ट्रैपेज़िंग फॉर्मूला की एक मध्यम रेखा है। स्क्वायर ट्रैपेज़ियम

ट्रेपेज़ियम का वर्ग। अभिवादन! इस प्रकाशन में, हम निर्दिष्ट सूत्र पर विचार करेंगे। ऐसा क्यों है और इसे कैसे समझें। यदि कोई समझ है, तो आपको इसे सिखाने की कोई आवश्यकता नहीं है। यदि आप बस इस सूत्र को देखना चाहते हैं और तत्काल क्या है, तो आप तुरंत पृष्ठ को नीचे स्क्रॉल कर सकते हैं))

अब विस्तार से और क्रम में।

ट्रेपेज़ियम एक चतुर्भुज है, इस quadriller के दो पक्ष समानांतर हैं, दो अन्य हैं। जो समानांतर नहीं हैं - यह ट्रेपेज़ियम की नींव है। दो अन्य को साइड पार्टियां कहा जाता है।

यदि साइड पक्ष बराबर हैं, तो ट्रेपेज़ियम को एक अलग कहा जाता है। यदि पक्षों के एक पक्ष के आधार पर लंबवत हैं, तो इस तरह के एक ट्रेपेज़ियम को आयताकार कहा जाता है।

क्लासिक रूप में, ट्रैपेज़ॉइड को निम्नानुसार चित्रित किया गया है - बड़ा आधार क्रमशः नीचे है। लेकिन कोई भी इसे दर्शाने वाले मना करता है और इसके विपरीत। यहां स्केच हैं:

निम्नलिखित महत्वपूर्ण अवधारणा।

ट्रेपेज़ियम की मध्य रेखा एक सेगमेंट है जो पक्ष के बीच को जोड़ती है। मध्य रेखा ट्रेपेज़ियम के आधार के समानांतर है और आधे सेमिट के बराबर है।

अब चलो गहरी सांस लें। क्यों?

मैदान के साथ एक ट्रेपेज़ियम पर विचार करें ए और बी। और मध्यम रेखा के साथ एल और मैं कुछ अतिरिक्त निर्माण करूंगा: आधार के माध्यम से सीधे, और मध्य रेखा के सिरों के माध्यम से अड्डों के साथ चौराहे के लिए लंबवत होगा:

* अनावश्यक पदों से बचने के लिए शिखर और अन्य बिंदुओं के वर्णमाला पदनाम जानबूझकर पेश नहीं किए जाते हैं।

देखो, त्रिकोण 1 और 2 त्रिभुज, त्रिकोण 3 और 4 की समानता के दूसरे आधार पर समान हैं। त्रिकोणों की समानता से, तत्वों की समानता का पालन किया जाता है, अर्थात् कैथेट (वे तदनुसार नीले और लाल के अनुसार संकेतित होते हैं)।

अब ध्यान दें! यदि हम नीले और लाल खंड के निचले आधार से मानसिक रूप से "कटौती" करते हैं, तो हमारे पास एक सेगमेंट होगा (यह आयताकार का पक्ष है) मध्य रेखा के बराबर है। इसके अलावा, अगर हम "गोंद" को ट्रैपेज़ियम के ऊपरी आधार पर नीले और लाल खंडों में कटौती करते हैं, तो हमारे पास ट्रेपेज़ियम की मध्य रेखा के बराबर एक सेगमेंट भी है (यह एक आयताकार पक्ष भी है)।

पकड़ा हुआ? यह पता चला है कि अड्डों की मात्रा Trapezoid की दो मध्य रेखाओं के बराबर होगी:

एक और स्पष्टीकरण देखें

हम निम्नलिखित करेंगे - हम ट्रैपेज़ॉयड और सीधी के निचले आधार के माध्यम से गुजरने वाली सीधी रेखा का निर्माण करेंगे, जो अंक ए और बी के माध्यम से गुजरेंगे:

हम त्रिकोण 1 और 2 प्राप्त करते हैं, वे पक्ष के बराबर होते हैं और कोनों के समीप होते हैं (त्रिकोणों की समानता का दूसरा संकेत)। इसका मतलब यह है कि परिणामी सेगमेंट (स्केच पर इसे नामित नीला है) ट्रेपेज़ियम के ऊपरी आधार के बराबर है।

अब त्रिभुज पर विचार करें:

* इस ट्रेपेज़ियम की मध्य रेखा और त्रिभुज की मध्य रेखा का सामना करना पड़ता है।

यह ज्ञात है कि त्रिभुज इसके समानांतर आधार के बराबर है, यह है:

खैर, पता लगाया। अब ट्रेपेज़ियम के वर्ग के बारे में।

फॉर्मूला ट्रैपेज़ियम स्क्वायर:

वे कहते हैं: ट्रेपेज़ियम का वर्ग अड्डों और ऊंचाई के रूप में आधे के काम के बराबर है।

यही है, यह पता चला है कि यह मिडलाइन और ऊंचाई के उत्पाद के बराबर है:

आप शायद पहले ही देख चुके हैं कि यह स्पष्ट है। इसे व्यक्त करने के लिए ज्यामितीय रूप से हो सकता है: यदि हम मानसिक रूप से ट्रैपेज़ॉयड त्रिकोण 2 और 4 काटते हैं और उन्हें तदनुसार त्रिकोण 1 और 3 पर डाल देते हैं:

कि हमारे पास हमारे ट्रेपेज़ियम के क्षेत्र के बराबर वर्ग पर एक आयताकार होगा। इस आयत का क्षेत्र मिडलाइन और ऊंचाई के उत्पाद के बराबर होगा, यानी हम लिख सकते हैं:

लेकिन यहां बिंदु रिकॉर्ड में नहीं है, लेकिन समझ में।

* पीडीएफ प्रारूप में आलेख लेख डाउनलोड करें (देखें)

बस इतना ही। आपके लिए सफलता!

