Įbrėžtasis atraminio spindulio kampas lygus. Kampas. Įrašytas kampas

Įbrėžto ir centrinio kampo samprata

Pirmiausia pristatykime koncepciją centrinis kampas.

1 pastaba

Prisimink tai centrinio kampo laipsnio matas yra lygus lanko, ant kurio jis remiasi, laipsnio mastui.

Dabar pristatykime įbrėžto kampo sąvoką.

2 apibrėžimas

Kampas, kurio viršūnė yra apskritime ir kurio kraštinės kerta tą patį apskritimą, vadinamas įbrėžtuoju kampu (2 pav.).

2 pav. Įbrėžtas kampas

Įrašyto kampo teorema

1 teorema

Įbrėžto kampo laipsnio matas yra lygus pusei lanko, ant kurio jis remiasi, laipsnio matas.

Įrodymas.

Pateikiame apskritimą, kurio centras yra taške $O$. Pažymėkime įbrėžtinį kampą $ACB$ (2 pav.). Galimi šie trys atvejai:

• Spindulys $CO$ sutampa su bet kuria kampo puse. Tegul tai yra $CB$ pusė (3 pav.).

3 pav.

Šiuo atveju lankas $AB$ yra mažesnis nei $(180)^(()^\circ )$, taigi centrinis kampas $AOB$ lygus lankui$AB$. Kadangi $AO=OC=r$, tai trikampis $AOC$ yra lygiašonis. Tai reiškia, kad baziniai kampai $CAO$ ir $ACO$ yra lygūs vienas kitam. Pagal teoremą apie trikampio išorinį kampą turime:

• Spindulys $CO$ padalija vidinį kampą į du kampus. Tegul jis kerta apskritimą taške $D$ (4 pav.).

4 pav.

Mes gauname

• Spindulys $CO$ neskaido vidinio kampo į du kampus ir nesutampa su jokia jo puse (5 pav.).

5 pav.

Apsvarstykime kampus $ACD$ ir $DCB$ atskirai. Pagal tai, kas buvo įrodyta 1 punkte, gauname

Mes gauname

Teorema įrodyta.

Duokim pasekmes iš šios teoremos.

1 išvada:Įrašyti kampai, esantys ant to paties lanko, yra lygūs vienas kitam.

2 išvada:Įbrėžtasis kampas, kuris apriboja skersmenį, yra stačiakampis.

Vidutinis lygis

Apskritimas ir įbrėžtas kampas. Vizualus vadovas (2019)

Pagrindiniai terminai.

Kaip gerai prisimeni visus su ratu susijusius vardus? Tik tuo atveju, priminsime – pažiūrėkite į paveikslėlius – atnaujinkite žinias.

Pirma - Apskritimo centras yra taškas, nuo kurio atstumai nuo visų apskritimo taškų yra vienodi.

Antra - spindulys - linijos atkarpa, jungianti centrą ir apskritimo tašką.

Spindulių yra daug (tiek, kiek apskritime yra taškų), bet Visi spinduliai yra vienodo ilgio.

Kartais trumpai spindulys jie tai vadina tiksliai segmento ilgis„Centras yra apskritimo taškas“, o ne pati atkarpa.

Ir štai kas atsitinka jei sujungsite du apskritimo taškus? Taip pat segmentas?

Taigi šis segmentas vadinamas "akordas".

Kaip ir spindulio atveju, skersmuo dažnai yra atkarpos, jungiančios du apskritimo taškus ir einančios per centrą, ilgis. Beje, kaip yra susiję skersmuo ir spindulys? Atidžiai pažiūrėk. Žinoma, spindulys lygus pusei skersmens.

Be akordų, taip pat yra sekantai.

Prisimeni paprasčiausią dalyką?

Centrinis kampas yra kampas tarp dviejų spindulių.

O dabar – įrašytas kampas

Įrašytas kampas – kampas tarp dviejų stygų, susikertančių apskritimo taške.

Šiuo atveju jie sako, kad įrašytas kampas remiasi lanku (arba styga).

Pažiūrėk į nuotrauką:

Lankų ir kampų matavimai.

Apimtis. Lankai ir kampai matuojami laipsniais ir radianais. Pirma, apie laipsnius. Dėl kampų problemų nėra – reikia išmokti matuoti lanką laipsniais.

Laipsnio matas (lanko dydis) yra atitinkamo centrinio kampo vertė (laipsniais).

Ką čia reiškia žodis „tinkamas“? Pažiūrėkime atidžiai:

Ar matote du lankus ir du centrinius kampus? Na, didesnis lankas atitinka didesnį kampą (ir gerai, kad jis didesnis), o mažesnis lankas – mažesnį kampą.

