Cum se înmulțesc fracțiile. Regula pentru înmulțirea fracțiilor cu numere întregi

Înmulțirea unui număr întreg cu o fracție nu este o sarcină dificilă. Dar există subtilități pe care probabil le-ați înțeles la școală, dar de atunci le-ați uitat.

Cum se înmulțește un număr întreg cu o fracție - câțiva termeni

Dacă vă amintiți ce sunt numărătorul și numitorul și cum diferă o fracție proprie de o fracție improprie, săriți peste acest paragraf. Este pentru cei care au uitat complet teoria.

Numătorul este top parte fracțiile sunt ceea ce împărțim. Numitorul este mai mic. Prin asta împărțim.
O fracție proprie este una al cărei numărător este mai mic decât numitorul ei. O fracție improprie este una al cărei numărător este mai mare sau egal cu numitorul său.

Cum se înmulțește un număr întreg cu o fracție

Regula pentru înmulțirea unui număr întreg cu o fracție este foarte simplă - înmulțim numărătorul cu numărul întreg, dar nu atingem numitorul. De exemplu: doi înmulțiți cu o cincime - obținem două cincimi. Patru înmulțit cu trei șaisprezecele este egal cu douăsprezece șaisprezece.

Reducere

În al doilea exemplu, fracția rezultată poate fi redusă.
Ce înseamnă? Vă rugăm să rețineți că atât numărătorul, cât și numitorul acestei fracții sunt divizibil cu patru. Împărțiți ambele numere la divizor comunși se numește reducerea unei fracții. Primim trei sferturi.

Fracții improprii

Dar să presupunem că înmulțim patru cu două cincimi. S-a dovedit a fi opt cincimi. Aceasta este o fracție improprie.
Cu siguranță trebuie adusă la ea genul potrivit. Pentru a face acest lucru, trebuie să selectați o parte întreagă din ea.
Aici trebuie să utilizați diviziunea cu un rest. Primim unul și trei ca rest.
Un întreg și trei cincimi este fracția noastră potrivită.

Aducerea a treizeci și cinci de optimi la forma corectă este puțin mai dificilă. Cel mai apropiat număr de treizeci și șapte care este divizibil cu opt este treizeci și doi. Când împărțim, obținem patru. Scădeți treizeci și doi din treizeci și cinci și obținem trei. Rezultat: patru întregi și trei optime.

Egalitatea numărătorului și numitorului. Și aici totul este foarte simplu și frumos. Dacă numărătorul și numitorul sunt egali, rezultatul este pur și simplu unul.

) și numitor cu numitor (se obține numitorul produsului).

Formula pentru înmulțirea fracțiilor:

De exemplu:

Înainte de a începe înmulțirea numărătorilor și numitorilor, trebuie să verificați dacă fracția poate fi redusă. Dacă puteți reduce fracția, vă va fi mai ușor să faceți calcule suplimentare.

Împărțirea unei fracții comune la o fracție.

Împărțirea fracțiilor care implică numere naturale.

Nu este atât de înfricoșător pe cât pare. Ca și în cazul adunării, convertim întregul într-o fracție cu unu la numitor. De exemplu:

Înmulțirea fracțiilor mixte.

Reguli pentru înmulțirea fracțiilor (mixte):

• converti fracțiile mixte în fracții improprii;
• înmulțirea numărătorilor și numitorilor fracțiilor;
• reduceți fracția;
• Dacă obțineți o fracție improprie, atunci convertim fracția improprie într-o fracție mixtă.

Notă! A inmulti fracție mixtăîntr-o altă fracție mixtă, trebuie mai întâi să le convertiți în forma de fracții improprii și apoi să înmulțiți conform regulii înmulțirii fracții obișnuite.

A doua modalitate de a înmulți o fracție cu un număr natural.

Poate fi mai convenabil să folosiți a doua metodă de înmulțire a unei fracții comune cu un număr.

Notă! Pentru a înmulți o fracție cu un număr natural, trebuie să împărțiți numitorul fracției la acest număr și să lăsați numărătorul neschimbat.

Din exemplul dat mai sus, este clar că această opțiune este mai convenabilă de utilizat atunci când numitorul unei fracții este împărțit fără rest la un număr natural.

Fracții cu mai multe etaje.

