Ako nájsť najmenšie celkové množstvo viacerých 3 čísel. NOD A NOK DVA ČÍSLA, EUCLIDEOVÝ ALGORITHM

Ako nájsť NOC (najmenší celkový viacnásobný)

Celkový počet dvoch celých čísel je takéto celé číslo, ktoré je rozdelené zaostrením bez rovnováhy na oboch špecifikovaných číslach.

Najmenší celkový počet pre dve celé čísla je najmenší zo všetkých celých čísel, ktorý je rozdelený a bez rovnováhy na oboch špecifikovaných číslach.

Metóda 1. Na každom z uvedených čísel je možné nájsť NOK, pre každú zo špecifikovaných čísel, vytiahnutých v poradí zvyšovania všetkých čísel, ktoré sa získajú vynásobením o 1, 2, 3, 4 a tak ďalej.

Príklad Pre čísla 6 a 9.
Vynásobte číslo 6, postupne, 1, 2, 3, 4, 5.
Dostaneme: 6, 12, 18 , 24, 30
Vynásobíme číslo 9, postupne, 1, 2, 3, 4, 5.
Dostaneme: 9, 18 , 27, 36, 45
Ako je možné vidieť, NOC pre čísla 6 a 9 sa rovná 18.

Táto metóda je vhodná, keď sú obe čísla malé a ľahko znásobené sekvenciou celých čísel. Existujú však prípady, keď je potrebné nájsť NOC pre dvojciferné alebo trojmiestne čísla, ako aj keď sú počiatočné čísla tri alebo ešte viac.

Metóda 2.. Nie je možné nájsť NOC, šíriť počiatočné čísla na jednoduché faktory.
Po rozkladu je potrebné odstrániť rovnaké čísla z výslednej série jednoduchých faktorov. Zostávajúce čísla prvého čísla bude multiplikátor pre druhý a zostávajúci počet druhých - multiplikátor pre prvý.

Príkladpre číslo 75 a 60.
Najmenšie celkové viacnásobné čísla 75 a 60 sa dá nájsť a predpísať v rade na tieto čísla. Ak to chcete urobiť, položte 75 a 60 jednoduchých multiplikátorov:
75 = 3 * 5 * 5, a
60 = 2 * 2 * 3 * 5 .
Ako je možné vidieť, multiplikátory 3 a 5 sa nachádzajú v oboch riadkoch. Mentálne, sú "drvenie".
Vychutnajte si zostávajúce multiplikátory v rozkladu každého z týchto čísel. S rozkladom čísla 75 sme opustili číslo 5 as rozkladom čísla 60 - 2 * 2 zostal
Znamená to určiť NOC pre čísla 75 a 60, potrebujeme zostávajúce čísla od rozkladu 75 (to je 5) sa množia 60, a čísla zostávajú z rozkladu čísla 60 (to je 2 * 2) vynásobte o 75 , To znamená, že pre jednoduchosť porozumenia hovoríme, že sa viac "hniezdi".
75 * 2 * 2 = 300
60 * 5 = 300
Zistili sme teda NOC pre čísla 60 a 75. Toto je číslo 300.

Príklad. Určite NOC pre čísla 12, 16, 24
V tomto prípade budú naše kroky trochu zložitejšie. Ale najprv, ako vždy, budeme definovať všetky čísla pre jednoduché faktory.
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3
Aby bolo možné správne definovať NOC, vyberte najmenší zo všetkých čísel (toto je číslo 12) a konzistentne prechádza podľa jeho faktora, ktorý ich prekročí, ak aspoň jeden z ďalších čísel sa stretol s tým istým, ešte nie je zdôraznený multiplikátor.

Krok 1 . Vidíme, že 2 * 2 sa nachádzajú vo všetkých radoch čísel. Krčí ich.
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Krok 2. V bežných multiplikátoroch čísla 12 je len číslo 3. Ale je prítomný v jednoduchých multiplikátoroch čísla 24. Preskúmajte číslo 3 riadkov a neočakáva sa žiadne kroky pre číslo 16.
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Ako vidíme, s rozkladom čísla 12, "prekročili" všetky čísla. Takže zistenie NOC je dokončené. Zostáva len vypočítať jeho hodnotu.
Pre číslo 12 berieme zostávajúce multiplikátory v čísle 16 (najbližšie vzostupne)
12 * 2 * 2 = 48
Je to NOK

Ako vidíte, v tomto prípade, zistenie NOC bolo trochu zložitejšie, ale keď je potrebné nájsť ho pre tri alebo viac čísel, táto metóda vám umožňuje rýchlejšie. Oba spôsob, ako nájsť NOC, sú však správne.

Zvážte tri spôsoby, ako nájsť najmenší spoločný viacnásobný.

Pokladanie expanziou na multiplikátoroch

Prvou metódou je nájsť najmenší spoločný násobok rozkladom týchto čísel na jednoduchých faktoroch.

Predpokladajme, že potrebujeme nájsť NOC čísla: 99, 30 a 28. Na to sa každý z týchto čísel rozkladáme na jednoduché multiplikátory:

Ak chcete zdieľať požadovaný číslo 99, o 30 a 28, je to potrebné a dostatočné pre všetky jednoduché faktory týchto delizorov, ktoré majú byť zahrnuté do nej. Na tento účel musíme vziať všetky jednoduché faktory týchto čísel do najväčšieho rozsahu a znásobiť ich navzájom:

2 2 · 3 2 · 5 · 7 · 11 \u003d 13 860

Tak, NOK (99, 30, 28) \u003d 13 860. Žiadne iné číslo nie je menšie ako 13,860 o 99, o 30 a o 28.

Ak chcete nájsť najmenšie spoločné viacnásobné údaje o číslach, musíte ich rozkladať na jednoduchých multiplikátoroch, potom si každý jednoduchý multiplikátor s najväčším ukazovateľom titulu, s ktorým sa nachádza, a znásobuje tieto multiplikátory medzi sebou.

Keďže vzájomne jednoduché čísla nemajú spoločné jednoduché multiplikátory, ich najmenší spoločný násobok sa rovná produktu týchto čísel. Napríklad tri čísla: 20, 49 a 33 sú vzájomne jednoduché. teda

NOC (20, 49, 33) \u003d 20 · 49 · 33 \u003d 32 340.

Rovnakým spôsobom je potrebné konať, keď sa nachádza najmenší spoločný násobok rôznych jednoduchých čísel. Napríklad NOK (3, 7, 11) \u003d 3 · 7 · 11 \u003d 231.

Nájdenie výberu

Druhou metódou je nájsť najmenší spoločný viacnásobný výber.

Príklad 1. Keď je najväčší z týchto čísel rozdelený na iné údaje o čísla, NOC týchto čísel je rovnocenné vyššie z nich. Napríklad štyri čísla sú uvedené: 60, 30, 10 a 6. Každý z nich je rozdelený do 60, teda:

NOK (60, 30, 10, 6) \u003d 60

V ostatných prípadoch sa na nájdenie najmenšieho celkového počtu používaní:

1. Určiť najväčšie číslo z týchto čísel.
2. Ďalej nájdeme čísla, viacnásobné najväčšie číslo, vynásobete ho na prirodzené čísla v poradí ich zvýšenia a kontroly, či zostávajúce údaje čísla sú rozdelené do výsledného produktu.

Príklad 2. Sú uvedené tri čísla 24, 3 a 18. Zistíme, že najväčší z nich - toto je číslo 24. Ďalej nájdeme čísla násobkov 24, kontrolujeme, či je každý z nich rozdelený do 18 a 3:

24 · 1 \u003d 24 - delené 3, ale nie je rozdelené do 18 rokov.

24 · 2 \u003d 48 - Rozdelené 3, ale nie je rozdelené do 18 rokov.

24 · 3 \u003d 72 - rozdelené do 3 a 18.

Tak, NOC (24, 3, 18) \u003d 72.

Nájsť konzistentné noc

Tretím spôsobe je nájsť najmenšiu spoločnú bolesť v sekvenčnom zistení NOC.

NOC z dvoch údajov údajov sa rovná produktu týchto čísel rozdelených na ich najväčší spoločný rozdeľovač.

Príklad 1. Nájdite NOC z dvoch údajov údajov: 12 a 8. Definujeme ich najväčší spoločný rozdeľovač: uzol (12, 8) \u003d 4. Znížte počet čísel:

Rozdeľujeme prácu na ich uzloch:

Tak, NOK (12, 8) \u003d 24.

