Cum se definește o linie dreaptă folosind două puncte. Ecuația unei drepte pe un plan. Vectorul direcție este drept. Vector normal

Ecuația unei drepte care trece prin două puncte. In articol" " Ți-am promis să te uiți la a doua modalitate de a rezolva problemele prezentate de găsire a derivatei, având în vedere un grafic al unei funcții și o tangentă la acest grafic. Vom discuta despre această metodă în , nu ratați! De ce in urmatoarea?

Faptul este că formula pentru ecuația unei linii drepte va fi folosită acolo. Desigur, am putea pur și simplu să arătăm această formulă și să vă sfătuim să o învățați. Dar este mai bine să explici de unde provine (cum este derivat). Este necesar! Dacă îl uiți, îl poți restaura rapidnu va fi dificil. Totul este prezentat mai jos în detaliu. Deci, avem două puncte A pe planul de coordonate(x 1;y 1) și B(x 2;y 2), se trasează o linie dreaptă prin punctele indicate:

Iată formula directă în sine:

*Adică, când înlocuim coordonatele specifice ale punctelor, obținem o ecuație de forma y=kx+b.

**Dacă pur și simplu „memorezi” această formulă, atunci există o probabilitate mare de a te confunda cu indicii atunci când X. În plus, indicii pot fi desemnați în diferite moduri, de exemplu:

De aceea este important să înțelegem sensul.

Acum derivarea acestei formule. Totul este foarte simplu!

Triunghiurile ABE și ACF sunt similare ca unghi ascuțit (primul semn de asemănare a triunghiurilor dreptunghiulare). Rezultă din aceasta că rapoartele elementelor corespunzătoare sunt egale, adică:

Acum pur și simplu exprimăm aceste segmente prin diferența dintre coordonatele punctelor:

Desigur, nu va exista nicio eroare dacă scrieți relațiile elementelor într-o ordine diferită (principalul este să mențineți consistența):

Rezultatul va fi aceeași ecuație a dreptei. Asta este tot!

Adică, indiferent de modul în care sunt desemnate punctele în sine (și coordonatele lor), prin înțelegerea acestei formule veți găsi întotdeauna ecuația unei linii drepte.

Formula poate fi derivată folosind proprietățile vectorilor, dar principiul derivării va fi același, deoarece vom vorbi despre proporționalitatea coordonatelor acestora. În acest caz, funcționează aceeași similitudine a triunghiurilor dreptunghiulare. După părerea mea, concluzia descrisă mai sus este mai clară)).

Vizualizați rezultatul prin coordonatele vectoriale >>>

Să fie construită o dreaptă pe planul de coordonate care trece prin două puncte date A(x 1;y 1) și B(x 2;y 2). Să marchem un punct arbitrar C pe dreapta cu coordonatele ( X; y). De asemenea, notăm doi vectori:

Se știe că pentru vectorii aflați pe drepte paralele (sau pe aceeași linie), coordonatele lor corespunzătoare sunt proporționale, adică:

— notăm egalitatea rapoartelor coordonatelor corespunzătoare:

Să ne uităm la un exemplu:

Aflați ecuația unei drepte care trece prin două puncte cu coordonatele (2;5) și (7:3).

Nici măcar nu trebuie să construiți linia dreaptă în sine. Aplicam formula:

Este important să înțelegi corespondența atunci când întocmești raportul. Nu poți greși dacă scrii:

Răspuns: y=-2/5x+29/5 merge y=-0,4x+5,8

Pentru a vă asigura că ecuația rezultată este găsită corect, asigurați-vă că verificați - înlocuiți coordonatele datelor în starea punctelor în ea. Ecuațiile ar trebui să fie corecte.

Asta e tot. Sper că materialul v-a fost de folos.

Cu stimă, Alexandru.

P.S: V-as fi recunoscator daca mi-ati spune despre site pe retelele de socializare.

Lecție din seria „Algoritmi geometrici”

Bună dragă cititor!

Astăzi vom începe să învățăm algoritmi legați de geometrie. Cert este că există destul de multe probleme la olimpiade în informatică legate de geometria computațională, iar rezolvarea unor astfel de probleme provoacă adesea dificultăți.

Pe parcursul mai multor lecții, vom lua în considerare o serie de subsarcini elementare pe care se bazează soluția majorității problemelor din geometria computațională.

În această lecție vom crea un program pentru aflarea ecuatiei unei drepte, trecând prin dat două puncte. Pentru a rezolva probleme geometrice, avem nevoie de anumite cunoștințe de geometrie computațională. Vom dedica o parte a lecției cunoașterii lor.

Perspective din geometria computațională

Geometria computațională este o ramură a informaticii care studiază algoritmii pentru rezolvarea problemelor geometrice.