Taigi, sutarėme: lankas turi tiek pat laipsnių, kiek ir atitinkamas centrinis kampas.

O dabar apie baisų dalyką – apie radianus!

Koks žvėris yra šis „radianas“?

Įsivaizduokite tai: Radianai yra kampų matavimo būdas... spinduliais!

Radianų kampas yra centrinis kampas, kurio lanko ilgis yra lygus apskritimo spinduliui.

Tada kyla klausimas – kiek radianų yra tiesiame kampe?

Kitaip tariant: kiek spindulių „telpa“ į pusę apskritimo? Arba kitaip: kiek kartų pusės apskritimo ilgis didesnis už spindulį?

Senovės Graikijoje mokslininkai uždavė šį klausimą.

Ir taip po ilgų ieškojimų jie išsiaiškino, kad apskritimo ir spindulio santykis nenori būti išreikštas „žmogaus“ skaičiais, kaip ir pan.

Ir net neįmanoma išreikšti šio požiūrio per šaknis. Tai yra, paaiškėja, kad neįmanoma pasakyti, kad pusė apskritimo yra kartų ar kartų didesnis už spindulį! Ar galite įsivaizduoti, kaip nuostabu buvo žmonėms tai atrasti pirmą kartą?! Pusės apskritimo ilgio ir spindulio santykiui „įprastų“ skaičių nepakako. Turėjau įvesti laišką.

Taigi, - tai skaičius, išreiškiantis puslankio ilgio ir spindulio santykį.

Dabar galime atsakyti į klausimą: kiek radianų yra tiesiame kampe? Jame yra radianų. Būtent todėl, kad pusė apskritimo yra kartų didesnė už spindulį.

Senovės (ir ne tokie senovės) žmonės per šimtmečius (!) bandė tiksliau apskaičiuoti šį paslaptingą skaičių, geriau išreikšti jį (bent apytiksliai) „paprastais“ skaičiais. O dabar esame nepaprastai tingūs – mums užtenka dviejų ženklų po įtemptos dienos, esame įpratę

Pagalvokite apie tai, pavyzdžiui, tai reiškia, kad apskritimo, kurio spindulys yra vienas, ilgis yra maždaug lygus, tačiau tokio tikslaus ilgio tiesiog neįmanoma užrašyti „žmogišku“ skaičiumi - jums reikia raidės. Ir tada ši apimtis bus lygi. Ir, žinoma, spindulio perimetras yra lygus.

Grįžkime prie radianų.

Mes jau išsiaiškinome, kad tiesiame kampe yra radianų.

Ką mes turime:

Tai reiškia, kad aš džiaugiuosi, tai yra, aš džiaugiuosi. Tokiu pat būdu gaunama plokštelė su populiariausiais kampais.

Ryšys tarp įrašyto ir centrinio kampo verčių.

Yra nuostabus faktas:

Įrašytas kampas yra perpus mažesnis už atitinkamą centrinį kampą.

Pažiūrėkite, kaip šis teiginys atrodo paveikslėlyje. "Atitinkamas" centrinis kampas yra tas, kurio galai sutampa su įbrėžto kampo galais, o viršūnė yra centre. Ir tuo pačiu metu „atitinkamas“ centrinis kampas turi „žiūrėti“ į tą patį stygą () kaip ir įrašytas kampas.

Kodėl taip yra? Pirmiausia išsiaiškinkime paprastas atvejis. Tegul vienas iš akordų praeina per centrą. Kartais taip nutinka, tiesa?

Kas atsitiko čia? Pasvarstykime. Tai lygiašonis – juk ir – spinduliai. Taigi, (pažymėjo juos).

Dabar pažiūrėkime. Tai išorinis kampas! Primename, kad išorinis kampas yra lygus dviejų vidinių kampų, kurie nėra šalia jo, sumai, ir parašykite:

Tai yra! Netikėtas efektas. Tačiau taip pat yra centrinis užrašo kampas.

Tai reiškia, kad šiuo atveju jie įrodė, kad centrinis kampas yra du kartus didesnis už įrašytą kampą. Bet tai skausmingai ypatingas atvejis: ar ne tiesa, kad akordas ne visada eina tiesiai per centrą? Bet viskas gerai, dabar šis konkretus atvejis mums labai padės. Pažiūrėkite: antrasis atvejis: tegul centras guli viduje.

