Kokia formulė naudojama vidutiniam greičiui apskaičiuoti? Kaip rasti vidutinį greitį. Žingsnis po žingsnio instrukcija

Vidutinis greitis yra greitis, kuris gaunamas, jei visas kelias yra padalintas iš laiko, per kurį objektas įveikia šį kelią. Vidutinio greičio formulė:

• V av = S/t.

• S = S1 + S2 + S3 = v1*t1 + v2*t2 + v3*t3
• V av = S/t = (v1*t1 + v2*t2 + v3*t3) / (t1 + t2 + t3)

Kad nebūtų painiojama su valandomis ir minutėmis, visas minutes paverčiame valandomis: 15 minučių. = 0,4 valandos 36 min. = 0,6 valandos. Pakeiskime skaitines reikšmesį paskutinę formulę:

• V av = (20 * 0,4 + 0,5 * 6 + 0,6 * 15) / (0,4 + 0,5 + 0,6) = (8 + 3 + 9) / (0,4 + 0,5 + 0,6) = 20 / 1,5 = 13,3 km/val.

Atsakymas: vidutinis greitis V av = 13,3 km/h.

Kaip rasti vidutinį greitėjančio judesio greitį

Jei greitis judesio pradžioje skiriasi nuo greičio pabaigoje, toks judėjimas vadinamas pagreitintu. Be to, kūnas ne visada juda vis greičiau ir greičiau. Jei judėjimas sulėtėja, jie vis tiek sako, kad jis juda su pagreičiu, tik pagreitis bus neigiamas.

Kitaip tariant, jei automobilis, toldamas, per sekundę įsibėgėjo iki 10 m/sek., tai jo pagreitis a lygus 10 m/s per sekundę a = 10 m/s². Jei kitą sekundę automobilis sustoja, tada jo pagreitis taip pat lygus 10 m/s², tik su minuso ženklu: a = -10 m/s².

Judėjimo greitis su pagreičiu laiko intervalo pabaigoje apskaičiuojamas pagal formulę:

• V = V0 ± ties,

kur V0 – pradinis judėjimo greitis, a – pagreitis, t – laikas, per kurį buvo stebimas šis pagreitis. Priklausomai nuo to, ar greitis padidėjo, ar sumažėjo, formulėje dedamas pliusas arba minusas.

Vidutinis greitis per laikotarpį t apskaičiuojamas kaip pradinio ir galutinio greičių aritmetinis vidurkis:

• V av = (V0 + V) / 2.

Vidutinio greičio nustatymas: problema

Rutulys buvo stumiamas išilgai plokščios plokštumos pradiniu greičiu V0 = 5 m/sek. Po 5 sek. kamuolys sustojo. Koks yra pagreitis ir vidutinis greitis?

Galutinis rutulio greitis V = 0 m/sek. Pagreitis nuo pirmosios formulės yra lygus

• a = (V - V0) / t = (0 - 5) / 5 = - 1 m/s².

Vidutinis greitis V av = (V0 + V) / 2 = 5 /2 = 2,5 m/sek.

Užduotys skirtos Vidutinis greitis(toliau SC). Jau apsvarstėme užduotis tiesinis judėjimas. Rekomenduoju pažiūrėti straipsnius "" ir "". Tipinės užduotys vidutiniam greičiui yra judėjimo problemų grupė, jos įtraukiamos į Vieningą valstybinį matematikos egzaminą, ir tokia užduotis labai tikėtina gali pasirodyti prieš jus paties egzamino metu. Problemos paprastos ir greitai išsprendžiamos.

Idėja tokia: įsivaizduokite judėjimo objektą, pavyzdžiui, automobilį. Jis tam tikras kelio atkarpas važiuoja skirtingu greičiu. Visa kelionė trunka tam tikrą laiką. Taigi: vidutinis greitis yra toks pastovus greitis, kuriuo automobilis įveiktų tam tikrą atstumą per tą patį laiką, tai yra, vidutinio greičio formulė yra tokia:

Jei būtų dvi kelio atkarpos, tada

Jei trys, tai atitinkamai:

*Vardiklyje sumuojame laiką, o skaitiklyje nuvažiuotus atstumus per atitinkamus laiko intervalus.

