Prvočísla: história a fakty. Ako nájsť prvočísla

prvočíslo Je prirodzené (kladné celé číslo) číslo, ktoré možno bezo zvyšku deliť iba dvomi prirodzenými číslami: samo sebou a samo sebou. Inými slovami, prvočíslo má práve dvoch prirodzených deliteľov: a samotné číslo.

Podľa definície je množina všetkých prvočíselných deliteľov dvojprvková, t.j. je súprava.

Množina všetkých prvočísel je označená symbolom. Na základe definície množiny prvočísel teda môžeme písať:.

Postupnosť prvočísel vyzerá takto:

Základná aritmetická veta

Základná aritmetická veta uvádza, že každé prirodzené číslo väčšie ako jedna môže byť reprezentované ako súčin prvočísel, a to jedinečným spôsobom až do poradia faktorov. Prvočísla sú teda základnými „stavebnými kameňmi“ množiny prirodzených čísel.

Rozklad prirodzeného čísla title = "(! LANG: Rendered by QuickLaTeX.com" height="13" width="42" style="vertical-align: -1px;"> в произведение простых чисел называют !} kanonický:

kde je prvočíslo a. Napríklad kanonický rozvoj prirodzeného čísla vyzerá takto:.

Reprezentácia prirodzeného čísla ako súčinu prvočísel sa tiež nazýva faktorizácia čísla.

Vlastnosti prvočísel

Eratosthenove sito

Jedným z najznámejších algoritmov na vyhľadávanie a rozpoznávanie prvočísel je sito Eratosthenes... Tento algoritmus bol teda pomenovaný po gréckom matematikovi Eratosthenesovi z Kyrény, ktorý je považovaný za autora algoritmu.

Ak chcete nájsť všetky prvočísla menšie ako dané číslo, podľa metódy Eratosthenes postupujte takto:

Krok 1. Vypíšte za sebou všetky prirodzené čísla od dvoch do, t.j. ...
Krok 2. Priraďte premennej hodnotu, teda hodnotu rovnajúcu sa najmenšiemu prvočíslu.
Krok 3 Prečiarknite v zozname všetky čísla od po násobky, teda čísla:.
Krok 4 Nájdite prvé neprečiarknuté číslo v zozname, väčšie ako, a priraďte hodnotu tohto čísla premennej.
Krok 5. Opakujte kroky 3 a 4, kým nedosiahnete číslo.

Proces aplikácie algoritmu bude vyzerať takto:

Všetky zostávajúce nezačiarknuté čísla v zozname na konci procesu aplikácie algoritmu budú množinou prvočísiel od do.

Goldbachova hypotéza

Obal knihy „Strýko Petros a Goldbachova domnienka“

Napriek tomu, že prvočísla matematici skúmali už dlho, dnes mnohé súvisiace problémy zostávajú nevyriešené. Jedným z najznámejších nevyriešených problémov je Goldbachove dohady, ktorý je formulovaný takto:

  • Je pravda, že každé párne číslo väčšie ako dva možno znázorniť ako súčet dvoch prvočísel (Goldbachova binárna hypotéza)?
  • Je pravda, že každé nepárne číslo väčšie ako 5 môže byť vyjadrené ako súčet troch prvočísel (Goldbachova ternárna domnienka)?

Treba povedať, že ternárna Goldbachova domnienka je špeciálnym prípadom binárnej Goldbachovej domnienky, alebo, ako hovoria matematici, Goldbachova ternárna domnienka je slabšia ako binárna Goldbachova domnienka.

Goldbachova hypotéza sa stala široko známou mimo matematickej komunity v roku 2000 vďaka reklamnému marketingovému triku vydavateľských spoločností Bloomsbury USA (USA) a Faber and Faber (UK). Títo vydavatelia, ktorí vydali knihu „Uncle Petros and Goldbach's Conjecture“ („Uncle Petros and Goldbach's Conjecture“), sľúbili zaplatiť cenu 1 milión amerických dolárov do 2 rokov od dátumu vydania knihy tomu, kto preukáže Goldbachova hypotéza. Cena vydavateľa je niekedy zamieňaná s Millennium Prize Problems. Nenechajte sa pomýliť, Goldbachova hypotéza nie je klasifikovaná „Hlineným inštitútom“ ako „Výzva milénia“, hoci úzko súvisí s Riemannova hypotéza- jedna z „výziev tisícročia“.

Kniha „Prvočísla. Dlhá cesta do nekonečna"

Obal knihy „Svet matematiky. Základné čísla. Dlhá cesta do nekonečna"

Okrem toho odporúčam prečítať si fascinujúcu populárno-náučnú knihu, ktorej anotácia hovorí: „Hľadanie prvočísel je jedným z najparadoxnejších problémov v matematike. Vedci sa to pokúšali vyriešiť niekoľko tisícročí, no zarastené novými verziami a hypotézami zostáva táto záhada stále nevyriešená. Vznik prvočísel nepodlieha žiadnemu systému: vznikajú spontánne v sérii prirodzených čísel, ignorujúc všetky pokusy matematikov identifikovať vzory v ich postupnosti. Táto kniha umožní čitateľovi sledovať vývoj vedeckých konceptov od staroveku až po súčasnosť a predstaví najkurióznejšie teórie hľadania prvočísel.