Padarykime taip: nubrėžkite skersmenį. Ir tada... matome dvi nuotraukas, kurios jau buvo analizuojamos pirmuoju atveju. Todėl mes tai jau turime

Tai reiškia (brėžinyje a)

Na, lieka paskutinis atvejis: centras yra už kampo.

Mes darome tą patį: nubrėžkite skersmenį per tašką. Viskas yra tas pats, bet vietoj sumos yra skirtumas.

Tai viskas!

Dabar iš teiginio, kad įbrėžtasis kampas yra pusė centrinio kampo, suformuokime dvi pagrindines ir labai svarbias pasekmes.

1 išvada

Visi įrašyti kampai, pagrįsti vienu lanku, yra lygūs vienas kitam.

Mes iliustruojame:

Yra nesuskaičiuojama daugybė įbrėžtų kampų, pagrįstų tuo pačiu lanku (turime šį lanką), jie gali atrodyti visiškai skirtingai, tačiau visi turi tą patį centrinį kampą (), o tai reiškia, kad visi šie įbrėžtieji kampai tarpusavyje yra lygūs.

2 išvada

Kampas, kurį sudaro skersmuo, yra stačiu kampu.

Pažiūrėkite: koks kampas yra centrinis?

Be abejo,. Bet jis lygus! Na, todėl (kaip ir daug daugiau įbrėžtų kampų remiasi) ir yra lygus.

Kampas tarp dviejų stygų ir sekantų

O kas, jei mus dominantis kampas NE įrašytas ir NE centrinis, o, pavyzdžiui, toks:

ar taip?

Ar įmanoma tai kažkaip išreikšti per kai kuriuos centrinius kampus? Pasirodo, tai įmanoma. Žiūrėk: mus domina.

a) (kaip išorinis kampas). Bet - įrašyta, remiasi į lanką -. - įrašytas, remiasi į lanką - .

Dėl grožio jie sako:

Kampas tarp stygų yra lygus pusei šiame kampe esančių lankų kampinių verčių sumos.

Jie tai rašo dėl trumpumo, tačiau, žinoma, naudojant šią formulę reikia nepamiršti centrinių kampų

b) O dabar - „lauke“! Kaip būti? Taip, beveik tas pats! Tik dabar (vėl taikome išorinio kampo savybę). Tai yra dabar.

O tai reiškia... Suteikime pastaboms ir formuluotėms grožio ir trumpumo:

Kampas tarp sekantų yra lygus pusei šiame kampe esančių lankų kampinių verčių skirtumo.

Na, dabar jūs turite visas pagrindines žinias apie kampus, susijusius su apskritimu. Pirmyn, priimk iššūkius!

APRATUMAS IR IŠDALINTAS KAMPAS. VIDUTINIS LYGIS

Net penkerių metų vaikas žino, kas yra ratas, tiesa? Matematikai, kaip visada, šiuo klausimu turi abstraktų apibrėžimą, tačiau mes jo nepateiksime (žr.), o prisiminkime, kaip vadinami taškai, linijos ir kampai, susiję su apskritimu.

Svarbios sąlygos

Pirma:

apskritimo centras- taškas, nuo kurio visi apskritimo taškai yra vienodu atstumu.

Antra:

Yra dar vienas priimtas posakis: „styga susitraukia lanką“. Pavyzdžiui, paveikslėlyje styga sulenkia lanką. Ir jei akordas staiga praeina per centrą, tada jis turi specialų pavadinimą: „skersmuo“.

Beje, kaip yra susiję skersmuo ir spindulys? Atidžiai pažiūrėk. Žinoma,

O dabar – kampų pavadinimai.

Natūralu, ar ne? Kampo šonai tęsiasi nuo centro – tai reiškia, kad kampas yra centrinis.

Čia kartais iškyla sunkumų. Atkreipk dėmesį - NĖRA įrašytas joks kampas apskritimo viduje, bet tik tas, kurio viršūnė „sėdi“ ant paties apskritimo.

Pažiūrėkime, kuo skiriasi nuotraukos:

Kitaip jie sako:

Čia yra vienas sudėtingas dalykas. Kas yra „atitinkantis“ arba „savas“ centrinis kampas? Tik kampas, kurio viršūnė yra apskritimo centre, o galai yra lanko galuose? Tikrai ne tokiu būdu. Pažiūrėkite į piešinį.

Tačiau vienas iš jų net neatrodo kaip kampas – jis didesnis. Tačiau trikampis negali turėti daugiau kampų, bet apskritimas gali būti geras! Taigi: mažesnis lankas AB atitinka mažesnį kampą (oranžinį), o didesnis lankas – didesnį. Tiesiog taip, ar ne?