În liceu, se întâlnesc adesea fracții cu trei etaje (sau mai multe). Exemplu:

Pentru a aduce o astfel de fracție la forma ei obișnuită, utilizați împărțirea prin 2 puncte:

Notă! La împărțirea fracțiilor, ordinea împărțirii este foarte importantă. Fii atent, aici este ușor să te încurci.

Notă, De exemplu:

Când împărțiți unul la orice fracție, rezultatul va fi aceeași fracție, doar inversată:

Sfaturi practice pentru înmulțirea și împărțirea fracțiilor:

1. Cel mai important lucru atunci când lucrați cu expresii fracționale este acuratețea și atenția. Faceți toate calculele cu atenție și precizie, concentrat și clar. Este mai bine să scrieți câteva rânduri în plus în ciornă decât să vă pierdeți în calcule mentale.

2. În sarcini cu tipuri diferite fracții - mergi la forma fracțiilor obișnuite.

3. Reducem toate fracțiile până când nu se mai poate reduce.

4. Transformăm expresii fracționale cu mai multe niveluri în expresii obișnuite folosind împărțirea prin 2 puncte.

5. Împărțiți o unitate la o fracțiune în cap, pur și simplu răsturnând fracția.

O altă operație care poate fi efectuată cu fracții obișnuite este înmulțirea. Vom încerca să explicăm regulile sale de bază atunci când rezolvăm probleme, să arătăm cum se înmulțește o fracție obișnuită cu un număr natural și cum să înmulțim corect trei fracții ordinare sau mai multe.

Mai întâi să scriem regula de bază:

Definiția 1

Dacă înmulțim o fracție obișnuită, atunci numărătorul fracției rezultate va fi egal cu produsul numărătorilor fracțiilor originale, iar numitorul va fi egal cu produsul numitorilor acestora. În formă literală, pentru două fracții a / b și c / d, aceasta poate fi exprimată ca a b · c d = a · c b · d.

Să ne uităm la un exemplu despre cum să aplicați corect această regulă. Să presupunem că avem un pătrat a cărui latură este egală cu o unitate numerică. Apoi, aria figurii va fi de 1 pătrat. unitate. Dacă împărțim pătratul în dreptunghiuri egale cu laturile egale cu 1 4 și 1 8 unități numerice, obținem că acum este format din 32 dreptunghiuri (deoarece 8 4 = 32). În consecință, aria fiecăruia dintre ele va fi egală cu 1 32 din aria întregii figuri, adică. 1 32 mp unitati.

Avem un fragment umbrit cu laturile egale cu 5 8 unități numerice și 3 4 unități numerice. În consecință, pentru a calcula aria sa, trebuie să înmulțiți prima fracție cu a doua. Va fi egal cu 5 8 · 3 4 sq. unitati. Dar putem număra pur și simplu câte dreptunghiuri sunt incluse în fragment: sunt 15 dintre ele, ceea ce înseamnă că suprafața totală este de 15 32 de unități pătrate.

Deoarece 5 3 = 15 și 8 4 = 32, putem scrie următoarea egalitate:

5 8 3 4 = 5 3 8 4 = 15 32

Ea confirmă regula pe care am formulat-o pentru înmulțirea fracțiilor ordinare, care se exprimă ca a b · c d = a · c b · d. Funcționează la fel atât pentru fracțiile proprii, cât și pentru cele improprii; Poate fi folosit pentru a înmulți fracții cu numitori diferiți și identici.

Să ne uităm la soluțiile mai multor probleme care implică înmulțirea fracțiilor ordinare.

Exemplul 1

Înmulțiți 7 11 cu 9 8.

Soluţie

Mai întâi, să calculăm produsul numărătorilor fracțiilor indicate înmulțind 7 cu 9. Avem 63. Apoi calculăm produsul numitorilor și obținem: 11 · 8 = 88. Să compunem două numere și răspunsul este: 63 88.

Întreaga soluție poate fi scrisă astfel:

7 11 9 8 = 7 9 11 8 = 63 88

Răspuns: 7 11 · 9 8 = 63 88.

Dacă obținem o fracție reductibilă în răspunsul nostru, trebuie să finalizam calculul și să efectuăm reducerea acestuia. Dacă obținem o fracție necorespunzătoare, trebuie să separăm întreaga parte de ea.

Exemplul 2

Calculați produsul fracțiilor 4 15 și 55 6 .

