Unghiul central este egal cu arcul pe care se sprijină. Cercul și unghiul înscris. Ghid vizual (2019)

Astăzi ne vom uita la un alt tip de probleme 6 - de data aceasta cu un cerc. Mulți studenți nu le plac și le sunt dificile. Și complet în zadar, deoarece astfel de probleme sunt rezolvate elementar, dacă știi niște teoreme. Sau nu îndrăznesc deloc dacă nu-i cunoști.

Înainte de a vorbi despre principalele proprietăți, permiteți-mi să vă reamintesc definiția:

Un unghi înscris este unul al cărui vârf se află pe cerc însuși și ale cărui laturi decupează o coardă pe acest cerc.

Un unghi central este orice unghi cu vârful său în centrul cercului. Laturile sale intersectează, de asemenea, acest cerc și sculptează o coardă pe el.

Deci, conceptele de înscris și unghiul central sunt indisolubil legate de cercul și acordurile din cadrul acestuia. Și acum afirmația principală:

Teorema. Unghiul central este întotdeauna de două ori unghiul înscris, bazat pe același arc.

În ciuda simplității afirmației, există o întreagă clasă de probleme 6 care pot fi rezolvate folosindu-l - și nimic altceva.

Sarcină. Găsiți unghiul ascuțit înscris subtins de coardă, egală cu raza cercuri.

Fie AB coarda luată în considerare, O centrul cercului. Construcție suplimentară: OA și OB sunt razele cercului. Primim:

Luați în considerare triunghiul ABO. În ea AB = OA = OB - toate laturile sunt egale cu raza cercului. Prin urmare, triunghiul ABO este echilateral și toate unghiurile din el sunt de 60°.

Fie M vârful unghiului înscris. Deoarece unghiurile O și M se sprijină pe același arc AB, unghiul înscris M este de 2 ori mai mic decât unghiul central O. Avem:

M = O: 2 = 60: 2 = 30

Sarcină. Unghiul central este cu 36° mai mare decât unghiul înscris subtins de același arc de cerc. Găsiți unghiul înscris.

Să introducem următoarea notație:

AB este coarda cercului;
Punctul O este centrul cercului, deci unghiul AOB este unghiul central;
Punctul C este vârful unghiului înscris ACB.

Deoarece căutăm unghiul înscris ACB, să-l notăm ACB = x. Atunci unghiul central AOB este x + 36. Pe de altă parte, unghiul central este de 2 ori unghiul înscris. Avem:

AOB = 2 · ACB ;
x + 36 = 2 x ;
x = 36.

Deci am găsit unghiul înscris AOB - este egal cu 36°.

Un cerc este un unghi de 360°

După ce au citit subtitrarea, probabil că cititorii cunoscători vor spune acum: „Uf!” Într-adevăr, compararea unui cerc cu un unghi nu este în întregime corectă. Pentru a înțelege despre ce vorbim, aruncați o privire la cercul trigonometric clasic:

Pentru ce este această poză? Și în plus, o rotație completă este un unghi de 360 de grade. Și dacă îl împărțiți la, să zicem, 20 părti egale, atunci dimensiunea fiecăruia dintre ele va fi 360: 20 = 18 grade. Acesta este exact ceea ce este necesar pentru a rezolva problema B8.

Punctele A, B și C se află pe cerc și îl împart în trei arce, ale căror măsuri sunt în raportul 1: 3: 5. Aflați unghiul mai mare al triunghiului ABC.

Mai întâi, să găsim măsura gradului fiecărui arc. Fie cel mai mic x. În figură, acest arc este desemnat AB. Atunci arcele rămase - BC și AC - pot fi exprimate în termeni de AB: arc BC = 3x; AC = 5x. În total, aceste arcuri dau 360 de grade:

AB + BC + AC = 360;
x + 3x + 5x = 360;
9x = 360;
x = 40.

Acum luați în considerare un arc mare AC care nu conține punctul B. Acest arc, ca și unghiul central corespunzător AOC, este 5x = 5 40 = 200 de grade.