Ryšys tarp įbrėžtųjų ir centrinių kampų dydžių

Prisiminkite šį labai svarbų teiginį:

Vadovėliuose jie mėgsta tą patį faktą rašyti taip:

Ar ne tiesa, kad formuluotė yra paprastesnė su centriniu kampu?

Bet vis tiek suraskime atitiktį tarp dviejų formuluočių ir tuo pačiu išmokime brėžiniuose rasti „atitinkantį“ centrinį kampą ir lanką, ant kurio „remias“ įrašytas kampas.

Žiūrėkite: čia yra apskritimas ir įbrėžtas kampas:

Kur yra jo „atitinkamas“ centrinis kampas?

Pažiūrėkime dar kartą:

Kokia yra taisyklė?

Bet! Šiuo atveju svarbu, kad įrašytas ir centrinis kampai „žiūrėtų“ į lanką iš vienos pusės. Pavyzdžiui:

Kaip bebūtų keista, mėlyna! Nes lankas ilgas, ilgesnis nei pusė apskritimo! Taigi niekada nesusipainiokite!

Kokią pasekmę galima padaryti iš įbrėžto kampo „pusės“?

Bet, pavyzdžiui:

Kampas, nulemtas skersmens

Jau pastebėjote, kad matematikai mėgsta kalbėti apie tuos pačius dalykus. skirtingais žodžiais? Kodėl jiems to reikia? Matote, matematikos kalba, nors ir formali, bet gyva, todėl, kaip ir įprasta kalba, kiekvieną kartą norisi pasakyti taip, kaip patogiau. Na, mes jau matėme, ką reiškia „kampas remiasi lanku“. Ir įsivaizduokite, tas pats paveikslas vadinamas „kampas remiasi styga“. Ant ko? Taip, žinoma, tam, kuris sugriežtina šį lanką!

Kada patogiau pasikliauti styga nei lanku?

Na, ypač, kai ši styga yra skersmens.

Yra stebėtinai paprastas, gražus ir naudingas teiginys tokiai situacijai!

Pažiūrėkite: čia yra apskritimas, skersmuo ir kampas, kuris remiasi į jį.

APRATUMAS IR IŠDALINTAS KAMPAS. TRUMPAI APIE PAGRINDINIUS DALYKUS

1. Pagrindinės sąvokos.

3. Lankų ir kampų matavimai.

Radianų kampas yra centrinis kampas, kurio lanko ilgis yra lygus apskritimo spinduliui.

Tai skaičius, išreiškiantis puslankio ilgio ir jo spindulio santykį.

Spindulio perimetras lygus.

4. Ryšys tarp įbrėžtųjų ir centrinių kampų verčių.

Instrukcijos

Jei žinomas apskritimo spindulys (R) ir lanko ilgis (L), atitinkantis norimą centrinį kampą (θ), jį galima apskaičiuoti ir laipsniais, ir radianais. Suminė suma nustatoma pagal formulę 2*π*R ir atitinka centrinį 360° kampą arba du Pi skaičius, jei vietoj laipsnių naudojami radianai. Todėl pereikite nuo proporcijos 2*π*R/L = 360°/θ = 2*π/θ. Iš jo išreikškite centrinį kampą radianais θ = 2*π/(2*π*R/L) = L/R arba laipsniais θ = 360°/(2*π*R/L) = 180*L/(π * R) ir apskaičiuokite pagal gautą formulę.

Remiantis stygos, jungiančios centrinį kampą (θ) lemiančius taškus, ilgį (m), galima apskaičiuoti ir jo reikšmę, jei žinomas apskritimo spindulys (R). Norėdami tai padaryti, apsvarstykite trikampį, sudarytą iš dviejų spindulių ir . Tai lygiašonis trikampis, visi žinomi, bet reikia rasti kampą, esantį priešais pagrindą. Jo pusės sinusas lygus pagrindo – stygos – ilgio ir dvigubo kraštinės ilgio – spindulio – santykiui. Todėl skaičiavimams naudokite atvirkštinio sinuso funkciją – arcsinusą: θ = 2*arcsin(½*m/R).

Centrinis kampas gali būti nurodytas apsisukimo dalimis arba pasuktu kampu. Pavyzdžiui, jei reikia rasti centrinį kampą, atitinkantį ketvirtį viso apsisukimo, padalinkite 360° iš keturių: θ = 360°/4 = 90°. Ta pati vertė radianais turėtų būti 2*π/4 ≈ 3,14/2 ≈ 1,57. Išskleistas kampas yra lygus pusei viso apsisukimo, todėl, pavyzdžiui, centrinis kampas, atitinkantis ketvirtadalį jo, bus pusė aukščiau apskaičiuotų verčių ir laipsniais, ir radianais.

