Ceea ce se numește număr rațional. Definiţia numerelor raţionale

Definiţia numerelor raţionale

Numerele raționale includ:

• Numere naturale care pot fi reprezentate ca o fracție. De exemplu, $7=\frac(7)(1)$.
• Numere întregi, inclusiv zero, care pot fi reprezentate ca o fracție pozitivă sau negativă sau ca zero. De exemplu, $19=\frac(19)(1)$, $-23=-\frac(23)(1)$.
• Fracții comune (pozitive sau negative).
• Numere mixte care pot fi reprezentate ca o fracție improprie. De exemplu, $3 \frac(11)(13)=\frac(33)(13)$ și $-2 \frac(4)(5)=-\frac(14)(5)$.
• Final zecimalși o fracție periodică infinită, care poate fi reprezentată ca o fracție obișnuită. De exemplu, $-7,73=-\frac(773)(100)$, $7,(3)=-7 \frac(1)(3)=-\frac(22)(3)$.

Nota 1

Rețineți că o fracție zecimală neperiodică infinită nu aparține numerelor raționale, deoarece nu poate fi reprezentată ca o fracție obișnuită.

Exemplul 1

Numerele naturale $7, 670, 21\456$ sunt raționale.

Numerele întregi $76, –76, 0, –555\666$ sunt raționale.

Fracții comune $\frac(7)(11)$, $\frac(555)(4)$, $-\frac(7)(11)$, $-\frac(100)(234)$ – numere raționale .

Astfel, numerele raționale sunt împărțite în pozitive și negative. Numărul zero este rațional, dar nu este un număr rațional nici pozitiv, nici negativ.

Să formulăm mai multe scurtă definiție numere rationale.

Definiția 3

Raţional sunt numere care pot fi reprezentate ca o fracție zecimală periodică finită sau infinită.

Se pot trage următoarele concluzii:

• numere întregi pozitive și negative și numere fracționare aparțin mulțimii numerelor raționale;
• numerele raționale pot fi reprezentate ca o fracție care are un numărător întreg și un numitor natural și este un număr rațional;
• numerele raționale pot fi reprezentate ca orice fracție zecimală periodică care este un număr rațional.

Cum să determinați dacă un număr este rațional

1. Numărul este dat ca expresie numerică, care constă numai din numere raționale și semne de operații aritmetice. În acest caz, valoarea expresiei va fi un număr rațional.
2. Rădăcina pătrată a unui număr natural este un număr rațional numai dacă rădăcina conține un număr care este pătratul perfect al unui număr natural. De exemplu, $\sqrt(9)$ și $\sqrt(121)$ sunt numere raționale, deoarece $9=3^2$ și $121=11^2$.
3. Rădăcina $n$a unui număr întreg este un număr rațional numai dacă numărul de sub semnul rădăcinii este puterea $n$a unui număr întreg. De exemplu, $\sqrt(8)$ este un număr rațional, deoarece $8=2^3$.

Pe axa numerelor, numerele raționale sunt dens distribuite pe tot cuprinsul: între fiecare două numere raționale care nu sunt egale între ele, poate fi localizat cel puțin un număr rațional (deci, o mulțime infinită de numere raționale). În același timp, mulțimea numerelor raționale se caracterizează prin cardinalitate numărabilă (adică toate elementele mulțimii pot fi numerotate). Grecii antici au demonstrat că există numere care nu pot fi scrise ca fracție. Ei au arătat că nu există un număr rațional al cărui pătrat este egal cu $2$. Apoi numerele raționale s-au dovedit a fi insuficiente pentru a exprima toate mărimile, ceea ce a dus mai târziu la apariția numerelor reale. Mulțimea numerelor raționale, spre deosebire de numerele reale, este zero-dimensională.

Definiția numerelor raționale:

Un număr rațional este un număr care poate fi reprezentat ca o fracție. Numătorul unei astfel de fracții aparține mulțimii numerelor întregi, iar numitorul aparține mulțimii numerelor naturale.

De ce numerele sunt numite rationale?

În latină, raport înseamnă raport. Numere rationale poate fi reprezentat ca o relație, adică cu alte cuvinte, ca o fracție.