Unghiul ABC este cel mai mare dintre toate unghiurile dintr-un triunghi. Este un unghi înscris subtins de același arc ca unghiul central AOC. Aceasta înseamnă că unghiul ABC este de 2 ori mai mic decât AOC. Avem:

ABC = AOC: 2 = 200: 2 = 100

Aceasta va fi măsura în grad a unghiului mai mare din triunghiul ABC.

Cerc circumscris în jurul unui triunghi dreptunghic

Mulți oameni uită această teoremă. Dar degeaba, pentru că unele probleme B8 nu se pot rezolva deloc fără el. Mai exact, sunt rezolvate, dar cu un asemenea volum de calcule incat ai prefera sa adormi decat sa ajungi la raspuns.

Teorema. Centrul unui cerc circumscris unui triunghi dreptunghic se află la mijlocul ipotenuzei.

Ce rezultă din această teoremă?

Punctul de mijloc al ipotenuzei este echidistant de toate vârfurile triunghiului. Aceasta este o consecință directă a teoremei;
Mediana trasată la ipotenuză împarte triunghiul inițial în două triunghiuri isoscele. Acesta este exact ceea ce este necesar pentru a rezolva problema B8.

În triunghiul ABC desenăm mediana CD. Unghiul C este de 90° și unghiul B este de 60°. Găsiți unghiul ACD.

Deoarece unghiul C este de 90°, triunghiul ABC este un triunghi dreptunghic. Se dovedește că CD este mediana atrasă de ipotenuză. Aceasta înseamnă că triunghiurile ADC și BDC sunt isoscele.

În special, luați în considerare triunghiul ADC. În el AD = CD. Dar într-un triunghi isoscel, unghiurile de la bază sunt egale - vezi „Problema B8: Segmente de linie și unghiuri în triunghiuri”. Prin urmare, unghiul dorit ACD = A.

Deci, rămâne de aflat cu ce este egal unghiul A. Pentru a face acest lucru, să ne întoarcem din nou la triunghiul original ABC. Să notăm unghiul A = x. Deoarece suma unghiurilor din orice triunghi este 180°, avem:

A + B + BCA = 180;
x + 60 + 90 = 180;
x = 30.

Desigur, ultima problemă poate fi rezolvată diferit. De exemplu, este ușor de demonstrat că triunghiul BCD nu este doar isoscel, ci echilateral. Deci unghiul BCD este de 60 de grade. Prin urmare, unghiul ACD este 90 − 60 = 30 de grade. După cum puteți vedea, puteți utiliza diferite triunghiuri isoscele, dar răspunsul va fi întotdeauna același.

Acesta este unghiul format din doi acorduri, cu originea într-un punct al cercului. Se spune că un unghi înscris este se odihnește pe arcul închis între laturile sale.

Unghi înscris egal cu jumătate din arcul pe care se sprijină.

Cu alte cuvinte, unghi înscris include tot atâtea grade unghiulare, minute și secunde cât grade de arc, minutele și secundele sunt cuprinse în jumătatea arcului pe care se sprijină. Pentru a justifica acest lucru, să analizăm trei cazuri:

Primul caz:

Centrul O este situat pe lateral unghi înscris ABC. Desenând raza AO, obținem ΔABO, în ea OA = OB (ca raze) și, în consecință, ∠ABO = ∠BAO. În legătură cu aceasta triunghi, unghi AOC - extern. Și asta înseamnă el egal cu suma unghiurile ABO și BAO, sau egal cu unghiul dublu ABO. Deci ∠ABO este egal cu jumătate unghiul central AOC. Dar acest unghi este măsurat prin arcul AC. Adică, unghiul înscris ABC este măsurat cu jumătate din arcul AC.

Al doilea caz:

Centrul O este situat între laturi unghi înscris ABC După ce a tras diametrul BD, împărțim unghiul ABC în două unghiuri, dintre care, conform primului caz, unul este măsurat la jumătate arcuri AD, iar cealaltă jumătate a arcului CD. Și în consecință, se măsoară unghiul ABC (AD+DC) /2, adică. 1/2 AC.

