Neracionali nelygybė. Neracionalios nelygybės

Norint gerai išspręsti šios temos uždavinius, reikia puikiai įsisavinti teoriją iš kai kurių ankstesnių temų, ypač iš temų „Iracionalios lygtys ir sistemos“ bei „Racionalios nelygybės“. Dabar užrašykime vieną iš pagrindinių teoremų, naudojamų sprendžiant iracionaliąsias nelygybes (t. y. nelygybes su šaknimis). Taigi, jei abi funkcijos f(x) Ir g(x) yra neneigiami, tada nelygybė:

Tolygu tokiai nelygybei:

Kitaip tariant, jei nelygybės kairėje ir dešinėje yra neneigiamos išraiškos, tada šią nelygybę galima saugiai pakelti į bet kurią galią. Na, o jei reikia pakelti visą nelygybę iki nelyginio laipsnio, tai šiuo atveju net nebūtina reikalauti, kad kairioji ir dešinė nelygybės pusės būtų neneigiamos. Taigi, bet kokia nelygybė be apribojimų gali būti pakelta nelygine galia. Dar kartą pabrėžkime, kad norint pakelti nelygybę iki lygiosios galios, būtina įsitikinti, kad abi šios nelygybės pusės yra neneigiamos.

Ši teorema tampa labai aktuali būtent iracionaliose nelygybėse, t.y. nelygybėse su šaknimis, kur sprendžiant daugumą pavyzdžių reikia nelygybes pakelti į kokią nors galią. Žinoma, esant neracionalioms nelygybėms, reikia labai atidžiai atsižvelgti į ODZ, kuris daugiausia susidaro iš dviejų standartinių sąlygų:

• Lyginių laipsnių šaknyse turi būti neneigiamų išraiškų;
• Trupmenų vardikliuose neturi būti nulių.

Prisiminkime ir tai Lyginės šaknies reikšmė visada yra neneigiama.

Remiantis tuo, kas buvo pasakyta, jei neracionalioji nelygybė turi daugiau nei du kvadratinės šaknys, tada prieš statant kvadratu nelygybę (ar kitą lyginį laipsnį), reikia įsitikinti, kad kiekvienoje nelygybės pusėje yra neneigiamų išraiškų, t.y. kvadratinių šaknų sumos. Jei vienoje iš nelygybės pusių yra šaknų skirtumas, tai iš anksto nieko negalima žinoti apie tokio skirtumo ženklą, o tai reiškia, kad neįmanoma pakelti nelygybės iki lygiosios galios. Tokiu atveju šaknis, turinčias priešais minuso ženklus, reikia perkelti į priešingas nelygybės puses (iš kairės į dešinę arba atvirkščiai), todėl minuso ženklai priešais šaknis pasikeis į pliusus ir tik šaknų sumos bus gautos abiejose nelygybės pusėse. Tik po to visa nelygybė gali būti išlyginta kvadratu.

Kaip ir kitose matematikos temose, spręsdami neracionalias nelygybes galite naudoti kintamasis pakeitimo metodas. Svarbiausia nepamiršti, kad įvedus pakeitimą nauja išraiška turėtų tapti paprastesnė ir joje neturėtų būti senojo kintamojo. Be to, reikia nepamiršti atlikti atvirkštinio pakeitimo.

Apsigyvenkime ties keletu gana paprastų, bet įprastų neracionalių nelygybių tipų. Pirmoji tokių nelygybių rūšis yra kai lyginamos dvi lyginio laipsnio šaknys, t.y. yra formos nelygybė:

Ši nelygybė turi neneigiamų išraiškų iš abiejų pusių, todėl ją galima saugiai pakelti iki 2 laipsnio n, po kurio, atsižvelgiant į ODZ, gauname:

Atkreipkite dėmesį, kad ODZ parašyta tik radikaliai išraiškai, kuri yra mažesnė. Kita išraiška automatiškai bus didesnė už nulį, nes ji yra didesnė už pirmąją išraišką, kuri savo ruožtu yra didesnė už nulį.

