Ako nájsť oblasť geometrických tvarov? Ako vypočítať plochu tvaru

Plochy geometrických tvarov sú číselné hodnoty, ktoré charakterizujú ich veľkosť v dvojrozmernom priestore. Túto hodnotu možno merať v systémových a nesystémových jednotkách. Čiže napríklad nesystémová jednotka plochy – tkanie, hektár. Toto je prípad, ak je meraným povrchom pozemok. Systémová jednotka plochy je druhá mocnina dĺžky. V systéme SI sa všeobecne uznáva, že jednotkou plochy rovného povrchu je meter štvorcový. V GHS je jednotka plochy vyjadrená v centimetroch štvorcových.

Geometrické a plošné vzorce sú neoddeliteľne spojené. Táto súvislosť spočíva v tom, že výpočet plôch plošných útvarov je založený práve na ich aplikácii. Pri mnohých tvaroch sa zobrazuje niekoľko možností, podľa ktorých sa vypočítavajú ich štvorcové veľkosti. Na základe údajov o stave problému vieme určiť najjednoduchší spôsob jeho riešenia. Teda na uľahčenie výpočtu a zníženie pravdepodobnosti výpočtových chýb na minimum. Za týmto účelom zvážte hlavné oblasti tvarov v geometrii.

Vzorce na nájdenie oblasti akéhokoľvek trojuholníka sú prezentované niekoľkými spôsobmi:

1) Plocha trojuholníka sa vypočíta zo základne a a výšky h. Základňa je strana postavy, na ktorú je výška znížená. Potom je plocha trojuholníka:

2) Plocha pravouhlého trojuholníka sa vypočíta rovnakým spôsobom, ak sa prepona považuje za základňu. Ak vezmeme nohu ako základ, potom sa plocha pravouhlého trojuholníka bude rovnať polovičnému produktu nôh.

Vzorce na výpočet plochy akéhokoľvek trojuholníka tam nekončia. Iný výraz obsahuje strany a, b a sínusovú funkciu uhla γ medzi a a b. Sínusovú hodnotu nájdete v tabuľkách. Môžete to zistiť aj pomocou kalkulačky. Potom je plocha trojuholníka:

Touto rovnosťou sa môžete tiež uistiť, že plocha pravouhlého trojuholníka je určená dĺžkami nôh. Pretože uhol γ je priamka, takže plocha pravouhlého trojuholníka sa vypočíta bez násobenia funkciou sínus.

3) Uvažujme špeciálny prípad - pravidelný trojuholník, ktorého strana a je známa podmienkou alebo jeho dĺžka sa dá nájsť pri riešení. Nič iné nie je známe o tvare v úlohe geometrie. Ako potom nájsť oblasť v tomto stave? V tomto prípade sa použije vzorec pre oblasť pravidelného trojuholníka:

Obdĺžnik

Ako zistíte oblasť obdĺžnika a použijete rozmery strán, ktoré majú spoločný vrchol? Výraz pre výpočet je:

Ak potrebujete použiť dĺžky uhlopriečok na výpočet plochy obdĺžnika, potom potrebujete funkciu sínusu uhla vytvoreného v ich priesečníku. Tento vzorec pre oblasť obdĺžnika je:

Námestie

Plocha štvorca je definovaná ako druhá mocnina dĺžky strany:

Dôkaz vyplýva z definície, podľa ktorej sa obdĺžnik nazýva štvorec. Všetky strany tvoriace štvorec majú rovnaké rozmery. Výpočet plochy takého obdĺžnika sa preto redukuje na násobenie jeden po druhom, to znamená na druhú mocninu strany. A vzorec na výpočet plochy štvorca bude mať požadovanú formu.

Plochu štvorca možno nájsť iným spôsobom, napríklad pomocou uhlopriečky:

Ako vypočítať plochu obrazca, ktorý je tvorený časťou roviny ohraničenej kruhom? Na výpočet plochy sa používajú tieto vzorce:

Paralelogram

Pre rovnobežník obsahuje vzorec lineárne rozmery strany, výšky a matematický úkon – násobenie. Ak výška nie je známa, ako potom nájsť oblasť rovnobežníka? Existuje aj iný spôsob výpočtu. Bude potrebná určitá hodnota, ktorú získa trigonometrická funkcia uhla, ktorý zvierajú susedné strany, ako aj ich dĺžka.

