Pravidlá pre násobenie zlomkov s rôznymi menovateľmi. Zlomok. Násobenie bežných, desatinných, zmiešaných zlomkov

V kurzoch stredných a vysokých škôl sa študenti zaoberali témou „Zlomky“. Tento pojem je však oveľa širší ako to, čo je dané v procese učenia. Dnes sa s pojmom zlomok stretávame pomerne často a nie každý vie vypočítať akýkoľvek výraz, napríklad násobenie zlomkov.

čo je zlomok?

Historicky zlomkové čísla vznikli z potreby merania. Ako ukazuje prax, často existujú príklady určovania dĺžky segmentu a objemu obdĺžnikového obdĺžnika.

Na začiatku sa študenti zoznámia s pojmom podiel. Ak napríklad rozdelíte melón na 8 častí, potom každý dostane jednu osminu melónu. Táto jedna časť z ôsmich sa nazýva podiel.

Podiel rovný ½ akejkoľvek hodnoty sa nazýva polovica; ⅓ - tretina; ¼ - štvrtina. Záznamy v tvare 5/8, 4/5, 2/4 sa nazývajú obyčajné zlomky. Spoločný zlomok sa delí na čitateľa a menovateľa. Medzi nimi je zlomková čiara alebo zlomková čiara. Čiara zlomkov môže byť nakreslená ako horizontálna alebo šikmá čiara. IN v tomto prípade predstavuje deliaci znak.

Menovateľ predstavuje, na koľko rovnakých častí je množstvo alebo objekt rozdelený; a v čitateli je počet rovnakých podielov. Čitateľ sa píše nad zlomkovú čiaru, menovateľ sa píše pod ňu.

Najvhodnejšie je zobraziť obyčajné zlomky na súradnicovom lúči. Ak je segment jednotky rozdelený na 4 rovnaké časti, označte každú časť latinské písmeno, potom môže byť výsledok vynikajúci vizuálny materiál. Takže bod A ukazuje podiel rovný 1/4 celého segmentu jednotky a bod B označuje 2/8 daného segmentu.

Druhy zlomkov

Zlomky môžu byť obyčajné, desatinné a zmiešané čísla. Okrem toho možno zlomky rozdeliť na správne a nesprávne. Táto klasifikácia je vhodnejšia pre obyčajné zlomky.

Vlastný zlomok je číslo, ktorého čitateľ je menší ako menovateľ. Nevlastný zlomok je teda číslo, ktorého čitateľ je väčší ako jeho menovateľ. Druhý typ sa zvyčajne píše ako zmiešané číslo. Tento výraz sa skladá z celého čísla a zlomkovej časti. Napríklad 1½. 1 - celú časť, ½ - zlomkové. Ak však potrebujete vykonať nejaké manipulácie s výrazom (delenie alebo násobenie zlomkov, ich zníženie alebo konverziu), zmiešané číslo sa prevedie na nesprávny zlomok.

Správny zlomkový výraz je vždy menší ako jedna a nesprávny je vždy väčší alebo rovný 1.

Čo sa týka tohto výrazu, máme na mysli záznam, v ktorom je zastúpené ľubovoľné číslo, ktorého menovateľ zlomkového výrazu môže byť vyjadrený jednotkou s niekoľkými nulami. Ak je zlomok správny, potom sa celá časť v desiatkovom zápise bude rovnať nule.

Ak chcete napísať desatinný zlomok, musíte najskôr napísať celú časť, oddeliť ju od zlomku čiarkou a potom napísať výraz zlomku. Treba pamätať na to, že za desatinnou čiarkou musí čitateľ obsahovať rovnaký počet číslicových znakov, koľko núl je v menovateli.

Príklad. Vyjadrite zlomok 7 21 / 1000 v desiatkovej sústave.

Algoritmus na prevod nevlastného zlomku na zmiešané číslo a naopak

Je nesprávne napísať nesprávny zlomok v odpovedi na problém, takže je potrebné ho previesť na zmiešané číslo:

• vydeľte čitateľa existujúcim menovateľom;
• V konkrétny príklad neúplný kvocient - celý;
• a zvyšok je čitateľ zlomkovej časti, pričom menovateľ zostáva nezmenený.

Príklad. Preveďte nesprávny zlomok na zmiešané číslo: 47/5.

Riešenie. 47: 5. Čiastočný kvocient je 9, zvyšok = 2. Takže 47 / 5 = 9 2 / 5.

Niekedy je potrebné reprezentovať zmiešané číslo ako nesprávny zlomok. Potom musíte použiť nasledujúci algoritmus:

• celočíselná časť sa vynásobí menovateľom zlomkového výrazu;
• výsledný produkt sa pridá do čitateľa;
• výsledok sa zapíše do čitateľa, menovateľ zostáva nezmenený.

Príklad. Uveďte číslo v zmiešanom tvare ako nesprávny zlomok: 9 8 / 10.

Riešenie. 9 x 10 + 8 = 90 + 8 = 98 je čitateľ.

Odpoveď: 98 / 10.

Násobenie zlomkov

S obyčajnými zlomkami možno vykonávať rôzne algebraické operácie. Ak chcete vynásobiť dve čísla, musíte vynásobiť čitateľa čitateľom a menovateľa menovateľom. Navyše násobenie zlomkov s rôznych menovateľov sa nelíši od práce zlomkové čísla s rovnakými menovateľmi.

Stáva sa, že po zistení výsledku musíte zlomok znížiť. Je nevyhnutné čo najviac zjednodušiť výsledný výraz. Samozrejme, nemožno povedať, že nesprávny zlomok v odpovedi je chyba, ale je tiež ťažké nazvať to správnou odpoveďou.

Príklad. Nájdite súčin dvoch obyčajných zlomkov: ½ a 20/18.

Ako je zrejmé z príkladu, po nájdení produktu sa získa redukovateľný zlomkový zápis. Čitateľ aj menovateľ sú v tomto prípade delené 4 a výsledkom je odpoveď 5/9.

Násobenie desatinných zlomkov

Súčin desatinných zlomkov je vo svojom princípe celkom odlišný od súčinu obyčajných zlomkov. Takže násobenie zlomkov je nasledovné:

• dva desatinné zlomky musia byť napísané pod sebou tak, aby boli číslice úplne vpravo jedna pod druhou;
• musíte vynásobiť zapísané čísla napriek čiarkam, teda ako prirodzené čísla;
• spočítajte počet číslic za desatinnou čiarkou v každom čísle;
• vo výsledku získanom po vynásobení je potrebné spočítať sprava toľko digitálnych symbolov, koľko je obsiahnutých v súčte oboch faktorov za desatinnou čiarkou, a dať oddeľovacie znamienko;
• ak je v súčine menej čísel, musíte pred ne napísať toľko núl, aby ste toto číslo pokryli, vložte čiarku a pridajte celú časť rovnú nule.

Príklad. Vypočítajte súčin dvoch desatinných zlomkov: 2,25 a 3,6.

Riešenie.

Násobenie zmiešaných zlomkov

Ak chcete vypočítať súčin dvoch zmiešaných frakcií, musíte použiť pravidlo na násobenie frakcií:

• previesť zmiešané čísla na nesprávne zlomky;
• nájsť súčin čitateľov;
• nájsť súčin menovateľov;
• zapíšte výsledok;
• čo najviac zjednodušiť výraz.

Príklad. Nájdite súčin 4½ a 6 2/5.

Násobenie čísla zlomkom (zlomky číslom)

Okrem hľadania súčinu dvoch zlomkov a zmiešaných čísel existujú úlohy, pri ktorých je potrebné násobiť zlomkom.

