Dacă unghiul este ascuțit, care este coeficientul? Cum să găsești panta

Menținerea confidențialității dvs. este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să examinați practicile noastre de confidențialitate și să ne comunicați dacă aveți întrebări.

Colectarea și utilizarea informațiilor personale

Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica sau contacta o anumită persoană.

Vi se poate cere să furnizați informațiile dumneavoastră personale în orice moment când ne contactați.

Mai jos sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și cum putem folosi aceste informații.

Ce informații personale colectăm:

• Când trimiteți o solicitare pe site, este posibil să colectăm diverse informatii, inclusiv numele, numărul de telefon, adresa E-mail etc.

Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:

• Informațiile personale pe care le colectăm ne permit să vă contactăm și să vă informăm despre oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
• Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a trimite notificări și comunicări importante.
• De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi auditarea, analiza datelor și diverse studii pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
• Dacă participați la o tragere la sorți, la un concurs sau la o promoție similară, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra astfel de programe.

Dezvăluirea informațiilor către terți

Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.

Excepții:

• Dacă este necesar - în conformitate cu legea, procedura judiciară, procedurile judiciare și/sau în baza cererilor sau solicitărilor publice din partea agentii guvernamentale pe teritoriul Federației Ruse - dezvăluie informațiile tale personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dumneavoastră dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată pentru securitate, aplicarea legii sau alte scopuri de importanță publică.
• În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, este posibil să transferăm informațiile personale pe care le colectăm terței părți succesoare aplicabile.

Protecția informațiilor personale

Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și utilizării greșite, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.

Respectarea vieții private la nivelul companiei

Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt securizate, comunicăm angajaților noștri standarde de confidențialitate și securitate și aplicăm strict practicile de confidențialitate.

Derivata unei funcții este unul dintre subiectele dificile în curiculumul scolar. Nu fiecare absolvent va răspunde la întrebarea ce este un derivat.

Acest articol explică într-un mod simplu și clar ce este un derivat și de ce este necesar.. Nu ne vom strădui acum pentru rigoare matematică în prezentare. Cel mai important lucru este să înțelegeți sensul.

Să ne amintim definiția:

Derivata este rata de schimbare a unei functii.

Figura prezintă grafice a trei funcții. Care crezi că crește mai repede?

Răspunsul este evident - al treilea. Are cea mai mare rată de schimbare, adică cea mai mare derivată.

Iată un alt exemplu.

Kostya, Grisha și Matvey au primit locuri de muncă în același timp. Să vedem cum s-au schimbat veniturile lor în cursul anului:

Graficul arată totul deodată, nu-i așa? Venitul lui Kostya s-a dublat în șase luni. Și venitul lui Grisha a crescut, dar doar puțin. Și venitul lui Matvey a scăzut la zero. Condițiile de pornire sunt aceleași, dar rata de schimbare a funcției, adică derivat, - diferit. În ceea ce privește Matvey, derivatul său de venit este în general negativ.

Intuitiv, estimăm cu ușurință rata de schimbare a unei funcții. Dar cum facem asta?

Ceea ce ne uităm cu adevărat este cât de abrupt urcă (sau jos) graficul unei funcții. Cu alte cuvinte, cât de repede se schimbă y pe măsură ce x se schimbă? Evident, aceeași funcție în puncte diferite ar putea avea sens diferit derivat - adică se poate schimba mai repede sau mai lent.

Derivata unei functii se noteaza .

Vă vom arăta cum să-l găsiți folosind un grafic.

A fost desenat un grafic al unei anumite funcții. Să luăm un punct cu o abscisă pe el. Să desenăm o tangentă la graficul funcției în acest punct. Vrem să estimăm cât de abrupt crește graficul unei funcții. O valoare convenabilă pentru aceasta este tangenta unghiului tangentei.

Derivata unei functii intr-un punct este egala cu tangentei unghiului tangentei desenat la graficul functiei in acest punct.

Vă rugăm să rețineți că ca unghi de înclinare al tangentei luăm unghiul dintre tangentă și direcția pozitivă a axei.

Uneori, elevii întreabă ce este o tangentă la graficul unei funcții. Aceasta este o linie dreaptă care are doar una punct comun cu un grafic și așa cum se arată în figura noastră. Arată ca o tangentă la un cerc.