Exemplu de număr rațional

Numărul 2/3 este un număr rațional. De ce? Acest număr este reprezentat ca o fracție, al cărei numărător aparține mulțimii numerelor întregi, iar numitorul mulțimii numerelor naturale.

Pentru mai multe exemple de numere raționale, consultați articolul.

Numere raționale egale

Fracții diverse poate reprezenta un număr rațional.

Luați în considerare numărul rațional 3/5. Acest număr rațional este egal cu

Să reducem numărătorul și numitorul cu un factor comun de 2:

6	=	2 * 3	=	3
10		2 * 5		5

Am primit fracția 3/5, ceea ce înseamnă că

) sunt numere cu semn pozitiv sau negativ (numere întregi și fracții) și zero. Un concept mai precis al numerelor raționale sună astfel:

Numar rational- un număr care este reprezentat ca o fracție comună m/n, unde numărătorul m sunt numere întregi, iar numitorul n- numere întregi, de exemplu 2/3.

Fracțiile neperiodice infinite NU sunt incluse în mulțimea numerelor raționale.

a/b, Unde A∈ Z (A aparține numerelor întregi), b∈ N (b aparține numerelor naturale).

Utilizarea numerelor raționale în viața reală.

ÎN viata reala setul de numere raționale este folosit pentru a număra părțile unor obiecte divizibile întregi, De exemplu, prăjituri sau alte alimente care sunt tăiate în bucăți înainte de consum, sau pentru estimarea aproximativă a relațiilor spațiale ale obiectelor extinse.

Proprietățile numerelor raționale.

Proprietățile de bază ale numerelor raționale.

1. Ordine AȘi b există o regulă care vă permite să identificați fără ambiguitate 1 și doar una dintre cele 3 relații dintre ele: „<», «>" sau "=". Această regulă este - regula de ordonare si formuleaza-l astfel:

• 2 numere pozitive a=m a /n aȘi b=m b/n b sunt legate prin aceeași relație ca 2 numere întregi m a⋅ n bȘi m b⋅ N / A;
• 2 numere negative AȘi b sunt legate prin același raport ca 2 numere pozitive |b|Și |a|;
• Când A pozitivă și b- negativ, atunci a>b.

∀ a,b∈ Q(a ∨ a>b∨ a=b)

2. Operație de adăugare. Pentru toate numerele raționale AȘi b Există regula de însumare, care le atribuie un anumit număr rațional c. Mai mult decât atât, numărul în sine c- Acest sumă numere AȘi bși se notează ca (a+b) însumare.

Regula de însumare arata asa:

m a/n a + m b/n b =(m a⋅ n b + m b⋅ N / A)/(N / A⋅ n b).

∀ a,b∈ Q∃ !(a+b)∈ Q

3. Operația de înmulțire. Pentru toate numerele raționale AȘi b Există regula înmulțirii, le asociază cu un anumit număr rațional c. Se numește numărul c muncă numere AȘi b si denota (a⋅b), iar procesul de găsire a acestui număr se numește multiplicare.

Regula înmulțirii arata asa: m a n a⋅ m b n b =m a⋅ m b n a⋅ n b.

∀a,b∈Q ∃(a⋅b)∈Q

4. Tranzitivitatea relației de ordine. Pentru oricare trei numere raționale A, bȘi c Dacă A Mai puțin bȘi b Mai puțin c, Acea A Mai puțin c, si daca A egală bȘi b egală c, Acea A egală c.

∀ a,b,c∈ Q(a ∧ b ⇒ A ∧ (a = b∧ b = c⇒ a = c)

5. Comutativitatea adunării. Schimbarea locurilor termenilor raționali nu schimbă suma.

∀ a,b∈ Q a+b=b+a

6. Asociativitatea de adunare. Ordinea în care sunt adăugate 3 numere raționale nu afectează rezultatul.

∀ a,b,c∈ Q (a+b)+c=a+(b+c)

7. Prezența lui zero. Există un număr rațional 0, care păstrează orice alt număr rațional atunci când este adăugat.

∃ 0 ∈ Q∀ A∈ Q a+0=a

8. Prezența numerelor opuse. Orice număr rațional are un număr rațional opus, iar atunci când sunt adunați, rezultatul este 0.

