Kaip apskaičiuoti kvadratinį trinarį: formulė. Kvadratinis trinaris. Kvadratinio trinalio koeficientas

Daugiavardžių išplėtimas norint gauti produktą kartais gali atrodyti painu. Bet tai nėra taip sunku, jei suprantate procesą žingsnis po žingsnio. Straipsnyje išsamiai aprašoma, kaip apskaičiuoti kvadratinį trinarį.

Daugelis žmonių nesupranta, kaip apskaičiuoti kvadratinį trinarį ir kodėl tai daroma. Iš pradžių tai gali atrodyti kaip bergždžias pratimas. Tačiau matematikoje niekas nedaroma už dyką. Transformacija būtina norint supaprastinti išraišką ir palengvinti skaičiavimą.

Formos polinomas – ax²+bx+c, vadinamas kvadratiniu trinamiu. Terminas „a“ turi būti neigiamas arba teigiamas. Praktikoje ši išraiška vadinama kvadratine lygtimi. Todėl kartais sako kitaip: kaip suskaidyti kvadratinė lygtis.

Įdomus! Dauginamas vadinamas kvadratu dėl jo didžiausio laipsnio – kvadrato. Ir trinaris – dėl 3 komponentų.

Kai kurie kiti daugianarių tipai:

• tiesinis dvinaris (6x+8);
• kubinis kvadrinimas (x³+4x²-2x+9).

Kvadratinio trinalio koeficientas

Pirma, išraiška lygi nuliui, tada reikia rasti šaknų x1 ir x2 reikšmes. Šaknų gali nebūti, gali būti viena ar dvi šaknys. Šaknų buvimą lemia diskriminantas. Jūs turite žinoti jo formulę mintinai: D=b²-4ac.

Jei rezultatas D yra neigiamas, šaknų nėra. Jei teigiama, yra dvi šaknys. Jei rezultatas yra nulis, šaknis yra viena. Šaknys taip pat apskaičiuojamos pagal formulę.

Jei skaičiuojant diskriminantą rezultatas yra nulis, galite naudoti bet kurią formulę. Praktiškai formulė tiesiog sutrumpinama: -b / 2a.

Formulės, skirtos skirtingos reikšmės diskriminantai skiriasi.

Jei D teigiamas:

Jei D yra nulis:

Internetiniai skaičiuotuvai

Yra internete internetinis skaičiuotuvas. Jis gali būti naudojamas faktorizavimui atlikti. Kai kurie ištekliai suteikia galimybę žingsnis po žingsnio peržiūrėti sprendimą. Tokios paslaugos padeda geriau suprasti temą, tačiau reikia stengtis ją gerai suprasti.

Naudingas vaizdo įrašas: kvadratinio trinalio faktorius

Pavyzdžiai

Kviečiame apžiūrėti paprasti pavyzdžiai, kaip apskaičiuoti kvadratinę lygtį.

1 pavyzdys

Tai aiškiai parodo, kad rezultatas yra du x, nes D yra teigiamas. Jie turi būti pakeisti į formulę. Jei šaknys pasirodo neigiamos, ženklas formulėje pasikeičia į priešingą.

Žinome kvadratinio trinalio faktoriaus formulę: a(x-x1)(x-x2). Vertes dedame skliausteliuose: (x+3)(x+2/3). Laipsnyje nėra skaičiaus prieš terminą. Tai reiškia, kad ten yra vienas, jis nusileidžia.

2 pavyzdys

Šis pavyzdys aiškiai parodo, kaip išspręsti lygtį, kuri turi vieną šaknį.

Pakeičiame gautą vertę:

3 pavyzdys

Duota: 5x²+3x+7

Pirmiausia, kaip ir ankstesniais atvejais, apskaičiuokime diskriminantą.

D=9-4*5*7=9-140= -131.

Diskriminantas yra neigiamas, o tai reiškia, kad nėra šaknų.

Gavę rezultatą, turėtumėte atidaryti skliaustus ir patikrinti rezultatą. Turėtų pasirodyti pradinis trinaris.

Alternatyvus sprendimas

Kai kurie žmonės niekada negalėjo susidraugauti su diskriminatoriumi. Yra dar vienas kvadratinio trinalio faktorinavimo būdas. Patogumui metodas parodytas su pavyzdžiu.