Vzorce pre oblasť rovnobežníka sú:

Rhombus

Ako zistíte oblasť štvoruholníka nazývaného kosoštvorec? Plocha kosoštvorca sa určuje pomocou jednoduchej matematiky s uhlopriečkami. Dôkaz sa opiera o skutočnosť, že segmenty uhlopriečok na d1 a d2 sa pretínajú v pravom uhle. Sínusová tabuľka ukazuje, že pre pravý uhol je táto funkcia rovná jednej. Preto sa plocha kosoštvorca vypočíta takto:

Ďalšiu oblasť kosoštvorca možno nájsť iným spôsobom. Tiež to nie je ťažké dokázať, keďže jeho strany sú rovnako dlhé. Potom ich súčin nahraďte podobným výrazom pre rovnobežník. Koniec koncov, konkrétny prípad tejto konkrétnej postavy je kosoštvorec. Tu je γ vnútorný roh kosoštvorca. Plocha kosoštvorca sa určuje takto:

Lichobežník

Ako nájsť oblasť lichobežníka cez základne (a a b), ak sú ich dĺžky uvedené v probléme? Tu, bez známej hodnoty dĺžky výšky h, nebude možné vypočítať plochu takéhoto lichobežníka. Pretože táto hodnota obsahuje výraz na výpočet:

Rovnakým spôsobom možno vypočítať aj štvorcový rozmer obdĺžnikového lichobežníka. V tomto prípade sa berie do úvahy, že v obdĺžnikovom lichobežníku sa kombinujú pojmy výška a strana. Preto pre obdĺžnikový lichobežník namiesto výšky musíte zadať dĺžku bočnej strany.

Valec a rovnobežnosten

Uvažujme, čo je potrebné na výpočet povrchu celého valca. Oblasť tohto obrázku je dvojica kruhov nazývaných základne a bočný povrch. Kruhy, ktoré tvoria kruhy, majú polomer dĺžky r. Pre plochu valca sa vykoná nasledujúci výpočet:

Ako zistíte oblasť rovnobežnostena, ktorý má tri páry plôch? Jeho miery sa zhodujú s konkrétnym párom. Protiľahlé tváre majú rovnaké parametre. Najprv nájdite S (1), S (2), S (3) - štvorcové veľkosti nerovnakých tvárí. Potom už povrchová plocha rovnobežnostena:

Zazvoniť

Dva kruhy so spoločným stredom tvoria krúžok. Obmedzujú tiež oblasť prsteňa. V tomto prípade oba vzorce výpočtu zohľadňujú rozmery každého kruhu. Prvý z nich, ktorý počíta plochu prstenca, obsahuje väčší polomer R a menší polomer r. Častejšie sa nazývajú vonkajšie a vnútorné. V druhom výraze sa plocha krúžku vypočíta ako väčší priemer D a menší priemer d. Plocha krúžku pre známe polomery sa teda vypočíta takto:

Plocha krúžku sa pomocou dĺžok priemerov určuje takto:

Polygón

Ako nájdem oblasť mnohouholníka, ktorý nemá správny tvar? Neexistuje žiadny všeobecný vzorec pre oblasť takýchto čísel. Ale ak je to znázornené napríklad na súradnicovej rovine, môže to byť kockovaný papier, ako potom v tomto prípade nájsť plochu? Tu sa používa metóda, ktorá nevyžaduje približne meranie postavy. Robia to takto: ak nájdu body, ktoré spadajú do rohu bunky alebo majú celočíselné súradnice, berú sa do úvahy iba tie. Ak chcete zistiť, o akú oblasť ide, použite vzorec, ktorý dokázal Peak. Je potrebné pripočítať počet bodov umiestnených vo vnútri lomenej čiary s polovicou bodov ležiacich na nej a odpočítať jeden, to znamená, že sa vypočíta takto:

kde В, Г - počet bodov umiestnených vo vnútri a na celej prerušovanej čiare.

Na vyriešenie problémov v geometrii potrebujete poznať vzorce - ako je oblasť trojuholníka alebo oblasť rovnobežníka - ako aj jednoduché triky, o ktorých budeme hovoriť.

Najprv sa naučme vzorce pre oblasti obrázkov. Špeciálne sme ich zhromaždili v pohodlnej tabuľke. Tlačte, učte sa a prihláste sa!