∀ A∈ Q∃ (−a)∈ Q a+(−a)=0

9. Comutativitatea înmulțirii. Schimbarea locurilor factorilor raționali nu schimbă produsul.

∀ a,b∈ Q a⋅ b=b⋅ A

10. Asociativitatea înmulțirii. Ordinea în care sunt înmulțite 3 numere raționale nu are efect asupra rezultatului.

∀ a,b,c∈ Q(a⋅ b)⋅ c=a⋅ (b⋅ c)

11. Disponibilitatea unității. Există un număr rațional 1, acesta păstrează orice alt număr rațional în procesul de înmulțire.

∃ 1 ∈ Q∀ A∈ Q a⋅ 1=a

12. Prezența numerelor reciproce. Fiecare număr rațional, altul decât zero, are un număr rațional invers, înmulțind cu care obținem 1 .

∀ A∈ Q∃ a−1∈ Q a⋅ a−1=1

13. Distributivitatea înmulțirii în raport cu adunarea. Operația de înmulțire este legată de adunare folosind legea distributivă:

∀ a,b,c∈ Q(a+b)⋅ c=a⋅ c+b⋅ c

14. Relația dintre relația de comandă și operația de adunare. La stânga și partea dreapta Pentru inegalitățile raționale, se adaugă același număr rațional.

∀ a,b,c∈ Q a ⇒ a+c

15. Relația dintre relația de ordine și operația de înmulțire. Laturile stânga și dreapta ale unei inegalități raționale pot fi înmulțite cu același număr rațional nenegativ.

∀ a,b,c∈ Q c>0∧ A ⇒ A⋅ c ⋅ c

16. Axioma lui Arhimede. Oricare ar fi numărul rațional A, este ușor să luați atât de multe unități încât suma lor va fi mai mare A.

După cum am văzut deja, mulțimea numerelor naturale

este închis la adunare și înmulțire și mulțimea numerelor întregi

închis la adunare, înmulțire și scădere. Cu toate acestea, niciuna dintre aceste mulțimi nu este închisă sub diviziune, deoarece împărțirea numerelor întregi poate duce la fracții, ca în cazurile 4/3, 7/6, -2/5 etc. Mulțimea tuturor acestor fracții formează mulțimea numerelor raționale. Astfel, un număr rațional (fracție rațională) este un număr care poate fi reprezentat sub forma , unde a și d sunt numere întregi, iar d nu este egal cu zero. Să facem câteva comentarii despre această definiție.

1) Am cerut ca d să fie diferit de zero. Această cerință (scrisă matematic ca inegalitate) este necesară deoarece aici d este un divizor. Luați în considerare următoarele exemple:

Cazul 1. .

Cazul 2...

În cazul 1, d este un divizor în sensul capitolului anterior, adică 7 este un divizor exact al lui 21. În cazul 2, d este încă un divizor, dar într-un sens diferit, deoarece 7 nu este un divizor exact al lui 25 .

Dacă numim 25 dividend și 7 divizor, obținem câtul de 3 și restul de 4. Deci, cuvântul divizor este folosit aici într-un sens mai general și se aplică la Mai mult cazuri decât în ​​Cap. I. Cu toate acestea, în cazuri precum Cazul 1, conceptul de divizor introdus în Cap. eu; de aceea este necesar, ca în cap. I, exclud posibilitatea d = 0.

2) Rețineți că, în timp ce expresiile număr rațional și fracție rațională sunt sinonime, cuvântul fracție în sine este folosit pentru a desemna orice expresie algebrica constând dintr-un numărător și un numitor, cum ar fi

3) Definiția unui număr rațional include expresia „un număr care poate fi reprezentat sub forma , unde a și d sunt numere întregi și . De ce nu poate fi înlocuit cu expresia „un număr de forma , unde a și d sunt numere întregi și Motivul pentru aceasta este faptul că există infinite moduri de a exprima aceeași fracție (de exemplu, 2/3 poate se scrie, de asemenea, ca 4/6, 6/9 sau sau 213/33, sau, etc.), și este de dorit pentru noi ca definiția noastră a unui număr rațional să nu depindă de modul particular de exprimare a acestuia.