Duota: x²+3x-10

Žinome, kad turėtume gauti 2 skliaustus: (_)(_). Kai išraiška atrodo taip: x²+bx+c, kiekvieno skliausto pradžioje dedame x: (x_)(x_). Likę du skaičiai yra sandauga, suteikianti „c“, t. y. šiuo atveju -10. Vienintelis būdas sužinoti, kokie tai yra skaičiai, yra pasirinkti. Pakeisti skaičiai turi atitikti likusį terminą.

Pavyzdžiui, padauginus šiuos skaičius gaunamas -10:

• -1, 10;
• -10, 1;
• -5, 2;
• -2, 5.

1. (x-1) (x+10) = x2+10x-x-10 = x2+9x-10. Nr.
2. (x-10)(x+1) = x2+x-10x-10 = x2-9x-10. Nr.
3. (x-5) (x+2) = x2+2x-5x-10 = x2-3x-10. Nr.
4. (x-2) (x+5) = x2+5x-2x-10 = x2+3x-10. Tinka.

Tai reiškia, kad išraiškos x2+3x-10 transformacija atrodo taip: (x-2)(x+5).

Svarbu! Turėtumėte būti atsargūs, kad nesupainiotumėte ženklų.

Sudėtingo trinalio išplėtimas

Jei „a“ yra didesnis nei vienas, prasideda sunkumai. Tačiau viskas nėra taip sunku, kaip atrodo.

Norėdami apskaičiuoti faktorių, pirmiausia turite išsiaiškinti, ar ką nors galima išskirti.

Pavyzdžiui, atsižvelgiant į išraišką: 3x²+9x-30. Čia skaičius 3 išimamas iš skliaustų:

3 (x²+3x-10). Rezultatas – jau gerai žinomas trinaris. Atsakymas atrodo taip: 3(x-2)(x+5)

Kaip išskaidyti, jei kvadrate esantis terminas yra neigiamas? IN tokiu atveju Skaičius -1 išimamas iš skliaustų. Pavyzdžiui: -x²-10x-8. Tada išraiška atrodys taip:

Schema mažai skiriasi nuo ankstesnės. Yra tik keli nauji dalykai. Tarkime, pateikta išraiška: 2x²+7x+3. Atsakymas taip pat rašomas 2 skliausteliuose, kuriuos reikia užpildyti (_)(_). 2 skliausteliuose parašyta x, o 1-ame kas liko. Tai atrodo taip: (2x_) (x_). Priešingu atveju pakartojama ankstesnė schema.

Skaičius 3 pateikiamas skaičiais:

• -1, -3;
• -3, -1;
• 3, 1;
• 1, 3.

Išsprendžiame lygtis pakeisdami šiuos skaičius. Paskutinis variantas tinka. Tai reiškia, kad išraiškos 2x²+7x+3 transformacija atrodo taip: (2x+1)(x+3).

Kiti atvejai

Ne visada įmanoma konvertuoti išraišką. Naudojant antrąjį metodą, lygties spręsti nereikia. Tačiau galimybė terminus paversti produktu tikrinama tik per diskriminantą.

Verta praktikuotis sprendžiant kvadratines lygtis, kad naudojant formules nekiltų sunkumų.

Naudingas vaizdo įrašas: trinario faktorius

Išvada

Galite jį naudoti bet kokiu būdu. Bet geriau praktikuoti abu, kol jie taps automatiniai. Taip pat išmokti gerai spręsti kvadratines lygtis ir faktorių polinomus būtina tiems, kurie planuoja savo gyvenimą sieti su matematika. Visos šios matematinės temos yra pagrįstos tuo.

Pamokos tipas:žinių įtvirtinimo ir sisteminimo pamoka.

Pamokos tipas:Žinių ir veiksmų metodų tikrinimas, vertinimas ir koregavimas.

Tikslai:

• Švietimas:

– ugdyti mokinių gebėjimą skaičiuoti kvadratinį trinarį;
– žinių įtvirtinimas sprendžiant įvairias užduotis nurodyta tema;
– matematinio mąstymo formavimas;
– didinti susidomėjimą dalyku kartojant nagrinėjamą medžiagą.