Ak chcete nájsť tri alebo viac čísel NOK, používa sa nasledujúci postup:

1. Najprv nájdite noc niektoré z dvoch čísel.
2. Potom NOC našiel najmenej bežného viacnásobného a tretieho.
3. Potom získal NOC najmenší celkový počet a štvrtý počet atď.
4. Vyhľadávanie NOC teda pokračuje, kým nie sú čísla.

Príklad 2. Nájdite NOC z troch údajov údajov: 12, 8 a 9. NOC čísel 12 a 8 sme už našli v predchádzajúcom príklade (toto je číslo 24). Zostáva nájsť najmenšie celkom viacnásobné číslo 24 a tretinu tohto čísla - 9. Definujeme ich najväčší spoločný rozdeľovač: uzly (24, 9) \u003d 3. Znížte NOC s číslom 9:

Rozdeľujeme prácu na ich uzloch:

Tak, NOC (12, 8, 9) \u003d 72.

Online kalkulačka vám umožňuje rýchlo nájsť najväčší spoločný delič a najmenší spoločný pre dva a pre akýkoľvek iný počet čísel.

Kalkulačka na nájdenie uzlov a nok

Nájsť uzol a nok

Nájdené uzly a NOK: 6433

Ako používať kalkulačku

• Zadajte čísla do vstupného poľa
• V prípade vstupných nesprávnych znakov bude vstupná skrinka zvýraznená červenou farbou
• kliknite na "Nájsť uzol a NOK"

Ako zadať čísla

• Čísla sú zavedené priestom, bodom alebo čiarkou
• Dĺžka vstupných čísel nie je obmedzená.Takže nájdené uzly a dlhé čísla NOK nebude ťažké

Čo je NOD a NOK?

Najväčší spoločný rozdelenie Existuje niekoľko čísel - toto je najväčšie prirodzené celé číslo, na ktorom sú všetky počiatočné čísla rozdelené bez zvyšku. Najväčší spoločný rozdeľovač je skrátený ako Uzol.
Najmenšia spoločná bolesť Existuje niekoľko čísel - toto je najmenšie číslo, ktoré je rozdelené do každej z počiatočných čísel bez zvyšku. Najmenší spoločný viacnásobný je napísaný skrátený ako Nok..

Ako skontrolovať, či je číslo rozdelené na iné číslo bez zvyšku?

Ak chcete zistiť, či je jedno číslo rozdelené do iného bez zvyšku, môžete použiť niektoré vlastnosti deliteľnosti čísel. Potom, kombinovať ich, môžete skontrolovať rozlúčku niektorých z nich a ich kombinácie.

Niektoré príznaky deliteľnosti čísel

1. Znamenie rozdeľovanosti čísla o 2
Ak chcete zistiť, či je číslo rozdelené na dve (či už sa používa), pozrite sa na poslednú hodnotu tohto čísla: Ak je rovný 0, 2, 4, 6 alebo 8, potom je číslo jasne, čo znamená Je rozdelená do 2.
Príklad: Určite, či je rozdelená 2 číslom 34938.
Rozhodnutie: Pozeráme sa na poslednú číslicu: 8 znamená, že číslo je rozdelené na dva.

2. Znamenie rozdelenia čísla do 3
Číslo je rozdelené 3, keď je suma jeho čísel rozdelená do troch. Tak, aby sa určilo, či je číslo rozdelené na 3, je potrebné vypočítať množstvo čísel a skontrolovať, či je rozdelený do 3. Aj keď sa množstvo čísel ukázalo byť veľmi veľké, môžete znova opakovať rovnaký proces .
Príklad: Určite, či je číslo 34938 rozdelené na 3.
Rozhodnutie: Domnievame sa, že množstvo čísel: 3 + 4 + 9 + 3 + 8 \u003d 27. 27 je rozdelené na 3, a preto je číslo rozdelené do troch.

3. Znamenie rozdeľovanosti čísla na 5
Číslo je rozdelené 5, keď je jeho posledná číslica nula alebo päť.
Príklad: Určite, či je číslo 34938 rozdelené na 5.
Rozhodnutie: Pozeráme sa na poslednú číslicu: 8 znamená, že číslo nie je rozdelené piatimi.

4. Znamenie rozdeľovanosti čísla o 9
Táto funkcia je veľmi podobná znameniu deliteľnosti na vrchole: číslo je rozdelené 9, keď je množstvo jeho čísel rozdelené na 9.
Príklad: Určite, či je číslo 34938 rozdelené na 9.
Rozhodnutie: Domnievame sa, že množstvo čísel: 3 + 4 + 9 + 3 + 8 \u003d 27. 27 je rozdelené do 9, a preto je číslo rozdelené deviatimi.

Ako nájsť uzly a dve čísla NOK

Ako nájsť uzol dve čísla

Najjednoduchší spôsob, ako vypočítať najväčší všeobecný deliteľ dvoch čísel, je vyhľadávanie všetkých možných delidorov týchto čísel a výberom najväčších z nich.

Zvážte túto metódu na príklad nájdeného uzla (28, 36):

1. Získané oba čísla na multiplikátoroch: 28 \u003d 1 · 2 · 2 · 7, 36 \u003d 1 · 2 · 2 · 3 · 3
2. Nájdeme všeobecné multiplikátory, to znamená, že sú tie, ktoré majú oba čísla: 1, 2 a 2.
3. Vypočítajte produkt týchto multiplikátorov: 1 · 2 · 2 \u003d 4 - to je najväčší spoločný rozdeľovač čísel 28 a 36.

Ako nájsť dve čísla NOK

Najčastejšie dva spôsoby, ako nájsť najmenšie viacnásobné dve čísla sú najčastejšie. Prvým spôsobom je, že je možné zapísať prvé viacnásobné dve čísla a potom si vybrať medzi nimi také číslo, ktoré bude bežné pre obe čísla a zároveň. A druhý je nájsť uzol týchto čísel. Zvážte len to.

Ak chcete vypočítať NOC, je potrebné vypočítať produkt počiatočných čísel a potom ju rozdeliť do prednastaveného uzla. Nájdite NOC pre rovnaké čísla 28 a 36:

1. Nájdeme produkt čísla 28 a 36: 28 · 36 \u003d 1008
2. Node (28, 36), ako už bolo známe, rovné 4
3. NOK (28, 36) \u003d 1008/4 \u003d 252.

Hľadanie uzla a NOK pre niekoľko čísel

Najväčší zdieľaný delič nájdete niekoľko čísel, a nie len pre dvoch. Na tento účel sa číslo hľadania najväčšieho spoločného rozdelenia rozvíjalo na jednoduchých faktoroch, potom sa nájde produkt spoločných jednoduchých multiplikátorov týchto čísel. Tiež pre nájdenie uzla niekoľkých čísel môžete použiť nasledujúci pomer: Uzol (A, B, C) \u003d uzol (uzol (A, B), C).

Podobný vzťah platí pre najmenšie spoločné viacnásobné čísla: NOK (A, B, C) \u003d NOC (NOK (A, B), C)

Príklad: Nájsť uzly a NOK pre čísla 12, 32 a 36.

1. Zachytené čísla na multiplikátoroch: 12 \u003d 1 · 2,2 · 3, 32 \u003d 1,2 · 2 · 2 · 2, 36 \u003d 1 · 2 · 3 · 3.
2. Nájdite niektoré multiplikátory: 1, 2 a 2.
3. Ich práca bude kývnuť: 1 · 2 · 2 \u003d 4
4. Teraz nájdeme NOK: K tomu, aby som to urobil, nájdem NOK (12, 32): 12 · 32/4 \u003d 96.
5. Ak chcete nájsť NOC všetkých troch čísel, musíte nájsť uzol (96, 36): 96 \u003d 1 · 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3, uzol \u003d 1 · 2 · 2 · 3 \u003d 12.
6. NOK (12, 32, 36) \u003d 96 · 36/12 \u003d 288.

Najväčšie prirodzené číslo, na ktorom je rozdelené bez čísla rezíduí A a B, volal najväčší spoločný rozdeľovač Tieto čísla. Označuje uzol (A, B).