Tuo atveju, kai Manoma, kad lygi šaknis yra didesnė už kokią nors racionalią išraišką

Tokios nelygybės sprendimas atliekamas pereinant prie dviejų sistemų rinkinio:

Ir galiausiai tuo atveju, kai manoma, kad lyginio laipsnio šaknis yra mažesnė už kokią nors racionalią išraišką, t.y. tuo atveju, kai yra neracionali formos nelygybė:

Tokios nelygybės sprendimas atliekamas pereinant į sistemą:

Tais atvejais, kai lyginamos dvi nelyginio laipsnio šaknys arba manoma, kad nelyginio laipsnio šaknis yra didesnė arba mažesnė už kokią nors racionalią išraišką, galite tiesiog pakelti visą nelygybę iki norimo nelyginio laipsnio ir taip atsikratyti visų šaknys. Tokiu atveju papildomo ODZ neatsiranda, nes nelygybės gali būti pakeltos iki nelyginės galios be apribojimų, o po nelyginių galių šaknimis gali būti bet kokio ženklo išraiškos.

Apibendrintas intervalų metodas

Tuo atveju, kai yra sudėtinga neracionali lygtis, kuri nepatenka į nė vieną iš aukščiau aprašytų atvejų ir kurios negalima išspręsti padidinus iki tam tikros galios, turite naudoti apibendrintas intervalų metodas, kuri yra tokia:

• Apibrėžkite DL;
• Transformuokite nelygybę taip, kad dešinėje pusėje būtų nulis (kairėje pusėje, jei įmanoma, sumažinkite iki Bendras vardiklis, faktorizuoti ir pan.);
• Raskite visas skaitiklio ir vardiklio šaknis ir nubraižykite jas ant skaičių ašies, o jei nelygybė nėra griežta, nupieškite skaitiklio šaknis, bet bet kokiu atveju palikite vardiklio šaknis punktyruotas;
• Raskite visos išraiškos ženklą kiekviename intervale, pakeisdami skaičių iš duoto intervalo į transformuotą nelygybę. Šiuo atveju, einant per ašies taškus, jokiu būdu kaitalioti ženklų nebegalima. Būtina nustatyti kiekvieno intervalo išraiškos ženklą, pakeičiant intervalo reikšmę į šią išraišką ir tt kiekvienam intervalui. Tai nebeįmanoma (iš esmės tai yra skirtumas tarp apibendrinto intervalo metodo ir įprasto);
• Raskite ODZ ir intervalų, kurie tenkina nelygybę, sankirtą, bet nepraraskite atskirų taškų, kurie tenkina nelygybę (skaitiklio šaknys negriežtose nelygybėse), ir nepamirškite iš atsakymo neįtraukti visų nelygybės šaknų. vardiklis visose nelygybėse.

• Atgal
• Persiųsti

Kaip sėkmingai pasiruošti fizikos ir matematikos KT?

Norint sėkmingai pasiruošti fizikos ir matematikos KT, be kita ko, būtina įvykdyti tris svarbiausias sąlygas:

1. Studijuokite visas temas ir atlikite visus testus bei užduotis, pateiktus šios svetainės mokomojoje medžiagoje. Norėdami tai padaryti, jums nieko nereikia, o būtent: kiekvieną dieną skirkite tris ar keturias valandas pasiruošimui fizikos ir matematikos KT, teorijos studijoms ir problemų sprendimui. Faktas yra tas, kad kompiuterinė tomografija yra egzaminas, kuriame neužtenka tik fizikos ar matematikos išmanymo, reikia mokėti greitai ir be nesėkmių išspręsti didelis skaičius užduotys skirtingomis temomis ir įvairaus sudėtingumo. Pastarųjų galima išmokti tik išsprendus tūkstančius problemų.
2. Išmokite visas fizikos formules ir dėsnius, o matematikoje – formules ir metodus. Tiesą sakant, tai padaryti taip pat labai paprasta, fizikoje yra tik apie 200 būtinų formulių, o matematikoje – dar šiek tiek mažiau. Kiekviename iš šių dalykų yra apie keliolika standartinių metodų, kaip išspręsti pagrindinio sudėtingumo problemas, kurių taip pat galima išmokti, taigi, visiškai automatiškai ir be sunkumų reikiamu laiku išspręsti didžiąją dalį KT. Po to teks galvoti tik apie sunkiausias užduotis.
3. Dalyvaukite visuose trijuose fizikos ir matematikos pratybų etapuose. Kiekviename RT galima apsilankyti du kartus ir nuspręsti dėl abiejų variantų. Vėlgi, KT, be gebėjimo greitai ir efektyviai spręsti problemas, formulių ir metodų išmanymo, taip pat turite mokėti tinkamai planuoti laiką, paskirstyti jėgas ir, svarbiausia, teisingai užpildyti atsakymo formą, be supainioti atsakymų ir problemų skaičius arba savo pavardę. Taip pat RT metu svarbu priprasti prie klausimų uždavimo problemose stiliaus, kuris nepasiruošusiam DT žmogui gali pasirodyti labai neįprastas.

