वृत्त समीकरण. समतल बिंदुओं के कार्तीय निर्देशांक. एक वृत्त का समीकरण एक वृत्त का समीकरण उदाहरण

पाठ का उद्देश्य:एक वृत्त के समीकरण का परिचय दें, छात्रों को तैयार ड्राइंग के अनुसार एक वृत्त का समीकरण बनाना सिखाएं, दिए गए समीकरण के अनुसार एक वृत्त बनाएं।

उपकरण: इंटरैक्टिव बोर्ड.

शिक्षण योजना:

1. संगठनात्मक क्षण - 3 मिनट।
2. दोहराव. मानसिक गतिविधि का संगठन - 7 मिनट।
3. नई सामग्री की व्याख्या. वृत्त समीकरण की व्युत्पत्ति - 10 मिनट।
4. अध्ययन की गई सामग्री का समेकन - 20 मिनट।
5. पाठ सारांश - 5 मिनट।

कक्षाओं के दौरान

2. दोहराव:

− (परिशिष्ट 1 स्लाइड 2) खंड के मध्य के निर्देशांक ज्ञात करने का सूत्र लिखिए;

− (स्लाइड 3) जेडबिंदुओं के बीच की दूरी (खंड की लंबाई) के लिए सूत्र लिखें।

3. नई सामग्री की व्याख्या.

(स्लाइड्स 4 - 6)वृत्त के समीकरण को परिभाषित करें. एक बिंदु पर केन्द्रित वृत्त के समीकरण व्युत्पन्न करें ( ए;बी) और मूल पर केंद्रित है।

(एक्स – ए ) 2 + (पर – बी ) 2 = आर 2 - केंद्र के साथ वृत्त समीकरण साथ (ए;बी) , RADIUS आर , एक्स और पर – वृत्त पर एक मनमाना बिंदु के निर्देशांक .

एक्स 2 + वाई 2 = आर 2 मूल बिंदु पर केन्द्रित एक वृत्त का समीकरण है।

(स्लाइड 7)

किसी वृत्त का समीकरण लिखने के लिए, आपको चाहिए:

• केंद्र के निर्देशांक जानें;
• त्रिज्या की लंबाई जानें;
• वृत्त समीकरण में केंद्र के निर्देशांक और त्रिज्या की लंबाई को प्रतिस्थापित करें।

4. समस्या समाधान.

कार्य संख्या 1 - संख्या 6 में, तैयार चित्रों के अनुसार वृत्त के समीकरण बनाएं।

(स्लाइड 14)

№ 7. तालिका में भरना।

(स्लाइड 15)

№ 8. समीकरणों के अनुसार नोटबुक में वृत्त बनाएं:

ए) ( एक्स – 5) 2 + (पर + 3) 2 = 36;
बी) (एक्स + 1) 2 + (पर– 7) 2 = 7 2 .

(स्लाइड 16)

№ 9. यदि केंद्र के निर्देशांक और त्रिज्या की लंबाई ज्ञात करें अबवृत्त का व्यास है.

दिया गया:		समाधान:
		आर	केंद्र समन्वय करता है
1	ए(0 ; -6) में(0 ; 2)	अब 2 = (0 – 0) 2 + (2 + 6) 2 ; अब 2 = 64; अब = 8 .	ए(0; -6) में(0 ; 2) साथ(0 ; – 2) – केंद्र
2	ए(-2 ; 0) में(4 ; 0)	अब 2 = (4 + 2) 2 + (0 + 0) 2 ; अब 2 = 36; अब = 6.	ए (-2;0) में (4 ;0) साथ(1 ; 0) – केंद्र

(स्लाइड 17)

№ 10. मूल बिंदु से होकर गुजरने वाले मूल बिंदु पर केन्द्रित एक वृत्त का समीकरण लिखिए को(-12;5).

समाधान।

आर2 = ठीक है 2 = (0 + 12) 2 + (0 – 5) 2 = 144 + 25 = 169;
आर= 13;

वृत्त समीकरण: x 2 + y 2 = 169 .

