Suma totală a tuturor unghiurilor unui triunghi în grade. Teorema Sumei Triunghiului Unghiului

Teorema. Cantitatea de casă unghiuri triunghiulare egal cu două unghiuri drepte.

Să luăm un triunghi ABC (Fig. 208). Să notăm unghiurile sale interioare cu numerele 1, 2 și 3. Să demonstrăm că

∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°.

Să desenăm printr-un vârf al triunghiului, de exemplu B, o dreaptă MN paralelă cu AC.

La vârful B avem trei unghiuri: ∠4, ∠2 și ∠5. Suma lor este un unghi drept, prin urmare este egală cu 180°:

∠4 + ∠2 + ∠5 = 180°.

Dar ∠4 = ∠1 sunt unghiuri transversale interne cu drepte paralele MN și AC și secante AB.

∠5 = ∠3 - acestea sunt unghiuri transversale interne cu drepte paralele MN și AC și secante BC.

Aceasta înseamnă că ∠4 și ∠5 pot fi înlocuite cu egalii lor ∠1 și ∠3.

Prin urmare, ∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°. Teorema este demonstrată.

2. Proprietatea unghiului extern al unui triunghi.

Teorema. Un unghi exterior al unui triunghi este egal cu suma a două unghiuri interioare care nu sunt adiacente acestuia.

De fapt, în triunghiul ABC (Fig. 209) ∠1 + ∠2 = 180° - ∠3, dar și ∠ВСD, unghiul extern al acestui triunghi, neadiacent cu ∠1 și ∠2, este de asemenea egal cu 180° - ∠3 .

Prin urmare:

∠1 + ∠2 = 180° - ∠3;

∠BCD = 180° - ∠3.

Prin urmare, ∠1 + ∠2= ∠BCD.

Proprietatea derivată a unghiului exterior al unui triunghi clarifică conținutul teoremei dovedite anterior asupra unghiului exterior al unui triunghi, care afirma doar că unghiul exterior al unui triunghi este mai mare decât fiecare unghi interior al unui triunghi care nu este adiacent acestuia; acum se stabilește că unghiul exterior este egal cu suma ambelor unghiuri interne care nu sunt adiacente acestuia.

3. Proprietatea unui triunghi dreptunghic cu un unghi de 30°.

Teorema. Un catet al unui triunghi dreptunghic situat opus unui unghi de 30° este egal cu jumătate din ipotenuză.

Fie unghiul B din triunghiul dreptunghic ACB egal cu 30° (Fig. 210). Apoi, celălalt unghi ascuțit al său va fi egal cu 60°.

Să demonstrăm că catetul AC este egal cu jumătate din ipotenuza AB. Să extindem cateta AC dincolo de vârful unghiului drept C și să lăsăm deoparte un segment CM egal cu segmentul AC. Să conectăm punctul M de punctul B. Triunghiul rezultat ВСМ este egal cu triunghiul ACB. Vedem că fiecare unghi al triunghiului ABM este egal cu 60°, prin urmare acest triunghi este un triunghi echilateral.

Catul AC este egal cu jumătate AM și, deoarece AM este egal cu AB, catetul AC va fi egal cu jumătate din ipotenuza AB.

Materialele aflate pe această pagină sunt protejate prin drepturi de autor. Copierea pentru postare pe alte site-uri este permisă numai cu acordul expres al autorului și al administrației site-ului.

Suma unghiurilor unui triunghi.

Smirnova I. N., profesor de matematică.
Prospect informativ pentru o lecție deschisă.

Scopul lecției metodologice: prezenta profesorilor metode moderneși tehnici de utilizare a instrumentelor TIC în tipuri variate activități educaționale.
Tema lecției: Suma unghiurilor unui triunghi.
Numele lecției:„Cunoașterea este cunoaștere numai atunci când este dobândită prin eforturile gândurilor proprii și nu prin memorie.” L. N. Tolstoi.
Inovații metodologice care vor sta la baza lecției.
Lecția va arăta metode cercetare științifică utilizarea TIC (utilizarea experimentelor matematice ca una dintre formele de obținere a noilor cunoștințe; testarea experimentală a ipotezelor).
Prezentare generală a modelului de lecție.

