Cum se calculează aria unui trapez pe baza a patru laturi. Aria unui trapez: cum se calculează, formulă

În matematică se cunosc mai multe tipuri de patrulatere: pătrat, dreptunghi, romb, paralelogram. Printre acestea se numără un trapez - un tip de patrulater convex în care două laturi sunt paralele, iar celelalte două nu. Laturile opuse paralele se numesc baze, iar celelalte două se numesc laturile laterale ale trapezului. Segmentul care leagă punctele medii ale laturilor se numește linie mediană. Există mai multe tipuri de trapeze: isoscele, dreptunghiulare, curbe. Pentru fiecare tip de trapez există formule pentru găsirea zonei.

Zona trapezului

Pentru a găsi aria unui trapez, trebuie să cunoașteți lungimea bazelor și înălțimea acestuia. Înălțimea unui trapez este un segment perpendicular pe baze. Fie baza de sus a, baza de jos b și înălțimea h. Apoi puteți calcula aria S folosind formula:

S = ½ * (a+b) * h

acestea. luați jumătate din suma bazelor înmulțită cu înălțimea.

De asemenea, va fi posibil să se calculeze aria trapezului dacă înălțimea și linia centrală sunt cunoscute. Să notăm linia de mijloc - m. Apoi

Să rezolvăm o problemă mai complicată: se cunosc lungimile celor patru laturi ale trapezului - a, b, c, d. Apoi zona va fi găsită folosind formula:

Dacă se cunosc lungimile diagonalelor și unghiul dintre ele, atunci aria este căutată după cum urmează:

S = ½ * d1 * d2 * sin α

unde d cu indicii 1 și 2 sunt diagonale. În această formulă, sinusul unghiului este dat în calcul.

Având în vedere lungimile cunoscute ale bazelor a și b și două unghiuri la baza inferioară, aria se calculează după cum urmează:

S = ½ * (b2 - a2) * (sin α * sin β / sin(α + β))

Aria unui trapez isoscel

Un trapez isoscel este un caz special al unui trapez. Diferența sa este că un astfel de trapez este un patrulater convex cu o axă de simetrie care trece prin punctele mijlocii a două laturi opuse. Laturile sale sunt egale.

Găsiți zonă trapez isoscel posibil în mai multe moduri.

• Prin lungimile a trei laturi. În acest caz, lungimile laturilor vor coincide, prin urmare, ele sunt desemnate printr-o singură valoare - c, iar a și b - lungimile bazelor:

• Dacă lungimea bazei superioare, latura și unghiul de la baza inferioară sunt cunoscute, atunci aria se calculează după cum urmează:

S = c * sin α * (a + c * cos α)

unde a este baza superioară, c - latură.

• Dacă în locul bazei superioare se cunoaște lungimea celei inferioare - b, aria se calculează folosind formula:

S = c * sin α * (b – c * cos α)

• Dacă, când se cunosc două baze și unghiul de la baza inferioară, aria se calculează prin tangenta unghiului:

S = ½ * (b2 – a2) * tan α

• Aria se calculează și prin diagonale și unghiul dintre ele. În acest caz, diagonalele sunt egale în lungime, deci le notăm fiecare cu litera d fără indice:

S = ½ * d2 * sin α

• Să calculăm aria trapezului, știind lungimea laturii, linia centrală și unghiul de la baza inferioară.

Lasă partea cu, linia de mijloc- m, unghi - a, atunci:

S = m * c * sin α

Uneori puteți înscrie un cerc într-un trapez echilateral, a cărui rază va fi r.

Se știe că un cerc poate fi înscris în orice trapez dacă suma lungimilor bazelor este egală cu suma lungimilor laturilor sale. Apoi aria poate fi găsită prin raza cercului înscris și unghiul de la baza inferioară:

S = 4r2 / sinα

Același calcul se face folosind diametrul D al cercului înscris (apropo, acesta coincide cu înălțimea trapezului):

Cunoscând baza și unghiul, aria unui trapez isoscel se calculează după cum urmează:

S = a * b / sin α

(aceasta și formulele ulterioare sunt valabile numai pentru trapezele cu un cerc înscris).

Folosind bazele și raza cercului, aria se găsește după cum urmează:

Dacă sunt cunoscute doar bazele, atunci aria se calculează folosind formula:

Prin baze și linia laterală, aria trapezului cu cercul înscris și prin baze și linia de mijloc - m se calculează după cum urmează:

Aria unui trapez dreptunghiular

Un trapez se numește dreptunghiular dacă una dintre laturile sale este perpendiculară pe bază. În acest caz, lungimea laturii coincide cu înălțimea trapezului.

