Kružna jednačina. Kartezijanske koordinate ravnih tačaka. Jednadžba kružnice Primjeri jednadžbe kružnice

Svrha lekcije: uvesti jednačinu kruga, naučiti učenike da sastavljaju jednačinu kruga prema gotovom crtežu, grade krug prema datoj jednačini.

Oprema: interaktivna tabla.

Plan lekcije:

1. Organizacioni trenutak - 3 min.
2. Ponavljanje. Organizacija mentalne aktivnosti - 7 min.
3. Objašnjenje novog materijala. Izvođenje kružnice - 10 min.
4. Konsolidacija proučenog gradiva - 20 min.
5. Sažetak lekcije - 5 min.

Tokom nastave

2. Ponavljanje:

− (Dodatak 1 slajd 2) zapisati formulu za pronalaženje koordinata sredine segmenta;

− (Slajd 3) Z napišite formulu za rastojanje između tačaka (dužina segmenta).

3. Objašnjenje novog materijala.

(Slajdovi 4 - 6) Definirajte jednadžbu kružnice. Izvedite jednadžbe kruga sa centrom u tački ( a;b) i centriran u nultu.

(X – a ) 2 + (at – b ) 2 = R 2 − kružna jednačina sa centrom OD (a;b) , radijus R , X i at – koordinate proizvoljne tačke na kružnici .

X 2 + y 2 = R 2 je jednadžba kružnice sa središtem na početku.

(Slajd 7)

Da biste napisali jednačinu kruga, potrebno vam je:

• znati koordinate centra;
• znati dužinu radijusa;
• zamijenite koordinate centra i dužinu polumjera u jednadžbu kružnice.

4. Rješavanje problema.

U zadacima br. 1 - br. 6 nacrtajte jednadžbe kruga prema gotovim crtežima.

(Slajd 14)

№ 7. Popunite tabelu.

(Slajd 15)

№ 8. Konstruišite krugove u svesci date jednadžbama:

a) ( X – 5) 2 + (at + 3) 2 = 36;
b) (X + 1) 2 + (at– 7) 2 = 7 2 .

(Slajd 16)

№ 9. Pronađite koordinate centra i dužinu poluprečnika if AB je prečnik kruga.

Dato:		Odluka:
		R	Koordinate centra
1	I(0 ; -6) AT(0 ; 2)	AB 2 = (0 – 0) 2 + (2 + 6) 2 ; AB 2 = 64; AB = 8 .	I(0; -6) AT(0 ; 2) OD(0 ; – 2) – centar
2	I(-2 ; 0) AT(4 ; 0)	AB 2 = (4 + 2) 2 + (0 + 0) 2 ; AB 2 = 36; AB = 6.	I (-2;0) AT (4 ;0) OD(1 ; 0) – centar

(Slajd 17)

№ 10. Napišite jednačinu kružnice sa centrom u ishodištu koja prolazi kroz tačku To(-12;5).

Odluka.

R2 = OK 2 = (0 + 12) 2 + (0 – 5) 2 = 144 + 25 = 169;
R= 13;

Jednačina kružnice: x 2 + y 2 = 169 .

(Slajd 18)

№ 11. Napišite jednačinu za kružnicu koja prolazi kroz ishodište i sa središtem u tački OD(3; - 1).

Odluka.

R2= OS 2 = (3 – 0) 2 + (–1–0) 2 = 9 + 1 = 10;

Jednačina kruga: ( X - 3) 2 + (y + 1) 2 = 10.

(Slajd 19)

№ 12. Napišite jednačinu kružnice sa centrom I(3;2) prolazeći AT(7;5).

Odluka.

1. Centar kruga - I(3;2);
2.R = AB;
AB 2 = (7 – 3) 2 + (5 – 2) 2 = 25; AB = 5;
3. Jednačina kružnice ( X – 3) 2 + (at − 2) 2 = 25.

