Y 3x 1 graf. Kvadratické a kubické funkcie

Zostrojovanie grafov funkcií obsahujúcich moduly spôsobuje školákom zvyčajne značné ťažkosti. Všetko však nie je také zlé. Stačí si zapamätať niekoľko algoritmov na riešenie takýchto problémov a môžete ľahko zostaviť graf aj tej najzložitejšie funkcie. Poďme zistiť, aké sú to algoritmy.

1. Zostrojenie grafu funkcie y = |f(x)|

Všimnite si, že množina funkčných hodnôt y = |f(x)| : y ≥ 0. Grafy takýchto funkcií sú teda vždy umiestnené celé v hornej polrovine.

Zostrojenie grafu funkcie y = |f(x)| pozostáva z nasledujúcich jednoduchých štyroch krokov.

1) Opatrne a opatrne zostrojte graf funkcie y = f(x).

2) Ponechajte nezmenené všetky body na grafe, ktoré sú nad alebo na osi 0x.

3) Zobrazte časť grafu, ktorá leží pod osou 0x symetricky vzhľadom na os 0x.

Príklad 1. Nakreslite graf funkcie y = |x 2 – 4x + 3|

1) Zostrojíme graf funkcie y = x 2 – 4x + 3. Je zrejmé, že grafom tejto funkcie je parabola. Nájdite súradnice všetkých priesečníkov paraboly so súradnicovými osami a súradnicami vrcholu paraboly.

x 2 – 4 x + 3 = 0.

x 1 = 3, x 2 = 1.

Preto parabola pretína os 0x v bodoch (3, 0) a (1, 0).

y = 0 2 – 4 0 + 3 = 3.

Preto parabola pretína os 0y v bode (0, 3).

Súradnice vrcholov paraboly:

x v = -(-4/2) = 2, y v = 2 2 – 4 2 + 3 = -1.

Preto bod (2, -1) je vrcholom tejto paraboly.

Nakreslite parabolu pomocou získaných údajov (obr. 1)

2) Časť grafu ležiaca pod osou 0x je zobrazená symetricky vzhľadom na os 0x.

3) Získame graf pôvodnej funkcie ( ryža. 2, zobrazené bodkovanou čiarou).

2. Vykreslenie funkcie y = f(|x|)

Všimnite si, že funkcie tvaru y = f(|x|) sú párne:

y(-x) = f(|-x|) = f(|x|) = y(x). To znamená, že grafy takýchto funkcií sú symetrické okolo osi 0y.

Vykreslenie grafu funkcie y = f(|x|) pozostáva z nasledujúceho jednoduchého reťazca akcií.

1) Nakreslite graf funkcie y = f(x).

2) Ponechajte tú časť grafu, pre ktorú x ≥ 0, teda časť grafu, ktorá sa nachádza v pravej polrovine.

3) Zobrazte časť grafu špecifikovanú v bode (2) symetricky k osi 0y.

4) Ako konečný graf vyberte spojenie kriviek získaných v bodoch (2) a (3).

Príklad 2. Nakreslite graf funkcie y = x 2 – 4 · |x| + 3

Pretože x 2 = |x| 2, potom môže byť pôvodná funkcia prepísaná ako nasledujúci formulár: y = |x| 2 – 4 · |x| + 3. Teraz môžeme použiť algoritmus navrhnutý vyššie.

1) Starostlivo a starostlivo zostavíme graf funkcie y = x 2 – 4 x + 3 (pozri aj ryža. 1).

2) Ponecháme tú časť grafu, pre ktorú x ≥ 0, teda tú časť grafu, ktorá sa nachádza v pravej polrovine.

3) Displej pravá strana grafika je symetrická k osi 0y.

(obr. 3).

Príklad 3. Nakreslite graf funkcie y = log 2 |x|

Aplikujeme schému uvedenú vyššie.

1) Zostrojte graf funkcie y = log 2 x (obr. 4).

3. Vykreslenie funkcie y = |f(|x|)|

Všimnite si, že funkcie tvaru y = |f(|x|)| sú tiež párne. Skutočne, y(-x) = y = |f(|-x|)| = y = |f(|x|)| = y(x), a preto sú ich grafy symetrické okolo osi 0y. Súbor hodnôt takýchto funkcií: y ≥ 0. To znamená, že grafy takýchto funkcií sú umiestnené úplne v hornej polrovine.

Ak chcete vykresliť funkciu y = |f(|x|)|, musíte:

1) Opatrne zostrojte graf funkcie y = f(|x|).

2) Ponechajte nezmenenú časť grafu, ktorá je nad alebo na osi 0x.

3) Zobrazte časť grafu umiestnenú pod osou 0x symetricky vzhľadom na os 0x.

4) Ako konečný graf vyberte spojenie kriviek získaných v bodoch (2) a (3).

Príklad 4. Nakreslite graf funkcie y = |-x 2 + 2|x| – 1|.

1) Všimnite si, že x 2 = |x| 2. To znamená, že namiesto pôvodnej funkcie y = -x 2 + 2|x| - 1

môžete použiť funkciu y = -|x| 2 + 2|x| – 1, keďže ich grafy sa zhodujú.

Zostavíme graf y = -|x| 2 + 2|x| – 1. Používame na to algoritmus 2.

a) Nakreslite graf funkcie y = -x 2 + 2x – 1 (obr. 6).

b) Ponecháme tú časť grafu, ktorá sa nachádza v pravej polrovine.

c) Výslednú časť grafu zobrazíme symetricky k osi 0y.

d) Výsledný graf je na obrázku znázornený bodkovanou čiarou (obr. 7).

