Kai kosinusas lygus sinusui. Trigonometrinių funkcijų radimo taisyklės: sinusas, kosinusas, liestinė ir kotangentas

Trigonometrijos tyrimą pradėsime nuo stačiojo trikampio. Apibrėžkime, kas yra sinusas ir kosinusas, taip pat smailiojo kampo liestinė ir kotangentas. Tai yra trigonometrijos pagrindai.

Leiskite jums tai priminti stačiu kampu yra kampas, lygus 90 laipsnių. Kitaip tariant, pusė pasukto kampo.

Aštrus kampas- mažiau nei 90 laipsnių.

Bukas kampas- didesnis nei 90 laipsnių. Kalbant apie tokį kampą, „bukas“ yra ne įžeidimas, o matematinis terminas :-)

Nubrėžkime statųjį trikampį. Status kampas paprastai žymimas . Atkreipkite dėmesį, kad priešinga kampo pusė pažymėta ta pačia raide, tik maža. Taigi, priešinga kampas A yra pažymėtas .

Kampas žymimas atitinkama graikiška raide.

Hipotenuzė stačiojo trikampio kraštinė yra priešinga stačiajam kampui.

Kojos- šonai, esantys priešais smailius kampus.

Priešais kampą esanti koja vadinama priešingas(kampo atžvilgiu). Kita koja, esanti vienoje iš kampo pusių, vadinama gretimas.

Sinusas Stačiakampio trikampio smailusis kampas yra priešingos kraštinės ir hipotenuzės santykis:

Kosinusas smailus kampas stačiakampiame trikampyje - gretimos kojos ir hipotenuzės santykis:

Tangentas smailusis kampas stačiakampiame trikampyje - priešingos kraštinės ir gretimos santykis:

Kitas (ekvivalentiškas) apibrėžimas: smailiojo kampo liestinė yra kampo sinuso ir jo kosinuso santykis:

Kotangentas smailusis kampas stačiakampiame trikampyje - gretimų kraštinių ir priešingos pusės santykis (arba, kuris yra tas pats, kosinuso ir sinuso santykis):

Toliau atkreipkite dėmesį į pagrindinius sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento ryšius. Jie mums pravers sprendžiant problemas.

Įrodykime kai kuriuos iš jų.

Gerai, mes pateikėme apibrėžimus ir užrašėme formules. Bet kodėl mums vis dar reikia sinuso, kosinuso, tangento ir kotangento?

Mes tai žinome bet kurio trikampio kampų suma lygi.

Mes žinome ryšį tarp vakarėliams taisyklingas trikampis. Tai Pitagoro teorema: .

Pasirodo, žinodami du trikampio kampus, galite rasti trečiąjį. Žinodami dvi stačiojo trikampio kraštines, galite rasti trečiąją. Tai reiškia, kad kampai turi savo santykį, o šonai - savo. Bet ką daryti, jei stačiakampiame trikampyje žinote vieną kampą (išskyrus stačią) ir vieną kraštinę, bet jums reikia rasti kitas puses?

Su tuo susidurdavo žmonės, kurdami vietovės ir žvaigždėto dangaus žemėlapius. Juk ne visada galima tiesiogiai išmatuoti visas trikampio kraštines.

Sinusas, kosinusas ir tangentas – dar vadinami trigonometrinių kampų funkcijos- suteikti ryšius tarp vakarėliams Ir kampus trikampis. Žinodami kampą, visas jo trigonometrines funkcijas galite rasti naudodami specialias lenteles. O žinodami trikampio ir vienos iš jo kraštinių kampų sinusus, kosinusus ir tangentus, galite rasti likusias dalis.

Taip pat sudarysime sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento verčių lentelę „geriems“ kampams nuo iki.

Atkreipkite dėmesį į du raudonus brūkšnelius lentelėje. Esant atitinkamoms kampo vertėms, liestinė ir kotangentas neegzistuoja.

Pažvelkime į keletą trigonometrijos problemų iš FIPI užduočių banko.

1. Trikampyje kampas yra , . Rasti.

Problema išspręsta per keturias sekundes.

Nes , .

2. Trikampyje kampas yra , , . Rasti.

Raskime jį naudodami Pitagoro teoremą.

Problema išspręsta.

Dažnai problemose yra trikampių su kampais ir arba su kampais ir. Prisiminkite pagrindinius jų santykius mintinai!

Jei trikampis su kampais ir kojelė priešinga kampui ties yra lygi pusė hipotenuzės.

Trikampis su kampais ir yra lygiašonis. Jame hipotenuzė yra kartų didesnė už koją.

Mes pažvelgėme į stačiųjų trikampių sprendimo uždavinius - tai yra, kaip rasti nežinomas puses ar kampus. Bet tai dar ne viskas! IN Vieningo valstybinio egzamino parinktys matematikoje yra daug uždavinių, kur atsiranda trikampio išorinio kampo sinusas, kosinusas, liestinė arba kotangentas. Daugiau apie tai kitame straipsnyje.

Šiame straipsnyje parodysime, kaip duoti kampo ir skaičiaus sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento apibrėžimai trigonometrijoje. Čia kalbėsime apie užrašus, pateiksime įrašų pavyzdžių, pateiksime grafines iliustracijas. Pabaigoje nubrėžkime paralelę tarp sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento apibrėžimų trigonometrijoje ir geometrijoje.

Puslapio naršymas.

Sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento apibrėžimas

Pažiūrėkime, kaip formuojasi sinuso, kosinuso, tangento ir kotangento idėja mokyklos kursas matematikos. Geometrijos pamokose pateikiamas stačiojo trikampio smailiojo kampo sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento apibrėžimas. O vėliau tiriama trigonometrija, kuri kalba apie sukimosi kampo ir skaičiaus sinusą, kosinusą, tangentą ir kotangentą. Pateiksime visus šiuos apibrėžimus, pateiksime pavyzdžių ir pateiksime reikiamas pastabas.

Smailusis kampas stačiakampiame trikampyje

Iš geometrijos kurso žinome stačiojo trikampio smailiojo kampo sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento apibrėžimus. Jie pateikiami kaip stačiojo trikampio kraštinių santykis. Pateiksime jų formuluotes.

Apibrėžimas.

Stačiojo trikampio smailiojo kampo sinusas yra priešingos pusės ir hipotenuzės santykis.