1. Motivația studierii teoremei.
2. Dezvăluirea conținutului teoremei în timpul unui experiment matematic folosind setul educațional și metodologic „Matematică vie”.
3. Motivația necesității de a demonstra teorema.
4. Lucrați asupra structurii teoremei.
5. Găsirea unei dovezi a teoremei.
6. Demonstrarea teoremei.
7. Consolidarea formulării teoremei și demonstrarea acesteia.
8. Aplicarea teoremei.

Lecție de geometrie în clasa a VII-a
conform manualului „Geometrie 7-9”
pe tema: „Suma unghiurilor unui triunghi”.

Tip de lecție: lectie de invatare a materialelor noi.
Obiectivele lecției:
Educational: demonstrați teorema asupra sumei unghiurilor unui triunghi; dobândiți abilități în lucrul cu programul „Matematică vie”, dezvoltând conexiuni interdisciplinare.
Educational: îmbunătățirea capacității de a efectua în mod conștient tehnici de gândire precum compararea, generalizarea și sistematizarea.
Educational: promovarea independenței și a capacității de a lucra în conformitate cu planul planificat.
Echipament: dulap multimedia, tablă interactivă, carduri de plan munca practica, programul „Matematică vie”.

Structura lecției.

1. Actualizarea cunoștințelor.
   1. Mobilizarea începe lecția.
   2. Enunțarea unei probleme problematice pentru a motiva studiul unui material nou.
   3. Stabilirea unei sarcini de învățare.
2. 1. Lucrare practică „Suma unghiurilor unui triunghi”.
   2. Demonstrarea teoremei asupra sumei unghiurilor unui triunghi.
3. 1. Rezolvarea unei probleme problematice.
   2. Rezolvarea problemelor folosind desene gata făcute.
   3. Rezumând lecția.
   4. Stabilirea temelor.

În timpul orelor.

1. Actualizarea cunoștințelor.

   Planul lecției:

   1. Stabiliți și prezentați o ipoteză experimental despre suma unghiurilor oricărui triunghi.
   2. Demonstrați această presupunere.
   3. Întăriți faptul stabilit.
2. Formarea de noi cunoștințe și metode de acțiune.
   1. Lucrare practică „Suma unghiurilor unui triunghi”.

      Elevii se așează la computere și li se dau cartonașe cu un plan pentru lucrări practice.

      Lucrare practică pe tema „Suma unghiurilor unui triunghi” (carte exemplu)

      Imprimați cardul
      

      Elevii predau rezultatele lucrărilor practice și se așează la birourile lor.
      După discutarea rezultatelor lucrărilor practice, se emite o ipoteză că suma unghiurilor unui triunghi este 180°.
      Profesor: De ce nu putem spune încă că suma unghiurilor oricărui triunghi este egală cu 180°?
      Student: Este imposibil să faci construcții absolut exacte și nici să faci măsurători absolut exacte, chiar și pe calculator.
      Afirmația că suma unghiurilor unui triunghi este 180° se aplică numai triunghiurilor pe care le-am considerat. Nu putem spune nimic despre alte triunghiuri, deoarece nu le-am măsurat unghiurile.
      Profesor: Ar fi mai corect să spunem: triunghiurile pe care le-am considerat au o sumă de unghiuri aproximativ egală cu 180°. Pentru a ne asigura că suma unghiurilor unui triunghi este exact egală cu 180°, iar pentru orice triunghi, mai trebuie să efectuăm raționamentul adecvat, adică să dovedim validitatea afirmației sugerate de experiență.
      

   2. Demonstrarea teoremei asupra sumei unghiurilor unui triunghi.

      Elevii își deschid caietele și notează subiectul lecției „Suma unghiurilor unui triunghi”.

      Lucrați asupra structurii teoremei.

      Pentru a formula teorema, răspundeți la următoarele întrebări:
      • Ce triunghiuri au fost folosite în procesul de măsurare?
      • Ce este inclus în condițiile teoremei (ce este dat)?
      • Ce am găsit în timpul măsurătorilor?
      • Care este concluzia teoremei (ce trebuie demonstrat)?
      • Încercați să formulați teorema cu privire la suma unghiurilor unui triunghi.

      Construirea desenului și scurta înregistrare a teoremei

      În această etapă, elevii sunt rugați să facă un desen și să noteze ceea ce este dat și ce trebuie dovedit.

      Construirea desenului și scurta înregistrare a teoremei.

      Dat: Triunghiul ABC.
      Dovedi:
      டA + டB + டC = 180°.