Takže nájsť produkt desiatkový a prirodzené číslo, potrebujete:

• napíš číslo pod zlomok tak, aby číslice úplne vpravo boli nad sebou;
• nájsť produkt napriek čiarke;
• vo výslednom výsledku oddeľte časť celého čísla od zlomkovej časti pomocou čiarky a počítajte sprava počet číslic, ktoré sa nachádzajú za desatinnou čiarkou v zlomku.

Ak chcete vynásobiť bežný zlomok číslom, musíte nájsť súčin čitateľa a prirodzeného faktora. Ak odpoveď poskytne zlomok, ktorý možno zmenšiť, mal by sa previesť.

Príklad. Vypočítajte súčin 5/8 a 12.

Riešenie. 5 / 8 * 12 = (5*12) / 8 = 60 / 8 = 30 / 4 = 15 / 2 = 7 1 / 2.

Odpoveď: 7 1 / 2.

Ako môžete vidieť z predchádzajúceho príkladu, bolo potrebné výsledný výsledok zmenšiť a previesť nesprávny zlomkový výraz na zmiešané číslo.

Násobenie zlomkov sa týka aj nájdenia súčinu čísla v zmiešanej forme a prirodzeného faktora. Ak chcete vynásobiť tieto dve čísla, mali by ste vynásobiť celú časť zmiešaného faktora číslom, vynásobiť čitateľa rovnakou hodnotou a ponechať menovateľa nezmenený. Ak je to potrebné, musíte výsledný výsledok čo najviac zjednodušiť.

Príklad. Nájdite súčin 9 5 / 6 a 9.

Riešenie. 9 5 / 6 x 9 = 9 x 9 + (5 x 9) / 6 = 81 + 45 / 6 = 81 + 7 3 / 6 = 88 1 / 2.

Odpoveď: 88 1 / 2.

Násobenie faktormi 10, 100, 1000 alebo 0,1; 0,01; 0,001

Vyplýva to z predchádzajúceho odseku ďalšie pravidlo. Ak chcete vynásobiť desatinný zlomok 10, 100, 1 000, 10 000 atď., musíte posunúť desatinnú čiarku doprava o toľko číslic, koľko núl je vo faktore za jednotkou.

Príklad 1. Nájdite súčin 0,065 a 1000.

Riešenie. 0,065 x 1000 = 0065 = 65.

Odpoveď: 65.

Príklad 2. Nájdite súčin 3,9 a 1000.

Riešenie. 3,9 x 1 000 = 3 900 x 1 000 = 3 900.

Odpoveď: 3900.

Ak potrebujete vynásobiť prirodzené číslo a 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001 atď., mali by ste posunúť čiarku vo výslednom produkte doľava o toľko číslic, koľko je nuly pred jednotkou. V prípade potreby sa pred prirodzené číslo napíše dostatočný počet núl.

Príklad 1. Nájdite súčin 56 a 0,01.

Riešenie. 56 x 0,01 = 0056 = 0,56.

Odpoveď: 0,56.

Príklad 2. Nájdite súčin 4 a 0,001.

Riešenie. 4 x 0,001 = 0004 = 0,004.

Odpoveď: 0,004.

Takže nájdenie produktu rôznych zlomkov by nemalo spôsobiť žiadne ťažkosti, snáď okrem výpočtu výsledku; v tomto prípade sa bez kalkulačky jednoducho nezaobídete.

§ 87. Sčítanie zlomkov.

Sčítanie zlomkov má veľa podobností so sčítaním celých čísel. Sčítanie zlomkov je činnosť spočívajúca v tom, že niekoľko daných čísel (členov) sa spojí do jedného čísla (súčtu), ktoré obsahuje všetky jednotky a zlomky jednotiek členov.

Postupne zvážime tri prípady:

1. Sčítanie zlomkov s rovnakými menovateľmi.
2. Sčítanie zlomkov s rôznymi menovateľmi.
3. Sčítanie zmiešaných čísel.

1. Sčítanie zlomkov s rovnakými menovateľmi.

Zvážte príklad: 1/5 + 2/5.

Zoberme si segment AB (obr. 17), vezmime ho ako jeden a vydelíme 5 rovnakými dielmi, potom sa časť AC tohto segmentu bude rovnať 1/5 segmentu AB a časť toho istého segmentu CD sa bude rovnať 2/5 AB.

Z výkresu je zrejmé, že ak vezmeme segment AD, bude sa rovnať 3/5 AB; ale segment AD je presne súčtom segmentov AC a CD. Môžeme teda napísať:

1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5

Ak vezmeme do úvahy tieto členy a výsledný súčet, vidíme, že čitateľ súčtu bol získaný sčítaním čitateľov členov a menovateľ zostal nezmenený.

Z toho dostaneme nasledujúce pravidlo: Ak chcete pridať zlomky s rovnakými menovateľmi, musíte pridať ich čitateľov a ponechať rovnaký menovateľ.

Pozrime sa na príklad:

2. Sčítanie zlomkov s rôznymi menovateľmi.

Pridajme zlomky: 3 / 4 + 3 / 8 Najprv ich treba zredukovať na najnižšieho spoločného menovateľa:

Medzičlánok 6/8 + 3/8 sa nepodarilo napísať; napísali sme to sem kvôli prehľadnosti.

Ak teda chcete pridať zlomky s rôznymi menovateľmi, musíte ich najprv zredukovať na najnižšieho spoločného menovateľa, pridať ich čitateľov a znamienko spoločný menovateľ.

Zoberme si príklad (nad príslušné zlomky napíšeme ďalšie faktory):

3. Sčítanie zmiešaných čísel.

Sčítajme čísla: 2 3/8 + 3 5/6.

Najprv prinesme zlomkové časti našich čísel do spoločného menovateľa a prepíšme ich znova:

Teraz postupne pridávame celé číslo a zlomkové časti:

§ 88. Odčítanie zlomkov.

Odčítanie zlomkov je definované rovnakým spôsobom ako odčítanie celých čísel. Ide o akciu, pomocou ktorej sa pri súčte dvoch pojmov a jedného z nich nájde ďalší. Uvažujme tri prípady za sebou:

1. Odčítanie zlomkov s rovnakými menovateľmi.
2. Odčítanie zlomkov s rôznymi menovateľmi.
3. Odčítanie zmiešaných čísel.

1. Odčítanie zlomkov s rovnakými menovateľmi.

Pozrime sa na príklad:

13 / 15 - 4 / 15

Zoberme si segment AB (obr. 18), vezmime ho ako jednotku a rozdeľme ho na 15 rovnakých častí; potom časť AC tohto segmentu bude predstavovať 1/15 AB a časť AD toho istého segmentu bude zodpovedať 13/15 AB. Odložme ďalší segment ED rovný 4/15 AB.

Musíme odpočítať zlomok 4/15 od 13/15. Na výkrese to znamená, že segment ED sa musí odpočítať od segmentu AD. V dôsledku toho zostane segment AE, čo je 9/15 segmentu AB. Môžeme teda napísať:

Príklad, ktorý sme urobili, ukazuje, že čitateľ rozdielu bol získaný odčítaním čitateľov, ale menovateľ zostal rovnaký.

Preto, aby ste odčítali zlomky s podobnými menovateľmi, musíte odpočítať čitateľa odčítača od čitateľa menovateľa a ponechať rovnaký menovateľ.

2. Odčítanie zlomkov s rôznymi menovateľmi.

Príklad. 3/4 - 5/8

Najprv zredukujme tieto zlomky na najnižšieho spoločného menovateľa:

Stredná hodnota 6 / 8 - 5 / 8 je tu napísaná kvôli prehľadnosti, ale môže sa neskôr preskočiť.

Ak teda chcete odčítať zlomok od zlomku, musíte ich najskôr zmenšiť na najnižšieho spoločného menovateľa, potom odčítať čitateľa mínusu od čitateľa mínusu a podpísať spoločný menovateľ pod ich rozdiel.

Pozrime sa na príklad:

3. Odčítanie zmiešaných čísel.

Príklad. 10 3/4 - 7 2/3.