O fracție este definită în așa fel încât valoarea ei să nu se modifice atunci când numărătorul și numitorul sunt înmulțite cu același număr. Cu toate acestea, nu este întotdeauna posibil să spunem doar privind o anumită fracție dacă este rațională sau nu. Luați în considerare, de exemplu, numerele

Nici unul dintre ele din intrarea pe care am ales-o nu are forma , unde a și d sunt numere întregi.

Putem, totuși, să efectuăm o serie de transformări aritmetice asupra primei fracții și să obținem

Astfel, ajungem la o fracție egală cu fracția inițială, pentru care . Numărul este așadar rațional, dar nu ar fi rațional dacă definiția unui număr rațional ar presupune ca numărul să fie de forma a/b, unde a și b sunt numere întregi. În cazul conversiei fracțiilor

duce la un număr. În capitolele următoare vom afla că un număr nu poate fi reprezentat ca un raport de două numere întregi și, prin urmare, nu este rațional sau se spune că este irațional.

4) Rețineți că fiecare număr întreg este rațional. După cum tocmai am văzut, acest lucru este adevărat în cazul numărului 2. În cazul general al numerelor întregi arbitrare, se poate atribui, în mod similar, un numitor de 1 fiecăruia dintre ele și se poate obține reprezentarea lor ca fracții raționale.

Tema numerelor raționale este destul de extinsă. Puteți vorbi despre asta la nesfârșit și scrie lucrări întregi, de fiecare dată fiind surprins de noi caracteristici.

Pentru a evita greșelile în viitor, în această lecție vom aprofunda puțin în subiectul numerelor raționale, vom aduna informațiile necesare din ea și vom merge mai departe.

Conținutul lecției

Ce este un număr rațional

Un număr rațional este un număr care poate fi reprezentat ca o fracție, unde A- acesta este numărătorul fracției, b este numitorul fracției. în plus b nu trebuie să fie zero deoarece împărțirea la zero nu este permisă.

Numerele raționale includ următoarele categorii de numere:

• numere întregi (de exemplu −2, −1, 0 1, 2 etc.)

• fracții zecimale (de exemplu 0,2 etc.)

• fracții periodice infinite (de exemplu 0, (3), etc.)

Fiecare număr din această categorie poate fi reprezentat ca o fracție.

Exemplul 1. Numărul întreg 2 poate fi reprezentat ca o fracție. Aceasta înseamnă că numărul 2 se aplică nu numai numerelor întregi, ci și celor raționale.

Exemplul 2. Un număr mixt poate fi reprezentat ca o fracție. Această fracție se obține prin conversia unui număr mixt într-o fracție improprie

Aceasta înseamnă că un număr mixt este un număr rațional.

Exemplul 3. Decimalul 0,2 poate fi reprezentat ca o fracție. Această fracție a fost obținută prin conversia fracției zecimale 0,2 într-o fracție comună. Dacă întâmpinați dificultăți în acest moment, repetați subiectul.

Deoarece fracția zecimală 0,2 poate fi reprezentată ca o fracție, înseamnă că aparține și numerelor raționale.

Exemplul 4. Fracția periodică infinită 0, (3) poate fi reprezentată ca o fracție. Această fracție se obține prin conversia unei fracții periodice pure într-o fracție obișnuită. Dacă întâmpinați dificultăți în acest moment, repetați subiectul.

Deoarece fracția periodică infinită 0, (3) poate fi reprezentată ca o fracție, înseamnă că aparține și numerelor raționale.

În viitor, vom numi din ce în ce mai mult toate numerele care pot fi reprezentate ca o fracție printr-o frază - numere rationale.

Numere raționale pe linia de coordonate

Ne-am uitat la linia de coordonate când am studiat numerele negative. Amintiți-vă că aceasta este o dreaptă pe care se află multe puncte. După cum urmează:

Această figură arată un mic fragment al liniei de coordonate de la -5 la 5.