Al treilea caz:

Centrul O este situat în exterior unghi înscris ABC. Desenând diametrul BD, vom avea:∠ABC = ∠ABD - ∠CBD . Dar unghiurile ABD și CBD sunt măsurate pe baza jumătății justificate anterior arc AD și CD. Și deoarece ∠ABC este măsurat cu (AD-CD)/2, adică jumătate din arcul AC.

Corolarul 1. Toate cele bazate pe același arc sunt la fel, adică egale între ele. Deoarece fiecare dintre ele este măsurat cu jumătate din același arcuri .

Corolarul 2. Unghi înscris, pe baza diametrului - unghi drept. Deoarece fiecare astfel de unghi este măsurat cu o jumătate de semicerc și, în consecință, conține 90°.

Instrucțiuni

Dacă se cunosc raza (R) cercului și lungimea arcului (L) corespunzătoare unghiului central dorit (θ), aceasta poate fi calculată atât în grade, cât și în radiani. Totalul este determinat de formula 2*π*R și corespunde unui unghi central de 360° sau două numere Pi, dacă se folosesc radiani în loc de grade. Prin urmare, pornește de la proporția 2*π*R/L = 360°/θ = 2*π/θ. Exprimați din acesta unghiul central în radiani θ = 2*π/(2*π*R/L) = L/R sau grade θ = 360°/(2*π*R/L) = 180*L/(π * R) și calculați folosind formula rezultată.

Pe baza lungimii coardei (m) care leagă punctele care determină unghiul central (θ), valoarea acesteia poate fi calculată și dacă se cunoaște raza (R) a cercului. Pentru a face acest lucru, luați în considerare un triunghi format din două raze și . Acesta este un triunghi isoscel, toată lumea este cunoscută, dar trebuie să găsiți unghiul opus bazei. Sinusul jumătății sale este egal cu raportul dintre lungimea bazei - coarda - și de două ori lungimea laturii - raza. Prin urmare, utilizați funcția sinus invers pentru calcule - arcsinus: θ = 2*arcsin(½*m/R).

Unghiul central poate fi specificat în fracțiuni de rotație sau dintr-un unghi rotit. De exemplu, dacă trebuie să găsiți unghiul central corespunzător unui sfert de rotație completă, împărțiți 360° la patru: θ = 360°/4 = 90°. Aceeași valoare în radiani ar trebui să fie 2*π/4 ≈ 3,14/2 ≈ 1,57. Unghiul desfășurat este egal cu jumătate de rotație completă, prin urmare, de exemplu, unghiul central corespunzător unui sfert din acesta va fi jumătate din valorile calculate mai sus atât în grade, cât și în radiani.

Inversa sinusului se numește funcție trigonometrică arcsinus. Poate lua valori în jumătate din Pi, atât pozitive, cât și negative atunci când sunt măsurate în radiani. Când sunt măsurate în grade, aceste valori vor fi, respectiv, în intervalul de la -90° la +90°.

Instrucțiuni

Unele valori „rotunde” nu trebuie calculate; sunt mai ușor de reținut. De exemplu: - dacă argumentul funcției este zero, atunci arcsinusul acestuia este și zero; - de 1/2 este egal cu 30° sau 1/6 Pi, dacă este măsurat; - arcsinusul lui -1/2 este -30° sau -1/6 din numărul Pi în; - arcsinusul lui 1 este egal cu 90° sau 1/2 din numărul Pi în radiani; - arcsinusul lui -1 este egal cu -90° sau -1/2 din numărul Pi în radiani;

Pentru a măsura valorile acestei funcții din alte argumente, cel mai simplu mod este să utilizați un calculator standard Windows, dacă aveți unul la îndemână. Pentru a începe, deschideți meniul principal pe butonul „Start” (sau apăsând tasta WIN), accesați secțiunea „Toate programele”, apoi la subsecțiunea „Accesorii” și faceți clic pe „Calculator”.

