Lygiagretainio gretimų kampų suma. Lygiagretainė ir jos savybės

Šiandienos pamokoje apžvelgsime pagrindines lygiagretainio savybes, o tada atkreipsime dėmesį į pirmųjų dviejų lygiagretainio savybių svarstymą ir jas įrodysime. Įrodinėjimo metu prisiminkime trikampių lygybės testų panaudojimą, kuriuos studijavome pernai ir kartojome pirmoje pamokoje. Pabaigoje bus pateiktas ištirtų lygiagretainio charakteristikų panaudojimo pavyzdys.

Tema: Keturkampiai

Pamoka: Lygiagretainio ženklai

Pradėkime prisimindami lygiagretainio apibrėžimą.

Apibrėžimas. Lygiagretainis- keturkampis, kurio kas dvi priešingos kraštinės yra lygiagrečios (žr. 1 pav.).

Ryžiai. 1. Lygiagretainis

Prisiminkime pagrindinės lygiagretainio savybės:

Kad galėtumėte naudotis visomis šiomis savybėmis, turite būti tikri, kad figūra, apie kurią kalbate mes kalbame apie, yra lygiagretainis. Norėdami tai padaryti, turite žinoti tokius faktus kaip lygiagretainio charakteristikos. Šiandien svarstysime pirmuosius du iš jų.

Teorema. Pirmasis lygiagretainio ženklas. Jei dvi priešingos keturkampio kraštinės yra lygios ir lygiagrečios, tai šis keturkampis yra lygiagretainis. .

Ryžiai. 2. Pirmasis lygiagretainio ženklas

Įrodymas. Į keturkampį nubrėžkime įstrižainę (žr. 2 pav.), ji padalija ją į du trikampius. Parašykime, ką žinome apie šiuos trikampius:

pagal pirmąjį trikampių lygybės kriterijų.

Iš nurodytų trikampių lygybės išplaukia, kad dėl tiesių lygiagretumo, kai jos susikerta su sekantu. Turime tai:

Įrodyta.

Teorema. Antrasis lygiagretainio ženklas. Jei keturkampyje visos dvi priešingos kraštinės yra lygios, tai šis keturkampis yra lygus lygiagretainis. .

Ryžiai. 3. Antrasis lygiagretainio ženklas

Įrodymas. Į keturkampį nubrėžkime įstrižainę (žr. 3 pav.), ji padalija ją į du trikampius. Remdamiesi teoremos formuluote, užrašykite, ką žinome apie šiuos trikampius:

pagal trečiąjį trikampių lygybės kriterijų.

Iš trikampių lygybės išplaukia, kad tiesės yra lygiagrečios, kai susikerta su atskyrimu. Mes gauname:

lygiagretainis pagal apibrėžimą. Q.E.D.

Įrodyta.

Pažvelkime į lygiagretainio ypatybių naudojimo pavyzdį.

1 pavyzdys. Išgaubtame keturkampyje Raskite: a) keturkampio kampus; b) pusė.

Sprendimas. Pavaizduokime pav. 4.

Ryžiai. 4

lygiagretainis pagal pirmąjį lygiagretainio ženklą.

Sign-ki pa-ral-le-lo-gram-ma

1. Lygiagretainio apibrėžimas ir pagrindinės savybės

Pradėkime primindami para-ral-le-lo-gram apibrėžimą.

Apibrėžimas. Lygiagretainis- what-you-rekh-gon-nick, kuris turi kas dvi pro-ti-false puses, kurios yra lygiagrečios (žr. 1 pav.).

Ryžiai. 1. Pa-ral-le-lo-gram

Prisiminkime pagrindinės pa-ral-le-lo-gram-ma savybės:

Kad galėtumėte naudoti visas šias savybes, turite būti tikri, kad fi-gu-ra, apie ką nors -roy, apie kurį mes kalbame, - par-ral-le-lo-gram. Norėdami tai padaryti, turite žinoti tokius faktus kaip pa-ral-le-lo-gram-ma požymius. Dabar žiūrime į pirmuosius du iš jų.

2. Pirmasis lygiagretainio ženklas

Teorema. Pirmasis pa-ral-le-lo-gram-ma ženklas. Jei keturių anglių dvi priešingos pusės yra lygios ir lygiagrečios, tada ši keturių anglių slapyvardis - lygiagretainis. .

Ryžiai. 2. Pirmasis pa-ral-le-lo-gram-ma požymis

Įrodymas. Įdėkime dia-go-nalą į keturių-reh-coal-ni-ka (žr. 2 pav.), ji padalija ją į dvi tri-coal-ni-ka. Parašykime, ką žinome apie šiuos trikampius:

pagal pirmąjį trikampių lygybės ženklą.