Sėkmingas, kruopštus ir atsakingas šių trijų punktų įgyvendinimas leis jums pasirodyti KT puikus rezultatas, maksimaliai tai, ką sugebate.

Radai klaidą?

Jei manote, kad radote klaidą mokomoji medžiaga, tada prašau parašyti apie tai el. Taip pat galite pranešti apie klaidą Socialinis tinklas(). Laiške nurodykite dalyką (fizika ar matematika), temos ar testo pavadinimą arba numerį, uždavinio numerį arba vietą tekste (puslapyje), kur, jūsų nuomone, yra klaida. Taip pat aprašykite, kokia yra įtariama klaida. Jūsų laiškas neliks nepastebėtas, klaida bus arba ištaisyta, arba jums bus paaiškinta, kodėl tai nėra klaida.

Šioje pamokoje pažvelgsime į neracionalių nelygybių sprendimą ir pateiksime įvairių pavyzdžių.

Tema: Lygtys ir nelygybės. Lygčių ir nelygybių sistemos

Pamoka:Neracionalios nelygybės

Sprendžiant neracionalias nelygybes, dažnai reikia tam tikru laipsniu pakelti abi nelygybės puses, tai gana atsakinga operacija. Prisiminkime ypatybes.

Abi nelygybės pusės gali būti pakeltos kvadratu, jei abi jos yra neneigiamos, tik tada gauname tikrą nelygybę iš tikrosios nelygybės.

Abi nelygybės puses bet kuriuo atveju gali būti suskirstytos į kubą, jei pradinė nelygybė buvo teisinga, tada kubu gausime tikrąją nelygybę.

Apsvarstykite formos nelygybę:

Radikali išraiška turi būti neneigiama. Funkcija gali turėti bet kokias reikšmes, reikia atsižvelgti į du atvejus.

Pirmuoju atveju abi nelygybės pusės yra neneigiamos, mes turime teisę ją paversti kvadratu. Antruoju atveju dešinioji dalis yra neigiamas, ir mes neturime teisės to vertinti. Šiuo atveju reikia pažvelgti į nelygybės reikšmę: čia yra teigiama išraiška ( Kvadratinė šaknis) yra didesnis nei neigiama išraiška, o tai reiškia, kad nelygybė visada tenkinama.

Taigi, turime tokią sprendimo schemą:

Pirmoje sistemoje radikaliosios išraiškos atskirai neapsaugome, nes tenkinus antrąją sistemos nelygybę, radikalioji išraiška automatiškai turi būti teigiama.

1 pavyzdys – išspręskite nelygybę:

Pagal diagramą pereiname prie lygiavertės dviejų nelygybių sistemų rinkinio:

Iliustruojame:

Ryžiai. 1 – 1 pavyzdžio sprendimo iliustracija

Kaip matome, atsikratę iracionalumo, pavyzdžiui, kvadratuodami, gauname sistemų aibę. Kartais šis sudėtingas dizainas gali būti supaprastintas. Gautame rinkinyje turime teisę supaprastinti pirmąją sistemą ir gauti lygiavertį rinkinį:

Kaip savarankiškas pratimas, būtina įrodyti šių rinkinių lygiavertiškumą.