Zredukujme zlomkové časti minuendu a subtrahendu na najnižšieho spoločného menovateľa:

Odčítali sme celok od celku a zlomok od zlomku. Existujú však prípady, keď je zlomková časť subtrahendu väčšia ako zlomková časť minuendu. V takýchto prípadoch musíte zobrať jednu jednotku z celej časti menovky, rozdeliť ju na tie časti, v ktorých je vyjadrená zlomková časť, a pridať ju k zlomkovej časti menovky. A potom sa odčítanie vykoná rovnakým spôsobom ako v predchádzajúcom príklade:

§ 89. Násobenie zlomkov.

Pri štúdiu násobenia zlomkov budeme uvažovať ďalšie otázky:

1. Násobenie zlomku celým číslom.
2. Nájdenie zlomku daného čísla.
3. Násobenie celého čísla zlomkom.
4. Násobenie zlomku zlomkom.
5. Násobenie zmiešaných čísel.
6. Pojem úroku.
7. Nájdenie percenta daného čísla. Uvažujme ich postupne.

1. Násobenie zlomku celým číslom.

Násobenie zlomku celým číslom má rovnaký význam ako násobenie celého čísla celým číslom. Násobiť zlomok (násobiteľ) celým číslom (faktorom) znamená vytvoriť súčet identických členov, v ktorých sa každý člen rovná násobiteľu a počet členov sa rovná násobiteľu.

To znamená, že ak potrebujete vynásobiť 1/9 číslom 7, môžete to urobiť takto:

Výsledok sme získali ľahko, pretože akcia bola zredukovaná na sčítanie zlomkov s rovnakými menovateľmi. teda

Zváženie tejto akcie ukazuje, že vynásobenie zlomku celým číslom sa rovná zvýšeniu tohto zlomku toľkokrát, koľko je jednotiek v celom čísle. A keďže zvýšenie zlomku sa dosiahne buď zvýšením jeho čitateľa

alebo znížením jeho menovateľa , potom môžeme čitateľa buď vynásobiť celým číslom, alebo ním vydeliť menovateľa, ak je takéto delenie možné.

Odtiaľ dostaneme pravidlo:

Ak chcete vynásobiť zlomok celým číslom, vynásobíte čitateľa týmto celým číslom a menovateľa ponecháte rovnaký, alebo ak je to možné, vydelíte menovateľa týmto číslom, pričom čitateľ zostane nezmenený.

Pri násobení sú možné skratky, napríklad:

2. Nájdenie zlomku daného čísla. Existuje veľa úloh, v ktorých musíte nájsť alebo vypočítať časť daného čísla. Rozdiel medzi týmito problémami a inými je v tom, že udávajú počet niektorých objektov alebo jednotiek merania a musíte nájsť časť tohto čísla, ktorá je tu tiež označená určitým zlomkom. Aby sme uľahčili pochopenie, najprv uvedieme príklady takýchto problémov a potom predstavíme spôsob ich riešenia.

Úloha 1. Mal som 60 rubľov; 1/3 z týchto peňazí som minul na nákup kníh. Koľko stáli knihy?

Úloha 2. Vlak musí prejsť vzdialenosť medzi mestami A a B rovnajúcu sa 300 km. Už prekonal 2/3 tejto vzdialenosti. Koľko je toto kilometrov?

Úloha 3. V obci je 400 domov, z toho 3/4 sú murované, ostatné sú drevené. Koľko murovaných domov je celkovo?

Toto sú niektoré z mnohých problémov, s ktorými sa stretávame pri hľadaní časti daného čísla. Zvyčajne sa nazývajú problémy na nájdenie zlomku daného čísla.

Riešenie problému 1. Od 60 rubľov. 1/3 som minul na knihy; To znamená, že ak chcete zistiť cenu kníh, musíte vydeliť číslo 60 tromi:

Riešenie problému 2. Pointa problému je v tom, že potrebujete nájsť 2/3 z 300 km. Najprv vypočítame 1/3 z 300; to sa dosiahne vydelením 300 km tromi:

300: 3 = 100 (to je 1/3 z 300).

Ak chcete nájsť dve tretiny z 300, musíte zdvojnásobiť výsledný kvocient, t. j. vynásobiť 2:

100 x 2 = 200 (to sú 2/3 z 300).

Riešenie problému 3. Tu musíte určiť počet tehlových domov, ktoré tvoria 3/4 zo 400. Najprv nájdime 1/4 zo 400,

400 : 4 = 100 (to je 1/4 zo 400).

Na výpočet troch štvrtín zo 400 je potrebné výsledný kvocient strojnásobiť, t. j. vynásobiť 3:

100 x 3 = 300 (to sú 3/4 zo 400).

Na základe riešenia týchto problémov môžeme odvodiť nasledujúce pravidlo:

Ak chcete zistiť hodnotu zlomku z daného čísla, musíte toto číslo vydeliť menovateľom zlomku a výsledný podiel vynásobiť jeho čitateľom.

3. Násobenie celého čísla zlomkom.

Skôr (§ 26) bolo ustanovené, že násobením celých čísel treba rozumieť sčítanie rovnakých členov (5 x 4 = 5+5 +5+5 = 20). V tomto odseku (bod 1) bolo stanovené, že vynásobenie zlomku celým číslom znamená nájsť súčet identických členov rovný tomuto zlomku.

V oboch prípadoch násobenie pozostávalo z nájdenia súčtu identických členov.

Teraz prejdeme k vynásobeniu celého čísla zlomkom. Tu sa stretneme napríklad s násobením: 9 2 / 3. Je zrejmé, že predchádzajúca definícia násobenia sa na tento prípad nevzťahuje. Je to zrejmé z toho, že takéto násobenie nemôžeme nahradiť sčítaním rovnakých čísel.

Z tohto dôvodu budeme musieť dať novú definíciu násobenia, t. j. inými slovami odpovedať na otázku, čo treba rozumieť pod násobením zlomkom, ako treba chápať tento úkon.

Význam násobenia celého čísla zlomkom je jasný z nasledujúcej definície: vynásobenie celého čísla (multiplikandu) zlomkom (multiplikand) znamená nájdenie tohto zlomku multiplikandu.

Totiž vynásobenie 9 2/3 znamená nájdenie 2/3 z deviatich jednotiek. V predchádzajúcom odseku boli takéto problémy vyriešené; takže je ľahké zistiť, že skončíme so 6.

Teraz je tu však zaujímavý a dôležitá otázka: prečo sú na prvý pohľad takí? rôzne akcie Ako sa nájdenie súčtu rovnakých čísel a nájdenie zlomku čísla nazývajú rovnakým slovom „násobenie“ v aritmetike?

Stáva sa to preto, lebo predchádzajúca akcia (niekoľkokrát zopakovanie čísla s výrazmi) a nová akcia (nájdenie zlomku čísla) dávajú odpovede na homogénne otázky. To znamená, že tu vychádzame z úvah, že homogénne otázky alebo úlohy sa riešia rovnakou akciou.

Aby ste to pochopili, zvážte nasledujúci problém: „1 m látky stojí 50 rubľov. Koľko budú stáť 4 m takejto látky?

Tento problém sa rieši vynásobením počtu rubľov (50) počtom metrov (4), t.j. 50 x 4 = 200 (rubľov).

Zoberme si rovnaký problém, ale v ňom bude množstvo látky vyjadrené zlomkom: „1 m látky stojí 50 rubľov. Koľko bude stáť 3/4 m takejto látky?“

Tento problém je tiež potrebné vyriešiť vynásobením počtu rubľov (50) počtom metrov (3/4).

Čísla v ňom môžete zmeniť ešte niekoľkokrát bez toho, aby ste zmenili význam problému, napríklad vezmite 9/10 m alebo 2 3/10 m atď.

