Площадь трапеции. Приветствую вас! В этой публикации мы рассмотрим указанную формулу. Почему она именно такая и как её понять. Если будет понимание, то и учить её вам нет необходимости. Если же вы просто хотите посмотреть эту формулу и при чём срочно, то сразу можете прокрутить страницу вниз))
Теперь подробно и по порядку.
Трапеция это четырёхугольник, две стороны этого четырёхугольника параллельны, две другие нет. Те, что не параллельны – это основания трапеции. Две другие называются боковыми сторонами.
Если боковые стороны равны, то трапеция называется равнобедренной. Если одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям, то такая трапеция называется прямоугольной.
В классическом виде трапецию изображают следующим образом – большее основание находится внизу, соответственно меньшее вверху. Но никто не запрещает изображать её и наоборот. Вот эскизы:
Следующее важное понятие.
Средняя линия трапеции это отрезок, который соединяет середины боковых сторон. Средняя линия параллельна основаниям трапеции и равна их полусумме.
Теперь давайте вникнем глубже. Почему именно так?
Рассмотрим трапецию с основаниями a и b и со средней линией l , и выполним некоторые дополнительные построения: через основания проведём прямые, а через концы средней линии перпендикуляры до пересечения с основаниями:
*Буквенные обозначения вершин и других точек не введены умышленно, чтобы избежать лишних обозначений.
Посмотрите, треугольники 1 и 2 равны по второму признаку равенства треугольников, треугольники 3 и 4 тоже самое. Из равенства треугольников следует равенство элементов, а именно катетов (они обозначены соответственно синим и красным цветом).
Теперь внимание! Если мы мысленно «отрежем» от нижнего основания синий и красный отрезок, то у нас останется отрезок (это сторона прямоугольника) равный средней линии. Далее, если мы «приклеим» отрезанные синий и красный отрезок к верхнему основанию трапеции, то у нас получится также отрезок (это тоже сторона прямоугольника) равный средней линии трапеции.
Уловили? Получается, что сумма оснований будет равна двум средним линиям трапеции:
Посмотреть ещё одно объяснение
Сделаем следующее – построим прямую проходящую через нижнее основание трапеции и прямую, которая пройдёт через точки А и В:
Получим треугольники 1 и 2, они равны по стороне и прилегающим к ней углам (второй признак равенства треугольников). Это означает что полученный отрезок (на эскизе он обозначен синим) равен верхнему основанию трапеции.
Теперь рассмотрим треугольник:
*Средняя линия данной трапеции и средняя линия треугольника совпадают.
Известно, что треугольника равна половине параллельного ей основания, то есть:
Хорошо, разобрались. Теперь о площади трапеции.
Говорят: площадь трапеции равна произведению полусуммы её оснований и высоты.
То есть, получается, что она равна произведению средней линии и высоты:
Вы, наверное, уже заметили, что это очевидно. Геометрически это можно выразить так: если мы мысленно отрежем от трапеции треугольники 2 и 4 и положим их соответственно на треугольники 1 и 3:
То у нас получится прямоугольник по площади равный площади нашей трапеции. Площадь этого прямоугольника будет равна произведению средней линии и высоты, то есть можем записать:
Но дело тут не в записи, конечно, а в понимании.
Скачать (посмотреть) материал статьи в формате *pdf
На этом всё. Успеха вам!
С уважением, Александр.
В этой статье мы постараемся насколько возможно полно отразить свойства трапеции. В частности, речь пойдет про общие признаки и свойства трапеции, а также про свойства вписанной трапеции и про окружность, вписанную в трапецию. Затронем мы и свойства равнобедренной и прямоугольной трапеции.
Пример решения задачи с использованием рассмотренных свойств поможет вам разложить по местам в голове и лучше запомнить материал.
Для начала коротко вспомним, что такое трапеция и какие еще понятия с ней связаны.
Итак, трапеция – фигура-четырехугольник, две из сторон которой параллельны друг другу (это основания). И две не параллельны – это боковые стороны.
В трапеции может быть опущена высота – перпендикуляр к основаниям. Проведены средняя линия и диагонали. А также из любого угла трапеции возможно провести биссектрису.
Про различные свойства, связанные со всеми эти элементами и их комбинациями, мы сейчас и поговорим.
Чтобы было понятнее, пока читаете, набросайте себе на листке трапецию АКМЕ и проведите в ней диагонали.
Среднюю линию проведите в трапеции параллельно ее основаниям.
Выберите любой угол трапеции и проведите биссектрису. Возьмем, например, угол КАЕ нашей трапеции АКМЕ. Выполнив построение самостоятельно, вы легко убедитесь – биссектрисой отсекается от основания (или его продолжения на прямой за пределами самой фигуры) отрезок такой же длины, что и боковая сторона.