(स्लाइड 18)

№ 11. मूल बिंदु से गुजरने वाले और बिंदु पर केन्द्रित एक वृत्त के लिए एक समीकरण लिखें साथ(3; - 1).

समाधान।

आर2= ओएस 2 = (3 – 0) 2 + (–1–0) 2 = 9 + 1 = 10;

वृत्त समीकरण: ( एक्स - 3) 2 + (वाई + 1) 2 = 10.

(स्लाइड 19)

№ 12. केंद्र वाले वृत्त का समीकरण लिखिए ए(3;2) गुजरना में(7;5).

समाधान।

1. वृत्त का केन्द्र - ए(3;2);
2.आर = अब;
अब 2 = (7 – 3) 2 + (5 – 2) 2 = 25; अब = 5;
3. वृत्त समीकरण ( एक्स – 3) 2 + (पर − 2) 2 = 25.

(स्लाइड 20)

№ 13. जांचें कि क्या बिंदु झूठ हैं ए(1; -1), में(0;8), साथ(-3; -1) समीकरण द्वारा दिए गए वृत्त पर ( एक्स + 3) 2 + (पर − 4) 2 = 25.

समाधान।

मैं. बिंदु के निर्देशांक प्रतिस्थापित करें ए(1; -1) वृत्त समीकरण में:

(1 + 3) 2 + (−1 − 4) 2 = 25;
4 2 + (−5) 2 = 25;
16 + 25 = 25;
41 = 25 - समानता गलत है, जिसका अर्थ है ए(1; -1) झूठ नहीं बोलतासमीकरण द्वारा दिए गए वृत्त पर ( एक्स + 3) 2 + (पर − 4) 2 = 25.

द्वितीय. बिंदु के निर्देशांक प्रतिस्थापित करें में(0;8) वृत्त समीकरण में:

(0 + 3) 2 + (8 − 4) 2 = 25;
3 2 + 4 2 = 25;
9 + 16 = 25;
में(0;8)झूठ एक्स + 3) 2 + (पर − 4) 2 = 25.

तृतीय.बिंदु के निर्देशांक प्रतिस्थापित करें साथ(-3; -1) वृत्त समीकरण में:

(−3 + 3) 2 + (−1− 4) 2 = 25;
0 2 + (−5) 2 = 25;
25 = 25 - समानता सत्य है, इसलिए साथ(-3; -1) झूठसमीकरण द्वारा दिए गए वृत्त पर ( एक्स + 3) 2 + (पर − 4) 2 = 25.

पाठ का सारांश.

1. दोहराएँ: एक वृत्त का समीकरण, मूल बिंदु पर केन्द्रित एक वृत्त का समीकरण।
2. (स्लाइड 21)गृहकार्य।

विश्लेषणात्मक ज्यामिति ज्यामितीय समस्याओं को हल करने के लिए समान तरीके प्रदान करती है। ऐसा करने के लिए, सभी दिए गए और वांछित बिंदुओं और रेखाओं को एक ही समन्वय प्रणाली में संदर्भित किया जाता है।

एक समन्वय प्रणाली में, प्रत्येक बिंदु को उसके निर्देशांक द्वारा, और प्रत्येक रेखा को दो अज्ञात वाले समीकरण द्वारा चित्रित किया जा सकता है, जिनमें से यह रेखा एक ग्राफ है। इस प्रकार, ज्यामितीय समस्या को बीजगणितीय समस्या में बदल दिया जाता है, जहां सभी गणना विधियां अच्छी तरह से विकसित होती हैं।

एक वृत्त एक विशिष्ट गुण वाले बिंदुओं का एक स्थान है (वृत्त का प्रत्येक बिंदु एक बिंदु से समान दूरी पर है, जिसे केंद्र कहा जाता है)। वृत्त समीकरण को इस गुण को प्रतिबिंबित करना चाहिए, इस शर्त को पूरा करना चाहिए।

वृत्त के समीकरण की ज्यामितीय व्याख्या वृत्त की रेखा है।

यदि हम एक वृत्त को समन्वय प्रणाली में रखते हैं, तो वृत्त के सभी बिंदु एक शर्त को पूरा करते हैं - उनसे वृत्त के केंद्र तक की दूरी समान और वृत्त के बराबर होनी चाहिए।