Dodatočne odcitujem začiatok druhej kapitoly tejto knihy: „Prvočísla sú jednou z dôležitých tém, ktoré nás privedú späť k samým počiatkom matematiky, a potom nás po ceste stále väčšej zložitosti vedú do popredia matematiky. moderná veda. Bolo by teda veľmi užitočné sledovať fascinujúcu a zložitú históriu teórie prvočísel: ako presne sa vyvíjala, ako presne sa zbierali fakty a pravdy, ktoré sú dnes všeobecne akceptované. V tejto kapitole uvidíme, ako generácie matematikov skúmali prirodzené čísla pri hľadaní pravidla na predpovedanie prvočísel – pravidla, ktoré sa v tomto procese stávalo stále nepolapiteľnejším. Bližšie sa pozrieme aj na historické súvislosti: v akých podmienkach matematici pracovali a do akej miery sa pri ich práci uplatňovali mystické a polonáboženské postupy, ktoré sa vôbec nepodobajú vedeckým metódam používaným v našej dobe. Napriek tomu sa pomaly a ťažko pripravovala pôda pre nové pohľady, ktoré inšpirovali Fermata a Eulera v 17. a 18. storočí.“


V tomto článku preskúmame prvočísla a zložené čísla... Najprv uvedieme definície prvočísel a zložených čísel, ako aj príklady. Potom dokážeme, že prvočísel je nekonečne veľa. Ďalej si zapíšeme tabuľku prvočísel a zvážime metódy zostavenia tabuľky prvočísel, pričom osobitnú pozornosť venujeme metóde nazývanej Eratosthenovo sito. Na záver poukážeme na hlavné body, ktoré je potrebné zvážiť pri dokazovaní, že dané číslo je prvočíslo alebo zložené.

Navigácia na stránke.

Prvočísla a zložené čísla – definície a príklady

Prvočísla a zložené čísla označujú tie, ktoré sú väčšie ako jedna. Takéto celé čísla sa v závislosti od počtu ich kladných deliteľov delia na prvočísla a zložené čísla. Tak aby som pochopil definície prvočísel a zložených čísel, musíte mať dobrú predstavu o tom, čo sú deliteľ a násobky.

Definícia.

základné čísla Sú celé čísla, veľké, ktoré majú iba dvoch kladných deliteľov, a to seba a 1.

Definícia.

Zložené čísla Sú celé čísla, veľké, ktoré majú aspoň troch kladných deliteľov.

Samostatne si všimneme, že číslo 1 sa nevzťahuje na prvočísla ani na zložené čísla. Jednotka má iba jedného kladného deliteľa, ktorým je samotné číslo 1. Takto sa číslo 1 líši od všetkých ostatných kladných celých čísel, ktoré majú aspoň dvoch kladných deliteľov.

Vzhľadom na to, že kladné celé čísla sú a že jednotka má iba jedného kladného deliteľa, môžete uviesť iné formulácie znejúcich definícií prvočísel a zložených čísel.

Definícia.

Jednoduché čísla sú prirodzené čísla, ktoré majú iba dvoch kladných deliteľov.

Definícia.

Zložené čísla sú prirodzené čísla, ktoré majú viac ako dvoch kladných deliteľov.

Všimnite si, že každé kladné celé číslo väčšie ako jedna je buď prvočíslo alebo zložené. Inými slovami, neexistuje jediné celé číslo, ktoré by nebolo jednoduché ani zložené. Vyplýva to z vlastnosti deliteľnosti, ktorá hovorí, že čísla 1 a a sú vždy deliteľmi ľubovoľného celého čísla a.

Na základe informácií v predchádzajúcom odseku môžete zadať nasledujúcu definíciu zložených čísel.

Definícia.

Voláme prirodzené čísla, ktoré nie sú prvočísla zložka.

Dajme si príklady prvočísel a zložených čísel.

Príklady zložených čísel sú 6, 63, 121 a 6697. Toto vyhlásenie si tiež vyžaduje objasnenie. Číslo 6 má okrem kladných deliteľov 1 a 6 aj deliteľa 2 a 3, keďže 6 = 2 · 3, teda 6 je naozaj zložené číslo. Kladné delitele 63 sú 1, 3, 7, 9, 21 a 63. 121 sa rovná 11 11, takže kladné faktory sú 1, 11 a 121. A číslo 6 697 je zložené, keďže jeho kladnými deliteľmi sú okrem 1 a 6 697 aj čísla 37 a 181.

Na záver tohto bodu by som chcel upozorniť aj na skutočnosť, že prvočísla a dvojčísla nie sú ani zďaleka to isté.

Tabuľka prvočísel

Prvočísla sú pre pohodlie ich ďalšieho použitia zaznamenané v tabuľke s názvom tabuľka prvočísel. Nižšie je uvedený tabuľka prvočísel do 1000.

Vynára sa logická otázka: „Prečo sme naplnili tabuľku prvočísel len do 1000, nie je možné zostaviť tabuľku všetkých existujúcich prvočísel“?

Najprv odpovedzme na prvú časť tejto otázky. Na väčšinu úloh, pri riešení ktorých budete musieť použiť prvočísla, nám budú stačiť prvočísla do tisícky. V iných prípadoch sa s najväčšou pravdepodobnosťou budete musieť uchýliť k niektorým špeciálnym metódam riešenia. Aj keď nepochybne môžeme zostaviť tabuľku prvočísel až do ľubovoľne veľkého konečného kladného čísla, či už je to 10 000 alebo 1 000 000 000, v ďalšom odseku si povieme o metódach zostavovania tabuliek prvočísiel, najmä si rozoberieme metódu, ktorá dostal meno.

