Kaip rasti funkcijos vingio taškus. Funkcijų grafiko išgaubtumo ir įgaubtumo intervalai Funkcijų grafiko vingio taškų pavyzdžiai

1. Išgaubtų ir įgaubtų funkcijų samprata

Tiriant funkciją gali būti naudinga nustatyti, kuriuose intervaluose funkcija yra išgaubta, o kuriuose – įgaubta.

Norėdami nustatyti išgaubtas ir įgaubtas funkcijas, nubrėžiame funkcijos grafikų liestines savavališkuose taškuose X 1 ir X 2 (15.1 ir 15.2 pav.):

Funkcijos grafikas vadinamas įgaubtas intervale, jei jis yra virš bet kurios funkcijos grafiko liestinės duotame intervale.

Funkcijos grafikas vadinamas išgaubtas intervale, jei jis yra žemiau bet kurios funkcijos grafiko liestinės duotame intervale.

Tolydžios funkcijos grafike vadinamas taškas, kuriame kinta išgaubto pobūdis Vingio taškas . Posūkio taške liestinė kirs kreivę.

Funkcija gali turėti kelis išgaubimo ir įgaubimo intervalus, kelis vingio taškus. Nustatant išgaubimo ir įgaubimo intervalus, kaip atsakymas pasirenkamas reikšmių diapazonas: vingio taškai nepriskiriami nei išgaubimo, nei įgaubimo intervalams.

Taigi 15.3 pav. funkcijos grafikas yra išgaubtas intervalais (- ; X 1) ir ( X 2; +); įgaubta ant ( X 1 ;X 2). Funkcijos grafikas turi du vingio taškus: ( X 1 ;adresu 1) ir ( X 2 ;adresu 2).

1. Funkcijos ir vingio taškų išgaubtumo-įgaubtumo kriterijus.

Funkcijos išgaubimo ir įgaubimo intervalai randami naudojant šią teoremą:

Teorema. 1. Jei funkcija turi teigiamą antrąją išvestinę, tai funkcijos grafikas intervale yra įgaubtas.

2. Jei funkcija turi neigiamą antrąją išvestinę, tai funkcijos grafikas intervale yra išgaubtas.

Įsivaizduok funkcijos išgaubtumo-įgaubtumo kriterijus diagramos pavidalu:

Taigi, tirti išgaubtumo-įgaubtumo funkciją reiškia surasti tuos apibrėžimo srities intervalus, kuriuose antroji išvestinė išlaiko savo ženklą.

Atkreipkite dėmesį, kad jis gali pakeisti savo ženklą tik tuose taškuose, kur antroji išvestinė yra lygi nuliui arba jos nėra. Tokie taškai vadinami Antrosios rūšies kritiniai taškai .

Tik kritiniai taškai gali būti posūkio taškai. Norint juos rasti, naudojama ši teorema:

Teorema (pakankama sąlyga vingio taškų egzistavimui). Jei antroji išvestinė einant per tašką x o pakeičia ženklą, tada grafiko taškas su abscisėmis x o yra vingio taškas.

Nagrinėdami išgaubtumo-įgaubtumo ir vingio taškų funkciją, galite naudoti šiuos dalykus algoritmas :

15.1 pavyzdys. Raskite išgaubto ir įgaubto intervalus, funkcijos grafiko vingio taškus.

Sprendimas. 1. Ši funkcija apibrėžta rinkinyje R.

2. Raskite pirmąją funkcijos išvestinę: = .

3. Raskite antrąją funkcijos išvestinę: =2 X-6.

4. Apibrėžkite antrojo tipo ( 0) kritinius taškus: 2 X-6= 0 X=3.

5. Tikrojoje ašyje pažymėkite kritinį tašką X=3. Jis padalina funkcijos sritį į du intervalus (-∞;3) ir (3;+∞). Išdėstykite funkcijos 2 antrosios išvestinės ženklus X-6 kiekviename gautame intervale:

adresu X=0 (-∞;3) (0)=-6<0;

adresu X=4 (3;+∞) (4)= 2∙4-6=2>0.

t. linksniavimas

6. Pagal išgaubtumo-įgaubtumo kriterijų funkcijos grafikas yra išgaubtas ties X(-∞;3), įgaubtas ties X (3;+ ∞).

Reikšmė X=3 yra vingio taško abscisė. Apskaičiuokime funkcijos reikšmę X=3:

2. Taigi taškas su koordinatėmis (3;2) yra vingio taškas.

Atsakymas: funkcijos grafikas yra išgaubtas ties X (-∞;3),

įgaubtas ties X(3;+∞); (3;2) – vingio taškas.

15.2 pavyzdys. Raskite išgaubto ir įgaubto intervalus, funkcijos grafiko vingio taškus.

Sprendimas. 1. Ši funkcija apibrėžiama, kai vardiklis yra ne nulis: X-7≠0 .

2. Raskite pirmąją funkcijos išvestinę:

3. Raskite antrąją funkcijos išvestinę: = =

Išimkite iš skaitiklio 2∙( X-7) išoriniai skliaustai:

= = = . (7;+∞) (8)= >0.

kong.

6. Pagal išgaubtumo-įgaubtumo kriterijų funkcijos grafikas yra išgaubtas, kai X(-∞;7), įgaubtas ties X (7;+ ∞).

Taškas su abscisėmis X=7 negali būti vingio taškas, nes šiuo metu funkcija neegzistuoja (ji nutrūksta).

Atsakymas: funkcijos grafikas yra išgaubtas ties X(-∞;7), įgaubtas ties X (7;+ ∞).