Să-l găsim. Ne amintim că tangenta unui unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic este egală cu raportul dintre latura opusă și latura adiacentă. Din triunghi:

Am găsit derivata folosind un grafic fără să știm măcar formula funcției. Astfel de probleme se găsesc adesea în examenul de stat unificat la matematică sub numărul.

Există o altă relație importantă. Amintiți-vă că linia dreaptă este dată de ecuație

Mărimea din această ecuație se numește panta unei drepte. Este egală cu tangenta unghiului de înclinare a dreptei la axă.

.

Înțelegem asta

Să ne amintim această formulă. Ea exprimă sens geometric derivat.

Derivata unei functii intr-un punct este egala cu panta tangentei trasate la graficul functiei in acel punct.

Cu alte cuvinte, derivata este egală cu tangentei unghiului tangentei.

Am spus deja că aceeași funcție poate avea derivate diferite în puncte diferite. Să vedem cum este legată derivata de comportamentul funcției.

Să desenăm un grafic al unei funcții. Lăsați această funcție să crească în unele zone și să scadă în altele și în ritmuri diferite. Și lasă această funcție să aibă puncte maxime și minime.

La un moment dat funcția crește. O tangentă la graficul desenat într-un punct formează un unghi ascuțit; cu direcția pozitivă a axei. Aceasta înseamnă că derivata din punct este pozitivă.

În momentul în care funcția noastră scade. Tangenta în acest punct formează un unghi obtuz; cu direcția pozitivă a axei. Deoarece tangentei unui unghi obtuz este negativă, derivata din punct este negativă.

Iată ce se întâmplă:

Dacă o funcție este în creștere, derivata ei este pozitivă.

Dacă scade, derivata sa este negativă.

Ce se va întâmpla la punctele maxime și minime? Vedem ca in punctele (punctul maxim) si (punctul minim) tangenta este orizontala. Prin urmare, tangentei tangentei în aceste puncte este zero, iar derivata este, de asemenea, zero.

Punct - punct maxim. În acest moment, creșterea funcției este înlocuită cu o scădere. În consecință, semnul derivatei se schimbă în punctul „plus” în „minus”.

În punctul - punctul minim - derivata este, de asemenea, zero, dar semnul său se schimbă de la „minus” la „plus”.

Concluzie: folosind derivata putem afla tot ce ne intereseaza despre comportamentul unei functii.

Dacă derivata este pozitivă, atunci funcția crește.

Dacă derivata este negativă, atunci funcția scade.

În punctul maxim, derivata este zero și își schimbă semnul din „plus” în „minus”.

La punctul minim, derivata este, de asemenea, zero și își schimbă semnul din „minus” în „plus”.

Să scriem aceste concluzii sub forma unui tabel:

	crește	punct maxim	scade	punct minim	crește
+	0	-	0	+

Să facem două mici precizări. Veți avea nevoie de unul dintre ele când rezolvați problema. Un altul - în primul an, cu un studiu mai serios al funcțiilor și derivatelor.

Este posibil ca derivata unei funcții la un moment dat să fie egală cu zero, dar funcția nu are nici un maxim, nici un minim în acest punct. Acesta este așa-numitul :

Într-un punct, tangenta la grafic este orizontală, iar derivata este zero. Cu toate acestea, înainte de punct funcția a crescut - și după punct continuă să crească. Semnul derivatului nu se schimbă - rămâne pozitiv așa cum a fost.

De asemenea, se întâmplă ca în punctul de maxim sau minim derivata să nu existe. Pe grafic, aceasta corespunde unei ruperi ascuțite, când este imposibil să desenați o tangentă într-un punct dat.

Cum să găsiți derivata dacă funcția este dată nu de un grafic, ci de o formulă? În acest caz se aplică

Linia dreaptă y=f(x) va fi tangentă la graficul prezentat în figură în punctul x0 dacă trece prin punctul cu coordonatele (x0; f(x0)) și are un coeficient unghiular f"(x0). un astfel de coeficient, Cunoscând caracteristicile unei tangente, nu este dificil.

Vei avea nevoie

• - carte de referinta matematica;
• - un creion simplu;
• - caiet;
• - raportor;
• - busolă;
• - pix.

