Tūrinių figūrų plotų ir tūrių formulės. Formulės gretasienio tūriui rasti

O senovės egiptiečiai naudojo įvairių figūrų plotų skaičiavimo metodus, panašius į mūsų metodus.

Mano knygose "Pradžia" garsus senovės graikų matematikas Euklidas aprašė gana didelis skaičius daugelio plotų apskaičiavimo metodai geometrines figūras. Pirmieji rankraščiai Rusijoje su geometrine informacija buvo parašyti XVI a. Juose aprašomos įvairių formų figūrų plotų radimo taisyklės.

Šiandien su pagalba šiuolaikiniai metodai galite labai tiksliai rasti bet kurios figūros plotą.

Panagrinėkime vieną iš paprasčiausių figūrų – stačiakampį – ir jo ploto nustatymo formulę.

Stačiakampio ploto formulė

Panagrinėkime figūrą (1 pav.), kurią sudaro $8$ kvadratai, kurių kraštinės $1$ cm. Vieno kvadrato, kurio kraštinė yra $1$ cm, plotas vadinamas kvadratiniu centimetru ir parašytas $1\ cm^2 $.

Šios figūros plotas (1 pav.) bus lygus $8\cm^2$.

Figūros, kurią galima padalyti į kelis kvadratus, kurių kraštinė yra $1\ cm$ (pavyzdžiui, $p$), plotas bus lygus $p\ cm^2$.

Kitaip tariant, figūros plotas bus lygus tiek $cm^2$, į kiek kvadratų, kurių kraštinė yra $1\ cm$, šią figūrą galima padalyti.

Panagrinėkime stačiakampį (2 pav.), kurį sudaro $3$ juostelės, kurių kiekviena padalinta į $5$ kvadratus, kurių kraštinė yra $1\ cm$. visas stačiakampis susideda iš $5\cdot 3=15$ tokių kvadratų, o jo plotas yra $15\cm^2$.

1 paveikslas.

2 pav.

Figūrų plotas paprastai žymimas raide $S$.

Norėdami rasti stačiakampio plotą, turite padauginti jo ilgį iš pločio.

Jei jo ilgį pažymėsime raide $a$, o plotį - raide $b$, tada stačiakampio ploto formulė atrodys taip:

1 apibrėžimas

Figūros vadinamos lygus jei, uždėjus viena ant kitos, skaičiai sutampa. Turi vienodus skaičius lygių plotų ir vienodi perimetrai.

Figūros plotą galima rasti kaip jos dalių plotų sumą.

1 pavyzdys

Pavyzdžiui, paveikslėlyje $3$ stačiakampis $ABCD$ yra padalintas į dvi dalis linija $KLMN$. Vienos dalies plotas yra $12\ cm^2$, o kitos - $9\ cm^2$. Tada stačiakampio $ABCD$ plotas bus lygus $12\ cm^2+9\ cm^2=21\ cm^2$. Raskite stačiakampio plotą naudodami formulę:

Kaip matote, abiem metodais rastos sritys yra lygios.

3 pav.

4 pav.

Linijos atkarpa $AC$ padalija stačiakampį į du vienodus trikampius: $ABC$ ir $ADC$. Tai reiškia, kad kiekvieno trikampio plotas yra lygus pusei viso stačiakampio ploto.

2 apibrėžimas

Stačiakampis su lygios pusės paskambino kvadratas.

Jei kvadrato kraštinę pažymime raide $a$, tada kvadrato plotas bus rastas pagal formulę:

Taigi skaičiaus $a$ pavadinimo kvadratas.

2 pavyzdys

Pavyzdžiui, jei kvadrato kraštinė yra $5 $ cm, tada jo plotas yra:

Apimtys

Vystantis prekybai ir statyboms dar senovės civilizacijų laikais, atsirado poreikis rasti apimtis. Matematikoje yra geometrijos šaka, nagrinėjanti erdvines figūras, vadinama stereometrija. Šios atskiros matematikos šakos paminėjimai buvo rasti jau $IV$ amžiuje prieš Kristų.

Senovės matematikai sukūrė paprastų figūrų – kubo ir gretasienio – tūrio apskaičiavimo metodą. Visi tų laikų pastatai buvo tokios formos. Tačiau vėliau buvo rasti metodai sudėtingesnių formų figūrų tūriui apskaičiuoti.