      Găsirea unei dovezi a teoremei

      Când căutați o demonstrație, ar trebui să încercați să extindeți condiția sau concluzia teoremei. În teorema privind suma unghiurilor unui triunghi, încercările de a extinde condiția sunt fără speranță, așa că este rezonabil să lucrăm cu studenții la elaborarea concluziei.
      Profesor: Care afirmații vorbesc despre unghiuri a căror sumă este egală cu 180°?
      Student: Dacă două drepte paralele sunt intersectate de o transversală, atunci suma unghiurilor interioare unilaterale este de 180°.
      Sumă colțurile adiacente egal cu 180°.
      Profesor: Să încercăm să folosim prima afirmație pentru a o demonstra. În acest sens, este necesar să se construiască două drepte paralele și o secanta, dar acest lucru trebuie făcut în așa fel încât cel mai mare număr colțurile triunghiului au devenit interne sau incluse în ele. Cum se poate realiza acest lucru?
      

      Găsirea unei dovezi a teoremei.

      

      Student: Apoi, trageți o linie paralelă cu cealaltă parte prin unul dintre vârfurile triunghiului latură va fi o secanta. De exemplu, prin vârful B.
      Profesor: Numiți unghiurile unilaterale interne formate de aceste drepte și transversala.
      Student: Unghiurile DBA și BAC.
      Profesor: Ce unghiuri adună până la 180°?
      Student:டDBA și டBAC.
      Profesor: Ce se poate spune despre mărimea unghiului ABD?
      Student: Valoarea sa este egală cu suma unghiurilor ABC și SVK.
      Profesor: De ce afirmație avem nevoie pentru a demonstra teorema?
      Student:டDBC = டACB.
      Profesor: Care sunt aceste unghiuri?
      Student: Cele interne întinse în cruce.
      Profesor: Pe ce bază putem spune că sunt egali?
      Student: După proprietatea unghiurilor transversale interne pentru drepte paralele și transversale.

      Ca rezultat al căutării unei demonstrații, se elaborează un plan pentru demonstrarea teoremei:
      

      Plan de demonstrare a teoremei.

      1. Desenați o linie dreaptă prin unul dintre vârfurile triunghiului paralel cu latura opusă.
      2. Demonstrați egalitatea unghiurilor transversale interne.
      3. Scrieți suma unghiurilor unilaterale interioare și exprimați-le în termenii unghiurilor triunghiului.

      Dovada și înregistrarea acesteia.

      
      1. Să facem BD || AC (axioma liniilor paralele).
      2. ட3 = ட4 (deoarece acestea sunt unghiuri transversale cu BD || AC și secanta BC).
      3. டA + டАВD = 180° (deoarece acestea sunt unghiuri unilaterale cu BD || AC și secanta AB).
      4. டA + டАВD = ட1 + (ட2 + ட4) = ட1 + ட2 + ட3 = 180°, ceea ce trebuia demonstrat.

      Consolidarea formulării teoremei și demonstrarea acesteia.

      Pentru a stăpâni formularea teoremei, elevii sunt rugați să realizeze următoarele sarcini:

      1. Prezentați teorema pe care tocmai am demonstrat-o.
      2. Evidențiați condiția și concluzia teoremei.
      3. La ce forme se aplică teorema?
      4. Formulați o teoremă cu cuvintele „dacă... atunci...”.
3. Aplicarea cunoștințelor, dezvoltarea deprinderilor și abilităților.

1) Suma unghiurilor unui triunghi este 180°.

Dovada

Fie ABC" un triunghi arbitrar. Să trasăm o linie dreaptă prin vârful B, paralelă cu dreapta AC (o astfel de dreaptă se numește dreptă euclidiană). Marcați punctul D pe acesta astfel încât punctele A și D să se afle pe laturile opuse ale dreptei BC. Unghiurile DBC si ACB sunt egale ca interiorul situat transversal, formate din secanta BC cu drepte paralele AC si BD. Prin urmare, suma unghiurilor unui triunghi la varfurile B si C este egala cu unghiul ABD.Suma tuturor celor trei unghiuri ale unui triunghi este egală cu suma unghiurilor ABD și BAC.Deoarece aceste unghiuri sunt unilaterale pentru paralele AC și BD la secanta AB, atunci suma lor este egală cu 180°.Teorema este dovedit.
2) Unghiul exterior al unui triunghi la un vârf dat este unghiul adiacent unghiului triunghiului la acest vârf.