Kontroliniai klausimai:

Naudodami internetinį skaičiuotuvą galite rasti funkcijos grafiko vingio taškai ir išgaubtumo intervalai su sprendimo dizainu Word. Ar dviejų kintamųjų f(x1,x2) funkcija yra išgaubta, sprendžiama naudojant Heseno matricą.

Funkcijų įvedimo taisyklės:

Funkcijos grafiko išgaubimo kryptis. Posūkio taškai

Apibrėžimas: Kreivė y=f(x) vadinama žemyn išgaubta intervale (a; b), jei ji yra virš liestinės bet kuriame šio intervalo taške.

Apibrėžimas: Kreivė y=f(x) vadinama aukštyn išgaubta intervale (a; b), jei ji yra žemiau liestinės bet kuriame šio intervalo taške.

Apibrėžimas: Intervalai, kuriuose funkcijos grafikas yra išgaubtas aukštyn arba žemyn, vadinami funkcijos grafiko išgaubimo intervalais.

Kreivės, kuri yra funkcijos y=f(x) grafikas, išgaubimas į apačią arba į viršų apibūdinamas jos antrosios išvestinės ženklu: jei kuriame nors intervale f''(x) > 0, tai kreivė yra išgaubta. žemyn šiuo intervalu; jei f''(x)< 0, то кривая выпукла вверх на этом промежутке.

Apibrėžimas: Funkcijos y=f(x) grafiko taškas, skiriantis šio grafiko priešingų krypčių išgaubtumo intervalus, vadinamas vingio tašku.

Tik kritiniai antrosios rūšies taškai gali būti vingio taškai; taškai, priklausantys funkcijos y = f(x) sričiai, kurioje antroji išvestinė f''(x) išnyksta arba nutrūksta.

Funkcijos grafiko y = f(x) vingio taškų radimo taisyklė

1. Raskite antrąją išvestinę f''(x) .
2. Raskite funkcijos y=f(x) antrojo tipo kritinius taškus, t.y. taškas, kuriame f''(x) išnyksta arba nutrūksta.
3. Ištirkite antrosios išvestinės f''(x) ženklą intervaluose, į kuriuos rasti kritiniai taškai padalija funkcijos f(x) sritį. Jei šiuo atveju kritinis taškas x 0 skiria priešingų krypčių išgaubtumo intervalus, tai x 0 yra funkcijos grafiko vingio taško abscisė.
4. Apskaičiuokite funkcijų reikšmes vingio taškuose.

1 pavyzdys. Raskite šios kreivės išgaubimo tarpus ir vingio taškus: f(x) = 6x 2 –x 3 .
Sprendimas: Raskite f '(x) = 12x - 3x 2 , f ''(x) = 12 - 6x.
Raskime kritinius taškus pagal antrąją išvestinę, išspręsdami lygtį 12-6x=0 . x=2 .


f(2) = 6 * 2 2 - 2 3 = 16
Atsakymas: Funkcija yra aukštyn išgaubta x∈(2; +∞) ; funkcija yra žemyn išgaubta x∈(-∞; 2) ; vingio taškas (2;16) .

2 pavyzdys. Ar funkcija turi vingio taškus: f(x)=x 3 -6x 2 +2x-1

3 pavyzdys. Raskite intervalus, kuriuose funkcijos grafikas yra išgaubtas ir išgaubtas: f(x)=x 3 -6x 2 +12x+4

Funkcijų grafikas y=f(x) paskambino išgaubtas ant intervalo (a;b), jei jis yra žemiau bet kurios jo liestinės šiame intervale.

Funkcijų grafikas y=f(x) paskambino įgaubtas ant intervalo (a;b), jei jis yra virš bet kurios jo liestinės šiame intervale.

Paveiksle pavaizduota kreivė, išgaubta (a;b) ir įgaubtas į (b;c).

Pavyzdžiai.

Apsvarstykite pakankamą ženklą, leidžiantį nustatyti, ar funkcijos grafikas tam tikrame intervale bus išgaubtas ar įgaubtas.

Teorema. Leisti y=f(x) skiriasi pagal (a;b). Jei visuose intervalo taškuose (a;b) antroji funkcijos išvestinė y = f(x) neigiamas, t.y. f ""(x) < 0, то график функции на этом интервале выпуклый, если же f""(x) > 0 yra įgaubtas.

Įrodymas. Tikslumo dėlei tarkime, kad f""(x) < 0 и докажем, что график функции будет выпуклым.

Paimkite funkcijų grafiką y = f(x) savavališkas taškas M0 su abscisėmis x0 Î ( a; b) ir nubrėžkite per tašką M0 liestinė. Jos lygtis. Turime parodyti, kad funkcijos grafikas yra (a;b) yra žemiau šios liestinės, t.y. su ta pačia verte x kreivės ordinatė y = f(x) bus mažesnė už liestinės ordinatę.

Taigi kreivės lygtis yra y = f(x). Pažymime tangentinę ordinatę, atitinkančią abscisę x. Tada . Todėl skirtumas tarp kreivės ordinačių ir liestinės ta pačia verte x bus .

Skirtumas f(x) – f(x0) transformuoti pagal Lagranžo teoremą, kur c tarp x Ir x0.

Taigi,

Lagranžo teoremą vėl pritaikome laužtiniuose skliaustuose esančiai išraiškai: , kur c 1 tarp c 0 Ir x0. Pagal teoremą f ""(x) < 0. Определим знак произведения второго и третьего сомножителей.

Taigi bet kuris kreivės taškas yra žemiau visų verčių kreivės liestinės x Ir x0 Î ( a; b), tai reiškia, kad kreivė yra išgaubta. Panašiai įrodyta ir antroji teoremos dalis.

Pavyzdžiai.