Un trapez dreptunghiular este format dintr-un pătrat și un triunghi. După ce ați găsit aria fiecărei figuri, adunați rezultatele și obțineți aria totală a figurii.

De asemenea, formulele generale pentru calcularea ariei unui trapez sunt potrivite pentru calcularea ariei unui trapez dreptunghiular.

• Dacă sunt cunoscute lungimile bazelor și înălțimea (sau latura laterală perpendiculară), atunci aria se calculează folosind formula:

S = (a + b) * h / 2

Partea laterală c poate acționa ca h (înălțime). Apoi formula arată astfel:

S = (a + b) * c / 2

• O altă modalitate de a calcula suprafața este de a înmulți lungimea liniei centrale cu înălțimea:

sau după lungimea laturii laterale perpendiculare:

• Următorul mod de calcul este prin jumătate din produsul diagonalelor și sinusul unghiului dintre ele:

S = ½ * d1 * d2 * sin α

Dacă diagonalele sunt perpendiculare, atunci formula se simplifică la:

S = ½ * d1 * d2

• O altă modalitate de a calcula este prin semiperimetrul (suma lungimilor a două laturi opuse) și raza cercului înscris.

Această formulă este valabilă pentru baze. Dacă luăm lungimile laturilor, atunci una dintre ele va fi egală cu dublul razei. Formula va arăta astfel:

S = (2r + c) * r

• Dacă un cerc este înscris într-un trapez, atunci aria se calculează în același mod:

unde m este lungimea liniei centrale.

Aria unui trapez curbat

Un trapez curbiliniu este o figură plată delimitată de graficul unei funcții continue nenegative y = f(x), definită pe segment, pe axa absciselor și pe liniile drepte x = a, x = b. În esență, două dintre laturile sale sunt paralele între ele (bazele), a treia latură este perpendiculară pe baze, iar a patra este o curbă corespunzătoare graficului funcției.

Aria unui trapez curbiliniu este căutată prin integrală folosind formula Newton-Leibniz:

Așa se calculează suprafețele tipuri variate trapez. Dar, pe lângă proprietățile laturilor, trapezele au aceleași proprietăți ale unghiurilor. Ca toate patrulaterele existente, suma unghiurilor interioare ale unui trapez este de 360 ​​de grade. Și suma unghiurilor adiacente laturii este de 180 de grade.

Pentru a te simți încrezător și pentru a rezolva cu succes problemele din lecțiile de geometrie, nu este suficient să înveți formulele. Ele trebuie înțelese mai întâi. Să-ți fie frică, și cu atât mai mult să urăști formulele, este neproductiv. Acest articol va analiza într-un limbaj accesibil diferite căi Găsirea ariei unui trapez. Pentru o mai bună absorbție regulilor și teoremelor corespunzătoare, vom acorda o oarecare atenție proprietăților sale. Acest lucru vă va ajuta să înțelegeți cum funcționează regulile și în ce cazuri trebuie aplicate anumite formule.

Definirea unui trapez

Ce fel de cifră este aceasta în ansamblu? Un trapez este un poligon cu patru colțuri și două laturi paralele. Celelalte două laturi ale trapezului pot fi înclinate spre unghiuri diferite. A ei laturi paralele se numesc baze, iar pentru laturile neparalele se foloseste denumirea de “laturi” sau “solduri”. Astfel de cifre sunt destul de comune în viata de zi cu zi. Contururile trapezului pot fi văzute în siluetele de îmbrăcăminte, articole de interior, mobilier, vase și multe altele. Se întâmplă trapezul tipuri diferite: scalen, echilateral și dreptunghiular. Vom examina tipurile și proprietățile lor mai detaliat mai târziu în articol.

Proprietățile unui trapez

Să ne oprim pe scurt asupra proprietăților acestei figuri. Suma unghiurilor adiacente oricărei laturi este întotdeauna 180°. Trebuie remarcat faptul că toate unghiurile unui trapez se adună până la 360°. Trapezul are conceptul de linie mediană. Dacă conectați punctele medii ale laturilor cu un segment, aceasta va fi linia de mijloc. Este desemnat m. Linia de mijloc are proprietăți importante: este întotdeauna paralelă cu bazele (ne amintim că bazele sunt, de asemenea, paralele între ele) și egală cu jumătatea lor:

Aceasta definitie trebuie invatata si inteleasa, pentru ca este cheia rezolvarii multor probleme!

Cu un trapez, puteți oricând să coborâți înălțimea până la bază. O altitudine este o perpendiculară, notată adesea prin simbolul h, care este trasată din orice punct al unei baze la o altă bază sau prelungirea acesteia. Linia mediană și înălțimea vă vor ajuta să găsiți zona trapezului. Astfel de probleme sunt cele mai frecvente în cadrul cursului de geometrie școlară și apar în mod regulat printre lucrările de test și examen.