2) Nad osou 0x nie sú žiadne body, body na osi 0x necháme nezmenené.

3) Časť grafu umiestnená pod osou 0x je zobrazená symetricky vzhľadom na 0x.

4) Výsledný graf je na obrázku znázornený bodkovanou čiarou (obr. 8).

Príklad 5. Nakreslite graf funkcie y = |(2|x| – 4) / (|x| + 3)|

1) Najprv musíte nakresliť funkciu y = (2|x| – 4) / (|x| + 3). Aby sme to urobili, vrátime sa k algoritmu 2.

a) Opatrne nakreslite funkciu y = (2x – 4) / (x + 3) (obr. 9).

Všimni si túto funkciu je zlomková lineárna a jej graf je hyperbola. Ak chcete nakresliť krivku, musíte najskôr nájsť asymptoty grafu. Horizontálne – y = 2/1 (pomer koeficientov x v čitateli a menovateli zlomku), vertikálne – x = -3.

2) Časť grafu, ktorá je nad osou 0x alebo na nej, ponecháme nezmenenú.

3) Časť grafu umiestnená pod osou 0x sa zobrazí symetricky vzhľadom na 0x.

4) Výsledný graf je znázornený na obrázku (Obr. 11).

webová stránka, pri kopírovaní celého materiálu alebo jeho časti je potrebný odkaz na zdroj.

Lekcia na tému: "Graf a vlastnosti funkcie $y=x^3$. Príklady vykresľovania grafov"

Dodatočné materiály
Vážení používatelia, nezabudnite zanechať svoje komentáre, recenzie, priania. Všetky materiály boli skontrolované antivírusovým programom.

Učebné pomôcky a simulátory v internetovom obchode Integral pre 7. ročník
Elektronická učebnica pre ročník 7 "Algebra za 10 minút"
Vzdelávací komplex 1C "Algebra, ročníky 7-9"

Vlastnosti funkcie $y=x^3$

Poďme si popísať vlastnosti tejto funkcie:

1. x je nezávislá premenná, y je závislá premenná.

2. Definičná oblasť: je zrejmé, že pre akúkoľvek hodnotu argumentu (x) možno vypočítať hodnotu funkcie (y). V súlade s tým je doménou definície tejto funkcie celý číselný rad.

3. Rozsah hodnôt: y môže byť čokoľvek. Rozsah hodnôt je teda aj celý číselný rad.

4. Ak x= 0, potom y= 0.

Graf funkcie $y=x^3$

1. Vytvorme si tabuľku hodnôt:

2. Pre kladné hodnoty x graf funkcie $y=x^3$ je veľmi podobný parabole, ktorej vetvy sú viac „pritlačené“ k osi OY.

3. Keďže pre záporné hodnoty x má funkcia $y=x^3$ opačné hodnoty, graf funkcie je symetrický vzhľadom na počiatok.

Teraz si označme body na súradnicovej rovine a zostavme graf (pozri obr. 1).

Táto krivka sa nazýva kubická parabola.

Príklady

I. Na malej lodi bol úplne koniec sladkej vody. Z mesta je potrebné priviesť dostatočné množstvo vody. Voda sa objednáva vopred a platí sa za plnú kocku, aj keď jej napustíte o niečo menej. Koľko kociek si mám objednať, aby som nepreplatil kocku navyše a úplne naplnil nádrž? Je známe, že nádrž má rovnakú dĺžku, šírku a výšku, ktoré sa rovnajú 1,5 m.. Vyriešme tento problém bez vykonania výpočtov.

Riešenie:

1. Nakreslíme funkciu $y=x^3$.
2. Nájdite bod A, súradnicu x, ktorá sa rovná 1,5. Vidíme, že súradnica funkcie je medzi hodnotami 3 a 4 (pozri obr. 2). Treba si teda objednať 4 kocky.

Funkcia y=x^2 sa nazýva kvadratická funkcia. Rozvrh kvadratickej funkcie je parabola. Všeobecná forma Parabola je znázornená na obrázku nižšie.

Kvadratická funkcia

Obr. 1. Celkový pohľad na parabolu

Ako je zrejmé z grafu, je symetrický okolo osi Oy. Os Oy sa nazýva os symetrie paraboly. To znamená, že ak nakreslíte na graf rovnú čiaru rovnobežnú s osou Ox nad touto osou. Potom pretína parabolu v dvoch bodoch. Vzdialenosť od týchto bodov k osi Oy bude rovnaká.

Os symetrie rozdeľuje graf paraboly na dve časti. Tieto časti sa nazývajú vetvy paraboly. A bod paraboly, ktorý leží na osi symetrie, sa nazýva vrchol paraboly. To znamená, že os symetrie prechádza vrcholom paraboly. Súradnice tohto bodu sú (0;0).

Základné vlastnosti kvadratickej funkcie

1. Pri x = 0, y = 0 a y > 0 pri x0

2. Kvadratická funkcia dosiahne minimálnu hodnotu vo svojom vrchole. Ymin pri x=0; Treba tiež poznamenať, že funkcia nemá maximálnu hodnotu.

3. Funkcia klesá na intervale (-∞;0] a zvyšuje sa na intervale)