Keďže tieto úlohy majú rovnaký obsah a líšia sa len číslami, akcie použité pri ich riešení nazývame rovnakým slovom – násobenie.

Ako vynásobíte celé číslo zlomkom?

Zoberme si čísla, s ktorými sme sa stretli v poslednom probléme:

Podľa definície musíme nájsť 3/4 z 50. Najprv nájdime 1/4 z 50 a potom 3/4.

1/4 z 50 je 50/4;

3/4 z čísla 50 sú .

Preto.

Uvažujme o ďalšom príklade: 12 5 / 8 =?

1/8 z čísla 12 je 12/8,

5/8 z čísla 12 je .

teda

Odtiaľ dostaneme pravidlo:

Ak chcete vynásobiť celé číslo zlomkom, musíte celé číslo vynásobiť čitateľom zlomku a urobiť z tohto súčinu čitateľa a menovateľa tohto zlomku podpísať ako menovateľa.

Napíšme toto pravidlo pomocou písmen:

Aby bolo toto pravidlo úplne jasné, treba pripomenúť, že zlomok možno považovať za podiel. Preto je užitočné zistené pravidlo porovnať s pravidlom pre násobenie čísla podielom, ktoré bolo ustanovené v § 38

Je dôležité si uvedomiť, že pred vykonaním násobenia by ste mali urobiť (ak je to možné) zníženia, Napríklad:

4. Násobenie zlomku zlomkom. Násobenie zlomku zlomkom má rovnaký význam ako násobenie celého čísla zlomkom, t.j. pri násobení zlomku zlomkom musíte nájsť zlomok, ktorý je vo faktore z prvého zlomku (násobilku).

Totiž vynásobenie 3/4 1/2 (polovica) znamená nájdenie polovice 3/4.

Ako vynásobíte zlomok zlomkom?

Zoberme si príklad: 3/4 vynásobené 5/7. To znamená, že musíte nájsť 5/7 z 3/4. Najprv nájdime 1/7 z 3/4 a potom 5/7

1/7 z počtu 3/4 bude vyjadrená takto:

5/7 čísla 3/4 budú vyjadrené takto:

teda

Ďalší príklad: 5/8 vynásobené 4/9.

1/9 z 5/8 je ,

4/9 z počtu 5/8 je .

teda

Z týchto príkladov možno odvodiť nasledujúce pravidlo:

Ak chcete vynásobiť zlomok zlomkom, musíte vynásobiť čitateľa čitateľom a menovateľa menovateľom a urobiť prvý súčin čitateľom a druhý súčin menovateľom súčinu.

Toto je pravidlo v všeobecný pohľad dá sa napísať takto:

Pri násobení je potrebné robiť (ak je to možné) redukcie. Pozrime sa na príklady:

5. Násobenie zmiešaných čísel. Keďže zmiešané čísla možno ľahko nahradiť nesprávnymi zlomkami, táto okolnosť sa zvyčajne používa pri násobení zmiešaných čísel. To znamená, že v prípadoch, keď sú násobiteľ alebo násobiteľ alebo oba faktory vyjadrené ako zmiešané čísla, sú nahradené nesprávnymi zlomkami. Vynásobme napríklad zmiešané čísla: 2 1/2 a 3 1/5. Premeňme každý z nich na nesprávny zlomok a výsledné zlomky potom vynásobme podľa pravidla pre násobenie zlomku zlomkom:

Pravidlo. Ak chcete vynásobiť zmiešané čísla, musíte ich najskôr previesť na nesprávne zlomky a potom ich vynásobiť podľa pravidla pre násobenie zlomkov zlomkami.

Poznámka. Ak je jedným z faktorov celé číslo, potom sa násobenie môže vykonať na základe distribučného zákona takto:

6. Pojem úroku. Pri riešení úloh a vykonávaní rôznych praktických výpočtov používame všetky druhy zlomkov. Ale treba mať na pamäti, že mnohé veličiny im umožňujú nie hocijaké, ale prirodzené delenie. Môžete si napríklad vziať jednu stotinu (1/100) rubľa, bude to kopejka, dve stotiny sú 2 kopejky, tri stotiny sú 3 kopejky. Môžete si vziať 1/10 rubľa, bude to "10 kopejok, alebo desaťkopejka. Môžete si vziať štvrtinu rubľa, t. j. 25 kopejok, pol rubľa, t. j. 50 kopejok (päťdesiat kopejok). Ale prakticky neberú, napríklad 2/7 rubľa, pretože rubeľ nie je rozdelený na sedminy.

Jednotka hmotnosti, teda kilogram, umožňuje predovšetkým desatinné delenie, napríklad 1/10 kg alebo 100 g. A také zlomky kilogramu ako 1/6, 1/11, 1/13 nie sú bežné.

Vo všeobecnosti sú naše (metrické) miery desatinné a umožňujú desatinné delenie.

Treba však poznamenať, že je mimoriadne užitočné a vhodné v širokej škále prípadov použiť rovnakú (jednotnú) metódu delenia veličín. Dlhoročné skúsenosti ukázali, že takýmto dobre odôvodneným rozdelením je „stoté“ rozdelenie. Uvažujme o niekoľkých príkladoch týkajúcich sa najrozmanitejších oblastí ľudskej praxe.

1. Cena kníh sa znížila o 12/100 z predchádzajúcej ceny.

Príklad. Predchádzajúca cena knihy bola 10 rubľov. Znížila sa o 1 rubeľ. 20 kopejok

2. Sporiteľne vyplácajú vkladateľom 2/100 zo sumy uloženej na sporenie počas roka.

Príklad. Do pokladne sa vloží 500 rubľov, príjem z tejto sumy za rok je 10 rubľov.

3. Počet absolventov jednej školy bol 5/100 z celkového počtu žiakov.

PRÍKLAD Na škole bolo len 1200 žiakov, z toho 60 maturovalo.

Stotina čísla sa nazýva percento.

Slovo „percento“ je prevzaté z latinský jazyk a jeho koreň "cent" znamená sto. Spolu s predložkou (pro centum) toto slovo znamená „za sto“. Význam takéhoto výrazu vyplýva z toho, že spočiatku v staroveký Rímúroky boli peniaze, ktoré dlžník zaplatil veriteľovi „za každých sto“. Slovo „cent“ sa počúva v takých známych slovách: centner (sto kilogramov), centimeter (povedzme centimeter).

Napríklad namiesto toho, aby sme povedali, že za posledný mesiac závod vyrobil 1/100 všetkých výrobkov, ktoré vyrobil, bolo chybných, povieme toto: za posledný mesiac závod vyrobil jedno percento chýb. Namiesto toho, aby sme povedali: závod vyrobil o 4/100 produktov viac ako bol stanovený plán, povieme: závod prekročil plán o 4 percentá.

Vyššie uvedené príklady môžu byť vyjadrené rôzne:

1. Cena kníh klesla o 12 percent z predchádzajúcej ceny.

2. Záložne vyplácajú vkladateľom 2 percentá ročne zo sumy uloženej na sporenie.

3. Počet absolventov jednej školy bol 5 percent zo všetkých žiakov školy.

Na skrátenie písmena je zvykom písať namiesto slova „percento“ symbol %.

Musíte si však uvedomiť, že pri výpočtoch sa znak % zvyčajne nezapisuje, ale môže byť zapísaný v probléme a v konečnom výsledku. Pri výpočtoch musíte namiesto celého čísla s týmto symbolom napísať zlomok s menovateľom 100.

Musíte byť schopní nahradiť celé číslo označenou ikonou zlomkom s menovateľom 100:

Naopak, musíte si zvyknúť písať celé číslo s uvedeným symbolom namiesto zlomku s menovateľom 100:

7. Nájdenie percenta daného čísla.

Úloha 1.Škola dostala 200 metrov kubických. m palivového dreva, pričom brezové palivové drevo predstavuje 30 %. Koľko tam bolo brezového palivového dreva?