Zvážte nájdenie uzla v príklade dvoch prírodných čísel 18 a 60:

1 šíri čísla na jednoduchých faktoroch:
18 = 2 × 3 × 3
60 = 2 × 2 × 3 × 5

2 Vystreľte rozklad prvého čísla všetky faktory, ktoré nie sú zahrnuté v expanzii druhého čísla, dostaneme 2 × 3 × 3 .

3 Znížte zostávajúce jednoduché faktory po prekročení a získajte najväčší spoločný rozdeľovač: NODE 18 , 60 )=2 × 3.= 6 .

4 Všimnite si, že nie je dôležité z prvého alebo druhého čísla, cez multiplikátory, výsledok bude rovnaký:
18 = 2 × 3 × 3
60 = 2 × 2 × 3 × 5

324 , 111 a 432

Šíri čísla na jednoduchých faktoroch:

324 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3

111 = 3 × 37.

432 = 2 × 2 x 2 x 2 × 3 × 3 × 3

Ak chcete odstrániť z prvého čísla, ktorých faktory nie sú v druhej a tretej, dostaneme:

2 × 2 x 2 x 2 × 3 × 3 × 3 \u003d 3

Ako výsledok, kývnutie ( 324 , 111 , 432 )=3

Hľadanie uzla pomocou algoritmu EUCLIDEA

Druhý spôsob, ako nájsť najväčší všeobecný delič algoritmus euclida. Algoritmus Euclida je najúčinnejším spôsobom, ako nájsť UzolPoužívanie jeho musí neustále nájsť rovnováhu rozdelenia čísel a uplatniť sa rekurentný vzorec.

Rekurentný vzorec pre uzol, Uzol (A, B) \u003d uzol (B, A MOD B)Tam, kde mod B je bilancia rozdelenia A na b.

Algoritmus euclida

Príklad Nájdite najväčší spoločný delič čísel 7920 a 594

Nájdeme uzol ( 7920 , 594 ) S pomocou euklidského algoritmu vypočítame zostatok z rozdelenia pomocou kalkulačky.

Uzol ( 7920 , 594 )

Uzol ( 594 , 7920 Mod. 594 ) \u003d Uzol ( 594 , 198 )

Uzol ( 198 , 594 Mod. 198 ) \u003d Uzol ( 198 , 0 )

Uzol ( 198 , 0 ) = 198

• 7920 MOD 594 \u003d 7920 - 13 × 594 \u003d 198
• 594 MOD 198 \u003d 594 - 3 × 198 \u003d 0

V dôsledku toho získame uzly ( 7920 , 594 ) = 198

Najmenšia spoločná bolesť

Aby ste mohli nájsť spoločný menovateľ pri pridávaní a odpočítaní frakcií s rôznymi denominantmi, musíte vedieť a byť schopný počítať najmenšia spoločná bolesť (NOC).

Viacnásobné číslo "A" je číslo, ktoré je rozdelené do čísla "A" bez zvyšku.

Čísla násobkov 8 (to znamená, že tieto čísla sú rozdelené na 8 bez zvyškov): tieto sú čísla 16, 24, 32 ...

Viacnásobný 9: 18, 27, 36, 45 ...

Čísla, viacnásobné na toto číslo A, sú nekonečne veľa, na rozdiel od deliteľov rovnakého čísla. Rozdiely - konečné číslo.

Celkový násobok dvoch prírodných čísel sa nazýva číslo, ktoré je rozdelené do oboch týchto čísel.

Najmenšia spoločná farba (NOK) z dvoch alebo viacerých prirodzených čísel sa nazýva najmenšie prirodzené číslo, ktoré samotné je vydelené každým z týchto čísel.

Ako nájsť kút

NOK možno nájsť a popáliť dvoma spôsobmi.

Prvý spôsob, ako nájsť NOC

Táto metóda sa zvyčajne používa pre malé čísla.

1. Vypúšťame do zoznamu násobkov pre každý z vašich čísel, kým nenájdete násobok, to isté pre obe čísla.
2. Viacnásobné číslo "A" je označené veľkým písmenom "K".

Príklad. Nájsť NOC 6 a 8.

Druhý spôsob, ako nájsť NOC

Týmto spôsobom je vhodné použiť na nájdenie NOC pre tri alebo viac čísel.

Počet identických multiplikátorov v expanziách čísel môže byť iný.

Zdôrazniť v rozkladu menšieho počtu (menších čísel) multiplikátorov, ktoré sa nestali v rozklade väčšieho čísla (v našom príklade je 2) a pridajte tieto faktory na rozloženie väčšieho počtu.
NOK (24, 60) \u003d 2 · 2 · 3 · 5 · 2

Výsledná práca je napísaná v reakcii.
Odpoveď: NOK (24, 60) \u003d 120

Je tiež možné usporiadať zistenie najmenšieho celkového viacnásobného (NOC) nasledovne. Nájsť NOC (12, 16, 24).

24 \u003d 2 · 2 · 2 · 3

Ako vidíme od rozkladu čísel, všetok faktor 12 vstúpil do rozkladu 24 (väčšina samotných čísel), takže pridáme len jeden 2 z rozkladu čísla 16.

NOK (12, 16, 24) \u003d 2 · 2 · 2 · 3 · 2 \u003d 48

Odpoveď: NOK (12, 16, 24) \u003d 48

Osobitné prípady nájdenia NOK

Ak je jeden z čísel rozdelený na ostatných, potom je najmenší všeobecný násobok týchto čísel rovný tomuto číslu.

Napríklad NOK (60, 15) \u003d 60
Keďže vzájomne jednoduché čísla nemajú spoločné jednoduché skupiny, ich najmenšia spoločná pre prácu týchto čísel je.

Na našich stránkach môžete tiež s pomocou špeciálnej kalkulačky nájsť najmenšie všeobecné viacnásobné online na testovanie vašich výpočtov.

Ak je prirodzené číslo rozdelené len na 1 a samotné, sa nazýva jednoduché.

Akékoľvek prirodzené číslo je vždy rozdelené na 1 a samotné.

Číslo 2 - najmenšie jednoduché číslo. Toto je jediné jednoduché číslo, zvyšok jednoduchých čísel je nepárne.

Jednoduché čísla veľa a prvý z nich - číslo 2. Neexistuje však žiadne posledné jednoduché číslo. V sekcii "pre štúdium" si môžete stiahnuť tabuľku hlavných čísel na 997.

Ale mnohé prírodné čísla sú kŕmené inými prírodnými číslami.

• Číslo 12 je rozdelené do 1, o 2, o 3, o 4, o 6, o 12;
• Číslo 36 je rozdelené do 1, o 2, o 3, o 4, o 6, o 12, o 18, o 36.

Čísla, ktoré sú časové akcie zamerané (pre 12 IT 1, 2, 3, 4, 6 a 12) nazývané Divisors.

Prirodzené číslo Divider je prirodzené číslo, ktoré rozdeľuje toto číslo "A" bez zvyšku.

Prirodzené číslo, ktoré má viac ako dva rozdeľovače, sa nazýva kompozit.

Upozorňujeme, že čísla 12 a 36 majú spoločné výkyvy. To sú čísla: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Najväčší z týchto počtov týchto čísel je 12.

Celkový rozdelenie dvoch dátových čísel "A" a "B" je číslo, pre ktoré bez zostatku údajov "A" a "B".

Najväčší spoločný rozdelenie (NOD) Dva dátové čísla "A" a "B" je najväčšie číslo, pre ktoré sú obe čísla "A" a "B" rozdelené bez zvyšku.

Krátko je napísaný najväčší spoločný rozdeľovač čísel "A" a "B":

Príklad: Uzol (12; 36) \u003d 12.

Výkriky čísla v rozhodovacom zázname uveďte veľký list "D".

Čísla 7 a 9 majú len jeden spoločný rozdeľovač - číslo 1. Takéto čísla sa nazývajú vzájomne jednoduché čísla.

Vzájomne jednoduché čísla - Toto sú prirodzené čísla, ktoré majú len jedno spoločné rozdelenie - číslo 1. Ich uzly sú 1.

Ako nájsť najväčší spoločný delič

Ak chcete nájsť uzol dvoch alebo viacerých prirodzených čísel, ktoré potrebujete:

• rozkladať deliče o číslach na jednoduchých faktoroch;

Výpočty sú vhodne zaznamenané pomocou vertikálnej funkcie. Vľavo od vlastnosti, prvá priepasť zápisu, správne - delider. Ďalej v ľavom stĺpci napíšte hodnoty súkromného.