Švietimas:

– organizuotumo ir susikaupimo skatinimas;
– pozityvaus požiūrio į mokymąsi ugdymas;
- ugdyti smalsumą.

Švietimas:

– ugdyti gebėjimą valdyti savitvardą;
– ugdyti gebėjimą racionaliai planuoti darbus;
– savarankiškumo ir dėmesio ugdymas.

Įranga: didaktinė medžiaga darbui žodžiu, savarankiškas darbas, žinių patikrinimo testinės užduotys, kortelės su namų darbais, algebros vadovėlis Yu.N. Makaryčiova.

Pamokos planas.

Pamokos žingsneliai	Laikas, min	Metodai ir metodai
I. Žinių atnaujinimo etapas. Motyvacija mokymosi problemai	2	Mokytojo pokalbis
II. Pagrindinis pamokos turinys. Studentų supratimo apie kvadratinio trinalio faktoriaus formulės formavimas ir įtvirtinimas.	10	Mokytojo paaiškinimas. Euristinis pokalbis
III. Įgūdžių ir gebėjimų formavimas. Sustiprinti išmoktą medžiagą	25	Problemų sprendimas. Atsakymai į mokinių klausimus
IV. Žinių įgijimo tikrinimas. Atspindys	5	Mokytojo žinutė. Studento žinutė
V. Namų darbai	3	Užduotis ant kortelių

Per užsiėmimus

I. Žinių atnaujinimo etapas. Ugdymo problemos motyvacija.

Laiko organizavimas.

Šiandien pamokoje apibendrinsime ir sisteminsime žinias tema: „Kvadratinio trinalio faktorizavimas“. Atlikdami įvairius pratimus, turėtumėte patys pasižymėti punktus, į kuriuos reikia atkreipti ypatingą dėmesį sprendžiant lygtis ir praktines užduotis. Tai labai svarbu ruošiantis egzaminui.
Užrašykite pamokos temą: „Kvadratinio trinalio faktorius. Spręsti pavyzdžius“.

II. Pagrindinis pamokos turinys. Studentų supratimo apie kvadratinio trinalio faktoriaus formulės formavimas ir įtvirtinimas.

Darbas žodžiu.

– Norint sėkmingai apskaičiuoti kvadratinį trinalį, reikia atsiminti ir diskriminanto, ir kvadratinės lygties šaknų formulę, kvadratinio trinalio faktorinavimo formulę ir jas pritaikyti praktiškai.

1. Peržiūrėkite korteles „Tęsti arba išplėsti pareiškimą“.

2. Pažiūrėkite į lentą.

1. Kuris iš siūlomų daugianario nėra kvadratinis?

1) X 2 – 4x + 3 = 0;
2) – 2X 2 +X– 3 = 0;
3) X 4 – 2X 3 + 2 = 0;
4)2x 3 – 2X 2 + 2 = 0;

Pateikite kvadratinio trinalio apibrėžimą. Apibrėžkite kvadratinio trinalio šaknį.

2. Kuri formulė nėra kvadratinės lygties šaknų skaičiavimo formulė?

1) X 1,2 = ;
2) X 1,2 = – b+ ;
3) X 1,2 = .

3. Raskite kvadratinio trinalio – 2 koeficientus a, b, c X 2 + 5x + 7

1) – 2; 5; 7;
2) 5; – 2; 7;
3) 2; 7; 5.

4. Kuri iš formulių yra kvadratinės lygties šaknų skaičiavimo formulė

x 2 +px+q= 0 pagal Vietos teoremą?

1) x 1 + x 2 = p,
x 1 · x 2 = q.

2) x 1 + x 2 = –p,
x 1 · x 2 = q.

3)x 1 + x 2 = –p,
x 1 · x 2 = – q.