वृत्त एक बिंदु पर केन्द्रित है ए और त्रिज्या आर निर्देशांक तल में रखा गया।

यदि केंद्र के निर्देशांक (ए;बी) , और वृत्त पर किसी भी बिंदु के निर्देशांक (एक्स; वाई) , तो वृत्त समीकरण का रूप है:

यदि किसी वृत्त की त्रिज्या का वर्ग वृत्त और उसके केंद्र पर किसी बिंदु के संगत निर्देशांकों के वर्ग अंतर के योग के बराबर है, तो यह समीकरण समतल समन्वय प्रणाली में एक वृत्त का समीकरण है।

यदि वृत्त का केंद्र मूल बिंदु से मेल खाता है, तो वृत्त की त्रिज्या का वर्ग वृत्त पर किसी भी बिंदु के निर्देशांक के वर्गों के योग के बराबर होता है। इस स्थिति में, वृत्त समीकरण इस प्रकार बनता है:

इसलिए, बिंदुओं के स्थान के रूप में कोई भी ज्यामितीय आकृति उसके बिंदुओं के निर्देशांक से संबंधित समीकरण द्वारा निर्धारित की जाती है। इसके विपरीत, निर्देशांक से संबंधित समीकरण एक्स और पर , एक रेखा को समतल में उन बिंदुओं के स्थान के रूप में परिभाषित करें जिनके निर्देशांक दिए गए समीकरण को संतुष्ट करते हैं।

किसी वृत्त के समीकरण से संबंधित समस्याओं को हल करने के उदाहरण

काम। किसी दिए गए वृत्त के लिए एक समीकरण लिखें

बिंदु O (2;-3) पर केन्द्रित और त्रिज्या 4 वाले वृत्त के लिए एक समीकरण लिखें।

समाधान.
आइए हम वृत्त समीकरण के सूत्र की ओर मुड़ें:
आर 2 = (एक्स-ए) 2 + (वाई-बी) 2

मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें।
वृत्त त्रिज्या R = 4
वृत्त के केंद्र के निर्देशांक (शर्त के अनुसार)
ए = 2
बी=-3

हम पाते हैं:
(x - 2 ) 2 + (y - (-3 )) 2 = 4 2
या
(x - 2 ) 2 + (y + 3 ) 2 = 16 .

काम। क्या कोई बिंदु किसी वृत्त के समीकरण से संबंधित है?

जांचें कि क्या बिंदु संबंधित है ए(2;3)वृत्त समीकरण (एक्स - 2) 2 + (वाई + 3) 2 = 16 .

समाधान.
यदि कोई बिंदु किसी वृत्त का है, तो उसके निर्देशांक वृत्त समीकरण को संतुष्ट करते हैं।
यह जांचने के लिए कि दिए गए निर्देशांक वाला कोई बिंदु वृत्त का है या नहीं, हम दिए गए वृत्त के समीकरण में बिंदु के निर्देशांक प्रतिस्थापित करते हैं।

समीकरण में ( एक्स - 2) 2 + (य + 3) 2 = 16
हम, शर्त के अनुसार, बिंदु A (2; 3) के निर्देशांक को प्रतिस्थापित करते हैं, अर्थात
एक्स=2
आप=3

आइए प्राप्त समानता की सत्यता की जाँच करें
(एक्स - 2) 2 + (य + 3) 2 = 16
(2 - 2) 2 + (3 + 3) 2 = 16
0 + 36 = 16 समानता ग़लत है

तो दिया गया बिंदु इससे संबद्ध न होवेंदिया गया वृत्त समीकरण.