Sinuso atvirkštinė vertė vadinama trigonometrine funkcija arcsine. Matuojant radianais, jo vertės gali būti per pusę Pi, tiek teigiamos, tiek neigiamos. Matuojant laipsniais, šios vertės bus atitinkamai nuo -90° iki +90°.

Instrukcijos

Kai kurių „apvalių“ verčių skaičiuoti nereikia, jas lengviau atsiminti. Pavyzdžiui: - jei funkcijos argumentas yra nulis, tada jo arcsinusas taip pat yra nulis; - 1/2 yra lygus 30° arba 1/6 Pi, jei matuojamas; - -1/2 arcsinusas yra -30° arba -1/6 nuo skaičiaus Pi in; - 1 arcsinusas yra lygus 90° arba 1/2 skaičiaus Pi radianais; - -1 arcsinusas yra lygus -90° arba -1/2 skaičius Pi radianais;

Norėdami išmatuoti šios funkcijos reikšmes pagal kitus argumentus, paprasčiausias būdas yra naudoti standartinį „Windows“ skaičiuotuvą, jei tokį turite po ranka. Norėdami pradėti, atidarykite pagrindinį meniu mygtuką „Pradėti“ (arba paspausdami WIN klavišą), eikite į skyrių „Visos programos“, tada į poskyrį „Priedai“ ir spustelėkite „Skaičiuoklė“.

Perjunkite skaičiuotuvo sąsają į darbo režimą, leidžiantį skaičiuoti trigonometrinės funkcijos. Norėdami tai padaryti, atidarykite meniu skyrių „View“ ir pasirinkite „Inžinerija“ arba „Mokslinis“ (atsižvelgiant į Operacinė sistema).

Įveskite argumento, iš kurio turėtų būti apskaičiuojamas arctangentas, reikšmę. Tai galima padaryti pele spustelėjus skaičiuoklės sąsajos mygtukus arba paspaudus klavišus , arba nukopijuojant reikšmę (CTRL + C) ir įklijuojant ją (CTRL + V) į skaičiuoklės įvesties lauką.

Pasirinkite matavimo vienetus, kuriais reikia gauti funkcijos skaičiavimo rezultatą. Po įvesties lauku yra trys parinktys, iš kurių reikia pasirinkti (paspaudus jį pele) vieną - , radianus arba radus.

Pažymėkite žymimąjį laukelį, kuris apverčia skaičiuotuvo sąsajos mygtukais nurodytas funkcijas. Šalia yra trumpas užrašas Inv.

Spustelėkite nuodėmės mygtuką. Skaičiuoklė apvers su ja susietą funkciją, atliks skaičiavimą ir pateiks rezultatą nurodytais vienetais.

Video tema

Viena iš įprastų geometrinių problemų yra apskritimo atkarpos ploto apskaičiavimas – apskritimo dalis, kurią riboja styga, o atitinkama styga – apskritimo lanku.

Apskritimo atkarpos plotas lygus skirtumui tarp atitinkamo apskritimo sektoriaus ploto ir trikampio ploto, kurį sudaro atkarpą atitinkančio sektoriaus spinduliai ir atkarpą ribojanti styga.

1 pavyzdys

Apskritimo stygos ilgis lygus reikšmei a. Lanko, atitinkančio stygą, laipsnio matas yra 60°. Raskite apskritimo segmento plotą.

Sprendimas

Trikampis, sudarytas iš dviejų spindulių ir stygos, yra lygiašonis, todėl aukštis, nubrėžtas nuo centrinio kampo viršūnės iki stygos suformuoto trikampio kraštinės, taip pat bus centrinio kampo pusiausvyra, dalijanti jį pusiau, o mediana, dalijant akordą pusiau. Žinodami, kad kampo sinusas yra lygus priešingos kojos ir hipotenuzės santykiui, galime apskaičiuoti spindulį:

Sin 30°= a/2:R = 1/2;

Sc = πR²/360°*60° = πa²/6

Sektorių atitinkančio trikampio plotas apskaičiuojamas taip:

S▲=1/2*ah, kur h yra aukštis, nubrėžtas nuo centrinio kampo viršūnės iki stygos. Pagal Pitagoro teoremą h=√(R²-a²/4)= √3*a/2.

Atitinkamai S▲=√3/4*a².