Soluţie

Conform regulii studiate mai sus, trebuie să înmulțim numărătorul cu numărătorul, iar numitorul cu numitorul. Înregistrarea soluției va arăta astfel:

4 15 55 6 = 4 55 15 6 = 220 90

Avem o fracție reductibilă, adică unul care este divizibil cu 10.

Să reducem fracția: 220 90 mcd (220, 90) = 10, 220 90 = 220: 10 90: 10 = 22 9. Ca rezultat, am obținut o fracție improprie, din care selectăm întreaga parte și obținem un număr mixt: 22 9 = 2 4 9.

Răspuns: 4 15 55 6 = 2 4 9.

Pentru ușurința calculului, putem reduce și fracțiile originale înainte de a efectua operația de înmulțire, pentru care trebuie să reducem fracția la forma a · c b · d. Să descompunăm valorile variabilelor în factori simpli și să îi reducem pe aceiași.

Să explicăm cum arată acest lucru folosind date dintr-o anumită sarcină.

Exemplul 3

Calculați produsul 4 15 55 6.

Soluţie

Să notăm calculele pe baza regulii înmulțirii. Vom obține:

4 15 55 6 = 4 55 15 6

Deoarece 4 = 2 2, 55 = 5 11, 15 = 3 5 și 6 = 2 3, atunci 4 55 15 6 = 2 2 5 11 3 5 2 3.

2 11 3 3 = 22 9 = 2 4 9

Răspuns: 4 15 · 55 6 = 2 4 9 .

Expresie numerică, în care are loc înmulțirea fracțiilor obișnuite, are o proprietate comutativă, adică dacă este necesar, putem schimba ordinea factorilor:

a b · c d = c d · a b = a · c b · d

Cum se înmulțește o fracție cu un număr natural

Să notăm imediat regula de bază și apoi să încercăm să o explicăm în practică.

Definiția 2

Pentru a înmulți o fracție comună cu un număr natural, trebuie să înmulțiți numărătorul acelei fracții cu acel număr. În acest caz, numitorul fracției finale va fi egal cu numitorul fracției ordinare inițiale. Înmulțirea unei anumite fracții a b cu un număr natural n poate fi scrisă ca formula a b · n = a · n b.

Este ușor de înțeles această formulă dacă vă amintiți că orice număr natural poate fi reprezentat ca o fracție obișnuită cu un numitor egal cu unu, adică:

a b · n = a b · n 1 = a · n b · 1 = a · n b

Să explicăm ideea noastră cu exemple specifice.

Exemplul 4

Calculați produsul de 2 27 ori 5.

Soluţie

Ca rezultat al înmulțirii numărătorului fracției originale cu al doilea factor, obținem 10. În virtutea regulii menționate mai sus, vom obține ca rezultat 10 27. Întreaga soluție este dată în această postare:

2 27 5 = 2 5 27 = 10 27

Răspuns: 2 27 5 = 10 27

Când înmulțim un număr natural cu o fracție, de multe ori trebuie să abreviam rezultatul sau să-l reprezentăm ca un număr mixt.

Exemplul 5

Condiție: calculați produsul 8 cu 5 12.

Soluţie

Conform regulii de mai sus, înmulțim numărul natural cu numărătorul. Ca rezultat, obținem că 5 12 8 = 5 8 12 = 40 12. Fracția finală are semne de divizibilitate cu 2, așa că trebuie să o reducem:

LCM (40, 12) = 4, deci 40 12 = 40: 4 12: 4 = 10 3

Acum tot ce trebuie să facem este să selectăm întreaga parte și să scriem răspunsul gata: 10 3 = 3 1 3.

În această intrare puteți vedea întreaga soluție: 5 12 8 = 5 8 12 = 40 12 = 10 3 = 3 1 3.

De asemenea, am putea reduce fracția prin factorizarea numărătorului și numitorului în factori primi, iar rezultatul ar fi exact același.

Răspuns: 5 12 8 = 3 1 3.

O expresie numerică în care un număr natural este înmulțit cu o fracție are și proprietatea deplasării, adică ordinea factorilor nu afectează rezultatul:

a b · n = n · a b = a · n b

Cum să înmulți trei sau mai multe fracții comune

Putem extinde la acțiunea de înmulțire a fracțiilor obișnuite aceleași proprietăți care sunt caracteristice înmulțirii numerelor naturale. Aceasta rezultă din însăși definiția acestor concepte.