Cele mai simple formule pentru aria unui trapez

Să ne uităm la cele două formule cele mai populare și simple folosite pentru a găsi aria unui trapez. Este suficient să înmulțiți înălțimea cu jumătate din suma bazelor pentru a găsi cu ușurință ceea ce căutați:

S = h*(a + b)/2.

În această formulă, a, b indică bazele trapezului, h - înălțimea. Pentru ușurința percepției, în acest articol, semnele înmulțirii sunt marcate cu un simbol (*) în formule, deși în cărțile oficiale de referință semnul înmulțirii este de obicei omis.

Să ne uităm la un exemplu.

Dat: un trapez cu două baze egale cu 10 și 14 cm, înălțimea este de 7 cm. Care este aria trapezului?

Să ne uităm la soluția acestei probleme. Folosind această formulă, trebuie mai întâi să găsiți jumătatea sumei bazelor: (10+14)/2 = 12. Deci, jumătatea sumei este egală cu 12 cm. Acum înmulțim jumătatea sumei cu înălțimea: 12*7 = 84. Ceea ce căutăm este găsit. Răspuns: Aria trapezului este de 84 de metri pătrați. cm.

A doua formulă binecunoscută spune: aria unui trapez este egală cu produsul liniei mediane și înălțimea trapezului. Adică rezultă de fapt din conceptul anterior al liniei de mijloc: S=m*h.

Utilizarea diagonalelor pentru calcule

Un alt mod de a găsi zona unui trapez nu este de fapt atât de complicat. Este conectat la diagonalele sale. Folosind această formulă, pentru a găsi aria, trebuie să înmulțiți semiprodusul diagonalelor sale (d 1 d 2) cu sinusul unghiului dintre ele:

S = ½ d 1 d 2 sin A.

Să luăm în considerare o problemă care arată aplicarea acestei metode. Dat: un trapez cu lungimea diagonalelor egală cu 8, respectiv 13 cm.Unghiul a dintre diagonale este de 30°. Găsiți aria trapezului.

Soluţie. Folosind formula de mai sus, este ușor să calculați ceea ce este necesar. După cum știți, păcatul 30° este 0,5. Prin urmare, S = 8*13*0,5=52. Raspuns: suprafata este de 52 de metri patrati. cm.

Găsirea ariei unui trapez isoscel

Un trapez poate fi isoscel (isoscel). Laturile sale sunt aceleași și unghiurile de la baze sunt egale, ceea ce este bine ilustrat de figură. Un trapez isoscel are aceleași proprietăți ca unul obișnuit, plus o serie de unele speciale. În jurul trapez isoscel un cerc poate fi descris și un cerc poate fi înscris în el.

Ce metode există pentru a calcula suprafața unei astfel de figuri? Metoda de mai jos va necesita o mulțime de calcule. Pentru a-l folosi, trebuie să cunoașteți valorile sinusului (sin) și cosinusului (cos) ale unghiului de la baza trapezului. Pentru a le calcula, aveți nevoie fie de tabele Bradis, fie de un calculator de inginerie. Iată formula:

S= c*păcat A*(A - c*cos A),

Unde Cu- laterala coapsei, A- unghi la baza inferioară.

Un trapez echilateral are diagonale de lungime egală. Este adevărat și invers: dacă un trapez are diagonale egale, atunci este isoscel. Prin urmare, următoarea formulă pentru a ajuta la găsirea aria unui trapez - jumătatea produsului dintre pătratul diagonalelor și sinusul unghiului dintre ele: S = ½ d 2 sin A.

Găsirea ariei unui trapez dreptunghiular

Este cunoscut un caz special al unui trapez dreptunghiular. Acesta este un trapez, în care o parte (coapsa sa) se învecinează cu bazele în unghi drept. Are proprietățile unui trapez obișnuit. În plus, ea are foarte caracteristică interesantă. Diferența dintre pătratele diagonalelor unui astfel de trapez este egală cu diferența dintre pătratele bazelor sale. Pentru aceasta sunt folosite toate metodele descrise anterior pentru calcularea suprafeței.

Folosim ingeniozitatea

Există un truc care vă poate ajuta dacă uitați anumite formule. Să aruncăm o privire mai atentă la ce este un trapez. Dacă îl împărțim mental în părți, vom obține forme geometrice familiare și ușor de înțeles: un pătrat sau dreptunghi și un triunghi (unul sau două). Dacă înălțimea și laturile trapezului sunt cunoscute, puteți utiliza formulele pentru aria unui triunghi și a unui dreptunghi și apoi adăugați toate valorile rezultate.