ईमानदारी से, अलेक्जेंडर।

इस लेख में हम ट्रैपेज़ियम के गुणों को पूरी तरह से प्रतिबिंबित करने के लिए जितना संभव हो सके कोशिश करेंगे। विशेष रूप से, हम ट्रैपेज़ियम के सामान्य संकेतों और गुणों के साथ-साथ अंकित ट्रैपेज़ियम के गुणों और ट्रैपेज़ियम में अंकित सर्कल के बारे में बात करेंगे। हम एक दुर्गम और आयताकार ट्रैपेज़ियम के गुणों को प्रभावित करते हैं।

विचार किए गए गुणों का उपयोग करके समस्या को हल करने का एक उदाहरण आपको मेरे सिर में स्थानों पर विघटन करने में मदद करेगा और सामग्री को याद रखना बेहतर है।

ट्रेपेज़ और ऑल-ऑल-ऑल

शुरू करने के लिए, यह संक्षेप में याद है कि एक ट्रेपेज़ियम क्या है और इसके साथ अन्य अवधारणाएं कैसे जुड़ी हैं।

तो, ट्रेपेज़ियम - आकृति-चतुर्भुज, जिनमें से दो पक्ष एक दूसरे के समानांतर हैं (यह नींव है)। और दो समानांतर नहीं हैं - ये पक्ष हैं।

ट्रेपेज़ियम में, ऊंचाई को कम किया जा सकता है - आधार के लिए लंबवत। मध्य रेखा और विकर्ण प्रदर्शन किया गया। और बाईज़ेक्टर को ले जाने के लिए ट्रैपेज़ियम के किसी भी कोण से भी संभव है।

इन सभी तत्वों और उनके संयोजनों से जुड़े विभिन्न गुणों के बारे में, हम अब बात करेंगे।

विकर्ण ट्रेपेज़ियम की गुण

पढ़ने के दौरान स्पष्ट होने के लिए, अपने आप को एक्लेस की एक शीट पर स्केच करें और इसमें विकर्ण खर्च करें।

1. यदि आपको प्रत्येक विकर्ण के बीच मिलते हैं (हम इन बिंदुओं को एक्स और टी को इंगित करते हैं) और उन्हें कनेक्ट करते हैं, तो यह एक सेगमेंट बदल जाता है। ट्रेपेज़ियम के विकर्णों के गुणों में से एक इस तथ्य में निहित है कि एचटी का सेगमेंट मिडलाइन पर है। और इसकी लंबाई अड्डों में अंतर को दो के लिए अलग करके प्राप्त की जा सकती है: Ht \u003d (a - b) / 2.
2. हमारे सामने, सभी एक ही ट्रेपेज़ियम Acme। विकर्ण ओ के बिंदु पर छेड़छाड़ करते हैं। चलो ओओ के त्रिकोण और आईओसी को ट्रेपेज़ियम के आधार के साथ विकर्णों के खंडों द्वारा गठित करते हैं। ये त्रिकोण समान हैं। समानता अनुपात के त्रिकोण ट्रैपेज़ॉयड के आधार के अनुपात के माध्यम से व्यक्त किया जाता है: के \u003d एई / किमी।
   त्रिकोण के क्षेत्रों का अनुपात, और आईओसी को के 2 गुणांक द्वारा वर्णित किया गया है।
3. सभी एक ही ट्रैपेज़ियम, बिंदु ओ पर छेड़छाड़ करने वाले समान विकर्णों केवल इस बार हम त्रिभुजों पर विचार करेंगे जो ट्रेपेज़ियम के किनारों के साथ एक साथ किए गए विकर्णों को काटते हैं। अको और इमो के त्रिकोण का क्षेत्र बराबर है - उनके वर्ग समान हैं।
4. ट्रैपेज़ियम की एक और संपत्ति में विकर्णों का निर्माण शामिल है। इसलिए, यदि आप एके और मुझे एक छोटे बेस की दिशा में रखते हैं, तो जल्दी या बाद में वे कुछ बिंदु पर पार करेंगे। इसके अलावा, ट्रेपेज़ियम के आधार के बीच के माध्यम से प्रत्यक्ष खर्च होगा। यह अंक x और टी पर नींव पार करता है।
   अगर हम अब प्रत्यक्ष एचटी का विस्तार करते हैं, तो यह ट्रेपेज़ॉइड के विकर्णों के छेड़छाड़ के बिंदु को एक साथ जोड़ देगा, जिस बिंदु में पक्ष की निरंतरता और आधार x और टी के बीच में।
5. विकर्णों के चौराहे के बिंदु के माध्यम से, हम एक सेगमेंट को पूरा करते हैं जो ट्रेपेज़ियन के आधार को जोड़ता है (टी सीएम के छोटे आधार पर स्थित है, एक्स - बड़े एई पर)। विकर्णों का चौराहा बिंदु इस खंड को निम्नलिखित अनुपात में विभाजित करता है: फिर / ओह \u003d किमी / एई.
6. और अब विकर्णों के चौराहे बिंदु के माध्यम से, हम सेगमेंट के ट्रेपेज़ॉइड (ए और बी) के समानांतर अड्डों को पूरा करेंगे। चौराहे बिंदु इसे दो बराबर भागों में विभाजित करेगा। आप सूत्र द्वारा सेगमेंट की लंबाई पा सकते हैं 2AB / (A + B).