Datorită cunoștințelor proprietăților de combinare și comutative, puteți înmulți trei sau mai multe fracții obișnuite. Este acceptabil să rearanjați factorii pentru o mai mare comoditate sau să aranjați parantezele astfel încât să fie mai ușor de numărat.

Să arătăm cu un exemplu cum se face acest lucru.

Exemplul 6

Înmulțiți cele patru fracții comune 1 20, 12 5, 3 7 și 5 8.

Soluție: În primul rând, să înregistrăm munca. Se obține 1 20 · 12 5 · 3 7 · 5 8 . Trebuie să înmulțim toți numărătorii și toți numitorii împreună: 1 20 · 12 5 · 3 7 · 5 8 = 1 · 12 · 3 · 5 20 · 5 · 7 · 8 .

Înainte de a începe înmulțirea, putem face lucrurile puțin mai ușoare pentru noi înșine și putem factoriza unele numere în factori primi pentru o reducere suplimentară. Acest lucru va fi mai ușor decât reducerea fracției rezultate care este deja gata.

1 12 3 5 20 5 7 8 = 1 (2 2 3) 3 5 2 2 5 5 7 (2 2 2) = 3 3 5 7 2 2 2 = 9.280

Răspuns: 1 · 12 · 3 · 5 20 · 5 · 7 · 8 = 9.280.

Exemplul 7

Înmulțiți 5 numere 7 8 · 12 · 8 · 5 36 · 10 .

Soluţie

Pentru comoditate, putem grupa fracția 7 8 cu numărul 8 și numărul 12 cu fracția 5 36, deoarece abrevierile viitoare ne vor fi evidente. Ca rezultat, vom obține:
7 8 12 8 5 36 10 = 7 8 8 12 5 36 10 = 7 8 8 12 5 36 10 = 7 1 2 2 3 5 2 2 3 3 10 = 7 5 3 10 = 7 5 = 10 6 3 = 3 5 10 3 2 3

Răspuns: 7 8 12 8 5 36 10 = 116 2 3.

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

La cursurile de gimnaziu și liceu, elevii au abordat tema „Fracțiuni”. Cu toate acestea, acest concept este mult mai larg decât ceea ce este dat în procesul de învățare. Astăzi, conceptul de fracție este întâlnit destul de des și nu toată lumea poate calcula orice expresie, de exemplu, înmulțirea fracțiilor.

Ce este o fracție?

S-a întâmplat din punct de vedere istoric că numere fracționare a apărut din necesitatea măsurării. După cum arată practica, există adesea exemple de determinare a lungimii unui segment și a volumului unui dreptunghi dreptunghiular.

Inițial, elevii sunt introduși în conceptul de acțiune. De exemplu, dacă împărțiți un pepene în 8 părți, atunci fiecare persoană va primi o opteme din pepene. Această parte din opt se numește cotă.

O cotă egală cu ½ din orice valoare se numește jumătate; ⅓ - a treia; ¼ - un sfert. Înregistrările de forma 5/8, 4/5, 2/4 se numesc fracții ordinare. O fracție comună este împărțită în numărător și numitor. Între ele se află bara de fracțiuni sau bara de fracțiuni. Linia fracțională poate fi trasată fie ca o linie orizontală, fie ca o linie oblică. ÎN în acest caz, reprezintă semnul diviziunii.

Numitorul reprezintă în câte părți egale este împărțită cantitatea sau obiectul; iar numărătorul este câte acțiuni identice sunt luate. Numătorul este scris deasupra liniei fracțiilor, numitorul este scris sub ea.

Cel mai convenabil este să afișați fracțiile obișnuite pe o rază de coordonate. Dacă un segment de unitate este împărțit în 4 părți egale, etichetați fiecare parte Literă latină, atunci rezultatul poate fi excelent material vizual. Deci, punctul A arată o cotă egală cu 1/4 din întregul segment de unitate, iar punctul B marchează 2/8 dintr-un anumit segment.

Tipuri de fracții

Fracțiile pot fi numere ordinare, zecimale și mixte. În plus, fracțiile pot fi împărțite în adecvate și improprii. Această clasificare este mai potrivită pentru fracțiile obișnuite.

