Mažiausia ir didžiausia segmento funkcijos reikšmės. Didžiausia ir mažiausia segmento funkcijos reikšmė

Mieli draugai! Užduočių, susijusių su išvestine, grupė apima užduotis - sąlyga pateikia funkcijos grafiką, keli šio grafiko taškai ir kyla klausimas:

Kuriame taške išvestinė yra didžiausia (mažiausia)?

Trumpai pakartokime:

Išvestinė taške yra lygi nuolydis pereinanti liestinėšis taškas grafike.

UPasaulinis liestinės koeficientas, savo ruožtu, yra lygus šios liestinės polinkio kampo liestinei.

*Tai reiškia kampą tarp liestinės ir x ašies.

1. Didėjančios funkcijos intervalais išvestinė turi teigiama vertė.

2. Jo mažėjimo intervalais išvestinė turi neigiamą reikšmę.

Apsvarstykite šį eskizą:

Taškuose 1, 2, 4 funkcijos išvestinė turi neigiamą reikšmę, nes šie taškai priklauso mažėjimo intervalams.

Taškuose 3, 5, 6 funkcijos išvestinė turi teigiamą reikšmę, nes šie taškai priklauso didėjantiems intervalams.

Kaip matote, viskas aišku su išvestinės reikšme, tai yra, visai nesunku nustatyti, kokį ženklą jis turi (teigiamą ar neigiamą) tam tikrame grafiko taške.

Be to, jei mintyse sukonstruosime liestine šiuose taškuose, pamatysime, kad tiesės, einančios per taškus 3, 5 ir 6, sudaro kampus su oX ašimi nuo 0 iki 90 o, o tiesės, einančios per taškus 1, 2 ir 4 su oX ašimi kampai svyruoja nuo 90 o iki 180 o.

*Ryšys aiškus: liestinės, einančios per taškus, priklausančius didėjančių funkcijų intervalams, susidaro su oX ašimi aštrūs kampai, liestinės, einančios per taškus, priklausančius mažėjančių funkcijų intervalams, sudaro bukus kampus su oX ašimi.

Dabar svarbus klausimas!

Kaip kinta išvestinės finansinės priemonės vertė? Juk liestinė in skirtingus taškus Ištisinės funkcijos grafikas sudaro skirtingus kampus, priklausomai nuo to, per kurį grafiko tašką ji eina.

*Arba kalbant paprasta kalba, liestinė yra tarsi „horizontaliai“ arba „vertikaliai“. Žiūrėk:

Tiesios linijos sudaro kampus, kurių oX ašis svyruoja nuo 0 iki 90 o

Tiesios linijos sudaro kampus, kurių oX ašis svyruoja nuo 90° iki 180°

Todėl, jei turite klausimų:

— kuriame iš pateiktų grafiko taškų išvestinė turi mažiausią reikšmę?

- kuriame iš pateiktų grafiko taškų išvestinė turi didžiausią vertę?

tada norint atsakyti reikia suprasti, kaip kinta liestinės kampo liestinės reikšmė intervale nuo 0 iki 180 o.

*Kaip jau minėta, funkcijos išvestinės reikšmė taške yra lygi oX ašies liestinės polinkio kampo liestei.

Tangento reikšmė keičiasi taip:

Tiesės polinkio kampui pakitus nuo 0° iki 90°, liestinės reikšmė, taigi ir išvestinė, atitinkamai keičiasi nuo 0 iki +∞;

Tiesės polinkio kampui pasikeitus nuo 90° iki 180°, liestinės reikšmė, taigi ir išvestinė, atitinkamai pasikeičia –∞ į 0.

Tai aiškiai matyti iš liestinės funkcijos grafiko:

Paprastais žodžiais:

Esant liestinės pasvirimo kampui nuo 0° iki 90°

Kuo jis arčiau 0 o, tuo didesnė išvestinės vertė bus artima nuliui (pozityvioje pusėje).

Kuo kampas arčiau 90°, tuo labiau išvestinė vertė padidės link +∞.

Su liestinės pasvirimo kampu nuo 90° iki 180°

Kuo jis arčiau 90 o, tuo labiau išvestinės vertės mažės link –∞.

Kuo kampas arčiau 180°, tuo didesnė išvestinės vertė bus artima nuliui (neigiamoje pusėje).