Teoremă: Un unghi exterior al unui triunghi este egal cu suma a două unghiuri ale triunghiului care nu sunt adiacente acestuia

Dovada. Fie ABC triunghiul dat. Prin teorema privind suma unghiurilor dintr-un triunghi
∠ ABC + ∠ BCA + ∠ CAB = 180º.
asta implică
∠ ABC + ∠ CAB = 180 º - ∠ BCA = ∠ BCD
Teorema este demonstrată.

Din teoremă rezultă:
Un unghi exterior al unui triunghi este mai mare decât orice unghi al triunghiului care nu este adiacent acestuia.
3) Suma unghiurilor triunghiulare = 180 de grade. Dacă unul dintre unghiuri este drept (90 de grade), celelalte două sunt tot 90. Asta înseamnă că fiecare dintre ele este mai mic de 90, adică sunt acute. dacă unul dintre unghiuri este obtuz, atunci celelalte două sunt mai mici de 90, adică sunt clar acute.
4) obtuz - mai mult de 90 de grade
acută - mai puțin de 90 de grade
5) a. Un triunghi în care unul dintre unghiuri are 90 de grade.
b. Picioare și ipotenuză
6) 6°. În fiecare triunghi, unghiul mai mare se află opus laturii mai mari și invers: unghiul mai mare se află opus unghiului mai mare. Orice segment are unul și un singur punct de mijloc.
7) Conform teoremei lui Pitagora: pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor catetelor, ceea ce înseamnă că ipotenuza este mai mare decât fiecare catete.
8) --- la fel ca 7
9) Suma unghiurilor unui triunghi este de 180 de grade. ce ar fi dacă fiecare latură a triunghiului ar fi mai mult decât suma celelalte două laturi, atunci suma unghiurilor ar fi mai mare decât 180, ceea ce este imposibil. Prin urmare, fiecare latură a triunghiului este mai mică decât suma celorlalte două laturi.
10) Suma unghiurilor oricărui triunghi este de 180 de grade.
Deoarece acest triunghi este dreptunghic, unul dintre unghiurile sale este drept, adică egal cu 90 de grade.
Prin urmare, suma celorlalte două unghiuri ascuțite este 180-90=90 de grade.
11) 1. Să considerăm un triunghi dreptunghic ABC în care unghiul A este un unghi drept, unghiul B = 30 de grade și unghiul C = 60. Să atașăm triunghiului ABC un triunghi egal ABD. Obținem triunghiuri BCD în care unghiul B = unghiul D = 60 de grade, deci DC = BC. Dar conform construcției, AC este 1/2 BC, ceea ce trebuia demonstrat.2. Dacă catetul unui triunghi dreptunghic este egal cu jumătate din ipotenuză, atunci unghiul opus acestui catet este egal cu 30 de grade. Să demonstrăm acest lucru. Să considerăm un triunghi dreptunghic ABC, al cărui catet AC este egal cu jumătatea ipotenuzei AC. Să atașăm triunghiului ABC un triunghi egal ABD. Obține un triunghi echilateral BCD. Unghiurile unui triunghi echilateral sunt egale între ele (deoarece se află laturi opuse egale unghiuri egale), deci fiecare dintre ele = 60 de grade. Dar unghiul DBC = 2 unghiuri ABC, deci unghiul ABC = 30 de grade, ceea ce trebuia demonstrat.

. (Diapozitivul 1)

Tip de lecție: lectie de invatare a materialelor noi.

Obiectivele lecției:

• Educational:
  • luați în considerare teorema despre suma unghiurilor unui triunghi,
  • arata aplicarea teoremei in rezolvarea problemelor.
• Educational:
  • promovarea unei atitudini pozitive a elevilor față de cunoaștere,
  • Insuflați-le elevilor încrederea în sine prin lecții.
• De dezvoltare:
  • dezvoltarea gândirii analitice,
  • dezvoltarea „abilităților de a învăța”: folosiți cunoștințele, abilitățile și abilitățile în procesul educațional,
  • dezvoltare gandire logica, capacitatea de a-ți formula clar gândurile.

Echipament: tablă interactivă, prezentare, carduri.