Stačiakampio gretasienio tūris

Jei užpildysite formą šlapiu smėliu, o paskui apverssite, gausite erdvinę figūrą, kuriai būdingas tūris. Jei padarysite kelias tokias figūras naudodami tą pačią formą, gausite vienodo tūrio figūras. Jei užpildysite formą vandeniu, vandens tūris ir smėlio figūros tūris taip pat bus lygus.

5 pav.

Galite palyginti dviejų indų tūrius, pripildydami vieną vandens ir supildami į antrąjį indą. Jei antrasis indas yra visiškai užpildytas, indai yra vienodo tūrio. Jei vandens lieka pirmajame, tada pirmojo indo tūris yra didesnis nei antrojo. Jei pilant vandenį iš pirmojo indo nepavyksta visiškai užpildyti antrojo indo, tai pirmojo indo tūris yra mažesnis už antrojo.

Tūris matuojamas naudojant šiuos vienetus:

$mm^3$ – kubinis milimetras,

$cm^3$ – kubinis centimetras,

$dm^3$ – kubinis decimetras,

$m^3$ – kubinis metras,

$km^3$ -- kubinis kilometras.

Bet kurį geometrinį kūną galima apibūdinti paviršiaus plotu (S) ir tūriu (V). Plotas ir tūris nėra tas pats dalykas. Pavyzdžiui, objektas gali turėti santykinai mažą V ir didelę S raidę, taip veikia žmogaus smegenys. Paprastoms geometrinėms figūroms šiuos rodiklius apskaičiuoti daug lengviau.

Lygiagretusis vamzdis: apibrėžimas, tipai ir savybės

Lygiagretainis yra keturkampė prizmė, kurios pagrinde yra lygiagretainis. Kodėl jums gali prireikti formulės figūros tūriui rasti? Knygos, pakavimo dėžės ir daug kitų dalykų iš Kasdienybė. Gyvenamųjų ir biurų pastatų kambariai dažniausiai yra stačiakampiai gretasieniai. Norint įrengti vėdinimą, oro kondicionavimą ir nustatyti šildymo elementų skaičių patalpoje, reikia apskaičiuoti patalpos tūrį.

Figūra turi 6 paviršius - lygiagretainius ir 12 briaunų; du atsitiktinai parinkti paviršiai vadinami pagrindais. Lygiagretainis gali būti kelių tipų. Skirtumai atsiranda dėl kampų tarp gretimų kraštų. Skirtingų daugiakampių V suradimo formulės šiek tiek skiriasi.

Jei 6 geometrinės figūros paviršiai yra stačiakampiai, tada ji taip pat vadinama stačiakampiu. Kubas yra ypatingas gretasienio atvejis, kuriame visi 6 paviršiai yra lygūs kvadratai. Šiuo atveju, norėdami rasti V, turite sužinoti tik vienos kraštinės ilgį ir pakelti ją į trečią laipsnį.

Norėdami išspręsti problemas, jums reikės žinių ne tik apie paruoštas formules, bet ir apie figūros savybes. Stačiakampės prizmės pagrindinių savybių sąrašas yra mažas ir labai lengvai suprantamas:

1. Priešingos figūros pusės yra lygios ir lygiagrečios. Tai reiškia, kad priešais esantys šonkauliai yra vienodo ilgio ir pasvirimo kampo.
2. Visi šoniniai veidai dešinysis gretasienis – stačiakampiai.
3. Keturios pagrindinės geometrinės figūros įstrižainės susikerta viename taške ir juo dalijamos pusiau.
4. Gretasienio įstrižainės kvadratas yra lygus figūros matmenų kvadratų sumai (iš Pitagoro teoremos).

Pitagoro teorema teigia, kad stačiojo trikampio kraštinėse pastatytų kvadratų plotų suma yra lygi trikampio, pastatyto ant to paties trikampio hipotenuzės, plotui.

Paskutinio turto įrodymą galite pamatyti žemiau esančiame paveikslėlyje. Problemos sprendimo procesas yra paprastas ir nereikalauja išsamių paaiškinimų.