Tęstinės funkcijos grafiko taškas, skiriantis jos išgaubtą dalį nuo įgaubtos, vadinamas Vingio taškas.

Akivaizdu, kad vingio taške liestinė, jei ji yra, kerta kreivę, nes vienoje šio taško pusėje kreivė yra po liestine, o kitoje - virš jos.

Apibrėžkime pakankamas sąlygas tam, kad kreivės taškas būtų vingio taškas.

Teorema. Tegul kreivė yra apibrėžta lygtimi y = f(x). Jeigu f ""(x 0) = 0 arba f ""(x 0) neegzistuoja ir kai eina per reikšmę x = x0 išvestinė f ""(x) pakeičia ženklą, tada funkcijos grafiko tašką su abscisėmis x = x0 yra vingio taškas.

Įrodymas. Leisti f ""(x) < 0 при x < x0 Ir f ""(x) > 0 at x > x0. Tada val x < x0 kreivė yra išgaubta, ir x > x0- įgaubtas. Iš čia ir esmė A, guli ant kreivės, su abscisėmis x0 yra vingio taškas. Panašiai galime nagrinėti ir antrąjį atvejį, kai f ""(x) > 0 at x < x0 Ir f ""(x) < 0 при x > x0.

Taigi vingio taškų reikia ieškoti tik tarp tų taškų, kuriuose antroji vedinys išnyksta arba neegzistuoja.

Pavyzdžiai. Raskite vingio taškus ir nustatykite kreivių išgaubimo ir įgaubimo intervalus.

FUNKCIJOS GRAFIKOS ASIMPTOTAI

Tiriant funkciją, svarbu nustatyti jos grafiko formą neribotai pašalinant grafiko tašką nuo pradžios.

Ypač įdomus atvejis, kai funkcijos grafikas, kai jos kintamasis taškas pašalinamas iki begalybės, neribotai artėja prie tam tikros tiesės.

Tiesiogiai skambinama asimptotas funkcijų grafikas y = f(x) jei atstumas nuo kintamojo taško M grafiką iki šios linijos, kai taškas pašalinamas M iki begalybės linksta į nulį, t.y. funkcijos grafiko taškas, linkęs į begalybę, turi neribotai artėti prie asimptotės.

Kreivė gali priartėti prie savo asimptotės, išlikdama vienoje jos pusėje arba skirtingose ​​pusėse, be galo daug kartų susikerta su asimptote ir judėdama iš vienos pusės į kitą.

Jei d žymėsime atstumą nuo taško M kreivė į asimptotą, aišku, kad d linkęs į nulį, kai taškas pašalinamas M iki begalybės.

Toliau skirsime vertikalias ir įstrižas asimptotes.

VERTIKALIEJI ASIMPTOTAI

Leiskite prie x→ x0 bet kurioje funkcijos pusėje y = f(x) neribotai didėja absoliuti vertė, t.y. arba arba . Tada iš asimptotės apibrėžimo išplaukia, kad eilutė x = x0 yra asimptotas. Priešingai taip pat akivaizdu, jei linija x = x0 yra asimptotas, taigi .

Taigi funkcijos grafiko vertikali asimptotė y = f(x) vadinama linija if f(x)→ ∞ esant bent vienai iš sąlygų x→ x0– 0 arba x → x0 + 0, x = x0

Todėl norint rasti funkcijos grafiko vertikaliąsias asimptotes y = f(x) reikia surasti tas vertybes x = x0, kurioje funkcija eina į begalybę (kenčia begalinį nenuoseklumą). Tada vertikali asimptotė turi lygtį x = x0.

Pavyzdžiai.

SKILTI ASIMPTOTAI

Kadangi asimptotė yra tiesi linija, tada jei kreivė y = f(x) turi įstrižą asimptotę, tada jos lygtis bus tokia y = kx + b. Mūsų užduotis yra rasti koeficientus k Ir b.

Teorema. Tiesiai y = kx + b tarnauja kaip įstrižas asimptotas ties x→ +∞ funkcijos grafikui y = f(x) Jeigu, ir tik jeigu . Panašus teiginys galioja ir x → –∞.

Įrodymas. Leisti MP- atkarpos ilgis, lygus atstumui nuo taško Mį asimptotą. Pagal sąlygą. φ pažymėkite asimptotės pasvirimo į ašį kampą Jautis. Tada nuo ΔMNP seka tuo. Kadangi φ yra pastovus kampas (φ ≠ π/2), tada , bet

Kai braižome funkciją, svarbu apibrėžti išgaubtus intervalus ir vingio taškus. Mums jų reikia kartu su mažėjimo ir didėjimo intervalais, kad funkcija būtų aiškiai pavaizduota grafine forma.

Norint suprasti šią temą, reikia žinoti, kas yra funkcijos išvestinė ir kaip ją apskaičiuoti tam tikra tvarka, taip pat mokėti išspręsti įvairių rūšių nelygybes.

Straipsnio pradžioje apibrėžiamos pagrindinės sąvokos. Tada parodysime, koks ryšys egzistuoja tarp išgaubimo krypties ir antrosios išvestinės reikšmės tam tikru intervalu. Toliau nurodysime sąlygas, kuriomis galima nustatyti grafiko vingio taškus. Visi samprotavimai bus iliustruojami problemų sprendimo pavyzdžiais.

1 apibrėžimas

Tam tikru intervalu žemyn kryptimi tuo atveju, kai jo grafikas yra ne žemiau nei jo liestinė bet kuriame šio intervalo taške.

2 apibrėžimas

Diferencijuojama funkcija yra išgaubta aukštyn tam tikru intervalu, jei šios funkcijos grafikas yra ne aukščiau už jos liestinę bet kuriame šio intervalo taške.