Apibrėžimas.

Stačiojo trikampio smailiojo kampo kosinusas yra gretimos kojos ir hipotenuzės santykis.

Apibrėžimas.

Stačiojo trikampio smailiojo kampo liestinė– tai priešingos pusės ir gretimos pusės santykis.

Apibrėžimas.

Stačiojo trikampio smailiojo kampo kotangentė- tai yra gretimos pusės ir priešingos pusės santykis.

Čia taip pat pateikiami sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento pavadinimai - atitinkamai sin, cos, tg ir ctg.

Pavyzdžiui, jei ABC yra stačiakampis trikampis su stačiu kampu C, tai smailiojo kampo A sinusas yra lygus priešingos kraštinės BC santykiui su hipotenuze AB, tai yra sin∠A=BC/AB.

Šie apibrėžimai leidžia apskaičiuoti smailaus kampo sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento reikšmes iš žinomų stačiojo trikampio kraštinių ilgių, taip pat iš žinomos vertės Raskite kitų kraštinių ilgius naudodami sinusą, kosinusą, liestinę, kotangentą ir vienos iš kraštinių ilgį. Pavyzdžiui, jei žinotume, kad stačiakampiame trikampyje kojelė AC lygi 3, o hipotenuzė AB lygi 7, tai smailiojo kampo A kosinuso reikšmę galėtume apskaičiuoti pagal apibrėžimą: cos∠A=AC/ AB=3/7.

Sukimosi kampas

Trigonometrijoje jie pradeda žiūrėti į kampą plačiau – įveda sukimosi kampo sąvoką. Sukimosi kampo dydis, skirtingai nuo smailaus kampo, neapsiriboja nuo 0 iki 90 laipsnių; sukimosi kampas laipsniais (ir radianais) gali būti išreikštas bet kokiu realiu skaičiumi nuo −∞ iki +∞.

Atsižvelgiant į tai, sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento apibrėžimai pateikiami ne ūmaus kampo, o savavališko dydžio kampo - sukimosi kampo. Jie pateikiami per taško A 1 x ir y koordinates, į kuriuos po jo pasukimo kampu α aplink tašką O eina vadinamasis pradžios taškas A(1, 0) – stačiakampės Dekarto koordinačių sistemos pradžia. ir vieneto apskritimo centras.

Apibrėžimas.

Sukimosi kampo sinusasα yra taško A 1 ordinatė, tai yra sinα=y.

Apibrėžimas.

Sukimosi kampo kosinusasα vadinama taško A 1 abscisėmis, tai yra cosα=x.

Apibrėžimas.

Sukimosi kampo liestinėα yra taško A 1 ordinatės ir jo abscisių santykis, tai yra, tanα=y/x.

Apibrėžimas.

Sukimosi kampo kotangentasα yra taško A 1 abscisių santykis su jo ordinatėmis, tai yra, ctgα=x/y.

Sinusas ir kosinusas yra apibrėžti bet kuriam kampui α, nes visada galime nustatyti taško abscisę ir ordinatę, kuri gaunama pasukus pradinį tašką kampu α. Bet tangentas ir kotangentas nėra apibrėžti jokiam kampui. Tangentė neapibrėžta kampams α, kuriame pradžios taškas eina į tašką, kurio abscisės yra nulinės (0, 1) arba (0, −1), ir tai vyksta kampuose 90°+180° k, k∈Z (π). /2+π·k rad). Iš tiesų, esant tokiems sukimosi kampams, išraiška tgα=y/x neturi prasmės, nes joje yra dalijimas iš nulio. Kalbant apie kotangentą, jis neapibrėžtas kampams α, kuriame pradžios taškas eina į tašką su nuline ordinate (1, 0) arba (-1, 0), ir tai vyksta kampams 180° k, k ∈Z (π·k rad).

Taigi sinusas ir kosinusas yra apibrėžti bet kokiems sukimosi kampams, liestinė apibrėžiama visiems kampams, išskyrus 90°+180°k, k∈Z (π/2+πk rad), o kotangentas – visiems kampams, išskyrus 180° ·k. , k∈Z (π·k rad).

Apibrėžimai apima mums jau žinomus pavadinimus sin, cos, tg ir ctg, jie taip pat naudojami žymėti sukimosi kampo sinusą, kosinusą, liestinę ir kotangentą (kartais galite rasti pavadinimus tan ir cot, atitinkančius liestinę ir kotangentą). . Taigi 30 laipsnių sukimosi kampo sinusas gali būti parašytas kaip sin30°, įrašai tg(−24°17′) ir ctgα atitinka sukimosi kampo liestinę −24° 17 minučių ir sukimosi kampo α kotangentą. . Prisiminkite, kad rašant radianinį kampo matą, pavadinimas „rad“ dažnai praleidžiamas. Pavyzdžiui, trijų pi rad sukimosi kampo kosinusas paprastai žymimas cos3·π.

Apibendrinant šį punktą, verta paminėti, kad kalbant apie sukimosi kampo sinusą, kosinusą, tangentą ir kotangentą, dažnai praleidžiama frazė „sukimosi kampas“ arba žodis „sukimas“. Tai yra, vietoj frazės „sukimosi kampo alfa sinusas“ dažniausiai vartojama frazė „alfa kampo sinusas“ arba dar trumpesnė „sinuso alfa“. Tas pats pasakytina apie kosinusą, tangentą ir kotangentą.

Taip pat pasakysime, kad stačiojo trikampio smailaus kampo sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento apibrėžimai atitinka ką tik pateiktus sukimosi kampo nuo 0 iki 90 laipsnių sinuso, kosinuso, tangento ir kotangento apibrėžimus. Mes tai pateisinsime.

Skaičiai

Apibrėžimas.

Skaičiaus sinusas, kosinusas, liestinė ir kotangentas t yra skaičius, lygus sukimosi kampo sinusui, kosinusui, tangentui ir kotangentui atitinkamai t radianais.

Pavyzdžiui, skaičiaus 8·π kosinusas pagal apibrėžimą yra skaičius, lygus 8·π rad kampo kosinusui. O kampo 8·π rad kosinusas lygus vienetui, todėl skaičiaus 8·π kosinusas lygus 1.