परिधिकिसी दिए गए बिंदु से समान दूरी पर स्थित विमान में बिंदुओं का समूह, जिसे केंद्र कहा जाता है।

यदि बिंदु C वृत्त का केंद्र है, R इसकी त्रिज्या है, और M वृत्त पर एक मनमाना बिंदु है, तो वृत्त की परिभाषा के अनुसार

समानता (1) है वृत्त समीकरणत्रिज्या R बिंदु C पर केन्द्रित है।

मान लीजिए एक आयताकार कार्टेशियन समन्वय प्रणाली (चित्र 104) और एक बिंदु C ( ए; बी) त्रिज्या R के एक वृत्त का केंद्र है। मान लीजिए М( एक्स; पर) इस वृत्त का एक मनमाना बिंदु है।

चूंकि |सीएम| = \(\sqrt((x - a)^2 + (y - b)^2) \), तो समीकरण (1) को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

\(\sqrt((x - a)^2 + (y - b)^2) \) = R

(एक्स-ए) 2 + (वाई - बी) 2 = आर 2 (2)

समीकरण (2) कहा जाता है एक वृत्त का सामान्य समीकरणया बिंदु पर केन्द्रित त्रिज्या R के एक वृत्त का समीकरण ( ए; बी). उदाहरण के लिए, समीकरण

(एक्स - एल) 2 + ( य + 3) 2 = 25

बिंदु (1; -3) पर केन्द्रित त्रिज्या R = 5 के एक वृत्त का समीकरण है।

यदि वृत्त का केंद्र मूल बिंदु से मेल खाता है, तो समीकरण (2) का रूप लेता है

एक्स 2 + पर 2 = आर 2 . (3)

समीकरण (3) कहा जाता है वृत्त का विहित समीकरण .

कार्य 1।मूल बिंदु पर केन्द्रित त्रिज्या R = 7 के एक वृत्त के लिए समीकरण लिखें।

त्रिज्या मान को सीधे समीकरण (3) में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं

एक्स 2 + पर 2 = 49.

कार्य 2.बिंदु C(3; -6) पर केन्द्रित त्रिज्या R = 9 के एक वृत्त के लिए समीकरण लिखें।

बिंदु C के निर्देशांक का मान और त्रिज्या का मान सूत्र (2) में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं

(एक्स - 3) 2 + (पर- (-6)) 2 = 81 या ( एक्स - 3) 2 + (पर + 6) 2 = 81.

कार्य 3.एक वृत्त का केंद्र और त्रिज्या ज्ञात कीजिए

(एक्स + 3) 2 + (पर-5) 2 =100.

इस समीकरण की तुलना सामान्य वृत्त समीकरण (2) से करने पर, हम देखते हैं ए = -3, बी= 5, आर = 10। इसलिए, С(-3; 5), आर = 10।

कार्य 4.उस समीकरण को सिद्ध करें

एक्स 2 + पर 2 + 4एक्स - 2य - 4 = 0

वृत्त समीकरण है. इसका केंद्र और त्रिज्या ज्ञात कीजिए।

आइए इस समीकरण के बाएँ पक्ष को रूपांतरित करें:

एक्स 2 + 4एक्स + 4- 4 + पर 2 - 2पर +1-1-4 = 0

(एक्स + 2) 2 + (पर - 1) 2 = 9.

यह समीकरण (-2; 1) पर केन्द्रित एक वृत्त का समीकरण है; वृत्त की त्रिज्या 3 है.

कार्य 5.बिंदु C(-1; -1) पर केन्द्रित एक वृत्त का समीकरण लिखिए जो सीधी रेखा AB को छूता है यदि A (2; -1), B(-1; 3)।

आइए सीधी रेखा AB का समीकरण लिखें:

या 4 एक्स + 3य-5 = 0.

चूँकि वृत्त दी गई रेखा पर स्पर्शरेखा है, संपर्क बिंदु पर खींची गई त्रिज्या इस रेखा पर लंबवत है। त्रिज्या ज्ञात करने के लिए, आपको बिंदु C (-1; -1) - वृत्त के केंद्र से सीधी रेखा 4 तक की दूरी ज्ञात करनी होगी एक्स + 3य-5 = 0:

आइए वांछित वृत्त का समीकरण लिखें

(एक्स +1) 2 + (य +1) 2 = 144 / 25

मान लीजिए कि एक आयताकार समन्वय प्रणाली में एक वृत्त दिया गया है एक्स 2 + पर 2 = आर 2 . इसके मनमाने बिंदु M( पर विचार करें एक्स; पर) (चित्र 105)।