Žemyn išgaubta funkcija taip pat gali būti vadinama įgaubta. Abu apibrėžimai aiškiai parodyti toliau pateiktoje diagramoje:

3 apibrėžimas

Funkcijos vingio taškas yra taškas M (x 0 ; f (x 0)), kuriame yra funkcijos grafiko liestinė, su sąlyga, kad išvestinė yra šalia taško x 0 , kur funkcijos grafikas yra skirtingomis kryptimis išgaubimas kairėje ir dešinėje pusėse.

Paprasčiau tariant, vingio taškas yra grafiko vieta, kurioje yra liestinė, o grafiko išgaubimo kryptis einant pro šią vietą pakeis išgaubimo kryptį. Jei neprisimenate, kokiomis sąlygomis galimas vertikalios ir nevertikalios liestinės egzistavimas, patariame pakartoti skyrių apie funkcijos grafiko liestinę taške.

Žemiau pateikiamas funkcijos, kurioje yra keli vingio taškai, paryškinti raudonai, grafikas. Paaiškinkime, kad vingio taškų buvimas nėra privalomas. Vienos funkcijos grafike gali būti vienas, du, keli, be galo daug arba nė vieno.

Šiame skyriuje kalbėsime apie teoremą, pagal kurią galite nustatyti tam tikros funkcijos grafiko išgaubimo intervalus.

4 apibrėžimas

Funkcijos grafikas bus išgaubtas kryptimi žemyn arba aukštyn, jei atitinkama funkcija y = f (x) turi antrą baigtinę išvestinę nurodytame intervale x, su sąlyga, kad nelygybė f "" (x) ≥ 0 ∀ x ∈ X (f "" (x) ≤ 0 ∀ x ∈ X) bus teisinga.

Naudodami šią teoremą galite rasti įgaubimo ir išgaubimo intervalus bet kuriame funkcijos grafike. Norėdami tai padaryti, tereikia išspręsti nelygybes f "" (x) ≥ 0 ir f "" (x) ≤ 0 atitinkamos funkcijos srityje.

Paaiškinkime, kad tie taškai, kuriuose antroji išvestinė neegzistuoja, bet funkcija y = f (x) yra apibrėžta, bus įtraukti į išgaubto ir įgaubto intervalus.

Pažiūrėkime į konkrečios problemos pavyzdį, kaip teisingai pritaikyti šią teoremą.

1 pavyzdys

Būklė: duota funkcija y = x 3 6 - x 2 + 3 x - 1 . Nustatykite, kokiais intervalais jos grafikas bus išgaubtas ir įgaubtas.

Sprendimas

Šios funkcijos sritis yra visa realiųjų skaičių rinkinys. Pradėkime nuo antrosios išvestinės apskaičiavimo.

y "= x 3 6 - x 2 + 3 x - 1" = x 2 2 - 2 x + 3 ⇒ y "" = x 2 2 - 2 x + 3 = x - 2

Matome, kad antrosios išvestinės sritis sutapo su pačios funkcijos sritimi, todėl norint nustatyti išgaubtumo intervalus, reikia išspręsti nelygybes f "" (x) ≥ 0 ir f "" (x) ≤ 0 .

y "" ≥ 0 ⇔ x - 2 ≥ 0 ⇔ x ≥ 2 y "" ≤ 0 ⇔ x - 2 ≤ 0 ⇔ x ≤ 2

Gavome, kad duotosios funkcijos grafikas atkarpoje bus įgaubtas [2; + ∞) ir atkarpos išgaubimas (- ∞ ; 2 ] .

Aiškumo dėlei nubraižysime funkcijos grafiką ir jame mėlyna spalva pažymėsime išgaubtą, o raudonai – įgaubtą.

Atsakymas: duotosios funkcijos grafikas atkarpoje turės įgaubą [2; + ∞) ir atkarpos išgaubimas (- ∞ ; 2 ] .

Bet ką daryti, jei antrosios išvestinės sritis nesutampa su funkcijos sritimi? Čia mums naudinga aukščiau pateikta pastaba: tuos taškus, kuriuose galutinės antrosios išvestinės nėra, įtrauksime ir į įgaubimo ir išgaubimo segmentus.

2 pavyzdys

Būklė: duota funkcija y = 8 x x - 1 . Nustatykite, kokiais intervalais jo grafikas bus įgaubtas, o kokiais – išgaubtas.

Sprendimas

Pirmiausia išsiaiškinkime funkcijos apimtį.

x ≥ 0 x - 1 ≠ 0 ⇔ x ≥ 0 x ≠ 1 ⇔ x ∈ [ 0 ; 1) ∪ (1 ; + ∞)

Dabar apskaičiuojame antrąją išvestinę:

y "= 8 x x - 1" = 8 1 2 x (x - 1) - x 1 (x - 1) 2 = - 4 x + 1 x (x - 1) 2 y "" = - 4 x + 1 x (x - 1) 2 "= - 4 1 x x - 1 2 - (x + 1) x x - 1 2" x (x - 1) 4 = = - 4 1 x x - 1 2 - x + 1 1 2 x ( x - 1) 2 + x 2 (x - 1) x x - 1 4 = = 2 3 x 2 + 6 x - 1 x 3 2 (x - 1) 3

Antrosios išvestinės sritis yra aibė x ∈ (0 ; 1) ∪ (1 ; + ∞) . Matome, kad x lygus nuliui bus pradinės funkcijos srityje, bet ne antrosios išvestinės srityje. Šis taškas turi būti įtrauktas į įgaubimo arba išgaubimo segmentą.