मध्य रेखा की गुण

ट्रैपेज़ियम में मध्य रेखा इसके आधार पर समानांतर।

1. ट्रैपेज़ियम की मध्य रेखा की लंबाई की गणना की जा सकती है यदि बेस लंबाई तब्दील हो जाती है और उन्हें आधे में विभाजित करने के लिए: m \u003d (a + b) / 2.
2. यदि आप दोनों आधारों के माध्यम से किसी भी सेगमेंट (ऊंचाई के लिए ऊंचाई) के एक ट्रेपेज़ियम के माध्यम से खर्च करते हैं, तो मध्य रेखा इसे दो बराबर भागों में विभाजित करेगी।

संपत्ति बिसेक्टर ट्रैपेज़ियम

ट्रेपेज़ और श्रवण का कोई भी कोण चुनें। उदाहरण के लिए, हमारे ट्रैपेज़िंग Acme का कोण लें। खुद को निर्माण करने के बाद, आप आसानी से सुनिश्चित कर सकते हैं कि द्विभाजक आधार से काट दिया गया है (या इसकी निरंतरता को पूरी तरह से बाहर की ओर से) पक्ष की ओर के समान लंबाई का खंड।

ट्रेपेज़ियम के कोनों की गुण

1. आपके द्वारा चुने गए कोनों के पक्ष में आसन्न के दो जोड़े में से क्या, जोड़ी में कोणों का योग हमेशा 180 0 होता है: α + β \u003d 180 0 और γ + δ \u003d 180 0।
2. Trapezoid सेगमेंट TX के आधार के बीच कनेक्ट करें। अब ट्रेपेज़ियम के आधार पर कोनों को देखें। यदि उनमें से किसी एक पर कोणों का योग 90 0 है, तो सेगमेंट TX की लंबाई आधार लंबाई में अंतर के आधार पर गणना करना आसान है, आधे में: TX \u003d (AE - KM) / 2.
3. यदि ट्रेपेज़ियम के कोण के किनारे के माध्यम से समानांतर सीधी रेखाएं ले जाने के लिए, वे आनुपातिक खंडों पर कोण के पक्ष को अलग करते हैं।

एक संतुलन (समान) ट्रेपेज़ियम के गुण

1. एक संतुलन ट्रैपेज़ियम में, कोण किसी भी आधार के बराबर होते हैं।
2. अब इस बारे में कल्पना करने के लिए फिर से एक ट्रैपेज़ बनाएं। एई के आधार पर सावधानी से देखो - विपरीत आधार मीटर के शीर्ष को एक सीधी रेखा पर एक प्रजाति में पेश किया जाता है जिसमें एई होता है। शीर्ष ए से लंबित मीटर के प्रक्षेपण के बिंदु से दूरी और एक समान ट्रेपेज़ियम की औसत रेखा बराबर है।
3. एक समान ट्रेपेज़ियम के विकर्ण की संपत्ति के बारे में कुछ शब्द - उनकी लंबाई बराबर होती है। साथ ही साथ ट्रैजियम के आधार पर इन विकर्णों को झुकाव के समान कोण।
4. केवल एक संतुलन ट्रेपेज़ियम के बारे में परिधि में वर्णित किया जा सकता है, क्योंकि चतुर्भुज 180 0 के विपरीत कोणों की राशि इसके लिए एक शर्त है।
5. पिछले अनुच्छेद से, एक संतुलन ट्रैपेज़ियम की संपत्ति निम्नानुसार है - यदि आप ट्रेपेज़ियन के पास सर्कल का वर्णन कर सकते हैं, तो यह एक समान है।
6. एक संतुलन ट्रेपेज़ियम की विशेषताओं में, ट्रेपेज़ियम की ऊंचाई बहती है: यदि इसके विकर्ण सही कोणों पर छेड़छाड़ करते हैं, तो ऊंचाई की लंबाई जमीन की आधे राशि के बराबर होती है: एच \u003d (ए + बी) / 2.
7. फिर, ट्रेपेज़ियम के आधार के माध्यम से TX का सेगमेंट खर्च करें - एक संतुलन ट्रेपेज़ियम में यह मैदान के लिए लंबवत है। और साथ ही TX - एक इन-बीमेड ट्रैपेज़ियम की समरूपता की धुरी।
8. इस बार एक बड़े आधार पर (हम इसे दर्शाते हैं) ट्रेपेज़ियम के विपरीत कशेरुक की ऊंचाई। यह दो खंडों को बदल देता है। एक की लंबाई तब पाया जा सकता है यदि आधार की लंबाई तब्दील हो जाती है और आधे से विभाजित होती है: (ए + बी) / 2। दूसरा जब हम बड़े आधार से, छोटे और परिणामी अंतर को दो में विभाजित करेंगे: (ए - बी) / 2.

सर्कल में शामिल ट्रैपेज़ियम के गुण

एक बार, यह सर्कल में अंकित ट्रैपेज़ॉयड के बारे में था, हम इस मुद्दे पर ध्यान केंद्रित करेंगे। विशेष रूप से, जहां सर्कल का केंद्र ट्रेपेज़ियम के संबंध में स्थित है। यहां यह भी सिफारिश की जाती है कि आप अपने हाथों में एक पेंसिल लेने के लिए आलसी न हों और नीचे चर्चा की जाएंगी इसके बारे में कुछ आकर्षित करें। तो आप तेजी से समझेंगे और बेहतर याद करेंगे।