Stačiakampio gretasienio tūrio formulė

Visų tipų geometrinių figūrų radimo formulė yra ta pati: V=S*h, kur V – reikiamas tūris, S – gretasienio pagrindo plotas, h – aukštis, nuleistas nuo priešingos viršūnės ir statmenai pagrindui. Stačiakampyje h sutampa su viena iš figūros kraštinių, todėl norint rasti stačiakampės prizmės tūrį, reikia padauginti tris matmenis.

Tūris paprastai išreiškiamas cm3. Žinant visas tris a, b ir c reikšmes, rasti figūros tūrį visai nėra sunku. Dažniausia unifikuoto valstybinio egzamino problema yra gretasienio tūrio arba įstrižainės paieška. Išspręskite daugelį tipiškų Vieningų valstybinių egzaminų užduotys Tai neįmanoma be stačiakampio tūrio formulės. Užduoties pavyzdys ir jos sprendimo dizainas parodytas paveikslėlyje žemiau.

1 pastaba. Stačiakampės prizmės paviršiaus plotą galima rasti trijų figūros paviršių: pagrindo (ab) ir dviejų gretimų šoninių paviršių (bc + ac) plotų sumą padauginus iš 2.

Užrašas 2. Šoninių paviršių paviršiaus plotą galima lengvai nustatyti padauginus pagrindo perimetrą iš gretasienio aukščio.

Remiantis pirmąja gretasienio savybe AB = A1B1, o paviršius B1D1 = BD. Remiantis Pitagoro teoremos išvadomis, stačiakampio trikampio visų kampų suma yra 180°, o kojelė, priešinga 30° kampui, yra lygus hipotenuzei. Pritaikius šias žinias trikampiui, nesunkiai galime rasti kraštinių AB ir AD ilgį. Tada gautas vertes padauginame ir apskaičiuojame gretasienio tūrį.

Pasvirusio gretasienio tūrio nustatymo formulė

Norint rasti pasvirusio gretasienio tūrį, reikia padauginti figūros pagrindo plotą iš aukščio, nuleisto iki nurodyto pagrindo iš priešingo kampo.

Taigi reikiamą V galima pavaizduoti h forma – lapų, kurių bazinis plotas S, skaičius, taigi kaladės tūris susideda iš visų kortų V.

Problemų sprendimo pavyzdžiai

Vieno egzamino užduotys turi būti įvykdytos per tam tikrą laiką. Įprastų užduočių, kaip taisyklė, nėra didelis kiekis kompiuterija ir kompleksinės trupmenos. Dažnai mokinio klausiama, kaip rasti netaisyklingos geometrinės figūros tūrį. Tokiais atvejais reikia atsiminti paprastą taisyklę, kad bendras tūris lygi sumai V komponentai.

Kaip matote iš aukščiau esančio pavyzdžio, sprendžiant tokias problemas nėra nieko sudėtingo. Atliekant užduotis iš sudėtingesnių skyrių, reikia žinoti Pitagoro teoremą ir jos pasekmes, taip pat figūros įstrižainės ilgio formulę. Norint sėkmingai išspręsti testo užduotis, pakanka iš anksto susipažinti su tipinių problemų pavyzdžiais.

O senovės egiptiečiai naudojo įvairių figūrų plotų skaičiavimo metodus, panašius į mūsų metodus.

Mano knygose "Pradžia" Garsus senovės graikų matematikas Euklidas aprašė gana daug būdų, kaip apskaičiuoti daugelio geometrinių figūrų plotus. Pirmieji rankraščiai Rusijoje su geometrine informacija buvo parašyti XVI a. Juose aprašomos įvairių formų figūrų plotų radimo taisyklės.

Šiandien, naudodami šiuolaikinius metodus, galite labai tiksliai rasti bet kurios figūros plotą.

Panagrinėkime vieną iš paprasčiausių figūrų – stačiakampį – ir jo ploto nustatymo formulę.

Stačiakampio ploto formulė

Panagrinėkime figūrą (1 pav.), kurią sudaro $8$ kvadratai, kurių kraštinės $1$ cm. Vieno kvadrato, kurio kraštinė yra $1$ cm, plotas vadinamas kvadratiniu centimetru ir parašytas $1\ cm^2 $.