317543. Paveiksle pavaizduotas funkcijos y = grafikas f(x) ir taškai pažymėti–2, –1, 1, 2. Kuriame iš šių taškų išvestinė yra didžiausia? Atsakyme nurodykite šį punktą.

Turime keturis taškus: du iš jų priklauso intervalams, kuriuose funkcija mažėja (tai taškai –1 ir 1), o du – intervalams, kuriuose funkcija didėja (tai taškai –2 ir 2).

Iš karto galime daryti išvadą, kad taškuose –1 ir 1 išvestinė turi neigiamą reikšmę, o –2 ir 2 – teigiamą. Todėl į tokiu atveju reikia išanalizuoti taškus –2 ir 2 ir nustatyti, kuris iš jų turės didžiausią reikšmę. Sukonstruokime liestines, eisiančias per nurodytus taškus:

Kampo tarp tiesės a ir abscisių ašies liestinės vertė bus tokia didesnę vertę kampo tarp tiesės b ir šios ašies liestinė. Tai reiškia, kad išvestinės vertė taške –2 bus didžiausia.

Mes atsakysime Kitas klausimas: Kuriame taške –2, –1, 1 ar 2 išvestinė yra neigiamiausia? Atsakyme nurodykite šį punktą.

Taškuose, priklausančiuose mažėjimo intervalams, išvestinė turės neigiamą reikšmę, todėl laikykime taškus –2 ir 1. Sukonstruokime per juos einančius liestinius:

Matome, kad bukas kampas tarp tiesės b ir oX ašies yra „arčiau“ 180 O , todėl jo liestinė bus didesnė už tiesės a ir oX ašies suformuoto kampo liestinę.

Taigi taške x = 1 išvestinės vertė bus didžiausia neigiama.

317544. Paveiksle pavaizduotas funkcijos y = grafikas f(x) ir taškai pažymėti–2, –1, 1, 4. Kuriame iš šių taškų išvestinė yra mažiausia? Atsakyme nurodykite šį punktą.

Turime keturis taškus: du iš jų priklauso intervalams, kuriais funkcija mažėja (tai taškai –1 ir 4), o du – intervalams, kuriais funkcija didėja (tai taškai –2 ir 1).

Iš karto galime daryti išvadą, kad taškuose –1 ir 4 išvestinė turi neigiamą reikšmę, o –2 ir 1 – teigiamą. Todėl šiuo atveju reikia išanalizuoti taškus –1 ir 4 ir nustatyti, kuris iš jų turės mažiausią reikšmę. Sukonstruokime liestines, eisiančias per nurodytus taškus:

Kampo tarp tiesės a ir abscisių ašies liestinės vertė bus didesnė už kampo tarp tiesės b ir šios ašies liestinės vertę. Tai reiškia, kad išvestinės vertė taške x = 4 bus mažiausia.

Atsakymas: 4

Tikiuosi, kad „neperkroviau“ jūsų rašymo kiekiu. Tiesą sakant, viskas labai paprasta, tereikia suprasti darinio savybes, jo geometrine prasme ir kaip kampo liestinė kinta nuo 0 iki 180 o.

1. Pirmiausia nustatykite išvestinės ženklus šiuose taškuose (+ arba -) ir pasirinkite reikiamus taškus (priklausomai nuo užduodamo klausimo).

2. Šiuose taškuose sukurkite liestinės.

3. Naudodamiesi tangesoidiniu grafiku, schematiškai pažymėkite kampus ir parodykiteAleksandras.

P.S. Būčiau dėkingas, jei papasakotumėte apie svetainę socialiniuose tinkluose.

Praktiniu požiūriu didžiausias susidomėjimas yra naudoti išvestinę, kad būtų galima rasti didžiausias ir mažiausias funkcijos reikšmes. Su kuo tai susiję? Maksimalus pelnas, kaštų minimizavimas, optimalios įrangos apkrovos nustatymas... Kitaip tariant, daugelyje gyvenimo sričių tenka spręsti kai kurių parametrų optimizavimo problemas. Ir tai yra didžiausios ir mažiausios funkcijos reikšmių radimo užduotys.

Reikėtų pažymėti, kad didžiausios ir mažiausios funkcijos reikšmės paprastai ieškomos tam tikrame intervale X, kuris yra arba visa funkcijos sritis, arba apibrėžimo srities dalis. Pats intervalas X gali būti atkarpa, atviras intervalas , begalinis intervalas.