Pirmąjį trasos trečdalį automobilis važiavo 90 km/h greičiu, antrąjį trečdalį – 60 km/h, o paskutinį trečdalį – 45 km/h greičiu. Raskite transporto priemonės IC visame maršrute. Atsakymą pateikite km/val.

Kaip jau minėta, visą kelią reikia padalyti į visą judėjimo laiką. Sąlyga sako apie tris kelio atkarpas. Formulė:

Visumą pažymėkime S. Tada automobilis nuvažiavo pirmąjį trečdalį:

Automobilis nuvažiavo antrąjį trečdalį:

Paskutinį trečdalį automobilis nuvažiavo:

Taigi

Spręskite patys:

Pirmąjį trasos trečdalį automobilis važiavo 60 km/h greičiu, antrąjį trečdalį – 120 km/h, o paskutinį trečdalį – 110 km/h greičiu. Raskite transporto priemonės IC visame maršrute. Atsakymą pateikite km/val.

Pirmą valandą automobilis važiavo 100 km/h greičiu, kitas dvi valandas – 90 km/h, o po to dvi valandas – 80 km/h greičiu. Raskite transporto priemonės IC visame maršrute. Atsakymą pateikite km/val.

Sąlyga sako apie tris kelio atkarpas. SC ieškosime naudodami formulę:

Tako atkarpos mums neduodamos, bet galime nesunkiai jas apskaičiuoti:

Pirmoji maršruto atkarpa buvo 1∙100 = 100 kilometrų.

Antroji maršruto atkarpa buvo 2∙90 = 180 kilometrų.

Trečioji maršruto atkarpa buvo 2∙80 = 160 kilometrų.

Apskaičiuojame greitį:

Spręskite patys:

Pirmąsias dvi valandas automobilis važiavo 50 km/h greičiu, kitą valandą – 100 km/h greičiu, dvi valandas – 75 km/h greičiu. Raskite transporto priemonės IC visame maršrute. Atsakymą pateikite km/val.

Pirmus 120 km automobilis važiavo 60 km/h greičiu, kitus 120 km – 80 km/h greičiu, o vėliau 150 km – 100 km/h greičiu. Raskite transporto priemonės IC visame maršrute. Atsakymą pateikite km/val.

Sakoma apie tris tako atkarpas. Formulė:

Pateikiamas sekcijų ilgis. Nustatykime laiką, kurį automobilis praleido kiekvienoje atkarpoje: 120/60 valandų buvo praleista pirmoje atkarpoje, 120/80 valandų antroje sekcijoje, 150/100 valandų trečioje. Apskaičiuojame greitį:

Spręskite patys:

Pirmus 190 km automobilis važiavo 50 km/h greičiu, kitus 180 km – 90 km/h greičiu, o vėliau 170 km – 100 km/h greičiu. Raskite transporto priemonės IC visame maršrute. Atsakymą pateikite km/val.

Pusę kelyje praleisto laiko automobilis važiavo 74 km/h greičiu, o antrąją pusę – 66 km/h greičiu. Raskite transporto priemonės IC visame maršrute. Atsakymą pateikite km/val.

*Iškyla problema dėl keliautojo, kuris kirto jūrą. Vaikinai turi problemų su sprendimu. Jei nematote, registruokitės svetainėje! Registracijos (prisijungimo) mygtukas yra svetainės PAGRINDiniame MENIU. Po registracijos prisijunkite prie svetainės ir atnaujinkite šį puslapį.

Keliautojas perplaukė jūrą jachta su Vidutinis greitis 17 km/val. Atgal jis sportiniu lėktuvu skrido 323 km/h greičiu. Raskite vidutinį keliautojo greitį visos kelionės metu. Atsakymą pateikite km/val.

Pagarbiai Aleksandras.

P.S. Būčiau dėkingas, jei papasakotumėte apie svetainę socialiniuose tinkluose.

Labai paprasta! Visą kelią reikia padalyti iš laiko, kurį judėjimo objektas buvo kelyje. Išreiškiant skirtingai, vidutinį greitį galime apibrėžti kaip visų objekto greičių aritmetinį vidurkį. Tačiau sprendžiant problemas šioje srityje yra keletas niuansų.