(Slajd 20)

№ 13. Proverite da li tačke leže I(1; -1), AT(0;8), OD(-3; -1) na krugu datom jednadžbom ( X + 3) 2 + (at − 4) 2 = 25.

Odluka.

I. Zamijenite koordinate tačke I(1; -1) u jednadžbu kruga:

(1 + 3) 2 + (−1 − 4) 2 = 25;
4 2 + (−5) 2 = 25;
16 + 25 = 25;
41 \u003d 25 - jednakost je netočna, što znači I(1; -1) ne laže na krugu datom jednadžbom ( X + 3) 2 + (at − 4) 2 = 25.

II. Zamijenite koordinate tačke AT(0;8) u jednadžbu kruga:

(0 + 3) 2 + (8 − 4) 2 = 25;
3 2 + 4 2 = 25;
9 + 16 = 25;
AT(0;8)laži X + 3) 2 + (at − 4) 2 = 25.

III. Zamijenite koordinate tačke OD(-3; -1) u jednadžbu kruga:

(−3 + 3) 2 + (−1− 4) 2 = 25;
0 2 + (−5) 2 = 25;
25 = 25 - jednakost je tačna, dakle OD(-3; -1) laži na krugu datom jednadžbom ( X + 3) 2 + (at − 4) 2 = 25.

Sažetak lekcije.

1. Ponavljanje: jednačina kružnice, jednačina kružnice sa središtem u početku.
2. (Slajd 21) Zadaća.

Analitička geometrija pruža jedinstvene metode za rješavanje geometrijskih problema. Da bi se to uradilo, sve date i željene tačke i prave se odnose na isti koordinatni sistem.

U koordinatnom sistemu svaka tačka se može okarakterisati svojim koordinatama, a svaka prava jednačinom sa dve nepoznanice, čiji je graf ova prava. Tako se geometrijski problem svodi na algebarski, gdje su sve metode proračuna dobro razvijene.

Krug je lokus tačaka sa jednim specifičnim svojstvom (svaka tačka kružnice je jednako udaljena od jedne tačke, koja se zove centar). Jednačina kruga mora odražavati ovo svojstvo, zadovoljiti ovaj uvjet.

Geometrijska interpretacija jednačine kružnice je linija kružnice.

Ako krug postavimo u koordinatni sistem, onda sve tačke kruga zadovoljavaju jedan uslov - udaljenost od njih do centra kruga mora biti ista i jednaka kružnici.

Krug u centru u tački I i radijus R postavljen u koordinatnu ravan.

Ako su koordinate centra (a;b) , i koordinate bilo koje tačke na kružnici (x; y) , tada jednačina kruga ima oblik:

Ako je kvadrat polumjera kružnice jednak zbroju kvadrata razlika odgovarajućih koordinata bilo koje tačke na kružnici i njenog centra, onda je ova jednadžba jednačina kružnice u ravnom koordinatnom sistemu.

Ako se središte kruga poklapa s početnom točkom, tada je kvadrat polumjera kruga jednak zbroju kvadrata koordinata bilo koje točke na kružnici. U ovom slučaju, jednačina kruga ima oblik:

Stoga je svaka geometrijska figura kao lokus tačaka određena jednadžbom koja povezuje koordinate njenih tačaka. Obrnuto, jednačina koja povezuje koordinate X i at , definirati pravu kao mjesto tačaka u ravni čije koordinate zadovoljavaju datu jednačinu.

Primjeri rješavanja zadataka o jednadžbi kružnice

Zadatak. Napišite jednačinu za dati krug

Napišite jednačinu za kružnicu sa centrom u tački O (2;-3) i poluprečnika 4.

Odluka.
Okrenimo se formuli jednadžbe kružnice:
R 2 \u003d (x-a) 2 + (y-b) 2

Zamijenite vrijednosti u formulu.
Poluprečnik kruga R = 4
Koordinate centra kruga (prema uslovu)
a = 2
b=-3

Dobijamo:
(x - 2 ) 2 + (y - (-3 )) 2 = 4 2
ili
(x - 2 ) 2 + (y + 3 ) 2 = 16 .

