Kokia yra bet kurio trikampio suma? Trikampio kampų suma. Trikampio kampo sumos teorema

Faktą, kad „bet kurio trikampio kampų suma Euklido geometrijoje yra 180 laipsnių“, galima tiesiog prisiminti. Jei tai nėra lengva prisiminti, galite atlikti keletą eksperimentų, kad geriau įsimintų.

Eksperimentuokite vieną

Ant popieriaus lapo nupieškite kelis savavališkus trikampius, pavyzdžiui:

• su savavališkomis pusėmis;
• lygiašonis trikampis;
• taisyklingas trikampis.

Būtinai naudokite liniuotę. Dabar reikia iškirpti gautus trikampius, darydami tai tiksliai pagal nubrėžtas linijas. Nuspalvinkite kiekvieno trikampio kampus spalvotu pieštuku arba žymekliu. Pavyzdžiui, pirmame trikampyje visi kampai bus raudoni, antrame - mėlyni, trečiame - žalia. http://bit.ly/2gY4Yfz

Nuo pirmojo trikampio nupjaukite visus 3 kampus ir viename taške sujunkite juos su jų viršūnėmis, kad būtų sujungtos artimiausios kiekvieno kampo kraštinės. Kaip matote, trys trikampio kampai sudarė išplėstinį kampą, kuris yra lygus 180 laipsnių. Tą patį padarykite su kitais dviem trikampiais – rezultatas bus toks pat. http://bit.ly/2zurCrd

Eksperimentuokite du

Nubrėžkite savavališką trikampį ABC. Pasirinkite bet kurią viršūnę (pavyzdžiui, C) ir per ją nubrėžkite tiesę DE, lygiagrečią priešingai pusei (AB). http://bit.ly/2zbYNzq

Gauname šiuos dalykus:

1. Kampai BAC ir ACD yra lygūs vidiniams kampams, statmeniems AC;
2. Kampai ABC ir BCE yra lygūs vidiniams kampams, statmeniems BC;
3. Matome, kad kampai 1, 2 ir 3 yra trikampio kampai, sujungti viename taške, kad sudarytų išvystytą DCE kampą, kuris lygus 180 laipsnių.

Trikampio kampo sumos teorema teigia, kad bet kurio trikampio visų vidinių kampų suma yra 180°.

Tegul vidiniai trikampio kampai yra a, b ir c, tada:

a + b + c = 180°.

Iš šios teorijos galime daryti išvadą, kad bet kurio trikampio visų išorinių kampų suma yra lygi 360°. Kadangi išorinis kampas yra greta vidinio kampo, jų suma yra 180°. Tegul vidiniai trikampio kampai yra a, b ir c, tada išoriniai kampai šiais kampais yra 180° - a, 180° - b ir 180° - c.

Raskime trikampio išorinių kampų sumą:

180° - a + 180° - b + 180° - c = 540° - (a + b + c) = 540° - 180° = 360°.

Atsakymas: trikampio vidinių kampų suma yra 180°; trikampio išorinių kampų suma lygi 360°.

Pamokos tipas: mokytis naujos medžiagos.

Pamokos tikslai:

Švietimas:

• kartu su vaikinais „atraskite“ ir įrodykite teoremą apie trikampio kampų sumą;
• apibendrinti ir susisteminti studijuotą medžiagą šia tema;
• supažindinti mokinius su istorine medžiaga nagrinėjama tema;
• ugdyti susidomėjimą matematika įtraukiant į pamoką žaidimų technologijas;
• ugdyti geometrinių uždavinių sprendimo įgūdžius ir gebėjimus;

Švietimas:

• lavinti dėmesį, atmintį, kalbą, loginis mąstymas, nepriklausomybė;
• apsvarstyti kelis teoremos įrodymo būdus, apibendrinti naudojant tyrimo elementus, plėtoti matematinę kalbą;
• ugdyti gebėjimą lyginti ir apibendrinti faktus ir sąvokas;
• plėtoti bendradarbiavimą dirbant poromis.

Švietimas:

• ugdyti norą pasiekti tikslą; atsakomybės jausmas, pasitikėjimas savimi, gebėjimas dirbti komandoje;
• ugdyti charakterio savybes, tokias kaip atkaklumas, ryžtas, sunkus darbas ir disciplina;
• ugdyti tikslumo įgūdžius kuriant brėžinius;

• formuoti humaniškus santykius klasėje.