Vysvetlime ihneď na príklade. Nasledujeme čísla 28 a 64 na jednoduchý faktor.

Zdôrazňujeme rovnaké jednoduché multiplikátory v oboch číslach.
28 \u003d 2 · 2 · 7

64 \u003d 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2
Nájdeme produkt rovnakých jednoduchých multiplikátorov a odpovieme odpoveď;
Uzol (28; 64) \u003d 2 · 2 \u003d 4

Odpoveď: uzol (28; 64) \u003d 4

Môžete usporiadať zistenie uzla dvoma spôsobmi: v stĺpci (ako to urobili vyššie) alebo "v riadku".

Prvý spôsob nahrávania uzlov

Nájdite uzol 48 a 36.

Uzol (48; 36) \u003d 2 · 2 · 3 \u003d 12

Druhý spôsob záznamových uzlov

Teraz napíšte riešenie vyhľadávania uzla v riadku. Nájdite uzol 10 a 15.

Na našej informačnej stránke môžete použiť aj program asistenta, aby ste našli najväčší spoločný delič online na testovanie vašich výpočtov.

Nájdenie najmenšieho spoločného viacnásobného spôsobu, príklady hľadania NOC.

Nižšie uvedeným materiálom je logickým pokračovaním teórie z článku pod nadpisom NOC - najmenší spoločný viacnásobný, definícia, príklady, komunikácia medzi NOC a NOD. Tu budeme hovoriť nájdenie najmenšieho spoločného viacnásobného (NOK)a osobitná pozornosť sa bude venovať riešeniu príkladov. Po prvé, ukážeme, ako sa NOC z dvoch čísel vypočíta cez uzol týchto čísel. Ďalej zvážte nájdenie najnižšieho celkového množstva s pomocou rozkladu čísel na jednoduché faktory. Potom sa zameriame na nájdenie NOC tri a viac čísel, a tiež venovať pozornosť výpočtu NOC negatívnych čísel.

Navigácia.

Výpočet najmenšieho celkového množstva (NOK) prostredníctvom uzlov

Jedným zo spôsobov, ako nájsť najmenší celkový viacnásobný je založený na spojení medzi NOC a NOD. Existujúce prepojenie medzi NOC a NOD vám umožňuje vypočítať najmenší spoločný násobok dvoch celočíselných pozitívnych čísel prostredníctvom známeho najväčšieho spoločného rozdelenia. Zodpovedajúci vzorec má formulár NOK (A, B) \u003d A · B: Uzol (A, B) . Zvážte príklady nájdenia NOK podľa vyššie uvedeného vzorca.

Nájdite najmenšie celkové množstvo dvoch čísel 126 a 70.

V tomto príklade A \u003d 126, B \u003d 70. Používame väzbu NOC z uzla, exprimujúci NOC vzorec (A, B) \u003d A · B: Uzol (A, B). To znamená, že najprv musíme nájsť najväčší spoločný rozdeľovač čísel 70 a 126, po ktorom môžeme vypočítať NOC týchto čísel podľa zaznamenaného vzorca.

Nájdeme uzol (126, 70) s použitím algoritmu euklidu: 126 \u003d 70 · 1 + 56, 70 \u003d 56 · 1 + 14, 56 \u003d 14,4, preto uzol (126, 70) \u003d 14.

Teraz nájdeme požadovaný najmenší spoločný viacnásobný: NOK (126, 70) \u003d 126 · 70: Uzol (126, 70) \u003d 126 · 70: 14 \u003d 630.

Čo je NOK (68, 34)?

Od 68 je rozdelený 34, potom NOD (68, 34) \u003d 34. Teraz vypočítame najmenšie spoločné viacnásobné: NOK (68, 34) \u003d 68 · 34: Uzol (68, 34) \u003d 68 · 34: 34 \u003d 68.

Všimnite si, že predchádzajúci príklad je vhodný pre ďalšie pravidlo nájsť NOC pre celé číslo kladné čísla A a B: Ak je číslo A rozdelené na B, potom najmenší všeobecný násobok týchto čísel je rovný a.

Nájdenie NOC s pomocou rozkladu čísel na jednoduché faktory

Ďalším spôsobom, ako nájsť najmenší celkový násobok je založený na rozklade čísel na jednoduché multiplikátory. Ak urobíte produkt všetkých jednoduchých multiplikátorov týchto čísel, po ktorých je z tohto výrobku vylúčený, aby sa eliminovali všetky bežné poruchy prítomné v expanziách týchto čísel, výsledný produkt sa bude rovnať najmenším spoločným údajom o viacerých dátoch.

Pravidlom Ruže je nájsť NOK vyplýva z rovnosti NOC (A, B) \u003d A · B: Uzol (A, B). Výrobok čísel A a B sa skutočne rovná produktu všetkých chýb zapojených do rozšírení čísel A a B. Na druhej strane, uzol (A, B) sa rovná produktu všetkých jednoduchých faktorov, ktoré sú súčasne prítomné v expanziách čísel A a B (čo je napísané v sekcii nájde uzol pomocou rozkladu čísel na jednoduché faktory ).

Uveďte príklad. Dajte nám vedieť, že 75 \u003d 3 · 5 · 5 a 210 \u003d 2 · 3 · 5 · 7. Urobíme prácu zo všetkých multiplikátorov týchto rozšírení: 2 · 3 · 3 · 5 · 5 · 7. Teraz, z tohto produktu vylučujeme všetky faktory prítomné a pri rozklade čísla 75 a v rozkladu čísla 210 (takéto multiplikátory sú 3 a 5), \u200b\u200bpotom produkt bude mať formu 2 · 3 · 5 · 5 · 7. Hodnota tohto produktu sa rovná najmenšiemu celkovejmu viacnásobnému číslu 75 a 210, to znamená, že NOK (75, 210) \u003d 2 · 3 · 5 · 5 · 7 \u003d 1 050.

Vyhlásenie čísel 441 a 700 jednoduchých multiplikátorov nájdete najmenší spoločný násobok týchto čísel.

Rozloží čísla 441 a 700 pre jednoduché faktory:

Získame 441 \u003d 3 · 3 · 7 a 700 \u003d 2 · 2 · 5 · 5 · 7.

Teraz urobte produkt všetkých multiplikátorov zapojených do expanzií týchto čísel: 2 · 2 · 3 · 5 · 5 · 7 · 7 · 7. Odstráňte z tohto produktu všetky faktory v rovnakom čase prítomné v oboch rozkladoch (taký násobiteľ len jeden je číslo 7): 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 7 · 7. Tak, NOC (441, 700) \u003d 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 7 · 7 \u003d 44 100.

NOK (441, 700) \u003d 44 100.

Pravidlo zistenia NOC s použitím rozkladu čísel na jednoduché multiplikátory môže byť formulované trochu iné. Ak multiplikátory z rozkladu čísla A pridávajú chýbajúce multiplikátory z rozkladu čísla B, hodnota získaného produktu sa rovná najmenšiemu celkovému viacerému číslu A a B.

Užívajte napríklad všetky rovnaké čísla 75 a 210, ich rozklady na jednoduchých faktoroch sú nasledovné: 75 \u003d 3 · 5 · 5 a 210 \u003d 2 · 3 · 5 · 7. Multiplery 3, 5 a 5 rozkladu čísla 75 pridávajú chýbajúce multiplikátory 2 a 7 z rozkladu čísla 210, získame produkt 2 · 3 · 5 · 7, ktorých hodnota sa rovná NOC (75, 210) ).

Nájdite najmenšie celkové množstvo viacerých čísel 84 a 648.

Najprv získavame rozklad čísel 84 a 648 na jednoduché faktory. Majú formulár 84 \u003d 2 · 2 · 3 · 7 a 648 \u003d 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 3. Do multiplikátorov 2, 2, 3 a 7, pridajte chýbajúce multiplikátory 2, 3, 3 a 3 z rozkladu čísla 648, získavame kus 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 7, ktorý je 4,536. Tak, že požadované najmenšie spoločné viacnásobné počty 84 a 648 je 4,536.