Po to turime išspręsti nelygybes f "" (x) ≥ 0 ir f "" (x) ≤ 0 duotosios funkcijos srityje. Tam naudojame intervalo metodą: ties x \u003d - 1 - 2 3 3 ≈ - 2, 1547 arba x \u003d - 1 + 2 3 3 ≈ 0, 1547 skaitiklis 2 (3 x 2 + 6 x - 1) x 2 3 x - 1 3 tampa 0, o vardiklis yra 0, kai x yra nulis arba vienas.

Padėkime gautus taškus grafike ir nustatykime išraiškos ženklą visuose intervaluose, kurie bus įtraukti į pradinės funkcijos sritį. Diagramoje ši sritis pažymėta brūkšniu. Jei reikšmė teigiama, intervalą pažymėkite pliusu, jei neigiama, tada minusu.

Vadinasi,

f "" (x) ≥ 0 x ∈ [ 0 ; 1) ∪ (1 ; + ∞) ⇔ x ∈ 0 ; - 1 + 2 3 3 ∪ (1 ; + ∞) ir f "" (x) ≤ 0 x ∈ [ 0 ; 1) ∪ (1 ; + ∞) ⇔ x ∈ [ - 1 + 2 3 3 ; 1)

Įjungiame anksčiau pažymėtą tašką x = 0 ir gauname norimą atsakymą. Pradinės funkcijos grafikas bus išpūstas žemyn ties 0 ; - 1 + 2 3 3 ∪ (1 ; + ∞) ir aukštyn - už x ∈ [ - 1 + 2 3 3 ; 1) .

Nubraižykime grafiką, išgaubtą dalį pažymėdami mėlyna spalva, o įgaubtą – raudona spalva. Vertikali asimptotė pažymėta juoda punktyrine linija.

Atsakymas: Pradinės funkcijos grafikas bus išpūstas žemyn ties 0 ; - 1 + 2 3 3 ∪ (1 ; + ∞) ir aukštyn - už x ∈ [ - 1 + 2 3 3 ; 1) .

Funkcinio grafiko linksniavimo sąlygos

Pradėkime nuo būtinos kokios nors funkcijos grafiko linksniavimo sąlygos formulavimo.

5 apibrėžimas

Tarkime, kad turime funkciją y = f(x), kurios grafikas turi vingio tašką. Jei x = x 0, ji turi ištisinę antrąją išvestinę, todėl galios lygybė f "" (x 0) = 0.

Atsižvelgdami į šią sąlygą, turėtume ieškoti vingio taškų tarp tų, kuriuose antroji išvestinė pasisuks į 0. Šios sąlygos nepakaks: ne visi tokie punktai mums tiks.

Taip pat atkreipkite dėmesį, kad pagal bendrą apibrėžimą mums reikės liestinės linijos, vertikalios arba ne vertikalios. Praktiškai tai reiškia, kad norint rasti vingio taškus, reikėtų imti tuos, kuriuose antroji šios funkcijos išvestinė tampa 0. Todėl norėdami rasti vingio taškų abscises, turime paimti visus x 0 iš funkcijos srities, kur lim x → x 0 - 0 f " (x) = ∞ ir lim x → x 0 + 0 f " (x) = ∞ . Dažniausiai tai yra taškai, kuriuose pirmosios išvestinės vardiklis virsta 0.

Pirmoji pakankama funkcijos grafiko vingio taško egzistavimo sąlyga

Mes radome visas x 0 reikšmes, kurios gali būti laikomos vingio taškų abscisėmis. Po to turime taikyti pirmąją pakankamą linksniavimo sąlygą.

6 apibrėžimas

Tarkime, kad turime funkciją y = f (x), kuri yra tolydi taške M (x 0 ; f (x 0)) . Be to, šiame taške ji turi liestinę, o pati funkcija turi antrą išvestinę šalia šio taško x 0 . Šiuo atveju, jei antroji išvestinė įgauna priešingus ženklus kairėje ir dešinėje pusėse, tai šis taškas gali būti laikomas vingio tašku.

Matome, kad ši sąlyga nereikalauja, kad antroji išvestinė būtinai egzistuotų šiame taške, pakanka jos buvimo taško x 0 kaimynystėje.

Visa tai, kas išdėstyta pirmiau, gali būti patogiai pateikta kaip veiksmų seka.

1. Pirmiausia reikia rasti visas galimų vingio taškų abscises x 0, kur f "" (x 0) = 0, lim x → x 0 - 0 f "(x) = ∞, lim x → x 0 + 0 f " (x) = ∞ .
2. Sužinokite, kuriuose taškuose išvestinė pakeis ženklą. Šios reikšmės yra vingio taškų abscisės, o jas atitinkantys taškai M (x 0 ; f (x 0)) yra patys vingio taškai.

Kad būtų aiškumo, panagrinėkime dvi problemas.

3 pavyzdys

Būklė: duota funkcija y = 1 10 x 4 12 - x 3 6 - 3 x 2 + 2 x . Nustatykite, kur šios funkcijos grafike bus vingio ir išsipūtimo taškai.

Sprendimas

Ši funkcija apibrėžiama visai realiųjų skaičių rinkiniui. Mes svarstome pirmąjį išvestinį:

y "= 1 10 x 4 12 - x 3 6 - 3 x 2 + 2 x" = 1 10 4 x 3 12 - 3 x 2 6 - 6 x + 2 = = 1 10 x 3 3 - x 2 2 - 6 x + 2

Dabar suraskime pirmosios išvestinės srities sritį. Tai taip pat yra visų realiųjų skaičių rinkinys. Taigi lygybės lim x → x 0 - 0 f "(x) = ∞ ir lim x → x 0 + 0 f" (x) = ∞ negali būti įvykdytos jokioms x 0 reikšmėms.