Zadatak. Da li tačka pripada jednačini kružnice

Provjerite pripada li bod A(2;3) kružna jednačina (x - 2) 2 + (y + 3) 2 = 16 .

Odluka.
Ako tačka pripada kružnici, tada njene koordinate zadovoljavaju jednadžbu kružnice.
Da bismo provjerili pripada li tačka sa datim koordinatama krugu, u jednačinu date kružnice zamjenjujemo koordinate te tačke.

U jednačini ( x - 2) 2 + (y + 3) 2 = 16
zamjenjujemo, prema uslovu, koordinate tačke A (2; 3), tj
x=2
y=3

Provjerimo istinitost dobijene jednakosti
(x - 2) 2 + (y + 3) 2 = 16
(2 - 2) 2 + (3 + 3) 2 = 16
0 + 36 = 16 jednakost je pogrešna

Dakle, data tačka ne pripada zadata jednačina kružnice.

obim je skup tačaka u ravni jednako udaljenih od date tačke, koja se naziva središte.

Ako je tačka C centar kružnice, R njen poluprečnik, a M proizvoljna tačka na kružnici, onda po definiciji kružnice

Jednakost (1) je kružna jednačina poluprečnik R sa centrom u tački C.

Neka su pravougaoni Dekartov koordinatni sistem (slika 104) i tačka C ( a; b) je centar kružnice poluprečnika R. Neka je M( X; at) je proizvoljna tačka ovog kruga.

Od |CM| = \(\sqrt((x - a)^2 + (y - b)^2) \), tada se jednačina (1) može napisati na sljedeći način:

\(\sqrt((x - a)^2 + (y - b)^2) \) = R

(x-a) 2 + (y - b) 2 = R 2 (2)

Jednačina (2) se zove opšta jednačina kružnice ili jednačina kružnice poluprečnika R sa središtem u tački ( a; b). Na primjer, jednadžba

(x - l) 2 + ( y + 3) 2 = 25

je jednadžba kružnice polumjera R = 5 sa centrom u tački (1; -3).

Ako se centar kruga poklapa sa ishodištem, onda jednačina (2) poprima oblik

x 2 + at 2 = R 2 . (3)

Jednačina (3) se zove kanonska jednadžba kruga .

Zadatak 1. Napišite jednačinu za krug poluprečnika R = 7 sa centrom u početku.

Direktnom zamjenom vrijednosti radijusa u jednačinu (3), dobijamo

x 2 + at 2 = 49.

Zadatak 2. Napišite jednačinu za kružnicu polumjera R = 9 sa centrom u tački C(3; -6).

Zamjenom vrijednosti koordinata tačke C i vrijednosti radijusa u formulu (2) dobijamo

(X - 3) 2 + (at- (-6)) 2 = 81 ili ( X - 3) 2 + (at + 6) 2 = 81.

Zadatak 3. Pronađite centar i polumjer kružnice

(X + 3) 2 + (at-5) 2 =100.

Upoređujući ovu jednačinu sa opštom kružnom jednačinom (2), vidimo da a = -3, b= 5, R = 10. Dakle, S(-3; 5), R = 10.

Zadatak 4. Dokažite da je jednačina

x 2 + at 2 + 4X - 2y - 4 = 0

je jednačina kružnice. Pronađite njegov centar i polumjer.

Transformirajmo lijevu stranu ove jednadžbe:

x 2 + 4X + 4- 4 + at 2 - 2at +1-1-4 = 0

(X + 2) 2 + (at - 1) 2 = 9.

Ova jednačina je jednačina kružnice sa centrom na (-2; 1); poluprečnik kruga je 3.

Zadatak 5. Napišite jednačinu kružnice sa centrom u tački C(-1; -1) koja dodiruje pravu liniju AB ako je A (2; -1), B(-1; 3).

Napišimo jednačinu prave AB:

ili 4 X + 3y-5 = 0.