Teraz poďme zistiť možnosť (alebo skôr nemožnosť) zostaviť tabuľku všetkých existujúcich prvočísel. Nemôžeme zostaviť tabuľku všetkých prvočísel, pretože prvočísiel je nekonečne veľa. Posledným tvrdením je veta, ktorú dokážeme po ďalšej pomocnej vete.

Veta.

Najmenší kladný a ne-1 deliteľ prirodzeného čísla väčšieho ako jedna je prvočíslo.

Dôkaz.

Nechaj a je prirodzené číslo väčšie ako jedna a b je najmenší kladný nejednotný deliteľ čísla a. Dokážme, že b je prvočíslo kontradikciou.

Predpokladajme, že b je zložené číslo. Potom je tu deliteľ čísla b (označme ho b 1), ktorý je odlišný od 1 aj b. Ak vezmeme do úvahy aj to, že absolútna hodnota deliteľa nepresahuje absolútnu hodnotu dividendy (vieme to z vlastností deliteľnosti), potom podmienka 1

Keďže číslo a je deliteľné b podmienkou a povedali sme, že b je deliteľné b 1, pojem deliteľnosti nám umožňuje hovoriť o existencii celých čísel q a q 1 takých, že a = bq a b = b 1 q 1, odkiaľ a = b 1 (q 1 q). Z toho vyplýva, že súčin dvoch celých čísel je celé číslo, potom rovnosť a = b 1 · (q 1 · q) udáva, že b 1 je deliteľ čísla a. Berúc do úvahy vyššie uvedené nerovnosti 1

Teraz môžeme dokázať, že prvočísel je nekonečne veľa.

Veta.

Prvočísel je nekonečne veľa.

Dôkaz.

Predpokladajme, že nie. To znamená, že predpokladajme, že existuje len n prvočísel a tieto prvočísla sú p 1, p 2, ..., p n. Ukážme, že vždy môžeme nájsť iné prvočíslo, ako sú uvedené.

Uvažujme číslo p rovné p 1 · p 2 ·... · p n +1. Je jasné, že toto číslo sa líši od každého z prvočísel p 1, p 2,…, p n. Ak je p prvočíslo, potom je veta dokázaná. Ak je toto číslo zložené, potom na základe predchádzajúcej vety existuje prvočíselník tohto čísla (označíme ho p n + 1). Ukážme, že tento deliteľ sa nezhoduje so žiadnym z čísel p 1, p 2,…, p n.

Ak by to tak nebolo, potom by podľa vlastností deliteľnosti bol súčin p 1 · p 2 ·… · p n deliteľný p n + 1. Ale číslo p je tiež deliteľné p n + 1, čo sa rovná súčtu p 1 · p 2 ·... · p n +1. Z toho vyplýva, že druhý člen tohto súčtu, ktorý sa rovná jednej, musí byť vydelený p n + 1, ale to nie je možné.

Bolo dokázané, že vždy sa dá nájsť nové prvočíslo, ktoré nie je medzi ľubovoľným počtom vopred priradených prvočísel. Preto prvočísel je nekonečne veľa.

Čiže vzhľadom na to, že prvočísel je nekonečne veľa, pri zostavovaní tabuliek prvočísiel sa vždy zhora obmedzia nejakým číslom, zvyčajne 100, 1000, 10000 atď.

Eratosthenove sito

Teraz si rozoberieme spôsoby zostavovania tabuliek prvočísel. Povedzme, že potrebujeme vytvoriť tabuľku prvočísel do 100.

Najzrejmejšou metódou riešenia tohto problému je postupná kontrola kladných celých čísel, počnúc 2 a končiac 100, na prítomnosť kladného deliteľa, ktorý je väčší ako 1 a menší ako testované číslo (z vlastností deliteľnosti vieme že absolútna hodnota deliteľa nepresahuje absolútnu hodnotu dividendy, nenulovú). Ak sa takýto deliteľ nenájde, kontrolované číslo je prvočíslo a zapíše sa do tabuľky prvočísel. Ak sa takýto deliteľ nájde, potom je kontrolované číslo zložené, NEZApisuje sa do tabuľky prvočísel. Potom sa uskutoční prechod na ďalšie číslo, ktoré sa podobne skontroluje na prítomnosť deliteľa.

Poďme si popísať prvých pár krokov.

Začíname číslom 2. Číslo 2 nemá kladných deliteľov, okrem 1 a 2. Preto je to jednoduché, preto to zapíšeme do tabuľky prvočísel. Tu treba povedať, že 2 je najmenšie prvočíslo. Prechod na číslo 3. Jeho možný kladný deliteľ, iný ako 1 a 3, je 2. Ale 3 nie je deliteľné 2, preto je 3 prvočíslo a treba ho zadať aj do tabuľky prvočísel. Prejdeme k číslu 4. Jeho pozitívnymi faktormi, okrem 1 a 4, môžu byť čísla 2 a 3, poďme si ich overiť. Číslo 4 je deliteľné 2, takže 4 je zložené číslo a nie je potrebné ho zadávať do prvočísla. Všimnite si, že 4 je najmenšie zložené číslo. Prejdeme k číslu 5. Skontrolujte, či aspoň jedno z čísel 2, 3, 4 je jeho deliteľ. Keďže 5 nie je deliteľné 2, 3 alebo 4, je jednoduché a treba ho zapísať do tabuľky prvočísel. Potom nasleduje prechod na čísla 6, 7 a tak ďalej až do 100.