Apskaičiuojame antrąją išvestinę:

y "" = = 1 10 x 3 3 - x 2 2 - 6 x + 2 " = 1 10 3 x 2 3 - 2 x 2 - 6 = 1 10 x 2 - x - 6

y "" = 0 ⇔ 1 10 (x 2 - x - 6) = 0 ⇔ x 2 - x - 6 = 0 D = (- 1) 2 - 4 1 (- 6) = 25 x 1 = 1 - 25 2 \u003d - 2, x 2 \u003d 1 + 25 2 \u003d 3

Mes radome dviejų galimų vingio taškų – 2 ir 3 – abscises. Mums belieka tik patikrinti, kuriuo momentu išvestinė keičia savo ženklą. Nubraižykime skaitinę ašį ir joje nubraižykime šiuos taškus, po kurių ant gautų intervalų dėsime antrosios išvestinės ženklus.

Lankai rodo grafiko išgaubimo kryptį kiekviename intervale.

Antroji išvestinė apverčia ženklą (iš pliuso į minusą) taške su abscise 3, eidama per jį iš kairės į dešinę, ir daro tą patį (iš minuso į pliusą) taške su abscise 3. Taigi, galime daryti išvadą, kad x = - 2 ir x = 3 yra funkcijos grafiko vingio taškų abscisės. Jie atitiks grafiko taškus - 2; - 4 3 ir 3 ; - 15 8 .

Dar kartą pažvelkime į skaitinės ašies vaizdą ir gautus ženklus ant intervalų, kad padarytume išvadas apie įgaubimo ir išgaubimo vietas. Pasirodo, iškilimas bus segmente - 2; 3 , o įdubimas segmentuose (- ∞ ; - 2 ] ir [ 3 ; + ∞ ).

Grafike aiškiai parodytas uždavinio sprendimas: mėlyna spalva – išgaubtumas, raudona – įdubimas, juoda spalva reiškia vingio taškus.

Atsakymas: iškilimas bus segmente - 2; 3 , o įdubimas segmentuose (- ∞ ; - 2 ] ir [ 3 ; + ∞ ).

4 pavyzdys

Būklė: apskaičiuokite funkcijos y = 1 8 · x 2 + 3 x + 2 · x - 3 3 5 grafiko visų vingio taškų abscises.

Sprendimas

Pateiktos funkcijos sritis yra visų realiųjų skaičių aibė. Apskaičiuojame išvestinę:

y "= 1 8 (x 2 + 3 x + 2) x - 3 3 5" = = 1 8 x 2 + 3 x + 2 " (x - 3) 3 5 + (x 2 + 3 x + 2) x - 3 3 5 " = = 1 8 2 x + 3 (x - 3) 3 5 + (x 2 + 3 x + 2) 3 5 x - 3 - 2 5 = 13 x 2 - 6 x - 39 40 (x – 3) 25

Skirtingai nuo funkcijos, jos pirmoji išvestinė nebus nustatyta x reikšme 3, bet:

lim x → 3 - 0 y "(x) = 13 (3 - 0) 2 - 6 (3 - 0) - 39 40 3 - 0 - 3 2 5 = + ∞ lim x → 3 + 0 y " (x) = 13 (3 + 0) 2 - 6 (3 + 0) - 39 40 3 + 0 - 3 2 5 = + ∞

Tai reiškia, kad per šį tašką eis vertikali grafiko liestinė. Todėl 3 gali būti vingio taško abscisė.

Apskaičiuojame antrąją išvestinę. Taip pat randame jo apibrėžimo sritį ir taškus, kuriuose jis virsta 0:

y "" = 13 x 2 - 6 x - 39 40 x - 3 2 5 " = = 1 40 13 x 2 - 6 x - 39 " (x - 3) 2 5 - 13 x 2 - 6 x - 39 x - 3 2 5" (x - 3) 4 5 = = 1 25 13 x 2 - 51 x + 21 (x - 3) 7 5 , x ∈ (- ∞ ; 3) ∪ (3 ; + ∞ ) y "" ( x) = 0 ⇔ 13 x 2 - 51 x + 21 = 0 D = (- 51) 2 - 4 13 21 = 1509 x 1 = 51 + 1509 26 ≈ 3 , 4556 , x 2 = 51 - 1509 ≈ 5 .

Turime dar du galimus vingio taškus. Sudedame juos visus į skaičių eilutę ir gautus intervalus pažymime ženklais:

Ženklas pasikeis einant per kiekvieną nurodytą tašką, o tai reiškia, kad jie visi yra vingio taškai.

Atsakymas: Nubraižykime funkcijos grafiką, raudonai pažymėkime įdubimus, mėlynai – išgaubtus, o juodai – vingio taškus:

Žinodami pirmąją pakankamą linksniavimo sąlygą, galime nustatyti reikiamus taškus, kuriuose antrosios išvestinės buvimas nebūtinas. Remiantis tuo, pirmoji sąlyga gali būti laikoma universaliausia ir tinkama įvairių tipų problemoms spręsti.

Atkreipkite dėmesį, kad yra dar dvi linksniavimo sąlygos, tačiau jas galima taikyti tik tada, kai nurodytame taške yra baigtinė išvestinė.

Jei turime f "" (x 0) = 0 ir f """ (x 0) ≠ 0 , tai x 0 bus grafiko y = f (x) vingio taško abscisė.

5 pavyzdys

Būklė: pateikta funkcija y = 1 60 x 3 - 3 20 x 2 + 7 10 x - 2 5. Nustatykite, ar funkcijos grafikas taške 3 turės linksnį; 4 5 .