Pošto je kružnica tangenta na datu pravu, poluprečnik povučen do tačke dodira je okomit na ovu pravu. Da biste pronašli radijus, morate pronaći udaljenost od tačke C (-1; -1) - središta kruga do prave linije 4 X + 3y-5 = 0:

Napišimo jednačinu željenog kruga

(x +1) 2 + (y +1) 2 = 144 / 25

Neka je kružnica data u pravougaonom koordinatnom sistemu x 2 + at 2 = R 2 . Razmotrimo njegovu proizvoljnu tačku M( X; at) (Sl. 105).

Neka je radijus vektor OM> tačka M formira ugao veličine t sa pozitivnim smjerom O ose X, tada se apscisa i ordinata tačke M mijenjaju ovisno o t

(0 t x i y kroz t, mi nalazimo

x= Rcos t ; y= R sin t , 0 t

Jednačine (4) se nazivaju parametarske jednadžbe kružnice sa centrom u početku.

Zadatak 6. Krug je dat jednadžbama

x= \(\sqrt(3)\)cos t, y= \(\sqrt(3)\)sin t, 0 t

Napišite kanonsku jednačinu za ovaj krug.

To proizilazi iz uslova x 2 = 3 cos 2 t, at 2 = 3 sin 2 t. Sabirajući ove jednakosti pojam po član, dobijamo

x 2 + at 2 = 3 (cos 2 t+ grijeh 2 t)

ili x 2 + at 2 = 3

Neka krug ima polumjer , a njegov centar je u tački
. Dot
leži na kružnici ako i samo ako je modul vektora
jednaki , to je. Posljednja jednakost vrijedi ako i samo ako

Jednačina (1) je željena kružna jednačina.

Jednačina prave linije koja prolazi kroz datu tačku je okomita na dati vektor

okomito na vektor
.

Dot

i
su okomite. Vektori
i
su okomite ako i samo ako je njihov dot proizvod jednak nuli, tj.
. Koristeći formulu za izračunavanje skalarnog proizvoda vektora datih njihovim koordinatama, zapisujemo jednačinu željene prave u obliku

Razmotrimo primjer. Naći jednačinu prave linije koja prolazi

sredina segmenta AB je okomita na ovaj segment ako su koordinate tačaka respektivno jednake A (1; 6), B (5; 4).

Mi ćemo argumentirati na sljedeći način. Da bismo pronašli jednačinu prave, moramo znati tačku kroz koju ova prava linija prolazi i vektor okomit na ovu pravu liniju. Vektor okomit na ovu pravu biće vektor, pošto je, prema uslovu zadatka, prava okomita na segment AB. Poenta
određujemo iz uslova da prava prolazi središtem AB. Imamo . Na ovaj način
i jednačina će poprimiti oblik.

Pojasnimo pitanje da li ova prava prolazi kroz tačku M(7;3).

Imamo , što znači da ova linija ne prolazi kroz navedenu tačku.

Jednačina prave linije koja prolazi kroz datu tačku, paralelna sa datim vektorom

Neka prava prolazi kroz tačku
paralelno sa vektorom
.

Dot
leži na pravoj ako i samo ako su vektori
i
kolinearno. Vektori
i
su kolinearni ako i samo ako su njihove koordinate proporcionalne, tj.

(3)

Rezultirajuća jednačina je jednačina željene prave linije.

Jednačina (3) se može predstaviti kao

, gdje uzima bilo koju vrijednost
.

Dakle, možemo pisati

, gdje
(4)

Sistem jednačina (4) naziva se parametarske jednačine prave.

Razmotrimo primjer. Naći jednačinu prave linije koja prolazi kroz tačke. Možemo konstruisati jednačinu prave ako znamo tačku i vektor paralelan ili okomit na nju. Dostupne su dvije tačke. Ali ako dvije tačke leže na pravoj, tada će vektor koji ih povezuje biti paralelan s ovom pravom. Stoga koristimo jednačinu (3), uzimajući kao vektor
vektor
. Dobijamo

(5)

Jednačina (5) se naziva jednačina prave koja prolazi kroz dvije date tačke.