Datele inițiale pentru astfel de probleme pot fi un set de puncte pe un plan, un set de segmente, un poligon (specificat, de exemplu, printr-o listă a vârfurilor sale în ordinea acelor de ceasornic), etc.

Rezultatul poate fi fie un răspuns la o întrebare (cum ar fi un punct aparține unui segment, două segmente se intersectează, ...), fie un obiect geometric (de exemplu, cel mai mic poligon convex care leagă punctele date, aria de un poligon etc.).

Vom lua în considerare probleme de geometrie computațională doar în plan și numai în sistemul de coordonate carteziene.

Vectori și coordonate

Pentru a aplica metodele geometriei computaționale, este necesară traducerea imaginilor geometrice în limbajul numerelor. Vom presupune că planului i se dă un sistem de coordonate carteziene, în care direcția de rotație în sens invers acelor de ceasornic este numită pozitivă.

Acum obiectele geometrice primesc o expresie analitică. Deci, pentru a specifica un punct, este suficient să indicați coordonatele acestuia: o pereche de numere (x; y). Un segment poate fi specificat prin specificarea coordonatelor capetelor sale; o linie dreaptă poate fi specificată prin specificarea coordonatele unei perechi de puncte.

Dar principalul nostru instrument pentru rezolvarea problemelor vor fi vectorii. Prin urmare, permiteți-mi să amintesc câteva informații despre ei.

Segment de linie AB, care are rost A este considerat începutul (punctul de aplicare) și punctul ÎN– sfârșit, numit vector ABși este notat cu oricare sau printr-o literă mică aldine, de exemplu A .

Pentru a desemna lungimea unui vector (adică lungimea segmentului corespunzător), vom folosi simbolul modulului (de exemplu, ).

Un vector arbitrar va avea coordonate egale cu diferența dintre coordonatele corespunzătoare ale sfârșitului și începutului său:

,

aici sunt punctele AȘi B au coordonate respectiv.

Pentru calcule vom folosi conceptul unghi orientat, adică un unghi care ține cont de poziția relativă a vectorilor.

Unghi orientat între vectori A Și b pozitiv dacă rotația este din vector A a vector b se efectuează în sens pozitiv (în sens invers acelor de ceasornic) și negativ în celălalt caz. Vezi Fig.1a, Fig.1b. Se mai spune că o pereche de vectori A Și b orientat pozitiv (negativ).

Astfel, valoarea unghiului de orientare depinde de ordinea în care sunt listați vectorii și pot lua valori în interval.

Multe probleme din geometria computațională folosesc conceptul de produse vectoriale (înclinate sau pseudoscalare) ale vectorilor.

Produsul vectorial al vectorilor a și b este produsul dintre lungimile acestor vectori și sinusul unghiului dintre ei:

.

Produsul încrucișat al vectorilor în coordonate:

Expresia din dreapta este un determinant de ordinul doi:

Spre deosebire de definiția dată în geometria analitică, este un scalar.

Semnul produsului vectorial determină poziția vectorilor unul față de celălalt:

A Și b orientat pozitiv.

Dacă valoarea este , atunci o pereche de vectori A Și b orientat negativ.

Produsul încrucișat al vectorilor nenuli este zero dacă și numai dacă sunt coliniari ( ). Aceasta înseamnă că se află pe aceeași linie sau pe linii paralele.

Să ne uităm la câteva probleme simple care sunt necesare atunci când rezolvăm altele mai complexe.

Să determinăm ecuația unei drepte din coordonatele a două puncte.

Ecuația unei drepte care trece prin două puncte diferite specificate de coordonatele lor.

Să fie date două puncte necoincidente pe o dreaptă: cu coordonatele (x1; y1) și cu coordonatele (x2; y2). În consecință, un vector cu un început într-un punct și un sfârșit într-un punct are coordonate (x2-x1, y2-y1). Dacă P(x, y) este un punct arbitrar pe dreapta noastră, atunci coordonatele vectorului sunt egale cu (x-x1, y – y1).

Folosind produsul vectorial, condiția de coliniaritate a vectorilor și poate fi scrisă după cum urmează:

Acestea. (x-x1)(y2-y1)-(y-y1)(x2-x1)=0

(y2-y1)x + (x1-x2)y + x1(y1-y2) + y1(x2-x1) = 0

Rescriem ultima ecuație după cum urmează:

ax + by + c = 0, (1)

c = x1(y1-y2) + y1(x2-x1)

Deci, linia dreaptă poate fi specificată printr-o ecuație de forma (1).

Problema 1. Sunt date coordonatele a două puncte. Găsiți reprezentarea sa sub forma ax + by + c = 0.

În această lecție am învățat câteva informații despre geometria computațională. Am rezolvat problema găsirii ecuației unei drepte din coordonatele a două puncte.