Atkarpos plotas, apskaičiuotas kaip Sreg = Sc - S▲, yra lygus:

Sreg = πa²/6 – √3/4*a²

Pakeitimas skaitinė reikšmė Vietoj reikšmės a galite lengvai apskaičiuoti segmento srities skaitinę reikšmę.

2 pavyzdys

Apskritimo spindulys lygus a. Atkarpą atitinkančio lanko laipsnio matas yra 60°. Raskite apskritimo segmento plotą.

Sprendimas:

Tam tikrą kampą atitinkančio sektoriaus plotą galima apskaičiuoti pagal šią formulę:

Kampas ABC yra įbrėžtasis kampas. Jis remiasi į lanką AC, uždarą tarp jo šonų (330 pav.).

Teorema. Įbrėžtas kampas matuojamas puse lanko, ant kurio jis yra.

Tai turėtų būti suprantama taip: įrašytame kampe yra tiek kampo laipsnių, minučių ir sekundžių, kiek yra lanko laipsnių, minučių ir sekundžių, esančių lanko pusėje, ant kurios jis remiasi.

Įrodant šią teoremą reikia atsižvelgti į tris atvejus.

Pirmas atvejis. Apskritimo centras yra įbrėžto kampo pusėje (331 pav.).

Tegu ∠ABC yra įbrėžtasis kampas, o apskritimo O centras yra kraštinėje BC. Reikia įrodyti, kad jis matuojamas puse lanko kintamosios srovės.

Sujungkime tašką A su apskritimo centru. Gauname lygiašonį \(\Delta\)AOB, kuriame AO = OB, kaip to paties apskritimo spindulius. Todėl ∠A = ∠B.

∠AOC yra trikampio AOB išorėje, todėl ∠AOC = ∠A + ∠B, o kadangi kampai A ir B yra lygūs, tai ∠B yra 1/2 ∠AOC.

Bet ∠AOC matuojamas AC lanku, todėl ∠B matuojamas puse lanko AC.

Pavyzdžiui, jei \(\breve(AC)\) yra 60°18', tada ∠B yra 30°9'.

Antras atvejis. Apskritimo centras yra tarp įbrėžto kampo kraštinių (332 pav.).

Tegu ∠ABD yra įbrėžtasis kampas. Apskritimo O centras yra tarp jo kraštinių. Turime įrodyti, kad ∠ABD matuojamas puse lanko AD.

Norėdami tai įrodyti, nubrėžkime skersmenį BC. Kampas ABD yra padalintas į du kampus: ∠1 ir ∠2.

∠1 matuojamas puse lanko AC, o ∠2 – puse lanko CD, todėl visas ∠ABD matuojamas 1/2 \(\breve(AC)\) + 1/2 \(\breve (CD)\), ty pusė lanko AD.

Pavyzdžiui, jei \(\breve(AD)\) yra 124°, tada ∠B yra 62°.

Trečias atvejis. Apskritimo centras yra už įbrėžto kampo ribų (333 pav.).

Tegu ∠MAD yra įbrėžtasis kampas. Apskritimo O centras yra už kampo. Turime įrodyti, kad ∠MAD matuojamas puse lanko MD.

Norėdami tai įrodyti, nubrėžkime skersmenį AB. ∠MAD = ∠MAB – ∠DAB. Tačiau ∠MAB matuoja 1/2 \(\breve(MB)\), o ∠DAB matuoja 1/2 \(\breve(DB)\).

Todėl ∠MAD matuoja 1/2 (\(\breve(MB) - \breve(DB))\), t. y. 1/2 \(\breve(MD)\).

Pavyzdžiui, jei \(\breve(MD)\) yra 48° 38", tada ∠MAD yra 24° 19' 8".

Pasekmės
1. Visi įbrėžtieji kampai, esantys tą patį lanką, yra lygūs vienas kitam, nes jie matuojami puse to paties lanko (334 pav., a).

2. Įbrėžtas kampas, kurį sudaro skersmuo, yra stačiu kampu, nes jis sudaro pusę apskritimo. Pusėje apskritimo yra 180 lanko laipsnių, o tai reiškia, kad kampas pagal skersmenį yra 90 lanko laipsnių (334 pav., b).

Įbrėžtas kampas, problemos teorija. Draugai! Šiame straipsnyje kalbėsime apie užduotis, kurioms reikia žinoti įbrėžto kampo savybes. Tai yra visa užduočių grupė, jos įtrauktos į vieningą valstybinį egzaminą. Daugumą jų galima išspręsti labai paprastai, vienu veiksmu.