Tento prístup k zostaveniu tabuľky prvočísel má ďaleko od ideálu. Tak či onak, má právo na existenciu. Všimnite si, že pri tejto metóde konštrukcie tabuľky celých čísel môžete použiť kritériá deliteľnosti, ktoré mierne urýchlia proces hľadania deliteľov.

Existuje pohodlnejší spôsob zostavenia tabuľky prvočísel, tzv. Slovo „sito“ prítomné v názve nie je náhodné, pretože pôsobenie tejto metódy pomáha takpovediac „preosiať“ cez Eratosthenovo sito celé čísla, veľké jednotky, aby sa oddelilo prvočíslo od zloženého.

Ukážme si Eratosthenovo sito v akcii pri zostavovaní tabuľky prvočísel do 50.

Najprv si zapíšeme čísla 2, 3, 4,…, 50 v poradí.


Prvé zaznamenané číslo 2 je prvočíslo. Teraz sa od čísla 2 postupne posúvame o dve čísla doprava a tieto čísla škrtáme, kým sa nedostaneme na koniec zostavenej tabuľky čísel. Tým sa prečiarknu všetky násobky dvoch.

Prvé neprečiarknuté číslo po 2 je 3. Toto číslo je prvočíslo. Teraz sa od čísla 3 postupne posunieme o tri čísla doprava (berúc do úvahy už prečiarknuté čísla) a prečiarkneme ich. Tým sa prečiarknu všetky čísla, ktoré sú násobkom troch.

Prvé neprečiarknuté číslo po 3 je 5. Toto číslo je prvočíslo. Teraz sa od čísla 5 postupne posunieme doprava o 5 čísel (berieme do úvahy predtým prečiarknuté čísla) a prečiarkneme ich. Tým sa prečiarknu všetky násobky piatich.

Potom prečiarknite čísla, ktoré sú násobkom 7, potom násobkom 11 atď. Proces končí, keď nezostanú žiadne čísla na prečiarknutie. Nižšie je uvedená kompletná tabuľka prvočísel do 50 získaných pomocou Eratosthenovho sita. Všetky neprečiarknuté čísla sú prvočísla a všetky prečiarknuté čísla sú zložené.

Sformulujme a dokážme vetu, ktorá urýchli proces zostavovania tabuľky prvočísel pomocou Eratosthenovho sita.

Veta.

Najmenší kladný a nie jeden deliteľ zloženého čísla a nepresahuje, kde je od a.

Dôkaz.

Nech b označuje najmenšieho a nejednotného deliteľa zloženého čísla a (číslo b je prvočíslo, čo vyplýva z vety dokázanej na samom začiatku predchádzajúceho pododdielu). Potom existuje celé číslo q také, že a = b q (tu q je kladné celé číslo, čo vyplýva z pravidiel pre násobenie celých čísel) a (pre b> q je porušená podmienka, že b je najmenším deliteľom a), pretože q je tiež deliteľom čísla a na základe rovnosti a = q · b). Vynásobením oboch strán nerovnosti kladným celým číslom b väčším ako jedna (môžeme to urobiť), dostaneme, odkiaľ a.

Čo nám dáva dokázaná veta o Eratosthenovom site?

Po prvé, vymazanie zložených čísel, ktoré sú násobkami prvočísla b, by malo začať číslom rovným (to vyplýva z nerovnosti). Napríklad prečiarknutie čísel, ktoré sú násobkom dvoch, by malo začínať 4, násobky troch 9, násobky piatich 25 atď.

Po druhé, zostavenie tabuľky prvočísel až po číslo n pomocou Eratosthenovho sita možno považovať za úplné, keď sa vymažú všetky zložené čísla, ktoré sú násobkami prvočísel, ktoré nepresahujú. V našom príklade je n = 50 (keďže zostavujeme tabuľku prvočísel do 50), a preto musí Eratosthenove sito odstrániť všetky zložené čísla, ktoré sú násobkami prvočísel 2, 3, 5 a 7, ktoré nepresahujú aritmetická druhá odmocnina z 50. To znamená, že už nemusíme hľadať a preškrtávať čísla, ktoré sú násobkami prvočísel 11, 13, 17, 19, 23 a tak ďalej až do 47, keďže už budú prečiarknuté ako násobky menších prvočísel 2, 3, 5 a 7...

Je toto číslo prvočíslo alebo zložené?

Niektoré úlohy vyžadujú zistenie, či je dané číslo prvočíslo alebo zložené. Vo všeobecnom prípade nie je táto úloha ani zďaleka jednoduchá, najmä pokiaľ ide o čísla, ktorých záznam pozostáva z veľkého počtu znakov. Vo väčšine prípadov musíte hľadať nejaký konkrétny spôsob, ako to vyriešiť. Pokúsime sa však nasmerovať tok myšlienok pre jednoduché prípady.

Nepochybne sa môžete pokúsiť použiť kritériá deliteľnosti, aby ste dokázali, že dané číslo je zložené. Ak napríklad nejaký znak deliteľnosti ukazuje, že dané číslo je deliteľné nejakým kladným celým číslom väčším ako jedna, potom je pôvodné číslo zložené.

Príklad.

Dokážte, že číslo 898 989 898 989 898 989 je zložené.

Riešenie.

Súčet číslic tohto čísla je 9 8 + 9 9 = 9 17. Keďže číslo rovné 9 · 17 je deliteľné 9, potom na základe deliteľnosti 9 možno tvrdiť, že pôvodné číslo je deliteľné aj 9. Preto je zložený.