Să ilustrăm acest lucru cu următorul exemplu. Dat un trapez dreptunghiular. Unghiul C = 45°, unghiurile A, D sunt 90°. Baza superioară a trapezului este de 20 cm, înălțimea este de 16 cm. Trebuie să calculați aria figurii.

Această figură constă în mod evident dintr-un dreptunghi (dacă două unghiuri sunt egale cu 90°) și un triunghi. Deoarece trapezul este dreptunghiular, prin urmare, înălțimea lui este egală cu latura sa, adică 16 cm. Avem un dreptunghi cu laturile de 20, respectiv 16 cm. Acum considerăm un triunghi al cărui unghi este de 45°. Știm că o latură a acestuia are 16 cm. Deoarece această latură este și înălțimea trapezului (și știm că înălțimea coboară la bază în unghi drept), prin urmare, al doilea unghi al triunghiului este de 90°. Prin urmare, unghiul rămas al triunghiului este de 45°. Consecința acestui lucru este că obținem un triunghi dreptunghic isoscel în care două laturi sunt aceleași. Aceasta înseamnă că cealaltă parte a triunghiului este egală cu înălțimea, adică 16 cm. Rămâne să calculați aria triunghiului și a dreptunghiului și să adăugați valorile rezultate.

Aria unui triunghi dreptunghic este egală cu jumătate din produsul catetelor sale: S = (16*16)/2 = 128. Aria unui dreptunghi este egală cu produsul dintre lățimea și lungimea acestuia: S = 20*16 = 320. Am găsit necesarul: aria trapezului S = 128 + 320 = 448 sq. vezi. Vă puteți verifica cu ușurință folosind formulele de mai sus, răspunsul va fi identic.

Folosim formula Pick

În cele din urmă, vă prezentăm o altă formulă originală care ajută la găsirea ariei unui trapez. Se numește formula Pick. Este convenabil de utilizat atunci când trapezul este tras hârtie în carouri. Probleme similare sunt adesea întâlnite în materialele GIA. Arata cam asa:

S = M/2 + N - 1,

în această formulă M este numărul de noduri, adică intersecții ale liniilor figurii cu liniile celulei de la limitele trapezului (puncte portocalii din figură), N este numărul de noduri din interiorul figurii ( puncte albastre). Cel mai convenabil este să îl utilizați atunci când găsiți zona unui poligon neregulat. Cu toate acestea, cu cât arsenalul de tehnici utilizate este mai mare, cu atât mai puține erori și rezultatele sunt mai bune.

Desigur, informațiile furnizate nu epuizează tipurile și proprietățile unui trapez, precum și metodele de găsire a zonei acestuia. Acest articol oferă o prezentare generală a caracteristicilor sale cele mai importante. Când rezolvați probleme geometrice, este important să acționați treptat, să începeți cu formule și probleme simple, să vă consolidați în mod constant înțelegerea și să treceți la un alt nivel de complexitate.

Adunate împreună, cele mai comune formule îi vor ajuta pe elevi să navigheze prin diferitele moduri de a calcula aria unui trapez și să se pregătească mai bine pentru teste și teste pe această temă.

Zona unui trapez. Salutari! În această publicație ne vom uita la această formulă. De ce este exact așa și cum să o înțeleg. Dacă există înțelegere, atunci nu trebuie să o predați. Dacă doriți doar să vă uitați la această formulă și urgent, atunci puteți derula imediat în jos pe pagină))

Acum în detaliu și în ordine.

Un trapez este un patrulater, două laturi ale acestui patrulater sunt paralele, celelalte două nu. Cele care nu sunt paralele sunt bazele trapezului. Celelalte două se numesc laturi.

Dacă laturile sunt egale, atunci trapezul se numește isoscel. Dacă una dintre laturi este perpendiculară pe baze, atunci un astfel de trapez se numește dreptunghiular.

În forma sa clasică, un trapez este reprezentat după cum urmează - baza mai mare este în partea de jos, respectiv cea mai mică este în partea de sus. Dar nimeni nu interzice să o înfățișeze și invers. Iată schițele:

Următorul concept important.

Linia mediană a unui trapez este un segment care leagă punctele medii ale laturilor. Linia de mijloc este paralelă cu bazele trapezului și egală cu jumătatea sumei acestora.

Acum să aprofundăm. De ce este așa?

Luați în considerare un trapez cu baze a și b iar cu linia de mijloc l, și efectuați câteva construcții suplimentare: trageți linii drepte prin baze și perpendiculare prin capetele liniei mediane până când se intersectează cu bazele:

*Desemnările de litere pentru vârfuri și alte puncte nu sunt incluse în mod intenționat pentru a evita desemnările inutile.