Marcarea numerelor întregi de forma 2, 0, −3 pe linia de coordonate nu este dificilă.

Lucrurile sunt mult mai interesante cu alte numere: cu fracții obișnuite, numere mixte, zecimale etc. Aceste numere se află între numere întregi și există infinit multe dintre aceste numere.

De exemplu, să marchem un număr rațional pe linia de coordonate. Acest număr se află exact între zero și unu

Să încercăm să înțelegem de ce fracția este situată brusc între zero și unu.

După cum am menționat mai sus, între numere întregi se află alte numere - fracții obișnuite, zecimale, numere mixte etc. De exemplu, dacă măriți o secțiune a liniei de coordonate de la 0 la 1, puteți vedea următoarea imagine

Se poate observa că între numerele întregi 0 și 1 există și alte numere raționale, care sunt fracții zecimale familiare. Aici puteți vedea fracția noastră, care este situată în același loc cu fracția zecimală 0,5. O examinare atentă a acestei figuri oferă un răspuns la întrebarea de ce se află exact acolo fracția.

O fracție înseamnă împărțirea a 1 la 2. Și dacă împărțim 1 la 2, obținem 0,5

Fracția zecimală 0,5 poate fi deghizată ca alte fracții. Din proprietatea de bază a unei fracții, știm că dacă numărătorul și numitorul unei fracții sunt înmulțite sau împărțite cu același număr, atunci valoarea fracției nu se modifică.

Dacă numărătorul și numitorul unei fracții sunt înmulțite cu orice număr, de exemplu cu numărul 4, atunci obținem o nouă fracție, iar această fracție este, de asemenea, egală cu 0,5

Aceasta înseamnă că pe linia de coordonate fracția poate fi plasată în același loc în care a fost localizată fracția

Exemplul 2. Să încercăm să marchem un număr rațional pe coordonată. Acest număr este situat exact între numerele 1 și 2

Valoarea fracției este 1,5

Dacă creștem secțiunea liniei de coordonate de la 1 la 2, vom vedea următoarea imagine:

Se poate observa că între numerele întregi 1 și 2 există și alte numere raționale, care sunt fracții zecimale familiare. Aici puteți vedea fracția noastră, care se află în același loc cu fracția zecimală 1,5.

Am mărit anumite segmente de pe linia de coordonate pentru a vedea numerele rămase aflate pe acest segment. Drept urmare, am descoperit fracții zecimale care aveau o cifră după virgulă.

Dar acestea nu au fost singurele numere aflate pe aceste segmente. Există infinit de multe numere care se află pe linia de coordonate.

Nu este greu de ghicit că între fracțiile zecimale care au o cifră după virgulă, există și alte fracții zecimale care au două cifre după virgulă. Cu alte cuvinte, sutimi de segment.

De exemplu, să încercăm să vedem numerele care se află între fracțiile zecimale 0,1 și 0,2

Alt exemplu. Fracțiile zecimale care au două cifre după virgulă și se află între zero și numărul rațional 0,1 arată astfel:

Exemplul 3. Să marchem un număr rațional pe linia de coordonate. Acest număr rațional va fi foarte aproape de zero

Valoarea fracției este 0,02

Dacă creștem segmentul de la 0 la 0,1, vom vedea exact unde se află numărul rațional

Se poate observa că numărul nostru rațional este situat în același loc cu fracția zecimală 0,02.

Exemplul 4. Să marchem numărul rațional 0 pe linia de coordonate, (3)

Numărul rațional 0, (3) este o fracție periodică infinită. Partea sa fracționată nu se termină niciodată, este infinită

Și deoarece numărul 0,(3) are o parte fracțională infinită, aceasta înseamnă că nu vom putea găsi locul exact pe linia de coordonate în care se află acest număr. Putem indica acest loc doar aproximativ.

Numărul rațional 0,33333... va fi situat foarte aproape de fracția zecimală comună 0,3

Această cifră nu arată locația exactă a numărului 0,(3). Aceasta este doar o ilustrare pentru a arăta cât de aproape poate fi fracția periodică 0.(3) de fracția zecimală obișnuită 0.3.