Sprendimas

Pirmiausia reikia įsitikinti, kad duotas taškas iš viso priklausys šios funkcijos grafikui.

y (3) = 1 60 3 3 - 3 20 3 2 - 2 5 = 27 60 - 27 20 + 21 10 - 2 5 = 9 - 27 + 42 - 8 20 = 4 5

Nurodyta funkcija yra apibrėžta visiems argumentams, kurie yra realieji skaičiai. Apskaičiuojame pirmą ir antrą išvestines:

y "= 1 60 x 3 - 3 20 x 2 + 7 10 x - 2 5" = 1 20 x 2 - 3 10 x + 7 10 y "" = 1 20 x 2 - 3 10 x + 7 10" = 1 10 x - 3 10 = 1 10 (x - 3)

Gavome, kad antroji išvestinė bus 0, jei x lygi 0 . Tai reiškia, kad bus įvykdyta būtina šio taško linksniavimo sąlyga. Dabar naudojame antrąją sąlygą: randame trečią išvestinę ir sužinome, ar ji pavirs į 0 ties 3:

y " " " = 1 10 (x - 3) " = 1 10

Trečioji išvestinė neišnyks jokiai x reikšmei. Todėl galime daryti išvadą, kad šis taškas bus funkcijos grafiko vingio taškas.

Atsakymas: Parodykime sprendimą iliustracijoje:

Tarkime, kad f "(x 0) = 0, f "" (x 0) = 0, . . . , f (n) (x 0) = 0 ir f (n + 1) (x 0) ≠ 0 . Šiuo atveju net n gauname, kad x 0 yra grafiko y vingio taško abscisė \u003d f (x) .

6 pavyzdys

Būklė: duota funkcija y = (x - 3) 5 + 1 . Apskaičiuokite jo grafiko vingio taškus.

Sprendimas

Ši funkcija apibrėžiama visai realiųjų skaičių rinkiniui. Apskaičiuokite išvestinę: y " = ((x - 3) 5 + 1) " = 5 x - 3 4 . Kadangi jis taip pat bus apibrėžtas visoms tikrosioms argumento reikšmėms, bet kuriame jo grafiko taške bus ne vertikali liestinė.

Dabar apskaičiuokime, kokioms reikšmėms antroji išvestinė pavirs į 0:

y "" = 5 (x - 3) 4 " = 20 x - 3 3 y "" = 0 ⇔ x - 3 = 0 ⇔ x = 3

Mes nustatėme, kad esant x = 3 funkcijos grafikas gali turėti vingio tašką. Tam patvirtinimui naudojame trečiąją sąlygą:

y " " " = 20 (x - 3) 3 " = 60 x - 3 2, y " " " (3) = 60 3 - 3 2 = 0 y (4) = 60 (x - 3) 2 " = 120 (x - 3) , y (4) (3) = 120 (3 - 3) = 0 y (5) = 120 (x - 3) " = 120, y (5) (3) = 120 ≠ 0

Mes turime n = 4 pagal trečiąją pakankamą sąlygą. Tai lyginis skaičius, todėl x \u003d 3 bus vingio taško abscisė, o funkcijos (3; 1) grafiko taškas atitinka jį.

Atsakymas:Štai šios funkcijos grafikas su pažymėtu išgaubtu, įgaubtu ir vingio tašku:

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter

Funkcijos išgaubtumo samprata

Apsvarstykite funkciją \(y = f\left(x \right),\), kuri laikoma ištisine atkarpoje \(\left[ (a,b) \right].\) Funkcija \(y = f \left(x \right),\) )\) yra iškviečiamas išgaubtas žemyn (arba tiesiog išgaubtas) jei bet kuriuose taškuose \((x_1)\) ir \((x_2)\) iš \(\left[ (a,b) \right]\) x_1),(x_2) \in \left[ (a, b) \right],\) taip, kad \((x_1) \ne (x_2),\) tada funkcija \(f\left(x \right) \) būtų vadinama griežtai išgaubtas žemyn

Panašiai apibrėžiama ir aukštyn išgaubta funkcija. Iškviečiama funkcija \(f\left(x \right)\). išgaubtas aukštyn (arba įgaubtas) jei bet kuriems atkarpos \((x_1)\) ir \((x_2)\) taškams \(\left[ (a,b) \right]\) nelygybė \ Jei ši nelygybė yra griežta bet kuriam \( ( x_1),(x_2) \in \left[ (a,b) \right],\) taip, kad \((x_1) \ne (x_2),\) tada funkcija \(f\left(x \right) ) \) yra vadinami griežtai išgaubtas į viršų segmente \(\left[ (a,b) \right].\)

Funkcijos išgaubimo geometrinė interpretacija

Pateikti išgaubtos funkcijos apibrėžimai turi paprastą geometrinę interpretaciją.

Dėl funkcijos, išgaubtas žemyn (brėžinys \(1\)), bet kurios stygos \((A_1)(A_2)\) vidurio taškas \(B\) yra aukštesnė

Panašiai ir dėl funkcijos išgaubtas aukštyn (brėžinys \(2\)), bet kurios stygos \((A_1)(A_2)\) vidurio taškas \(B\) yra žemiau atitinkamas funkcijos grafiko taškas \((A_0)\) arba sutampa su šiuo tašku.

Išgaubtos funkcijos turi kitą vizualinę savybę, kuri yra susijusi su vieta liestinė į funkcijos grafiką. Funkcija \(f\left(x \right)\) yra išgaubtas žemyn atkarpoje \(\left[ (a,b) \right]\) tada ir tik tada, kai jos grafikas yra ne žemesnis už liestinę, nubrėžtą bet kuriame atkarpos \(\left) taške \((x_0)\) [ (a ,b) \right]\) (paveikslas \(3\)).