Pavyzdžiui, norint apskaičiuoti vidutinį greitį, pateikiama tokia problemos versija: keliautojas iš pradžių valandą ėjo 4 km per valandą greičiu. Tada jį „pakėlė“ pravažiuojantis automobilis, o likusį kelią jis nuvažiavo per 15 minučių. Be to, automobilis važiavo 60 km per valandą greičiu. Kaip nustatyti vidutinį keliautojo greitį?

Nereikėtų tiesiog pridėti 4 km ir 60 ir padalyti per pusę, tai bus neteisingas sprendimas! Juk pėsčiomis ir automobiliu įveikti maršrutai mums nežinomi. Tai reiškia, kad pirmiausia turime apskaičiuoti visą kelią.

Pirmąją tako dalį rasti lengva: 4 km per valandą X 1 valanda = 4 km

Antroje kelionės dalyje yra nedidelių nesklandumų: greitis išreiškiamas valandomis, o kelionės laikas – minutėmis. Dėl šio niuanso dažnai sunku rasti teisingą atsakymą, kai užduodami klausimai apie tai, kaip rasti vidutinį greitį, kelią ar laiką.

Išreikškime 15 minučių valandomis. Tam 15 minučių: 60 minučių = 0,25 valandos. Dabar paskaičiuokime, kiek toli keliautojas nuvažiavo?

60 km/h X 0,25h = 15 km

Dabar surasti visą keliautojo įveiktą kelią nebus sunku: 15 km + 4 km = 19 km.

Kelionės laiką taip pat gana lengva apskaičiuoti. Tai yra 1 valanda + 0,25 valandos = 1,25 valandos.

Ir dabar aišku, kaip rasti vidutinį greitį: visą kelią reikia padalyti iš laiko, per kurį keliautojas jį įveikė. Tai yra, 19 km: 1,25 valandos = 15,2 km/val.

Yra pokštas šia tema. Skubantis vyras klausia lauko savininko: „Ar galiu nuvažiuoti į stotį per jūsų svetainę? Šiek tiek vėluoju ir norėčiau sutrumpinti maršrutą, važiuodamas tiesiai. Tada tikrai spėsiu į traukinį, kuris išvyks 16:45! - „Žinoma, tu gali sutrumpinti savo kelią, eidamas per mano pievą! Ir jei mano jautis tave ten pastebės, tada net spėsi į traukinį, kuris išvyksta 16:15.

Tuo tarpu ši komiška situacija yra tiesiogiai susijusi su tokia matematine sąvoka kaip vidutinis greitis. Juk potencialus keleivis bando sutrumpinti kelionę dėl paprastos priežasties – žino vidutinį savo judėjimo greitį, pavyzdžiui, 5 km per valandą. O pėsčiasis, žinodamas, kad apvažiavimas asfaltuotu keliu yra 7,5 km, atlikęs nesudėtingus protinius skaičiavimus, supranta, kad šiuo keliu važiuoti jam prireiks pusantros valandos (7,5 km: 5 km/h = 1,5 val.).

Per vėlai išėjęs iš namų, jo laikas ribotas, todėl nusprendžia sutrumpinti savo kelią.

Ir čia mes susiduriame su pirmąja taisykle, kuri mums nurodo, kaip rasti vidutinį judėjimo greitį: atsižvelgiant į tiesioginį atstumą tarp ekstremalūs taškai kelią arba tiksliai apskaičiuojant Iš to, kas išdėstyta aukščiau, visiems aišku: skaičiavimas turi būti atliktas atsižvelgiant į kelio trajektoriją.

Sutrumpinant kelią, bet nekeičiant jo vidutinio greičio, pėsčiojo asmenyje esantis objektas laimi laiką. Ūkininkas, darydamas prielaidą, kad vidutinis greitis bėga iš piktas bulius„Sprinteris“ taip pat daro paprasti skaičiavimai ir rodo jo rezultatą.

Apskaičiuodami vidutinį greitį vairuotojai dažnai taiko antrąją svarbią taisyklę, kuri yra susijusi su kelionės laiku. Tai susiję su klausimu, kaip rasti vidutinį greitį, jei objektas sustoja pakeliui.