Įranga: Kompiuteris, multimedijos įranga, planšetiniai kompiuteriai, darbalapiai su namų darbai, kartoniniai trikampiai, dalomoji medžiaga.

Taikomos mokymo formos: priekinis, individualus darbas mokiniai ir dirba poromis. Norėdami suaktyvinti dėmesį ir vaizduotę, buvo pristatytos žaidimo akimirkos.

Pamokos struktūra:

1. Pamokos pradžios organizavimas – 2 min.
2. Pamokos tikslų nustatymas – 1 min.
3. Pasiruošimas pagrindiniam pamokos etapui -5 min.
4. Anksčiau studijuotos medžiagos atnaujinimas – 4 min.
5. Supažindinimas su nauja medžiaga – 10 min
6. Kūno kultūros minutė – 1 min
7. Pirminis supratimo patikrinimas – 5 min.
8. Žinių įsisavinimas. Problemų sprendimas – 13 min.
9. Apibendrinant pamoką. Atspindys – 2 min.
10. Informacija apie namų darbai- 2 minutės.

Per užsiėmimus

1. Organizacinis momentas.

Sveikinimai. Mokinių pasirengimo pamokai tikrinimas. Lentoje yra pamokos tema ir posakis:

...Kaip mirtingiesiems tiesa aiški,
Kad du kvaili žmonės netelpa į trikampį.
Dantė A.

2. Pamokos tikslų nustatymas.

Vaikinai, kokia jūsų figūra? pasikalbėsimešioje pamokoje? Kokie yra pamokos tikslai?

• „atrasti“ ir įrodyti trikampio kampų sumos teoremą;
• mokyti, kaip spręsti problemas naudojant įgytas žinias.

3. Pasiruošimas pagrindiniam pamokos etapui.

Suformuluokite trikampio apibrėžimą. (Trikampis yra geometrinė figūra, sudarytas iš trijų taškų, kurie nėra toje pačioje tiesėje, ir atkarpos, jungiančios šiuos taškus poromis.)

Pavadinkite trikampio elementus. (Kampai, šonai, viršūnės.)

Nurodykite trikampių pavadinimus šonuose. (Lygiakraščiai, lygiašoniai, skalė.)

Vienas iš mokinių pasirenka ir parodo paruoštus ir ant mokytojo stalo gulinčius klasių trikampius.

Trikampiai taip pat skiriasi kampais. Pabandykime pavadinti trikampius pagal jų kampus. (Kitas mokinys pasirenka: smailųjį, bukąjį ir stačiakampį trikampį.)

Atsakykime į keletą klausimų:

Ar trikampyje gali būti:

1. du statūs kampai;
2. du buki kampai;
3. vienas status kampas ir vienas bukas kampas?

Vienas mokinys pakviečiamas prie lentos ir atlieka šiuos piešinius:

Toliau ateina „kolektyvinė diskusija“. Sukonstruoti spinduliai nesikerta, vadinasi, trikampis neveiks. Vienpusių kampų suma pirmuoju atveju lygi 180°, antruoju ir trečiu atveju didesnė nei 180°. Pirmuoju atveju linijos yra lygiagrečios, o antruoju ir trečiuoju atveju linijos skiriasi. Darome išvadą: trikampiai negali turėti dviejų tiesių ir dviejų bukųjų. Be to, trikampis vienu metu negali turėti vieno buko ir vieno stačiojo kampo. 3 skaidrė.

Dar kartą pažvelkime į trikampių modelius ir padarykime išvadą: stačiakampio trikampio vienas kampas yra stačiakampis, o du smailieji, bukajame – vienas bukas, o du smailieji, smailiame – visi kampai. ūminis. Tačiau teoriškai negalime atsakyti į šį klausimą, kol nežinome, kokia yra trikampio kampų suma.

Taigi apie trikampį jau žinome gana daug. Kaip manote, kokia yra bet kurio trikampio kampų suma? (Klausykite atsakymų). Praktiniu darbu patikrinkime, ar jūsų prielaidos teisingos.

Praktinis darbas(skatina žinių ir savęs pažinimo įgūdžių atnaujinimą). (Dirbti porose.) 4-5 skaidrės.

Kiekvienas iš jūsų turi vieną trikampį ant savo stalo skirtingos spalvos. Vaikinai, mes išmatavome kampus naudodami transporterį ir jų sumą radome dar 5 klasėje. Kampų suma kiekvienam buvo skirtinga (taip galėjo nutikti, nes neteisingai uždėtas transporteris, neatsargiai atliktas skaičiavimas ir pan.).