O fracție proprie este un număr al cărui numărător este mai mic decât numitorul său. În consecință, o fracție improprie este un număr al cărui numărător este mai mare decât numitorul său. Al doilea tip este de obicei scris ca un număr mixt. Această expresie constă dintr-un număr întreg și o parte fracțională. De exemplu, 1½. 1 - întreaga parte, ½ - fracțional. Cu toate acestea, dacă trebuie să efectuați unele manipulări cu expresia (împărțirea sau înmulțirea fracțiilor, reducerea sau conversia acestora), numărul mixt este convertit într-o fracție improprie.

O expresie fracțională corectă este întotdeauna mai mică decât unu, iar una incorectă este întotdeauna mai mare sau egală cu 1.

În ceea ce privește această expresie, înțelegem o înregistrare în care este reprezentat orice număr, al cărui numitor al expresiei fracționale poate fi exprimat în termeni de unul cu mai multe zerouri. Dacă fracția este corectă, atunci partea întreagă în notație zecimală va fi egală cu zero.

Pentru a scrie o fracție zecimală, trebuie mai întâi să scrieți întreaga parte, să o separați de fracție folosind o virgulă și apoi să scrieți expresia fracției. Trebuie reținut că după virgulă zecimală numărătorul trebuie să conțină același număr de caractere digitale ca și zerouri în numitor.

Exemplu. Exprimați fracția 7 21 / 1000 în notație zecimală.

Algoritm pentru conversia unei fracții improprie într-un număr mixt și invers

Este incorect să scrieți o fracție necorespunzătoare în răspunsul la o problemă, așa că trebuie convertită într-un număr mixt:

• împărțiți numărătorul la numitorul existent;
• V exemplu concret coeficient incomplet - întreg;
• iar restul este numărătorul părții fracționale, numitorul rămânând neschimbat.

Exemplu. Transformă fracția improprie în număr mixt: 47 / 5.

Soluţie. 47: 5. Coeficientul parțial este 9, restul = 2. Deci, 47 / 5 = 9 2 / 5.

Uneori trebuie să reprezentați un număr mixt ca o fracție improprie. Apoi, trebuie să utilizați următorul algoritm:

• partea întreagă se înmulțește cu numitorul expresiei fracționale;
• produsul rezultat se adaugă la numărător;
• rezultatul se scrie la numărător, numitorul rămâne neschimbat.

Exemplu. Prezentați numărul în formă mixtă ca o fracție improprie: 9 8 / 10.

Soluţie. 9 x 10 + 8 = 90 + 8 = 98 este numărătorul.

Răspuns: 98 / 10.

Înmulțirea fracțiilor

Pe fracții obișnuite pot fi efectuate diverse operații algebrice. Pentru a înmulți două numere, trebuie să înmulțiți numărătorul cu numărătorul și numitorul cu numitorul. În plus, înmulțirea fracțiilor cu numitori diferiți nu este diferită de înmulțirea fracțiilor cu aceiași numitori.

Se întâmplă că, după găsirea rezultatului, trebuie să reduceți fracția. Este imperativ să simplificați cât mai mult posibil expresia rezultată. Desigur, nu se poate spune că o fracție improprie dintr-un răspuns este o eroare, dar este și dificil să o numim răspuns corect.

Exemplu. Aflați produsul a două fracții ordinare: ½ și 20/18.

După cum se poate observa din exemplu, după găsirea produsului, se obține o notație fracțională reductibilă. Atât numărătorul, cât și numitorul în acest caz sunt împărțiți la 4, iar rezultatul este răspunsul 5 / 9.

Înmulțirea fracțiilor zecimale

Produsul fracțiilor zecimale este destul de diferit de produsul fracțiilor obișnuite în principiu. Deci, înmulțirea fracțiilor este după cum urmează:

• două fracții zecimale trebuie scrise una sub cealaltă, astfel încât cifrele din dreapta să fie una sub cealaltă;
• trebuie să înmulțiți numerele scrise, în ciuda virgulelor, adică ca numere naturale;
• numărați numărul de cifre după punctul zecimal din fiecare număr;
• în rezultatul obținut după înmulțire, trebuie să numărați de la dreapta câte simboluri digitale sunt conținute în suma în ambii factori după virgulă zecimală și să puneți un semn de separare;
• dacă există mai puține numere în produs, atunci trebuie să scrieți cât mai multe zerouri în fața lor pentru a acoperi acest număr, puneți o virgulă și adăugați întreaga parte egală cu zero.