Yra ir kitas skaičiaus sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento nustatymo būdas. Tai susideda iš to, kad visi tikras numeris t yra priskirtas taškui vienetiniame apskritime, kurio centras yra stačiakampės koordinačių sistemos pradžioje, o sinusas, kosinusas, liestinė ir kotangentas nustatomi per šio taško koordinates. Pažvelkime į tai išsamiau.

Parodykime, kaip nustatoma atitiktis tarp realiųjų skaičių ir apskritimo taškų:

• skaičiui 0 priskiriamas pradžios taškas A(1, 0);
• teigiamas skaičius t yra susietas su vienetinio apskritimo tašku, į kurį pateksime, jei judėsime išilgai apskritimo nuo pradžios taško prieš laikrodžio rodyklę ir eisime t ilgio taku;
• neigiamas skaičius t siejama su vienetinio apskritimo tašku, į kurį pateksime, jei judėsime išilgai apskritimo nuo pradžios taško pagal laikrodžio rodyklę ir eisime |t| .

Dabar pereiname prie skaičiaus t sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento apibrėžimų. Tarkime, kad skaičius t atitinka tašką apskritime A 1 (x, y) (pavyzdžiui, skaičius &pi/2; atitinka tašką A 1 (0, 1) ).

Apibrėžimas.

Skaičiaus sinusas t yra vienetinio apskritimo taško, atitinkančio skaičių t, ordinatė, tai yra sint=y.

Apibrėžimas.

Skaičiaus kosinusas t vadinama vienetinio apskritimo taško, atitinkančio skaičių t, abscise, tai yra kaina=x.

Apibrėžimas.

Skaičiaus liestinė t yra vienetinio apskritimo taško, atitinkančio skaičių t, ordinatės ir abscisių santykis, tai yra, tgt=y/x. Kitoje lygiavertėje formuluotėje skaičiaus t liestinė yra šio skaičiaus sinuso ir kosinuso santykis, ty tgt=sint/cost.

Apibrėžimas.

Skaičiaus kotangentas t yra abscisių ir apskritimo taško, atitinkančio skaičių t, ordinatės santykis, ty ctgt=x/y. Kita formuluotė yra tokia: skaičiaus t liestinė yra skaičiaus t kosinuso ir skaičiaus t sinuso santykis: ctgt=kaina/sint.

Atkreipiame dėmesį, kad ką tik pateikti apibrėžimai atitinka šios pastraipos pradžioje pateiktą apibrėžimą. Iš tiesų, vienetinio apskritimo taškas, atitinkantis skaičių t, sutampa su tašku, gautu pasukus pradinį tašką t radianų kampu.

Vis tiek verta paaiškinti šį dalyką. Tarkime, kad turime įrašą sin3. Kaip suprasti, ar kalbame apie skaičiaus 3 sinusą, ar apie 3 radianų sukimosi kampo sinusą? Paprastai tai aišku iš konteksto, kitu atveju tai greičiausiai nėra esminė.

Kampinio ir skaitinio argumento trigonometrinės funkcijos

Pagal ankstesnėje pastraipoje pateiktus apibrėžimus, kiekvienas sukimosi kampas α atitinka labai specifinę reikšmę sinα, taip pat reikšmę cosα. Be to, visi sukimosi kampai, išskyrus 90°+180°k, k∈Z (π/2+πk rad) atitinka tgα reikšmes, o kitokias nei 180°k vertes, k∈Z (πk rad ) – vertes. ctgα. Todėl sinα, cosα, tanα ir ctgα yra kampo α funkcijos. Kitaip tariant, tai yra kampinio argumento funkcijos.

Panašiai galime kalbėti apie skaitinio argumento sinuso, kosinuso, tangento ir kotangento funkcijas. Iš tiesų, kiekvienas realusis skaičius t atitinka labai konkrečią reikšmę sint, taip pat kainą. Be to, visi skaičiai, išskyrus π/2+π·k, k∈Z, atitinka tgt reikšmes, o skaičiai π·k, k∈Z – reikšmes ctgt.

Vadinamos funkcijos sinusas, kosinusas, liestinė ir kotangentas pagrindinės trigonometrinės funkcijos.

Iš konteksto paprastai aišku, ar mes kalbame apie kampinio argumento ar skaitinio argumento trigonometrines funkcijas. Kitu atveju galime manyti, kad nepriklausomas kintamasis yra ir kampo matas (kampinis argumentas), ir skaitinis argumentas.

Tačiau mokykloje daugiausia tiriame skaitines funkcijas, tai yra funkcijas, kurių argumentai ir atitinkamos funkcijų reikšmės yra skaičiai. Todėl, jei mes kalbame apie Kalbant konkrečiai apie funkcijas, patartina trigonometrines funkcijas laikyti skaitinių argumentų funkcijomis.

Ryšys tarp apibrėžimų iš geometrijos ir trigonometrijos

Jei apsvarstysime, kad sukimosi kampas α svyruoja nuo 0 iki 90 laipsnių, tada sukimosi kampo sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento apibrėžimai trigonometrijos kontekste visiškai atitinka sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento apibrėžimus. smailusis kampas stačiakampiame trikampyje, kurie pateikiami geometrijos kurse. Pagrįskime tai.

Vienetinį apskritimą pavaizduokime stačiakampėje Dekarto koordinačių sistemoje Oxy. Pažymėkime pradžios tašką A(1, 0) . Pasukime jį kampu α nuo 0 iki 90 laipsnių, gausime tašką A 1 (x, y). Numeskime statmeną A 1 H iš taško A 1 į Ox ašį.

Nesunku pastebėti, kad stačiojo trikampio kampe A 1 OH lygus kampui sukimasis α, kojos OH, esančios greta šio kampo, ilgis lygus taško A 1 abscisei, tai yra |OH|=x, kojos A 1 H, priešingos kampui, ilgis yra lygus taško ordinatėms taškas A 1, tai yra |A 1 H|=y, o hipotenuzės ilgis OA 1 lygus vienetui, nes tai vienetinio apskritimo spindulys. Tada pagal geometrijos apibrėžimą stačiojo trikampio A 1 OH smailiojo kampo α sinusas yra lygus priešingos kojos ir hipotenuzos santykiui, tai yra sinα=|A 1 H|/|OA 1 |= y/1=y. Ir pagal apibrėžimą iš trigonometrijos, sukimosi kampo α sinusas yra lygus taško A 1 ordinatei, tai yra sinα=y. Tai rodo, kad stačiojo trikampio smailiojo kampo sinuso nustatymas yra tolygus sukimosi kampo α sinuso nustatymui, kai α yra nuo 0 iki 90 laipsnių.