În lecția următoare, vom crea un program pentru a găsi punctul de intersecție a două drepte date de ecuațiile noastre.

Definiție. Orice linie dreaptă de pe plan poate fi specificată printr-o ecuație de ordinul întâi

Ax + Wu + C = 0,

Mai mult, constantele A și B nu sunt egale cu zero în același timp. Această ecuație de ordinul întâi se numește ecuația generală a unei drepte. In functie de valori constanta A, Bși C sunt posibile următoarele cazuri speciale:

C = 0, A ≠0, B ≠ 0 – dreapta trece prin origine

A = 0, B ≠0, C ≠0 (By + C = 0) - linie dreaptă paralelă cu axa Ox

B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0) – linie dreaptă paralelă cu axa Oy

B = C = 0, A ≠0 – linia dreaptă coincide cu axa Oy

A = C = 0, B ≠0 – linia dreaptă coincide cu axa Ox

Ecuația unei linii drepte poate fi reprezentată în sub diverse formeîn funcţie de orice condiţii iniţiale date.

Ecuația unei drepte dintr-un punct și vector normal

Definiție.În sistemul de coordonate dreptunghiular cartezian, un vector cu componente (A, B) este perpendicular pe dreapta dată de ecuația Ax + By + C = 0.

Exemplu. Aflați ecuația dreptei care trece prin punctul A(1, 2) perpendicular pe (3, -1).

Soluţie. Cu A = 3 și B = -1, să compunem ecuația dreptei: 3x – y + C = 0. Pentru a găsi coeficientul C, înlocuim coordonatele punctului dat A în expresia rezultată, obținem: 3 – 2 + C = 0, prin urmare, C = -1 . Total: ecuația necesară: 3x – y – 1 = 0.

Ecuația unei drepte care trece prin două puncte

Fie date două puncte M 1 (x 1, y 1, z 1) și M 2 (x 2, y 2, z 2) în spațiu, atunci ecuația dreptei care trece prin aceste puncte este:

Dacă oricare dintre numitori este egal cu zero, numărătorul corespunzător ar trebui să fie egal cu zero. În plan, ecuația dreptei scrise mai sus este simplificată:

dacă x 1 ≠ x 2 și x = x 1, dacă x 1 = x 2.

Se numește fracția = k pantă Drept.

Exemplu. Aflați ecuația dreptei care trece prin punctele A(1, 2) și B(3, 4).

Soluţie. Aplicând formula scrisă mai sus, obținem:

Ecuația unei drepte dintr-un punct și panta

Dacă totalul Ax + Bu + C = 0, duce la forma:

și desemnează , atunci ecuația rezultată se numește ecuația unei drepte cu pantak.

Ecuația unei drepte dintr-un punct și un vector de direcție

Prin analogie cu punctul care are în vedere ecuația unei drepte printr-un vector normal, puteți introduce definiția dreptei printr-un punct și vectorul de direcție al dreptei.

Definiție. Fiecare vector diferit de zero (α 1, α 2), ale cărui componente îndeplinesc condiția A α 1 + B α 2 = 0 se numește vector de direcție al dreptei

Ax + Wu + C = 0.

Exemplu. Aflați ecuația unei drepte cu un vector de direcție (1, -1) și care trece prin punctul A(1, 2).

Soluţie. Vom căuta ecuația dreptei dorite sub forma: Ax + By + C = 0. Conform definiției, coeficienții trebuie să îndeplinească condițiile:

1 * A + (-1) * B = 0, adică A = B.

Atunci ecuația dreptei are forma: Ax + Ay + C = 0, sau x + y + C / A = 0. pentru x = 1, y = 2 obținem C/ A = -3, adică. ecuația necesară:

Ecuația unei drepte în segmente

Dacă în ecuația generală a dreptei Ах + Ву + С = 0 С≠0, atunci, împărțind la –С, obținem: sau

Sensul geometric coeficienți este că coeficientul A este coordonata punctului de intersecție a dreptei cu axa Ox și b– coordonata punctului de intersecție a dreptei cu axa Oy.

Exemplu. Este dată ecuația generală a dreptei x – y + 1 = 0. Aflați ecuația acestei drepte în segmente.

C = 1, , a = -1, b = 1.

Ecuația normală a unei linii

Dacă ambele părți ale ecuației Ax + By + C = 0 sunt înmulțite cu numărul Care e numit factor de normalizare, apoi primim

xcosφ + ysinφ - p = 0 –

ecuația normală a unei linii. Semnul ± al factorului de normalizare trebuie ales astfel încât μ * C< 0. р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

Exemplu. Având în vedere ecuația generală a dreptei 12x – 5y – 65 = 0. Trebuie să scrieți Tipuri variate ecuațiile acestei linii.

ecuația acestei drepte în segmente:

ecuația acestei drepte cu panta: (împarte la 5)

; cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p = 5.