Comutați interfața calculatorului în modul de operare care vă permite să calculați funcții trigonometrice. Pentru a face acest lucru, deschideți secțiunea „Vizualizare” din meniul acesteia și selectați „Inginerie” sau „Științific” (în funcție de tipul de sistem de operare).

Introduceți valoarea argumentului din care ar trebui calculată arctangente. Acest lucru se poate face făcând clic pe butoanele de pe interfața calculatorului cu mouse-ul, sau prin apăsarea tastelor de pe , sau prin copierea valorii (CTRL + C) și apoi lipirea acesteia (CTRL + V) în câmpul de introducere al calculatorului.

Selectați unitățile de măsură în care trebuie să obțineți rezultatul calculului funcției. Sub câmpul de introducere există trei opțiuni, dintre care trebuie să selectați (făcând clic pe el cu mouse-ul) una - , radiani sau rads.

Bifați caseta de selectare care inversează funcțiile indicate pe butoanele interfeței calculatorului. Alături se află o scurtă inscripție Inv.

Faceți clic pe butonul păcat. Calculatorul va inversa funcția asociată acestuia, va efectua calculul și vă va prezenta rezultatul în unitățile specificate.

Video pe tema

Una dintre problemele geometrice comune este calcularea ariei unui segment circular - partea cercului delimitată de o coardă și coarda corespunzătoare de un arc de cerc.

Aria unui segment circular este egală cu diferența dintre aria sectorului circular corespunzător și aria triunghiului format din razele sectorului corespunzător segmentului și coarda care limitează segmentul.

Exemplul 1

Lungimea coardei care subtinde cercul este egală cu valoarea a. Gradul de măsurare a arcului corespunzător coardei este de 60°. Găsiți aria segmentului circular.

Soluţie

Un triunghi format din două raze și o coardă este isoscel, deci altitudinea trasă de la vârful unghiului central spre latura triunghiului format de coardă va fi și bisectoarea unghiului central, împărțindu-l la jumătate, iar mediană, împărțind coarda în jumătate. Știind că sinusul unghiului este egal cu raportul catetului opus față de ipotenuză, putem calcula raza:

Sin 30°= a/2:R = 1/2;

Sc = πR²/360°*60° = πa²/6

S▲=1/2*ah, unde h este înălțimea trasă de la vârful unghiului central la coardă. Conform teoremei lui Pitagora h=√(R²-a²/4)= √3*a/2.

În consecință, S▲=√3/4*a².

Aria segmentului, calculată ca Sreg = Sc - S▲, este egală cu:

Sreg = πa²/6 - √3/4*a²

Înlocuind valoare numericaÎn locul valorii a, puteți calcula cu ușurință valoarea numerică a zonei segmentului.

Exemplul 2

Raza cercului este egală cu a. Gradul de măsurare a arcului corespunzător segmentului este de 60°. Găsiți aria segmentului circular.

Soluţie:

Aria sectorului corespunzătoare unui unghi dat poate fi calculată folosind următoarea formulă:

Sc = πа²/360°*60° = πa²/6,

Aria triunghiului corespunzătoare sectorului se calculează după cum urmează:

S▲=1/2*ah, unde h este înălțimea trasă de la vârful unghiului central la coardă. Conform teoremei lui Pitagora h=√(a²-a²/4)= √3*a/2.

În consecință, S▲=√3/4*a².

Și, în cele din urmă, aria segmentului, calculată ca Sreg = Sc - S▲, este egală cu:

Sreg = πa²/6 - √3/4*a².

Soluțiile în ambele cazuri sunt aproape identice. Astfel, putem concluziona că pentru a calcula aria unui segment în cel mai simplu caz, este suficient să cunoaștem valoarea unghiului corespunzător arcului segmentului și unul dintre cei doi parametri - fie raza cercului, fie lungimea coardei care subtind arcul de cerc care formează segmentul.

Surse:

Segment - geometrie

În acest articol vă voi spune cum să rezolvați problemele care folosesc .

Mai întâi, ca de obicei, să ne amintim definițiile și teoremele pe care trebuie să le cunoașteți pentru a rezolva cu succes probleme în .