Opšta jednačina prave linije

Definicija. Opšta jednačina prave prvog reda na ravni je jednačina oblika
, gdje
.

Teorema. Bilo koja prava linija u ravni može se dati kao jednačina prve linije, a svaka jednačina prve linije je jednačina neke prave linije u ravni.

Prvi dio ove teoreme je lako dokazati. Na bilo kojoj liniji možete odrediti tačku
vektor okomit na njega
. Tada, prema (2), jednačina takve prave linije ima oblik Označite
. Tada će jednačina poprimiti oblik
.

Pređimo sada na drugi dio teoreme. Neka postoji jednačina
, gdje
. Radi određenosti, pretpostavićemo
.

Prepišimo jednačinu u obliku:

;

Razmotrite tačku na ravni
, gdje
. Tada rezultirajuća jednadžba ima oblik , i je jednačina prave linije koja prolazi kroz tačku
okomito na vektor
. Teorema je dokazana.

U procesu dokazivanja teoreme smo usput dokazali

Izjava. Ako postoji jednačina prave linije
, zatim vektor
okomito na ovu pravu.

Tipska jednadžba
naziva se opšta jednačina prave linije u ravni.

Neka bude linija
i tačka
. Potrebno je odrediti udaljenost od navedene tačke do linije.

Razmotrite proizvoljnu tačku
na pravoj liniji. Imamo
. Razdaljina sa tačke
na pravu jednak je modulu projekcije vektora
po vektoru
okomito na ovu pravu. Imamo

,

transformacija, dobijamo formulu:

Neka su dvije prave date općim jednačinama

,
. Zatim vektori

okomito na prvu i drugu liniju, respektivno. Ugao
između linija jednak je kutu između vektora
,
.

Tada je formula za određivanje ugla između linija:

.

Uslov okomitosti linija ima oblik:

.

Prave su paralelne ili se poklapaju ako i samo ako su vektori

kolinearno. Gde uslov podudarnosti linija ima oblik:
,

a uslov da nema raskrsnice zapisuje se kao:
. Dokažite posljednja dva uslova sami.

Hajde da istražimo ponašanje prave linije prema njenoj opštoj jednačini.

Neka je data opšta jednačina prave
. Ako
, tada prava prolazi kroz ishodište.

Razmotrimo slučaj kada nijedan koeficijent nije jednak nuli
. Prepisujemo jednačinu u obliku:

,

,

Gdje
. Saznajte značenje parametara
. Pronađite tačke preseka prave sa koordinatnim osa. At
imamo
, i kada
imamo
. To je
- to su segmenti koji su odsječeni ravnom linijom na koordinatnoj osi. Dakle, jednačina
naziva se jednadžba prave linije u segmentima.

Kada
imamo

. Kada
imamo
. Odnosno, prava će biti paralelna sa osom .

Prisjetite se toga nagib prave linije naziva se tangenta ugla nagiba ove linije prema osi
. Neka ravna linija odsiječe na osi linijski segment i ima nagib . Pusti poentu
leži na ovome

Onda
==. I jednačina prave linije će biti zapisana u obliku

.

Neka prava prolazi kroz tačku
i ima nagib . Pusti poentu
leži na ovoj liniji.

Onda =
.

Rezultirajuća jednačina naziva se jednačina prave linije koja prolazi kroz datu tačku sa datim nagibom.

Neka su date dvije linije
,
. Označite
je ugao između njih. Neka ,uglovi nagiba prema X osi odgovarajućih linija

Onda
=
,
.

Tada uslov paralelnih pravih ima oblik
, i uslov okomitosti

U zaključku, razmatramo dva problema.

Zadatak . Vrhovi trougla ABC imaju koordinate: A(4;2), B(10;10), C(20;14).

Naći: a) jednačinu i dužinu medijane povučene iz temena A;

b) jednačina i dužina visine povučene iz temena A;

c) jednačina simetrale povučene iz temena A;

Definirajmo jednačinu medijane AM.