Exemplu. Calculați produsul a două fracții zecimale: 2,25 și 3,6.

Soluţie.

Înmulțirea fracțiilor mixte

Pentru a calcula produsul a două fracții mixte, trebuie să utilizați regula pentru înmulțirea fracțiilor:

• converti numere mixte în fracții improprii;
• găsiți produsul numărătorilor;
• găsiți produsul numitorilor;
• notează rezultatul;
• simplificați cât mai mult expresia.

Exemplu. Aflați produsul dintre 4½ și 6 2/5.

Înmulțirea unui număr cu o fracție (fracții cu un număr)

Pe lângă găsirea produsului a două fracții și a numerelor mixte, există sarcini în care trebuie să înmulțiți cu o fracție.

Deci, pentru a găsi produsul zecimalși un număr natural, aveți nevoie de:

• scrieți numărul sub fracție, astfel încât cifrele din dreapta să fie una deasupra celeilalte;
• găsiți produsul în ciuda virgulei;
• în rezultatul rezultat, separă partea întreagă de partea fracțională folosind o virgulă, numărând din dreapta numărul de cifre care se află după virgulă zecimală în fracție.

Pentru a înmulți o fracție comună cu un număr, trebuie să găsiți produsul dintre numărător și factorul natural. Dacă răspunsul produce o fracție care poate fi redusă, aceasta ar trebui convertită.

Exemplu. Calculați produsul dintre 5 / 8 și 12.

Soluţie. 5 / 8 * 12 = (5*12) / 8 = 60 / 8 = 30 / 4 = 15 / 2 = 7 1 / 2.

Răspuns: 7 1 / 2.

După cum puteți vedea din exemplul anterior, a fost necesar să reduceți rezultatul rezultat și să convertiți expresia fracțională incorectă într-un număr mixt.

Înmulțirea fracțiilor se referă și la găsirea produsului unui număr în formă mixtă și a unui factor natural. Pentru a înmulți aceste două numere, ar trebui să înmulțiți întreaga parte a factorului mixt cu număr, să înmulțiți numărătorul cu aceeași valoare și să lăsați numitorul neschimbat. Dacă este necesar, trebuie să simplificați rezultatul rezultat cât mai mult posibil.

Exemplu. Aflați produsul lui 9 5 / 6 și 9.

Soluţie. 9 5 / 6 x 9 = 9 x 9 + (5 x 9) / 6 = 81 + 45 / 6 = 81 + 7 3 / 6 = 88 1 / 2.

Răspuns: 88 1 / 2.

Înmulțirea cu factori de 10, 100, 1000 sau 0,1; 0,01; 0,001

Rezultă din paragraful anterior următoarea regulă. Pentru a înmulți o fracție zecimală cu 10, 100, 1000, 10000 etc., trebuie să mutați punctul zecimal la dreapta cu atâtea cifre câte zerouri există în factorul după unu.

Exemplul 1. Aflați produsul dintre 0,065 și 1000.

Soluţie. 0,065 x 1000 = 0065 = 65.

Răspuns: 65.

Exemplul 2. Aflați produsul dintre 3,9 și 1000.

Soluţie. 3,9 x 1000 = 3,900 x 1000 = 3900.

Răspuns: 3900.

Dacă trebuie să înmulțiți un număr natural și 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001 etc., ar trebui să mutați virgula din produsul rezultat la stânga cu atâtea caractere cifre câte zerouri sunt înaintea unu. Dacă este necesar, înaintea numărului natural sunt scrise un număr suficient de zerouri.

Exemplul 1. Aflați produsul dintre 56 și 0,01.

Soluţie. 56 x 0,01 = 0056 = 0,56.

Răspuns: 0,56.

Exemplul 2. Aflați produsul dintre 4 și 0,001.

Soluţie. 4 x 0,001 = 0004 = 0,004.

Răspuns: 0,004.

Deci, găsirea produsului diferitelor fracții nu ar trebui să provoace dificultăți, cu excepția poate calcula rezultatul; în acest caz, pur și simplu nu puteți face fără un calculator.