Šiame straipsnyje mes kalbėsime apie tai, kaip aiškiai rasti didžiausias ir mažiausias vertes suteikta funkcija vienas kintamasis y=f(x) .

Puslapio naršymas.

Didžiausia ir mažiausia funkcijos reikšmė – apibrėžimai, iliustracijos.

Trumpai pažvelkime į pagrindinius apibrėžimus.

Didžiausia funkcijos reikšmė kad bet kam nelygybė yra tiesa.

Mažiausia funkcijos reikšmė y=f(x) intervale X vadinama tokia reikšme kad bet kam nelygybė yra tiesa.

Šie apibrėžimai yra intuityvūs: didžiausia (mažiausia) funkcijos reikšmė yra didžiausia (mažiausia) priimtina reikšmė nagrinėjamame intervale ties abscisėmis.

Stacionarūs taškai– tai yra argumento reikšmės, kai funkcijos išvestinė tampa lygi nuliu.

Kodėl ieškant didžiausių ir mažiausių verčių reikia stacionarių taškų? Atsakymą į šį klausimą duoda Ferma teorema. Iš šios teoremos išplaukia, kad jei diferencijuojama funkcija tam tikru momentu turi ekstremumą (lokalų minimumą arba vietinį maksimumą), tai šis taškas yra stacionarus. Taigi funkcija dažnai paima didžiausią (mažiausią) reikšmę intervale X viename iš šio intervalo stacionarių taškų.

Be to, funkcija dažnai gali įgyti didžiausias ir mažiausias reikšmes taškuose, kuriuose nėra pirmosios šios funkcijos išvestinės, o pati funkcija yra apibrėžta.

Iš karto atsakykime į vieną dažniausių klausimų šia tema: „Ar visada įmanoma nustatyti didžiausią (mažiausią) funkcijos reikšmę“? Ne ne visada. Kartais intervalo X ribos sutampa su funkcijos apibrėžimo srities ribomis arba intervalas X yra begalinis. O kai kurios funkcijos begalybėje ir apibrėžimo srities ribose gali turėti ir be galo dideles, ir be galo mažas reikšmes. Tokiais atvejais nieko negalima pasakyti apie didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmę.

Aiškumo dėlei pateiksime grafinę iliustraciją. Pažvelkite į nuotraukas ir daug kas taps aiškiau.

Ant segmento

Pirmame paveikslėlyje funkcija užima didžiausias (max y) ir mažiausias (min y) vertes stacionariuose taškuose, esančiuose atkarpos viduje [-6;6].

Apsvarstykite atvejį, pavaizduotą antrame paveikslėlyje. Pakeiskime segmentą į . Šiame pavyzdyje mažiausia funkcijos reikšmė pasiekiama stacionariame taške, o didžiausia – taške, kurio abscisė atitinka dešiniąją intervalo ribą.

3 paveiksle atkarpos [-3;2] ribiniai taškai yra taškų, atitinkančių didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmę, abscisės.

Atviru intervalu

Ketvirtajame paveikslėlyje funkcija paima didžiausias (max y) ir mažiausias (min y) vertes stacionariuose taškuose, esančiuose atviro intervalo viduje (-6;6).

Intervale negalima daryti išvadų apie didžiausią reikšmę.

Begalybėje

Septintame paveikslėlyje pateiktame pavyzdyje funkcija įgauna didžiausią reikšmę (max y) stacionariame taške, kurio abscisė x=1, o mažiausia reikšmė (min y) pasiekiama dešinėje intervalo riboje. Esant minus begalybei, funkcijos reikšmės asimptotiškai artėja prie y=3.

Per intervalą funkcija nepasiekia nei mažiausios, nei didžiausios reikšmės. Artėjant x = 2 iš dešinės, funkcijos reikšmės linkusios atėmus begalybę (linija x = 2 yra vertikali asimptotė), o abscisei plius begalybei, funkcijos reikšmės asimptotiškai artėja prie y = 3. Šio pavyzdžio grafinė iliustracija parodyta 8 paveiksle.

Algoritmas, skirtas rasti didžiausią ir mažiausią ištisinės funkcijos reikšmes segmente.

Parašykime algoritmą, leidžiantį rasti didžiausią ir mažiausią segmento funkcijos reikšmes.