चलो त्रिज्या वेक्टर ॐ>बिंदु M परिमाण का कोण बनाता है टी O अक्ष की सकारात्मक दिशा के साथ एक्स, तो बिंदु M का भुज और कोटि निर्भर करता है टी

(0 टीएक्स और वाई के माध्यम से टी, हम देखतें है

एक्स= Rcos टी ; य= आर पाप टी , 0 टी

समीकरण (4) कहलाते हैं मूल बिंदु पर केन्द्रित वृत्त के पैरामीट्रिक समीकरण.

कार्य 6.वृत्त समीकरणों द्वारा दिया गया है

एक्स= \(\sqrt(3)\)cos टी, य= \(\sqrt(3)\)sin टी, 0 टी

इस वृत्त के लिए विहित समीकरण लिखिए।

यह स्थिति से चलता है एक्स 2 = 3 क्योंकि 2 टी, पर 2 = 3 पाप 2 टी. इन समानताओं को पद दर पद जोड़ने पर हमें प्राप्त होता है

एक्स 2 + पर 2 = 3(cos 2 टी+पाप 2 टी)

या एक्स 2 + पर 2 = 3

मान लीजिए कि वृत्त की एक त्रिज्या है , और इसका केंद्र बिंदु पर है
. डॉट
वृत्त पर स्थित है यदि और केवल यदि वेक्टर का मापांक
के बराबर होती है , वह है। अंतिम समानता यदि और केवल यदि रखती है

समीकरण (1) वांछित वृत्त समीकरण है.

किसी दिए गए बिंदु से गुजरने वाली सीधी रेखा का समीकरण किसी दिए गए वेक्टर पर लंबवत होता है

वेक्टर के लंबवत
.

डॉट

और
लंबवत हैं. वैक्टर
और
लंबवत हैं यदि और केवल यदि उनका डॉट उत्पाद शून्य है, यानी।
. उनके निर्देशांकों द्वारा दिए गए सदिशों के अदिश गुणनफल की गणना के लिए सूत्र का उपयोग करते हुए, हम वांछित सीधी रेखा के समीकरण को इस रूप में लिखते हैं

एक उदाहरण पर विचार करें.गुजरने वाली सीधी रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए

खंड AB का मध्य इस खंड के लंबवत है यदि बिंदुओं के निर्देशांक क्रमशः A (1; 6), B (5; 4) के बराबर हैं।

हम इस प्रकार बहस करेंगे. एक सीधी रेखा का समीकरण ज्ञात करने के लिए, हमें उस बिंदु को जानना चाहिए जिससे यह सीधी रेखा गुजरती है, और इस सीधी रेखा के लंबवत सदिश को जानना चाहिए। इस रेखा का लंबवत सदिश सदिश होगा, क्योंकि समस्या की स्थिति के अनुसार, रेखा खंड AB पर लंबवत है। बिंदु
हम इस शर्त से निर्धारित करते हैं कि रेखा AB के मध्यबिंदु से होकर गुजरती है। अपने पास । इस प्रकार
और समीकरण रूप ले लेगा.

आइए इस प्रश्न को स्पष्ट करें कि क्या यह रेखा बिंदु M(7;3) से होकर गुजरती है।

हमारे पास है, जिसका अर्थ है कि यह रेखा निर्दिष्ट बिंदु से नहीं गुजरती है।

किसी दिए गए वेक्टर के समानांतर, किसी दिए गए बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण

रेखा को बिंदु से होकर गुजरने दें
वेक्टर के समानांतर
.

डॉट
एक रेखा पर स्थित है यदि और केवल यदि सदिश
और
संरेख. वैक्टर
और
संरेख हैं यदि और केवल यदि उनके निर्देशांक आनुपातिक हैं, अर्थात।

(3)

परिणामी समीकरण वांछित सीधी रेखा का समीकरण है।

समीकरण (3) को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है

, कहाँ कोई भी मूल्य लेता है
.