Yra sunkesnių užduočių, tačiau jos jums nesukels didelių sunkumų; turite žinoti įbrėžto kampo savybes. Pamažu analizuosime visus užduočių prototipus, kviečiu į tinklaraštį!

Dabar būtina teorija. Prisiminkime, kas yra centrinis ir įbrėžtas kampas, styga, lankas, ant kurio remiasi šie kampai:

Centrinis apskritimo kampas yra plokštumos kampas suviršūnė jos centre.

Apskritimo dalis, esanti plokštumos kampo vidujevadinamas apskritimo lanku.

Apskritimo lanko laipsnio matas vadinamas laipsniuatitinkamas centrinis kampas.

Sakoma, kad kampas įrašytas į apskritimą, jei kampo viršūnė yraant apskritimo, o kampo kraštinės kerta šį apskritimą.

Atkarpa, jungianti du apskritimo taškus, vadinamaakordas. Didžiausia styga eina per apskritimo centrą ir vadinamaskersmuo.

Norėdami išspręsti problemas, susijusias su į apskritimą įrašytais kampais,turite žinoti šias savybes:

1. Įbrėžtasis kampas yra lygus pusei centrinio kampo, remiantis tuo pačiu lanku.

2. Visi įbrėžti kampai, esantys toje pačioje lankoje, yra lygūs.

3. Visi įbrėžti kampai, pagrįsti ta pačia styga ir kurių viršūnės yra toje pačioje šios stygos pusėje, yra lygūs.

4. Bet kuri kampų pora, pagrįsta ta pačia styga, kurios viršūnės yra išilgai skirtingos pusės akordai pridedami iki 180°.

Išvada: į apskritimą įbrėžto keturkampio priešingi kampai sumuojasi iki 180 laipsnių.

5. Visi įbrėžtieji kampai, surišti su skersmeniu, yra stačiakampiai.

Apskritai ši savybė yra nuosavybės (1) pasekmė; tai yra ypatingas atvejis. Pažiūrėkite – centrinis kampas lygus 180 laipsnių (o šis neišskleistas kampas yra ne kas kita, kaip skersmuo), vadinasi, pagal pirmąją savybę įbrėžtasis kampas C yra lygus pusei jo, tai yra 90 laipsnių.

Šios savybės žinojimas padeda išspręsti daugelį problemų ir dažnai leidžia išvengti nereikalingų skaičiavimų. Gerai įvaldę daugiau nei pusę tokio pobūdžio problemų galėsite išspręsti žodžiu. Galima padaryti dvi išvadas:

1 išvada: jei į apskritimą įrašytas trikampis ir viena jo kraštinė sutampa su šio apskritimo skersmeniu, tai trikampis yra stačiakampis (viršūnė stačiu kampu guli ant apskritimo).

2 išvada: apie stačią trikampį apibrėžto apskritimo centras sutampa su jo hipotenuzės viduriu.

Daugelis stereometrinių problemų prototipų taip pat išsprendžiami naudojant šią savybę ir šias pasekmes. Prisiminkite patį faktą: jei apskritimo skersmuo yra įbrėžto trikampio kraštinė, tai šis trikampis yra stačiakampis (kampas priešais skersmenį yra 90 laipsnių). Visas kitas išvadas ir pasekmes galite padaryti patys, jums nereikia jų mokyti.

Paprastai pusė užrašyto kampo uždavinių pateikiami su eskizu, bet be simbolių. Norint suprasti samprotavimo procesą sprendžiant uždavinius (straipsnyje žemiau), įvedami viršūnių (kampų) žymėjimai. Vieningo valstybinio egzamino metu to daryti nereikia.Apsvarstykime užduotis:

Kokia yra smailaus įbrėžto kampo, kurį sudaro styga, lygi apskritimo spinduliui, reikšmė? Atsakymą pateikite laipsniais.

Sukurkime centrinį kampą tam tikram įrašytam kampui ir nurodykime viršūnes:

Pagal apskritime įbrėžto kampo savybę:

Kampas AOB lygus 60 0, nes trikampis AOB yra lygiakraštis, o lygiakraščio trikampio visi kampai lygūs 60 0. Trikampio kraštinės yra lygios, nes sąlyga sako, kad styga yra lygi spinduliui.

Taigi įbrėžiamasis kampas ACB lygus 30 0.

Atsakymas: 30

Raskite stygą, paremtą 30 0 kampu, įbrėžtu į 3 spindulio apskritimą.

Tai iš esmės yra atvirkštinė (ankstesnės problemos). Sukurkime centrinį kampą.