Ši parinktis paprastai, jei nėra papildomų paaiškinimų, apskaičiuojama pilnas laikasįskaitant sustojimus. Todėl automobilio vairuotojas gali pasakyti, kad jo vidutinis greitis ryte laisvajame kelyje yra daug didesnis nei vidutinis greitis piko valandomis, nors spidometras abiejose versijose rodo tą patį skaičių.

Žinodamas šiuos skaičius, patyręs vairuotojas niekada niekur nevėluos, iš anksto atspėjęs, koks bus jo vidutinis greitis mieste. skirtingas laikas dienų.

Nepamirškite, kad greitį nurodo ir skaitinė reikšmė, ir kryptis. Greitis apibūdina, kaip greitai keičiasi kūno padėtis, taip pat kūno judėjimo kryptį. Pavyzdžiui, 100 m/s (pietuose).

Raskite bendrą poslinkį, tai yra atstumą ir kryptį tarp kelio pradžios ir pabaigos taškų. Kaip pavyzdį apsvarstykite kūną, judantį pastoviu greičiu viena kryptimi.

• Pavyzdžiui, raketa buvo paleista šiaurės kryptimi ir 5 minutes judėjo pastoviu 120 metrų per minutę greičiu. Norėdami apskaičiuoti bendrą poslinkį, naudokite formulę s = vt: (5 minutės) (120 m/min) = 600 m (šiaurė).
• Jei problemai suteikiamas pastovus pagreitis, naudokite formulę s = vt + ½ ties 2 (kitame skyriuje aprašomas supaprastintas būdas dirbti su pastoviu pagreičiu).

Raskite bendrą kelionės laiką. Mūsų pavyzdyje raketa keliauja 5 minutes. Vidutinis greitis gali būti išreikštas bet kokiu matavimo vienetu, tačiau tarptautinėje vienetų sistemoje greitis matuojamas metrais per sekundę (m/s). Konvertuoti minutes į sekundes: (5 minutės) x (60 sekundžių per minutę) = 300 sekundžių.

• Net jei moksliniame uždavinyje laikas pateikiamas valandomis ar kitais matavimo vienetais, geriau iš pradžių apskaičiuoti greitį ir tada konvertuoti jį į m/s.

Apskaičiuokite vidutinį greitį. Jei žinote poslinkio reikšmę ir bendrą kelionės laiką, galite apskaičiuoti vidutinį greitį pagal formulę v av = Δs/Δt. Mūsų pavyzdyje vidutinis raketos greitis yra 600 m (šiaurė) / (300 sekundžių) = 2 m/s (šiaurė).

• Būtinai nurodykite važiavimo kryptį (pvz., „pirmyn“ arba „šiaurė“).
• Formulėje v av = Δs/Δt simbolis „delta“ (Δ) reiškia „dydžio pokytį“, tai yra, Δs/Δt reiškia „padėties pokytis laikui bėgant“.
• Vidutinį greitį galima parašyti kaip v av arba kaip v su horizontalia juosta viršuje.

Sudėtingesnių problemų sprendimas, pavyzdžiui, jei kūnas sukasi arba pagreitis nėra pastovus. Tokiais atvejais vidutinis greitis vis tiek apskaičiuojamas kaip bendro poslinkio ir bendro laiko santykis. Nesvarbu, kas nutinka kūnui tarp kelio pradžios ir pabaigos taškų. Štai keletas problemų, susijusių su tuo pačiu bendruoju poslinkiu ir visu laiku (taigi ir tuo pačiu vidutiniu greičiu), pavyzdžiai.