Panašiai galima parodyti, kad smailaus kampo α kosinuso, liestinės ir kotangento apibrėžimai atitinka sukimosi kampo α kosinuso, liestinės ir kotangento apibrėžimus.

Bibliografija.

1. Geometrija. 7-9 klasės: vadovėlis bendrajam lavinimui institucijos / [L. S. Atanasjanas, V. F. Butuzovas, S. B. Kadomcevas ir kt.]. – 20-asis leidimas M.: Išsilavinimas, 2010. - 384 p.: iliustr. - ISBN 978-5-09-023915-8.
2. Pogorelovas A.V. Geometrija: vadovėlis. 7-9 klasėms. bendrojo išsilavinimo institucijos / A. V. Pogorelovas. - 2 leidimas - M.: Išsilavinimas, 2001. - 224 p.: iliustr. - ISBN 5-09-010803-X.
3. Algebra ir elementarios funkcijos: Pamoka vidurinės mokyklos 9 klasės mokiniams / E. S. Kochetkov, E. S. Kochetkova; Redagavo fizinių ir matematikos mokslų daktaras O. N. Golovinas – 4 leidimas. M.: Išsilavinimas, 1969 m.
4. Algebra: Vadovėlis 9 klasei. vid. mokykla/Yu. N. Makaryčiovas, N. G. Mindjukas, K. I. Neškovas, S. B. Suvorova; Red. S. A. Telyakovsky. - M.: Išsilavinimas, 1990. - 272 p.: iliustr. - ISBN 5-09-002727-7
5. Algebra ir analizės pradžia: Proc. 10-11 klasėms. bendrojo išsilavinimo institucijos / A. N. Kolmogorovas, A. M. Abramovas, Yu. P. Dudnicynas ir kt.; Red. A. N. Kolmogorovas - 14 leidimas - M.: Švietimas, 2004. - 384 p.: iliustr. - ISBN 5-09-013651-3.
6. Mordkovičius A. G. Algebra ir analizės pradžia. 10 klasė. 14 val. 1 dalis: vadovėlis ugdymo įstaigoms ( profilio lygis)/ A. G. Mordkovich, P. V. Semenovas. - 4-asis leidimas, pridėti. - M.: Mnemosyne, 2007. - 424 p.: iliustr. ISBN 978-5-346-00792-0.
7. Algebra ir matematinės analizės pradžia. 10 klasė: vadovėlis. bendrajam lavinimui institucijos: pagrindinės ir profilio. lygiai /[Yu. M. Koliaginas, M. V. Tkačiova, N. E. Fedorova, M. I. Šabuninas]; Redaguota A. B. Žižčenka. – 3 leidimas. - I.: Išsilavinimas, 2010.- 368 p.: iliustr.- ISBN 978-5-09-022771-1.
8. Bašmakovas M. I. Algebra ir analizės pradžia: vadovėlis. 10-11 klasėms. vid. mokykla – 3 leidimas. - M.: Išsilavinimas, 1993. - 351 p.: iliustr. - ISBN 5-09-004617-4.
9. Gusevas V. A., Mordkovičius A. G. Matematika (vadovas stojantiems į technikos mokyklas): Proc. pašalpa.- M.; Aukščiau mokykla, 1984.-351 p., iliustr.

Sinusas yra vienas iš pagrindinių trigonometrinės funkcijos, kurio taikymas neapsiriboja vien geometrija. Trigonometrinių funkcijų skaičiavimo lentelės, kaip ir inžineriniai skaičiuotuvai, ne visada yra po ranka, o sinuso skaičiavimas kartais reikalingas sprendžiant įvairias problemas. Apskritai sinuso apskaičiavimas padės įtvirtinti piešimo įgūdžius ir žinias apie trigonometrines tapatybes.

Žaidimai su liniuote ir pieštuku

Paprasta užduotis: kaip rasti ant popieriaus nupiešto kampo sinusą? Norėdami išspręsti, jums reikės įprastos liniuotės, trikampio (arba kompaso) ir pieštuko. Paprasčiausias būdas apskaičiuoti kampo sinusą yra padalijus tolimąją trikampio koją su stačiu kampu iš ilgosios kraštinės - hipotenuzos. Taigi, pirmiausia turite užbaigti smailųjį kampą iki stačiojo trikampio formos, nubrėždami liniją, statmeną vienam iš spindulių savavališku atstumu nuo kampo viršūnės. Mums reikės išlaikyti lygiai 90 ° kampą, tam mums reikia kanceliarinio trikampio.

Kompaso naudojimas yra šiek tiek tikslesnis, tačiau užtruks daugiau laiko. Viename iš spindulių reikia pažymėti 2 taškus tam tikru atstumu, nustatyti kompaso spindulį, maždaug lygų atstumui tarp taškų, ir nubrėžti puslankius su centrais šiuose taškuose, kol bus gautos šių linijų sankirtos. Sujungę savo apskritimų susikirtimo taškus vienas su kitu, gauname griežtą statmeną savo kampo spinduliui; belieka pratęsti liniją, kol ji susikirs su kitu spinduliu.

Gautame trikampyje liniuote reikia išmatuoti kampui priešingą pusę ir ilgąją vieno iš spindulių kraštą. Pirmojo ir antrojo matmens santykis bus norima smailiojo kampo sinuso vertė.

Raskite sinusą didesniam nei 90° kampui

Buku kampu užduotis nėra daug sunkesnė. Turime nubrėžti spindulį iš viršūnės priešinga kryptimi, naudodami liniuotę, kad sudarytume tiesią liniją su vienu iš mus dominančio kampo spindulių. Su gautais aštrus kampas turėtų elgtis taip, kaip aprašyta aukščiau, sinusai gretimų kampų, kartu sudaro 180° atvirkštinį kampą, yra lygūs.

Sinuso skaičiavimas naudojant kitas trigonometrines funkcijas

Taip pat apskaičiuoti sinusą galima, jei žinomos kitų kampo trigonometrinių funkcijų reikšmės arba bent trikampio kraštinių ilgiai. Jie mums tai padės trigonometrinės tapatybės. Pažvelkime į bendrus pavyzdžius.