1. सर्कल के केंद्र का स्थान ट्रैपेज़ॉयड विकर्ण के झुकाव के कोण द्वारा निर्धारित किया जाता है। उदाहरण के लिए, एक विकर्ण पक्ष के दाएं कोण पर एक ट्रेपेज़ियम के शीर्ष से बाहर निकल सकता है। इस मामले में, बड़ा आधार मध्यम (आर \u003d ½ae) में वर्णित सर्कल के केंद्र को पार करता है।
2. विकर्ण और पक्ष एक तीव्र कोण के नीचे हो सकता है - फिर सर्कल का केंद्र ट्रेपेज़ियम के अंदर है।
3. वर्णित सर्कल का केंद्र ट्रेपेज़ॉइड से परे हो सकता है, इसके बड़े आधार के लिए, यदि ट्रेपेज़ॉइड विकर्ण और पक्ष के बीच एक बेवकूफ कोण है।
4. विकर्ण द्वारा गठित कोण और एसीएमई ट्रेपेज़ियम (अंकित कोण) का बड़ा आधार उस केंद्रीय कोण का आधा है, जो इसके अनुरूप है: मई \u003d ½M।.
5. वर्णित सर्कल के त्रिज्या को खोजने के लिए संक्षेप में दो तरीकों से। विधि पहले: अपने ड्राइंग पर ध्यान से देखो - आप क्या देखते हैं? आप आसानी से देख सकते हैं कि विकर्ण दो त्रिकोणों में ट्रेपेज़ को तोड़ देता है। त्रिज्या त्रिभुज के पक्ष के विपरीत कोण के साइनस के अनुपात के माध्यम से पाया जा सकता है, दो से गुणा किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, R \u003d ae / 2 * पापी। इसी तरह, सूत्र को दोनों त्रिकोणों के किसी भी पक्ष के लिए चित्रित किया जा सकता है।
6. दूसरे की विधि: हमें विकर्ण, पक्ष और ट्रेपेज़ियम के आधार द्वारा गठित त्रिभुज के क्षेत्र के माध्यम से वर्णित सर्कल का त्रिज्या मिलती है: R \u003d am * me * ae / 4 * s.

सर्कल के पास वर्णित ट्रैपेज़ियम के गुण

यदि एक शर्त देखी जाती है तो आप एक ट्रैपेज़ियम में एक सर्किट दर्ज कर सकते हैं। इसके बारे में अधिक। और एक साथ आंकड़ों के इस संयोजन में कई रोचक गुण हैं।

1. यदि एक सर्कल को ट्रेपेज़ियन में अंकित किया गया है, तो इसकी मिडलाइन की लंबाई आसानी से पक्षों की लंबाई को फोल्ड करके और आधे में प्राप्त की गई राशि को विभाजित करके आसानी से मिल सकती है: m \u003d (c + d) / 2.
2. परिधि के पास वर्णित एक एसीएमई ट्रेपेज़ियम, बेस लम्बाई की राशि पक्षों की लंबाई के योग के बराबर होती है: एके + मी \u003d किमी + एई.
3. ट्रेपेज़ियम के आधार की इस संपत्ति से एक व्यस्त वक्तव्य का तात्पर्य है: सर्कल को उस ट्रेपेज़ियम में दर्ज किया जा सकता है, जिनके आधारों के योग के बराबर है।
4. ट्रैपेज़ियम में अंकित आर के त्रिज्या के साथ सर्कल को छूने का मुद्दा, दो खंडों से पक्ष को तोड़ देता है, चलो उन्हें ए और बी कहते हैं। सर्कल के त्रिज्या की गणना सूत्र द्वारा की जा सकती है: r \u003d √ab.
5. और एक और संपत्ति। उलझन में नहीं होने के क्रम में, यह उदाहरण भी खुद को आकर्षित करता है। हमारे पास सर्कल के पास वर्णित एकेमे का एक पुराना ट्रेपेज़ियन है। यह ओ के बिंदु पर तिरछा रूप से छेड़छाड़ कर रहा था। एओके के त्रिभुज और विकर्णों और पक्षों के कटौती द्वारा गठित पक्ष आयताकार हैं।
   इन त्रिकोणों की ऊंचाई, हाइपोटेनस (जो कि ट्रेपेज़ियम के पक्ष) पर कम हो गई है, जो अंकित सर्कल के त्रिज्या के साथ मेल खाती है। और ट्रेपेज़ियम की ऊंचाई - अंकित सर्कल के व्यास के साथ मेल खाता है।

एक आयताकार ट्रेपेज़ियम की गुण

आयताकार एक ट्रेपेज़ियम कहते हैं, जिनके कोनों में से एक प्रत्यक्ष है। और इसकी संपत्ति इस परिस्थिति से उत्पन्न होती है।

1. एक आयताकार ट्रेपेज़ियम में पार्श्व पक्षों में से एक आधार के लिए लंबवत है।
2. सीधे कोने के समीप ट्रैपेज़ियम की ऊंचाई और पक्ष बराबर हैं। यह आपको आयताकार ट्रैपेज़ियम (सामान्य सूत्र) के क्षेत्र की गणना करने की अनुमति देता है S \u003d (a + b) * h / 2) न केवल ऊंचाई के माध्यम से, बल्कि सीधे कोने के समीप साइड पक्ष के माध्यम से भी।
3. आयताकार ट्रैपेज़ियम के लिए, ट्रेपेज़ियम विकर्णों के सामान्य गुण उपरोक्त प्रासंगिक हैं।

कुछ ट्रेपेज़ियम गुणों का सबूत

एक दुर्गम ट्रेपेज़ियम के आधार पर कोणों की समानता:

• आपने शायद पहले से ही अनुमान लगाया है कि फिर से एक ट्रैपेज़ॉयड अक्मे की आवश्यकता होगी - एक समान रूप से चैग्रिन ट्रैपी बनाएं। माउंट के कशेरुक से सीधे एमटी समानांतर (माउंट || एके) के पक्ष में खर्च करें।

परिणामी चतुर्भुज एकेएमटी - समांतरोग्राम (एके || एमटी, किमी || at)। मेरे बाद से \u003d ka \u003d mt, δ एमटीए एक अध्यक्ष और मेथ \u003d एमटीटी है।

एके || माउंट, इसलिए, एमटीए \u003d केएई, मिले \u003d एमटीए \u003d का।

जहां से AKM \u003d 180 0 - मीट \u003d 180 0 - केट \u003d केएमई।

Q.E.D.