Uite, triunghiurile 1 și 2 sunt egale conform celui de-al doilea semn de egalitate al triunghiurilor, triunghiurile 3 și 4 sunt la fel. Din egalitatea triunghiurilor decurge egalitatea elementelor si anume catetele (sunt indicate cu albastru, respectiv rosu).

Acum atentie! Dacă „decupăm” mental segmentele albastre și roșii de la baza inferioară, atunci vom rămâne cu un segment (aceasta este latura dreptunghiului) egal cu linia de mijloc. Apoi, dacă „lipim” segmentele tăiate albastre și roșii de baza superioară a trapezului, atunci vom obține și un segment (aceasta este și latura dreptunghiului) egal cu linia mediană a trapezului.

Am înţeles? Se pare că suma bazelor va fi egală cu cele două linii de mijloc ale trapezului:

Vezi o altă explicație

Să facem următoarele - construiți o linie dreaptă care trece prin baza inferioară a trapezului și o linie dreaptă care va trece prin punctele A și B:

Obținem triunghiuri 1 și 2, ele sunt egale de-a lungul laturii și unghiurilor adiacente (al doilea semn de egalitate a triunghiurilor). Aceasta înseamnă că segmentul rezultat (în schiță este indicat cu albastru) este egal cu baza superioară a trapezului.

Acum luați în considerare triunghiul:

*Linia mediană a acestui trapez și linia mediană a triunghiului coincid.

Se știe că un triunghi este egal cu jumătate din baza paralelă cu acesta, adică:

Bine, ne-am dat seama. Acum despre zona trapezului.

Formula ariei trapezoidale:

Ei spun: aria unui trapez este egală cu produsul dintre jumătate din suma bazelor sale și înălțimea.

Adică, se dovedește că este egal cu produsul dintre linia centrală și înălțimea:

Probabil ați observat deja că acest lucru este evident. Geometric, acest lucru poate fi exprimat astfel: dacă tăiem mental triunghiurile 2 și 4 din trapez și le așezăm pe triunghiurile 1 și, respectiv, 3:

Apoi obținem un dreptunghi în zonă egal cu aria trapezul nostru. Aria acestui dreptunghi va fi egală cu produsul liniei centrale și înălțimea, adică putem scrie:

Dar ideea aici nu este în scris, desigur, ci în înțelegere.

Descărcați (vezi) materialul articolului în format *pdf

Asta e tot. Multă baftă!

Cu stimă, Alexandru.

Practica examenului de stat unificat și a examenului de stat de anul trecut arată că problemele de geometrie provoacă dificultăți pentru mulți școlari. Le poți face față cu ușurință dacă memorezi toate formulele necesare și exersezi rezolvarea problemelor.

În acest articol veți vedea formule pentru găsirea zonei unui trapez, precum și exemple de probleme cu soluții. Puteți întâlni aceleași în KIM-uri în timpul examenelor de certificare sau la olimpiade. Prin urmare, tratați-le cu atenție.

Ce trebuie să știi despre trapez?

Pentru început, să ne amintim asta trapez se numește patrulater în care două laturi opuse, numite și baze, sunt paralele, iar celelalte două nu.

Într-un trapez, înălțimea (perpendiculară pe bază) poate fi, de asemenea, coborâtă. Se trasează linia de mijloc - aceasta este o linie dreaptă paralelă cu bazele și egală cu jumătate din suma lor. La fel și diagonalele care se pot intersecta, formând unghiuri acute și obtuze. Sau, în unele cazuri, în unghi drept. În plus, dacă trapezul este isoscel, în el poate fi înscris un cerc. Și descrie un cerc în jurul lui.

Formule ale zonei trapezoidale

În primul rând, să ne uităm la formulele standard pentru găsirea ariei unui trapez. Vom lua în considerare modalități de a calcula aria trapezelor isoscele și curbilinii mai jos.

Deci, imaginați-vă că aveți un trapez cu bazele a și b, în ​​care înălțimea h este coborâtă la baza mai mare. Calcularea suprafeței unei figuri în acest caz este la fel de ușor ca decojirea perelor. Trebuie doar să împărțiți suma lungimilor bazelor cu două și să înmulțiți rezultatul cu înălțimea: S = 1/2(a + b)*h.

Să luăm un alt caz: să presupunem că într-un trapez, pe lângă înălțime, există o linie de mijloc m. Cunoaștem formula pentru aflarea lungimii dreptei din mijloc: m = 1/2(a + b). Prin urmare, putem simplifica pe bună dreptate formula pentru aria unui trapez la următorul tip: S = m* h. Cu alte cuvinte, pentru a găsi aria unui trapez, trebuie să înmulțiți linia centrală cu înălțimea.