Zmyslom tohto problému je, že brezové palivové drevo tvorilo len časť palivového dreva, ktoré bolo dodané do školy a táto časť je vyjadrená v zlomku 30/100. To znamená, že máme za úlohu nájsť zlomok čísla. Aby sme to vyriešili, musíme vynásobiť 200 30/100 (problémy s nájdením zlomku čísla sa riešia vynásobením čísla zlomkom.).

To znamená, že 30 % z 200 sa rovná 60.

Zlomok 30/100, ktorý sa vyskytuje v tomto probléme, môže byť zmenšený o 10. Toto zmenšenie by bolo možné urobiť od samého začiatku; riešenie problému by sa nezmenilo.

Úloha 2. V tábore bolo 300 detí rôzneho veku. Deti 11-ročné tvorili 21 %, deti 12-ročné tvorili 61 % a napokon 13-ročné deti tvorili 18 %. Koľko detí každého veku bolo v tábore?

V tomto probléme musíte vykonať tri výpočty, t.j. postupne nájsť počet detí vo veku 11 rokov, potom vo veku 12 rokov a nakoniec vo veku 13 rokov.

To znamená, že tu budete musieť trikrát nájsť zlomok čísla. Poďme na to:

1) Koľko tam bolo 11-ročných detí?

2) Koľko tam bolo 12-ročných detí?

3) Koľko tam bolo 13-ročných detí?

Po vyriešení úlohy je užitočné doplniť nájdené čísla; ich súčet by mal byť 300:

63 + 183 + 54 = 300

Treba tiež poznamenať, že súčet percent uvedených v probléme je 100:

21% + 61% + 18% = 100%

To naznačuje celkový počet deti v tábore boli brané na 100%.

3 a d a h a 3. Pracovník dostal 1 200 rubľov mesačne. Z toho 65 % minul na potraviny, 6 % na byty a kúrenie, 4 % na plyn, elektrinu a rozhlas, 10 % na kultúrne potreby a 15 % ušetril. Koľko peňazí bolo vynaložených na potreby uvedené v probléme?

Na vyriešenie tohto problému musíte 5-krát nájsť zlomok 1 200. Poďme na to.

1) Koľko peňazí sa minulo na jedlo? Problém hovorí, že tento výdavok je 65 % z celkového zárobku, teda 65/100 z čísla 1 200. Urobme výpočet:

2) Koľko peňazí ste zaplatili za byt s kúrením? Uvažovaním podobne ako v predchádzajúcom dospejeme k nasledujúcemu výpočtu:

3) Koľko peňazí ste zaplatili za plyn, elektrinu a rádio?

4) Koľko peňazí sa minulo na kultúrne potreby?

5) Koľko peňazí pracovník ušetril?

Pre kontrolu je užitočné sčítať čísla nájdené v týchto 5 otázkach. Suma by mala byť 1 200 rubľov. Všetky zárobky sa berú ako 100 %, čo sa dá ľahko skontrolovať sčítaním percentuálnych čísel uvedených vo vyhlásení o probléme.

Vyriešili sme tri problémy. Napriek tomu, že tieto problémy sa týkali rôznych vecí (dodávka palivového dreva pre školu, počet detí rôzneho veku, výdavky na robotníka), riešili sa rovnako. Stalo sa tak preto, lebo vo všetkých úlohách bolo potrebné nájsť niekoľko percent daných čísel.

§ 90. Delenie zlomkov.

Pri štúdiu delenia zlomkov zvážime nasledujúce otázky:

1. Vydeľte celé číslo celým číslom.
2. Delenie zlomku celým číslom
3. Delenie celého čísla zlomkom.
4. Delenie zlomku zlomkom.
5. Delenie zmiešaných čísel.
6. Nájdenie čísla z jeho daného zlomku.
7. Nájdenie čísla podľa jeho percent.

Uvažujme ich postupne.

1. Vydeľte celé číslo celým číslom.

Ako bolo naznačené v oddelení celých čísel, delenie je dej, ktorý spočíva v tom, že pri súčine dvoch faktorov (dividenda) a jedného z týchto faktorov (deliteľ) sa nájde ďalší faktor.

Pozreli sme sa na delenie celého čísla celým číslom v časti o celých číslach. Stretli sme sa tam s dvoma prípadmi delenia: delenie bez zvyšku, alebo „úplne“ (150 : 10 = 15) a delenie so zvyškom (100 : 9 = 11 a 1 zvyšok). Môžeme teda povedať, že v obore celých čísel nie je presné delenie vždy možné, pretože dividenda nie je vždy súčinom deliteľa celým číslom. Po zavedení násobenia zlomkom môžeme považovať za možný akýkoľvek prípad delenia celých čísel (vylúčené je len delenie nulou).

Napríklad delenie 7 číslom 12 znamená nájdenie čísla, ktorého súčin číslom 12 by sa rovnal 7. Takéto číslo je zlomok 7 / 12, pretože 7 / 12 12 = 7. Ďalší príklad: 14: 25 = 14/25, pretože 14/25 25 = 14.

Ak teda chcete deliť celé číslo celým číslom, musíte vytvoriť zlomok, ktorého čitateľ sa rovná dividende a menovateľ sa rovná deliteľovi.

2. Delenie zlomku celým číslom.

Vydeľte zlomok 6 / 7 3. Podľa vyššie uvedenej definície delenia tu máme súčin (6 / 7) a jeden z faktorov (3); je potrebné nájsť druhý faktor, ktorý by po vynásobení 3 dostal daný súčin 6/7. Je zrejmé, že by mal byť trikrát menší ako tento produkt. To znamená, že úlohou, ktorá pred nami bola, bolo zmenšiť zlomok 6/7 3-krát.

Už vieme, že zlomok možno zmenšiť buď znížením jeho čitateľa, alebo zvýšením jeho menovateľa. Preto môžete napísať:

V tomto prípade je čitateľ 6 deliteľný 3, takže čitateľ by sa mal zmenšiť 3-krát.

Zoberme si ďalší príklad: 5 / 8 delené 2. Tu čitateľ 5 nie je deliteľný 2, čo znamená, že menovateľ bude musieť byť vynásobený týmto číslom:

Na základe toho je možné vytvoriť pravidlo: Ak chcete zlomok vydeliť celým číslom, musíte vydeliť čitateľa zlomku týmto celým číslom.(Ak je to možné), ponecháme rovnakého menovateľa, alebo vynásobíme menovateľa zlomku týmto číslom, pričom zostane rovnaký čitateľ.

3. Delenie celého čísla zlomkom.

Nech je potrebné deliť 5 1/2, t.j. nájsť číslo, ktoré po vynásobení 1/2 dostane súčin 5. Toto číslo musí byť samozrejme väčšie ako 5, pretože 1/2 je vlastný zlomok a pri násobení čísla musí byť súčin správneho zlomku menší ako súčin, ktorý sa násobí. Aby to bolo jasnejšie, napíšme naše akcie takto: 5: 1 / 2 = X , čo znamená x 1/2 = 5.

Takéto číslo musíme nájsť X , čo po vynásobení 1/2 by dalo 5. Keďže vynásobenie určitého čísla 1/2 znamená nájsť 1/2 tohto čísla, potom teda 1/2 neznámeho čísla X sa rovná 5 a celé číslo X dvakrát toľko, t.j. 5 2 = 10.

Takže 5: 1/2 = 5 2 = 10

Skontrolujme to:

Pozrime sa na ďalší príklad. Povedzme, že potrebujeme deliť 6 2/3. Skúsme najprv nájsť požadovaný výsledok pomocou nákresu (obr. 19).