1.Unghi înscris este un unghi al cărui vârf se află pe un cerc și ale cărui laturi intersectează cercul:

2.Unghiul central este unghiul al cărui vârf coincide cu centrul cercului:

Valoarea gradului unui arc de cerc măsurată prin mărimea unghiului central care se sprijină pe el.

ÎN în acest caz, valoarea gradului a arcului AC este egală cu valoarea unghiului AOS.

3. Dacă unghiurile înscrise și central se bazează pe același arc, atunci unghiul înscris este jumătate din dimensiunea unghiului central:

4. Toate unghiurile înscrise care se sprijină pe un arc sunt egale între ele:

5. Unghiul înscris subtinut de diametru este de 90°:

Să rezolvăm mai multe probleme.

1 . Sarcina B7 (nr. 27887)

Să găsim valoarea unghiului central care se sprijină pe același arc:

Evident, unghiul AOC este egal cu 90°, prin urmare unghiul ABC este egal cu 45°

Răspuns: 45°

2. Sarcina B7 (Nr. 27888)

Aflați dimensiunea unghiului ABC. Dați răspunsul în grade.

Evident, unghiul AOC este de 270°, apoi unghiul ABC este de 135°.

Răspuns: 135°

3. Sarcina B7 (nr. 27890)

Aflați valoarea gradului a arcului AC al cercului subîntins de unghiul ABC. Dați răspunsul în grade.

Să găsim valoarea unghiului central care se sprijină pe arcul AC:

Mărimea unghiului AOS este de 45°, prin urmare, măsura gradului de arc AC este de 45°.

Răspuns: 45°.

4 . Sarcina B7 (nr. 27885)

Aflați unghiul ACB dacă unghiurile înscrise ADB și DAE se sprijină pe arce de cerc ale căror valori ale gradelor sunt egale cu și respectiv. Dați răspunsul în grade.

Unghiul ADB se sprijină pe arcul AB, prin urmare, valoarea unghiului central AOB este egală cu 118°, prin urmare, unghiul BDA este egal cu 59°, iar unghiul adiacent ADC este egal cu 180°-59° = 121°

În mod similar, unghiul DOE este de 38° și unghiul înscris corespunzător DAE este de 19°.

Luați în considerare triunghiul ADC:

Suma unghiurilor unui triunghi este 180°.

Unghiul ACB este egal cu 180°- (121°+19°)=40°

Răspuns: 40°

5 . Sarcina B7 (nr. 27872)

Laturile patrulaterului ABCD AB, BC, CD și AD subtind arce de cerc circumscrise ale căror valori ale gradului sunt egale cu , , și, respectiv. Găsiți unghiul B al acestui patrulater. Dați răspunsul în grade.

Unghiul B se sprijină pe arcul ADC, a cărui valoare este egală cu suma valorilor arcelor AD și CD, adică 71°+145°=216°

Unghiul înscris B este egal cu jumătate din mărimea arcului ADC, adică 108°

Răspuns: 108°

6. Sarcina B7 (nr. 27873)

Punctele A, B, C, D, situate pe un cerc, împart acest cerc în patru arce AB, BC, CD și AD, ale căror valori sunt în raportul respectiv 4:2:3:6. Aflați unghiul A al patrulaterului ABCD. Dați răspunsul în grade.

(vezi desenul sarcinii anterioare)

Deoarece am dat raportul mărimilor arcelor, introducem elementul unitar x. Apoi mărimea fiecărui arc va fi exprimată prin următorul raport:

AB=4x, BC=2x, CD=3x, AD=6x. Toate arcurile formează un cerc, adică suma lor este 360°.

4x+2x+3x+6x=360°, deci x=24°.

Unghiul A este susținut de arce BC și CD, care împreună au o valoare de 5x=120°.

Prin urmare, unghiul A este de 60°

Răspuns: 60°

7. Sarcina B7 (nr. 27874)

Patrulater ABCDînscris într-un cerc. Colţ ABC egal cu , unghi CAD