1. Surandame funkcijos apibrėžimo sritį ir patikriname, ar joje yra visas segmentas.
2. Randame visus taškus, kuriuose pirmoji išvestinė neegzistuoja ir kurie yra segmente (dažniausiai tokie taškai randami funkcijose su argumentu po modulio ženklu ir laipsnio funkcijose su trupmeniniu-racionaliuoju rodikliu). Jei tokių taškų nėra, pereikite prie kito punkto.
3. Nustatome visus stacionarius taškus, patenkančius į atkarpą. Norėdami tai padaryti, prilyginame jį nuliui, išsprendžiame gautą lygtį ir pasirenkame tinkamas šaknis. Jei nėra stacionarių taškų arba nė vienas iš jų nepatenka į atkarpą, pereikite prie kito taško.
4. Apskaičiuojame funkcijos reikšmes pasirinktuose stacionariuose taškuose (jei yra), taškuose, kuriuose nėra pirmosios išvestinės (jei yra), taip pat x=a ir x=b.
5. Iš gautų funkcijos reikšmių išrenkame didžiausią ir mažiausią – jos bus atitinkamai reikalingos didžiausios ir mažiausios funkcijos reikšmės.

Išanalizuokime pavyzdžio sprendimo algoritmą, kad surastume didžiausias ir mažiausias segmento funkcijos reikšmes.

Pavyzdys.

Raskite didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmę

• ant segmento;
• atkarpoje [-4;-1] .

Sprendimas.

Funkcijos sritis yra visa rinkinys realūs skaičiai, išskyrus nulį, tai yra . Abu segmentai patenka į apibrėžimo sritį.

Raskite funkcijos išvestinę, atsižvelgiant į:

Akivaizdu, kad funkcijos išvestinė egzistuoja visuose atkarpų taškuose ir [-4;-1].

Iš lygties nustatome stacionarius taškus. Vienintelė tikroji šaknis yra x=2. Šis stacionarus taškas patenka į pirmąjį segmentą.

Pirmuoju atveju apskaičiuojame funkcijos reikšmes atkarpos galuose ir stacionariame taške, ty x=1, x=2 ir x=4:

Todėl didžiausia funkcijos vertė pasiekiama, kai x=1, ir mažiausia reikšmė – ties x=2.

Antruoju atveju funkcijų reikšmes apskaičiuojame tik atkarpos [-4;-1] galuose (nes jame nėra nė vieno stacionaraus taško):

Kartais problemose B15 yra „blogų“ funkcijų, kurioms sunku rasti išvestinę. Anksčiau tai atsitikdavo tik pavyzdinių testų metu, o dabar šios užduotys tokios įprastos, kad ruošiantis tikrajam vieningam valstybiniam egzaminui jų ignoruoti nebegalima.

Šiuo atveju veikia kiti metodai, iš kurių vienas yra monotoniškas.

Laikoma, kad funkcija f (x) monotoniškai didėja atkarpoje, jei bet kuriuose šios atkarpos taškuose x 1 ir x 2 galioja:

x 1< x 2 ⇒ f (x 1) < f (x 2).

Laikoma, kad funkcija f (x) monotoniškai mažėja atkarpoje, jei bet kuriuose šios atkarpos taškuose x 1 ir x 2 galioja:

x 1< x 2 ⇒ f (x 1) > f ( x 2).

Kitaip tariant, didėjančiai funkcijai, kuo didesnis x, tuo didesnis f(x). Mažėjančiai funkcijai yra atvirkščiai: kuo didesnis x, tuo mažiau f(x).

Pavyzdžiui, logaritmas didėja monotoniškai, jei bazė a > 1, ir monotoniškai mažėja, jei 0< a < 1. Не забывайте про область priimtinos vertės logaritmas: x > 0.

f (x) = log a x (a > 0; a ≠ 1; x > 0)

Aritmetinė kvadratinė (ir ne tik kvadratinė) šaknis monotoniškai didėja visoje apibrėžimo srityje:

Eksponentinė funkcija elgiasi panašiai kaip logaritmas: ji didėja, kai a > 1 ir mažėja, kai 0< a < 1. Но в отличие от логарифма, eksponentinė funkcija apibrėžta visiems skaičiams, o ne tik x > 0:

f (x) = a x (a > 0)

Galiausiai laipsniai su neigiamu rodikliu. Galite rašyti juos kaip trupmeną. Jie turi lūžio tašką, kuriame nutrūksta monotonija.