Siūlau rasti trikampio kampų sumą dviem kitais būdais: paimkite trikampius, kurie yra ant jūsų stalo. Ar jie geltoni ar Rožinė spalva. Pažymėkite trikampio kampus skaičiais 1, 2, 3.

Geltonojo trikampio mokiniai: nuplėškite du trikampio kampus ir pritvirtinkite juos prie trečiojo kampo kraštų taip, kad visos viršūnės būtų tame pačiame taške. Pastebime, kad visi trikampio kampai susidėjus sudaro tiesų kampą.

Rožinio trikampio mokiniai: Sulenkite kampus į trikampio vidų. Atkreipkite dėmesį, kad trikampis turi būti sulenktas išilgai tiesia linija, lygiagrečia kampo pusei, kurią mes sulenksime pirmiausia, ir šis kampas turi liesti šią pusę. Pastebime, kad visi trikampio kampai susidėjus sudaro tiesų kampą.

Koks yra išsivysčiusio kampo laipsnio matas?

Kokią išvadą padarėme?

Trikampio kampų suma yra 180 laipsnių.

Atlikę praktinius darbus nustatėme, kad trikampio kampų suma yra 180 laipsnių.

Matematikoje praktinis darbas Tai tik leidžia padaryti kažkokį teiginį, bet tai reikia įrodyti. Teiginys, kurio pagrįstumą nustato įrodymas, vadinamas teorema.

Kokią teoremą turime įrodyti?

Trikampio kampų suma yra 180 laipsnių.

4. Studentų rengimo aktyviam ir sąmoningam naujų žinių įsisavinimui etapas.

6-7 skaidrės.

Prieš įrodydami šią teoremą, žodžiu išspręskime dvi užduotis, kurios padės įrodyti teoremą:

5. Naujų žinių, įgūdžių, gebėjimų įsisavinimo etapas.

8-9 skaidrės

(Yra trys galimi įrodinėjimo būdai.)

Teoremos įrodymas(lavina gebėjimą analizuoti, apibendrinti ir daryti logiškas išvadas naudojant anksčiau išstuduotą medžiagą).

Vienas mokinys prie lentos įrodo teoremą, pakomentuodamas savo veiksmus pakeliui. Likę mokiniai dirba savo sąsiuviniuose. Esant netikslumams, mokytojas koreguoja.

Mokytojas: Kas mums duota?

Mokinys: Duotas trikampis.

Mokytojas: Savo sąsiuviniuose sukurkite savavališką trikampį ir pažymėkite jo viršūnes A, B ir C. Ką reikia įrodyti?

Mokinys: Kad trikampio kampų suma lygi 180°.

Duota: ∆ ABC Įrodykite: A+B+C=180° Įrodinėjimo planas: 1) Per viršūnę B nubrėžiame tiesę DE || A.C. 2) Įrodykite, kad 4 = 1, 5 = 3 3) Įrodykite, kad jei 4+2+5=180°, tai 1+2+3=180° arba ∆ ABC A+B+C=180°

Tačiau šis įrodinėjimo būdas nėra vienintelis. Pirmąjį įrodymą pateikė Pitagoras (V a. pr. Kr.) Pirmojoje elementų knygoje Euklidas pateikia dar vieną teoremos apie trikampio kampų sumą įrodymą. 10 skaidrė.

Vaikinai žodžiu įrodo:

Įrodymas: 1) Per viršūnę B nubrėžiame spindulį BD|| AC. 2) 4 ir 3 – guli skersai po BD||AC ir sekant BC. 3) BD|| AC ir AB yra sekantiniai, tada 1+ABD=180° yra vienpusiai kampai. 4) tada 1+2+4=180°, nes 4=3, tada 1+2+3=180° arba A+B+C=180°

Pabandykite įrodyti šią teoremą namuose naudodami Pitagoro mokinių piešinį. (Vaikinams duodamas lapas su visų trijų įrodymų brėžiniais, kad jie galėtų parsinešti namo.) 11 skaidrė.

6. Kūno kultūros minutė.

12-14 skaidrės.

7. Studijuotos medžiagos konsolidavimas.

Dabar, naudodamiesi teorema, galime pagrįsti, kodėl trikampis negali turėti dviejų stačiųjų kampų, dviejų bukųjų kampų, dviejų kampų, kurių vienas yra bukas, o kitas stačias.

Išvada iš teoremos apie trikampio kampų sumą (kurią studentai išvedė savarankiškai; tai prisideda prie gebėjimo formuluoti savo požiūrį, jį išreikšti ir argumentuoti).