इसलिए, हम लिख सकते हैं

, कहाँ
(4)

समीकरणों की प्रणाली (4) को सीधी रेखा के पैरामीट्रिक समीकरण कहा जाता है।

एक उदाहरण पर विचार करें.बिंदुओं से गुजरने वाली सीधी रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए। यदि हम एक बिंदु और उसके समानांतर या लंबवत वेक्टर को जानते हैं तो हम एक सीधी रेखा का समीकरण बना सकते हैं। दो अंक उपलब्ध हैं. लेकिन यदि दो बिंदु एक रेखा पर स्थित हों तो उन्हें जोड़ने वाला सदिश इस रेखा के समानांतर होगा। इसलिए, हम समीकरण (3) को एक वेक्टर के रूप में लेते हुए उपयोग करते हैं
वेक्टर
. हम पाते हैं

(5)

समीकरण (5) दो दिए गए बिंदुओं से होकर गुजरने वाली सीधी रेखा का समीकरण कहलाता है।

एक सीधी रेखा का सामान्य समीकरण

परिभाषा।किसी समतल पर प्रथम कोटि की रेखा का सामान्य समीकरण एक प्रकार का समीकरण होता है
, कहाँ
.

प्रमेय.समतल में किसी भी सीधी रेखा को प्रथम-क्रम रेखा समीकरण के रूप में दिया जा सकता है, और कोई भी प्रथम-क्रम रेखा समीकरण समतल में किसी सीधी रेखा का समीकरण है।

इस प्रमेय का पहला भाग सिद्ध करना आसान है। किसी भी लाइन पर आप एक बिंदु निर्दिष्ट कर सकते हैं
वेक्टर इसके लंबवत है
. फिर, (2) के अनुसार, ऐसी सीधी रेखा के समीकरण का रूप होता है निरूपित
. फिर समीकरण बनेगा
.

अब आइए प्रमेय के दूसरे भाग पर चलते हैं। चलो एक समीकरण बन गया
, कहाँ
. निश्चितता के लिए, हम मान लेंगे
.

आइए समीकरण को इस रूप में फिर से लिखें:

;

समतल पर एक बिंदु पर विचार करें
, कहाँ
. फिर परिणामी समीकरण का रूप होता है, और बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण होता है
वेक्टर के लंबवत
. प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

प्रमेय को सिद्ध करने की प्रक्रिया में, हमने इसे सिद्ध किया

कथन।यदि कोई सीधी रेखा समीकरण है
, फिर वेक्टर
इस रेखा के लंबवत.

समीकरण टाइप करें
समतल में सीधी रेखा का सामान्य समीकरण कहलाता है।

एक लाइन बन जाये
और बिंदु
. निर्दिष्ट बिंदु से रेखा तक की दूरी निर्धारित करना आवश्यक है।

एक मनमाना बिंदु पर विचार करें
एक सीधी रेखा पर. अपने पास
. दूरी बिन्दु से
सीधी रेखा वेक्टर के प्रक्षेपण के मॉड्यूल के बराबर है
प्रति वेक्टर
इस रेखा के लंबवत. अपने पास

,

रूपांतरित करना, हमें सूत्र मिलता है:

मान लीजिए कि सामान्य समीकरणों द्वारा दी गई दो सीधी रेखाएँ हैं

,
. फिर वेक्टर

क्रमशः पहली और दूसरी पंक्तियों के लंबवत। कोना
रेखाओं के बीच का कोण सदिशों के बीच के कोण के बराबर होता है
,
.

तब रेखाओं के बीच का कोण ज्ञात करने का सूत्र है:

.

रेखाओं की लंबता की स्थिति इस प्रकार है:

.