Visos šios funkcijos niekada nerandamos gryna forma. Jie prideda daugianario, trupmenos ir kitų nesąmonių, todėl sunku apskaičiuoti išvestinę. Pažiūrėkime, kas atsitiks šiuo atveju.

Parabolės viršūnių koordinatės

Dažniausiai funkcijos argumentas pakeičiamas kvadratinis trinaris formos y = ax 2 + bx + c. Jos grafikas yra standartinė parabolė, kuri mus domina:

1. Parabolės šakos gali kilti aukštyn (> 0) arba žemyn (a< 0). Задают направление, в котором функция может принимать бесконечные значения;
2. Parabolės viršūnė yra kvadratinės funkcijos ekstremalus taškas, kuriame ši funkcija įgyja savo minimumą (jeigu a > 0) arba maksimumą (a< 0) значение.

Didžiausią susidomėjimą kelia parabolės viršūnė, kurios abscisė apskaičiuojama pagal formulę:

Taigi, mes radome kvadratinės funkcijos ekstremalų tašką. Bet jei pradinė funkcija yra monotoniška, jai taškas x 0 taip pat bus kraštutinis taškas. Taigi, suformuluosime pagrindinę taisyklę:

Ekstremalūs taškai kvadratinis trinaris ir kompleksinė funkcija, į kurią ji įtraukta, sutampa. Todėl galite ieškoti kvadratinio trinalio x 0 ir pamiršti apie funkciją.

Iš aukščiau pateiktų samprotavimų lieka neaišku, kurį tašką gauname: maksimalų ar minimumą. Tačiau užduotys yra specialiai sukurtos, kad tai nebūtų svarbu. Spręskite patys:

1. Problemos teiginyje nėra segmento. Todėl f(a) ir f(b) skaičiuoti nereikia. Belieka atsižvelgti tik į kraštutinius dalykus;
2. Tačiau toks taškas yra tik vienas – tai parabolės x 0 viršūnė, kurios koordinatės skaičiuojamos pažodžiui žodžiu ir be jokių išvestinių.

Taigi problemos sprendimas yra labai supaprastintas ir susideda tik iš dviejų žingsnių:

1. Užrašykite parabolės y = ax 2 + bx + c lygtį ir pagal formulę raskite jos viršūnę: x 0 = −b /2a ;
2. Raskite pradinės funkcijos reikšmę šiame taške: f (x 0). Jei ne papildomos sąlygos ne, tai bus atsakymas.

Iš pirmo žvilgsnio šis algoritmas ir jo pagrindimas gali atrodyti sudėtingi. Aš sąmoningai neskelbiu „plikos“ sprendimo diagramos, nes neapgalvotas tokių taisyklių taikymas yra kupinas klaidų.

Pažvelkime į tikras problemas bandomasis vieningas valstybinis egzaminas matematikoje – čia ši technika sutinkama dažniausiai. Tuo pačiu pasirūpinsime, kad tokiu būdu daugelis B15 problemų taptų kone oralinėmis.

Po šaknimis stovi kvadratinė funkcija y = x 2 + 6x + 13. Šios funkcijos grafikas yra parabolė su šakomis į viršų, nes koeficientas a = 1 > 0.

Parabolės viršūnė:

x 0 = −b /(2a ) = −6/(2 1) = −6/2 = −3

Kadangi parabolės šakos nukreiptos aukštyn, taške x 0 = −3 funkcija y = x 2 + 6x + 13 įgyja mažiausią reikšmę.

Šaknis didėja monotoniškai, o tai reiškia, kad x 0 yra mažiausias visos funkcijos taškas. Mes turime:

Užduotis. Raskite mažiausią funkcijos reikšmę:

y = log 2 (x 2 + 2x + 9)

Po logaritmu vėl yra kvadratinė funkcija: y = x 2 + 2x + 9. Grafas yra parabolė su šakomis į viršų, nes a = 1 > 0.