ÎN CURILE CURĂRILOR

I. Moment organizatoric

– Astăzi la clasă ne vom aminti definițiile triunghiurilor drepte, isoscel și echilaterale. Să repetăm ​​proprietățile unghiurilor triunghiurilor. Folosind proprietățile unghiurilor interne unilaterale și interne transversale, vom demonstra teorema despre suma unghiurilor unui triunghi și vom învăța cum să o aplicăm atunci când rezolvăm probleme.

II. Oral(Diapozitivul 2)

1) Găsiți triunghiuri dreptunghiulare, isoscele și echilaterale în imagini.
2) Definiți aceste triunghiuri.
3) Formulați proprietățile unghiurilor unui triunghi echilateral și isoscel.

4) În imagine KE II NH. (diapozitivul 3)

– Specificați secante pentru aceste linii
– Găsiți unghiuri interioare unilaterale, unghiuri interioare situate în cruce, denumiți proprietățile lor

III. Explicația noului material

Teorema. Suma unghiurilor unui triunghi este 180°

Conform formulării teoremei, băieții construiesc un desen, notează condiția și concluzia. Răspunzând la întrebări, ei demonstrează în mod independent teorema.

Dat: Dovedi:

Dovada:

1. Prin vârful B al triunghiului trasăm o dreaptă BD II AC.
2. Specificați secante pentru drepte paralele.
3. Ce se poate spune despre unghiurile CBD și ACB? (notează)
4. Ce știm despre unghiurile CAB și ABD? (notează)
5. Înlocuiți unghiul CBD cu unghiul ACB
6. Trageți o concluzie.

IV. Termină propoziția.(Diapozitivul 4)

1. Suma unghiurilor unui triunghi este...
2. Într-un triunghi, unul dintre unghiuri este egal, celălalt, al treilea unghi al triunghiului este egal cu...
3. Suma unghiurilor ascuțite ale unui triunghi dreptunghic este...
4. Unghiurile unui triunghi dreptunghic isoscel sunt egale...
5. Unghiurile unui triunghi echilateral sunt egale...
6. Dacă unghiul dintre laturile laterale ale unui triunghi isoscel este 1000, atunci unghiurile de la bază sunt egale...

V. Puțină istorie.(Diapozitive 5-7)

Demonstrarea teoremei privind suma unghiurilor unui triunghi „Suma de interne unghiuri ale unui triunghi egal cu două unghiuri drepte” este atribuită lui Pitagora (580-500 î.Hr.)
Omul de știință grec antic Proclus (410-485 d.Hr.),

Un triunghi este un poligon care are trei laturi (trei unghiuri). Cel mai adesea, laturile sunt indicate prin litere mici corespunzătoare majusculelor care reprezintă vârfurile opuse. În acest articol ne vom familiariza cu tipurile acestor figuri geometrice, teorema care determină cu ce este egală suma unghiurilor unui triunghi.

Tipuri după dimensiunea unghiului

Distinge următoarele tipuri poligon cu trei vârfuri:

• unghiular acut, în care toate colțurile sunt acute;
• dreptunghiular, având un unghi drept, generatorii săi se numesc picioare, iar latura care este situată opusă unghi drept, se numește ipotenuză;
• obtuz când unul ;
• isoscel, în care două laturi sunt egale și se numesc laterale, iar a treia este baza triunghiului;
• echilateral, având toate cele trei laturi egale.

Proprietăți

Există proprietăți de bază care sunt caracteristice fiecărui tip de triunghi:

• Opus laturii mai mari există întotdeauna un unghi mai mare și invers;
• laturi egale opuse există unghiuri egale și invers;
• orice triunghi are două unghiuri ascuțite;
• un unghi extern este mai mare decât orice unghi intern care nu este adiacent acestuia;
• suma oricăror două unghiuri este întotdeauna mai mică de 180 de grade;
• unghiul exterior este egal cu suma celorlalte două unghiuri care nu se intersectează cu el.

Teorema Sumei Triunghiului Unghiului

Teorema spune că dacă adunăm toate unghiurile unui dat figură geometrică, care se află pe planul euclidian, atunci suma lor va fi de 180 de grade. Să încercăm să demonstrăm această teoremă.

Să avem un triunghi arbitrar cu vârfurile KMN.