Kaip rasti sinusą su žinomu kampo kosinusu? Pirmoji trigonometrinė tapatybė, pagrįsta Pitagoro teorema, teigia, kad to paties kampo sinuso ir kosinuso kvadratų suma yra lygi vienetui.

Kaip rasti sinusą su žinoma kampo liestinė? Liestinė gaunama dalijant tolimąją pusę iš artimosios arba sinusą dalijant iš kosinuso. Taigi sinusas bus kosinuso ir liestinės sandauga, o sinuso kvadratas bus šios sandaugos kvadratas. Kvadratinį kosinusą pakeičiame skirtumu tarp vieneto ir kvadratinio sinuso pagal pirmąjį trigonometrinį tapatumą ir, atlikdami paprastas manipuliacijas, sumažiname lygtį iki kvadratinio sinuso apskaičiavimo per liestinę; atitinkamai, norėdami apskaičiuoti sinusą, turėsite turi išgauti gauto rezultato šaknį.

Kaip rasti sinusą su žinomu kampo kotangentu? Kotangento reikšmę galima apskaičiuoti padalijus arčiausiai kampo esančios kojos ilgį iš tolimosios ilgio, taip pat padalijus kosinusą iš sinuso, tai yra, kotangentas yra funkcija, atvirkštinė liestinės santykinei. į skaičių 1. Norėdami apskaičiuoti sinusą, tangentą galite apskaičiuoti naudodami formulę tg α = 1 / ctg α ir naudoti antrojo varianto formulę. Taip pat galite gauti tiesioginę formulę pagal analogiją su tangentu, kuri atrodys taip.

Kaip rasti trijų trikampio kraštinių sinusą

Yra formulė, pagal kurią galima rasti bet kurio trikampio, o ne tik stačiakampio, nežinomos kraštinės ilgį iš dviejų žinomų kraštinių, naudojant priešingo kampo kosinuso trigonometrinę funkciją. Ji atrodo taip.

Na, o sinusą galima toliau skaičiuoti iš kosinuso pagal aukščiau pateiktas formules.

Pamatiniai liestinės (tg x) ir kotangento (ctg x) duomenys. Geometrinis apibrėžimas, savybės, grafikai, formulės. Tangentų ir kotangentų, išvestinių, integralų, eilučių plėtinių lentelė. Išraiškos per sudėtingus kintamuosius. Ryšys su hiperbolinėmis funkcijomis.

Geometrinis apibrėžimas

|BD| - apskritimo lanko, kurio centras yra taške A, ilgis.
α yra kampas, išreikštas radianais.

Tangentas ( įdegis α) yra trigonometrinė funkcija, priklausanti nuo kampo α tarp hipotenuzės ir stačiojo trikampio kojos, lygi priešingos kojos ilgio santykiui |BC| iki gretimos kojos ilgio |AB| .

Kotangentas ( ctg α) yra trigonometrinė funkcija, priklausanti nuo kampo α tarp hipotenuzės ir stačiojo trikampio kojos, lygi gretimos kojos ilgio santykiui |AB| į priešingos kojos ilgį |BC| .

Tangentas

Kur n- visas.

Vakarų literatūroje tangentas žymimas taip:
.
;
;
.

Tangentinės funkcijos grafikas, y = tan x

Kotangentas

Kur n- visas.

Vakarų literatūroje kotangentas žymimas taip:
.
Taip pat priimami šie užrašai:
;
;
.

Kotangentinės funkcijos grafikas, y = ctg x

Tangento ir kotangento savybės

Periodiškumas

Funkcijos y = tg x ir y = ctg x yra periodiniai su periodu π.

Paritetas

Tangentinės ir kotangentinės funkcijos yra nelyginės.

Apibrėžimo ir vertybių sritys didėja, mažėja

Tangentinės ir kotangentinės funkcijos yra tolydžios savo apibrėžimo srityje (žr. tęstinumo įrodymą). Pagrindinės liestinės ir kotangento savybės pateiktos lentelėje ( n- visas).

	y = tg x	y = ctg x
Taikymo sritis ir tęstinumas
Vertybių diapazonas	-∞ < y < +∞	-∞ < y < +∞
Didėja		-
Mažėjantis	-
Kraštutinumai	-	-
Nuliai, y = 0
Sukirtimo taškai su ordinačių ašimi, x = 0	y = 0	-

Formulės

Išraiškos naudojant sinusą ir kosinusą

; ;
; ;
;

Sumos ir skirtumo liestinės ir kotangento formulės

Pavyzdžiui, likusias formules lengva gauti

Tangentų sandauga

Tangentų sumos ir skirtumo formulė

Šioje lentelėje pateikiamos tam tikrų argumento verčių liestinių ir kotangentų reikšmės.

Išraiškos naudojant kompleksinius skaičius

Išraiškos per hiperbolines funkcijas

;
;

Dariniai

; .

.
N-osios eilės išvestinė funkcijos kintamojo x atžvilgiu:
.
Tangento > > > išvedimo formulės ; kotangentui >>>

Integralai

Serijos išplėtimai

Norėdami gauti x laipsnio liestinės išplėtimą, turite paimti keletą funkcijų plėtimosi laipsnių eilutėje nuodėmė x Ir cos x ir padalinti šiuos daugianario vieni iš kitų, . Taip gaunamos tokios formulės.

Prie .

adresu .
Kur Bn- Bernulio skaičiai. Jie nustatomi iš pasikartojimo santykio:
;
;
Kur.
Arba pagal Laplaso formulę:

Atvirkštinės funkcijos

Atvirkštinės liestinės ir kotangentinės funkcijos yra atitinkamai arctangentinės ir arkotangentinės.

Arktangentas, arktg

, Kur n- visas.

Arkotangentas, arcctg

, Kur n- visas.

Nuorodos:
I.N. Bronšteinas, K.A. Semendyaev, Matematikos vadovas inžinieriams ir kolegijų studentams, „Lan“, 2009 m.
G. Korn, Matematikos vadovas mokslininkams ir inžinieriams, 2012 m.

Kas yra kampo sinusas, kosinusas, liestinė, kotangentas, padės suprasti statųjį trikampį.