Apsvarstykite formos nelygybę:

Panašiai kaip ir ankstesnėje nelygybėje, nagrinėjame du atvejus:

Pirmuoju atveju abi nelygybės pusės yra neneigiamos, mes turime teisę ją paversti kvadratu. Antruoju atveju dešinė pusė yra neigiama, ir mes neturime teisės į kvadratą. Šiuo atveju reikia pažvelgti į nelygybės reikšmę: čia teigiama išraiška (kvadratinė šaknis) yra mažesnė nei neigiama išraiška, o tai reiškia, kad nelygybė yra prieštaringa. Nereikia galvoti apie antrąją sistemą.

Mes turime lygiavertę sistemą:

Kartais neracionalias nelygybes galima išspręsti grafiškai. Šis metodas taikomas, kai galima gana nesunkiai sudaryti atitinkamus grafikus ir rasti jų susikirtimo taškus.

2 pavyzdys – išspręskite nelygybes grafiškai:

A)

b)

Pirmąją nelygybę jau išsprendėme ir žinome atsakymą.

Norint grafiškai išspręsti nelygybes, reikia sukonstruoti funkcijos grafiką kairėje ir funkcijos grafiką dešinėje.

Ryžiai. 2. Funkcijų grafikai ir

Norint nubraižyti funkcijos grafiką, reikia paversti parabolę į parabolę (veidrodiuoti ją y ašies atžvilgiu), o gautą kreivę perkelti 7 vienetais į dešinę. Grafikas tai patvirtina šią funkciją monotoniškai mažėja savo apibrėžimo srityje.

Funkcijos grafikas yra tiesi linija ir ją lengva sudaryti. Susikirtimo taškas su y ašimi yra (0;-1).

Pirmoji funkcija monotoniškai mažėja, antroji monotoniškai didėja. Jei lygtis turi šaknį, tai ji yra vienintelė, kurią lengva atspėti iš grafiko: .

Kai argumento reikšmė mažesnė už šaknį, parabolė yra virš tiesės. Kai argumento reikšmė yra nuo trijų iki septynių, tiesė eina virš parabolės.

Turime atsakymą:

Efektyvus metodas Iracionalioms nelygybėms spręsti naudojamas intervalų metodas.

3 pavyzdys – išspręskite nelygybes intervalų metodu:

A)

b)

Pagal intervalų metodą reikia laikinai nutolti nuo nelygybės. Norėdami tai padaryti, viską perkelkite į pateiktą nelygybę kairė pusė(dešinėje gaukite nulį) ir įveskite funkciją, lygią kairėje pusėje:

Dabar turime ištirti gautą funkciją.

ODZ:

Šią lygtį jau išsprendėme grafiškai, todėl neapsiribojame šaknies nustatymu.

Dabar reikia pasirinkti pastovaus ženklo intervalus ir kiekvienam intervalui nustatyti funkcijos ženklą:

Ryžiai. 3. Ženklo pastovumo intervalai pvz 3

Prisiminkime, kad norint nustatyti intervalo ženklus, reikia paimti bandomąjį tašką ir pakeisti jį į funkciją, gautą ženklą funkcija išsaugos per visą intervalą.

Patikrinkime vertę ribiniame taške:

Atsakymas akivaizdus:

Apsvarstykite šiuos nelygybės tipus:

Pirmiausia užsirašykime ODZ:

Šaknys egzistuoja, jos neneigiamos, galime kvadratuoti abi puses. Mes gauname:

Gavome lygiavertę sistemą:

Gautą sistemą galima supaprastinti. Patenkinus antrąją ir trečiąją nelygybes, pirmoji yra teisinga automatiškai. Mes turime::

4 pavyzdys – išspręskite nelygybę:

Veikiame pagal schemą – gauname lygiavertę sistemą.

Šioje pamokoje pažvelgsime į neracionalių nelygybių sprendimą ir pateiksime įvairių pavyzdžių.

Tema: Lygtys ir nelygybės. Lygčių ir nelygybių sistemos

Pamoka:Neracionalios nelygybės

Sprendžiant neracionalias nelygybes, dažnai reikia tam tikru laipsniu pakelti abi nelygybės puses, tai gana atsakinga operacija. Prisiminkime ypatybes.