Să luăm în considerare o altă opțiune: trapezul conține diagonalele d 1 și d 2, care nu se intersectează în unghi drept α. Pentru a calcula aria unui astfel de trapez, trebuie să împărțiți produsul diagonalelor cu două și să înmulțiți rezultatul cu păcatul unghiului dintre ele: S= 1/2d 1 d 2 *sinα.

Acum luați în considerare formula pentru găsirea ariei unui trapez dacă nu se știe nimic despre acesta, cu excepția lungimii tuturor laturilor sale: a, b, c și d. Aceasta este o formulă greoaie și complexă, dar vă va fi util să o amintiți pentru orice eventualitate: S = 1/2(a + b) * √c 2 – ((1/2(b – a)) * ((b – a) 2 + c 2 – d 2)) 2.

Apropo, exemplele de mai sus sunt valabile și pentru cazul în care aveți nevoie de formula pentru aria unui trapez dreptunghiular. Acesta este un trapez, a cărui latură se învecinează cu bazele în unghi drept.

Trapez isoscel

Un trapez ale cărui laturi sunt egale se numește isoscel. Vom lua în considerare mai multe opțiuni pentru formula pentru aria unui trapez isoscel.

Prima opțiune: pentru cazul în care un cerc cu raza r este înscris în interiorul unui trapez isoscel, iar latura și baza mai mare se formează colt ascutitα. Un cerc poate fi înscris într-un trapez cu condiția ca suma lungimilor bazelor sale să fie egală cu suma lungimilor laturilor.

Aria unui trapez isoscel se calculează după cum urmează: înmulțiți pătratul razei cercului înscris cu patru și împărțiți totul cu sinα: S = 4r2/sinα. O altă formulă de zonă este un caz special pentru opțiunea când unghiul dintre baza mare și latură este 30 0: S = 8r2.

A doua opțiune: de data aceasta luăm un trapez isoscel, în care în plus sunt desenate diagonalele d 1 și d 2, precum și înălțimea h. Dacă diagonalele unui trapez sunt reciproc perpendiculare, înălțimea este jumătate din suma bazelor: h = 1/2(a + b). Știind acest lucru, este ușor să transformați formula pentru zona unui trapez deja cunoscut în această formă: S = h 2.

Formula pentru aria unui trapez curbat

Să începem prin a ne da seama ce este un trapez curbat. Imaginează-ți o axă de coordonate și un grafic al unei funcții continue și nenegative f care nu își schimbă semnul într-un anumit segment de pe axa x. Un trapez curbiliniu este format din graficul funcției y = f(x) - în partea de sus, axa x este în partea de jos (segment), iar pe laturi - linii drepte trasate între punctele a și b și graficul lui functia.

Este imposibil să se calculeze aria unei astfel de figuri nestandard folosind metodele de mai sus. Aici trebuie să aplicați analiza matematică și să utilizați integrala. Și anume: formula Newton-Leibniz - S = ∫ b a f(x)dx = F(x)│ b a = F(b) – F(a). În această formulă, F este antiderivată a funcției noastre pe segmentul selectat. Și aria unui trapez curbiliniu corespunde creșterii antiderivatei pe un anumit segment.

Exemple de probleme

Pentru a face toate aceste formule mai ușor de înțeles în capul tău, iată câteva exemple de probleme pentru găsirea zonei unui trapez. Cel mai bine va fi dacă mai întâi încercați să rezolvați singur problemele și abia apoi să comparați răspunsul primit cu soluția gata făcută.

Sarcina 1: Dat un trapez. Baza sa mai mare este de 11 cm, cea mai mică este de 4 cm. Trapezul are diagonale, una de 12 cm lungime, a doua de 9 cm.

Rezolvare: Construiți un AMRS trapez. Desenați o dreaptă РХ prin vârful P astfel încât să fie paralelă cu diagonala MC și să intersecteze dreapta AC în punctul X. Veți obține un triunghi APХ.

Vom lua în considerare două figuri obținute în urma acestor manipulări: triunghiul APX și paralelogramul CMRX.

Datorită paralelogramului, aflăm că PX = MC = 12 cm și CX = MR = 4 cm. De unde putem calcula latura AX a triunghiului ARX: AX = AC + CX = 11 + 4 = 15 cm.

De asemenea, putem demonstra că triunghiul APX este dreptunghic (pentru a face acest lucru, aplică teorema lui Pitagora - AX 2 = AP 2 + PX 2). Și calculează-i aria: S APX = 1/2(AP * PX) = 1/2(9 * 12) = 54 cm 2.