Instrucțiuni

Dacă valoarea f‘(x0) nu există, atunci fie nu există tangentă, fie rulează vertical. Având în vedere acest lucru, prezența unei derivate a funcției în punctul x0 se datorează existenței unei tangente neverticale tangente la graficul funcției în punctul (x0, f(x0)). În acest caz pantă tangenta va fi egala cu f"(x0). Astfel, sensul geometric al derivatei devine clar - calculul coeficientului unghiular al tangentei.

Desenați tangente suplimentare care ar fi în contact cu graficul funcției în punctele x1, x2 și x3 și, de asemenea, marcați unghiurile formate de aceste tangente cu axa x (acest unghi se numără în direcția pozitivă de la axă la linie tangentă). De exemplu, unghiul, adică α1, va fi ascuțit, al doilea (α2) va fi obtuz, iar al treilea (α3) va fi zero, deoarece linia tangentă este paralelă cu axa OX. În acest caz, tangenta unui unghi obtuz este negativă, tangenta unui unghi ascuțit este pozitivă, iar la tg0 rezultatul este zero.

Notă

Determinați corect unghiul format de tangentă. Pentru a face acest lucru, utilizați un raportor.

Sfaturi utile

Două drepte înclinate vor fi paralele dacă coeficienții lor unghiulari sunt egali unul cu celălalt; perpendiculară dacă produsul coeficienților unghiulari ai acestor tangente este egal cu -1.

Surse:

• Tangenta la graficul unei functii

Cosinusul, ca și sinusul, este clasificat ca o funcție trigonometrică „directă”. Tangenta (împreună cu cotangenta) este clasificată ca o altă pereche numită „derivate”. Există mai multe definiții ale acestor funcții care fac posibilă găsirea tangentei dată de valoare cunoscută cosinus de aceeași valoare.

Instrucțiuni

Scădeți câtul unității cu valoarea ridicată la cosinusul unghiului dat și extrageți rădăcina pătrată din rezultat - aceasta va fi valoarea tangentei unghiului, exprimată prin cosinusul său: tan(α)=√(1- 1/(cos(α))²) . Vă rugăm să rețineți că în formulă cosinusul este la numitorul fracției. Imposibilitatea împărțirii la zero exclude utilizarea acestei expresii pentru unghiuri egale cu 90°, precum și pentru cele care diferă de această valoare prin numere care sunt multipli de 180° (270°, 450°, -90° etc.).

Există o modalitate alternativă de a calcula tangenta dintr-o valoare cunoscută a cosinusului. Poate fi folosit dacă nu există nicio restricție privind utilizarea altora. Pentru a implementa această metodă, determinați mai întâi valoarea unghiului dintr-o valoare cunoscută a cosinusului - acest lucru se poate face folosind funcția arc cosinus. Apoi calculați pur și simplu tangenta pentru unghiul valorii rezultate. ÎN vedere generala acest algoritm poate fi scris astfel: tg(α)=tg(arccos(cos(α))).

Există, de asemenea, o opțiune exotică folosind definiția cosinusului și tangentei prin unghiurile ascuțite ale unui triunghi dreptunghic. În această definiție, cosinusul corespunde raportului dintre lungimea catetei adiacent unghiului luat în considerare și lungimea ipotenuzei. Cunoscând valoarea cosinusului, puteți selecta lungimile corespunzătoare ale acestor două laturi. De exemplu, dacă cos(α) = 0,5, atunci adiacentul poate fi luat egal cu 10 cm, iar ipotenuza - 20 cm. Numerele specifice nu contează aici - veți obține numere identice și corecte cu orice valori care au aceleași. Apoi, folosind teorema lui Pitagora, determinați lungimea laturii lipsă - piciorul opus. Va fi egal rădăcină pătrată din diferența dintre lungimile ipotenuzei pătrate și catetul cunoscut: √(20²-10²)=√300. Prin definiție, tangenta corespunde raportului dintre lungimile opusului și picioare adiacente(√300/10) - calculați-l și obțineți valoarea tangentei găsită folosind definiția clasică a cosinusului.

Surse:

• formula cosinus prin tangentă

Unul dintre funcții trigonometrice, notată cel mai adesea prin literele tg, deși se găsesc și denumirile tan. Cel mai simplu mod de a reprezenta tangenta este ca raport sinus unghi la cosinusul său. Aceasta este o funcție periodică impară și necontinuă, fiecare ciclu fiind egal cu numărul Pi, iar punctul de întrerupere corespunde cu jumătate din acest număr.