Obr.19

Nakreslíme úsečku AB rovnú 6 jednotkám a každú jednotku rozdelíme na 3 rovnaké časti. V každej jednotke sú tri tretiny (3/3) celého segmentu AB 6-krát väčšie, t.j. napríklad 18/3. Pomocou malých zátvoriek spojíme 18 výsledných segmentov, každý po 2; Bude len 9 segmentov. To znamená, že zlomok 2/3 je obsiahnutý v 6 jednotkách 9-krát, alebo, inými slovami, zlomok 2/3 je 9-krát menší ako 6 celých jednotiek. teda

Ako získať tento výsledok bez výkresu iba pomocou výpočtov? Uvažujme takto: potrebujeme vydeliť 6 2/3, t.j. musíme odpovedať na otázku, koľkokrát sú 2/3 obsiahnuté v 6. Najprv zistime: koľkokrát je 1/3 obsiahnutá v 6? V celej jednotke sú 3 tretiny a v 6 jednotkách 6-krát viac, t.j. 18 tretín; aby sme našli toto číslo, musíme 6 vynásobiť 3. To znamená, že 1/3 je obsiahnutá v b jednotkách 18-krát a 2/3 je obsiahnutá v b jednotkách nie 18-krát, ale o polovicu menej, t.j. 18: 2 = 9 Preto pri delení 6 2/3 sme urobili nasledovné:

Odtiaľ dostaneme pravidlo na delenie celého čísla zlomkom. Ak chcete deliť celé číslo zlomkom, musíte toto celé číslo vynásobiť menovateľom daného zlomku a urobiť z tohto súčinu čitateľa a vydeliť ho čitateľom daného zlomku.

Napíšme pravidlo pomocou písmen:

Aby bolo toto pravidlo úplne jasné, treba pripomenúť, že zlomok možno považovať za podiel. Preto je užitočné zistené pravidlo porovnať s pravidlom delenia čísla podielom, ktoré bolo uvedené v § 38. Upozorňujeme, že tam bol získaný rovnaký vzorec.

Pri delení sú možné skratky, napr.

4. Delenie zlomku zlomkom.

Povedzme, že potrebujeme vydeliť 3/4 3/8. Čo bude znamenať číslo, ktoré je výsledkom delenia? Odpovie na otázku, koľkokrát je zlomok 3/8 obsiahnutý v zlomku 3/4. Aby sme pochopili túto problematiku, urobme si nákres (obr. 20).

Zoberme si segment AB, vezmime ho ako jeden, rozdeľme ho na 4 rovnaké časti a označme 3 takéto časti. Segment AC sa bude rovnať 3/4 segmentu AB. Rozdeľme teraz každý zo štyroch pôvodných segmentov na polovicu, potom sa segment AB rozdelí na 8 rovnakých častí a každá takáto časť sa bude rovnať 1/8 segmentu AB. Spojme 3 takéto segmenty oblúkmi, potom každý zo segmentov AD a DC bude rovný 3/8 segmentu AB. Nákres ukazuje, že segment rovný 3/8 je obsiahnutý v segmente, ktorý sa rovná 3/4 presne 2 krát; To znamená, že výsledok delenia možno zapísať takto:

3 / 4: 3 / 8 = 2

Pozrime sa na ďalší príklad. Povedzme, že potrebujeme vydeliť 15/16 3/32:

Môžeme uvažovať takto: musíme nájsť číslo, ktoré po vynásobení 3/32 dostane súčin rovný 15/16. Zapíšme si výpočty takto:

15 / 16: 3 / 32 = X

3 / 32 X = 15 / 16

3/32 neznáme číslo X sú 15/16

1/32 neznámeho čísla X je ,

32/32 čísel X makeup .

teda

Ak teda chcete rozdeliť zlomok zlomkom, musíte vynásobiť čitateľa prvého zlomku menovateľom druhého a vynásobiť menovateľa prvého zlomku čitateľom druhého a urobiť z prvého súčinu čitateľa, a druhý menovateľ.

Napíšme pravidlo pomocou písmen:

Pri delení sú možné skratky, napr.

5. Delenie zmiešaných čísel.

Pri delení zmiešaných čísel ich treba najskôr previesť na nesprávne zlomky a následne výsledné zlomky rozdeliť podľa pravidiel pre delenie zlomkov. Pozrime sa na príklad:

Poďme previesť zmiešané čísla na nesprávne zlomky:

Teraz sa rozdeľme:

Ak teda chcete rozdeliť zmiešané čísla, musíte ich previesť na nesprávne zlomky a potom rozdeliť pomocou pravidla na delenie zlomkov.

6. Nájdenie čísla z jeho daného zlomku.

Medzi rôznymi problémami so zlomkami sú niekedy také, v ktorých je daná hodnota nejakého zlomku neznámeho čísla a musíte toto číslo nájsť. Tento typ problému bude opakom problému nájdenia zlomku daného čísla; tam bolo dané číslo a bolo potrebné nájsť nejaký zlomok tohto čísla, tu bol daný zlomok čísla a bolo potrebné nájsť toto číslo samo. Táto myšlienka bude ešte jasnejšia, ak sa pustíme do riešenia tohto typu problému.

Úloha 1. Sklenári v prvý deň zasklili 50 okien, čo je 1/3 všetkých okien postaveného domu. Koľko okien je v tomto dome?

Riešenie. Problém hovorí, že 50 zasklených okien tvorí 1/3 všetkých okien domu, čiže celkovo je okien 3x viac, t.j.

Dom mal 150 okien.

Úloha 2. Predajňa predala 1 500 kg múky, čo sú 3/8 celkových zásob múky, ktoré mala predajňa. Aká bola počiatočná dodávka múky v obchode?

Riešenie. Z podmienok problému je zrejmé, že 1 500 kg predanej múky tvorí 3/8 celkových zásob; To znamená, že 1/8 tejto rezervy bude 3-krát menej, t.j. na jej výpočet je potrebné znížiť 1500 3-krát:

1 500 : 3 = 500 (to je 1/8 rezervy).

Je zrejmé, že celá zásoba bude 8-krát väčšia. teda

500 8 = 4 000 (kg).

Počiatočná zásoba múky v predajni bola 4 000 kg.

Z posúdenia tohto problému možno odvodiť nasledujúce pravidlo.

Na nájdenie čísla z danej hodnoty jeho zlomku stačí túto hodnotu vydeliť čitateľom zlomku a výsledok vynásobiť menovateľom zlomku.

Vyriešili sme dva problémy s nájdením čísla daného zlomkom. Takéto problémy, ako je obzvlášť zreteľne vidieť z posledného, ​​sa riešia dvoma akciami: delením (keď sa nájde jedna časť) a násobením (keď sa nájde celé číslo).

Keď sme sa však naučili deliť zlomky, vyššie uvedené problémy možno vyriešiť jednou akciou, a to: delením zlomkom.

Napríklad posledná úloha môže byť vyriešená jednou akciou takto:

V budúcnosti vyriešime problémy s nájdením čísla z jeho zlomku jednou akciou - delením.

7. Nájdenie čísla podľa jeho percent.

V týchto problémoch budete musieť nájsť číslo, ktoré pozná niekoľko percent tohto čísla.

Úloha 1. Začiatkom tohto roka som dostal od sporiteľne 60 rubľov. príjem zo sumy, ktorú som pred rokom vložil do sporenia. Koľko peňazí som vložil do sporiteľne? (Pokladne poskytujú vkladateľom výnos 2 % ročne.)

Problém je v tom, že som vložil určitú sumu peňazí do sporiteľne a zostal tam rok. Po roku som od nej dostal 60 rubľov. príjem, čo sú 2/100 z peňazí, ktoré som vložil. Koľko peňazí som vložil?

Keď teda poznáme časť týchto peňazí, vyjadrenú dvoma spôsobmi (v rubľoch a zlomkoch), musíme nájsť celú, zatiaľ neznámu sumu. Toto je bežný problém nájsť číslo vzhľadom na jeho zlomok. Nasledujúce problémy sa riešia delením:

To znamená, že v sporiteľni bolo uložených 3 000 rubľov.