Hľadanie NOC tri a viac čísel

Najmenší celkový násobok troch a viac čísel nájdete prostredníctvom sekvenčného zistenia NOC z dvoch čísel. Pripomeňme si vhodnú teorem, ktorá dáva spôsob, ako nájsť NOC tri a viac čísel.

Nech je celé kladné čísla A 1, 2, ..., AK, najmenší spoločný viacnásobný MK z týchto čísel je pod konzistentný výpočet M2 \u003d NOC (A 1, A 2), M 3 \u003d NOC (M 2, A 3), ..., MK \u003d NOC (MK-1, AK).

Zvážte použitie tejto vety na príklad nájdenia najmenších celkových viac štyroch čísel.

Nájdite štyri čísla NOK 140, 9, 54 a 250.

Najprv nájdeme m 2 \u003d NOC (A 1, A 2) \u003d NOC (140, 9). Na tento účel, euklidový algoritmus definuje NOD (140, 9), máme 140 \u003d 9 · 15 + 5, 9 \u003d 5 · 1 + 4, 5 \u003d 4 · 1 + 1, 4 \u003d 1,4, teda kývnutie ( 140, 9) \u003d 1, od miesta, kde NOK (140, 9) \u003d 140 · 9: uzol (140, 9) \u003d 140 · 9: 1 \u003d 1 260. To znamená m 2 \u003d 1 260.

Teraz nájdeme m 3 \u003d NOC (m 2, A 3) \u003d NOC (1 260, 54). Vypočítam ho cez uzol (1 260, 54), ktorý tiež definuje euklidový algoritmus: 1 260 \u003d 54 · 23 + 18, 54 \u003d 18 · 3. Potom uzol (1 260, 54) \u003d 18, od miesta, kde NOK (1 260, 54) \u003d 1 260 · 54: Uzol (1 260, 54) \u003d 1 260 · 54: 18 \u003d 3 780. To znamená, m 3 \u003d 3 780.

Zostáva nájsť M 4 \u003d NOC (M 3, A 4) \u003d NOK (3 780, 250). Na tento účel nájdeme uzly (3 780, 250) euklidovým algoritmom: 3 780 \u003d 250 · 15 + 30, 250 \u003d 30 · 8 + 10, 30 \u003d 10 · 3. V dôsledku toho uzol (3 780, 250) \u003d 10, od miesta, kde NOK (3 780, 250) \u003d 3 780 · 250: uzol (3 780, 250) \u003d 3 780 · 250: 10 \u003d 94 500. To znamená m 4 \u003d 94 500.

Tak najmenší celkový násobok zdroja štyri čísla je 94 500.

NOK (140, 9, 54, 250) \u003d 94 500.

V mnohých prípadoch je najmenší spoločný násobok troch a viac čísel vhodné nájsť pomocou dátových rozkladov čísel na jednoduché multiplikátory. To by malo nasledovať nasledujúce pravidlo. Najmenší spoločný násobok niekoľkých čísel sa rovná práci, ktorý je zostavený ako: všetky chyby z rozkladu prvého čísla sa pridávajú chýbajúce násobenia z rozkladu druhého čísla, chýbajúce násobenie z rozkladu tretieho čísla sa pridávajú na získané faktory a tak ďalej.

Zvážte príklad nájdenia najmenšieho celkového viacnásobného viacnásobného použitia rozkladu čísel na jednoduché multiplikátory.

Nájdite najmenší celkový násobok piatich čísel 84, 6, 48, 7, 143.

Po prvé, získavame rozklad týchto čísel na jednoduché multiplikátory: 84 \u003d 2 · 2 · 7, 6 \u003d 2 · 3, 48 \u003d 2 · 2 · 2 · 3, 7 (7 - jednoduché číslo, to sa zhoduje s rozkladom na jednoduchých faktoroch) a 143 \u003d 11 · 13.

Ak chcete nájsť údaje o číslach na multiplikátory prvého čísla 84 (sú 2, 2, 3 a 7), musíte pridať chýbajúce multiplikátory z rozkladu druhého čísla 6. Rozklad čísla 6 neobsahuje chýbajúce faktory, pretože 2 a 3 sú už prítomné v rozklade prvého čísla 84. Ďalej do multiplikátorov 2, 2, 3 a 7, pridajte chýbajúce multiplikátory 2 a 2 z rozkladu tretieho čísla 48, získame súbor multiplikátorov 2, 2, 2, 2, 3 a 7. Toto nastavenie v nasledujúcom kroku nemusí pridať multiplikátory, pretože 7 je v ňom už obsiahnuté. Nakoniec, na multiplikátory 2, 2, 2, 2, 3 a 7 pridávajú chýbajúce multiplikátory 11 a 13 z rozkladu čísel 143. Dostaneme kus 2 · 2 · 2 · 3 · 7 · 11 · 13, ktorý je 48 048.

V dôsledku toho NOK (84, 6, 48, 7, 143) \u003d 48 048.

NOC (84, 6, 48, 7, 143) \u003d 48 048.

Nájdenie najmenších celkových viacnásobných negatívnych čísel

Niekedy existujú úlohy, v ktorých je potrebné nájsť najmenšie spoločné viacnásobné čísla, medzi ktorými je niekoľko, niekoľko alebo všetky čísla sú negatívne. V týchto prípadoch musia byť všetky záporné čísla nahradené číslami, ktoré sú proti nim, po ktorých nájdu NOC pozitívnych čísel. Toto je spôsob, ako nájsť NOC negatívne čísla. Napríklad NOK (54, -34) \u003d NOC (54, 34) a NOK (-622, -46, -54, -888) \u003d NOC (622, 46, 54, 888).

Môžeme to urobiť, pretože mnoho viacerých čísel sa zhoduje s viacerými viacerými číslami (A a -A - opačné čísla). Naozaj, nechať B byť nejaký druh viacnásobného čísla A, potom B je rozdelený na A, a koncepcia deliteľnosti schvaľuje existenciu takéhoto celého čísla Q, ktorý B \u003d A · Q. Ale rovnosť B \u003d (- a) · (-Q) bude platná, ktorá z dôvodu rovnakej koncepcie deliteľnosti znamená, že B je rozdelená na -A, to znamená, že B je viacnásobné číslo -A. Reverzné vyhlásenie je tiež pravda: ak je b je nejaký druh viacnásobného čísla -, potom B je viac a číslo a.

Nájdite najmenšie celkové viacnásobné negatívne čísla -145 a -45.

Namontujte záporné čísla -145 a -45 na opačných číslach 145 a 45. Máme NOC (-145, -45) \u003d NOC (145, 45). Určenie uzla (145, 45) \u003d 5 (napríklad euklidovým algoritmom), vypočítajte NOC (145, 45) \u003d 145 · 45: Uzol (145, 45) \u003d 145 · 45: 5 \u003d 1 305. Najmenšie celkové viacnásobné negatívne celé čísla -145 a -45 je teda 1 305.

www.cleverstudents.ru.

Pokračujeme v štúdiu divízie. V tejto lekcii budeme zvážiť takéto pojmy ako Uzol a Nok..

Uzol - Toto je najväčší spoločný delič.

Nok. - Toto je najmenší spoločný násobok.

Téma je skôr nudná, ale je potrebné to zistiť. Nepochopenie tejto témy, nebude fungovať efektívne pracovať s frakciami, ktoré sú skutočnou prekážkou v matematike.

Najväčší spoločný rozdelenie

Definícia. Najväčší spoločný delič čísel a. a b. a. a b. Rozdelené bez rovnováhy.

Ak chcete pochopiť túto definíciu dobre, nahrádzame namiesto premenných a. a b. Akékoľvek dve čísla, napríklad namiesto premennej a. Nahradiť číslo 12 a namiesto premennej b. Číslo 9. Teraz skúste si prečítať túto definíciu:

Najväčší spoločný delič čísel 12 a 9 nazýva najväčšie číslo, pre ktoré 12 a 9 Rozdelené bez rovnováhy.

Z definície je jasné, že hovoríme o všeobecnom delítení čísel 12 a 9, a tento delider je najväčší zo všetkých existujúcich delidorov. Tento najväčší spoločný delič (uzol) je potrebné nájsť.

Ak chcete nájsť najväčšieho celkového rozdelenia dvoch čísel, používajú sa tri spôsoby. Prvá metóda je pomerne časovo náročná, ale umožňuje vám pochopiť podstatu témy a cítiť celý jeho význam.