Kaip vadinamos stačiojo trikampio kraštinės? Teisingai, hipotenuzė ir kojos: hipotenuzė yra pusė, esanti priešais stačią kampą (mūsų pavyzdyje tai yra pusė \(AC\)); kojos yra dvi likusios pusės \(AB\) ir \(BC\) (gretimos stačiu kampu), ir jei atsižvelgsime į kojas kampo \(BC\) atžvilgiu, tada kojelė \(AB\) yra gretima koja, o kojelė \(BC\) yra priešinga. Taigi, dabar atsakykime į klausimą: kas yra kampo sinusas, kosinusas, tangentas ir kotangentas?

Kampo sinusas– tai priešingos (tolimos) kojos ir hipotenuzės santykis.

Mūsų trikampyje:

\[ \sin \beta =\dfrac(BC)(AC) \]

Kampo kosinusas– tai gretimos (artimos) kojos ir hipotenuzės santykis.

Mūsų trikampyje:

\[ \cos \beta =\dfrac(AB)(AC) \]

Kampo liestinė– tai priešingos (tolimos) pusės ir gretimos (artimos) santykis.

Mūsų trikampyje:

\[ tg\beta =\dfrac(BC)(AB) \]

Kampo kotangentas– tai gretimos (artimos) kojos ir priešingos (toli) santykis.

Mūsų trikampyje:

\[ ctg\beta =\dfrac(AB)(BC) \]

Šie apibrėžimai yra būtini Prisiminti! Kad būtų lengviau atsiminti, kurią koją į ką padalyti, turite tai aiškiai suprasti liestinė Ir kotangentas sėdi tik kojos, o hipotenuzė atsiranda tik viduje sinusas Ir kosinusas. Ir tada jūs galite sugalvoti asociacijų grandinę. Pavyzdžiui, šis:

Kosinusas→lietimas→lietimas→gretima;

Kotangentas→lietimas→lietimas→gretima.

Visų pirma, reikia atsiminti, kad sinusas, kosinusas, liestinė ir kotangentas, nes trikampio kraštinių santykiai nepriklauso nuo šių kraštinių ilgių (tuo pačiu kampu). Netikiu? Tada įsitikinkite, žiūrėdami į paveikslėlį:

Apsvarstykite, pavyzdžiui, kampo \(\beta \) kosinusą. Pagal apibrėžimą iš trikampio \(ABC\): \(\cos \beta =\dfrac(AB)(AC)=\dfrac(4)(6)=\dfrac(2)(3) \), bet kampo \(\beta \) kosinusą galime apskaičiuoti iš trikampio \(AHI \) : \(\cos \beta =\dfrac(AH)(AI)=\dfrac(6)(9)=\dfrac(2)(3) \). Matote, kraštinių ilgiai skirtingi, bet vieno kampo kosinuso reikšmė vienoda. Taigi sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento reikšmės priklauso tik nuo kampo dydžio.

Jei suprantate apibrėžimus, eikite į priekį ir sutvirtinkite juos!

Žemiau esančiame paveikslėlyje parodytą trikampį \(ABC \) randame \(\sin \ \alpha ,\ \cos \ \alpha ,\ tg\ \alpha ,\ ctg\ \alpha \).

\(\begin(masyvas)(l)\sin \ \alpha =\dfrac(4)(5)=0,8\\\cos \ \alpha =\dfrac(3)(5)=0,6\\ tg\ \alpha =\dfrac(4)(3)\\ctg\ \alpha =\dfrac(3)(4)=0,75\end(masyvas) \)

Na, ar gavai? Tada pabandykite patys: apskaičiuokite tą patį kampui \(\beta \) .

Atsakymai: \(\sin \ \beta =0.6;\ \cos \ \beta =0.8;\ tg\ \beta =0.75;\ ctg\ \beta =\dfrac(4)(3) \).

Vienetinis (trigonometrinis) apskritimas

Suprasdami laipsnių ir radianų sąvokas, laikėme apskritimą, kurio spindulys lygus \(1\) . Toks ratas vadinamas viengungis. Tai bus labai naudinga studijuojant trigonometriją. Todėl pažvelkime į tai šiek tiek išsamiau.

Kaip matote, šis apskritimas sudarytas Dekarto koordinačių sistemoje. Apskritimo spindulys lygus vienetui, o apskritimo centras yra koordinačių pradžioje, pradinė spindulio vektoriaus padėtis fiksuojama teigiama \(x\) ašies kryptimi (mūsų pavyzdyje tai yra spindulys \(AB\)).

Kiekvienas apskritimo taškas atitinka du skaičius: koordinatę išilgai \(x\) ašies ir koordinatę išilgai \(y\) ašies. Kas yra šie koordinačių skaičiai? Ir apskritai, ką jie turi bendro su nagrinėjama tema? Norėdami tai padaryti, turime atsiminti apie svarstomą stačiakampį trikampį. Viršuje esančiame paveikslėlyje galite pamatyti du ištisus stačiuosius trikampius. Apsvarstykite trikampį \(ACG\) . Jis yra stačiakampis, nes \(CG\) yra statmena \(x\) ašiai.

Kas yra \(\cos \ \alpha \) iš trikampio \(ACG \)? Teisingai \(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC) \). Be to, žinome, kad \(AC\) yra vienetinio apskritimo spindulys, o tai reiškia \(AC=1\) . Pakeiskime šią reikšmę kosinuso formulėje. Štai kas nutinka:

\(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC)=\dfrac(AG)(1)=AG \).

Kam lygi \(\sin \ \alpha \) iš trikampio \(ACG \)? Na žinoma, \(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)\)! Pakeiskite spindulio reikšmę \(AC\) į šią formulę ir gaukite:

\(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)=\dfrac(CG)(1)=CG \)

Taigi, ar galite pasakyti, kokias koordinates turi apskritimui priklausantis taškas \(C\)? Na, niekaip? Ką daryti, jei suprasite, kad \(\cos \ \alpha \) ir \(\sin \alpha \) yra tik skaičiai? Kokią koordinatę atitinka \(\cos \alpha \)? Na, žinoma, koordinatė \(x\)! O kokią koordinatę atitinka \(\sin \alpha \)? Teisingai, koordinuokite \(y\)! Taigi esmė \(C(x;y)=C(\cos \alpha ;\sin \alpha) \).

Kam tada yra lygūs \(tg \alpha \) ir \(ctg \alpha \)? Teisingai, naudokime atitinkamus liestinės ir kotangento apibrėžimus ir gaukime tai \(tg \alpha =\dfrac(\sin \alpha )(\cos \alpha )=\dfrac(y)(x) \), A \(ctg \alpha =\dfrac(\cos \alpha )(\sin \alpha )=\dfrac(x)(y) \).