Úloha 2. Rybári za dva týždne splnili mesačný plán na 64 %, pričom vylovili 512 ton rýb. Aký mali plán?

Z podmienok problému je známe, že rybári časť plánu splnili. Táto časť sa rovná 512 tonám, čo je 64 % plánu. Nevieme, koľko ton rýb treba pripraviť podľa plánu. Nájdenie tohto čísla bude riešením problému.

Takéto problémy sa riešia rozdelením:

To znamená, že podľa plánu treba pripraviť 800 ton rýb.

Úloha 3. Vlak išiel z Rigy do Moskvy. Keď prešiel 276. kilometer, jeden z cestujúcich sa spýtal okoloidúceho sprievodcu, koľko z cesty už prešli. Na to sprievodca odpovedal: „Už sme prešli 30 % celej cesty. Aká je vzdialenosť z Rigy do Moskvy?

Z problémových podmienok je zrejmé, že 30% trasy z Rigy do Moskvy je 276 km. Musíme nájsť celú vzdialenosť medzi týmito mestami, t. j. pre túto časť nájsť celok:

§ 91. Vzájomné čísla. Nahradenie delenia násobením.

Vezmime zlomok 2/3 a namiesto menovateľa nahradíme čitateľa, dostaneme 3/2. Dostali sme prevrátenú hodnotu tohto zlomku.

Ak chcete získať prevrátenú hodnotu daného zlomku, musíte namiesto menovateľa umiestniť jeho čitateľa a namiesto čitateľa menovateľa. Týmto spôsobom môžeme získať prevrátenú hodnotu ľubovoľného zlomku. Napríklad:

3/4, rub 4/3; 5/6, obrátene 6/5

Dva zlomky, ktoré majú vlastnosť, že čitateľ prvého je menovateľom druhého a menovateľ prvého je čitateľom druhého, sa nazývajú vzájomne inverzné.

Teraz sa zamyslime nad tým, aký zlomok bude prevrátená 1/2. Je zrejmé, že to bude 2 / 1, alebo len 2. Hľadaním prevráteného zlomku daného zlomku sme dostali celé číslo. A tento prípad nie je izolovaný; naopak, pre všetky zlomky s čitateľom 1 (jedna) budú prevrátené celé čísla, napríklad:

1/3, rub 3; 1/5, obrátene 5

Keďže pri hľadaní reciprokých zlomkov sme sa stretli aj s celými číslami, v ďalšom nebudeme hovoriť o reciprokých zlomkoch, ale o recipročné čísla.

Poďme zistiť, ako napísať inverznú hodnotu k celému číslu. V prípade zlomkov sa to dá vyriešiť jednoducho: namiesto čitateľa musíte umiestniť menovateľa. Rovnakým spôsobom môžete získať prevrátenú hodnotu celého čísla, pretože každé celé číslo môže mať menovateľ 1. To znamená, že inverzná hodnota k 7 bude 1/7, pretože 7 = 7/1; pre číslo 10 bude inverzná hodnota 1/10, pretože 10 = 10/1

Táto myšlienka môže byť vyjadrená rôzne: prevrátenú hodnotu daného čísla získame vydelením jednotky daným číslom. Toto tvrdenie platí nielen pre celé čísla, ale aj pre zlomky. V skutočnosti, ak potrebujeme napísať prevrátenú časť zlomku 5/9, potom môžeme vziať 1 a vydeliť ju 5/9, t.j.

Teraz poukážeme na jednu vec nehnuteľnosť recipročné čísla, ktoré sa nám budú hodiť: súčin recipročných čísel sa rovná jednej. Naozaj:

Pomocou tejto vlastnosti môžeme nájsť recipročné čísla nasledujúcim spôsobom. Povedzme, že potrebujeme nájsť prevrátenú hodnotu 8.

Označme to písmenom X , potom 8 X = 1, teda X = 1/8. Nájdite iné číslo, ktoré je prevrátené k 7/12 a označme ho písmenom X , potom 7.12 X = 1, teda X = 1: 7 / 12 alebo X = 12 / 7 .

Zaviedli sme tu pojem reciproké čísla, aby sme mierne doplnili informácie o delení zlomkov.

Keď vydelíme číslo 6 3/5, urobíme nasledovné:

Venujte zvláštnu pozornosť výrazu a porovnajte ho s daným: .

Ak vezmeme výraz oddelene, bez spojenia s predchádzajúcim, potom nie je možné vyriešiť otázku, odkiaľ pochádza: z delenia 6 3/5 alebo z vynásobenia 6 5/3. V oboch prípadoch sa stane to isté. Preto môžeme povedať že delenie jedného čísla druhým možno nahradiť vynásobením deliteľa prevrátenou hodnotou deliteľa.

Príklady, ktoré uvádzame nižšie, plne potvrdzujú tento záver.

Násobenie a delenie zlomkov.

Pozor!
Existujú ďalšie
materiály v osobitnom oddiele 555.
Pre tých, ktorí sú veľmi „nie veľmi...“
A pre tých, ktorí „veľmi...“)

Táto operácia je oveľa krajšia ako sčítanie-odčítanie! Pretože je to jednoduchšie. Pripomíname, že ak chcete vynásobiť zlomok zlomkom, musíte vynásobiť čitateľov (toto bude čitateľ výsledku) a menovateľov (toto bude menovateľ). To je:

Napríklad:

Všetko je mimoriadne jednoduché. A prosím, nehľadajte spoločného menovateľa! Tu ho netreba...

Ak chcete rozdeliť zlomok zlomkom, musíte obrátiť druhý(to je dôležité!) zlomok a vynásobte ich, t.j.:

Napríklad:

Ak narazíte na násobenie alebo delenie celými číslami a zlomkami, je to v poriadku. Rovnako ako pri sčítaní, aj tu vytvoríme zlomok z celého čísla s jednotkou v menovateli – a do toho! Napríklad:

Na strednej škole sa často musíte zaoberať trojposchodovými (alebo aj štvorposchodovými!) zlomkami. Napríklad:

Ako môžem, aby tento zlomok vyzeral slušne? Áno, veľmi jednoduché! Použite dvojbodové delenie:

Ale nezabudnite na poradie delenia! Na rozdiel od násobenia je to tu veľmi dôležité! Samozrejme, nebudeme si mýliť 4:2 alebo 2:4. Ale je ľahké urobiť chybu v trojposchodovej časti. Všimnite si napríklad:

V prvom prípade (výraz vľavo):

V druhom (výraz vpravo):

Cítiš ten rozdiel? 4 a 1/9!

Čo určuje poradie delenia? Buď so zátvorkami, alebo (ako tu) s dĺžkou vodorovných čiar. Rozvíjajte svoje oko. A ak neexistujú žiadne zátvorky alebo pomlčky, napríklad:

potom deliť a násobiť v poradí, zľava doprava!

A ďalšia veľmi jednoduchá a dôležitá technika. V akciách s titulmi vám to bude tak užitočné! Vydeľme jeden zlomkom, napríklad 13/15:

Strela sa obrátila! A toto sa stáva vždy. Pri delení 1 ľubovoľným zlomkom je výsledkom rovnaký zlomok, len hore nohami.

To je všetko pre operácie so zlomkami. Vec je celkom jednoduchá, no chýb dáva viac než dosť. Poznámka praktické rady, a bude ich menej (chyby)!

Praktické rady:

1. Najdôležitejšia vec pri práci so zlomkovými výrazmi je presnosť a pozornosť! Toto nie sú všeobecné slová, nie dobré priania! Toto je priam nevyhnutnosť! Urobte všetky výpočty na jednotnej štátnej skúške ako plnohodnotnú úlohu, sústredenú a prehľadnú. Je lepšie napísať do návrhu dva riadky navyše, ako sa pokaziť pri mentálnych výpočtoch.