Parabolės viršūnė:

x 0 = −b /(2a ) = −2/(2 1) = −2/2 = −1

Taigi taške x 0 = −1 kvadratinė funkcija įgyja mažiausią reikšmę. Tačiau funkcija y = log 2 x yra monotoniška, todėl:

y min = y (−1) = log 2 ((−1) 2 + 2 · (−1) + 9) = ... = log 2 8 = 3

Rodyklėje yra kvadratinė funkcija y = 1 − 4x − x 2 . Perrašykime jį normalia forma: y = −x 2 − 4x + 1.

Akivaizdu, kad šios funkcijos grafikas yra parabolė, išsišakojanti žemyn (a = −1< 0). Поэтому вершина будет точкой максимума:

x 0 = −b /(2a ) = −(−4)/(2 · (−1)) = 4/(−2) = −2

Pradinė funkcija yra eksponentinė, ji yra monotoniška, todėl didžiausia reikšmė bus rastame taške x 0 = −2:

Dėmesingas skaitytojas tikriausiai pastebės, kad mes nenurašėme šaknies ir logaritmo leistinų verčių diapazono. Tačiau to nereikėjo: viduje yra funkcijų, kurių vertės visada yra teigiamos.

Išvados iš funkcijos srities

Kartais užduočiai B15 išspręsti neužtenka vien rasti parabolės viršūnę. Vertė, kurios ieškote, gali meluoti segmento pabaigoje, ir visai ne kraštutiniame taške. Jei problema visai nenurodo segmento, pažiūrėkite priimtinų verčių diapazoną originali funkcija. Būtent:

Dar kartą atkreipkite dėmesį: nulis gali būti po šaknimi, bet niekada – trupmenos logaritme ar vardiklyje. Pažiūrėkime, kaip tai veikia su konkrečiais pavyzdžiais:

Užduotis. Raskite didžiausią funkcijos reikšmę:

Po šaknimi vėl yra kvadratinė funkcija: y = 3 − 2x − x 2 . Jo grafikas yra parabolė, bet išsišakoja žemyn, nes a = −1< 0. Значит, парабола уходит на минус бесконечность, что недопустимо, поскольку арифметический Kvadratinė šaknis neigiamo skaičiaus neegzistuoja.

Išrašome leistinų verčių diapazoną (APV):

3 − 2x − x 2 ≥ 0 ⇒ x 2 + 2x − 3 ≤ 0 ⇒ (x + 3) (x − 1) ≤ 0 ⇒ x ∈ [−3; 1]

Dabar suraskime parabolės viršūnę:

x 0 = −b /(2a ) = −(−2)/(2 · (−1)) = 2/(−2) = −1

Taškas x 0 = −1 priklauso ODZ segmentui – ir tai gerai. Dabar apskaičiuojame funkcijos reikšmę taške x 0, taip pat ODZ galuose:

y(−3) = y(1) = 0

Taigi, mes gavome skaičius 2 ir 0. Mūsų prašoma rasti didžiausią – tai skaičius 2.

Užduotis. Raskite mažiausią funkcijos reikšmę:

y = log 0,5 (6x - x 2 - 5)

Logaritmo viduje yra kvadratinė funkcija y = 6x − x 2 − 5. Tai parabolė su šakomis žemyn, bet logaritme negali būti neigiami skaičiai, todėl išrašome ODZ:

6x − x 2 − 5 > 0 ⇒ x 2 − 6x + 5< 0 ⇒ (x − 1)(x − 5) < 0 ⇒ x ∈ (1; 5)

Atkreipkite dėmesį: nelygybė yra griežta, todėl galai nepriklauso ODZ. Tai skiriasi logaritmu nuo šaknies, kur segmento galai mums tinka gana gerai.

Ieškome parabolės viršūnės:

x 0 = −b /(2a ) = −6/(2 · (−1)) = −6/(−2) = 3

Parabolės viršūnė tinka pagal ODZ: x 0 = 3 ∈ (1; 5). Bet kadangi mums neįdomūs atkarpos galai, funkcijos reikšmę apskaičiuojame tik taške x 0:

y min = y (3) = log 0,5 (6 3 - 3 2 - 5) = log 0,5 (18 - 9 - 5) = log 0,5 4 = -2

Kaip rasti didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmes segmente?

Už tai vadovaujamės gerai žinomu algoritmu:

1 . ODZ funkcijų paieška.