• Anna eina į vakarus 1 m/s greičiu 2 sekundes, tada akimirksniu įsibėgėja iki 3 m/s ir toliau eina į vakarus 2 sekundes. Jo bendras poslinkis yra (1 m/s)(2 s) + (3 m/s)(2 s) = 8 m (į vakarus). Bendras laikas pakeliui: 2 s + 2 s = 4 s. Jos vidutinis greitis: 8 m / 4 s = 2 m/s (vakarai).
• Borisas eina į vakarus 5 m/s greičiu 3 sekundes, tada apsisuka ir 1 sekundę eina į rytus 7 m/s greičiu. Judėjimą į rytus galime vertinti kaip „neigiamą judėjimą“ į vakarus, todėl bendras judėjimas yra (5 m/s)(3 s) + (-7 m/s)(1 s) = 8 metrai. Bendras laikas yra 4 s. Vidutinis greitis yra 8 m (vakarai) / 4 s = 2 m/s (vakarai).
• Julija eina 1 metrą į šiaurę, tada 8 metrus į vakarus, o paskui 1 metrą į pietus. Bendras kelionės laikas yra 4 sekundės. Nubraižykite šio judėjimo schemą ant popieriaus ir pamatysite, kad jis baigiasi 8 metrus į vakarus nuo pradžios taško, taigi bendras judėjimas yra 8 m. Bendra kelionės trukmė buvo 4 sekundės. Vidutinis greitis yra 8 m (vakarai) / 4 s = 2 m/s (vakarai).

Yra vidutinių verčių, kurių neteisingas apibrėžimas tapo pokštu ar palyginimu. Bet kokie neteisingi skaičiavimai komentuojami su įprasta, visuotinai suprantama nuoroda į tokį akivaizdžiai absurdišką rezultatą. Pavyzdžiui, frazė „vidutinė temperatūra ligoninėje“ privers visus nusišypsoti sarkastišku supratimu. Tačiau tie patys ekspertai dažnai, negalvodami, susumuoja greitį atskirose maršruto atkarpose ir suskaičiuotą sumą dalija iš šių atkarpų skaičiaus, kad gautų lygiai taip pat beprasmį atsakymą. Prisiminkime iš vidurinės mokyklos mechanikos kurso, kaip teisingai, o ne absurdiškai rasti vidutinį greitį.

„Vidutinės temperatūros“ analogas mechanikoje

Kokiais atvejais sudėtingos problemos sąlygos verčia mus skubotai, neapgalvotai atsakyti? Jei jie kalba apie kelio „dalis“, bet nenurodo jų ilgio, tai sunermina net ir mažai patyrusį sprendžiant tokius pavyzdžius. Bet jei problema tiesiogiai nurodo vienodus intervalus, pavyzdžiui, „pirmąją kelio pusę traukinys važiavo greičiu...“ arba „pėstysis pirmą trečdalį ėjo greičiu...“, o vėliau detaliai aprašo, kaip objektas judėjo likusiais vienodais intervalais.sritys, tai yra santykis žinomas S 1 = S 2 = ... = S n ir tikslios greičio vertės 1, 2,... v n, mūsų mąstymas dažnai nedovanotinai sugenda. Atsižvelgiama į greičių aritmetinį vidurkį, tai yra, visi žinomos vertės v sudėti ir padalinti į n. Dėl to atsakymas pasirodo neteisingas.

Paprastos „formulės“, skirtos dydžiams apskaičiuoti tolygaus judėjimo metu

Tiek visam nuvažiuotam atstumui, tiek atskiroms jo atkarpoms, skaičiuojant greitį, galioja tolygiam judėjimui parašytos sąsajos:

• S = vt(1), „formulės“ kelias;
• t = S/v(2), judėjimo laiko skaičiavimo „formulė“. ;
• v=S/t(3), „formulė“, skirta nustatyti vidutinį greitį kelio atkarpoje S perėjo laiku t.

Tai yra, norint rasti norimą kiekį v naudojant ryšį (3), turime tiksliai žinoti kitus du. Spręsdami klausimą, kaip rasti vidutinį judėjimo greitį, pirmiausia turime nustatyti, koks yra visas nuvažiuotas atstumas. S o koks visas judėjimo laikas? t.