2. V príkladoch s odlišné typy zlomky - prejdite na obyčajné zlomky.

3. Všetky frakcie redukujeme, až kým sa nezastavia.

4. Viacúrovňové zlomkové výrazy redukujeme na obyčajné pomocou delenia cez dva body (dodržiavame poradie delenia!).

5. Vydeľte jednotku zlomkom v hlave tak, že zlomok jednoducho otočíte.

Tu sú úlohy, ktoré určite musíte splniť. Odpovede sú uvedené po všetkých úlohách. Použite materiály na túto tému a praktické tipy. Odhadnite, koľko príkladov ste dokázali správne vyriešiť. Prvý krát! Bez kalkulačky! A vyvodiť správne závery...

Pamätajte - správna odpoveď je prijaté od druhého (najmä tretieho) času sa nepočíta! Taký je krutý život.

takže, riešiť v skúšobnom režime ! Mimochodom, toto je už príprava na jednotnú štátnu skúšku. Príklad vyriešime, skontrolujeme, vyriešime ďalší. O všetkom sme rozhodli - znova skontrolovali od prvého do posledného. Ale len Potom pozri si odpovede.

Vypočítať:

Rozhodol si sa?

Hľadáme odpovede, ktoré zodpovedajú vašim. Schválne som ich zapísal neporiadne, takpovediac ďaleko od pokušenia... Tu sú odpovede písané bodkočiarkami.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

Teraz vyvodíme závery. Ak všetko klapne, mám z vás radosť! Základné výpočty so zlomkami nie sú váš problém! Môžete robiť aj vážnejšie veci. Ak nie...

Takže máte jeden z dvoch problémov. Alebo oboje naraz.) Nedostatok vedomostí a (alebo) nepozornosť. Ale toto riešiteľný Problémy.

Ak sa vám táto stránka páči...

Mimochodom, mám pre vás niekoľko ďalších zaujímavých stránok.)

Môžete si precvičiť riešenie príkladov a zistiť svoju úroveň. Testovanie s okamžitým overením. Učme sa - so záujmom!)

Môžete sa zoznámiť s funkciami a derivátmi.

Násobenie celého čísla zlomkom nie je náročná úloha. Existujú však jemnosti, ktoré ste pravdepodobne pochopili v škole, ale odvtedy ste na ne zabudli.

Ako vynásobiť celé číslo zlomkom - niekoľko pojmov

Ak si pamätáte, čo je čitateľ a menovateľ a ako sa správny zlomok líši od nesprávneho zlomku, preskočte tento odsek. Je pre tých, ktorí úplne zabudli na teóriu.

Čitateľ je vrchná časť zlomky sú to, čo delíme. Menovateľ je nižší. Podľa toho sa delíme.
Vlastný zlomok je zlomok, ktorého čitateľ je menší ako menovateľ. Nevlastný zlomok je zlomok, ktorého čitateľ je väčší alebo rovný jeho menovateľovi.

Ako vynásobiť celé číslo zlomkom

Pravidlo pre násobenie celého čísla zlomkom je veľmi jednoduché – čitateľa vynásobíme celým číslom, no menovateľa sa nedotkneme. Napríklad: dve vynásobené jednou pätinou – dostaneme dve pätiny. Štyri vynásobené tromi šestnástinami sa rovná dvanástim šestnástim.

Zníženie

V druhom príklade je možné výslednú frakciu znížiť.
Čo to znamená? Upozorňujeme, že čitateľ aj menovateľ tohto zlomku sú deliteľné štyrmi. Vydeľte obe čísla spoločný deliteľ a nazýva sa to zmenšenie zlomku. Dostaneme tri štvrtiny.

Nepravé zlomky

Predpokladajme však, že vynásobíme štyri dvoma pätinami. Vyšlo to na osem pätín. Toto je nesprávny zlomok.
Určite ju treba priviesť správny druh. Ak to chcete urobiť, musíte z nej vybrať celú časť.
Tu je potrebné použiť delenie so zvyškom. Dostaneme jednu a tri ako zvyšok.
Jeden celok a tri pätiny je náš správny zlomok.

Uviesť tridsaťpäť osmín do správneho tvaru je o niečo zložitejšie. Najbližšie číslo k tridsiatim siedmim, ktoré je deliteľné ôsmimi, je tridsaťdva. Po rozdelení dostaneme štyri. Odpočítajte tridsaťdva od tridsiatich piatich a dostaneme tri. Výsledok: štyri celé a tri osminy.

Rovnosť čitateľa a menovateľa. A tu je všetko veľmi jednoduché a krásne. Ak sú čitateľ a menovateľ rovnaký, výsledok je jednoducho jeden.

) a menovateľ po menovateli (dostaneme menovateľa súčinu).

Vzorec na násobenie zlomkov:

Napríklad:

Skôr ako začnete násobiť čitateľov a menovateľov, musíte skontrolovať, či je možné zlomok zmenšiť. Ak dokážete zlomok zmenšiť, bude pre vás jednoduchšie robiť ďalšie výpočty.

Delenie bežného zlomku zlomkom.

Delenie zlomkov zahŕňajúcich prirodzené čísla.

Nie je to také strašidelné, ako sa zdá. Rovnako ako v prípade sčítania prevedieme celé číslo na zlomok s jednotkou v menovateli. Napríklad:

Násobenie zmiešaných zlomkov.

Pravidlá pre násobenie zlomkov (zmiešané):

• previesť zmiešané frakcie na nesprávne frakcie;
• násobenie čitateľov a menovateľov zlomkov;
• znížiť frakciu;
• Ak dostanete nesprávny zlomok, potom prevedieme nesprávny zlomok na zmiešaný zlomok.

Poznámka! Ak chcete vynásobiť zmiešaný zlomok iným zmiešaným zlomkom, musíte ich najskôr previesť do tvaru nesprávnych zlomkov a potom vynásobiť podľa pravidla pre násobenie obyčajných zlomkov.

Druhý spôsob, ako vynásobiť zlomok prirodzeným číslom.

Môže byť vhodnejšie použiť druhý spôsob násobenia spoločný zlomok za číslo.

Poznámka! Ak chcete vynásobiť zlomok prirodzeným číslom, musíte vydeliť menovateľa zlomku týmto číslom a ponechať čitateľa nezmenený.

Z vyššie uvedeného príkladu je zrejmé, že túto možnosť je vhodnejšie použiť, keď je menovateľ zlomku delený bezo zvyšku prirodzeným číslom.

Viacpríbehové zlomky.

Na strednej škole sa často stretávame s trojposchodovými (alebo viac) zlomkami. Príklad:

Ak chcete dostať takýto zlomok do jeho bežnej podoby, použite delenie cez 2 body:

Poznámka! Pri delení zlomkov je veľmi dôležité poradie delenia. Buďte opatrní, tu sa dá ľahko zmiasť.

Poznámka, Napríklad:

Pri delení jedného zlomkom bude výsledkom rovnaký zlomok, len prevrátený:

Praktické tipy na násobenie a delenie zlomkov:

1. Najdôležitejšou vecou pri práci so zlomkovými výrazmi je presnosť a pozornosť. Všetky výpočty robte opatrne a presne, sústredene a jasne. Je lepšie napísať do návrhu pár riadkov navyše, ako sa stratiť v mentálnych výpočtoch.

2. V úlohách s rôznymi druhmi zlomkov prejdite na typ obyčajných zlomkov.

3. Všetky zlomky redukujeme, až kým to už nie je možné.

4. Viacúrovňové zlomkové výrazy transformujeme na obyčajné pomocou delenia cez 2 body.

5. Vydeľte jednotku zlomkom v hlave tak, že zlomok jednoducho otočíte.