Раз уже речь зашла о вписанной в окружность трапеции, остановимся на этом вопросе подробней. В частности на том, где находится центр окружности по отношению к трапеции. Тут тоже рекомендуется не полениться взять карандаш в руки и начертить то, о чем пойдет речь ниже. Так и поймете быстрее, и запомните лучше.
Вписать окружность в трапецию можно, если соблюдается одно условие. Подробней о нем ниже. И вместе эта комбинация фигур имеет ряд интересных свойств.
Прямоугольной называют трапецию, один из углов которой является прямым. И ее свойства проистекают из этого обстоятельства.
Равенство углов при основании равнобедренной трапеции:
Полученный четырехугольник АКМТ – параллелограмм (АК || МТ, КМ || АТ). Поскольку МЕ = КА = МТ, ∆ МТЕ – равнобедренный и МЕТ = МТЕ.
АК || МТ, следовательно МТЕ = КАЕ, МЕТ = МТЕ = КАЕ.
Откуда АКМ = 180 0 - МЕТ = 180 0 - КАЕ = КМЕ.
Что и требовалось доказать.
Теперь на основании свойства равнобедренной трапеции (равенства диагоналей) докажем, что трапеция АКМЕ является равнобедренной :
∆АМХ – равнобедренный, поскольку АМ = КЕ = МХ, а МАХ = МЕА.
МХ || КЕ, КЕА = МХЕ, поэтому МАЕ = МХЕ.
У нас получилось, что треугольники АКЕ и ЕМА равны между собой, т.к АМ = КЕ и АЕ – общая сторона двух треугольников. А также МАЕ = МХЕ. Можем сделать вывод, что АК = МЕ, а отсюда следует и что трапеция АКМЕ – равнобедренная.
Основания трапеции АКМЕ равны 9 см и 21 см, боковая сторона КА, равная 8 см, образует угол 150 0 с меньшим основанием. Требуется найти площадь трапеции.
Решение: Из вершины К опустим высоту к большему основанию трапеции. И начнем рассматривать углы трапеции.
Углы АЕМ и КАН являются односторонними. А это значит, в сумме они дают 180 0 . Поэтому КАН = 30 0 (на основании свойства углов трапеции).
Рассмотрим теперь прямоугольный ∆АНК (полагаю, этот момент очевиден читателям без дополнительных доказательств). Из него найдем высоту трапеции КН – в треугольнике она является катетом, который лежит напротив угла в 30 0 . Поэтому КН = ½АВ = 4 см.
Площадь трапеции находим по формуле: S АКМЕ = (КМ + АЕ) * КН/2 = (9 + 21) * 4/2 = 60 см 2 .
Если вы внимательно и вдумчиво изучили эту статью, не поленились с карандашом в руках начертить трапеции для всех приведенных свойств и разобрать их на практике, материал должен был неплохо вами усвоиться.
Конечно, информации тут много, разнообразной и местами даже запутанной: не так уж сложно перепутать свойства описанной трапеции со свойствами вписанной. Но вы сами убедились, что разница огромна.
Теперь у вас есть подробный конспект всех общих свойств трапеции. А также специфических свойств и признаков трапеций равнобедренной и прямоугольной. Им очень удобно пользоваться, чтобы готовиться к контрольным и экзаменам. Попробуйте сами и поделитесь ссылкой с друзьями!
blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
Отрезок прямой, соединяющей середины боковых сторон трапеции, называется средней линией трапеции. О том, как найти среднюю линию трапеции и как она соотносится с другими элементами этой фигуры, мы расскажем ниже.
Нарисуем трапецию, в которой AD - большее основание, BC - меньшее основание, EF - средняя линия. Продолжим основание AD за точку D. Проведём линию BF и продолжим её до пересечения с продолжением основания AD в точке О. Рассмотрим треугольники ∆BCF и ∆DFO. Углы ∟BCF = ∟DFO как вертикальные. CF = DF, ∟BCF = ∟FDО, т.к. ВС // АО. Следовательно, треугольники ∆BCF = ∆DFO. Отсюда стороны BF = FO.
Теперь рассмотрим ∆АВО и ∆EBF. ∟ABO общий для обоих треугольников. BE/AB = ½ по условию, BF/BO = ½, поскольку ∆BCF = ∆DFO. Следовательно, треугольники ABO и EFB подобны. Отсюда отношение сторон EF/AO = ½, как и отношение других сторон.
Находим EF = ½ AO. По чертежу видно, что AO = AD + DO. DO = BC как стороны равных треугольников, значит, AO = AD + BC. Отсюда EF = ½ АО = ½ (AD + BC). Т.е. длина средней линии трапеции равна полусумме оснований.
Предположим, что существует такой частный случай, когда EF ≠ ½ (AD + BC). Тогда ВС ≠ DO, следовательно, ∆BCF ≠ ∆DCF. Но это невозможно, поскольку у них равны два угла и стороны между ними. Следовательно, теорема верна при всех условиях.