Matematinis paslėptų klaidų aptikimas

Mūsų sprendžiamame pavyzdyje kūno (traukinio ar pėsčiojo) nuvažiuotas atstumas bus lygus produktui nS n(kadangi mes n sulenkite vieną kartą vienodi sklypai keliai, pateiktuose pavyzdžiuose - pusės, n=2 arba trečdalius, n=3). Nieko nežinome apie bendrą judėjimo laiką. Kaip nustatyti vidutinį greitį, jei trupmenos (3) vardiklis nėra aiškiai nurodytas? Naudokime ryšį (2) kiekvienai mūsų nustatytai kelio atkarpai t n = S n: v n. Suma Taip apskaičiuotus laiko intervalus rašysime po trupmenos (3) eilute. Aišku, kad norint atsikratyti „+“ ženklų, reikia atsinešti viską S n: v nĮ Bendras vardiklis. Rezultatas yra „dviejų aukštų dalis“. Toliau naudojame taisyklę: vardiklio vardiklis patenka į skaitiklį. Dėl to traukinio problema po sumažinimo S n mes turime v av = nv 1 v 2: v 1 + v 2, n = 2 (4) . Pėsčiojo atveju klausimą, kaip rasti vidutinį greitį, išspręsti dar sunkiau: v av = nv 1 v 2 v 3: v 1v2 + v 2 v 3 + v 3 v 1,n=3(5).

Aiškus klaidos „skaičiais“ patvirtinimas

Norint pirštais patvirtinti, kad aritmetinio vidurkio nustatymas yra neteisingas skaičiavimo būdas vtrečia, padarykime pavyzdį konkretesnį, pakeisdami abstrakčias raides skaičiais. Dėl traukinio paimkime greitį 40 km/val Ir 60 km/val(atsakymas neteisingas - 50 km/val). Pėsčiajam - 5 , 6 Ir 4 km/val(vidutiniškai – 5 km/val). Pakeitus reikšmes į santykius (4) ir (5), nesunku patikrinti, ar teisingi atsakymai skirti lokomotyvui. 48 km/val o žmogui - 4.(864) km/val(periodiškai dešimtainis, rezultatas nėra labai gražus matematiškai).

Kai aritmetinis vidurkis nepasiduoda

Jei problema suformuluota taip: „Vienodais laiko intervalais kūnas pirmiausia judėjo greičiu prieš 1, tada v 2, v 3 ir taip toliau", greitą atsakymą į klausimą, kaip rasti vidutinį greitį, galima rasti neteisingai. Leisime skaitytojui tuo įsitikinti, vardiklyje susumavę vienodus laiko intervalus ir naudodami skaitiklyje v vid santykis (1). Tai turbūt vienintelis atvejis, kai klaidingas metodas veda prie teisingo rezultato. Tačiau norint užtikrinti tikslius skaičiavimus, reikia naudoti vienintelį teisingą algoritmą, visada kreipiantis į trupmeną v av = S: t.

Algoritmas visoms progoms

Norint tikrai išvengti klaidų, sprendžiant, kaip rasti vidutinį greitį, pakanka atsiminti ir atlikti paprastą veiksmų seką:

• nustatyti visą kelią, susumavus atskirų jo atkarpų ilgius;
• nustatyti visą kelionės laiką;
• padalyti pirmąjį rezultatą iš antrojo, užduotyje nenurodyti nežinomi dydžiai (atsižvelgiant į teisingą sąlygų formulavimą) sumažinami.

Straipsnyje aptariami paprasčiausi atvejai, kai pirminiai duomenys pateikiami vienodoms laiko dalims arba vienodoms kelio atkarpoms. Bendru atveju kūno nuvažiuotų chronologinių intervalų arba atstumų santykis gali būti labai savavališkas (bet kartu ir matematiškai apibrėžtas, išreikštas konkrečiu sveikuoju skaičiumi arba trupmena). Santykio nurodymo taisyklė v av = S: t absoliučiai universalus ir niekada nepavyksta, kad ir kokios sudėtingos algebrinės transformacijos būtų atliktos iš pirmo žvilgsnio.

Galiausiai pažymime: praktinė teisingo algoritmo naudojimo reikšmė neliko nepastebėta atidiems skaitytojams. Teisingai apskaičiuotas vidutinis greitis pateiktuose pavyzdžiuose pasirodė šiek tiek mažesnis už „vidutinę temperatūrą“ užmiestyje. Todėl klaidingas algoritmas sistemoms, kurios fiksuoja greičio viršijimą, reikštų didesnis skaičius klaidingi kelių policijos sprendimai vairuotojams išsiųsti „grandiniais laiškais“.