Prin vârful M trasăm KN (această linie se mai numește și linie dreaptă euclidiană). Marcați punctul A pe el astfel încât punctele K și A să fie situate cu laturi diferite direct MN. Obținem unghiuri egale AMN și KNM, care, ca și cele interne, sunt încrucișate și sunt formate din secantele MN împreună cu dreptele KH și MA, care sunt paralele. De aici rezultă că suma unghiurilor triunghiului situat la vârfurile M și H este egală cu dimensiunea unghiului KMA. Toate cele trei unghiuri formează o sumă care este egală cu suma unghiurilor KMA și MKN. Deoarece aceste unghiuri sunt interne unilaterale în raport cu liniile drepte paralele KN și MA cu o secantă KM, suma lor este de 180 de grade. Teorema este demonstrată.

Consecinţă

Din teorema demonstrată mai sus rezultă următorul corolar: orice triunghi are două unghiuri ascuțite. Pentru a demonstra acest lucru, să presupunem că această figură geometrică are un singur unghi ascuțit. De asemenea, se poate presupune că niciunul dintre colțuri nu este acut. În acest caz, trebuie să existe cel puțin două unghiuri a căror magnitudine este egală sau mai mare de 90 de grade. Dar atunci suma unghiurilor va fi mai mare de 180 de grade. Dar acest lucru nu se poate întâmpla, deoarece conform teoremei, suma unghiurilor unui triunghi este egală cu 180° - nici mai mult, nici mai puțin. Acesta este ceea ce trebuia dovedit.

Proprietatea unghiurilor externe

Care este suma unghiurilor exterioare ale unui triunghi? Răspunsul la această întrebare poate fi obținut folosind una dintre cele două metode. Primul este că este necesar să se găsească suma unghiurilor, care sunt luate câte unul la fiecare vârf, adică trei unghiuri. Al doilea implică faptul că trebuie să găsiți suma tuturor celor șase unghiuri de vârf. Mai întâi, să ne uităm la prima opțiune. Deci, triunghiul conține șase unghiuri externe - două la fiecare vârf.

Fiecare pereche are unghiuri egale deoarece sunt verticale:

∟1 = ∟4, ∟2 = ∟5, ∟3 = ∟6.

În plus, se știe că unghiul exterior al unui triunghi este egal cu suma a două interne care nu se intersectează cu acesta. Prin urmare,

∟1 = ∟A + ∟C, ∟2 = ∟A + ∟B, ∟3 = ∟B + ∟C.

Din aceasta rezultă că suma unghiurilor externe, care sunt luate câte unul la fiecare vârf, va fi egală cu:

∟1 + ∟2 + ∟3 = ∟A + ∟C + ∟A + ∟B + ∟B + ∟C = 2 x (∟A + ∟B + ∟C).

Ținând cont de faptul că suma unghiurilor este egală cu 180 de grade, putem spune că ∟A + ∟B + ∟C = 180°. Aceasta înseamnă că ∟1 + ∟2 + ∟3 = 2 x 180° = 360°. Dacă se folosește a doua opțiune, atunci suma celor șase unghiuri va fi, în consecință, de două ori mai mare. Adică, suma unghiurilor externe ale triunghiului va fi:

∟1 + ∟2 + ∟3 + ∟4 + ∟5 + ∟6 = 2 x (∟1 + ∟2 + ∟2) = 720°.

Triunghi dreptunghic

Care este suma unghiurilor ascuțite ale unui triunghi dreptunghic? Răspunsul la această întrebare, din nou, decurge din teoremă, care afirmă că unghiurile dintr-un triunghi se adună până la 180 de grade. Și afirmația noastră (proprietatea) sună așa: într-un triunghi dreptunghic colțuri ascuțite totalul este de 90 de grade. Să-i dovedim veridicitatea.

Să ne dăm un triunghi KMN, în care ∟Н = 90°. Este necesar să se demonstreze că ∟К + ∟М = 90°.

Deci, conform teoremei privind suma unghiurilor ∟К + ∟М + ∟Н = 180°. Condiția noastră spune că ∟Н = 90°. Deci, ∟К + ∟М + 90° = 180°. Adică ∟К + ∟М = 180° - 90° = 90°. Este exact ceea ce trebuia să dovedim.

Pe lângă proprietățile unui triunghi dreptunghic descrise mai sus, puteți adăuga următoarele:

• unghiurile care se află opus picioarelor sunt acute;
• ipotenuza este triunghiulară mai mare decât oricare dintre catete;
• suma catetelor este mai mare decât ipotenuza;
• Câtul triunghiului, care se află opus unghiului de 30 de grade, este jumătate din dimensiunea ipotenuzei, adică egal cu jumătate din ea.