Предположим, в нашей трапеции АВСD АD // ВС, ∟A=90°, ∟С = 135°, АВ = 2 см, диагональ АС перпендикулярна боковой стороне. Найдите среднюю линию трапеции EF.
Если ∟А = 90°, то и ∟В = 90°, значит, ∆АВС прямоугольный.
∟BCA = ∟BCD - ∟ACD. ∟ACD = 90° по условию, следовательно, ∟BCA = ∟BCD - ∟ACD = 135° - 90° = 45°.
Если в прямоугольном треугольнике ∆АВС один угол равен 45°, значит, катеты в нём равны: АВ = ВС = 2 см.
Гипотенуза АС = √(АВ² + ВС²) = √8 см.
Рассмотрим ∆ACD. ∟ACD = 90° по условию. ∟CAD = ∟BCA = 45° как углы, образованные секущей параллельных оснований трапеции. Следовательно, катеты AC = CD = √8.
Гипотенуза AD = √(AC² + CD²) = √(8 + 8) = √16 = 4 см.
Средняя линия трапеции EF = ½(AD + BC) = ½(2 + 4) = 3 см.
В этой статье для вас сделана очередная подборка задач с трапецией. Условия так или иначе связаны с её средней линией. Типы заданий взяты из открытого банка типовых задач. Если есть желание, то можете освежить свои теоретические знания . На блоге уже рассмотрены задачи условия которых связаны с , а также . Кратко о средней линии:
Средняя линия трапеции соединяет середины боковых сторон. Она параллельна основаниям и равна их полусумме.
Перед решением задач давайте рассмотрим теоретический пример.
Дана трапеция ABCD. Диагональ АС пересекаясь со средней линией образует точку К, диагональ BD точку L. Доказать, что отрезок KL равен половине разности оснований.
Давайте сначала отметим тот факт, что средняя линия трапеции делит пополам любой отрезок концы которого лежат на её основаниях. Этот вывод напрашивается сам собой. Представьте отрезок соединяющий две точки оснований, он разобьёт данную трапецию на две других. Получится, что отрезок параллельный основаниям трапеции и проходящий через середину боковой стороны на другой боковой стороне пройдёт через её середину.
Так же это основывается на теореме Фалеса:
Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные отрезки.
То есть в данном случае К середина АС и L середина BD. Следовательно EK есть средняя линия треугольника АВС, LF есть средняя линия треугольника DCB. По свойству средней линии треугольника:
Можем теперь выразить отрезок KL через основания:
Доказано!
Данный пример приведён не просто так. В задачах для самостоятельного решения имеется именно такая задача. Только в ней не сказано, что отрезок соединяющий середины диагоналей лежит на средней линии. Рассмотрим задачи:
27819. Найдите среднюю линию трапеции, если ее основания равны 30 и 16.
Вычисляем по формуле:
27820. Средняя линия трапеции равна 28, а меньшее основание равно 18. Найдите большее основание трапеции.
Выразим большее основание:
Таким образом:
27836. Перпендикуляр, опущенный из вершины тупого угла на большее основание равнобедренной трапеции, делит его на части, имеющие длины 10 и 4. Найдите среднюю линию этой трапеции.
Для того, чтобы найти среднюю линию необходимо знать основания. Основание АВ найти просто: 10+4=14. Найдём DC.
Построим второй перпендикуляр DF:
Отрезки AF, FE и EB будут равны соответственно 4, 6 и 4. Почему?
В равнобедренной трапеции перпендикуляры опущенные к большему основанию разбивают его на три отрезка. Два из них, являющиеся катетами отсекаемых прямоугольных треугольников, равны друг другу. Третий отрезок равен меньшему основанию, так как при построении указанных высот образуется прямоугольник, а в прямоугольнике противолежащие стороны равны. В данной задаче:
Таким образом DC=6. Вычисляем:
27839. Основания трапеции относятся 2:3, а средняя линия равна 5. Найдите меньшее основание.
Введём коэффициент пропорциональности х. Тогда АВ=3х, DC=2х. Можем записать:
Следовательно меньшее основание равно 2∙2=4.
27840. Периметр равнобедренной трапеции равен 80, ее средняя линия равна боковой стороне. Найдите боковую сторону трапеции.
Исходя из условия можем записать:
Если обозначить среднюю линию через величину х, то получится:
Второе уравнение уже можно записать в виде:
27841. Средняя линия трапеции равна 7, а одно из ее оснований больше другого на 4. Найдите большее основание трапеции.
Обозначим меньшее основание (DC) как х, тогда большее (AB) будет равно х+4. Можем записать
Получили, что меньшее основание рано пяти, значит большее равно 9.