Figura arată unghiul de înclinare al dreptei și indică valoarea pantei la diverse opțiuni locația dreptei în raport cu sistemul de coordonate dreptunghiular.

Aflarea pantei unei drepte la cărbune cunoscutînclinarea către axa Ox nu prezintă dificultăți. Pentru a face acest lucru, este suficient să reamintim definiția coeficientului unghiular și să calculați tangenta unghiului de înclinare.

Exemplu.

Aflați panta unei drepte dacă unghiul ei de înclinare față de axa absciselor este egal cu .

Soluţie.

După condiție. Apoi, prin definiția pantei unei drepte, calculăm .

Răspuns:

Sarcina de a găsi unghiul de înclinare al unei linii drepte față de axa x cu o pantă cunoscută este puțin mai complicată. Aici este necesar să se țină cont de semnul pantei. Când unghiul de înclinare al dreptei este acut și se găsește ca . Când unghiul de înclinare al dreptei este obtuz și poate fi determinat prin formulă .

Exemplu.

Determinați unghiul de înclinare al dreptei față de axa absciselor dacă panta acesteia este egală cu 3.

Soluţie.

Deoarece prin condiție coeficientul unghiular este pozitiv, unghiul de înclinare al dreptei față de axa Ox este acut. O calculăm folosind formula.

Răspuns:

Exemplu.

Panta dreptei este . Determinați unghiul de înclinare al dreptei față de axa Ox.

Soluţie.

Să notăm k este coeficientul unghiular al dreptei, - unghiul de înclinare al acestei drepte față de direcția pozitivă a axei Ox. Deoarece , apoi folosim formula pentru a găsi unghiul de înclinare al dreptei următorul tip . Substituim datele din condiție în ea: .

Răspuns:

Ecuația unei drepte cu un coeficient unghiular.

Ecuația unei drepte cu panta are forma , unde k este panta dreptei, b este unele numar real. Folosind ecuația unei drepte cu coeficient unghiular, puteți specifica orice dreaptă care nu este paralelă cu axa Oy (pentru o dreaptă paralelă cu axa ordonatelor, coeficientul unghiular nu este definit).

Să înțelegem sensul frazei: „o linie dreaptă pe un plan într-un sistem de coordonate fix este dată de o ecuație cu un coeficient unghiular de forma „”. Aceasta înseamnă că ecuația este satisfăcută de coordonatele oricărui punct de pe linie și nu este satisfăcută de coordonatele oricărui alt punct din plan. Astfel, dacă la înlocuirea coordonatelor unui punct se obține egalitatea corectă, atunci dreapta trece prin acest punct. În caz contrar, punctul nu se află pe linie.

Exemplu.

Linia dreaptă este dată de o ecuație cu pantă. Punctele aparțin și ele acestei linii?

Soluţie.

Să substituim coordonatele punctului în ecuația originală a dreptei cu panta: . Am obținut egalitatea corectă, prin urmare, punctul M 1 se află pe linie.

Când înlocuim coordonatele unui punct, obținem o egalitate incorectă: . Astfel, punctul M2 nu se află pe linie.

Răspuns:

Punct M 1 aparține liniei, M 2 nu.

De remarcat că prin punct trece o dreaptă definită de ecuația unei drepte cu coeficient unghiular, întrucât atunci când înlocuim coordonatele acesteia în ecuație obținem egalitatea corectă: .

Astfel, ecuația unei drepte cu coeficient unghiular definește pe plan o dreaptă care trece printr-un punct și formează un unghi cu direcția pozitivă a axei x, și .

Ca exemplu, să descriem o linie dreaptă definită de ecuația unei linii drepte cu un coeficient unghiular de forma . Această dreaptă trece printr-un punct și are o pantă radiani (60 de grade) pe direcția pozitivă a axei Ox. Panta sa este egală cu .

Ecuația unei drepte cu panta care trece printr-un punct dat.

Acum vom rezolva o problemă foarte importantă: vom obține ecuația unei drepte cu o pantă dată k și care trece prin punctul .