Samozrejme, nie všetky geometrické vzorce sú v našej tabuľke. Napríklad na riešenie problémov v geometrii a stereometrii v druhej časti profilu USE v matematike sa používajú aj iné vzorce pre oblasť trojuholníka. Určite vám o nich povieme.

Ale čo keď potrebujete nájsť nie oblasť lichobežníka alebo trojuholníka, ale oblasť nejakej zložitej postavy? Existujú univerzálne spôsoby! Ukážme si ich na príkladoch z pracovnej banky FIPI.

1. Ako nájsť oblasť neštandardného tvaru? Napríklad ľubovoľný štvoruholník? Jednoduchým trikom je rozdeliť toto číslo na tie, o ktorých všetci vieme, a nájsť jeho plochu - ako súčet plôch týchto obrazcov.

Rozdeľte tento štvoruholník vodorovnou čiarou na dva trojuholníky so spoločnou základňou rovnajúcou sa. Výšky týchto trojuholníkov sa rovnajú a. Potom sa plocha štvoruholníka rovná súčtu plôch dvoch trojuholníkov:.

Odpoveď: .

2. V niektorých prípadoch môže byť oblasť obrázku znázornená ako rozdiel medzi niektorými oblasťami.

Nie je také ľahké vypočítať, čomu sa rovná základňa a výška v tomto trojuholníku! Môžeme však povedať, že jeho obsah sa rovná rozdielu medzi plochami štvorca so stranou a tromi pravouhlými trojuholníkmi. Vidíš ich na obrázku? Dostaneme:.

Odpoveď: .

3. Niekedy je v úlohe potrebné nájsť oblasť nie celej postavy, ale jej časti. Zvyčajne hovoríme o oblasti sektora - časti kruhu. Nájdite oblasť sektora kruhu s polomerom, ktorého dĺžka oblúka je.

Na tomto obrázku vidíme časť kruhu. Plocha celého kruhu je odvtedy rovnaká. Zostáva zistiť, ktorá časť kruhu je zobrazená. Keďže dĺžka celého kruhu je rovnaká (od) a dĺžka oblúka tohto sektora je preto dĺžka oblúka jedenkrát menšia ako dĺžka celého kruhu. Uhol, pod ktorým tento oblúk spočíva, je tiež jedenkrát menší ako celý kruh (t. j. stupne). To znamená, že plocha sektora bude raz menšia ako plocha celého kruhu.

Všetky plošné vzorce pre rovinné obrazce

Oblasť rovnoramenného lichobežníka

1. Vzorec pre oblasť rovnoramenného lichobežníka z hľadiska strán a uhla

a - spodná základňa

b - horná základňa

c - rovnaké strany

α - uhol na spodnej základni

Vzorec pre oblasť rovnoramenného lichobežníka cez strany (S):

Vzorec pre oblasť rovnoramenného lichobežníka z hľadiska strán a uhla (S):

2. Vzorec pre oblasť rovnoramenného lichobežníka z hľadiska polomeru vpísanej kružnice

R- polomer vpísanej kružnice

D- priemer vpísanej kružnice

O- stred vpísanej kružnice

H- výška lichobežníka

α, β - lichobežníkové uhly

Vzorec pre oblasť rovnoramenného lichobežníka z hľadiska polomeru vpísanej kružnice (S):

FAIR, pre vpísaný kruh v rovnoramennom lichobežníku:

3. Vzorec pre oblasť rovnoramenného lichobežníka cez uhlopriečky a uhol medzi nimi

d- uhlopriečka lichobežníka

α, β- uhly medzi uhlopriečkami

Vzorec pre oblasť rovnoramenného lichobežníka z hľadiska uhlopriečok a uhla medzi nimi, (S):

4. Vzorec plochy rovnoramenného lichobežníka cez stredovú čiaru, bočnú stranu a uhol na základni

c- strana

m- stredná čiara lichobežníka

α, β - uhly na základni

Vzorec pre oblasť rovnoramenného lichobežníka z hľadiska stredovej čiary, bočnej strany a uhla v základni,

(S):

5. Vzorec pre oblasť rovnoramenného lichobežníka z hľadiska základne a výšky

a - spodná základňa

b - horná základňa

h - výška lichobežníka

Vzorec pre oblasť rovnoramenného lichobežníka z hľadiska základne a výšky (S):

Oblasť trojuholníka pozdĺž strany a dvoch rohov, vzorec.