În continuare, va trebui să demonstrați că triunghiurile AMP și PCX sunt egale ca suprafață. Baza va fi egalitatea părților MR și CX (deja demonstrată mai sus). Și, de asemenea, înălțimile pe care le coborâți pe aceste laturi - sunt egale cu înălțimea trapezului AMRS.

Toate acestea vă vor permite să spuneți că S AMPC = S APX = 54 cm 2.

Sarcina #2: Este dat trapezul KRMS. Pe laturile sale laterale sunt punctele O și E, în timp ce OE și KS sunt paralele. De asemenea, se știe că zonele trapezelor ORME și OKSE sunt în raport de 1:5. RM = a și KS = b. Trebuie să găsiți OE.

Rezolvare: Desenați o dreaptă paralelă cu RK prin punctul M și desemnați punctul de intersecție cu OE ca T. A este punctul de intersecție al unei linii trasate prin punctul E paralel cu RK cu baza KS.

Să mai introducem o notație - OE = x. Și, de asemenea, înălțimea h 1 pentru triunghiul TME și înălțimea h 2 pentru triunghiul AEC (puteți demonstra în mod independent asemănarea acestor triunghiuri).

Vom presupune că b > a. Aricele trapezelor ORME și OKSE sunt în raportul 1:5, ceea ce ne dă dreptul de a crea următoarea ecuație: (x + a) * h 1 = 1/5 (b + x) * h 2. Să transformăm și să obținem: h 1 / h 2 = 1/5 * ((b + x)/(x + a)).

Deoarece triunghiurile TME și AEC sunt similare, avem h 1 / h 2 = (x – a)/(b – x). Să combinăm ambele intrări și să obținem: (x – a)/(b – x) = 1/5 * ((b + x)/(x + a)) ↔ 5(x – a)(x + a) = ( b + x)(b – x) ↔ 5(x 2 – a 2) = (b 2 – x 2) ↔ 6x 2 = b 2 + 5a 2 ↔ x = √(5a 2 + b 2)/6.

Astfel, OE = x = √(5a 2 + b 2)/6.

Concluzie

Geometria nu este cea mai ușoară dintre științe, dar cu siguranță poți face față întrebărilor de la examen. Este suficient să arăți puțină perseverență în pregătire. Și, bineînțeles, amintiți-vă de toate formulele necesare.

Am încercat să colectăm toate formulele pentru calcularea ariei unui trapez într-un singur loc, astfel încât să le puteți folosi atunci când vă pregătiți pentru examene și revizuiți materialul.

Asigurați-vă că le spuneți colegilor și prietenilor despre acest articol. în rețelele sociale. Să fie mai multe note bune la examenul de stat unificat și la examenele de stat!

blog.site, atunci când copiați materialul integral sau parțial, este necesar un link către sursa originală.

Există multe modalități de a găsi aria unui trapez. De obicei, un profesor de matematică cunoaște mai multe metode de calcul, să le analizăm mai detaliat:
1) , unde AD și BC sunt bazele, iar BH este înălțimea trapezului. Demonstrație: trageți diagonala BD și exprimați ariile triunghiurilor ABD și CDB prin jumătatea produsului dintre bazele și înălțimile lor:

, unde DP este înălțimea exterioară în

Să adăugăm aceste egalități termen cu termen și ținând cont de faptul că înălțimile BH și DP sunt egale, obținem:

Să-l scoatem din paranteze

Q.E.D.

Corolarul formulei pentru aria unui trapez:
Deoarece jumătatea sumei bazelor este egală cu MN - linia mediană a trapezului, atunci

2) Aplicarea formulei generale pentru aria unui patrulater.
Aria unui patrulater este egală cu jumătate din produsul diagonalelor înmulțit cu sinusul unghiului dintre ele
Pentru a demonstra acest lucru, este suficient să împărțiți trapezul în 4 triunghiuri, să exprimați aria fiecăruia în termeni de „jumătate din produsul diagonalelor și sinusul unghiului dintre ele” (luat ca unghi, adăugați rezultatul rezultat expresii, scoateți-le din paranteză și factorizați această paranteză folosind metoda de grupare pentru a obține egalitatea cu expresia.