अब, एक संतुलन ट्रैपेज़ियम (विकर्ण की समानता) की संपत्ति के आधार पर, हम साबित करते हैं कि अक्मे ट्रैपेज़ियम एक समानता है:

• शुरू करने के लिए, हम प्रत्यक्ष एमएक्स - एमएक्स || खर्च करेंगे के। हमें केएमसीएच (बेस - एमएक्स || के और किमी || पूर्व) का समांतरोग्राम मिलता है।

Δamh एक अपशिष्ट है, क्योंकि am \u003d ke \u003d mx, और अधिकतम \u003d एमईए।

एमएक्स || के, केईए \u003d मॉस, इसलिए, मई \u003d मॉस।

हमने यह बताया है कि एके और ईएमए के त्रिकोण एक दूसरे के बराबर हैं, क्योंकि एएम \u003d के और एई - दो त्रिकोणों का आम पक्ष। साथ ही मई \u003d काई। हम एके \u003d आईयू का निष्कर्ष निकाल सकते हैं, और इसलिए यह इस प्रकार है और कि अक्मे ट्रेपेज़ियम एक अपशिष्ट है।

पुनरावृत्ति के लिए कार्य

ट्रैपेज़िंग एसीएमई का आधार 9 सेमी और 21 सेमी, 8 सेमी की तरफ की तरफ है, जो एक छोटे से आधार के साथ 150 0 का कोण बनाता है। यह ट्रेपेज़ियम का एक क्षेत्र खोजने की आवश्यकता है।

समाधान: शीर्ष से ऊंचाई को ट्रेपेज़ियम के बड़े आधार तक कम करने के लिए। और चलो ट्रेपेज़ियम के कोनों पर विचार करना शुरू करते हैं।

एईएम और कान के कोण एक तरफा हैं। और इसका मतलब है, वे राशि में 180 0 देते हैं। इसलिए, कान \u003d 30 0 (ट्रेपेज़ियम के कोणों के गुणों के आधार पर)।

अब हम आयताकार δank पर विचार करते हैं (मुझे लगता है कि यह क्षण अतिरिक्त सबूत के बिना पाठकों के लिए स्पष्ट है)। इससे हमें केएन ट्रैपेज़ियन की ऊंचाई मिल जाएगी - एक त्रिभुज में यह एक कैथेट है, जो 30 0 के कोण के विपरीत है। इसलिए, kn \u003d ½av \u003d 4 सेमी।

ट्रैपेज़ियम का क्षेत्र सूत्र द्वारा पाया जाता है: एस acme \u003d (km + ae) * kn / 2 \u003d (9 + 21) * 4/2 \u003d 60 सेमी 2।

अंतभाषण

यदि आप सावधानीपूर्वक और विचारपूर्वक इस लेख का अध्ययन करते हैं, तो मेरे पास सभी संपत्तियों के लिए एक ट्रेपेज़ियम खींचने के हाथों में एक पेंसिल नहीं था और उन्हें अभ्यास में अलग कर दिया गया था, सामग्री को अच्छी तरह समझा जाना था।

बेशक, यहां बहुत सारी जानकारी है, विविध और स्थानों में भी भ्रमित: वर्णित ट्रैपेज़ॉइड के गुणों को अंकित गुणों के साथ भ्रमित करना इतना मुश्किल नहीं है। लेकिन आपने खुद को यह सुनिश्चित किया कि अंतर बहुत बड़ा है।

अब आपके पास सभी सामान्य ट्रैपेज़ल गुणों का एक विस्तृत सारांश है। साथ ही एक अलग और आयताकार के ट्रेपेज़ॉइड के विशिष्ट गुण और संकेत। वे नियंत्रण और परीक्षाओं के लिए तैयार करने के लिए उपयोग करने के लिए बहुत सुविधाजनक हैं। इसे स्वयं आज़माएं और दोस्तों के साथ एक लिंक साझा करें!

blog.set, मूल स्रोत के लिए सामग्री संदर्भ की पूर्ण या आंशिक प्रतिलिपि के साथ आवश्यक है।

ट्रैपेज़ियम के किनारों के बीच को जोड़ने वाली सीधी रेखा का खंड को ट्रैपेज़ियम की मध्य रेखा कहा जाता है। औसत ट्रैपेज़ियम लाइन कैसे ढूंढें और यह इस आकृति के अन्य तत्वों के अनुरूप कैसे है, हम नीचे बताएंगे।

मध्य रेखा प्रमेय

एक ट्रैपेज़ियम बनाएं जिसमें विज्ञापन अधिक आधार है, बीसी एक छोटा आधार है, ईएफ - मध्य रेखा। आइए प्रति बिंदु डी की नींव जारी रखें डी। हम बीएफ लाइन करते हैं और बिंदु ओ पर बेस विज्ञापन की निरंतरता के साथ बातचीत करने के लिए इसे जारी रखते हैं। त्रिकोण δ बीसीएफ और δDFO पर विचार करें। कोनों ∟bcf \u003d ∟dfo लंबवत के रूप में। Cf \u003d df, ∟bcf \u003d ∟fdo, क्योंकि सूर्य // जेएससी। नतीजतन, त्रिकोण δbcf \u003d δdfo। इसलिए साइड bf \u003d fo।

अब δavo और δebf पर विचार करें। ∟abo दोनों त्रिकोणों के लिए आम है। हो / एबी \u003d ½ शर्त से, बीएफ / बो \u003d ½, δbcf \u003d δdfo के बाद से। नतीजतन, एबीओ और ईएफबी त्रिकोण समान हैं। इसलिए पार्टियों का अनुपात ईएफ / एओ \u003d ½, जैसा कि अन्य पक्षों का संबंध है।

हम ईएफ \u003d ½ एओ पाते हैं। ड्राइंग के अनुसार यह देखा जा सकता है कि एओ \u003d विज्ञापन + करते हैं। डीओ \u003d बीसी समान त्रिकोणों के पार्टियों के रूप में, इसका मतलब एओ \u003d एडी + बीसी है। इसलिए ef \u003d ½ एओ \u003d ½ (एडी + बीसी)। वे। औसत ट्रैपेज़ियम की लंबाई आधार के बराबर है।

क्या आधार के बीच के बराबर ट्रेपेज़ियन की हमेशा औसत रेखा है?