5. Išplėskite kvadratinį trinarį X 2 – 11x + 18 daugintuvams.

Atsakymas:( X – 2)(X – 9)

6. Išplėskite kvadratinį trinarį adresu 2 – 9y + 20 daugintuvams

Atsakymas:( X – 4)(X – 5)

III. Įgūdžių ir gebėjimų formavimas. Studijuotos medžiagos konsolidavimas.

1. Padalinkite kvadratinį trinarį:
a) 3 x 2 – 8x + 2;
b) 6 x 2 – 5x + 1;
3 val x 2 + 5x – 2;
d) -5 x 2 + 6x – 1.

2. Faktoringas mums padeda mažinant trupmenas.

3. Nenaudodami šaknies formulės, raskite kvadratinio trinalio šaknis:
A) x 2 + 3x + 2 = 0;
b) x 2 – 9x + 20 = 0.

4. Sudarykite kvadratinį trinarį, kurio šaknys yra skaičiai:
A) x 1 = 4; x 2 = 2;
b) x 1 = 3; x 2 = -6;

Savarankiškas darbas.

Atlikite užduotį savarankiškai naudodami parinktis ir patikrinkite. Į pirmąsias dvi užduotis reikia atsakyti „Taip“ arba „Ne“. Iš kiekvienos parinkties iškviečiamas po vieną studentą (jie dirba ant lentos atvartų). Atlikus savarankišką darbą lentoje, atliekamas bendras sprendimo patikrinimas. Mokiniai vertina savo darbus.

1 variantas:

1. D<0. Уравнение имеет 2 корня.

2. Skaičius 2 yra lygties x 2 + 3x – 10 = 0 šaknis.

3. Kvadratinio trinalio koeficientas 6 x 2 – 5x + 1;

2 variantas:

1. D>0. Lygtis turi 2 šaknis.

2. Skaičius 3 yra kvadratinės lygties x 2 – x – 12 = 0 šaknis.

3. Padalinkite kvadratinį trinalį 2 X 2 – 5x + 3

IV. Žinių įgijimo tikrinimas. Atspindys.

– Pamoka parodė, kad žinai pagrindinę teorinę šios temos medžiagą. Mes apibendriname žinias

Mums svarbu išlaikyti jūsų privatumą. Dėl šios priežasties sukūrėme Privatumo politiką, kurioje aprašoma, kaip naudojame ir saugome jūsų informaciją. Peržiūrėkite mūsų privatumo praktiką ir praneškite mums, jei turite klausimų.

Asmeninės informacijos rinkimas ir naudojimas

Asmeninė informacija reiškia duomenis, kurie gali būti naudojami konkretaus asmens tapatybei nustatyti arba susisiekti su juo.

Jūsų gali būti paprašyta pateikti savo asmeninę informaciją bet kuriuo metu, kai susisiekiate su mumis.

Toliau pateikiami keli pavyzdžiai, kokios rūšies asmeninės informacijos galime rinkti ir kaip galime tokią informaciją naudoti.

Kokią asmeninę informaciją renkame:

• Kai svetainėje pateikiate užklausą, galime surinkti įvairios informacijos, įskaitant jūsų vardą, telefono numerį, adresą El. paštas ir tt

Kaip naudojame jūsų asmeninę informaciją:

• Mūsų renkama asmeninė informacija leidžia mums susisiekti su jumis ir informuoti apie unikalių pasiūlymų, akcijos ir kiti renginiai bei būsimi renginiai.
• Retkarčiais galime naudoti jūsų asmeninę informaciją svarbiems pranešimams ir pranešimams siųsti.
• Mes taip pat galime naudoti asmeninę informaciją vidiniais tikslais, tokiais kaip auditas, duomenų analizė ir įvairūs tyrimai siekdami pagerinti mūsų teikiamas paslaugas ir teikti rekomendacijas dėl mūsų paslaugų.
• Jei dalyvaujate prizų traukime, konkurse ar panašioje akcijoje, mes galime naudoti jūsų pateiktą informaciją tokioms programoms administruoti.

Informacijos atskleidimas trečiosioms šalims

Mes neatskleidžiame iš jūsų gautos informacijos trečiosioms šalims.