Významnou nevýhodou tohto prístupu je, že testy deliteľnosti neumožňujú dokázať, že číslo je prvočíslo. Preto pri kontrole čísla, či je jednoduché alebo zložené, musíte konať inak.

Najlogickejší prístup je iterovať cez všetky možné delitele daného čísla. Ak žiadny z možných deliteľov nie je skutočným deliteľom daného čísla, potom toto číslo bude prvočíslo, inak bude zložené. Z teorém dokázaných v predchádzajúcej časti vyplýva, že deliteľov daného čísla a treba hľadať medzi prvočíslami, ktoré nepresahujú. Dané číslo a možno teda postupne deliť prvočíslami (ktoré je vhodné vziať z tabuľky prvočísel), pričom sa snažíme nájsť deliteľa čísla a. Ak sa nájde deliteľ, potom je číslo a zložené. Ak medzi prvočíslami, ktoré nepresahujú, nie je deliteľ čísla a, potom číslo a je prvočíslo.

Príklad.

číslo 11 723 jednoduché alebo zložené?

Riešenie.

Poďme zistiť, do akého prvočísla môžu byť deliče čísla 11 723. Za to budeme odhadovať.

To je pomerne zrejmé , od roku 200 2 = 40 000 a 11 723<40 000 (при необходимости смотрите статью porovnanie čísel). Možné hlavné faktory pre 11 723 sú teda menšie ako 200. Už to značne uľahčuje našu úlohu. Ak by sme to nevedeli, museli by sme opakovať všetky prvočísla nie až po 200, ale až po číslo 11 723.

Ak chcete, môžete odhadnúť presnejšie. Pretože 108 2 = 11 664 a 109 2 = 11 881, potom 108 2<11 723<109 2 , следовательно, ... Každé z prvočísel menších ako 109 je teda potenciálne prvočíselným deliteľom daného čísla 11 723.

Teraz postupne rozdelíme číslo 11 723 prvočíslami 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107. Ak je číslo 11 723 celé vydelené jedným zo zapísaných prvočísel, bude zložené. Ak nie je deliteľné žiadnym zo zapísaných prvočísel, tak pôvodné číslo je prvočíslo.

Nebudeme popisovať celý tento monotónny a monotónny proces delenia. Povedzme hneď, že 11 723

prvočíslo

prirodzené číslo väčšie ako jedna a nemá žiadnych iných deliteľov okrem seba a jedného: 2, 3, 5, 7, 11, 13 ... Počet prvočísel je nekonečný.

prvočíslo

kladné celé číslo väčšie ako jedna, ktoré nemá iných deliteľov okrem seba a jedného: 2, 3, 5, 7, 11, 13, ... čísla; Hlavný teorém teórie deliteľnosti totiž stanovuje, že každé kladné celé číslo iné ako 1 možno jednoznačne rozložiť na súčin P. čísla (poradie faktorov sa v tomto prípade neberie do úvahy). Čísel je nekonečne veľa (tento návrh poznali už starogrécki matematici, jeho dôkaz je v 9. knihe Euklidových živlov). Otázky deliteľnosti prirodzených čísel a následne otázky súvisiace s čiastkovými číslami majú veľký význam pri skúmaní skupín; najmä štruktúra skupiny s konečným počtom prvkov úzko súvisí so spôsobom, akým sa tento počet prvkov (poradie skupiny) rozkladá na prvočiniteľa. V teórii algebraických čísel sa uvažuje o otázkach deliteľnosti integrálnych algebraických čísel; koncept parciálneho čísla sa ukázal ako nedostatočný pre konštrukciu teórie deliteľnosti – to viedlo k vytvoreniu konceptu ideálu. P.G.L.Dirichlet v roku 1837 stanovil, že aritmetická postupnosť a + bx pre x = 1, 2, ... so spoločnými celými číslami a a b obsahuje nekonečne veľa P. čísel. Množstvo čísel je v teórii čísel veľmi zložitý problém. Ide o štúdiu asymptotického správania funkcie p (x), ktorá označuje počet P. čísel nepresahujúcich kladné číslo x. Prvé výsledky v tomto smere patria P. L. Čebyševovi, ktorý v roku 1850 dokázal, že existujú dve také konštanty a a A, že< p(x) < ═при любых x ³ 2 [т. е., что p(х) растет, как функция ]. Хронологически следующим значительным результатом, уточняющим теорему Чебышева, является т. н. асимптотический закон распределения П. ч. (Ж. Адамар, 1896, Ш. Ла Валле Пуссен, 1896), заключающийся в том, что предел отношения p(х) к ═равен

    Následne sa značné úsilie matematikov zameralo na objasnenie asymptotického zákona rozdelenia P. čísel Otázky rozdelenia P. čísel sa študujú tak elementárnymi metódami, ako aj metódami matematickej analýzy. Metóda založená na použití identity

    (dielo zasahuje do všetkých P. častí p = 2, 3, ...), ktoré prvýkrát naznačil L. Euler; táto identita platí pre všetky komplexy s reálnou časťou väčšou ako jedna. Na základe tejto identity sa otázky distribúcie P. čísel redukujú na štúdium špeciálnej funkcie ≈ zeta-funkcie x (s), definovanej pre Res> 1 radom

    Táto funkcia bola použitá v otázkach distribúcie P. h. Pre skutočné s od Čebyševa; B. Riemann poukázal na dôležitosť štúdia x (s) pre komplexné hodnoty s. Riemann predpokladal, že všetky korene rovnice x (s) = 0 ležiace v pravej polrovine majú reálnu časť rovnajúcu sa 1 /