Druhý a tretí spôsob sú spokojní s jednoduchým a umožňujú rýchlo nájsť uzol. Zoberieme všetky tri spôsoby. A ako sa aplikovať v praxi - vyberte si vám.

Prvým spôsobom je nájsť všetky možné rozdeľovače týchto dvoch čísel a pri výbere najväčších z nich. Zvážte túto metódu nasledujúceho príkladu: nájdite najväčší spoločný delič čísel 12 a 9.

Po prvé, nájdeme všetky možné rozdeľovače čísla 12. Na tento účel rozdelíme 12 na všetkých deliacich deliacich v rozsahu od 1 do 12. Ak vám delič dovolí rozdeliť 12 bez zvyškov, potom ju zvýrazníme v modrej farbe a v zátvorkách, aby ste urobili vhodné vysvetlenie.

12: 1 = 12
(12 Rozdelené 1 bez zvyšku, potom 1 je delider 12)

12: 2 = 6
(12 Rozdelené 2 bez rovnováhy, potom 2 je delider čísla 12)

12: 3 = 4
(12 delené 3 bez zvyškov, čo znamená 3, je delič 12)

12: 4 = 3
(12 delené 4 bez zvyšku, čo znamená, že 4 je delider 12)

12: 5 \u003d 2 (2 v zvyšku)
(12 Nebolo rozdelené do 5 bez rovnováhy, čo znamená, že 5 nie je rozdeľovač čísla 12)

12: 6 = 2
(12 Rozdelených 6 bez zvyškov, potom 6 je delič čísel 12)

12: 7 \u003d 1 (5 v zvyšku)
(12 nebol rozdelený do 7 bez rovnováhy, potom 7 nie je delidrom čísla 12)

12: 8 \u003d 1 (4 v zvyšku)
(12 Nebolo rozdelené do 8 bez rovnováhy, potom 8 nie je delibresom čísla 12)

12: 9 \u003d 1 (3 v zvyšku)
(12 Nebolo rozdelené do 9 bez rovnováhy, čo znamená 9, nie je deličom čísla 12)

12: 10 \u003d 1 (2 v zvyšku)
(12 nebol rozdelený do 10 bez rovnováhy, čo znamená 10, nie je deličom čísla 12)

12: 11 \u003d 1 (1 v zvyšku)
(12 Nie je rozdelená do 11 bez rovnováhy, čo znamená, že 11 nie je delidrom čísla 12)

12: 12 = 1
(12 Rozdelený 12 bez zvyškov, potom 12 je delider čísla 12)

Teraz nájdite rozdiely podľa čísla 9. Na tento účel skontrolujte všetky prepážky od 1 do 9 rokov

9: 1 = 9
(9 delené 1 bez zvyšku, čo znamená, že 1 je delič 9)

9: 2 \u003d 4 (1 v zvyšku)
(9 nebol rozdelený na 2 bez rovnováhy, potom 2 nie je delibresom čísla 9)

9: 3 = 3
(9 bolo rozdelené do 3 bez rovnováhy, čo znamená 3 delič 9)

9: 4 \u003d 2 (1 v zvyšku)
(9 nebol rozdelený do 4 bez rovnováhy, čo znamená 4, nie je delič 9)

9: 5 \u003d 1 (4 v zvyšku)
(9 nebol rozdelený do 5 bez zostatku, potom 5 nie je delibresom čísla 9)

9: 6 \u003d 1 (3 v zvyšku)
(9 nebol rozdelený do 6 bez rovnováhy, potom 6 nie je delibresom čísla 9)

9: 7 \u003d 1 (2 v zvyšku)
(9 Nebolo rozdelené do 7 bez rovnováhy, čo znamená 7, nie je delič 9)

9: 8 \u003d 1 (1 v zvyšku)
(9 nebol rozdelený do 8 bez rovnováhy, potom 8 nie je rozdeľovač čísla 9)

9: 9 = 1
(9 Rozdelené 9 bez rovnováhy, čo znamená 9, ktorý je delič 9)

Teraz pijete deliče oboch čísel. Čísla zvýraznené modrou farbou a sú rozdelené. A pili ich:

Kontrola deliacich, môžete okamžite určiť, čo je najväčší a všeobecný.

Podľa definície je najväčší spoločný rozdeľovač čísel 12 a 9 číslo, do ktorého 12 a 9 sú rozdelené bez zvyšku. Najväčší a spoločný delič čísel 12 a 9 je číslo 3

A číslo 12 a číslo 9 sú rozdelené na 3 bez zvyšku:

Tak uzol (12 a 9) \u003d 3

Druhý spôsob, ako nájsť uzly

Teraz zvážte druhý spôsob, ako nájsť najväčší spoločný delič. Podstatou tejto metódy je rozkladať oba čísla na jednoduchých multiplikátoroch a vynásobte ich spoločné.

Príklad 1.. Nájsť uzly čísla 24 a 18

Najprv položte obe čísla na jednoduché faktory:

Teraz zmenia svoje spoločné faktory. Aby sa nezhistilo zmätené, možno zdôrazniť všeobecné faktory.

Pozeráme sa na rozširovanie čísla 24. Prvý multiplikátor je 2. Hľadáme rovnaký multiplikátor v rozkladu čísla 18 a uvidíme, že je tam tiež. Zdôrazňujeme obidva dvojčatá:

Pozeráme sa znova na rozklad čísla 24. Druhý multiplikátor je tiež 2. Hľadáme rovnaký faktor v rozklade čísla 18 a vidíme, že tam je už druhýkrát, že už nie je. Potom nič nezdôrazne.

Ďalšie dve v rozkladu čísla 24 chýbajú aj v rozklade čísla 18.

Choďte do posledného multiplikátora v rozkladu čísla 24. Toto je multiplikátor 3. Hľadáme rovnaký multiplikátor v rozklade čísla 18 a uvidíme, že existuje aj tam. Zdôrazňujeme obaja jednotky:

Takže celkové multiplikátory čísel 24 a 18 sú multiplikátory 2 a 3. Ak chcete získať uzol, tieto multiplikátory sa musia vynásobiť:

Tak uzol (24 a 18) \u003d 6

Tretí spôsob, ako nájsť kývnutie

Teraz zvážte tretí spôsob, ako nájsť najväčší všeobecný delič. Podstatou tejto metódy je, že počet najväčších spoločných rozdeľovačov, ktoré sa majú hľadať jednoduché multiplikátory. Potom sa potom z rozkladu prvého čísla vypracujú multiplikátory, ktoré nie sú zahrnuté v rozkladu druhého čísla. Zostávajúce čísla v prvej odrode rozkladu a prijímať kývky.

Týmto spôsobom nájdite uzol pre čísla 28 a 16. Po prvé, vyložíme tieto čísla na jednoduchých multiplikátoroch:

Prijaté dva rozklady: a

Teraz, od rozkladu prvého čísla, prejsť multiplikátorov, ktoré nie sú zahrnuté do rozkladu druhého čísla. Rozklad druhého čísla nezahŕňa sedem. A prejsť z prvého rozkladu:

Teraz vypneme zvyšné multiplikátory a dostaneme uzol:

Číslo 4 je najväčší spoločný delič čísel 28 a 16. Obidve tieto čísla sú rozdelené na 4 bez zvyšku:

Príklad 2. Nájsť uzly čísla 100 a 40

Odomknite číslo 100

Odomknúť číslo 40

Dostali dva rozklady:

Teraz, od rozkladu prvého čísla, prejsť multiplikátorov, ktoré nie sú zahrnuté do rozkladu druhého čísla. Rozklad druhého čísla neobsahuje jednu päť (existuje len jedna päť). A prejsť z prvého rozkladu

Posuňte zostávajúce čísla:

Prijatá odpoveď 20. Takže číslo 20 je najväčším spoločným deličom čísel 100 a 40. Tieto dve čísla sú rozdelené do 20 bez zvyškov:

Node (100 a 40) \u003d 20.