मान लीजिए कि एक विशेष मामला है जब ईएफ ≠ ½ (एडी + बीसी)। फिर सूर्य ≠, इसलिए, δBCF ≠ δdcf करें। लेकिन यह असंभव है, क्योंकि वे उनके बीच दो कोनों और पार्टियों के बराबर हैं। नतीजतन, प्रमेय सभी शर्तों के तहत सच है।

मध्य रेखा कार्य

मान लीजिए हमारे ट्रैपेज़ियम एवीडी एडी // सूर्य, ∟A \u003d 90 डिग्री, ∟C \u003d 135 डिग्री, एवी \u003d 2 सेमी, बैंड विकर्ण पक्ष की तरफ लंबवत है। EF Trapezoid की मध्य रेखा का पता लगाएं।

यदि ∟a \u003d 90 °, तो ∟V \u003d \u200b\u200b90 °, इसका मतलब है कि δavs आयताकार है।

∟BCA \u003d ∟BCD - ∟ACD। ∟ACD \u003d 90 ° शर्त, इसलिए, ∟BCA \u003d ∟BCD - ∟ACD \u003d 135 ° - 90 ° \u003d 45 °।

यदि एक कोण एक आयताकार त्रिभुज में 45 डिग्री है, तो इसका मतलब है कि Kartets बराबर हैं: av \u003d sun \u003d 2 सेमी।

Hypotenus as \u003d √ (av² + sun²) \u003d √8 सेमी।

Δacd पर विचार करें। ∟ACD \u003d 90 ° शर्त से। ∟CAD \u003d ∟BCA \u003d 45 डिग्री ट्रेपेज़ियम के अनुक्रमिक समानांतर अड्डों द्वारा गठित कोणों के रूप में। नतीजतन, सीएटीटी एसी \u003d सीडी \u003d √8 हैं।

हाइपोटेनस विज्ञापन \u003d √ (एसीए + सीडी²) \u003d √ (8 + 8) \u003d √16 \u003d 4 सेमी।

Trapezoid ef \u003d ½ (ad + bc) \u003d ½ (2 + 4) \u003d 3 सेमी की औसत पंक्ति।

इस लेख में, एक ट्रैपेज़ियम के साथ कार्यों का एक और चयन आपके लिए बनाया गया था। शर्तें किसी भी तरह से अपनी मध्य रेखा से जुड़ी हुई हैं। कार्यों के प्रकार को एक खुले बैंक के विशिष्ट कार्यों से लिया जाता है। यदि कोई इच्छा है, तो आप अपने सैद्धांतिक ज्ञान को ताज़ा कर सकते हैं। ब्लॉग पहले ही उन शर्तों के कार्यों पर विचार कर चुका है जिनसे भी जुड़े हुए हैं। संक्षेप में मिडलाइन के बारे में:

ट्रेपेज़ियम की मध्य रेखा किनारे के बीच को जोड़ती है। यह आधार के समानांतर है और आधे आधे के बराबर है।

कार्यों को हल करने से पहले, आइए सैद्धांतिक उदाहरण पर विचार करें।

दाना ट्रेपेज़ियम एबीसीडी। मध्य रेखा के साथ छेड़छाड़ करने वाले वक्ताओं का विकर्ण बिंदु के, बीडी पॉइंट एल का विकर्ण साबित होता है कि सेगमेंट केएल आधार में आधे अंतर के बराबर है।

आइए पहले इस तथ्य पर ध्यान दें कि ट्रैपेज़ॉयड की औसत पंक्ति आधे सेगमेंट में शेयर करती है जिसके आधार पर स्थित है। यह निष्कर्ष स्वयं सुझाव देता है। दो अंक बिंदुओं को जोड़ने वाले सेगमेंट की कल्पना करें, यह इस ट्रैपेज़ियम को दो अन्य लोगों में तोड़ देगा। यह पता चला है कि सेगमेंट ट्रेपेज़ियम के आधार के समानांतर है और दूसरी तरफ मध्य भाग के माध्यम से गुजर रहा है, इसके बीच से गुजर जाएगा।

यह फेलज़ प्रमेय पर भी आधारित है:

यदि दो में से एक क्रमशः क्रमशः कुछ हद तक बराबर सेगमेंट और अपने सिरों के माध्यम से समानांतर सीधे करने के लिए, दूसरे को पार कर रहा है, तो वे दूसरे प्रत्यक्ष बराबर खंडों में कटौती करेंगे।

यही है, इस मामले में, एसी और एल के बीच बीडी के बीच में है। नतीजतन, ईके एबीसी त्रिभुज की मध्य रेखा है, एलएफ डीसीबी त्रिभुज की मध्य रेखा है। त्रिभुज की मध्य रेखा के गुणों से:

अब हम आधार के माध्यम से केएल का एक खंड व्यक्त कर सकते हैं:

सिद्ध किया हुआ!