Abi nelygybės pusės gali būti pakeltos kvadratu, jei abi jos yra neneigiamos, tik tada gauname tikrą nelygybę iš tikrosios nelygybės.

Abi nelygybės puses bet kuriuo atveju gali būti suskirstytos į kubą, jei pradinė nelygybė buvo teisinga, tada kubu gausime tikrąją nelygybę.

Apsvarstykite formos nelygybę:

Radikali išraiška turi būti neneigiama. Funkcija gali turėti bet kokias reikšmes, reikia atsižvelgti į du atvejus.

Pirmuoju atveju abi nelygybės pusės yra neneigiamos, mes turime teisę ją paversti kvadratu. Antruoju atveju dešinė pusė yra neigiama, ir mes neturime teisės į kvadratą. Šiuo atveju reikia žiūrėti į nelygybės reikšmę: čia teigiama išraiška (kvadratinė šaknis) yra didesnė už neigiamą, vadinasi, nelygybė visada tenkinama.

Taigi, turime tokią sprendimo schemą:

Pirmoje sistemoje radikaliosios išraiškos atskirai neapsaugome, nes tenkinus antrąją sistemos nelygybę, radikalioji išraiška automatiškai turi būti teigiama.

1 pavyzdys – išspręskite nelygybę:

Pagal diagramą pereiname prie lygiavertės dviejų nelygybių sistemų rinkinio:

Iliustruojame:

Ryžiai. 1 – 1 pavyzdžio sprendimo iliustracija

Kaip matome, atsikratę iracionalumo, pavyzdžiui, kvadratuodami, gauname sistemų aibę. Kartais šis sudėtingas dizainas gali būti supaprastintas. Gautame rinkinyje turime teisę supaprastinti pirmąją sistemą ir gauti lygiavertį rinkinį:

Kaip savarankiškas pratimas, būtina įrodyti šių rinkinių lygiavertiškumą.

Apsvarstykite formos nelygybę:

Panašiai kaip ir ankstesnėje nelygybėje, nagrinėjame du atvejus:

Pirmuoju atveju abi nelygybės pusės yra neneigiamos, mes turime teisę ją paversti kvadratu. Antruoju atveju dešinė pusė yra neigiama, ir mes neturime teisės į kvadratą. Šiuo atveju reikia pažvelgti į nelygybės reikšmę: čia teigiama išraiška (kvadratinė šaknis) yra mažesnė nei neigiama išraiška, o tai reiškia, kad nelygybė yra prieštaringa. Nereikia galvoti apie antrąją sistemą.

Mes turime lygiavertę sistemą:

Kartais neracionalias nelygybes galima išspręsti grafiškai. Šis metodas taikomas, kai galima gana nesunkiai sudaryti atitinkamus grafikus ir rasti jų susikirtimo taškus.

2 pavyzdys – išspręskite nelygybes grafiškai:

A)

b)

Pirmąją nelygybę jau išsprendėme ir žinome atsakymą.

Norint grafiškai išspręsti nelygybes, reikia sukonstruoti funkcijos grafiką kairėje ir funkcijos grafiką dešinėje.

Ryžiai. 2. Funkcijų grafikai ir

Norint nubraižyti funkcijos grafiką, reikia paversti parabolę į parabolę (veidrodiuoti ją y ašies atžvilgiu), o gautą kreivę perkelti 7 vienetais į dešinę. Grafikas patvirtina, kad ši funkcija monotoniškai mažėja savo apibrėžimo srityje.

Funkcijos grafikas yra tiesi linija ir ją lengva sudaryti. Susikirtimo taškas su y ašimi yra (0;-1).

Pirmoji funkcija monotoniškai mažėja, antroji monotoniškai didėja. Jei lygtis turi šaknį, tai ji yra vienintelė, kurią lengva atspėti iš grafiko: .

Kai argumento reikšmė mažesnė už šaknį, parabolė yra virš tiesės. Kai argumento reikšmė yra nuo trijų iki septynių, tiesė eina virš parabolės.