Jis yra dvigubai didesnis už įrašytąjį, tai yra, kampas AOB lygus 60 0. Iš to galime daryti išvadą, kad trikampis AOB yra lygiakraštis. Taigi, styga yra lygi spinduliui, tai yra, trims.

Atsakymas: 3

Apskritimo spindulys lygus 1. Raskite bukojo įbrėžtinio kampo, kurį sudaro styga, lygų dviejų šaknims, dydį. Atsakymą pateikite laipsniais.

Sukurkime centrinį kampą:

Žinodami spindulį ir stygą, galime rasti centrinį kampą ASV. Tai galima padaryti naudojant kosinuso teoremą. Žinodami centrinį kampą, galime nesunkiai rasti įrašytąjį kampą ACB.

Kosinuso teorema: kvadratu bet kurią trikampio kraštinę lygi sumai kitų dviejų kraštinių kvadratai, nepadvigubinant šių kraštinių sandaugos kampo tarp jų kosinusu.

Todėl antrasis centrinis kampas yra 360 0 – 90 0 = 270 0 .

Kampas ACB pagal įbrėžto kampo savybę yra lygus pusei jo, tai yra 135 laipsniai.

Atsakymas: 135

Raskite stygą, įtrauktą į 120 laipsnių kampą, įbrėžtą apskritime, kurio spindulys yra trijų.

Sujungkime taškus A ir B su apskritimo centru. Pažymime jį kaip O:

Mes žinome spindulį ir įbrėžtinį kampą ASV. Mes galime rasti centrinį kampą AOB (didesnį nei 180 laipsnių), tada rasti kampą AOB trikampyje AOB. Ir tada, naudodamiesi kosinuso teorema, apskaičiuokite AB.

Pagal įbrėžto kampo savybę centrinis kampas AOB (kuris yra didesnis nei 180 laipsnių) bus lygus dvigubam įbrėžtam kampui, ty 240 laipsnių. Tai reiškia, kad kampas AOB trikampyje AOB yra lygus 360 0 – 240 0 = 120 0.

Pagal kosinuso teoremą:

Atsakymas: 3

Raskite įbrėžtą kampą, kurį sudaro lankas, kuris yra 20% apskritimo. Atsakymą pateikite laipsniais.

Pagal įbrėžto kampo savybę jis yra perpus mažesnis už centrinį kampą, pagrįstą tuo pačiu lanku, in tokiu atveju Mes kalbame apie lanką AB.

Sakoma, kad lankas AB yra 20 procentų apskritimo. Tai reiškia, kad centrinis kampas AOB taip pat yra 20 procentų 360 0.*Apskritimas yra 360 laipsnių kampas. Reiškia,

Taigi įbrėžtasis kampas ACB yra 36 laipsniai.

Atsakymas: 36

Apskritimo lankas A.C., kuriame nėra taško B, yra 200 laipsnių. Ir apskritimo BC lankas, kuriame nėra taško A, yra 80 laipsnių. Raskite įbrėžtinį kampą ACB. Atsakymą pateikite laipsniais.

Aiškumo dėlei pažymime lankus, kurių kampiniai matai yra pateikti. 200 laipsnių atitinkantis lankas – Mėlyna spalva, 80 laipsnių atitinkantis lankas yra raudonas, likusi apskritimo dalis yra geltona.

Taigi, lanko AB laipsnio matas (geltonas), taigi ir centrinis kampas AOB yra: 360 0 – 200 0 – 80 0 = 80 0 .

Įbrėžtasis kampas ACB yra pusė centrinio kampo AOB dydžio, tai yra lygus 40 laipsnių.

Atsakymas: 40

Koks yra įbrėžtasis kampas, kurį sudaro apskritimo skersmuo? Atsakymą pateikite laipsniais.

Būtina žinoti įbrėžto kampo savybę; suprasti, kada ir kaip naudoti kosinuso teoremą, sužinoti apie ją daugiau.

Tai viskas! Linkiu sėkmės!

Pagarbiai Aleksandras Krutitskichas

Matematikos mokytojas mokykloje trečioje klasėje:
- Vaikai, sakyk, kiek kainuoja 6*6?
Vaikai atsako vieningai:
- Septyniasdešimt šeši!
- Na, ką tu sakai, vaikai! Šeši iš šešių bus trisdešimt šeši... na, gal dar 37, 38, 39... na, daugiausiai 40... bet ne septyniasdešimt šeši!

P.S. Būčiau dėkingas, jei papasakotumėte apie svetainę socialiniuose tinkluose.