a, b, c- strany trojuholníka

α, β, γ- opačné uhly

Plocha trojuholníka cez stranu a dva rohy (S):

Vzorec oblasti pravidelného mnohouholníka

a - strana mnohouholníka

n - počet strán

Plocha pravidelného mnohouholníka, (S):

Heronov vzorec pre oblasť trojuholníka z hľadiska semiperimetra (S):

Plocha rovnostranného trojuholníka je:

Vzorce na výpočet plochy rovnostranného trojuholníka.

a - strana trojuholníka

h - výška

Ako vypočítať plochu rovnoramenného trojuholníka?

b - základňa trojuholníka

a - rovnaké strany

h - výška

3. Vzorec pre oblasť lichobežníka cez štyri strany

a - spodná základňa

b - horná základňa

c, d - strany

Polomer opísanej kružnice lichobežníka po stranách a uhlopriečke

a - bočné strany lichobežníka

c - spodná základňa

b - horná základňa

d - uhlopriečka

h - výška

Vzorec pre polomer opísanej kružnice lichobežníka (R)

nájdite polomer kružnice opísanej v rovnoramennom trojuholníku po stranách

Keď poznáte strany rovnoramenného trojuholníka, môžete použiť vzorec na nájdenie polomeru kružnice opísanej okolo tohto trojuholníka.

a, b - strany trojuholníka

Polomer kružnice opísanej v rovnoramennom trojuholníku (R):

Polomer vpísanej kružnice v šesťuholníku

a - strana šesťuholníka

Polomer vpísanej kružnice v šesťuholníku (r):

Polomer vpísaného kruhu v kosoštvorci

r - polomer vpísanej kružnice

a - kosoštvorcová strana

D, d - uhlopriečky

h - výška kosoštvorca

Polomer vpísanej kružnice v rovnoramennom lichobežníku

c - spodná základňa

b - horná základňa

a - strany

h - výška

Polomer vpísanej kružnice v pravouhlom trojuholníku

a, b - nohy trojuholníka

c - prepona

Polomer vpísanej kružnice v rovnoramennom trojuholníku

a, b - strany trojuholníka

Dokážte, že plocha vpísaného štvoruholníka je

\ / (p - a) (p - b) (p - c) (p - d),

kde p je polobvod a a, b, c a d sú strany štvoruholníka.

Dokážte, že plocha štvoruholníka vpísaná do kruhu je

1/2 (ab + cb) · sin α, kde a, b, c a d sú strany štvoruholníka a α je uhol medzi stranami a a b.

S = √ [a ƀ c d] sin1 (α + β). - Prečítajte si viac na FB.ru:

Plocha ľubovoľného štvoruholníka (obr. 1.13) môže byť vyjadrená jeho stranami a, b, c a súčtom dvojice protiľahlých uhlov:

kde p je polobvod štvoruholníka.

Plocha štvoruholníka vpísaného do kruhu () (obr. 1.14, a) sa vypočíta podľa Brahmaguptovho vzorca

a popísané (obr. 1.14, b) () - vzorcom

Ak je štvoruholník vpísaný a opísaný súčasne (obr. 1.14, c), potom sa vzorec stáva celkom jednoduchým:

Vrcholový vzorec

Na odhadnutie plochy mnohouholníka na kockovanom papieri stačí vypočítať, koľko buniek tento mnohouholník pokrýva (plochu bunky berieme ako jednu). Presnejšie, ak S je oblasť mnohouholníka, je to počet buniek, ktoré ležia úplne vo vnútri mnohouholníka, a je to počet buniek, ktoré majú aspoň jeden spoločný bod s vnútrom mnohouholníka.

Ďalej budeme uvažovať iba o tých polygónoch, ktorých všetky vrcholy ležia v uzloch kockovaného papiera - v tých, kde sa pretínajú čiary mriežky. Ukazuje sa, že pre takéto polygóny môžete zadať nasledujúci vzorec:

kde je oblasť, r je počet uzlov, ktoré ležia presne vo vnútri mnohouholníka.

Tento vzorec sa nazýva "Peakov vzorec" - podľa matematika, ktorý ho objavil v roku 1899.

čo je oblasť?

Plocha je charakteristika uzavretého geometrického útvaru (kruh, štvorec, trojuholník atď.), ktorý ukazuje jeho veľkosť. Plocha sa meria v centimetroch štvorcových, metroch atď. Označené písmenom S(námestie).