Exemplul 5. Să marchem un număr rațional pe linia de coordonate. Acest număr rațional va fi situat la mijloc între numerele 2 și 3

Acesta este 2 (două numere întregi) și (o secundă). O fracție se mai numește și „jumătate”. Prin urmare, am marcat două segmente întregi și o altă jumătate de segment pe linia de coordonate.

Dacă convertim un număr mixt într-o fracție improprie, obținem o fracție obișnuită. Această fracție de pe linia de coordonate va fi situată în același loc cu fracția

Valoarea fracției este 2,5

Dacă creștem secțiunea liniei de coordonate de la 2 la 3, vom vedea următoarea imagine:

Se poate observa că numărul nostru rațional este situat în același loc cu fracția zecimală 2,5

Minus înaintea unui număr rațional

În lecția anterioară, care a fost numită, am învățat cum să împărțim numerele întregi. Atât numerele pozitive, cât și cele negative ar putea acționa ca dividend și divizor.

Să luăm în considerare cea mai simplă expresie

(−6) : 2 = −3

În această expresie, dividendul (−6) este un număr negativ.

Acum luați în considerare a doua expresie

6: (−2) = −3

Aici divizorul (−2) este deja un număr negativ. Dar în ambele cazuri obținem același răspuns -3.

Având în vedere că orice diviziune poate fi scrisă ca fracție, putem scrie și exemplele discutate mai sus ca fracție:

Și deoarece în ambele cazuri valoarea fracției este aceeași, minusul fie la numărător, fie la numitor poate fi făcut comun prin plasarea lui în fața fracției.

Prin urmare, puteți pune un semn egal între expresiile și și pentru că au același sens

Pe viitor, atunci când lucrăm cu fracții, dacă întâlnim un minus la numărător sau numitor, vom face acest minus comun plasându-l în fața fracției.

Numerele raționale opuse

Ca un număr întreg, un număr rațional are numărul său opus.

De exemplu, pentru un număr rațional număr opus este . Este situat pe linia de coordonate simetric față de locația relativă la originea coordonatelor. Cu alte cuvinte, ambele numere sunt echidistante de origine

Conversia numerelor mixte în fracții improprii

Știm că pentru a transforma un număr mixt într-o fracție improprie, trebuie să înmulțim întreaga parte cu numitorul părții fracționale și să o adunăm la numărătorul părții fracționale. Numărul rezultat va fi numărătorul noii fracții, dar numitorul rămâne același.

De exemplu, să convertim un număr mixt într-o fracție improprie

Înmulțiți întreaga parte cu numitorul părții fracționale și adăugați numărătorul părții fracționale:

Să calculăm această expresie:

(2 × 2) + 1 = 4 + 1 = 5

Numărul rezultat 5 va fi numărătorul noii fracții, dar numitorul va rămâne același:

Complet această procedură se scrie astfel:

Pentru a returna numărul mixt original, este suficient să selectați întreaga parte din fracție

Dar această metodă de conversie a unui număr mixt într-o fracție improprie este aplicabilă numai dacă numărul mixt este pozitiv. Pentru număr negativ această metodă nu va funcționa.

Să luăm în considerare fracția. Să selectăm întreaga parte a acestei fracțiuni. Primim

Pentru a returna fracția originală, trebuie să convertiți numărul mixt într-o fracție necorespunzătoare. Dar dacă folosim vechea regulă, și anume, înmulțim întreaga parte cu numitorul părții fracționale și adunăm numărătorul părții fracționale la numărul rezultat, obținem următoarea contradicție:

Am primit o fracție, dar ar fi trebuit să primim o fracție.

Concluzionăm că numărul mixt a fost convertit în mod incorect într-o fracție improprie

Pentru a converti corect un număr mixt negativ într-o fracție improprie, trebuie să înmulțiți întreaga parte cu numitorul părții fracționale și din numărul rezultat scădea numărătorul părții fracționale. În acest caz, totul va fi la locul său pentru noi

Un număr mixt negativ este opusul unui număr mixt. Dacă un număr mixt pozitiv este situat în partea dreaptă și arată astfel