2 . Funkcijos išvestinės radimas

3 . Išvestinės prilyginimas nuliui

4 . Randame intervalus, per kuriuos išvestinė išlaiko savo ženklą, ir iš jų nustatome funkcijos didėjimo ir mažėjimo intervalus:

Jei I intervale funkcijos išvestinė yra 0" title="f^(pirminis)(x)>0">, то функция !} per šį intervalą didėja.

Jei intervale I funkcijos išvestinė , tai funkcija per šį intervalą mažėja.

5 . Mes randame maksimalus ir minimalus funkcijos taškai.

IN maksimaliame funkcijos taške išvestinė keičia ženklą iš „+“ į „-“.

IN minimalus funkcijos taškasišvestinė keičia ženklą iš "-" į "+".

6 . Funkcijos reikšmę randame segmento galuose,

• tada lyginame funkcijos reikšmę atkarpos galuose ir maksimaliuose taškuose, ir pasirinkite didžiausią iš jų, jei reikia rasti didžiausią funkcijos reikšmę
• arba palyginkite funkcijos reikšmę atkarpos galuose ir minimaliuose taškuose, ir pasirinkite mažiausią iš jų, jei reikia rasti mažiausią funkcijos reikšmę

Tačiau priklausomai nuo to, kaip funkcija veikia segmente, šis algoritmas gali būti žymiai sumažintas.

Apsvarstykite funkciją . Šios funkcijos grafikas atrodo taip:

Pažvelkime į keletą „Open Task Bank for“ problemų sprendimo pavyzdžių

1 . Užduotis B15 (Nr. 26695)

Ant segmento.

1. Funkcija apibrėžta visoms tikrosioms x reikšmėms

Akivaizdu, kad ši lygtis neturi sprendinių, o išvestinė yra teigiama visoms x reikšmėms. Vadinasi, funkcija didėja ir įgauna didžiausią reikšmę dešiniajame intervalo gale, ty esant x=0.

Atsakymas: 5.

2 . Užduotis B15 (Nr. 26702)

Raskite didžiausią funkcijos reikšmę segmente.

1. ODZ funkcijos title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

Išvestinė yra lygi nuliui ties , tačiau šiuose taškuose ji nekeičia ženklo:

Todėl title="3/(cos^2(x))>=3">, значит, title="3/(cos^2(x))-3>=0">, то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция !} padidėja ir įgauna didžiausią reikšmę dešinėje intervalo pabaigoje, ties .

Kad būtų akivaizdu, kodėl išvestinė nekeičia ženklo, išvestinės išraišką transformuojame taip:

Title="y^(prime)=3/(cos^2(x))-3=(3-3cos^2(x))/(cos^2(x))=(3sin^2 (x))/(cos^2(x))=3tg^2(x)>=0">!}

Atsakymas: 5.

3. Užduotis B15 (Nr. 26708)

Raskite mažiausią funkcijos reikšmę segmente.

1. ODZ funkcijos: title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

Padėkime šios lygties šaknis ant trigonometrinio apskritimo.

Intervalą sudaro du skaičiai: ir

Pastatykime ženklus. Norėdami tai padaryti, nustatome išvestinės ženklą taške x=0: . Einant per taškus ir, išvestinė keičia ženklą.

Pavaizduokime funkcijos išvestinės ženklų kitimą koordinačių tiesėje:

Akivaizdu, kad taškas yra minimalus taškas (kuriame išvestinė keičia ženklą iš „-“ į „+“), o norėdami rasti mažiausią funkcijos reikšmę segmente, turite palyginti funkcijos reikšmes minimalus taškas ir kairiajame atkarpos gale, .

Tegul funkcija y =f(X) yra nuolatinis intervale [ a, b]. Kaip žinoma, tokia funkcija šiame segmente pasiekia maksimalias ir minimalias reikšmes. Funkcija gali gauti šias reikšmes arba vidiniame atkarpos taške [ a, b] arba ant atkarpos ribos.

Norėdami rasti didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmes segmente [ a, b] būtina:

1) suraskite kritinius funkcijos taškus intervale ( a, b);

2) apskaičiuokite funkcijos reikšmes rastuose kritiniuose taškuose;

3) apskaičiuokite funkcijos reikšmes segmento galuose, tai yra, kada x=A ir x = b;

4) iš visų apskaičiuotų funkcijos reikšmių pasirinkite didžiausią ir mažiausią.

Pavyzdys. Raskite didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmes

segmente.