Príklad 3. Nájsť uzly čísla 72 a 128

Zobrazí číslo 72

Odomknúť čísla 128

2 × 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 × 2

Teraz, od rozkladu prvého čísla, prejsť multiplikátorov, ktoré nie sú zahrnuté do rozkladu druhého čísla. Rozklad druhého čísla nezahŕňa dvaja vojaci (vo všeobecnosti nie sú tu). A prejsť z prvého rozkladu:

Dostal 8. Takže číslo 8 je najväčším spoločným deliteľom čísel 72 a 128. Tieto dve čísla sú rozdelené do 8 bez zvyškov:

Uzol (72 a 128) \u003d 8

Hľadanie uzla pre niekoľko čísel

Najväčší zdieľaný delič nájdete niekoľko čísel, a nie len pre dvoch. Na tento účel sa číslo hľadania najväčšieho spoločného rozdelenia rozvíjalo na jednoduchých faktoroch, potom sa nájde produkt spoločných jednoduchých multiplikátorov týchto čísel.

Nájdite napríklad uzol pre čísla 18, 24 a 36

Šíriť číslo 18 na multiplikátoroch

Spread na multiplikátoroch číslo 24

Spread na multiplikátoroch číslo 36

Dostali tri rozklady:

Teraz vyberte a zdôraznite všeobecné faktory v týchto číslach. Spoločné multiplikátory by mali byť zahrnuté do všetkých troch čísel:

Vidíme, že bežné multiplikátory pre čísla 18, 24 a 36 sú multiplikátory 2 a 3. Presúvanie týchto faktorov, dostaneme uzol, ktorý hľadáme:

Prijaté odpoveď 6. Takže číslo 6 je najväčší spoločný delič čísel 18, 24 a 36. Tieto tri čísla sú rozdelené do 6 bez zvyškov:

Uzol (18, 24 a 36) \u003d 6

Príklad 2. Nájdite uzol pre čísla 12, 24, 36 a 42

Rozprestierajte sa na jednoduché faktory každé číslo. Potom nájdeme produkt všeobecných multiplikátorov týchto čísel.

Šíriť číslo 12 na multiplikátoroch

Spread na multiplikátoroch číslo 42

Dostali štyri rozklady:

Teraz vyberte a zdôraznite všeobecné faktory v týchto číslach. Spoločné multiplikátory by mali zadať všetky štyri čísla:

Vidíme, že všeobecné faktory pre čísla 12, 24, 36 a 42 sú multiplikátory 2 a 3. striedajú tieto faktory, dostaneme uzol, ktorý hľadáme:

6. Takže číslo 6 je najväčší spoločný delič čísel 12, 24, 36 a 42. Tieto čísla sú rozdelené do 6 bez rovnováhy:

Uzol (12, 24, 36 a 42) \u003d 6

Z predchádzajúcej lekcie vieme, že ak bolo nejaké číslo bez zvyšku rozdelené do inej, nazýva sa násobok tohto čísla.

Ukazuje sa, že viacero môže byť bežné v niekoľkých číslach. A teraz sa budeme zaujímať o násobok dvoch čísel, zatiaľ čo by to malo byť čo najmenšie.

Definícia. Najmenšie celkové množstvo viacerých (NOK) a. a b - a. a b. a. a číslo b..

Definícia obsahuje dve premenné a. a b.. Namiesto týchto premenných umiestnme všetky dve čísla. Napríklad namiesto premennej a. Nahradiť číslo 9 a namiesto premennej b. Náhradíme číslo 12. Teraz skúste si prečítať definíciu:

Najmenšie celkové množstvo viacerých (NOK) 9 a 12 - Toto je najmenšie číslo, ktoré je viacnásobné 9 a 12 . Inými slovami, je to také malé číslo, ktoré je rozdelené bez rovnováhy 9 a číslo 12 .

Z definície je zrejmé, že NOC je najmenší počet, ktorý je rozdelený bez zvyšku pre 9 a 12. Toto NOC je potrebné nájsť.

Ak chcete nájsť najmenšie spoločné viacnásobné (NOC), môžete použiť dvoma spôsobmi. Prvým spôsobom je, že je možné zapísať prvé viaceré dve čísla a potom si vybrať medzi týmito viacerými takými číslami, ktoré bude bežné pre čísla aj malé. Poďme aplikovať túto metódu.

Na prvom mieste nájdeme prvé násobky pre číslo 9. Ak chcete nájsť viacero pre 9, musíte nastávať túto deväť na čísla od 1 do 9. Prijaté odpovede budú viacnásobné pre číslo 9. 'll začať. Značka bude zvýraznená v červenej farbe:

Teraz nájdeme viacnásobný pre číslo 12. Na to som striedavo znásobiť 12 na všetky čísla 1 až 12.

Nižšie uvedeným materiálom je logickým pokračovaním teórie z článku pod nadpisom NOC - najmenší spoločný viacnásobný, definícia, príklady, komunikácia medzi NOC a NOD. Tu budeme hovoriť nájdenie najmenšieho spoločného viacnásobného (NOK)a osobitná pozornosť sa bude venovať riešeniu príkladov. Po prvé, ukážeme, ako sa NOC z dvoch čísel vypočíta cez uzol týchto čísel. Ďalej zvážte nájdenie najnižšieho celkového množstva s pomocou rozkladu čísel na jednoduché faktory. Potom sa zameriame na nájdenie NOC tri a viac čísel, a tiež venovať pozornosť výpočtu NOC negatívnych čísel.

Navigácia.

Výpočet najmenšieho celkového množstva (NOK) prostredníctvom uzlov

Jedným zo spôsobov, ako nájsť najmenší celkový viacnásobný je založený na spojení medzi NOC a NOD. Existujúce prepojenie medzi NOC a NOD vám umožňuje vypočítať najmenší spoločný násobok dvoch celočíselných pozitívnych čísel prostredníctvom známeho najväčšieho spoločného rozdelenia. Zodpovedajúci vzorec má formulár NOK (A, B) \u003d A · B: Uzol (A, B) . Zvážte príklady nájdenia NOK podľa vyššie uvedeného vzorca.

Príklad.

Nájdite najmenšie celkové množstvo dvoch čísel 126 a 70.

Rozhodnutie.

V tomto príklade A \u003d 126, B \u003d 70. Používame väzbu NOC z uzla, ktorý vyjadruje vzorec NOK (A, B) \u003d A · B: Uzol (A, B). To znamená, že najprv musíme nájsť najväčší spoločný rozdeľovač čísel 70 a 126, po ktorom môžeme vypočítať NOC týchto čísel podľa zaznamenaného vzorca.

Nájdeme uzol (126, 70) s použitím algoritmu euklidu: 126 \u003d 70 · 1 + 56, 70 \u003d 56 · 1 + 14, 56 \u003d 14,4, preto uzol (126, 70) \u003d 14.

Teraz nájdeme požadovaný najmenší spoločný viacnásobný: NOK (126, 70) \u003d 126 · 70: Uzol (126, 70) \u003d 126 · 70: 14 \u003d 630.

Odpoveď:

NOK (126, 70) \u003d 630.

Príklad.

Čo je NOK (68, 34)?

Rozhodnutie.

Ako 68 je rozdelený 34, potom uzol (68, 34) \u003d 34. Teraz vypočítame najmenší spoločný viacnásobný počet: NOK (68, 34) \u003d 68 · 34: Uzol (68, 34) \u003d 68 · 34: 34 \u003d 68.

Odpoveď:

NOK (68, 34) \u003d 68.

Všimnite si, že predchádzajúci príklad je vhodný pre ďalšie pravidlo nájsť NOC pre celé číslo kladné čísla A a B: Ak je číslo A rozdelené na B, potom najmenší všeobecný násobok týchto čísel je rovný a.

Nájdenie NOC s pomocou rozkladu čísel na jednoduché faktory

Ďalším spôsobom, ako nájsť najmenší celkový násobok je založený na rozklade čísel na jednoduché multiplikátory. Ak urobíte produkt všetkých jednoduchých multiplikátorov týchto čísel, po ktorých je z tohto výrobku vylúčený, aby sa eliminovali všetky bežné poruchy prítomné v expanziách týchto čísel, výsledný produkt sa bude rovnať najmenším spoločným údajom o viacerých dátoch.

Hľadanie pravidla NOK vyplýva z rovnosti NOK (A, B) \u003d A · B: Uzol (A, B). Výrobok čísel A a B sa skutočne rovná produktu všetkých chýb zapojených do rozšírení čísel A a B. Na druhej strane, uzol (A, B) sa rovná produktu všetkých jednoduchých faktorov, ktoré sú súčasne prítomné v expanziách čísel A a B (čo je napísané v sekcii nájde uzol pomocou rozkladu čísel na jednoduché faktory ).

