Vzorce pre plochy a objemy objemových čísel. Vzorce na zistenie objemu rovnobežnostena

A starí Egypťania používali metódy na výpočet plôch rôznych obrazcov, podobné našim metódam.

V mojich knihách "začiatky" slávny starogrécky matematik Euclid opísal celkom veľké číslo metódy na výpočet plôch mnohých geometrické tvary. Prvé rukopisy v Rusi obsahujúce geometrické informácie boli napísané v 16. storočí. Popisujú pravidlá hľadania plôch figúrok rôznych tvarov.

Dnes s pomocou moderné metódy môžete nájsť oblasť akejkoľvek postavy s veľkou presnosťou.

Zoberme si jednu z najjednoduchších postáv - obdĺžnik - a vzorec na nájdenie jeho oblasti.

Vzorec oblasti obdĺžnika

Uvažujme obrazec (obr. 1), ktorý pozostáva z $8$ štvorcov so stranami $1$ cm. Plocha jedného štvorca so stranou $1$ cm sa nazýva štvorcový centimeter a píše sa $1\ cm^2 $.

Plocha tohto obrázku (obr. 1) sa bude rovnať $8\cm^2$.

Plocha postavy, ktorú možno rozdeliť na niekoľko štvorcov so stranou $1\ cm$ (napríklad $p$), sa bude rovnať $p\ cm^2$.

Inými slovami, plocha obrazca sa bude rovnať toľkým $cm^2$, na koľko štvorcov so stranou $1\ cm$ možno tento údaj rozdeliť.

Zoberme si obdĺžnik (obr. 2), ktorý pozostáva z $3$ pruhov, z ktorých každý je rozdelený na $5$ štvorce so stranou $1\ cm$. celý obdĺžnik pozostáva z $5\cdot 3=15$ takýchto štvorcov a jeho plocha je $15\cm^2$.

Obrázok 1.

Obrázok 2

Oblasť čísel je zvyčajne označená písmenom $S$.

Ak chcete nájsť oblasť obdĺžnika, musíte vynásobiť jeho dĺžku jeho šírkou.

Ak jeho dĺžku označíme písmenom $a$ a šírku písmenom $b$, potom vzorec pre oblasť obdĺžnika bude vyzerať takto:

Definícia 1

Figúrky sú tzv rovný ak sa čísla pri prekrytí jedna na druhú zhodujú. Rovnaké čísla majú rovnaké oblasti a rovnaké obvody.

Plochu postavy možno nájsť ako súčet plôch jej častí.

Príklad 1

Napríklad na obrázku $3$ je obdĺžnik $ABCD$ rozdelený na dve časti čiarou $KLMN$. Plocha jednej časti je $12\ cm^2$ a druhej $9\ cm^2$. Potom sa plocha obdĺžnika $ABCD$ bude rovnať $12\ cm^2+9\ cm^2=21\ cm^2$. Nájdite oblasť obdĺžnika pomocou vzorca:

Ako vidíte, oblasti nájdené oboma metódami sú rovnaké.

Obrázok 3.

Obrázok 4.

Úsečka $AC$ rozdeľuje obdĺžnik na dva rovnaké trojuholníky: $ABC$ a $ADC$. To znamená, že plocha každého trojuholníka sa rovná polovici plochy celého obdĺžnika.

Definícia 2

Obdĺžnik s rovnaké strany volal námestie.

Ak stranu štvorca označíme písmenom $a$, potom sa plocha štvorca nájde podľa vzorca:

Odtiaľ pochádza názov štvorca čísla $a$.

Príklad 2

Napríklad, ak je strana štvorca 5 $ cm, potom jeho plocha je:

Objemy

S rozvojom obchodu a stavebníctva v časoch starovekých civilizácií vznikla potreba nájsť objemy. V matematike existuje časť geometrie, ktorá sa zaoberá štúdiom priestorových útvarov, nazývaná stereometria. Zmienky o tomto oddelenom odvetví matematiky sa našli už v $IV$ storočí pred naším letopočtom.