Šios figūros plotas (1 pav.) bus lygus $8\cm^2$.

Figūros, kurią galima padalyti į kelis kvadratus, kurių kraštinė yra $1\ cm$ (pavyzdžiui, $p$), plotas bus lygus $p\ cm^2$.

Kitaip tariant, figūros plotas bus lygus tiek $cm^2$, į kiek kvadratų, kurių kraštinė yra $1\ cm$, šią figūrą galima padalyti.

Panagrinėkime stačiakampį (2 pav.), kurį sudaro $3$ juostelės, kurių kiekviena padalinta į $5$ kvadratus, kurių kraštinė yra $1\ cm$. visas stačiakampis susideda iš $5\cdot 3=15$ tokių kvadratų, o jo plotas yra $15\cm^2$.

1 paveikslas.

2 pav.

Figūrų plotas paprastai žymimas raide $S$.

Norėdami rasti stačiakampio plotą, turite padauginti jo ilgį iš pločio.

Jei jo ilgį pažymėsime raide $a$, o plotį - raide $b$, tada stačiakampio ploto formulė atrodys taip:

1 apibrėžimas

Figūros vadinamos lygus jei, uždėjus viena ant kitos, skaičiai sutampa. Vienodos figūros turi vienodus plotus ir vienodus perimetrus.

Figūros plotą galima rasti kaip jos dalių plotų sumą.

1 pavyzdys

Pavyzdžiui, paveikslėlyje $3$ stačiakampis $ABCD$ yra padalintas į dvi dalis linija $KLMN$. Vienos dalies plotas yra $12\ cm^2$, o kitos - $9\ cm^2$. Tada stačiakampio $ABCD$ plotas bus lygus $12\ cm^2+9\ cm^2=21\ cm^2$. Raskite stačiakampio plotą naudodami formulę:

Kaip matote, abiem metodais rastos sritys yra lygios.

3 pav.

4 pav.

Linijos atkarpa $AC$ padalija stačiakampį į du vienodus trikampius: $ABC$ ir $ADC$. Tai reiškia, kad kiekvieno trikampio plotas yra lygus pusei viso stačiakampio ploto.

2 apibrėžimas

Vadinamas stačiakampis, kurio kraštinės yra lygios kvadratas.

Jei kvadrato kraštinę pažymime raide $a$, tada kvadrato plotas bus rastas pagal formulę:

Taigi skaičiaus $a$ pavadinimo kvadratas.

2 pavyzdys

Pavyzdžiui, jei kvadrato kraštinė yra $5 $ cm, tada jo plotas yra:

Apimtys

Vystantis prekybai ir statyboms dar senovės civilizacijų laikais, atsirado poreikis rasti apimtis. Matematikoje yra geometrijos šaka, nagrinėjanti erdvines figūras, vadinama stereometrija. Šios atskiros matematikos šakos paminėjimai buvo rasti jau $IV$ amžiuje prieš Kristų.

Senovės matematikai sukūrė paprastų figūrų – kubo ir gretasienio – tūrio apskaičiavimo metodą. Visi tų laikų pastatai buvo tokios formos. Tačiau vėliau buvo rasti metodai sudėtingesnių formų figūrų tūriui apskaičiuoti.

Stačiakampio gretasienio tūris

Jei užpildysite formą šlapiu smėliu, o paskui apverssite, gausite erdvinę figūrą, kuriai būdingas tūris. Jei padarysite kelias tokias figūras naudodami tą pačią formą, gausite vienodo tūrio figūras. Jei užpildysite formą vandeniu, vandens tūris ir smėlio figūros tūris taip pat bus lygus.

5 pav.

Galite palyginti dviejų indų tūrius, pripildydami vieną vandens ir supildami į antrąjį indą. Jei antrasis indas yra visiškai užpildytas, indai yra vienodo tūrio. Jei vandens lieka pirmajame, tada pirmojo indo tūris yra didesnis nei antrojo. Jei pilant vandenį iš pirmojo indo nepavyksta visiškai užpildyti antrojo indo, tai pirmojo indo tūris yra mažesnis už antrojo.