Tačka M () je sredina segmenta BC.

Onda , . Dakle, tačka M ima koordinate M(15;17). Jednačina medijana na jeziku analitičke geometrije je jednačina prave linije koja prolazi kroz tačku A (4; 2) paralelno sa vektorom = (11; 15). Tada je jednačina medijana Srednja dužina AM= .

AS jednačina visine je jednačina prave linije koja prolazi kroz tačku A(4;2) okomito na vektor =(10;4). Tada je jednadžba visine 10(x-4)+4(y-2)=0, 5x+2y-24=0.

Dužina visine je rastojanje od tačke A (4; 2) do prave BC. Ova prava linija prolazi kroz tačku B(10;10) paralelno sa vektorom =(10;4). Njegova jednadžba je , 2x-5y+30=0. Udaljenost AS od tačke A(4;2) do prave BC, dakle, jednaka je AS= .

Da bismo odredili jednačinu simetrale, nalazimo vektor paralelan ovoj pravoj. Da bismo to učinili, koristimo svojstvo dijagonale romba. Ako su jedinični vektori odvojeni od tačke A i jednako su usmereni sa vektorima, tada će vektor jednak njihovom zbiru biti paralelan sa simetralom. Tada imamo =+.

={6;8}, , ={16,12}, .

Tada = Vektor = (1; 1), kolinearan na datu, može poslužiti kao vektor pravca željene prave. Tada jednačina željene linije ima x-y-2=0.

Zadatak. Rijeka teče pravolinijski prolazeći kroz tačke A(4;3) i B(20;11). Crvenkapica živi na tački C(4;8), a njena baka na tački D(13;20). Crvenkapica svakog jutra uzima praznu kantu iz kuće, odlazi do rijeke, uzima vodu i nosi je svojoj baki. Pronađite najkraći put za Crvenkapicu.

Nađimo tačku E, simetričnu prema baki, u odnosu na rijeku.

Da bismo to učinili, prvo pronađemo jednadžbu prave linije duž koje rijeka teče. Ova jednačina se može posmatrati kao jednačina prave linije koja prolazi kroz tačku A(4;3) paralelno sa vektorom. Tada jednačina prave AB ima oblik.

Zatim, nalazimo jednačinu prave DE koja prolazi kroz tačku D okomito na AB. Može se posmatrati kao jednačina prave linije koja prolazi kroz tačku D, okomitu na vektor
. Imamo

Sada pronađimo tačku S - projekciju tačke D na pravu AB, kao presek pravih AB i DE. Imamo sistem jednačina

.

Dakle, tačka S ima koordinate S(18;10).

Budući da je S središte segmenta DE, onda .

Isto tako.

Dakle, tačka E ima koordinate E(23;0).

Nađimo jednačinu prave CE, znajući koordinate dvije tačke ove prave

Tačku M nalazimo kao presek pravih AB i CE.

Imamo sistem jednačina

.

Dakle, tačka M ima koordinate
.

Tema 2 Koncept jednačine površine u prostoru. Jednačina sfere. Jednačina ravni koja prolazi kroz datu tačku je okomita na dati vektor. Opšta jednačina ravnine i njeno proučavanje Uslov paralelnosti dve ravni. Udaljenost od tačke do ravni. Koncept jednačine linija. Prava linija u prostoru. Kanoničke i parametarske jednačine prave u prostoru. Jednačine prave koja prolazi kroz dvije date tačke. Uslovi paralelizma i okomitosti prave i ravni.

Prvo, hajde da definišemo pojam jednačine površine u prostoru.

Pustite u svemir
data je neka površina . Jednačina
naziva se površinska jednačina ako su ispunjena dva uslova:

1.za bilo koju tačku
sa koordinatama
ležeći na površini,
, odnosno njegove koordinate zadovoljavaju jednačinu površine;

2. bilo koja tačka
, čije koordinate zadovoljavaju jednačinu
, leži na liniji.