Iš nurodytų trikampių lygybės matyti, kad tiesių linijų lygiagretumo ženklu kertant ch-nii jų s-ku-shchi. Turime tai:

Do-ka-za-but.

3. Antrasis lygiagretainio ženklas

Teorema. Antrasis ženklas yra pa-ral-le-lo-gram-ma. Jei keturių kampų kas dvi pro-ti-false pusės yra lygios, tada šis keturių kampų yra lygiagretainis. .

Ryžiai. 3. Antrasis pa-ral-le-lo-gram-ma ženklas

Įrodymas. Įdedame įstrižainę į keturių kampų kampą (žr. 3 pav.), ji padalija ją į du trikampius. Remdamiesi teorijos forma, užrašykite, ką žinome apie šiuos trikampius:

pagal trečiąjį trikampių lygybės ženklą.

Iš trikampių lygybės išplaukia, kad pagal lygiagrečių linijų ženklą, kai jas susikerta, s-ku-shchey. Pavalgykime:

par-ral-le-lo-gram pagal apibrėžimą. Q.E.D.

Do-ka-za-but.

4. Pirmojo lygiagretainio požymio panaudojimo pavyzdys

Pažvelkime į pa-ral-le-lo-gram ženklų naudojimo pavyzdį.

Pavyzdys 1. Iškilime nėra anglių Raskite: a) anglių kampus; b) šimtaro šulinys.

Sprendimas. Iliustracija Fig. 4.

pa-ral-le-lo-gram pagal pirmąjį pa-ral-le-lo-gram-ma ženklą.

A. pagal par-ral-le-lo-gramo savybę apie pro-ti-klaidingus kampus, pagal par-ral-le-lo-gramo savybę apie kampų sumą, kai gulima į vieną pusę.

B. pagal melagingų pusių lygybės prigimtį.

re-tiy ženklas pa-ral-le-lo-gram-ma

5. Apžvalga: lygiagretės apibrėžimas ir savybės

Prisiminkime tai lygiagretainis- tai keturių kvadratų kampas, turintis pro-ti-false puses poromis. Tai yra, jei - par-ral-le-lo-gram, tada (žr. 1 pav.).

Lygiagreti-le-lo-grama turi daugybę savybių: priešingi kampai yra lygūs (), priešingi kampai - mes lygūs ( ). Be to, dia-go-na-li pa-ral-le-lo-gram re-se-che-niya taške yra padalinta pagal kampų sumą, at-le- spaudžiant bet kurią pusę pa -ral-le-lo-gram-ma, lygus ir kt.

Tačiau norint pasinaudoti visomis šiomis savybėmis, būtina būti visiškai tikram, kad ri-va-e-my th-you-rekh-coal-nick - pa-ral-le-lo-gram. Šiuo tikslu yra par-ral-le-lo-gram ženklai: tai yra tie faktai, iš kurių galima padaryti vienareikšmę išvadą, kad what-you-rekh-coal-nickas yra par-ral- le-lo-gram-mama. Ankstesnėje pamokoje jau žiūrėjome į du ženklus. Dabar žiūrime trečią kartą.

6. Trečiasis lygiagretainio ženklas ir jo įrodymas

Jei keturių anglių taške yra dia-go-on re-se-che-niya taške jie daro-by-lams, tada duota keturių jums Roh-coal-nicck yra pa-ral-le -lo-gram-mama.

Duota:

What-you-re-anglis-nick; ; .

Įrodykite:

Lygiagretainis.

Įrodymas:

Norint įrodyti šį faktą, būtina parodyti šalių paraleliškumą par-le-lo-gramai. O tiesių linijų lygiagretumas dažniausiai pasiekiamas per vidinių kryžminių kampų lygybę šiais stačiais kampais. Taigi, čia yra kitas būdas gauti trečiąjį par-ral -le-lo-gram-ma ženklą: per trikampių lygybę .

Pažiūrėkime, kaip šie trikampiai yra lygūs. Iš tiesų, iš sąlygos išplaukia: . Be to, kadangi kampai yra vertikalūs, jie yra lygūs. Tai yra:

(pirmasis lygybės ženklastri-coal-ni-cov- išilgai dviejų pusių ir kampe tarp jų).