Starovekí matematici vyvinuli metódu na výpočet objemu jednoduchých postáv - kocky a rovnobežnostenu. Všetky budovy tých čias mali tento tvar. Neskôr sa však našli metódy na výpočet objemu postáv zložitejších tvarov.

Objem pravouhlého rovnobežnostena

Ak formu naplníte mokrým pieskom a potom ju otočíte, získate trojrozmernú postavu, ktorá sa vyznačuje objemom. Ak vytvoríte niekoľko takýchto figúrok pomocou rovnakej formy, dostanete figúrky, ktoré majú rovnaký objem. Ak naplníte formu vodou, objem vody a objem pieskovej figúry budú tiež rovnaké.

Obrázok 5.

Objemy dvoch nádob môžete porovnať tak, že jednu naplníte vodou a nalejete do druhej nádoby. Ak je druhá nádoba úplne naplnená, potom majú nádoby rovnaký objem. Ak voda zostane v prvej, potom je objem prvej nádoby väčší ako objem druhej. Ak pri nalievaní vody z prvej nádoby nie je možné úplne naplniť druhú nádobu, potom je objem prvej nádoby menší ako objem druhej nádoby.

Objem sa meria v nasledujúcich jednotkách:

$mm^3$ -- kubický milimeter,

$cm^3$ -- kubický centimeter,

$dm^3$ -- decimeter kubický,

$m^3$ -- meter kubický,

$km^3$ -- kilometer kubický.

Akékoľvek geometrické teleso môže byť charakterizované plochou (S) a objemom (V). Plocha a objem nie sú vôbec to isté. Objekt môže mať relatívne malé V a veľké S, napríklad takto funguje ľudský mozog. Je oveľa jednoduchšie vypočítať tieto ukazovatele pre jednoduché geometrické tvary.

Rovnobežníky: definícia, typy a vlastnosti

Rovnobežník je štvorhranný hranol s rovnobežníkom na jeho základni. Prečo možno potrebujete vzorec na zistenie objemu postavy? Knihy, obalové krabice a mnoho iných vecí od Každodenný život. Miestnosti v obytných a kancelárskych budovách sú zvyčajne pravouhlé rovnobežnosteny. Na inštaláciu vetrania, klimatizácie a určenie počtu vykurovacích telies v miestnosti je potrebné vypočítať objem miestnosti.

Postava má 6 plôch - rovnobežníky a 12 hrán, dve náhodne vybrané plochy sa nazývajú základne. Rovnobežník môže byť niekoľkých typov. Rozdiely sú spôsobené uhlami medzi susednými okrajmi. Vzorce na nájdenie V rôznych polygónov sa mierne líšia.

Ak je 6 plôch geometrického útvaru obdĺžniky, potom sa nazýva aj obdĺžnikový. Kocka je špeciálny prípad kvádra, v ktorom je všetkých 6 stien rovnaké štvorce. V tomto prípade, aby ste našli V, musíte zistiť dĺžku iba jednej strany a zvýšiť ju na tretiu mocninu.

Na vyriešenie problémov budete potrebovať znalosti nielen o hotových vzorcoch, ale aj o vlastnostiach figúry. Zoznam základných vlastností pravouhlého hranola je malý a veľmi ľahko pochopiteľný:

1. Protiľahlé strany obrázku sú rovnaké a rovnobežné. To znamená, že rebrá umiestnené oproti majú rovnakú dĺžku a uhol sklonu.
2. Všetky bočné steny pravý rovnobežnosten - obdĺžniky.
3. Štyri hlavné diagonály geometrického útvaru sa pretínajú v jednom bode a sú ním rozdelené na polovicu.
4. Druhá mocnina uhlopriečky rovnobežnostena sa rovná súčtu druhých mocnín rozmerov obrazca (vyplýva z Pytagorovej vety).

Pytagorova veta uvádza, že súčet plôch štvorcov postavených na stranách pravouhlého trojuholníka sa rovná ploche trojuholníka postaveného na prepone toho istého trojuholníka.

Dôkaz poslednej vlastnosti je možné vidieť na obrázku nižšie. Proces riešenia problému je jednoduchý a nevyžaduje podrobné vysvetlenia.