रेखाएँ समानांतर या संपाती होती हैं यदि और केवल यदि सदिश हों

संरेख. जिसमें रेखाओं के संयोग की स्थिति का रूप होता है:
,

और कोई चौराहा न होने की शर्त इस प्रकार लिखी गई है:
. अंतिम दो स्थितियाँ स्वयं सिद्ध करें।

आइए हम सामान्य समीकरण के अनुसार सीधी रेखा के व्यवहार की जांच करें।

मान लीजिए एक सीधी रेखा का सामान्य समीकरण दिया गया है
. अगर
, तो रेखा मूल बिंदु से होकर गुजरती है।

उस स्थिति पर विचार करें जब कोई भी गुणांक शून्य के बराबर न हो
. हम समीकरण को इस रूप में फिर से लिखते हैं:

,

,

कहाँ
. पैरामीटर्स का अर्थ ज्ञात कीजिए
. निर्देशांक अक्षों के साथ रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए। पर
अपने पास
, और जब
अपने पास
. वह है
- ये वे खंड हैं जो निर्देशांक अक्षों पर एक सीधी रेखा द्वारा काटे जाते हैं। इसलिए, समीकरण
खंडों में सीधी रेखा का समीकरण कहलाता है।

कब
अपने पास

. कब
अपने पास
. यानी रेखा अक्ष के समानांतर होगी .

याद करें कि एक सीधी रेखा का ढलान इस रेखा के अक्ष पर झुकाव कोण की स्पर्शरेखा कहलाती है
. सीधी रेखा को अक्ष पर कट जाने दें रेखा खंड और एक ढलान है . आइए बात को स्पष्ट करें
इस पर झूठ बोलता है

तब
==. और एक सीधी रेखा का समीकरण फॉर्म में लिखा जाएगा

.

रेखा को बिंदु से होकर गुजरने दें
और एक ढलान है . आइए बात को स्पष्ट करें
इस लाइन पर स्थित है.

तब =
.

परिणामी समीकरण को किसी दिए गए ढलान के साथ किसी दिए गए बिंदु से गुजरने वाली सीधी रेखा का समीकरण कहा जाता है।

दो लाइन दी जाए
,
. निरूपित
उनके बीच का कोण है. होने देना ,संगत रेखाओं के X अक्ष पर झुकाव के कोण

तब
=
,
.

तब समांतर रेखाओं की स्थिति का स्वरूप होता है
, और लंबवत स्थिति

निष्कर्ष में, हम दो समस्याओं पर विचार करते हैं।

काम . त्रिभुज ABC के शीर्षों के निर्देशांक हैं: A(4;2), B(10;10), C(20;14).

खोजें: ए) शीर्ष ए से खींचा गया समीकरण और माध्यिका की लंबाई;

बी) समीकरण और शीर्ष ए से खींची गई ऊंचाई की लंबाई;

ग) शीर्ष A से खींचे गए समद्विभाजक का समीकरण;

आइए माध्यिका AM के समीकरण को परिभाषित करें।

बिंदु M () खंड BC का मध्य है।

तब , . इसलिए, बिंदु M के निर्देशांक M(15;17) हैं। विश्लेषणात्मक ज्यामिति की भाषा में माध्यिका समीकरण सदिश = (11; 15) के समानांतर बिंदु A (4; 2) से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण है। तब माध्यिका समीकरण है माध्यिका लंबाई AM= .

AS ऊंचाई समीकरण वेक्टर =(10;4) के लंबवत बिंदु A(4;2) से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण है। फिर ऊंचाई का समीकरण 10(x-4)+4(y-2)=0, 5x+2y-24=0 है।

ऊँचाई की लंबाई बिंदु A (4; 2) से सीधी रेखा BC तक की दूरी है। यह सीधी रेखा सदिश =(10;4) के समानांतर बिंदु B(10;10) से होकर गुजरती है। इसका समीकरण है , 2x-5y+30=0. इसलिए, बिंदु A(4;2) से सीधी रेखा BC तक की दूरी AS= के बराबर है .

समद्विभाजक का समीकरण निर्धारित करने के लिए, हम इस रेखा के समानांतर एक वेक्टर पाते हैं। ऐसा करने के लिए, हम समचतुर्भुज के विकर्ण के गुण का उपयोग करते हैं। यदि इकाई सदिशों को बिंदु A से अलग रखा जाता है और वे सदिशों के साथ समान रूप से निर्देशित होते हैं, तो उनके योग के बराबर एक सदिश द्विभाजक के समानांतर होगा। तब हमारे पास =+ है।

={6;8}, , ={16,12}, .