    Táto hypotéza nebola dodnes (1975) dokázaná; jeho dôkaz by dal veľa pri riešení problému rozdelenia P. čísel Otázky rozdelenia P. čísel úzko súvisia s Goldbachovým problémom, s dodnes nevyriešeným problémom „dvojičiek“ a ďalšími problémami analytického čísla. teória. Problémom „dvojičiek“ je zistiť, samozrejme alebo donekonečna, počet P. h., ktoré sa líšia o 2 (ako napr. 11 a 13). Tabuľky P. h., ktoré sa nachádzajú v rámci prvých 11 miliónov prirodzených čísel, ukazujú prítomnosť veľmi veľkých „dvojičiek“ (napríklad 10006427 a 10006429), ale to nie je dôkazom nekonečnosti ich počtu. Mimo zostavených tabuliek sú známe jednotlivé P. h., ktoré pripúšťajú jednoduchý aritmetický výraz [napríklad (1965) sa zistilo, že ≈ 211213 ≈1 je P. h; má 3376 číslic].

    Lit.: Vinogradov I.M., Základy teórie čísel, 8. vydanie, M., 1972; Hasse G., Prednášky o teórii čísel, prel. z toho, M., 1953; Ingam A.E., Distribúcia prvočísel, prekl. z angličtiny, M. ≈ L., 1936; Prahar K., Rozdelenie prvočísel, prekl. z toho, M., 1967; Trost E., Primes, lane, with it., M., 1959.

Wikipedia

prvočíslo

prvočíslo- prirodzené číslo, ktoré má práve dvoch rôznych prirodzených deliteľov - a samo seba. Inými slovami, číslo X je jednoduché, ak je väčšie ako 1 a je deliteľné iba 1 a X... Napríklad 5 je prvočíslo a 6 je zložené číslo, keďže okrem 1 a 6 je deliteľné aj 2 a 3.

Prirodzené čísla, ktoré sú väčšie ako jedna a nie sú prvočísla, sa nazývajú zložené čísla. Všetky prirodzené čísla sú teda rozdelené do troch tried: jednotka. Teória čísel sa zaoberá štúdiom vlastností prvočísel. V teórii prstencov zodpovedajú neredukovateľné prvky prvočíslam.

Postupnosť prvočísel začína takto:

2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 , 31 , 37 , 41 , 43 , 47 , 53 , 59 , 61 , 67 , 71 , 73 , 79 , 83 , 89 , 97 , 101 , 103 , 107 , 109 , 113 , 127 , 131 , 137 , 139 , 149 , 151 , 157 , 163 , 167 , 173 , 179 , 181 , 191 , 193 , 197 , 199 …

  • Preklad

Vlastnosti prvočísel prvýkrát študovali matematici starovekého Grécka. Matematici pytagorejskej školy (500 - 300 pred Kristom) sa zaujímali predovšetkým o mystické a numerologické vlastnosti prvočísel. Boli prví, ktorí prišli s myšlienkou dokonalých a priateľských čísel.

Pre dokonalé číslo je súčet jeho vlastných deliteľov rovný sebe samému. Napríklad správnymi deliteľmi čísla 6 sú 1, 2 a 3,1 + 2 + 3 = 6. Pre číslo 28 sú deliteľmi 1, 2, 4, 7 a 14. Navyše 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.

Čísla sa nazývajú priateľské, ak sa súčet vlastných deliteľov jedného čísla rovná druhému, a naopak - napríklad 220 a 284. Môžeme povedať, že dokonalé číslo je priateľské samo k sebe.

V čase objavenia sa Euklidovho diela „Začiatky“ v roku 300 pred Kr. niekoľko dôležitých faktov o prvočíslach už bolo dokázaných. V knihe IX Počiatkov Euklides dokázal, že prvočísel je nekonečné množstvo. Toto je mimochodom jeden z prvých príkladov použitia dôkazu protirečením. Dokazuje tiež základnú vetu aritmetiky - každé celé číslo môže byť reprezentované jednoznačne ako súčin prvočísel.

Ukázal tiež, že ak je číslo 2 n -1 prvočíslo, potom číslo 2 n-1 * (2 n -1) bude dokonalé. Iný matematik Euler dokázal v roku 1747 ukázať, že všetky párne dokonalé čísla možno zapísať v tejto forme. Dodnes nie je známe, či existujú nepárne dokonalé čísla.

V roku 200 pred Kr. Grék Eratosthenes prišiel s algoritmom na hľadanie prvočísel, ktorý sa nazýva „Eratosthenovo sito“.

A potom nastal veľký zlom v dejinách štúdia prvočísel, spojený so stredovekom.

Nasledujúce objavy urobil už začiatkom 17. storočia matematik Fermat. Dokázal hypotézu Alberta Girarda, že každé prvočíslo v tvare 4n + 1 možno zapísať jedinečným spôsobom ako súčet dvoch štvorcov, a tiež sformuloval vetu, že každé číslo možno znázorniť ako súčet štyroch štvorcov.

Vyvinul novú metódu rozkladu veľkých čísel a demonštroval ju na čísle 2027651281 = 44021 × 46061. Dokázal aj Fermatovu Malú vetu: ak je p prvočíslo, potom pre akékoľvek celé číslo a bude pravdivé ap = modulo p .