Tūris matuojamas naudojant šiuos vienetus:

$mm^3$ – kubinis milimetras,

$cm^3$ – kubinis centimetras,

$dm^3$ – kubinis decimetras,

$m^3$ – kubinis metras,

$km^3$ -- kubinis kilometras.

Norėdami išspręsti geometrijos problemas, turite žinoti formules, tokias kaip trikampio plotas arba lygiagretainio plotas, taip pat paprastus metodus, kuriuos apžvelgsime.

Pirmiausia išmokime figūrų sričių formules. Specialiai juos surinkome į patogią lentelę. Spausdinkite, mokykitės ir taikykite!

Žinoma, ne visos geometrijos formulės yra mūsų lentelėje. Pavyzdžiui, antroje dalyje išspręsti geometrijos ir stereometrijos uždavinius profilis Vieningas valstybinis egzaminas Matematikoje taip pat naudojamos kitos trikampio ploto formulės. Apie juos būtinai papasakosime.

O kas, jei reikia rasti ne trapecijos ar trikampio plotą, o kokios nors sudėtingos figūros plotą? Yra universalių būdų! Mes juos parodysime naudodami FIPI užduočių banko pavyzdžius.

1. Kaip rasti nestandartinės figūros plotą? Pavyzdžiui, savavališkas keturkampis? Paprasta technika – padalinkime šią figūrą į tas, apie kurias viską žinome, ir suraskime jos plotą – kaip šių figūrų plotų sumą.

Padalinkite šį keturkampį su horizontalia linija į du trikampius, kurių bendras pagrindas lygus . Šių trikampių aukščiai yra lygūs ir . Tada keturkampio plotas lygus dviejų trikampių plotų sumai: .

Atsakymas:.

2. Kai kuriais atvejais figūros plotas gali būti pavaizduotas kaip kai kurių sričių skirtumas.

Ne taip paprasta suskaičiuoti, kam lygus šio trikampio pagrindas ir aukštis! Bet galime sakyti, kad jo plotas lygus kvadrato su kraštine ir trijų stačiųjų trikampių plotų skirtumui. Ar matote juos paveikslėlyje? Mes gauname: .

Atsakymas:.

3. Kartais užduotyje reikia rasti ne visos figūros plotą, o jos dalį. Paprastai kalbame apie sektoriaus plotą – apskritimo dalį Raskite apskritimo, kurio spindulys yra lygus lanko ilgiui, sektoriaus plotą.

Šiame paveikslėlyje matome apskritimo dalį. Viso apskritimo plotas lygus . Belieka išsiaiškinti, kuri apskritimo dalis pavaizduota. Kadangi viso apskritimo ilgis yra lygus (nuo), o tam tikro sektoriaus lanko ilgis yra lygus, todėl lanko ilgis yra mažesnis už viso apskritimo ilgį. Kampas, kuriuo remiasi šis lankas, taip pat yra mažesnis už visą apskritimą (ty laipsniais). Tai reiškia, kad sektoriaus plotas bus kelis kartus mažesnis už viso apskritimo plotą.

Bendra apžvalga. Stereometrijos formulės!

Sveiki, Mieli draugai! Šiame straipsnyje aš nusprendžiau tai padaryti bendra apžvalga stereometrijos užduotys, kurios bus įjungtos Vieningas valstybinis matematikos egzaminas e) Reikia pasakyti, kad šios grupės užduotys yra gana įvairios, tačiau nėra sunkios. Tai uždaviniai ieškant geometrinių dydžių: ilgių, kampų, plotų, tūrių.

Laikoma: kubas, stačiakampis, prizmė, piramidė, sudėtinis daugiakampis, cilindras, kūgis, rutulys. Liūdnas faktas, kad kai kurie abiturientai per patį egzaminą tokių problemų net nesiima, nors daugiau nei 50% jų išsprendžiama paprastai, beveik žodžiu.

Likusiai reikia nedaug pastangų, žinių ir specialios technikos. Kituose straipsniuose mes apsvarstysime šias užduotis, nepraleiskite to, užsiprenumeruokite tinklaraščio atnaujinimus.

Norėdami išspręsti, turite žinoti paviršiaus plotų ir tūrių formulės gretasienis, piramidė, prizmė, cilindras, kūgis ir rutulys. Sunkių problemų nėra, jos visos išsprendžiamos 2-3 žingsniais, svarbu „pažiūrėti“, kokią formulę reikia pritaikyti.