यह उदाहरण बिल्कुल ऐसा नहीं है। एक स्वतंत्र समाधान के लिए कार्यों में, ऐसा ही काम है। केवल यह नहीं कहता कि विकर्ण के बीच को जोड़ने वाले सेगमेंट मिडलाइन पर स्थित है। कार्यों पर विचार करें:

27819. यदि इसकी नींव 30 और 16 के बराबर हैं तो औसत ट्रैपेज़ॉयड लाइन खोजें।

सूत्र द्वारा गणना:

27820. औसत ट्रेपेज़ियम लाइन 28 है, और छोटा आधार 18 है। ट्रैपेज़ियम का एक बड़ा आधार खोजें।

एक्सप्रेस ग्रेटर बेस:

इस तरह:

27836. लंबवत, एक बेवकूफ कोण के ऊपर से छोड़ा गया एक अप्राप्य ट्रेपेज़ियम के बड़े आधार पर, इसे 10 और 4 रखने वाले हिस्सों में विभाजित करता है। इस ट्रेपेज़ियम की मध्य रेखा का पता लगाएं।

औसत रेखा को खोजने के लिए आपको नींव जानने की आवश्यकता है। एबी का आधार सरल है: 10 + 4 \u003d 14। डीसी खोजें।

हम दूसरे लंबवत डीएफ का निर्माण करते हैं:

कटौती एएफ, एफई और ईबी क्रमशः 4, 6 और 4 बराबर होंगे?

एक संतुलन ट्रैपेज़ियम में, एक बड़े आधार पर लंबवत इसे तीन खंडों में तोड़ दिया जाता है। उनमें से दो, जो कस्टम-निर्मित पारस्परिक त्रिकोण हैं, एक दूसरे के बराबर हैं। तीसरा खंड एक छोटे से आधार के बराबर है, क्योंकि ऊंचाई के निर्माण के दौरान एक आयताकार बनता है, और एक आयताकार में, विपरीत पार्टियां बराबर होती हैं। इस कार्य में:

इस प्रकार डीसी \u003d 6। गणना:

27839. ट्रेपेज़ियम के आधार में 2: 3 शामिल हैं, और मध्य रेखा के बराबर है। एक छोटा आधार खोजें।

हम आनुपातिकता का गुणांक पेश करते हैं। फिर av \u003d 3x, dc \u003d 2x। हम लिख सकते है:

इसलिए, एक छोटा आधार 2 ∙ 2 \u003d 4 है।

27840. एक समान ट्रेपेज़ियम का परिधि 80 है, इसकी मध्य रेखा पक्ष के बराबर है। Trapezoid के पक्ष को खोजें।

उस स्थिति के आधार पर हम लिख सकते हैं:

यदि आप x की मात्रा के माध्यम से औसत रेखा को नामित करते हैं, तो यह बाहर निकल जाएगा:

दूसरा समीकरण पहले से ही लिखा जा सकता है:

27841. ट्रैपेज़ियम की औसत रेखा 7 है, और इसके आधारों में से एक दूसरे से अधिक है। ट्रैपेज़ियम का एक बड़ा आधार खोजें।

एक्स के रूप में एक छोटे बेस (डीसी) को इंगित करें, फिर अधिक (एबी) एक्स + 4 होगा। हम लिख सकते हैं

यह प्राप्त किया गया था कि छोटे आधार पांच जल्दी है, इसका मतलब 9 के बराबर है।

27842. औसत ट्रेपेज़ियम लाइन 12 है। विकर्णों में से एक इसे दो खंडों में विभाजित करता है, जिसका अंतर 2. के बराबर है। ट्रेपेज़ियम का एक बड़ा आधार खोजें।

यदि हम ईओ के सेगमेंट की गणना करते हैं तो हम आसानी से ट्रेपेज़ियन की नींव पा सकते हैं। यह त्रिभुज एडीबी में मध्य रेखा है, और एवी \u003d 2 ∙ ईओ।

तुम्हारे पास क्या है? ऐसा कहा जाता है कि औसत रेखा 12 है और ईओ के सेगमेंट के बीच अंतर और 2 के बराबर है। हम दो समीकरण लिख सकते हैं और सिस्टम को हल कर सकते हैं:

यह स्पष्ट है कि इस मामले में गणना के बिना कुछ संख्याओं का चयन करना संभव है, यह 5 और 7 है। लेकिन, सभी के बाद, सिस्टम को हल करना:

इसका अर्थ है eo \u003d 12-5 \u003d 7। इस प्रकार, बड़ा आधार av \u003d 2 ∙ eo \u003d 14 है।

27844. एक समान ट्रेपेज़ियम, तिरछे लंबवत में। ट्रैपेज़ियम की ऊंचाई 12 है। इसकी मध्य रेखा खोजें।

तत्काल, हम ध्यान देते हैं कि एक संतुलन ट्रेपेज़ियम में विकर्ण के चौराहे बिंदु के माध्यम से आयोजित ऊंचाई समरूपता की धुरी पर निहित है और ट्रैपी को दो बराबर आयताकार ट्रैपेज़ियम में तोड़ देती है, यानी, इस ऊंचाई के आधार आधे से विभाजित हैं।

यह प्रतीत होता है कि मिडलाइन की गणना करने के लिए, हमें मैदान मिलना चाहिए। यहां एक छोटा डेडलॉक होता है ... ऊंचाई को जानना, इस मामले में, आधारों की गणना करें? और कैसे! 90 डिग्री के कोण में एक निश्चित ऊंचाई और विकर्ण के साथ इनमें से कई ट्रैपेज़ियम हैं। कैसे बनें?

मध्य रेखा सूत्र को देखो। आखिरकार, हमें खुद को आधार जानने की ज़रूरत नहीं है, यह उनके योग (या आधा असम) को जानने के लिए पर्याप्त है। यह हम कर सकते हैं।

चूंकि विकर्ण एक दाहिने कोण पर छेड़छाड़ करते हैं, इसलिए ईएफ ऊंचाई बराबर आयताकार त्रिकोण के साथ बनती है:

उपर्युक्त से यह निम्नानुसार है \u003d df \u003d fc, और oe \u003d ae \u003d eb। अब डीएफ और एई के खंडों के माध्यम से व्यक्त की गई ऊंचाई के बराबर लिखें:

इस प्रकार, मध्य रेखा 12 है।

* सामान्य रूप से, यह एक कार्य है, जैसा कि आप समझते हैं, मौखिक खाते के लिए। लेकिन, मुझे यकीन है कि प्रस्तुत विस्तृत स्पष्टीकरण आवश्यक है। और इसलिए ... यदि आप ड्राइंग को देखते हैं (बशर्ते कि विकर्णों के बीच कोण निर्माण के दौरान देखा गया हो), समानता के लिए \u003d df \u003d fc, और oe \u003d ae \u003d eb, आंख में पहुंचा है।

प्रोटोटाइप के हिस्से के रूप में, अभी भी ट्रेपेज़ के साथ कार्यों के प्रकार हैं। यह एक पिंजरे में एक शीट पर बनाया गया है और इसे मध्य रेखा को ढूंढना आवश्यक है, सेल का पक्ष आमतौर पर 1 होता है, लेकिन एक और मूल्य हो सकता है।

27848. औसत ट्रैपेज़ॉइड लाइन का पता लगाएं ऐ बी सी डी।यदि वर्ग कोशिकाओं के पक्ष 1 के बराबर होते हैं।

सबकुछ सरल है, कोशिकाओं द्वारा आधारों की गणना करता है और हम सूत्र का उपयोग करते हैं: (2 + 4) / 2 \u003d 3

यदि आधार सेलुलर ग्रिड के कोण पर बनाए जाते हैं, तो यह दो तरीके है। उदाहरण के लिए!

मध्य रेखा अवधारणा

शुरू करने के लिए, याद रखें कि किस प्रकार की आकृति को ट्रैपेज़ियम कहा जाता है।

परिभाषा 1।

एक ट्रेपेज़ियम को एक चतुर्भुज कहा जाता है, जिसमें दोनों पक्ष समानांतर होते हैं, और अन्य दो समानांतर नहीं होते हैं।

साथ ही, समांतर पक्षों को ट्रेपेज़ॉइड के आधार कहा जाता है, और समानांतर नहीं - ट्रेपेज़ॉइड की फुटपाथ।

परिभाषा 2।

ट्रेपेज़ियम की मध्य रेखा एक खंड है जो ट्रेपेज़ॉइड के किनारे के बीच से जुड़ रही है।

मध्य रेखा प्रमेय

अब हम प्रमेय को ट्रैपेज़ियम की मध्य रेखा के बारे में परिचय देते हैं और इसे एक वेक्टर विधि के साथ साबित करते हैं।

प्रमेय 1।

ट्रेपेज़ियम की मध्य रेखा आधार के समानांतर है और आधे आधे के बराबर है।

साक्ष्य।

आइए $ एडी / \\ बीसी $ के आधार के साथ $ एबीसीडी $ का एक ट्रेपेज़ियम दें। और $ mn $ - इस ट्रेपेज़ियम की मध्य रेखा (चित्र 1) की मध्य रेखा दें।

चित्रा 1. ट्रेपेज़ियम की मध्यम रेखा

हम साबित करते हैं कि $ mn || ad \\ और \\ mn \u003d \\ frac (ad + bc) (2) $।

वेक्टर $ \\ overrightarrow (mn) $ पर विचार करें। हम वैक्टर के अतिरिक्त के लिए बहुभुज के नियम का उपयोग करते हैं। एक ओर, हम इसे प्राप्त करते हैं

दूसरी ओर

अंतिम दो समानता को स्थानांतरित करना, हमें मिलता है

$ M $ और $ n $ - the trapeze के मध्य साइड पक्षों के बाद से, तो हमारे पास होगा

हम पाते हैं:

इसलिये

एक ही समानता से ($ \\ overrightarrow (बीसी) $ और $ \\ overrightarrow (विज्ञापन) $ के बाद से लेपित है, और इसलिए, कोलिनरीरी) हमें $ MN || विज्ञापन $ मिलता है।

प्रमेय साबित हुआ है।

ट्रेपेज़ की मध्य रेखा की अवधारणा के लिए कार्यों के उदाहरण

उदाहरण 1।

ट्रेपेज़ियम के किनारे क्रमशः $ 15 \\ सेमी $ और $ 17 \\ cm $ के बराबर हैं। ट्रैपेज़ियम का परिधि $ 52 \\ cm $ के बराबर है। Trapezoid की मध्य रेखा की लंबाई ज्ञात कीजिए।

फेसला।

$ N $ के माध्यम से औसत Trapezoid लाइन को इंगित करें।

पक्ष का योग बराबर है

इसलिए, चूंकि परिधि $ 52 \\ cm $ है, इसलिए आधार की मात्रा बराबर है

तो, प्रमेय 1 द्वारा, हमें मिलता है

उत्तर: $ 10 \\ cm $।

उदाहरण 2।

सर्कल व्यास के सिरों को क्रमशः, $ 9 $ 9 सेमी और $ 5 $ से हटा दिया जाता है, इस सर्कल के व्यास को खोजने के लिए देखें।

फेसला।

आइए $ O $ पॉइंट और $ AB $ व्यास पर एक केंद्र के साथ एक सर्कल दें। हम टैंगेंट $ एल $ करते हैं और हम दूरी $ ad \u003d 9 \\ cm $ और $ bc \u003d 5 \\ cm $ का निर्माण करते हैं। हम $ OH $ (चित्र 2) के त्रिज्या को पूरा करते हैं।

चित्र 2।

चूंकि $ विज्ञापन $ और $ बीसी $ - टेंगेंशियल की दूरी, फिर $ विज्ञापन \\ bot l $ और $ bc \\ bot l $ और $ OH $ - त्रिज्या, फिर $ OH \\ BOT L $, इसलिए, $ OH | \\ BExt | विज्ञापन \\ राइट || बीसी $। इससे हम सब कुछ प्राप्त करते हैं कि $ एबीसीडी $ एक ट्रैपेज़ियम है, और $ ओएच $ इसकी मध्य रेखा है। प्रमेय 1 द्वारा, हमें मिलता है