Kritinių taškų paieška:

Šie taškai yra segmento viduje; y(1) = ‒ 3; y(2) = ‒ 4; y(0) = ‒ 8; y(3) = 1;

taške x= 3 ir taške x= 0.

Išgaubtumo ir vingio taško funkcijos tyrimas.

Funkcija y = f (x) paskambino išgaubtas tarp (a, b) , jei jo grafikas yra po liestine, nubrėžta bet kuriame šio intervalo taške, ir yra vadinamas išgaubtas žemyn (įgaubtas), jei jo grafikas yra virš liestinės.

Taškas, per kurį išgaubtumas pakeičiamas įdubimu arba atvirkščiai, vadinamas Vingio taškas.

Išgaubtumo ir vingio taško tyrimo algoritmas:

1. Raskite antrosios rūšies kritinius taškus, tai yra taškus, kuriuose antroji išvestinė lygi nuliui arba neegzistuoja.

2. Nubrėžkite kritinius taškus skaičių tiesėje, padalydami jį intervalais. Kiekviename intervale raskite antrosios išvestinės ženklą; jei , tada funkcija yra išgaubta į viršų, jei, tada funkcija yra išgaubta žemyn.

3. Jei, einant per antrosios rūšies kritinį tašką, ženklas pasikeičia ir šioje vietoje antroji išvestinė lygi nuliui, tai šis taškas yra vingio taško abscisė. Raskite jo ordinates.

Funkcijos grafiko asimptotės. Asimptotų funkcijos tyrimas.

Apibrėžimas. Funkcijos grafiko asimptote vadinama tiesiai, kuri turi savybę, kad atstumas nuo bet kurio grafiko taško iki šios linijos linkęs į nulį, nes taškas grafike neribotai juda nuo pradžios.

Yra trys asimptotų tipai: vertikaliai, horizontaliai ir nuožulniai.

Apibrėžimas. Tiesi linija vadinama vertikali asimptota funkcinė grafika y = f(x), jei bent viena iš vienpusių funkcijos ribų šiame taške yra lygi begalybei, tai yra

kur yra funkcijos nepertraukiamumo taškas, tai yra, ji nepriklauso apibrėžimo sričiai.

Pavyzdys.

D ( y) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)

x= 2 – lūžio taškas.

Apibrėžimas. Tiesiai y =A paskambino horizontalioji asimptote funkcinė grafika y = f(x) prie , jei

Pavyzdys.

x
y

Apibrėžimas. Tiesiai y =kx +b (k≠ 0) vadinamas įstrižinė asimptotė funkcinė grafika y = f(x) kur

Bendra funkcijų tyrimo ir grafikų sudarymo schema.

Funkcijų tyrimo algoritmasy = f(x) :

1. Raskite funkcijos sritį D (y).

2. Raskite (jei įmanoma) grafiko susikirtimo taškus su koordinačių ašimis (jei x= 0 ir at y = 0).

3. Ištirkite funkcijos lygumą ir nelygumą ( y (‒ x) = y (x) ‒ paritetas; y(‒ x) = ‒ y (x) ‒ nelyginis).

4. Raskite funkcijos grafiko asimptotes.

5. Raskite funkcijos monotoniškumo intervalus.

6. Raskite funkcijos kraštutinumą.

7. Raskite funkcijos grafiko išgaubimo (įgaubtumo) ir vingio taškų intervalus.

8. Remdamiesi atliktais tyrimais, sukonstruokite funkcijos grafiką.

Pavyzdys. Ištirkite funkciją ir sukurkite jos grafiką.

1) D (y) =

x= 4 – lūžio taškas.

2) Kada x = 0,

(0; ‒ 5) – susikirtimo taškas su Oi.

At y = 0,

3) y(‒ x)= funkcija bendras vaizdas(nei lyginis, nei nelyginis).

4) Mes tiriame asimptotus.

a) vertikaliai

b) horizontaliai

c) suraskite pasvirusius asimptotus kur

‒pasviroji asimptotės lygtis

5) Šioje lygtyje nebūtina rasti funkcijos monotoniškumo intervalų.

6)

Šie kritiniai taškai padalija visą funkcijos apibrėžimo sritį į intervalą (˗∞; ˗2), (˗2; 4), (4; 10) ir (10; +∞). Patogu gautus rezultatus pateikti šios lentelės forma.