Išimtys:

• Esant poreikiui – įstatymų nustatyta tvarka, teismine tvarka, teismine tvarka ir (arba) remiantis viešais prašymais ar prašymais iš vyriausybines agentūras Rusijos Federacijos teritorijoje – atskleiskite savo asmeninę informaciją. Taip pat galime atskleisti informaciją apie jus, jei nuspręsime, kad toks atskleidimas yra būtinas ar tinkamas saugumo, teisėsaugos ar kitais visuomenei svarbiais tikslais.
• Reorganizavimo, susijungimo ar pardavimo atveju surinktą asmeninę informaciją galime perduoti atitinkamai trečiajai šaliai.

Asmeninės informacijos apsauga

Mes imamės atsargumo priemonių, įskaitant administracines, technines ir fizines, siekdami apsaugoti jūsų asmeninę informaciją nuo praradimo, vagystės ir netinkamo naudojimo, taip pat nuo neteisėtos prieigos, atskleidimo, pakeitimo ir sunaikinimo.

Jūsų privatumo gerbimas įmonės lygiu

Siekdami užtikrinti, kad jūsų asmeninė informacija būtų saugi, savo darbuotojams pranešame apie privatumo ir saugumo standartus ir griežtai vykdome privatumo praktiką.

Kvadratinis trinaris ax 2 +bx+c gali būti suskirstyti į tiesinius veiksnius, naudojant formulę:

ax 2 +bx+c=a (x-x 1) (x-x 2), Kur x 1, x 2- kvadratinės lygties šaknys ax 2 +bx+c=0.

Padalinkite kvadratinį trinarį į tiesinius veiksnius:

1 pavyzdys). 2x2 -7x-15.

Sprendimas. 2x 2 -7x-15=0.

a=2; b=-7; c=-15. Tai yra bendras visiškos kvadratinės lygties atvejis. Diskriminanto radimas D.

D=b 2 -4ac=(-7) 2 -4∙2∙(-15)=49+120=169=13 2 >0; 2 tikros šaknys.

Taikome formulę: ax 2 +bx+c=a (x-x 1)(x-x 2).

2x 2 -7x-15=2 (x+1.5)(x-5)=(2x+3)(x-5). Mes pristatėme šį trinarį 2x2 -7x-15 2x+3 Ir x-5.

Atsakymas: 2x 2 -7x-15 = (2x+3)(x-5).

2 pavyzdys). 3x 2 +2x-8.

Sprendimas. Raskime kvadratinės lygties šaknis:

a=3; b=2;c=-8. Tai ypatingas atvejis visai kvadratinei lygčiai su lyginiu antruoju koeficientu ( b=2). Diskriminanto radimas D1.

Taikome formulę: ax 2 +bx+c=a (x-x 1)(x-x 2).

Pristatėme trinarį 3x 2 +2x-8 kaip dvinarių sandauga x+2 Ir 3x-4.

Atsakymas: 3x 2 +2x-8 =(x+2)(3x-4).

3 pavyzdys). 5x2 -3x-2.

Sprendimas. Raskime kvadratinės lygties šaknis:

a=5; b=-3; c=-2. Tai ypatingas visos kvadratinės lygties atvejis su tokia sąlyga: a+b+c=0(5-3-2=0). Tokiais atvejais pirmoji šaknis visada yra lygus vienetui ir antroji šaknis lygus laisvojo termino daliniui, padalytam iš pirmojo koeficiento:

Taikome formulę: ax 2 +bx+c=a (x-x 1)(x-x 2).

5x2 -3x-2=5 (x-1)(x+0,4)=(x-1)(5x+2). Pristatėme trinarį 5x2 -3x-2 kaip dvinarių sandauga x-1 Ir 5x+2.

Atsakymas: 5x 2 -3x-2 = (x-1)(5x+2).

4 pavyzdys). 6x 2 +x-5.

Sprendimas. Raskime kvadratinės lygties šaknis:

a=6; b=1; c=-5. Tai ypatingas visos kvadratinės lygties atvejis su tokia sąlyga: a-b+c=0(6-1-5=0). Tokiais atvejais pirmoji šaknis visada yra lygus minus vienas, ir antroji šaknis yra lygus minuso koeficientui, padalijus laisvąjį terminą iš pirmojo koeficiento:

Taikome formulę: ax 2 +bx+c=a (x-x 1)(x-x 2).

Pristatėme trinarį 6x 2 +x-5 kaip dvinarių sandauga x+1 Ir 6x-5.