27842. Средняя линия трапеции равна 12. Одна из диагоналей делит ее на два отрезка, разность которых равна 2. Найдите большее основание трапеции.
Большее основание трапеции мы без труда найдём если вычислим отрезок ЕО. Он является средней линией в треугольнике ADB, и АВ=2∙ЕО.
Что имеем? Сказано что средняя линия равна 12 и разность отрезков ЕО и ОF равна 2. Можем записать два уравнения и решить систему:
Понятно, что в данном случае подобрать пару чисел можно без вычислений, это 5 и 7. Но, всё-таки, решим систему:
Значит ЕО=12–5=7. Таким образом, большее основание равно АВ=2∙ЕО=14.
27844. В равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны. Высота трапеции равна 12. Найдите ее среднюю линию.
Сразу отметим, что высота проведённая через точку пересечения диагоналей в равнобедренной трапеции лежит на оси симметрии и разбивает трапецию на две равные прямоугольные трапеции, то есть основания этой высотой делятся пополам.
Казалось бы, для вычисления средней линии мы должны найти основания. Тут небольшой тупик возникает… Как зная высоту, в данном случае, вычислить основания? А ни как! Таких трапеций с фиксированной высотой и диагоналями пересекающимися по углом 90 градусов можно построить множество. Как быть?
Посмотрите на формулу средней линии трапеции. Ведь нам необязательно знать сами основания, достаточно узнать их сумму (или полусумму). Это мы сделать можем.
Так как диагонали пересекаются под прямым углом, то высотой EF образуются равнобедренные прямоугольные треугольники:
Из выше сказанного следует, что FO=DF=FC, а OE=AE=EB. Теперь запишем чему равна высота выраженная через отрезки DF и AE:
Таким образом, средняя линия равна 12.
*Вообще это задачка, как вы поняли, для устного счёта. Но, уверен, представленное подробное объяснение необходимо. А так… Если взглянуть на рисунок (при условии, что при построении соблюдён угол между диагоналями), сразу в глаза бросается равенство FO=DF=FC, а OE=AE=EB.
В составе прототипов имеется ещё типы заданий с трапециями. Построена она на листе в клетку и требуется найти среднюю линию, сторона клетки обычно равна 1, но может быть другая величина.
27848. Найдите среднюю линию трапеции ABCD , если стороны квадратных клеток равны 1.
Всё просто, вычисляем основания по клеткам и используем формулу: (2+4)/2=3
Если же основания построены под углом к клеточной сетке, то есть два способа. Например!
Понятие средней линии трапеции
Для начала вспомним, какую фигуру называют трапецией.
Определение 1
Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны.
При этом параллельные стороны называются основаниями трапеции, а не параллельные -- боковыми сторонами трапеции.
Определение 2
Средняя линия трапеции -- это отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции.
Теперь введем теорему о средней линии трапеции и докажем её вектор ным методом.
Теорема 1
Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
Доказательство.
Пусть нам дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD\ и\ BC$. И пусть $MN$ -- средняя линия этой трапеции (рис. 1).
Рисунок 1. Средняя линия трапеции
Докажем, что $MN||AD\ и\ MN=\frac{AD+BC}{2}$.
Рассмотрим вектор $\overrightarrow{MN}$. Используем далее правило многоугольника для сложения векторов. С одной стороны получим, что
С другой стороны
Сложим два последних равенства, получим
Так как $M$ и $N$ - середины боковых сторон трапеции, то будем иметь
Получаем:
Следовательно
Из этого же равенства (так как $\overrightarrow{BC}$ и $\overrightarrow{AD}$ сонаправлены, а, следовательно, коллинеарны) получаем, что $MN||AD$.
Теорема доказана.
Пример 1
Боковые стороны трапеции равны $15\ см$ и $17\ см$ соответственно. Периметр трапеции равен $52\ см$. Найти длину средней линии трапеции.
Решение.
Обозначим среднюю линию трапеции через $n$.
Сумма боковых сторон равна
Следовательно, так как периметр равен $52\ см$, сумма оснований равна
Значит, по теореме 1, получаем
Ответ: $10\ см$.
Пример 2
Концы диаметра окружности удалены от его касательной соответственно на $9$ см и $5$ см. Найти диаметр этой окружности.
Решение.
Пусть нам дана окружность с центром в точке $O$ и диаметром $AB$. Проведем касательную $l$ и построим расстояния $AD=9\ см$ и $BC=5\ см$. Проведем радиус $OH$ (рис. 2).
Рисунок 2.
Так как $AD$ и $BC$ - расстояния до касательной, то $AD\bot l$ и $BC\bot l$ и так как $OH$ -- радиус, то $OH\bot l$, следовательно, $OH|\left|AD\right||BC$. Из этого всего получаем, что $ABCD$ - трапеция, а $OH$ - ее средняя линия. По теореме 1, получаем