3) Metoda deplasării în diagonală
Acesta este numele meu. Un tutore de matematică nu va întâlni o astfel de rubrică în manualele școlare. O descriere a tehnicii poate fi găsită doar în adițional manuale ca exemplu de rezolvare a unei probleme. Observ că cele mai multe dintre cele mai interesante și fapte utile tutorii de matematică planimetrie dezvăluie elevilor în procesul de performanţă munca practica. Acest lucru este extrem de suboptim, deoarece elevul trebuie să le izoleze în teoreme separate și să le numească „ nume mari" Una dintre acestea este „deplasarea în diagonală”. Despre ce despre care vorbim?Să trasăm o dreaptă paralelă cu AC prin vârful B până când se intersectează cu baza inferioară în punctul E. În acest caz, patrulaterul EBCA va fi un paralelogram (prin definiție) și deci BC=EA și EB=AC. Prima egalitate este importantă pentru noi acum. Avem:

Rețineți că triunghiul BED, a cărui zonă este egală cu aria trapezului, are câteva proprietăți mai remarcabile:
1) Aria sa este egală cu aria trapezului
2) Isoscelul său apare simultan cu isoscelul trapezului însuși
3) Colțul său superior la vârful B egal cu unghiulîntre diagonalele unui trapez (care este foarte des folosit în probleme)
4) Mediana sa BK este egală cu distanța QS dintre punctele medii ale bazelor trapezului. Am întâlnit recent utilizarea acestei proprietăți atunci când pregăteam un student pentru mecanică și matematică la Universitatea de Stat din Moscova folosind manualul lui Tkachuk, versiunea 1973 (problema este dată în partea de jos a paginii).

Tehnici speciale pentru un profesor de matematică.

Uneori propun probleme folosind un mod foarte complicat de a găsi zona unui trapez. O clasific ca o tehnică specială pentru că în practică tutorul le folosește extrem de rar. Dacă aveți nevoie de pregătire pentru examenul de stat unificat la matematică numai în partea B, nu trebuie să citiți despre ele. Pentru alții, vă spun mai departe. Se pare că aria unui trapez este de două ori mai mare decât aria unui triunghi cu vârfuri la capetele unei laturi și la mijlocul celeilalte, adică triunghiul ABS din figură:
Dovada: trageți înălțimile SM și SN în triunghiuri BCS și ADS și exprimați suma ariilor acestor triunghiuri:

Deoarece punctul S este mijlocul lui CD, atunci (demonstrați-l singur).Găsiți suma ariilor triunghiurilor:

Deoarece această sumă s-a dovedit a fi egală cu jumătate din aria trapezului, apoi a doua jumătate a acestuia. etc.

Aș include în colecția de tehnici speciale a profesorului forma de calcul a ariei unui trapez isoscel de-a lungul laturilor sale: unde p este semiperimetrul trapezului. Nu voi da dovada. În caz contrar, profesorul tău de matematică va rămâne fără loc de muncă :). Vino la ore!

Probleme pe zona unui trapez:

Nota profesorului de matematică: Lista de mai jos nu este un acompaniament metodologic al subiectului, este doar o mică selecție sarcini interesante la metodele discutate mai sus.

1) Baza inferioară a unui trapez isoscel este 13, iar cea superioară este 5. Aflați aria trapezului dacă diagonala sa este perpendiculară pe latură.
2) Aflați aria unui trapez dacă bazele lui sunt de 2 cm și 5 cm, iar laturile sale sunt de 2 cm și 3 cm.
3) Într-un trapez isoscel, baza mai mare este 11, latura este 5, iar diagonala este Aflați aria trapezului.
4) Diagonala unui trapez isoscel este 5, iar linia mediană este 4. Aflați aria.
5) Într-un trapez isoscel, bazele sunt 12 și 20, iar diagonalele sunt reciproc perpendiculare. Calculați aria unui trapez
6) Diagonala unui trapez isoscel formează un unghi cu baza sa inferioară. Aflați aria trapezului dacă înălțimea lui este de 6 cm.
7) Aria trapezului este de 20, iar una dintre laturile sale este de 4 cm. Găsiți distanța până la acesta de la mijlocul părții opuse.
8) Diagonala unui trapez isoscel îl împarte în triunghiuri cu ariile de 6 și 14. Aflați înălțimea dacă latura laterală este 4.
9) Într-un trapez, diagonalele sunt egale cu 3 și 5, iar segmentul care leagă punctele medii ale bazelor este egal cu 2. Aflați aria trapezului (Mekhmat MSU, 1970).

Nu am ales problemele cele mai dificile (nu vă fie teamă de inginerie mecanică!) cu așteptarea că voi putea să le rezolv independent. Decide pentru sanatatea ta! Dacă aveți nevoie de pregătire pentru examenul de stat unificat la matematică, atunci fără participarea la acest proces pot apărea formule pentru zona unui trapez probleme serioase chiar și cu problema B6 și cu atât mai mult cu C4. Nu începe subiectul și în caz de dificultăți, cere ajutor. Un profesor de matematică este întotdeauna bucuros să vă ajute.

Kolpakov A.N.
Profesor de matematică la Moscova, pregătirea pentru examenul de stat unificat la Strogino.