Atitinkamai, funkcija \(f\left(x \right)\) yra išgaubtas aukštyn atkarpoje \(\left[ (a,b) \right]\) tada ir tik tada, kai jos grafikas yra ne didesnis už liestinę, nubrėžtą bet kuriame atkarpos \(\left) taške \((x_0)\) [ (a ,b) \right]\) (paveikslas \(4\)). Šios savybės yra teorema ir jas galima įrodyti naudojant funkcijos išgaubtumo apibrėžimą.

Pakankamos sąlygos išgaubimui

Tegul funkcijos \(f\left(x \right)\) pirmoji išvestinė \(f"\left(x \right)\) egzistuoja segmente \(\left[ (a,b) \right], \) ir antroji išvestinė \(f""\left(x \right)\) − intervale \(\left((a,b) \right).\) Tada galioja šie pakankami išgaubtumo kriterijai:

Jei \(f""\left(x \right) \ge 0\) visiems \(x \in \left((a,b) \right),\), tada funkcija \(f\left(x \) teisingai)\) išgaubtas žemyn segmente \(\left[ (a,b) \right];\)

Jei \(f""\left(x \right) \le 0\) visiems \(x \in \left((a,b) \right),\), tada funkcija \(f\left(x \) teisingai)\) išgaubtas aukštyn segmente \(\left[ (a,b) \right].\)

Tais atvejais, kai antroji išvestinė yra griežtai didesnė už (mažiau nei) nulį, atitinkamai kalbama apie griežtas išgaubimas žemyn (arba aukštyn ).

Įrodykime aukščiau pateiktą teoremą žemyn išgaubtos funkcijos atveju. Tegul funkcija \(f\left(x \right)\) turi neneigiamą antrąją išvestinę intervale \(\left((a,b) \right):\) \(f""\left(x) \right) \ge 0.\) Pažymėkite \((x_0)\) atkarpos vidurio tašką \(\left[ ((x_1),(x_2)) \right].\) Tarkime, kad šios atkarpos ilgis yra lygus \(2h.\) Tada koordinates \((x_1)\) ir \((x_2)\) galima užrašyti taip: \[(x_1) = (x_0) - h,\;\;(x_2 ) = (x_0) + h.\] Išplėskite funkciją \(f\left(x \right)\) taške \((x_0)\) į Taylor seriją su likusia dalimi Lagranžo forma. Gauname tokias išraiškas: \[ (f\left(((x_1)) \right) = f\left(((x_0) - h) \right) ) = (f\left(((x_0)) \right ) - f"\left(((x_0)) \right)h + \frac((f""\left(((\xi _1)) \right)(h^2)))((2},} \] \[ {f\left({{x_2}} \right) = f\left({{x_0} + h} \right) } = {f\left({{x_0}} \right) + f"\left({{x_0}} \right)h + \frac{{f""\left({{\xi _2}} \right){h^2}}}{{2!}},} \] где \({x_0} - h !}
Pridėkite abi lygybes: \[ (f\left(((x_1)) \right) + f\left(((x_2)) \right) ) = (2f\left(((x_0)) \right) + \frac (((h^2)))(2)\left[ (f""\left(((\xi _1)) \right) + f""\left(((\xi _2)) \right)) \right].) \] Kadangi \((\xi _1),(\xi _2) \in \left((a,b) \right),\), antrosios išvestinės dešinėje pusėje yra neneigiamos . Todėl \ arba \, tai yra, pagal apibrėžimą, funkcija \(f\left(x \right)\) išgaubtas žemyn .

Atkreipkite dėmesį, kad būtina funkcijos išgaubtumo sąlyga (t. y. tiesioginė teorema, kurioje, pavyzdžiui, iš išgaubimo sąlygos išplaukia, kad \(f""\left(x \right) \ge 0\)) tenkinama tik a negriežtos nelygybės. Griežto išgaubimo atveju būtina sąlyga paprastai neįvykdoma. Pavyzdžiui, funkcija \(f\left(x \right) = (x^4)\) yra griežtai žemyn išgaubta. Tačiau taške \(x = 0\) jo antroji išvestinė lygi nuliui, t.y. griežta nelygybė \(f""\left(x \right) \gt 0\) šiuo atveju netenkinama.

Išgaubtų funkcijų savybės

Išvardijame kai kurias išgaubtų funkcijų savybes, darant prielaidą, kad visos funkcijos yra apibrėžtos ir tęstinės segmente \(\left[ (a,b) \right].\)

Jei funkcijos \(f\) ir \(g\) yra žemyn (aukštyn) išgaubtos, tada bet kuri iš jų linijinis derinys \(af + bg,\) kur \(a\), \(b\) yra teigiami realieji skaičiai, taip pat išgaubti žemyn (aukštyn).

Jei funkcija \(u = g\left(x \right)\) yra žemyn išgaubta, o funkcija \(y = f\left(u \right)\) yra žemyn išgaubta ir nemažėjanti, tada sudėtinga funkcija \(y = f\left((g\left(x \right)) \right)\) taip pat bus išgaubta žemyn.

Jei funkcija \(u = g\left(x \right)\) yra išgaubta aukštyn, o funkcija \(y = f\left(u \right)\) yra išgaubta žemyn ir nedidėja, tada sudėtinga funkcija \(y = f\left((g\left(x \right)) \right)\) bus išgaubta žemyn.

Vietinis maksimumas išgaubta aukštyn funkcija, apibrėžta segmente \(\left[ (a,b) \right],\) tuo pačiu yra jos didžiausia vertė šiame segmente.

Vietinis minimumas žemyn išgaubta funkcija, apibrėžta segmente \(\left[ (a,b) \right],\) tuo pat metu yra jos mažiausia vertė šiame segmente.