Visos reikalingos formulės pateiktos žemiau:

Rutulys arba rutulys. Sferinis arba sferinis paviršius (kartais tiesiog sfera) yra geometrinis taškų lokusas erdvėje, vienodu atstumu nuo vieno taško – rutulio centro.

Kamuolio tūris lygus piramidės, kurios pagrindo plotas toks pat kaip rutulio paviršiaus plotas, o aukštis yra rutulio spindulys, tūriui

Sferos tūris yra pusantro karto mažesnis nei aplink jį apibrėžiamo cilindro tūris.

Apvalus kūgis gali būti gaunamas sukant stačiakampį trikampį aplink vieną iš jo kojų, todėl apskritas kūgis dar vadinamas apsisukimo kūgiu. Taip pat žiūrėkite Apvalaus kūgio paviršiaus plotą

Apvalaus kūgio tūris lygus trečdaliui pagrindo ploto S ir aukščio H sandaugos:

(H yra kubo krašto aukštis)

Lygiagretainis yra prizmė, kurios pagrindas yra lygiagretainis. Lygiagretainis vamzdis turi šešis paviršius ir visi jie yra lygiagretainiai. Lygiagretainis, kurio keturi šoniniai paviršiai yra stačiakampiai, vadinamas tiesiu gretasieniu. Stačiakampiu vadinamas dešinysis gretasienis, kurio visi šeši paviršiai yra stačiakampiai.

Stačiakampio gretasienio tūris lygus pagrindo ploto ir aukščio sandaugai:

(S yra piramidės pagrindo plotas, h yra piramidės aukštis)

Piramidė yra daugiakampis, kurio vienas paviršius – piramidės pagrindas – savavališkas daugiakampis, o likusios – šoninės pusės – trikampiai su bendra viršūne, vadinama piramidės viršūne.

Atkarpa, lygiagreti piramidės pagrindui, padalija piramidę į dvi dalis. Piramidės dalis tarp jos pagrindo ir šios atkarpos yra nupjauta piramidė.

Nupjautos piramidės tūris lygus trečdaliui aukščio sandaugos h (OS) pagal viršutinio pagrindo plotų sumą S1 (abcde), apatinis nupjautinės piramidės pagrindas S2 (ABCDE) o vidurkis proporcingas tarp jų.

1.

V=

n – taisyklingo daugiakampio kraštinių skaičius – pagrindai taisyklinga piramidė
a - taisyklingo daugiakampio kraštinė - taisyklingos piramidės pagrindas
h – taisyklingos piramidės aukštis

Taisyklinga trikampė piramidė yra daugiakampis, kurio vienas paviršius - piramidės pagrindas - taisyklingas trikampis, o likusi dalis - šoniniai paviršiai. vienodi trikampiai su bendra viršutine dalimi. Aukštis nuo viršaus nusileidžia iki pagrindo centro.

Teisingas tūris trikampė piramidė lygus trečdaliui ploto sandaugos taisyklingas trikampis, kuris yra pagrindas S (ABC)į aukštį h (OS)

a - taisyklingo trikampio kraštinė - taisyklingos trikampės piramidės pagrindas
h - taisyklingos trikampės piramidės aukštis

Tetraedro tūrio formulės išvedimas

Tetraedro tūris apskaičiuojamas naudojant klasikinę piramidės tūrio formulę. Būtina pakeisti tetraedro aukštį ir taisyklingo (lygiakraščio) trikampio plotą.

Tetraedro tūris- yra lygi trupmenai, kurios skaitiklyje kvadratinė šaknis iš dviejų vardiklyje yra dvylika, padauginta iš tetraedro krašto ilgio kubo

(h yra rombo kraštinės ilgis)

Apimtis p yra maždaug trys sveiki ir viena septintoji apskritimo skersmens ilgio. Tikslus apskritimo perimetro ir jo skersmens santykis nurodomas graikiška raide π

Dėl to apskritimo arba apskritimo perimetras apskaičiuojamas pagal formulę

π r n

(r – lanko spindulys, n – centrinis kampas lankai laipsniais.)