Vzorec pre objem pravouhlého rovnobežnostena

Vzorec na nájdenie pre všetky typy geometrických útvarov je rovnaký: V=S*h, kde V je požadovaný objem, S je plocha základne rovnobežnostena, h je výška znížená z protiľahlého vrcholu a kolmo na základňu. V obdĺžniku sa h zhoduje s jednou zo strán obrázku, takže ak chcete nájsť objem obdĺžnikového hranola, musíte vynásobiť tri rozmery.

Objem sa zvyčajne vyjadruje v cm3. Poznať všetky tri hodnoty a, b a c, nájsť objem figúry nie je vôbec ťažké. Najbežnejším typom problému pri jednotnej štátnej skúške je nájdenie objemu alebo uhlopriečky rovnobežnostena. Vyriešiť veľa typických Zadania jednotnej štátnej skúšky Bez vzorca pre objem obdĺžnika je to nemožné. Príklad úlohy a návrh jej riešenia je na obrázku nižšie.

Poznámka 1. Plochu pravouhlého hranola možno nájsť vynásobením súčtu plôch troch plôch obrázku 2: základne (ab) a dvoch susedných bočných plôch (bc + ac).

Poznámka 2. Plochu bočných plôch možno ľahko určiť vynásobením obvodu základne výškou rovnobežnostena.

Na základe prvej vlastnosti rovnobežnostenov AB = A1B1 a plochy B1D1 = BD. Podľa dôsledkov Pytagorovej vety je súčet všetkých uhlov v pravouhlom trojuholníku 180° a rameno oproti uhlu 30° je rovná prepone. Aplikovaním týchto poznatkov na trojuholník ľahko zistíme dĺžku strán AB a AD. Potom vynásobíme získané hodnoty a vypočítame objem rovnobežnostena.

Vzorec na zistenie objemu nakloneného rovnobežnostena

Na nájdenie objemu nakloneného rovnobežnostena je potrebné vynásobiť plochu základne obrázku výškou zníženou na danú základňu z opačného rohu.

Požadované V teda môže byť reprezentované v tvare h - počet listov so základnou plochou S, takže objem balíčka pozostáva z Vs všetkých kariet.

Príklady riešenia problémov

Úlohy jedinej skúšky musia byť dokončené do určitého času. Typické úlohy spravidla neobsahujú veľká kvantita výpočtovej techniky a komplexné frakcie. Študent sa často pýta, ako nájsť objem nepravidelného geometrického útvaru. V takýchto prípadoch je potrebné pamätať na jednoduché pravidlo, že celkový objem rovná súčtu V komponenty.

Ako vidíte z príkladu na obrázku vyššie, pri riešení takýchto problémov nie je nič ťažké. Úlohy zo zložitejších sekcií vyžadujú znalosť Pytagorovej vety a jej dôsledkov, ako aj vzorca pre dĺžku uhlopriečky obrazca. Na úspešné vyriešenie testových úloh stačí vopred sa oboznámiť s ukážkami typických problémov.

A starí Egypťania používali metódy na výpočet plôch rôznych obrazcov, podobné našim metódam.

V mojich knihách "začiatky" Slávny starogrécky matematik Euclid opísal pomerne veľké množstvo spôsobov, ako vypočítať plochy mnohých geometrických útvarov. Prvé rukopisy v Rusi obsahujúce geometrické informácie boli napísané v 16. storočí. Popisujú pravidlá hľadania plôch figúrok rôznych tvarov.

Dnes pomocou moderných metód môžete nájsť oblasť akejkoľvek postavy s veľkou presnosťou.

Zoberme si jednu z najjednoduchších postáv - obdĺžnik - a vzorec na nájdenie jeho oblasti.

Vzorec oblasti obdĺžnika

Uvažujme obrazec (obr. 1), ktorý pozostáva z $8$ štvorcov so stranami $1$ cm. Plocha jedného štvorca so stranou $1$ cm sa nazýva štvorcový centimeter a píše sa $1\ cm^2 $.