Iš trikampių lygybės: (kadangi vidiniai skersiniai kampai ties šiomis tiesėmis ir skyrikliais yra lygūs). Be to, iš trikampių lygybės išplaukia, kad . Tai reiškia, kad mes suprantame, kad keturiuose angliuose du šimtai yra lygūs ir lygiagrečiai. Pagal pirmąjį ženklą pa-ral-le-lo-gram-ma: - pa-ral-le-lo-gram.

Do-ka-za-but.

7. Trečiojo lygiagretainio ženklo uždavinio pavyzdys ir apibendrinimas

Pažvelkime į trečiojo pa-ral-le-lo-gram ženklo naudojimo pavyzdį.

1 pavyzdys

Duota:

- lygiagretainis; . - se-re-di-na, - se-re-di-na, - se-re-di-na, - se-re-di-na (žr. 2 pav.).

Įrodykite:- pa-ral-le-lo-gram.

Įrodymas:

Tai reiškia, kad keturių anglių-no-dia-go-on-ar tuo re-se-che-niya taško jie daro-by-lam. Pagal trečiąjį pa-ral-le-lo-gram ženklą iš to išplaukia, kad - pa-ral-le-lo-gram.

Do-ka-za-but.

Jei analizuosite trečiąjį pa-ral-le-lo-gram ženklą, galite pastebėti, kad šis ženklas yra su-vet- turi par-ral-le-lo-gram savybę. Tai yra faktas, kad dia-go-na-li de-la-xia nėra tik par-le-lo-gram savybė, o jos skiriamoji, kha-rak-te-ri-sti-che- savybė, pagal kurią ją galima atskirti nuo aibės what-you-rekh-coal-ni-cov.

ŠALTINIS

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/chyotyrehugolniki/priznaki-parallelogramma

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/chyotyrehugolniki/tretiy-priznak-parallelogramma

http://www.uchportfolio.ru/users_content/675f9820626f5bc0afb47b57890b466e/images/46TThxQ8j4Y.jpg

http://cs10002.vk.me/u31195134/116260458/x_56d40dd3.jpg

http://www.tepka.ru/geometriya/16.1.gif

Lygiagretainis yra keturkampis, kurio priešingos kraštinės yra lygiagrečios, t.y. gulėti ant lygiagrečių linijų

Lygiagretainio savybės:
22 teorema. Lygiagretainio priešingos kraštinės yra lygios.
Įrodymas. Lygiagretainyje ABCD nubrėžiame įstrižainę AC. Trikampiai ACD ir ACB yra lygūs, turintys bendrą kraštinę AC ir dvi poras vienodi kampai. greta jo: ∠ CAB=∠ ACD, ∠ ACB=∠ DAC (kaip skersiniai kampai su lygiagrečiomis tiesėmis AD ir BC). Tai reiškia, kad AB = CD ir BC = AD, kaip atitinkamos pusės vienodi trikampiai ir kt. Iš šių trikampių lygybės taip pat išplaukia, kad atitinkami trikampių kampai yra lygūs:
23 teorema. Lygiagretainio priešingi kampai yra lygūs: ∠ A=∠ C ir ∠ B=∠ D.
Pirmosios poros lygybė gaunama iš trikampių ABD ir CBD lygybės, o antrosios - ABC ir ACD.
24 teorema. Gretimi lygiagretainio kampai, t.y. kampai, esantys šalia vienos pusės, sudaro 180 laipsnių.
Taip yra todėl, kad jie yra vidiniai vienpusiai kampai.
25 teorema. Lygiagretainio įstrižainės viena kitą dalija susikirtimo taške.
Įrodymas. Apsvarstykite trikampius BOC ir AOD. Pagal pirmąją savybę AD=BC ∠ OAD=∠ OCB ir ∠ ODA=∠ OBC guli kryžmai lygiagrečioms tiesėms AD ir BC. Todėl trikampiai BOC ir AOD yra lygūs šoniniuose ir gretimuose kampuose. Tai reiškia, kad BO = OD ir AO = OS, kaip ir atitinkamos lygių trikampių kraštinės ir kt.