Atsakymas: 6x 2 +x-5= (x+1)(6x-5).

5 pavyzdys). x 2 -13x+12.

Sprendimas. Raskime duotosios kvadratinės lygties šaknis:

x 2 -13x+12=0. Patikrinkime, ar galima pritaikyti. Norėdami tai padaryti, suraskime diskriminantą ir įsitikinkite, kad jis yra tobulas sveikojo skaičiaus kvadratas.

a=1; b=-13; c=12. Diskriminanto radimas D.

D=b 2 -4ac=13 2 -4∙1∙12=169-48=121=11 2 .

Taikykime Vietos teoremą: šaknų suma turi būti lygi antrajam koeficientui, paimtam su priešingu ženklu, o šaknų sandauga turi būti lygi laisvajam nariui:

x 1 + x 2 =13; x 1 ∙x 2 =12. Akivaizdu, kad x 1 =1; x 2 = 12.

Taikome formulę: ax 2 +bx+c=a (x-x 1)(x-x 2).

x 2 -13x+12=(x-1)(x-12).

Atsakymas: x 2 -13x+12= (x-1)(x-12).

6 pavyzdys). x 2 -4x-6.

Sprendimas. Raskime duotosios kvadratinės lygties šaknis:

a=1; b=-4; c=-6. Antrasis koeficientas yra lyginis skaičius. Raskite diskriminantą D 1.

Diskriminantas nėra tobulas sveikojo skaičiaus kvadratas, todėl Vietos teorema mums nepadės, o šaknis rasime naudodami lyginio antrojo koeficiento formules:

Taikome formulę: ax 2 +bx+c=a (x-x 1) (x-x 2) ir užrašykite atsakymą.

Raskime kvadratinės lygties šaknų sumą ir sandaugą. Naudodami formules (59.8) aukščiau pateiktos lygties šaknims, gauname

(pirmoji lygybė yra akivaizdi, antroji gaunama atlikus paprastą skaičiavimą, kurį skaitytojas atliks savarankiškai; patogu naudoti formulę dviejų skaičių sumos padauginimui iš jų skirtumo).

Tai įrodyta

Vietos teorema. Aukščiau pateiktos kvadratinės lygties šaknų suma lygi antrajam koeficientui su priešingu ženklu, o jų sandauga lygi laisvajam nariui.

Neredukuotos kvadratinės lygties atveju (60.1) formulės išraiškas reikia pakeisti formulėmis (60.1) ir gauti formą

1 pavyzdys. Sudarykite kvadratinę lygtį naudodami jos šaknis:

Sprendimas, a) Randame, kad lygtis turi formą

2 pavyzdys. Raskite lygties šaknų kvadratų sumą, neišsprendę pačios lygties.

Sprendimas. Šaknų suma ir sandauga yra žinomi. Pavaizduokime kvadratinių šaknų sumą formoje

ir gauname

Iš Vietos formulių nesunku gauti formulę

išreiškiantis kvadratinio trinalio faktorinavimo taisyklę.

Iš tiesų, formules (60.2) parašykime formoje

Dabar turime

ką mums reikėjo gauti.

Aukščiau pateiktas Vietos formulių darinys skaitytojui yra pažįstamas iš vidurinės mokyklos algebros kurso. Kita išvada gali būti padaryta naudojant Bezout teoremą ir daugianario faktorizaciją (51, 52 pastraipos).

Tegul tada lygties šaknys yra Pagrindinė taisyklė(52.2) kairėje lygties pusėje esantis trinaris koeficientas:

Atidarę skliaustus dešinėje šios identiškos lygybės pusėje, gauname

o palyginus koeficientus tais pačiais laipsniais gausime Vietos formulę (60.1).

Šio išvedimo pranašumas yra tas, kad jį galima pritaikyti ir lygtims aukštesni laipsniai siekdami gauti lygties koeficientų išraiškas per jos šaknis (nerandant pačių šaknų!). Pavyzdžiui, jei duotosios kubinės lygties šaknys

esmė ta, kad pagal lygybę (52.2) randame

(mūsų atveju atidarant skliaustus dešinėje lygybės pusėje ir renkant koeficientus įvairių laipsnių mes gauname