Plocha tohto obrázku (obr. 1) sa bude rovnať $8\cm^2$.

Plocha postavy, ktorú možno rozdeliť na niekoľko štvorcov so stranou $1\ cm$ (napríklad $p$), sa bude rovnať $p\ cm^2$.

Inými slovami, plocha obrazca sa bude rovnať toľkým $cm^2$, na koľko štvorcov so stranou $1\ cm$ možno tento údaj rozdeliť.

Zoberme si obdĺžnik (obr. 2), ktorý pozostáva z $3$ pruhov, z ktorých každý je rozdelený na $5$ štvorce so stranou $1\ cm$. celý obdĺžnik pozostáva z $5\cdot 3=15$ takýchto štvorcov a jeho plocha je $15\cm^2$.

Obrázok 1.

Obrázok 2

Oblasť čísel je zvyčajne označená písmenom $S$.

Ak chcete nájsť oblasť obdĺžnika, musíte vynásobiť jeho dĺžku jeho šírkou.

Ak jeho dĺžku označíme písmenom $a$ a šírku písmenom $b$, potom vzorec pre oblasť obdĺžnika bude vyzerať takto:

Definícia 1

Figúrky sú tzv rovný ak sa čísla pri prekrytí jedna na druhú zhodujú. Rovnaké postavy majú rovnaké plochy a rovnaké obvody.

Plochu postavy možno nájsť ako súčet plôch jej častí.

Príklad 1

Napríklad na obrázku $3$ je obdĺžnik $ABCD$ rozdelený na dve časti čiarou $KLMN$. Plocha jednej časti je $12\ cm^2$ a druhej $9\ cm^2$. Potom sa plocha obdĺžnika $ABCD$ bude rovnať $12\ cm^2+9\ cm^2=21\ cm^2$. Nájdite oblasť obdĺžnika pomocou vzorca:

Ako vidíte, oblasti nájdené oboma metódami sú rovnaké.

Obrázok 3.

Obrázok 4.

Úsečka $AC$ rozdeľuje obdĺžnik na dva rovnaké trojuholníky: $ABC$ a $ADC$. To znamená, že plocha každého trojuholníka sa rovná polovici plochy celého obdĺžnika.

Definícia 2

Obdĺžnik s rovnakými stranami sa nazýva námestie.

Ak stranu štvorca označíme písmenom $a$, potom sa plocha štvorca nájde podľa vzorca:

Odtiaľ pochádza názov štvorca čísla $a$.

Príklad 2

Napríklad, ak je strana štvorca 5 $ cm, potom jeho plocha je:

Objemy

S rozvojom obchodu a stavebníctva v časoch starovekých civilizácií vznikla potreba nájsť objemy. V matematike existuje časť geometrie, ktorá sa zaoberá štúdiom priestorových útvarov, nazývaná stereometria. Zmienky o tomto oddelenom odvetví matematiky sa našli už v $IV$ storočí pred naším letopočtom.

Starovekí matematici vyvinuli metódu na výpočet objemu jednoduchých postáv - kocky a rovnobežnostenu. Všetky budovy tých čias mali tento tvar. Neskôr sa však našli metódy na výpočet objemu postáv zložitejších tvarov.

Objem pravouhlého rovnobežnostena

Ak formu naplníte mokrým pieskom a potom ju otočíte, získate trojrozmernú postavu, ktorá sa vyznačuje objemom. Ak vytvoríte niekoľko takýchto figúrok pomocou rovnakej formy, dostanete figúrky, ktoré majú rovnaký objem. Ak naplníte formu vodou, objem vody a objem pieskovej figúry budú tiež rovnaké.

Obrázok 5.

Objemy dvoch nádob môžete porovnať tak, že jednu naplníte vodou a nalejete do druhej nádoby. Ak je druhá nádoba úplne naplnená, potom majú nádoby rovnaký objem. Ak voda zostane v prvej, potom je objem prvej nádoby väčší ako objem druhej. Ak pri nalievaní vody z prvej nádoby nie je možné úplne naplniť druhú nádobu, potom je objem prvej nádoby menší ako objem druhej nádoby.