Toto tvrdenie dokazuje polovicu toho, čo bolo známe ako „čínska hypotéza“ a pochádza z obdobia pred 2000 rokmi: celé číslo n je prvočíslo práve vtedy, ak je 2 n -2 deliteľné číslom n. Druhá časť hypotézy sa ukázala ako nepravdivá – napríklad 2341 – 2 je deliteľné 341, hoci 341 je zložené číslo: 341 = 31 × 11.

Fermatova malá veta slúžila ako základ pre mnohé ďalšie výsledky v teórii čísel a metódy testovania čísel, aby patrili k prvočíslam – mnohé z nich sa dodnes používajú.

Fermat si veľa dopisoval so svojimi súčasníkmi, najmä s mníchom menom Maren Mersenne. V jednom zo svojich listov vyslovil hypotézu, že čísla v tvare 2 n + 1 budú vždy prvočísla, ak n je mocninou dvoch. Skontroloval to pre n = 1, 2, 4, 8 a 16 a bol si istý, že v prípade, keď n nie je mocninou dvoch, číslo nemusí byť nevyhnutne jednoduché. Tieto čísla sa nazývajú Fermatove čísla a len o 100 rokov neskôr Euler ukázal, že nasledujúce číslo 2 32 + 1 = 4294967297 je deliteľné 641, a preto nie je prvočíslo.

Predmetom výskumu boli aj čísla v tvare 2 n - 1, keďže je ľahké ukázať, že ak je n zložené, potom je zložené aj samotné číslo. Tieto čísla sa nazývajú Mersennove čísla, pretože ich aktívne študoval.

Ale nie všetky čísla v tvare 2 n - 1, kde n je prvočíslo, sú prvočísla. Napríklad 2 11 - 1 = 2047 = 23 * 89. Prvýkrát to bolo objavené v roku 1536.

Čísla tohto druhu už mnoho rokov dávajú matematikom najväčšie známe prvočísla. Číslo M 19 dokázal Cataldi v roku 1588 a bolo najväčším známym prvočíslom za posledných 200 rokov, kým Euler nedokázal, že prvočíslo bolo aj M 31. Tento záznam trval ďalších sto rokov a potom Lucas ukázal, že M 127 je jednoduchý (a toto je už 39-miestne číslo) a potom výskum pokračoval s príchodom počítačov.

V roku 1952 sa dokázala jednoduchosť čísel M 521, M 607, M 1279, M 2203 a M 2281.

Do roku 2005 sa našlo 42 Mersennových prvočísel. Najväčší z nich, M 25964951, pozostáva zo 7 816 230 číslic.

Eulerova práca mala obrovský vplyv na teóriu čísel, vrátane prvočísel. Rozšíril Fermatovu Malú vetu a zaviedol φ-funkciu. Faktorizovala Fermatovo 5. číslo 2 32 + 1, našla 60 párov priateľských čísel a sformulovala (ale nedokázala dokázať) zákon kvadratickej reciprocity.

Ako prvý predstavil metódy matematickej analýzy a vyvinul analytickú teóriu čísel. Dokázal, že nielen harmonický rad ∑ (1 / n), ale aj rad tvaru

1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 +…

Diverguje sa aj súčet získaný prevrátenou hodnotou prvočísel. Súčet n členov harmonického radu rastie približne ako log (n) a druhý rad diverguje pomalšie, ako log [log (n)]. To znamená, že napríklad súčet recipročných hodnôt na všetky doteraz nájdené prvočísla dá iba 4, hoci séria sa stále rozchádza.

Na prvý pohľad sa zdá, že prvočísla sú medzi celými číslami rozdelené dosť náhodne. Napríklad medzi 100 číslami, ktoré idú priamo pred 10 000 000, je 9 prvočísiel a medzi 100 číslami bezprostredne za touto hodnotou sú len 2. Ale na veľkých segmentoch sú prvočísla rozdelené pomerne rovnomerne. Legendre a Gauss sa zaoberali ich distribúciou. Gauss raz povedal priateľovi, že za každých voľných 15 minút vždy spočíta počet prvočísel v nasledujúcich 1000 číslach. Do konca života narátal všetky prvočísla v rozsahu do 3 miliónov. Legendre a Gauss rovnako vypočítali, že pre veľké n je primárna hustota 1 / log (n). Legendre odhadol počet prvočísel v rozsahu od 1 do n as

π (n) = n / (log (n) - 1,08366)

A Gauss - ako logaritmický integrál

π (n) = ∫ 1 / log (t) dt

S integračným intervalom od 2 do n.

Výrok o hustote prvočísel 1 / log (n) je známy ako teorém prvočísel. Snažili sa to dokázať počas celého 19. storočia a pokrok urobili Čebyšev a Riemann. Spojili to s Riemannovou hypotézou, stále nepotvrdenou hypotézou o rozdelení núl Riemannovej zeta funkcie. Hustotu prvočísel súčasne dokázali Hadamard a de la Vallée-Poussin v roku 1896.