Deoarece linia trece prin punct, egalitatea este adevărată . Nu știm numărul b. Pentru a scăpa de el, scade din stânga și părțile potrivite ecuații ale unei drepte cu coeficient unghiular, respectiv, laturile din stânga și din dreapta ultimei egalități. În acest caz obținem . Această egalitate este ecuația unei drepte cu panta k dată, care trece printr-un punct dat.

Să ne uităm la un exemplu.

Exemplu.

Scrieți ecuația unei drepte care trece prin punctul, panta acestei drepte este -2.

Soluţie.

Din starea pe care o avem . Atunci ecuația unei drepte cu un coeficient unghiular va lua forma .

Răspuns:

Exemplu.

Scrieți ecuația unei drepte dacă se știe că aceasta trece printr-un punct și unghiul de înclinare față de direcția pozitivă a axei Ox este egal cu .

Soluţie.

Mai întâi, să calculăm panta dreptei a cărei ecuație o căutăm (am rezolvat această problemă în paragraful anterior al acestui articol). A-prioriu . Acum avem toate datele pentru a scrie ecuația unei linii drepte cu un coeficient de unghi:

Răspuns:

Exemplu.

Scrieți ecuația unei drepte cu un coeficient unghiular care trece printr-un punct paralel cu dreapta.

Soluţie.

Evident, unghiurile de înclinare ale liniilor paralele față de axa Ox coincid (dacă este necesar, vezi articolul paralelismul liniilor), prin urmare, coeficienții unghiulari ai liniilor paralele sunt egali. Atunci panta dreptei, a cărei ecuație trebuie să o obținem, este egală cu 2, deoarece panta dreptei este egală cu 2. Acum putem crea ecuația necesară a unei drepte cu pantă:

Răspuns:

Trecerea de la ecuația unei linii cu un coeficient de unghi la alte tipuri de ecuații ale unei linii și invers.

În ciuda întregii familiarități, ecuația unei linii drepte cu un coeficient unghiular nu este întotdeauna convenabilă de utilizat la rezolvarea problemelor. În unele cazuri, problemele sunt mai ușor de rezolvat atunci când ecuația unei linii este prezentată într-o formă diferită. De exemplu, ecuația unei linii drepte cu un coeficient unghiular nu vă permite să scrieți imediat coordonatele vectorului de direcție al dreptei sau coordonatele vectorului normal al dreptei. Prin urmare, ar trebui să învățați să treceți de la ecuația unei linii drepte cu un coeficient de unghi la alte tipuri de ecuații ale acestei linii drepte.

Din ecuația unei drepte cu coeficient unghiular se obține ușor ecuația canonică a unei drepte pe un plan de forma . Pentru a face acest lucru, din partea dreaptă a ecuației transferăm termenul b la partea stanga cu semnul opus, apoi împărțiți ambele părți ale egalității rezultate la panta k: . Aceste acțiuni ne conduc de la ecuația unei drepte cu coeficient de unghi la ecuația canonică a unei drepte.

Exemplu.

Dați ecuația unei drepte cu un coeficient de unghi la forma canonică.

Soluţie.

Să efectuăm transformările necesare: .

Răspuns:

Exemplu.

O linie dreaptă este dată de ecuația unei drepte cu un coeficient unghiular. Este vectorul un vector normal al acestei linii?

Soluţie.

Pentru a rezolva această problemă, să trecem de la ecuația unei drepte cu coeficient de unghi la ecuația generală a acestei drepte: . Știm că coeficienții variabilelor x și y din ecuația generală a unei linii sunt coordonatele corespunzătoare ale vectorului normal al acestei linii, adică vectorul normal al dreptei. . Este evident că vectorul este coliniar cu vectorul, deoarece relația este validă (dacă este necesar, vezi articolul). Astfel, vectorul original este, de asemenea, un vector linie normal , și, prin urmare, este un vector normal și linia originală.

Răspuns:

Da, este.

Și acum vom rezolva problema inversă - problema reducerii ecuației unei drepte pe un plan la ecuația unei drepte cu un coeficient de unghi.

Din ecuația generală a dreptei a formei , în care se merge foarte ușor la o ecuație cu coeficient de pantă. Pentru a face acest lucru, trebuie să rezolvați ecuația generală a dreptei în raport cu y. În acest caz obținem . Egalitatea rezultată este o ecuație a unei drepte cu un coeficient unghiular egal cu .