Uveďte príklad. Dajte nám vedieť, že 75 \u003d 3 · 5 · 5 a 210 \u003d 2 · 3 · 5 · 7. Urobíme prácu zo všetkých multiplikátorov týchto rozšírení: 2 · 3 · 3 · 5 · 5 · 7. Teraz, z tohto produktu vylučujeme všetky faktory prítomné a pri rozklade čísla 75 a v rozkladu čísla 210 (takéto multiplikátory sú 3 a 5), \u200b\u200bpotom produkt bude mať formu 2 · 3 · 5 · 5 · 7. Hodnota tohto produktu sa rovná najmenšiemu celkovému viacnásobnému počtu 75 a 210, to znamená NOK (75, 210) \u003d 2 · 3 · 5 · 5 · 7 \u003d 1 050.

Príklad.

Vyhlásenie čísel 441 a 700 jednoduchých multiplikátorov nájdete najmenší spoločný násobok týchto čísel.

Rozhodnutie.

Rozloží čísla 441 a 700 pre jednoduché faktory:

Získame 441 \u003d 3 · 3 · 7 a 700 \u003d 2 · 2 · 5 · 5 · 7.

Teraz urobte produkt všetkých multiplikátorov zapojených do expanzií týchto čísel: 2 · 2 · 3 · 5 · 5 · 7 · 7 · 7. Odstráňte z tohto produktu všetky faktory v rovnakom čase prítomné v oboch rozkladoch (taký násobiteľ len jeden je číslo 7): 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 7 · 7. Touto cestou, NOK (441, 700) \u003d 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 7 · 7 \u003d 44 100.

Odpoveď:

NOK (441, 700) \u003d 44 100.

Pravidlo zistenia NOC s použitím rozkladu čísel na jednoduché multiplikátory môže byť formulované trochu iné. Ak multiplikátory z rozkladu čísla A pridávajú chýbajúce multiplikátory z rozkladu čísla B, hodnota výsledného produktu sa rovná najmenšiemu celkovému viacerému číslu A a B.

Užívajte napríklad všetky rovnaké čísla 75 a 210, ich rozklady na jednoduchých faktoroch sú nasledovné: 75 \u003d 3 · 5 · 5 a 210 \u003d 2 · 3 · 5 · 7. Multiplery 3, 5 a 5 rozkladu čísla 75 pridávajú chýbajúce multiplikátory 2 a 7 z rozkladu čísla 210, získame produkt 2 · 3 · 5 · 7, ktorých hodnota sa rovná NOC (75, 210) ).

Príklad.

Nájdite najmenšie celkové množstvo viacerých čísel 84 a 648.

Rozhodnutie.

Najprv získavame rozklad čísel 84 a 648 na jednoduché faktory. Majú formulár 84 \u003d 2 · 2 · 3 · 7 a 648 \u003d 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 3. Do multiplikátorov 2, 2, 3 a 7, pridajte chýbajúce multiplikátory 2, 3, 3 a 3 z rozkladu čísla 648, získavame kus 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 7, ktorý je 4,536. Tak, že požadované najmenšie spoločné viacnásobné počty 84 a 648 je 4,536.

Odpoveď:

NOK (84, 648) \u003d 4 536.

Hľadanie NOC tri a viac čísel

Najmenší celkový násobok troch a viac čísel nájdete prostredníctvom sekvenčného zistenia NOC z dvoch čísel. Pripomeňme si vhodnú teorem, ktorá dáva spôsob, ako nájsť NOC tri a viac čísel.

Teorem.

Nech je celé kladné čísla A 1, 2, ..., AK, najmenší spoločný viacnásobný MK z týchto čísel je pod konzistentný výpočet M2 \u003d NOC (A 1, A 2), M 3 \u003d NOC (M 2, A 3), ..., MK \u003d NOC (MK-1, AK).

Zvážte použitie tejto vety na príklad nájdenia najmenších celkových viac štyroch čísel.

Príklad.

Nájdite štyri čísla NOK 140, 9, 54 a 250.

Rozhodnutie.

V tomto príklade A 1 \u003d 140, A2 \u003d 9, A3 \u003d 54, 4 \u003d 250.

Najprv nájsť m 2 \u003d NOC (A 1, A 2) \u003d NOK (140, 9). Na tento účel, euklidový algoritmus definuje NOD (140, 9), máme 140 \u003d 9 · 15 + 5, 9 \u003d 5 · 1 + 4, 5 \u003d 4 · 1 + 1, 4 \u003d 1,4, teda kývnutie ( 140, 9) \u003d 1, odkiaľ NOK (140, 9) \u003d 140 · 9: Uzol (140, 9) \u003d 140 · 9: 1 \u003d 1 260. To znamená m 2 \u003d 1 260.

Teraz m 3 \u003d NOC (m 2, A 3) \u003d NOK (1 260, 54). Vypočítam ho cez uzol (1 260, 54), ktorý tiež definuje euklidový algoritmus: 1 260 \u003d 54 · 23 + 18, 54 \u003d 18 · 3. Potom uzol (1 260, 54) \u003d 18, od miesta, kde NOK (1 260, 54) \u003d 1 260 · 54: Uzol (1 260, 54) \u003d 1 260 · 54: 18 \u003d 3 780. To znamená, m 3 \u003d 3 780.

Zostáva nájsť m 4 \u003d NOC (M 3, A 4) \u003d NOK (3 780, 250). Na tento účel nájdeme uzly (3 780, 250) euklidovým algoritmom: 3 780 \u003d 250 · 15 + 30, 250 \u003d 30 · 8 + 10, 30 \u003d 10 · 3. V dôsledku toho uzol (3 780, 250) \u003d 10, od miesta, kde NOK (3 780, 250) \u003d 3 780 · 250: Uzol (3 780, 250) \u003d 3 780 · 250: 10 \u003d 94 500. To znamená m 4 \u003d 94 500.

Tak najmenší celkový násobok zdroja štyri čísla je 94 500.

Odpoveď:

NOK (140, 9, 54, 250) \u003d 94 500.

V mnohých prípadoch je najmenší spoločný násobok troch a viac čísel vhodné nájsť pomocou dátových rozkladov čísel na jednoduché multiplikátory. To by malo nasledovať nasledujúce pravidlo. Najmenší spoločný násobok niekoľkých čísel sa rovná práci, ktorý je zostavený ako: všetky chyby z rozkladu prvého čísla sa pridávajú chýbajúce násobenia z rozkladu druhého čísla, chýbajúce násobenie z rozkladu tretieho čísla sa pridávajú na získané faktory a tak ďalej.

Zvážte príklad nájdenia najmenšieho celkového viacnásobného viacnásobného použitia rozkladu čísel na jednoduché multiplikátory.

Príklad.

Nájdite najmenší celkový násobok piatich čísel 84, 6, 48, 7, 143.

Rozhodnutie.

Po prvé, získavame rozklad týchto čísel na jednoduché multiplikátory: 84 \u003d 2 · 2 · 7, 6 \u003d 2 · 3, 48 \u003d 2 · 2 · 2 · 3, 7 (7 - jednoduché číslo, to sa zhoduje s rozkladom na jednoduchých faktoroch) a 143 \u003d 11 · 13.

Ak chcete nájsť údaje o číslach na multiplikátory prvého čísla 84 (sú 2, 2, 3 a 7), musíte pridať chýbajúce multiplikátory z rozkladu druhého čísla 6. Rozklad čísla 6 neobsahuje chýbajúce faktory, pretože 2 a 3 sú už prítomné v rozklade prvého čísla 84. Ďalej do multiplikátorov 2, 2, 3 a 7, pridajte chýbajúce multiplikátory 2 a 2 z rozkladu tretieho čísla 48, získame súbor multiplikátorov 2, 2, 2, 2, 3 a 7. Toto nastavenie v nasledujúcom kroku nemusí pridať multiplikátory, pretože 7 je v ňom už obsiahnuté. Nakoniec, na multiplikátory 2, 2, 2, 2, 3 a 7 pridávajú chýbajúce multiplikátory 11 a 13 z rozkladu čísel 143. Dostaneme kus 2 · 2 · 2 · 3 · 7 · 11 · 13, ktorý je 48 048.