O jei kampas didesnis? Pavyzdžiui, kaip šiame paveikslėlyje:

Kas pasikeitė šiame pavyzdyje? Išsiaiškinkime. Norėdami tai padaryti, vėl pasukite į stačiakampį trikampį. Apsvarstykite statųjį trikampį \(((A)_(1))((C)_(1))G \) : kampas (kaip greta kampo \(\beta \) ). Kokia yra kampo sinuso, kosinuso, tangento ir kotangento reikšmė \(((C)_(1))((A)_(1))G=180()^\circ -\beta \ \)? Taip, mes laikomės atitinkamų trigonometrinių funkcijų apibrėžimų:

\(\begin(masyvas)(l)\sin \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(( (A)_(1))((C)_(1)))=\dfrac(((C)_(1))G)(1)=((C)_(1))G=y; \\\cos \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((A)_(1)) ((C)_(1)))=\dfrac(((A)_(1))G)(1)=((A)_(1))G=x;\\tg\kampas ((C) )_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(((A)_(1))G)=\dfrac(y)( x);\\ctg\kampas ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((C)_(1) ))G)=\dfrac(x)(y)\end(masyvas) \)

Na, kaip matote, kampo sinuso reikšmė vis tiek atitinka koordinatę \(y\) ; kampo kosinuso reikšmė - koordinatė \(x\) ; ir atitinkamų santykių liestinės ir kotangento reikšmės. Taigi šie santykiai taikomi bet kokiam spindulio vektoriaus pasukimui.

Jau buvo minėta, kad pradinė spindulio vektoriaus padėtis yra išilgai teigiamos \(x\) ašies krypties. Iki šiol mes sukome šį vektorių prieš laikrodžio rodyklę, bet kas atsitiks, jei pasuksime jį pagal laikrodžio rodyklę? Nieko nepaprasto, taip pat gausite tam tikros vertės kampą, bet tik jis bus neigiamas. Taigi, sukdami spindulio vektorių prieš laikrodžio rodyklę, gauname teigiami kampai, o sukant pagal laikrodžio rodyklę – neigiamas.

Taigi, mes žinome, kad visas spindulio vektoriaus apsisukimas aplink apskritimą yra \(360()^\circ \) arba \(2\pi \) . Ar galima pasukti spindulio vektorių \(390()^\circ \) arba \(-1140()^\circ \)? Na, žinoma, galite! Pirmuoju atveju \(390()^\circ =360()^\circ +30()^\circ \), taigi spindulio vektorius padarys vieną pilną apsisukimą ir sustos padėtyje \(30()^\circ \) arba \(\dfrac(\pi )(6) \) .

Antruoju atveju, \(-1140()^\circ =-360()^\circ \cdot 3-60()^\circ \), tai yra, spindulio vektorius padarys tris pilnus apsisukimus ir sustos padėtyje \(-60()^\circ \) arba \(-\dfrac(\pi )(3) \) .

Taigi, iš aukščiau pateiktų pavyzdžių galime daryti išvadą, kad kampai, kurie skiriasi \(360()^\circ \cdot m \) arba \(2\pi \cdot m \) (kur \(m \) yra bet koks sveikasis skaičius ), atitinka tą pačią spindulio vektoriaus padėtį.

Žemiau esančiame paveikslėlyje parodytas kampas \(\beta =-60()^\circ \) . Tas pats vaizdas atitinka kampą \(-420()^\circ ,-780()^\circ ,\ 300()^\circ ,660()^\circ \) ir tt Šį sąrašą galima tęsti neribotą laiką. Visi šie kampai gali būti užrašyti pagal bendrą formulę \(\beta +360()^\circ \cdot m\) arba \(\beta +2\pi \cdot m \) (kur \(m \) yra bet koks sveikasis skaičius)

\(\begin(masyvas)(l)-420()^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780()^\circ =-60+360\cdot (-2); \\300()^\circ =-60+360\cdot 1;\\660()^\circ =-60+360\cdot 2.\end(masyvas) \)

Dabar, žinodami pagrindinių trigonometrinių funkcijų apibrėžimus ir naudodami vieneto apskritimą, pabandykite atsakyti, kokios yra reikšmės:

\(\begin(masyvas)(l)\sin \ 90()^\circ =?\\\cos \ 90()^\circ =?\\\text(tg)\ 90()^\circ =? \\\text(ctg)\ 90()^\circ =?\\\sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =?\\\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =?\\\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =?\\\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =?\\\sin \ 270()^\circ =?\\\cos \ 270()^\circ =?\\\text(tg)\ 270()^\circ =?\\\text (ctg)\ 270()^\circ =?\\\sin \ 360()^\circ =?\\\cos \ 360()^\circ =?\\\text(tg)\ 360()^ \circ =?\\\text(ctg)\ 360()^\circ =?\\\sin \ 450()^\circ =?\\\cos \ 450()^\circ =?\\\text (tg)\ 450()^\circ =?\\\text(ctg)\ 450()^\circ =?\end(masyvas) \)

Štai vieneto ratas, kuris jums padės:

Turite sunkumų? Tada išsiaiškinkime. Taigi mes žinome, kad:

\(\begin(masyvas)(l)\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg\alpha =\dfrac(x )(y).\end(masyvas)\)

Iš čia nustatome taškų koordinates, atitinkančias tam tikrus kampo matmenis. Na, pradėkime iš eilės: kampas į vidų \(90()^\circ =\dfrac(\pi )(2) \) atitinka tašką, kurio koordinatės \(\left(0;1 \right) \) , todėl:

\(\sin 90()^\circ =y=1 \) ;

\(\cos 90()^\circ =x=0 \) ;

\(\text(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(y)(x)=\dfrac(1)(0)\RightArrow \text(tg)\ 90()^\circ \)- neegzistuoja;

\(\text(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(x)(y)=\dfrac(0)(1)=0 \).

