.

Намерете EF = ½ AO. Чертежът показва, че AO = AD + DO. DO = BC като страни на равни триъгълници, така че AO = AD + BC. Следователно EF = ½ AO = ½ (AD + BC). Тези. дължината на средната линия на трапеца е равна на половината от сумата на основите.

Винаги ли средната линия на трапец е равна на половината от сбора на основите?

Да предположим, че има специален случай, когато EF ≠ ½ (AD + BC). Тогава ВС ≠ DO, следователно, ∆BCF ≠ ∆DCF. Но това е невъзможно, тъй като те имат равни два ъгъла и страни между тях. Следователно теоремата е вярна при всички условия.

Проблемът със средната линия

Да предположим, че в нашия трапец ABCD AD // BC, ∟A = 90 °, ∟C = 135 °, AB = 2 cm, диагоналът на AC е перпендикулярен на страничната страна. Намерете средната линия на трапеца EF.

Ако ∟А = 90 °, тогава ∟В = 90 °, което означава, че ∆ABS е правоъгълна.

∟BCA = ∟BCD - ∟ACD. ∟ACD = 90 ° по условие, следователно ∟BCA = ∟BCD - ∟ACD = 135 ° - 90 ° = 45 °.

Ако в правоъгълен триъгълник ∆ABS единият ъгъл е 45 °, тогава катетите в него са равни: AB = BC = 2 cm.

Хипотенуза AC = √ (AB² + BC²) = √8 cm.

Помислете за ∆ACD. ∟ACD = 90 ° по условие. ∟CAD = ∟BCA = 45 ° като ъглите, образувани от секущата на успоредните основи на трапеца. Следователно, катета AC = CD = √8.

Хипотенуза AD = √ (AC² + CD²) = √ (8 + 8) = √16 = 4 cm.

Средната линия на трапеца е EF = ½ (AD + BC) = ½ (2 + 4) = 3 cm.

В тази статия сме направили друга селекция от проблеми с трапец за вас. Условията по някакъв начин са свързани със средната му линия. Типовете задачи са взети от отворената банка от типични задачи. Ако желаете, можете да обновите теоретичните си знания. В блога вече са разгледани и задачите, чиито условия са свързани. Накратко за средната линия:

Средната линия на трапеца свързва средните точки на страничните страни. Той е успореден на основите и равен на тяхната полусума.

Преди да решим проблемите, нека разгледаме теоретичен пример.

Даден е трапец ABCD. Диагоналът AC, пресичащ се със средната линия, образува точка K, диагоналът BD образува точка L. Докажете, че отсечката KL е равна на половината от разликата между основите.

Нека първо да отбележим факта, че средната линия на трапец намалява наполовина всеки сегмент, чиито краища лежат върху основите му. Това заключение се налага. Представете си сегмент, свързващ две базови точки, той ще раздели този трапец на два други. Оказва се, че сегмент, успореден на основите на трапеца и минаващ през средата на страната от другата страна, ще премине през средата му.

Той се основава и на теоремата на Талес:

Ако на една от двете прави линии оставим настрана няколко равни сегмента последователно и през техните краища нарисуваме успоредни прави линии, пресичащи втората права линия, те ще отрежат равни сегменти на втората права линия.

Тоест, в този случай K е средата на AC, а L е средата на BD. Следователно EK е средната линия на триъгълник ABC, LF е средната линия на триъгълник DCB. По свойството на средната линия на триъгълника:

Сега можем да изразим отсечката KL чрез основите:

Доказано!

Този пример е даден с причина. В задачите за самостоятелно решение има точно такъв проблем. Само това не казва, че сегментът, свързващ средните точки на диагоналите, лежи на средната линия. Помислете за задачите:

27819. Намерете средната линия на трапец, ако основите му са 30 и 16.

Изчисляваме по формулата:

27820. Средната линия на трапеца е 28, а по-малката основа е 18. Намерете по-голямата основа на трапеца.

Нека изразим по-голяма база:

Поради това:

27836. Перпендикулярът, спуснат от върха на тъпия ъгъл към по-голямата основа на равнобедрения трапец, го разделя на части с дължини 10 и 4. Намерете средната линия на този трапец.

За да намерите централната линия, трябва да знаете основата. Основата AB е лесно да се намери: 10 + 4 = 14. Намерете DC.

Нека построим втория перпендикуляр DF:

Сегментите AF, FE и EB ще бъдат съответно 4, 6 и 4. Защо?

В равнобедрен трапец перпендикулярите, спуснати до по -голямата основа, го разделят на три сегмента. Две от тях, които са катетите на отсечените правоъгълни триъгълници, са равни една на друга. Третият сегмент е равен на по-малката основа, тъй като при конструирането на посочените височини се образува правоъгълник, а в правоъгълника противоположните страни са равни. В тази задача:

Така DC = 6. Ние изчисляваме:

27839. Основите на трапеца са 2: 3, а средната линия е 5. Намерете по-малката основа.

Нека въведем коефициента на пропорционалност x. Тогава AB = 3x, DC = 2x. можем да напишем:

Следователно по -малката основа е 2 ∙ 2 = 4.

27840. Периметърът на равнобедрен трапец е 80, средната му линия е равна на страничната страна. Намерете страната на трапеца.

Въз основа на условието можем да запишем:

Ако обозначите средната линия чрез стойността на x, получавате:

Второто уравнение вече може да бъде записано във формата:

27841. Средната линия на трапеца е 7, а едната му основа е по -голяма от другата с 4. Намерете по -голямата основа на трапеца.

Нека означим по-малката основа (DC) като x, тогава по-голямата (AB) ще бъде равна на x + 4. Можем да пишем

Получихме, че долната основа е ранна пет, така че по -голямата е 9.