Bet kuriame trikampyje arba visi kampai yra smailūs, arba du yra smailūs, o trečiasis yra bukas arba stačias..

Jei trikampis turi visus smailius kampus, tada jis vadinamas smailaus kampo. Jei vienas iš trikampio kampų yra bukas, tada jis vadinamas bukas kampinis. Jei vienas iš trikampio kampų yra tiesus, tada jis vadinamas stačiakampio formos.

Darbas žodžiu: (tabletės) 15 skaidrė.

Atsakykite į klausimus: 16 skaidrė.

1. Jei vienas iš trikampio kampų yra tiesus, kokie yra kiti du kampai?
2. Jei trikampis yra stačiakampis, kokia yra trikampio smailiųjų kampų suma?
3. Jei vienas iš trikampio kampų yra bukas, kokia yra kitų dviejų trikampio kampų suma?

9. Namų darbų užduotis.

1. Dalomoji medžiaga: trys brėžiniai įrodymams. ( 1 priedas)
2. P. 30-31, p. 70, Nr. 223(a,b), 224, 225, 230

10. Pamokos santrauka.

Atspindys:

Tęskite sakinį:

• „Šiandien klasėje išmokau...“
• „Šiandien klasėje išmokau...“
• „Šiandien klasėje sutikau...“
• „Šiandien klasėje kartojau...“
• „Šiandien klasėje aš sustiprinau...“

>>Geometrija: trikampio kampų suma. Užbaigti pamokas

PAMOKOS TEMA: Trikampio kampų suma.

Pamokos tikslai:

• Mokinių žinių įtvirtinimas ir tikrinimas tema: „Trikampio kampų suma“;
• Trikampio kampų savybių įrodymas;
• Šios savybės pritaikymas sprendžiant nesudėtingus uždavinius;
• Istorinės medžiagos panaudojimas mokinių pažintinei veiklai ugdyti;
• Ugdykite tikslumo įgūdžius kuriant brėžinius.

Pamokos tikslai:

• Patikrinkite mokinių problemų sprendimo įgūdžius.

Pamokos planas:

1. trikampis;
2. Teorema apie trikampio kampų sumą;
3. Užduočių pavyzdžiai.

Trikampis.

Failas: O.gif trikampis- paprasčiausias daugiakampis, turintis 3 viršūnes (kampus) ir 3 kraštines; plokštumos dalis, kurią riboja trys taškai ir trys atkarpos, jungiančios šiuos taškus poromis.
Trys erdvės taškai, kurie nėra toje pačioje tiesėje, atitinka vieną ir tik vieną plokštumą.
Bet kurį daugiakampį galima suskirstyti į trikampius – šis procesas vadinamas trianguliacija.
Yra matematikos skyrius, visiškai skirtas trikampių dėsnių studijoms - Trigonometrija.

Teorema apie trikampio kampų sumą.

Failas:T.gif Trikampio kampo sumos teorema yra klasikinė Euklido geometrijos teorema, kuri teigia, kad trikampio kampų suma yra 180°.

įrodymas" :

Tegu duota Δ ABC. Nubrėžkite liniją, lygiagrečią (AC) per viršūnę B ir pažymėkite joje tašką D, kad taškai A ir D būtų išilgai skirtingos pusės iš tiesioginio pr. Tada kampas (DBC) ir kampas (ACB) yra lygūs kaip vidinis skersai, esantis lygiagrečiose tiesėse BD ir AC bei sekante (BC). Tada trikampio kampų, esančių viršūnėse B ir C, suma lygi kampui (ABD). Tačiau kampas (ABD) ir kampas (BAC) trikampio ABC viršūnėje A yra vidiniai vienpusiai su lygiagrečiomis tiesėmis BD ir AC bei atsekante (AB), o jų suma yra 180°. Todėl trikampio kampų suma yra 180°. Teorema įrodyta.

Pasekmės.

Išorinis trikampio kampas lygi sumai du trikampio kampai, kurie nėra šalia jo.

Įrodymas:

Tegu duota Δ ABC. Taškas D yra tiesėje AC taip, kad A yra tarp C ir D. Tada BAD yra išorinis trikampio kampo viršūnėje A ir A + BAD = 180°. Bet A + B + C = 180°, taigi B + C = 180° – A. Vadinasi BLOGAS = B + C. Išvada įrodyta.

Pasekmės.