Be to, laikydamiesi tos pačios logikos, mes sužinome, kad kampai yra viduje \(180()^\circ ,\ 270()^\circ ,\ 360()^\circ ,\ 450()^\circ (=360()^\circ +90()^\circ)\ \ ) atitinka taškus su koordinatėmis \(\left(-1;0 \right),\text( )\left(0;-1 \right),\text( )\left(1;0 \right),\text( )\left(0 ;1 \dešinė) \), atitinkamai. Tai žinant, nesunku nustatyti trigonometrinių funkcijų reikšmes atitinkamuose taškuose. Pirmiausia išbandykite patys, o tada patikrinkite atsakymus.

Atsakymai:

\(\displaystyle \sin \180()^\circ =\sin \ \pi =0 \)

\(\displaystyle \cos \180()^\circ =\cos \ \pi =-1\)

\(\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =\dfrac(-1)(0)\Rodyklė dešinėn \text(ctg)\ \pi \)- neegzistuoja

\(\sin \270()^\circ =-1\)

\(\cos \ 270()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 270()^\circ =\dfrac(-1)(0)\Rodyklė dešinėn \text(tg)\ 270()^\circ \)- neegzistuoja

\(\text(ctg)\ 270()^\circ =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\sin \360()^\circ =0\)

\(\cos \360()^\circ =1\)

\(\text(tg)\ 360()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 360()^\circ =\dfrac(1)(0)\Rodyklė dešinėn \text(ctg)\ 2\pi \)- neegzistuoja

\(\sin \ 450()^\circ =\sin \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\sin \ 90()^\circ =1 \)

\(\cos \ 450()^\circ =\cos \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\cos \ 90()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 450()^\circ =\text(tg)\ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(tg)\ 90() ^\circ =\dfrac(1)(0)\Rodyklė dešinėn \text(tg)\ 450()^\circ \)- neegzistuoja

\(\text(ctg)\ 450()^\circ =\text(ctg)\left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(ctg)\ 90()^ \circ =\dfrac(0)(1)=0 \).

Taigi galime sudaryti tokią lentelę:

Nereikia atsiminti visų šių vertybių. Pakanka prisiminti vienetinio apskritimo taškų koordinačių ir trigonometrinių funkcijų reikšmių atitikimą:

\(\left. \begin(masyvas)(l)\sin \alpha =y;\\cos \alpha =x;\\tg \alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg \alpha =\ dfrac(x)(y).\end(masyvas) \right\)\ \text(Turite atsiminti arba mokėti tai parodyti!! \) !}

Tačiau kampų trigonometrinių funkcijų reikšmės ir \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4)\) pateiktą toliau pateiktoje lentelėje, turite atsiminti:

Nebijokite, dabar parodysime vieną gana paprasto atitinkamų reikšmių įsiminimo pavyzdį:

Norint naudoti šį metodą, labai svarbu atsiminti visų trijų kampo matmenų sinusines vertes ( \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4),\ 60()^\circ =\dfrac(\pi )(3)\)), taip pat kampo liestinės reikšmę \(30()^\circ \) . Žinant šias \(4\) reikšmes, gana paprasta atkurti visą lentelę - kosinuso reikšmės perkeliamos pagal rodykles, tai yra:

\(\begin(masyvas)(l)\sin 30()^\circ =\cos \ 60()^\circ =\dfrac(1)(2)\ \ \\\sin 45()^\circ = \cos \ 45()^\circ =\dfrac(\sqrt(2))(2)\\\sin 60()^\circ =\cos \ 30()^\circ =\dfrac(\sqrt(3) ))(2)\\pabaiga(masyvas)\)

\(\text(tg)\ 30()^\circ \ =\dfrac(1)(\sqrt(3)) \), tai žinodami, galite atkurti reikšmes \(\text(tg)\ 45()^\circ , \text(tg)\ 60()^\circ \). Skaitiklis „\(1 \)“ atitiks \(\text(tg)\ 45()^\circ \ \), o vardiklis „\(\sqrt(\text(3)) \)“ – \(\tekstas (tg)\ 60()^\circ \ \) . Kotangentinės vertės perkeliamos pagal paveikslėlyje nurodytas rodykles. Jei tai suprasite ir atsimenate diagramą su rodyklėmis, tada užteks atsiminti tik \(4\) reikšmes iš lentelės.

Apskritimo taško koordinatės

Ar galima rasti apskritimo tašką (jo koordinates), žinant apskritimo centro koordinates, spindulį ir sukimosi kampą? Na, žinoma, galite! Išveskime bendrą formulę taško koordinatėms rasti. Pavyzdžiui, priešais mus yra apskritimas:

Mums suteiktas tas taškas \(K(((x)_(0));((y)_(0)))=K(3;2) \)- apskritimo centras. Apskritimo spindulys yra \(1,5\) . Reikia rasti taško \(P\) koordinates, gautas sukant tašką \(O\) \(\delta \) laipsniais.

Kaip matyti iš paveikslo, taško \(P\) koordinatė \(x\) atitinka atkarpos \(TP=UQ=UK+KQ\) ilgį. Atkarpos \(UK\) ilgis atitinka apskritimo centro koordinatę \(x\), tai yra, lygus \(3\) . Atkarpos \(KQ\) ilgį galima išreikšti naudojant kosinuso apibrėžimą:

\(\cos \ \delta =\dfrac(KQ)(KP)=\dfrac(KQ)(r)\Rightarrow KQ=r\cdot \cos \ \delta \).

Tada turime taško \(P\) koordinatę \(x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =3+1,5\cdot \cos \ \delta \).

Naudodami tą pačią logiką randame taško \(P\) y koordinatės reikšmę. Taigi,

\(y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =2+1,5\cdot \sin \delta \).

Taigi, į bendras vaizdas Taškų koordinatės nustatomos pagal formules:

\(\begin(masyvas)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta \\y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta \end(masyvas) \), Kur

\(((x)_(0)),(y)_(0)) \) - apskritimo centro koordinatės,

\(r\) – apskritimo spindulys,

\(\delta \) - vektoriaus spindulio sukimosi kampas.

Kaip matote, mūsų svarstomo vieneto apskritimo formulės yra žymiai sumažintos, nes centro koordinatės yra lygios nuliui, o spindulys yra lygus vienetui:

\(\begin(masyvas)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =0+1\cdot \cos \ \delta =\cos \ \delta \\y =((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =0+1\cdot \sin \ \delta =\sin \ \delta \end(masyvas) \)

„Javascript“ jūsų naršyklėje išjungtas.
Norėdami atlikti skaičiavimus, turite įjungti ActiveX valdiklius!