27842. Средната линия на трапеца е 12. Един от диагоналите го разделя на две отсечки, чиято разлика е 2. Намерете по-голямата основа на трапеца.

Лесно можем да намерим по-голямата основа на трапеца, ако изчислим отсечката EO. Това е средната линия в триъгълника ADB и AB = 2 ∙ EO.

какво имаме? Казва се, че средната линия е 12, а разликата между сегментите EO и OF е 2. Можем да запишем две уравнения и да решим системата:

Ясно е, че в този случай е възможно да вземете двойка числа без изчисления, това са 5 и 7. Но въпреки това ще решим системата:

Следователно EO = 12–5 = 7. Така по-голямата основа е равна на AB = 2 ∙ EO = 14.

27844. В равнобедрен трапец диагоналите са перпендикулярни. Височината на трапеца е 12. Намерете средната му линия.

Веднага отбелязваме, че височината, изтеглена през точката на пресичане на диагоналите в равнобедрен трапец, лежи върху оста на симетрия и разделя трапеца на две равни правоъгълни трапеци, тоест основите на тази височина са разделени наполовина.

Изглежда, че за да изчислим средната линия, трябва да намерим основите. Тук възниква малка безизходица ... Как, знаейки височината, в този случай да изчислим основите? А не как! Има много такива трапеци с фиксирана височина и диагонали, пресичащи се под ъгъл от 90 градуса. Как да бъде?

Вижте формулата за средната линия на трапец. В крайна сметка не е необходимо да знаем самите основания, достатъчно е да знаем тяхната сума (или половин сума). Ние можем да направим това.

Тъй като диагоналите се пресичат под прав ъгъл, се образуват равнобедрени правоъгълни триъгълници с височина EF:

От горното следва, че FO = DF = FC и OE = AE = EB. Сега нека напишем каква е височината, изразена чрез сегментите DF и AE:

Значи средната линия е 12.

* По принцип това е задача, както разбирате, за устно броене. Но съм сигурен, че предоставеното подробно обяснение е необходимо. И така... Ако погледнете фигурата (при условие, че ъгълът между диагоналите се спазва по време на конструкцията), равенството FO = DF = FC и OE = AE = EB, веднага хваща окото ви.

Като част от прототипите има и видове задачи с трапеции. Изграден е върху лист в клетка и трябва да намерите средната линия, страната на клетката обикновено е 1, но може да има различна стойност.

27848. Намерете средната линия на трапеца ABCDако страните на квадратните клетки са 1.

Просто е, изчисляваме основите по клетки и използваме формулата: (2 + 4) / 2 = 3

Ако основите са изградени под ъгъл спрямо клетъчната мрежа, тогава има два начина. Например!

Концепцията за средната линия на трапеца

Като начало нека си припомним коя форма се нарича трапец.

Определение 1

Трапецът е четириъгълник, в който две страни са успоредни, а другите две не са успоредни.

В този случай успоредните страни се наричат ​​основи на трапеца, а не успоредни - страните на трапеца.

Определение 2

Средната линия на трапеца е отсечка, свързваща средните точки на страните на трапеца.

Теорема за централната линия за трапец

Сега въвеждаме теоремата за средната линия на трапец и я доказваме по векторния метод.

Теорема 1

Средната линия на трапеца е успоредна на основите и равна на тяхната полусума.

Доказателство.

Нека ни е даден трапец $ ABCD $ с основи $ AD \ и \ BC $. И нека $ MN $ е средната линия на този трапец (фиг. 1).

Фигура 1. Средна линия на трапеца

Нека докажем, че $ MN || AD \ и \ MN = \ frac (AD + BC) (2) $.

Помислете за вектора $ \ overrightarrow (MN) $. След това използваме правилото за полигона, за да добавим вектори. От една страна разбираме това

От друга страна

Събираме последните две равенства, получаваме

Тъй като $ M $ и $ N $ са средните точки на страничните страни на трапеца, ще имаме

Получаваме:

Следователно

От същото равенство (тъй като $ \ overrightarrow (BC) $ и $ \ overrightarrow (AD) $ са съпосочени и следователно колинеарни) получаваме $ MN || AD $.

Теоремата е доказана.

Примери за задачи по концепцията за средната линия на трапец

Пример 1

Страните на трапеца са съответно $ 15 \ cm $ и $ 17 \ cm $. Периметърът на трапеца е $ 52 \ cm $. Намерете дължината на средната линия на трапеца.

Решение.

Нека означим средната линия на трапеца с $ n $.

Сумата от страните е

Следователно, тъй като периметърът е $ 52 \ cm $, сумата от базите е

Следователно, по теорема 1 получаваме

Отговор:$ 10 \ cm $.

Пример 2

Краищата на диаметъра на окръжността се отстраняват от допирателната му съответно с $ 9 $ см и $ 5 $ см. Намерете диаметъра на тази окръжност.

Решение.

Нека ни бъде даден кръг с център $ O $ и диаметър $ AB $. Начертайте допирателната права $ l $ и построете разстоянията $ AD = 9 \ cm $ и $ BC = 5 \ cm $. Нека начертаем радиуса $ OH $ (фиг. 2).

Фигура 2.

Тъй като $ AD $ и $ BC $ са разстоянията до допирателната, тогава $ AD \ bot l $ и $ BC \ bot l $ и тъй като $ OH $ е радиусът, тогава $ OH \ bot l $, следователно, $ OH | \ ляво | AD \ дясно || BC $. От всичко това получаваме, че $ ABCD $ е трапец, а $ OH $ е средната му линия. По теорема 1 получаваме