Pentru a înmulți corect o fracție cu o fracție sau o fracție cu un număr, trebuie să știi reguli simple. Vom analiza acum aceste reguli în detaliu.

Înmulțirea unei fracții comune cu o fracție.

Pentru a înmulți o fracție cu o fracție, trebuie să calculați produsul numărătorilor și produsul numitorilor acestor fracții.

\(\bf \frac(a)(b) \times \frac(c)(d) = \frac(a \times c)(b \times d)\\\)

Să ne uităm la un exemplu:
Înmulțim numărătorul primei fracții cu numărătorul celei de-a doua fracții și, de asemenea, înmulțim numitorul primei fracții cu numitorul celei de-a doua fracții.

\(\frac(6)(7) \times \frac(2)(3) = \frac(6 \times 2)(7 \times 3) = \frac(12)(21) = \frac(4 \ ori 3)(7 \ori 3) = \frac(4)(7)\\\)

Fracția \(\frac(12)(21) = \frac(4 \times 3)(7 \times 3) = \frac(4)(7)\\\) a fost redusă cu 3.

Înmulțirea unei fracții cu un număr.

În primul rând, să ne amintim regula, orice număr poate fi reprezentat ca o fracție \(\bf n = \frac(n)(1)\) .

Să folosim această regulă atunci când înmulțim.

\(5 \times \frac(4)(7) = \frac(5)(1) \times \frac(4)(7) = \frac(5 \times 4)(1 \times 7) = \frac (20)(7) = 2\frac(6)(7)\\\)

Fracție improprie \(\frac(20)(7) = \frac(14 + 6)(7) = \frac(14)(7) + \frac(6)(7) = 2 + \frac(6)( 7)= 2\frac(6)(7)\\\) convertit într-o fracție mixtă.

Cu alte cuvinte, Când înmulțim un număr cu o fracție, înmulțim numărul cu numărător și lăsăm numitorul neschimbat. Exemplu:

\(\frac(2)(5) \times 3 = \frac(2 \times 3)(5) = \frac(6)(5) = 1\frac(1)(5)\\\\\) \(\bf \frac(a)(b) \times c = \frac(a \times c)(b)\\\)

Înmulțirea fracțiilor mixte.

Pentru a înmulți fracțiile mixte, trebuie mai întâi să reprezentați fiecare fracție mixtă ca o fracție improprie și apoi să utilizați regula înmulțirii. Înmulțim numărătorul cu numărătorul și înmulțim numitorul cu numitorul.

Exemplu:
\(2\frac(1)(4) \times 3\frac(5)(6) = \frac(9)(4) \times \frac(23)(6) = \frac(9 \times 23) (4 \times 6) = \frac(3 \times \color(red) (3) \times 23)(4 \times 2 \times \color(red) (3)) = \frac(69)(8) = 8\frac(5)(8)\\\)

Înmulțirea fracțiilor și numerelor reciproce.

Fracția \(\bf \frac(a)(b)\) este inversul fracției \(\bf \frac(b)(a)\), cu condiția a≠0,b≠0.
Fracțiile \(\bf \frac(a)(b)\) și \(\bf \frac(b)(a)\) se numesc fracții reciproce. Produsul fracțiilor reciproce este egal cu 1.
\(\bf \frac(a)(b) \times \frac(b)(a) = 1 \\\)

Exemplu:
\(\frac(5)(9) \times \frac(9)(5) = \frac(45)(45) = 1\\\)

Întrebări înrudite:
Cum se înmulțește o fracție cu o fracție?
Răspuns: Produsul fracțiilor obișnuite este înmulțirea unui numărător cu un numărător, a unui numitor cu un numitor. Pentru a obține produsul fracțiilor mixte, trebuie să le convertiți într-o fracție necorespunzătoare și să le înmulțiți conform regulilor.

Cum se înmulțesc fracții cu numitori diferiți?
Răspuns: nu contează dacă fracțiile au numitori aceiași sau diferiți, înmulțirea are loc conform regulii de a găsi produsul unui numărător cu numărător, un numitor cu numitor.

Cum se înmulțesc fracțiile mixte?
Răspuns: în primul rând, trebuie să convertiți fracția mixtă într-o fracție necorespunzătoare și apoi să găsiți produsul folosind regulile de înmulțire.

Cum se înmulțește un număr cu o fracție?
Răspuns: înmulțim numărul cu numărătorul, dar numitorul lăsăm același.