Ca o altă proprietate a acestei figuri geometrice, putem evidenția teorema lui Pitagora. Ea afirmă că într-un triunghi cu un unghi de 90 de grade (dreptunghiular), suma pătratelor catetelor este egală cu pătratul ipotenuzei.

Suma unghiurilor unui triunghi isoscel

Mai devreme am spus că se numește un poligon isoscel cu trei vârfuri și care conține două laturi egale. Această proprietate a acestei figuri geometrice este cunoscută: unghiurile de la baza ei sunt egale. Să demonstrăm.

Să luăm triunghiul KMN, care este isoscel, KN este baza sa.

Ni se cere să demonstrăm că ∟К = ∟Н. Deci, să presupunem că MA este bisectoarea triunghiului nostru KMN. Triunghiul MKA, ținând cont de primul semn de egalitate, este egal cu triunghiul MNA. Și anume, prin condiție se dă că KM = NM, MA este latura comună, ∟1 = ∟2, întrucât MA este bisectoare. Folosind faptul că aceste două triunghiuri sunt egale, putem afirma că ∟К = ∟Н. Aceasta înseamnă că teorema este dovedită.

Dar ne interesează care este suma unghiurilor unui triunghi (isoscel). Deoarece în această privință nu are propriile sale particularități, ne vom baza pe teorema discutată mai devreme. Adică, putem spune că ∟К + ∟М + ∟Н = 180°, sau 2 x ∟К + ∟М = 180° (deoarece ∟К = ∟Н). Nu vom demonstra această proprietate, deoarece teorema despre suma unghiurilor unui triunghi în sine a fost demonstrată mai devreme.

Pe lângă proprietățile discutate despre unghiurile unui triunghi, se aplică și următoarele afirmații importante:

• la care a fost coborât pe bază, este în același timp mediana, bisectoarea unghiului care se află între laturile egale, precum și baza acestuia;
• medianele (bisectoare, înălțimi) care sunt desenate pe laturile laterale ale unei astfel de figuri geometrice sunt egale.

Triunghi echilateral

Se mai numește și regulat, acesta este triunghiul în care toate laturile sunt egale. Și, prin urmare, unghiurile sunt de asemenea egale. Fiecare are 60 de grade. Să demonstrăm această proprietate.

Să presupunem că avem un triunghi KMN. Știm că KM = NM = KN. Aceasta înseamnă că, conform proprietății unghiurilor situate la bază într-un triunghi isoscel, ∟К = ∟М = ∟Н. Deoarece, conform teoremei, suma unghiurilor unui triunghi este ∟К + ∟М + ∟Н = 180°, atunci 3 x ∟К = 180° sau ∟К = 60°, ∟М = 60°, ∟ Н = 60°. Astfel, afirmația este dovedită.

După cum se poate vedea din demonstrația de mai sus bazată pe teoremă, suma unghiurilor, ca și suma unghiurilor oricărui alt triunghi, este de 180 de grade. Nu este nevoie să demonstrăm din nou această teoremă.

Există, de asemenea, astfel de proprietăți caracteristice unui triunghi echilateral:

• mediana, bisectoarea, înălțimea într-o astfel de figură geometrică coincid, iar lungimea lor este calculată ca (a x √3): 2;
• dacă descriem un cerc în jurul unui poligon dat, atunci raza lui va fi egală cu (a x √3): 3;
• dacă înscrii un cerc într-un triunghi echilateral, atunci raza lui va fi (a x √3): 6;
• Aria acestei figuri geometrice se calculează cu formula: (a2 x √3) : 4.

Triunghi obtuz

Prin definiție, unul dintre unghiurile sale este între 90 și 180 de grade. Dar având în vedere că celelalte două unghiuri ale acestei figuri geometrice sunt acute, putem concluziona că nu depășesc 90 de grade. Prin urmare, teorema sumei unghiurilor triunghiului funcționează în calcularea sumei unghiurilor dintr-un triunghi obtuz. Se pare că putem spune cu siguranță, pe baza teoremei menționate mai sus, că suma unghiurilor unui triunghi obtuz este egală cu 180 de grade. Din nou, această teoremă nu trebuie dovedită din nou.