Objem sa meria v nasledujúcich jednotkách:

$mm^3$ -- kubický milimeter,

$cm^3$ -- kubický centimeter,

$dm^3$ -- decimeter kubický,

$m^3$ -- meter kubický,

$km^3$ -- kilometer kubický.

Na vyriešenie problémov s geometriou potrebujete poznať vzorce - ako je oblasť trojuholníka alebo oblasť rovnobežníka - ako aj jednoduché techniky, ktoré budeme pokrývať.

Najprv sa naučme vzorce pre oblasti obrázkov. Špeciálne sme ich zhromaždili v pohodlnej tabuľke. Tlačte, učte sa a aplikujte!

Samozrejme, nie všetky geometrické vzorce sú v našej tabuľke. Napríklad riešiť úlohy z geometrie a stereometrie v druhej časti profil Jednotná štátna skúška V matematike sa používajú aj iné vzorce pre oblasť trojuholníka. Určite vám o nich povieme.

Ale čo keď potrebujete nájsť nie oblasť lichobežníka alebo trojuholníka, ale oblasť nejakej zložitej postavy? Existujú univerzálne spôsoby! Ukážeme si ich na príkladoch z banky úloh FIPI.

1. Ako nájsť oblasť neštandardnej postavy? Napríklad ľubovoľný štvoruholník? Jednoduchá technika - rozdeľme tento obrazec na tie, o ktorých vieme všetko, a nájdime jeho plochu - ako súčet plôch týchto obrazcov.

Rozdeľte tento štvoruholník vodorovnou čiarou na dva trojuholníky so spoločnou základňou rovnajúcou sa . Výšky týchto trojuholníkov sa rovnajú a . Potom sa plocha štvoruholníka rovná súčtu plôch dvoch trojuholníkov: .

Odpoveď: .

2. V niektorých prípadoch môže byť oblasť obrázku reprezentovaná ako rozdiel niektorých oblastí.

Nie je také ľahké vypočítať, čomu sa rovná základňa a výška tohto trojuholníka! Môžeme však povedať, že jeho obsah sa rovná rozdielu medzi plochami štvorca so stranou a tromi pravouhlými trojuholníkmi. Vidíte ich na obrázku? Dostaneme: .

Odpoveď: .

3. Niekedy v úlohe musíte nájsť oblasť nie celej postavy, ale jej časti. Zvyčajne hovoríme o ploche sektora - časti kruhu. Nájdite plochu sektora kruhu s polomerom, ktorého dĺžka oblúka sa rovná .

Na tomto obrázku vidíme časť kruhu. Plocha celého kruhu sa rovná . Zostáva zistiť, ktorá časť kruhu je zobrazená. Keďže dĺžka celého kruhu je rovnaká (od) a dĺžka oblúka daného sektora je rovnaká, dĺžka oblúka je preto menšia ako dĺžka celého kruhu. Uhol, pod ktorým tento oblúk spočíva, je tiež faktor menší ako celý kruh (t. j. stupne). To znamená, že plocha sektora bude niekoľkonásobne menšia ako plocha celého kruhu.

Všeobecná recenzia. Stereometrické vzorce!

Ahoj, Drahí priatelia! V tomto článku som sa rozhodol urobiť všeobecný prehľadúlohy stereometrie, ktoré budú zapnuté Jednotná štátna skúška z matematiky e) Treba povedať, že úlohy z tejto skupiny sú dosť rôznorodé, ale nie náročné. Sú to problémy pri hľadaní geometrických veličín: dĺžky, uhly, plochy, objemy.

Uvažuje sa: kocka, kváder, hranol, ihlan, zložený mnohosten, valec, kužeľ, guľa. Smutným faktom je, že niektorí absolventi takéto problémy nepreberú ani pri samotnej skúške, hoci viac ako 50% z nich sa rieši jednoducho, takmer ústne.

Zvyšok si vyžaduje malé úsilie, znalosti a špeciálne techniky. V budúcich článkoch zvážime tieto úlohy, nenechajte si to ujsť, prihláste sa na odber aktualizácií blogu.