Exemplul #1:
Calculați produsul: a) \(\frac(8)(9) \times \frac(7)(11)\) b) \(\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) \)

Soluţie:
a) \(\frac(8)(9) \times \frac(7)(11) = \frac(8 \times 7)(9 \times 11) = \frac(56)(99)\\\\ \)
b) \(\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) = \frac(2 \times 10)(15 \times 13) = \frac(2 \times 2 \times \color( roșu) (5))(3 \times \color(red) (5) \times 13) = \frac(4)(39)\)

Exemplul #2:
Calculați produsele unui număr și ale unei fracții: a) \(3 \times \frac(17)(23)\) b) \(\frac(2)(3) \times 11\)

Soluţie:
a) \(3 \times \frac(17)(23) = \frac(3)(1) \times \frac(17)(23) = \frac(3 \times 17)(1 \times 23) = \frac(51)(23) = 2\frac(5)(23)\\\\\)
b) \(\frac(2)(3) \times 11 = \frac(2)(3) \times \frac(11)(1) = \frac(2 \times 11)(3 \times 1) = \frac(22)(3) = 7\frac(1)(3)\)

Exemplul #3:
Scrieți reciproca fracției \(\frac(1)(3)\)?
Răspuns: \(\frac(3)(1) = 3\)

Exemplul #4:
Calculați produsul a două fracții reciproc inverse: a) \(\frac(104)(215) \times \frac(215)(104)\)

Soluţie:
a) \(\frac(104)(215) \times \frac(215)(104) = 1\)

Exemplul #5:
Fracțiile reciproce pot fi:
a) concomitent cu fracțiile proprii;
b) simultan fracţii improprii;
c) simultan numere naturale?

Soluţie:
a) pentru a răspunde la prima întrebare, să dăm un exemplu. Fracția \(\frac(2)(3)\) este proprie, fracția sa inversă va fi egală cu \(\frac(3)(2)\) - o fracție improprie. Răspuns: nu.

b) în aproape toate enumerările de fracții această condiție nu este îndeplinită, dar există unele numere care îndeplinesc condiția de a fi simultan o fracție improprie. De exemplu, fracția improprie este \(\frac(3)(3)\), fracția sa inversă este egală cu \(\frac(3)(3)\). Obținem două fracții improprii. Răspuns: nu întotdeauna în anumite condiții când numărătorul și numitorul sunt egali.

c) numerele naturale sunt numere pe care le folosim atunci când numărăm, de exemplu, 1, 2, 3, …. Dacă luăm numărul \(3 = \frac(3)(1)\), atunci fracția sa inversă va fi \(\frac(1)(3)\). Fracția \(\frac(1)(3)\) nu este un număr natural. Dacă parcurgem toate numerele, reciproca numărului este întotdeauna o fracție, cu excepția lui 1. Dacă luăm numărul 1, atunci fracția sa reciprocă va fi \(\frac(1)(1) = \frac(1). )(1) = 1\). Numărul 1 este un număr natural. Răspuns: pot fi simultan numere naturale doar într-un singur caz, dacă acesta este numărul 1.

Exemplul #6:
Faceți produsul fracțiilor mixte: a) \(4 \times 2\frac(4)(5)\) b) \(1\frac(1)(4) \times 3\frac(2)(7)\ )

Soluţie:
a) \(4 \times 2\frac(4)(5) = \frac(4)(1) \times \frac(14)(5) = \frac(56)(5) = 11\frac(1 )(5)\\\\ \)
b) \(1\frac(1)(4) \times 3\frac(2)(7) = \frac(5)(4) \times \frac(23)(7) = \frac(115)( 28) = 4\frac(3)(7)\)

Exemplul #7:
Pot doi reciproc numere reciproce fie numere mixte în același timp?

Să ne uităm la un exemplu. Să luăm o fracție mixtă \(1\frac(1)(2)\), găsim fracția ei inversă, pentru a face acest lucru o transformăm într-o fracție improprie \(1\frac(1)(2) = \frac(3) )(2) \) . Fracția sa inversă va fi egală cu \(\frac(2)(3)\) . Fracția \(\frac(2)(3)\) este o fracție proprie. Răspuns: Două fracții care sunt reciproc inverse nu pot fi numere mixte în același timp.