Trebuie remarcat faptul că nu orice linie dreaptă poate fi reprezentată printr-o ecuație în segmente, de exemplu, drepte paralele cu axele sau care trec prin originea coordonatelor.

Exemplu. Linia dreaptă taie segmente pozitive egale pe axele de coordonate. Scrieți o ecuație pentru o dreaptă dacă aria triunghiului format din aceste segmente este de 8 cm2.

Soluţie. Ecuația dreptei are forma: , ab /2 = 8; ab=16; a=4, a=-4. a = -4< 0 не подходит по условию задачи. Итого: или х + у – 4 = 0.

Exemplu. Scrieți o ecuație pentru o dreaptă care trece prin punctul A(-2, -3) și origine.

Soluţie. Ecuația dreptei este: , unde x 1 = y 1 = 0; x2 = -2; y 2 = -3.

Unghiul dintre liniile drepte pe un plan

Definiție. Dacă sunt date două drepte y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, atunci colt ascutitîntre aceste linii drepte va fi definită ca

.

Două drepte sunt paralele dacă k 1 = k 2. Două drepte sunt perpendiculare dacă k 1 = -1/ k 2.

Teorema. Dreptele Ax + Bу + C = 0 și A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 sunt paralele când coeficienții A 1 = λA, B 1 = λB sunt proporționali. Dacă și C 1 = λC, atunci liniile coincid. Coordonatele punctului de intersecție a două drepte se găsesc ca soluție a sistemului de ecuații ale acestor drepte.

Ecuația unei drepte care trece printr-un punct dat perpendicular pe o dreaptă dată

Definiție. O dreaptă care trece prin punctul M 1 (x 1, y 1) și perpendiculară pe dreapta y = kx + b este reprezentată de ecuația:

Distanța de la punct la linie

Teorema. Dacă este dat un punct M(x 0, y 0), atunci distanța până la dreapta Ax + Bу + C = 0 este determinată ca

.

Dovada. Fie punctul M 1 (x 1, y 1) să fie baza perpendicularei căzute din punctul M la o dreaptă dată. Atunci distanța dintre punctele M și M 1:

(1)

Coordonatele x 1 și y 1 pot fi găsite prin rezolvarea sistemului de ecuații:

A doua ecuație a sistemului este ecuația dreptei care trece prin in spate acest punct M 0 este perpendiculară pe o dreaptă dată. Dacă transformăm prima ecuație a sistemului în forma:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

apoi, rezolvand, obtinem:

Înlocuind aceste expresii în ecuația (1), găsim:

Teorema a fost demonstrată.

Exemplu. Să se determine unghiul dintre drepte: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k1 = -3; k2 = 2; tgφ = ; φ= π /4.

Exemplu. Arătați că dreptele 3x – 5y + 7 = 0 și 10x + 6y – 3 = 0 sunt perpendiculare.

Soluţie. Găsim: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1* k 2 = -1, prin urmare, dreptele sunt perpendiculare.

Exemplu. Sunt date vârfurile triunghiului A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Găsiți ecuația înălțimii desenată din vârful C.

Soluţie. Găsim ecuația laturii AB: ; 4 x = 6 y – 6;

2 x – 3 y + 3 = 0;

Ecuația de înălțime necesară are forma: Ax + By + C = 0 sau y = kx + b. k = . Atunci y = . Deoarece înălțimea trece prin punctul C, apoi coordonatele sale satisfac această ecuație: de unde b = 17. Total: .

Răspuns: 3 x + 2 y – 34 = 0.

Ecuația unei drepte care trece printr-un punct dat într-o direcție dată. Ecuația unei drepte care trece prin două puncte date. Unghiul dintre două linii drepte. Condiția de paralelism și perpendicularitate a două drepte. Determinarea punctului de intersecție a două drepte

1. Ecuația unei drepte care trece printr-un punct dat A(X 1 , y 1) într-o direcție dată, determinată de pantă k,

y - y 1 = k(X - X 1). (1)

Această ecuație definește un creion de linii care trec printr-un punct A(X 1 , y 1), care se numește centrul fasciculului.

2. Ecuația unei drepte care trece prin două puncte: A(X 1 , y 1) și B(X 2 , y 2), scris astfel:

Coeficientul unghiular al unei drepte care trece prin două puncte date este determinat de formula

3. Unghiul dintre liniile drepte AȘi B este unghiul cu care trebuie rotită prima linie dreaptă Aîn jurul punctului de intersecție al acestor linii în sens invers acelor de ceasornic până când acesta coincide cu a doua linie B. Dacă două drepte sunt date de ecuaţii cu pantă

y = k 1 X + B 1 ,