Turime atsakymą:

Veiksmingas iracionaliųjų nelygybių sprendimo būdas yra intervalų metodas.

3 pavyzdys – išspręskite nelygybes intervalų metodu:

A)

b)

Pagal intervalų metodą reikia laikinai nutolti nuo nelygybės. Norėdami tai padaryti, perkelkite viską nurodytoje nelygybėje į kairę pusę (dešinėje gaukite nulį) ir įveskite funkciją, lygią kairei pusei:

Dabar turime ištirti gautą funkciją.

ODZ:

Šią lygtį jau išsprendėme grafiškai, todėl neapsiribojame šaknies nustatymu.

Dabar reikia pasirinkti pastovaus ženklo intervalus ir kiekvienam intervalui nustatyti funkcijos ženklą:

Ryžiai. 3. Ženklo pastovumo intervalai pvz 3

Prisiminkime, kad norint nustatyti intervalo ženklus, reikia paimti bandomąjį tašką ir pakeisti jį į funkciją, gautą ženklą funkcija išsaugos per visą intervalą.

Patikrinkime vertę ribiniame taške:

Atsakymas akivaizdus:

Apsvarstykite šiuos nelygybės tipus:

Pirmiausia užsirašykime ODZ:

Šaknys egzistuoja, jos neneigiamos, galime kvadratuoti abi puses. Mes gauname:

Gavome lygiavertę sistemą:

Gautą sistemą galima supaprastinti. Patenkinus antrąją ir trečiąją nelygybes, pirmoji yra teisinga automatiškai. Mes turime::

4 pavyzdys – išspręskite nelygybę:

Veikiame pagal schemą – gauname lygiavertę sistemą.

Mums svarbu išlaikyti jūsų privatumą. Dėl šios priežasties sukūrėme Privatumo politiką, kurioje aprašoma, kaip naudojame ir saugome jūsų informaciją. Peržiūrėkite mūsų privatumo praktiką ir praneškite mums, jei turite klausimų.

Asmeninės informacijos rinkimas ir naudojimas

Asmeninė informacija reiškia duomenis, kurie gali būti naudojami konkretaus asmens tapatybei nustatyti arba susisiekti su juo.

Jūsų gali būti paprašyta pateikti savo asmeninę informaciją bet kuriuo metu, kai susisiekiate su mumis.

Toliau pateikiami keli pavyzdžiai, kokios rūšies asmeninės informacijos galime rinkti ir kaip galime tokią informaciją naudoti.

Kokią asmeninę informaciją renkame:

• Kai pateiksite užklausą svetainėje, mes galime surinkti įvairios informacijos, įskaitant jūsų vardą, telefono numerį, adresą El. paštas ir tt

Kaip naudojame jūsų asmeninę informaciją:

• Mūsų renkama asmeninė informacija leidžia mums susisiekti su jumis ir informuoti apie unikalių pasiūlymų, akcijos ir kiti renginiai bei būsimi renginiai.
• Retkarčiais galime naudoti jūsų asmeninę informaciją svarbiems pranešimams ir pranešimams siųsti.
• Mes taip pat galime naudoti asmeninę informaciją vidiniais tikslais, tokiais kaip auditas, duomenų analizė ir įvairūs tyrimai siekdami pagerinti mūsų teikiamas paslaugas ir teikti rekomendacijas dėl mūsų paslaugų.
• Jei dalyvaujate prizų traukime, konkurse ar panašioje akcijoje, mes galime naudoti jūsų pateiktą informaciją tokioms programoms administruoti.

Informacijos atskleidimas trečiosioms šalims

Mes neatskleidžiame iš jūsų gautos informacijos trečiosioms šalims.

Išimtys:

• Esant poreikiui – įstatymų nustatyta tvarka, teismine tvarka, teismine tvarka ir (arba) remiantis viešais prašymais ar prašymais iš vyriausybines agentūras Rusijos Federacijos teritorijoje – atskleiskite savo asmeninę informaciją. Taip pat galime atskleisti informaciją apie jus, jei nuspręsime, kad toks atskleidimas yra būtinas ar tinkamas saugumo, teisėsaugos ar kitais visuomenei svarbiais tikslais.
• Reorganizavimo, susijungimo ar pardavimo atveju surinktą asmeninę informaciją galime perduoti atitinkamai trečiajai šaliai.