Lygiagretainio ženklai
26 teorema. Jei keturkampio priešingos kraštinės yra lygios poromis, tai yra lygiagretainis.
Įrodymas. Tegu keturkampio ABCD kraštinės AD ir BC, AB ir CD atitinkamai lygios (2 pav.). Nubrėžkime įstrižainę AC. Trikampiai ABC ir ACD yra lygūs iš trijų kraštinių. Tada kampai BAC ir DCA yra lygūs, todėl AB lygiagreti CD. Kraštinių BC ir AD lygiagretumas išplaukia iš kampų CAD ir ACB lygybės.
27 teorema. Jei keturkampio priešingi kampai poromis lygūs, tai lygiagretainis.
Tegu ∠ A=∠ C ir ∠ B=∠ D. Kadangi ∠ A+∠ B+∠ C+∠ D=360 o, tada ∠ A+∠ B=180 o ir kraštinės AD ir BC lygiagrečios (remiantis tiesių lygiagretumu). Taip pat įrodysime kraštinių AB ir CD lygiagretumą ir padarysime išvadą, kad ABCD pagal apibrėžimą yra lygiagretainis.
28 teorema. Jeigu gretimi keturkampio kampai, t.y. Kampai, esantys greta vienos pusės, sudaro 180 laipsnių, tada tai yra lygiagretainis.
Jei vidiniai vienpusiai kampai sudaro 180 laipsnių, tiesios linijos yra lygiagrečios. Taigi AB lygiagreti CD, o BC lygiagreti AD. Keturkampis pagal apibrėžimą pasirodo esąs lygiagretainis.
29 teorema. Jei keturkampio įstrižainės susikirtimo taške dalija viena kitą, tai keturkampis yra lygiagretainis.
Įrodymas. Jei AO = OC, BO = OD, tai trikampiai AOD ir BOC yra lygūs, nes turi lygius kampus (vertikalius) viršūnėje O, uždarytoje tarp porų lygios pusės. Iš trikampių lygybės darome išvadą, kad AD ir BC yra lygūs. Kraštinės AB ir CD taip pat yra lygios, o keturkampis pagal 1 kriterijų pasirodo lygiagretainiu.
30 teorema. Jei keturkampis turi porą lygiagrečių lygiagrečių kraštinių, tai jis yra lygiagretainis.
Tegul keturkampio ABCD kraštinės AB ir CD yra lygiagrečios ir lygios. Nubrėžkime įstrižaines AC ir BD. Iš šių tiesių lygiagretumo matyti, kad skersiniai kampai ABO = CDO ir BAO = OCD yra lygūs. Trikampiai ABO ir CDO yra lygūs šoniniuose ir gretimuose kampuose. Todėl AO=OS, VO=ОD, t.y. Įstrižainės dalijamos per pusę susikirtimo taško, o keturkampis pagal 4 kriterijų pasirodo lygiagretainiu.

Geometrijoje nagrinėjami ypatingi lygiagretainių atvejai.

Vaizdo kursas „Gaukite A“ apima visas sėkmingam darbui reikalingas temas išlaikęs vieningą valstybinį egzaminą iš matematikos už 60-65 balus. Visiškai visos problemos 1-13 Profilio vieningas valstybinis egzaminas matematikos. Taip pat tinka išlaikyti bazinį vieningą valstybinį matematikos egzaminą. Jei norite išlaikyti vieningą valstybinį egzaminą 90-100 balų, 1 dalį turite išspręsti per 30 minučių ir be klaidų!

Pasirengimo kursas vieningam valstybiniam egzaminui 10-11 klasėms, taip pat mokytojams. Viskas, ko reikia norint išspręsti matematikos vieningo valstybinio egzamino 1 dalį (12 pirmųjų uždavinių) ir 13 uždavinį (trigonometrija). Ir tai yra daugiau nei 70 balų iš vieningo valstybinio egzamino ir be jų neapsieina nei 100 balų studentas, nei humanitarinių mokslų studentas.

Visa reikalinga teorija. Greiti būdai Vieningo valstybinio egzamino sprendimai, spąstai ir paslaptys. Išnagrinėtos visos dabartinės FIPI užduočių banko 1 dalies užduotys. Kursas visiškai atitinka Vieningo valstybinio egzamino 2018 m. reikalavimus.

Kursą sudaro 5 didelės temos, kiekviena po 2,5 val. Kiekviena tema pateikiama nuo nulio, paprastai ir aiškiai.

Šimtai vieningo valstybinio egzamino užduočių. Žodiniai uždaviniai ir tikimybių teorija. Paprasti ir lengvai įsimenami problemų sprendimo algoritmai. Geometrija. teorija, etaloninė medžiaga, visų tipų vieningo valstybinio egzamino užduočių analizė. Stereometrija. Sudėtingi sprendimai, naudingi cheat sheets, erdvinės vaizduotės ugdymas. Trigonometrija nuo nulio iki problemos 13. Supratimas, o ne kimšimas. Aiškūs sudėtingų sąvokų paaiškinimai. Algebra. Šaknys, laipsniai ir logaritmai, funkcija ir išvestinė. Sudėtingų Vieningo valstybinio egzamino 2 dalies uždavinių sprendimo pagrindas.