Išorinis trikampio kampas yra didesnis už bet kurį trikampio kampą, kuris nėra šalia jo.

Užduotis.

Išorinis trikampio kampas yra kampas, esantis greta bet kurio šio trikampio kampo. Įrodykite, kad trikampio išorinis kampas yra lygus dviejų trikampio kampų, kurie nėra greta jo, sumai.
(1 pav.)

Sprendimas:

Tegul Δ ABC ∠DAС yra išorinis (1 pav.). Tada ∠DAC=180°–∠BAC (pagal savybę gretimų kampų), pagal trikampio ∠B+∠C = 180°-∠BAC kampų sumos teoremą. Iš šių lygybių gauname ∠DAС=∠В+∠С

Įdomus faktas:

trikampio kampų suma" :

Lobačevskio geometrijoje trikampio kampų suma visada yra mažesnė už 180. Euklido geometrijoje ji visada lygi 180. Riemann geometrijoje trikampio kampų suma visada yra didesnė nei 180.

Iš matematikos istorijos:

Euklidas (III a. pr. Kr.) savo veikale „Elementai“ pateikia tokį apibrėžimą: „Lygiagrečios linijos yra tiesės, kurios yra toje pačioje plokštumoje ir, neribotai pratęsiamos abiem kryptimis, nesusitinka viena su kita nei vienoje pusėje“.
Posidonijus (I a. pr. Kr.) „Dvi tiesės, esančios toje pačioje plokštumoje, vienodu atstumu viena nuo kitos“
Senovės graikų mokslininkas Pappas (III a. pr. Kr.) pristatė paralelės simbolį tiesus ženklas=. Vėliau anglų ekonomistas Ricardo (1720-1823) naudojo šį simbolį kaip lygybės ženklą.
Tik XVIII amžiuje jie pradėjo naudoti simbolį lygiagrečioms linijoms – ženklą ||.
Nė akimirkai nesustoja gyvas ryšys tarp kartų, kiekvieną dieną mokomės protėvių sukauptos patirties. Senovės graikai, remdamiesi stebėjimais ir iš Praktinė patirtis jie darė išvadas, reiškė hipotezes, o vėliau mokslininkų susitikimuose – simpoziumuose (pažodžiui „šventėje“) – bandė šias hipotezes pagrįsti ir įrodyti. Tuo metu pasirodė teiginys: „Tiesa gimsta ginče“.

Klausimai:

1. Kas yra trikampis?
2. Ką sako teorema apie trikampio kampų sumą?
3. Koks yra išorinis trikampio kampas?

Teorema apie trikampio vidinių kampų sumą

Trikampio kampų suma lygi 180°.

Įrodymas:

• Duotas trikampis ABC.
• Per viršūnę B brėžiame tiesę DK, lygiagrečią pagrindui AC.
• \kampas CBK= \kampas C kaip vidinis kryžminis gulėjimas su lygiagrečiais DK ir AC, ir sekantas BC.
• \angle DBA = \kampas Vidinis kryžminis gulėjimas su DK \lygiagrečia AC ir sekante AB. Kampas DBK yra atvirkštinis ir lygus
• \angle DBK = \angle DBA + \angle B + \angle CBK
• Kadangi atlenktas kampas lygus 180 ^\circ , o \angle CBK = \angle C ir \angle DBA = \angle A , gauname 180 ^\circ = \kampas A + \kampas B + \kampas C.

Teorema įrodyta

Išvados iš teoremos apie trikampio kampų sumą:

1. Stačiojo trikampio smailiųjų kampų suma lygi 90°.
2. Lygiašonis stačiakampis trikampis, kiekvienas aštrus kampas lygus 45°.
3. Lygiakraščio trikampio kiekvienas kampas yra lygus 60°.
4. Bet kuriame trikampyje arba visi kampai yra smailieji, arba du kampai yra smailieji, o trečiasis yra bukas arba stačias.
5. Išorinis trikampio kampas yra lygus dviejų vidinių kampų, kurie nėra greta jo, sumai.

Trikampio išorinio kampo teorema

Išorinis trikampio kampas yra lygus dviejų likusių trikampio kampų, kurie nėra greta šio išorinio kampo, sumai

Įrodymas:

• Duotas trikampis ABC, kur BCD yra išorinis kampas.
• \kampas BAC + \kampas ABC +\kampas BCA = 180^0
• Iš lygybių kampas \angle BCD + \angle BCA = 180^0
• Mes gauname \angle BCD = \angle BAC+\kampas ABC.