V teórii prvočísel je stále veľa nevyriešených problémov, z ktorých niektoré sú staré stovky rokov:

  • domnienka o dvojčatách - o nekonečnom počte dvojíc prvočísel líšiacich sa od seba o 2
  • Goldbachova domnienka: akékoľvek párne číslo, počnúc 4, môže byť vyjadrené ako súčet dvoch prvočísel
  • Existuje nekonečne veľa prvočísel tvaru n 2 + 1?
  • je vždy možné nájsť prvočíslo medzi n 2 a (n + 1) 2? (to, že medzi n a 2n je vždy prvočíslo, dokázal Čebyšev)
  • Sú Fermatove prvočísla nekonečné? Existujú nejaké Fermatove prvočísla po 4.?
  • existuje aritmetický postup po sebe idúcich prvočísiel pre danú dĺžku? napríklad pre dĺžku 4: 251, 257, 263, 269. Maximálna zistená dĺžka je 26.
  • Existuje nekonečný počet množín troch po sebe idúcich prvočísiel v aritmetickej postupnosti?
  • n 2 - n + 41 je prvočíslo pre 0 ≤ n ≤ 40. Existuje nekonečný počet takýchto prvočísel? Rovnaká otázka pre vzorec n 2 - 79 n + 1601. Tieto čísla sú prvočísla pre 0 ≤ n ≤ 79.
  • Existuje nekonečný počet prvočísiel ako n # + 1? (n # je násobenie všetkých prvočísel menších ako n)
  • Existuje nekonečne veľa prvočísel ako n # -1?
  • Existuje nekonečný počet prvočísiel tvaru n! + 1?
  • Existuje nekonečný počet prvočísiel tvaru n! - jeden?
  • ak p je prvočíslo, či 2 p -1 vždy neobsahuje prvočísla medzi činiteľmi druhých mocnín
  • obsahuje Fibonacciho postupnosť nekonečný počet prvočísiel?

Najväčšie dvojičky medzi prvočíslami sú 2003663613 × 2 195000 ± 1. Pozostávajú z 58711 číslic a boli nájdené v roku 2007.

Najväčšie faktoriálne prvočíslo (v tvare n! ± 1) je 147855! - 1. Skladá sa zo 142 891 číslic a bol nájdený v roku 2002.

Najväčšie prvotné prvočíslo (číslo ako n # ± 1) je 1098133 # + 1.

Štítky: Pridať štítky

Vyčíslenie deliteľov. Podľa definície číslo n je jednoduché iba vtedy, ak nie je deliteľné 2 a inými celými číslami okrem 1 a samého seba. Vyššie uvedený vzorec vám umožňuje odstrániť nepotrebné kroky a ušetriť čas: napríklad po kontrole, či je číslo deliteľné 3, nie je potrebné kontrolovať, či je deliteľné 9.

  • Spodná hranica (x) zaokrúhli x na najbližšie celé číslo menšie alebo rovné x.

Získajte informácie o modulárnej aritmetike. Operácia „x mod y“ (mod je skratka latinského slova „modulo“, teda „modul“) znamená „vydeľte x y a nájdite zvyšok“. Inými slovami, v modulárnej aritmetike, pri dosiahnutí určitej hodnoty, ktorá je tzv modul, čísla sa opäť "otočia" na nulu. Napríklad hodiny odpočítavajú s modulom 12: ukazujú 10, 11 a 12 hodín a potom sa vrátia na 1.

  • Mnoho kalkulačiek má mod kľúč. Na konci tejto časti sa dozviete, ako manuálne vypočítať túto funkciu pre veľké čísla.

  • Prečítajte si o úskaliach Fermatovej Malej vety. Všetky čísla, pre ktoré nie sú splnené podmienky testu, sú zložené, ale ostatné čísla sú len pravdepodobne sú jednoduché. Ak sa chcete vyhnúť nesprávnym výsledkom, hľadajte n v zozname "Carmichaelových čísel" (zložené čísla, ktoré vyhovujú tomuto testu) a "Fermat pseudoprvočísla" (tieto čísla zodpovedajú podmienkam testu len pre niektoré hodnoty a).

    Ak je to vhodné, použite Miller-Rabinov test. Hoci je táto metóda dosť ťažkopádna na manuálne výpočty, často sa používa v počítačových programoch. Poskytuje prijateľnú rýchlosť a menej chýb ako Fermatova metóda. Zložené číslo sa nebude považovať za prvočíslo, ak sa výpočty vykonávajú pre viac ako ¼ hodnôt a... Ak náhodne vyberiete rôzne hodnoty a a u všetkých z nich test poskytne pozitívny výsledok, môžeme s pomerne vysokou mierou istoty predpokladať, že n je prvočíslo.

  • Pre veľké čísla použite modulárnu aritmetiku. Ak nemáte po ruke modovú kalkulačku alebo kalkulačka nie je navrhnutá tak, aby zvládla také veľké čísla, použite na uľahčenie výpočtov výkonové vlastnosti a modulárnu aritmetiku. Nižšie je uvedený príklad pre 3 50 (\ štýl zobrazenia 3 ^ (50)) mod 50:

    • Prepíšte výraz do vhodnejšej formy: mod 50. Pre manuálne výpočty môžu byť potrebné ďalšie zjednodušenia.
    • (3 25 ∗ 3 25) (\ štýl zobrazenia (3 ^ (25) * 3 ^ (25))) mod 50 = mod 50 mod 50) mod 50. Tu sme brali do úvahy vlastnosť modulárneho násobenia.
    • 3 25 (\ štýl zobrazenia 3 ^ (25)) mod 50 = 43.
    • (3 25 (\ štýl zobrazenia (3 ^ (25)) mod 50 ∗ 3 25 (\ displaystyle * 3 ^ (25)) mod 50) mod 50 = (43 ∗ 43) (\ štýl zobrazenia (43 * 43)) mod 50.
    • = 1849 (\ štýl zobrazenia = 1849) mod 50.
    • = 49 (\ štýl zobrazenia = 49).
    • 2021 nowonline.ru
    O lekároch, nemocniciach, ambulanciách, pôrodniciach