Asmeninės informacijos apsauga

Mes imamės atsargumo priemonių, įskaitant administracines, technines ir fizines, siekdami apsaugoti jūsų asmeninę informaciją nuo praradimo, vagystės ir netinkamo naudojimo, taip pat nuo neteisėtos prieigos, atskleidimo, pakeitimo ir sunaikinimo.

Jūsų privatumo gerbimas įmonės lygiu

Siekdami užtikrinti, kad jūsų asmeninė informacija būtų saugi, savo darbuotojams pranešame apie privatumo ir saugumo standartus ir griežtai vykdome privatumo praktiką.

Bet kokia nelygybė, kurios šaknyje yra funkcija, vadinama neracionalus. Yra dviejų tipų tokios nelygybės:

Pirmuoju atveju šaknis mažiau funkcijų g (x), antroje - daugiau. Jei g(x) – pastovus, nelygybė labai supaprastinta. Atkreipkite dėmesį: išoriškai šios nelygybės yra labai panašios, tačiau jų sprendimo schemos iš esmės skiriasi.

Šiandien mes išmoksime išspręsti neracionalias pirmojo tipo nelygybes - jos yra paprasčiausios ir suprantamiausios. Nelygybės ženklas gali būti griežtas arba negriežtas. Jiems tinka šis teiginys:

Teorema. Bet kokia neracionali formos nelygybė

Atitinka nelygybių sistemą:

Ar ne silpna? Pažiūrėkime, iš kur atsirado ši sistema:

1. f (x) ≤ g 2 (x) – čia viskas aišku. Tai yra pradinė nelygybė kvadratu;
2. f (x) ≥ 0 yra šaknies ODZ. Leiskite jums priminti: aritmetinė kvadratinė šaknis egzistuoja tik nuo neneigiamas skaičiai;
3. g(x) ≥ 0 yra šaknies diapazonas. Padalindami nelygybę kvadratu, sudeginame neigiamus dalykus. Dėl to gali atsirasti papildomų šaknų. Nelygybė g(x) ≥ 0 juos atkerta.

Daugelis studentų „užsikabina“ ant pirmosios sistemos nelygybės: f (x) ≤ g 2 (x) – ir visiškai pamiršta kitas dvi. Rezultatas nuspėjamas: neteisingas sprendimas, prarasti taškai.

Kadangi pakanka iracionalių nelygybių sudėtinga tema, pažvelkime į 4 pavyzdžius iš karto. Nuo pagrindinio iki tikrai sudėtingo. Visos problemos paimtos iš stojamieji egzaminai Maskvos valstybinis universitetas pavadintas M. V. Lomonosovas.

Problemų sprendimo pavyzdžiai

Užduotis. Išspręskite nelygybę:

Prieš mus yra klasika neracionali nelygybė: f(x) = 2x + 3; g(x) = 2 yra konstanta. Mes turime:

Iš trijų nelygybių sprendimo pabaigoje liko tik dvi. Kadangi visada galioja nelygybė 2 ≥ 0. Perbraukime likusias nelygybes:

Taigi, x ∈ [−1,5; 0,5]. Visi taškai užtamsinti, nes nelygybės nėra griežtos.

Užduotis. Išspręskite nelygybę:

Taikome teoremą:

Išspręskime pirmąją nelygybę. Norėdami tai padaryti, atskleisime skirtumo kvadratą. Mes turime:

2x 2 - 18x + 16< (x − 4) 2 ;
2x 2 - 18x + 16< x 2 − 8x + 16:
x 2 - 10x< 0;
x (x – 10)< 0;
x ∈ (0; 10).

Dabar išspręskime antrąją nelygybę. Ten irgi kvadratinis trinaris:

2x 2 − 18x + 16 ≥ 0;
x 2 – 9x + 8 ≥ 0;
(x - 8) (x - 1) ≥ 0;
x ∈ (−∞; 1]∪∪∪∪)