Ak chcete vyriešiť, musíte vedieť vzorce pre povrchy a objemy rovnobežnosten, pyramída, hranol, valec, kužeľ a guľa. Neexistujú žiadne zložité problémy, všetky sú vyriešené v 2-3 krokoch, je dôležité „vidieť“, aký vzorec je potrebné použiť.

Všetky potrebné vzorce sú uvedené nižšie:

Lopta alebo guľa. Guľový alebo guľový povrch (niekedy jednoducho guľa) je geometrické miesto bodov v priestore rovnako vzdialených od jedného bodu - stredu lopty.

Objem lopty rovná objemu pyramídy, ktorej základňa má rovnakú plochu ako povrch gule a výška je polomer gule

Objem gule je jedenapolkrát menší ako objem valca, ktorý je okolo nej opísaný.

Kruhový kužeľ možno získať otáčaním pravouhlého trojuholníka okolo jednej z jeho nôh, preto sa kruhový kužeľ nazýva aj rotačný kužeľ. Pozri tiež Povrchová plocha kruhového kužeľa

Objem okrúhleho kužeľa rovná jednej tretine súčinu základnej plochy S a výšky H:

(H je výška hrany kocky)

Rovnobežník je hranol, ktorého základňou je rovnobežník. Rovnobežník má šesť plôch a všetky sú rovnobežníky. Rovnobežník, ktorého štyri bočné strany sú obdĺžniky, sa nazýva rovný rovnobežnosten. Pravý rovnobežnosten, ktorého šesť stien sú všetky obdĺžniky, sa nazýva pravouhlý.

Objem pravouhlého rovnobežnostena rovná súčinu plochy základne a výšky:

(S je plocha základne pyramídy, h je výška pyramídy)

Pyramída je mnohosten, ktorý má jednu stranu - základňu pyramídy - ľubovoľný mnohouholník a zvyšok - bočné steny - trojuholníky so spoločným vrcholom, ktorý sa nazýva vrchol pyramídy.

Časť rovnobežná so základňou pyramídy rozdeľuje pyramídu na dve časti. Časť pyramídy medzi jej základňou a touto časťou je zrezaná pyramída.

Objem zrezanej pyramídy rovná jednej tretine súčinu výšky h (OS) súčtom plôch hornej základne S1 (abcde), spodná základňa zrezaného ihlana S2 (ABCDE) a priemerný pomer medzi nimi.

1.

V=

n - počet strán pravidelného mnohouholníka - základne pravidelná pyramída
a - strana pravidelného mnohouholníka - základňa pravidelného ihlana
h - výška pravidelnej pyramídy

Pravidelná trojuholníková pyramída je mnohosten, ktorý má jednu stranu - základňu pyramídy - pravidelný trojuholník a zvyšok - bočné steny - rovnaké trojuholníky so spoločným vrchom. Výška klesá do stredu základne zhora.

Hlasitosť správna trojuholníková pyramída rovná jednej tretine súčinu plochy pravidelný trojuholník, čo je základ S (ABC) do výšky h (OS)

a - strana pravidelného trojuholníka - základňa pravidelného trojuholníkového ihlanu
h - výška pravidelného trojuholníkového ihlana

Odvodenie vzorca pre objem štvorstenu

Objem štvorstenu sa vypočíta pomocou klasického vzorca pre objem pyramídy. Je potrebné nahradiť výšku štvorstenu a plochu pravidelného (rovnostranného) trojuholníka.

Objem štvorstenu- sa rovná zlomku v čitateľovi, ktorého druhá odmocnina z dvoch v menovateli je dvanásť, vynásobený druhou mocninou dĺžky hrany štvorstenu

(h je dĺžka strany kosoštvorca)

Obvod p je približne tri celé a jedna sedmina dĺžky priemeru kruhu. Presný pomer obvodu kruhu k jeho priemeru je označený gréckym písmenom π

V dôsledku toho sa obvod kruhu alebo obvodu vypočíta pomocou vzorca

π r n

(r - polomer oblúka, n - stredový uhol oblúky v stupňoch.)