फिर = वेक्टर = (1; 1), दिए गए वेक्टर के संरेख, वांछित सीधी रेखा के दिशा वेक्टर के रूप में कार्य कर सकता है। तब वांछित रेखा का समीकरण x-y-2=0 देखा गया है।

काम।नदी बिंदु A(4;3) और B(20;11) से होकर गुजरती हुई एक सीधी रेखा में बहती है। लिटिल रेड राइडिंग हूड बिंदु C(4;8) पर रहती है, और उसकी दादी बिंदु D(13;20) पर रहती है। हर सुबह, लिटिल रेड राइडिंग हूड घर से एक खाली बाल्टी लेती है, नदी पर जाती है, पानी खींचती है और उसे अपनी दादी के पास ले जाती है। लिटिल रेड राइडिंग हूड के लिए सबसे छोटा रास्ता खोजें।

आइए नदी के सापेक्ष, दादी के सममित बिंदु E को खोजें।

ऐसा करने के लिए, हम पहले उस सीधी रेखा का समीकरण ज्ञात करते हैं जिसके अनुदिश नदी बहती है। इस समीकरण को वेक्टर के समानांतर बिंदु A(4;3) से गुजरने वाली एक सीधी रेखा के समीकरण के रूप में माना जा सकता है। तब रेखा AB के समीकरण का रूप होता है।

इसके बाद, हम AB के लंबवत बिंदु D से गुजरने वाली रेखा DE का समीकरण पाते हैं। इसे वेक्टर के लंबवत बिंदु D से गुजरने वाली एक सीधी रेखा के समीकरण के रूप में माना जा सकता है
. अपने पास

आइए अब बिंदु S खोजें - रेखा AB पर बिंदु D का प्रक्षेपण, रेखाओं AB और DE के प्रतिच्छेदन के रूप में। हमारे पास समीकरणों की एक प्रणाली है

.

इसलिए, बिंदु S के निर्देशांक S(18;10) हैं।

चूँकि S, खंड DE का मध्यबिंदु है, तो।

वैसे ही।

इसलिए, बिंदु E के निर्देशांक E(23;0) हैं।

आइए इस रेखा के दो बिंदुओं के निर्देशांक जानकर, रेखा CE का समीकरण ज्ञात करें

हम बिंदु M को रेखाओं AB और CE के प्रतिच्छेदन के रूप में पाते हैं।

हमारे पास समीकरणों की एक प्रणाली है

.

इसलिए, बिंदु M में निर्देशांक हैं
.

विषय 2अंतरिक्ष में सतह समीकरण की अवधारणा। क्षेत्र समीकरण. किसी दिए गए बिंदु से गुजरने वाले विमान का समीकरण किसी दिए गए वेक्टर के लंबवत होता है। समतल का सामान्य समीकरण एवं उसका अध्ययन दो समतलों की समांतरता की स्थिति। एक बिंदु से एक समतल तक की दूरी. रेखा समीकरण की अवधारणा. अंतरिक्ष में सीधी रेखा. अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा के विहित और पैरामीट्रिक समीकरण। दो दिए गए बिंदुओं से होकर गुजरने वाली एक सीधी रेखा के समीकरण। एक रेखा और एक तल की समांतरता और लंबवतता की शर्तें।

सबसे पहले, आइए अंतरिक्ष में सतह समीकरण की अवधारणा को परिभाषित करें।

अंतरिक्ष में चलो
कुछ सतह दी गई है . समीकरण
पृष्ठीय समीकरण कहलाता है यदि दो शर्तें पूरी होती हैं:

1.किसी भी बिंदु के लिए
निर्देशांक के साथ
सतह पर पड़ा हुआ,
, अर्थात्, इसके निर्देशांक सतही समीकरण को संतुष्ट करते हैं;

2. कोई बिंदु
, जिनके निर्देशांक समीकरण को संतुष्ट करते हैं
, लाइन पर पड़ा है.