Riešenie racionálnych rovníc ako riešiť. Zlomkové racionálne rovnice. Algoritmus na riešenie

T. Kosyakova,
škola č. 80, Krasnodar

Riešenie kvadratických a zlomkových racionálnych rovníc obsahujúcich parametre

Lekcia 4

Téma lekcie:

Účel lekcie: formovať schopnosť riešiť zlomkovo-racionálne rovnice obsahujúce parametre.

Typ lekcie: uvedenie nového materiálu.

1. (slovne) Riešte rovnice:

Príklad 1... Vyriešte rovnicu

Riešenie.

Nájdite neplatné hodnoty a:

Odpoveď. Ak ak a = – 19 , potom nie sú žiadne korene.

Príklad 2... Vyriešte rovnicu

Riešenie.

Nájdite neplatné hodnoty parametrov a :

10 – a = 5, a = 5;

10 – a = a, a = 5.

Odpoveď. Ak a = 5 a № 5 , potom x = 10– a .

Príklad 3... Pri akých hodnotách parametra b rovnica Má:

a) dva korene; b) jeden koreň?

Riešenie.

1) Nájdite neplatné hodnoty parametrov b :

x = b, b 2 (b 2 – 1) – 2b 3 + b 2 = 0, b 4 – 2b 3 = 0,
b= 0 alebo b = 2;
x = 2, 4 ( b 2 – 1) – 4b 2 + b 2 = 0, b 2 – 4 = 0, (b – 2)(b + 2) = 0,
b= 2 alebo b = – 2.

2) Vyriešte rovnicu x 2 ( b 2 – 1) – 2b 2 x + b 2 = 0:

D = 4 b 4 – 4b 2 (b 2 - 1), D = 4 b 2 .

a)

Vrátane neplatných hodnôt parametrov b , dostaneme, že rovnica má dva korene, ak b № – 2, b № – 1, b № 0, b № 1, b № 2 .

b) 4b 2 = 0, b = 0, ale toto je neplatná hodnota parametra b ; ak b 2 –1=0 , t.j. b=1 alebo.

Odpoveď: a) ak b № –2 , b № –1, b № 0, b № 1, b № 2 , potom dva korene; b) ak b=1 alebo b = –1 , potom jediný koreň.

Samostatná práca

možnosť 1

Riešte rovnice:

Možnosť 2

Riešte rovnice:

Odpovede

V 1... A keď a=3 , potom nie sú žiadne korene; ak b) ak ak a № 2 , potom nie sú žiadne korene.

V 2. Ak a=2 , potom nie sú žiadne korene; ak a=0 , potom nie sú žiadne korene; ak
b) ak a=– 1 , potom rovnica stráca svoj význam; ak nie sú žiadne korene;
ak

Domáca úloha.

Riešte rovnice:

Odpovede: a) Ak a № –2 , potom x = a ; ak a=–2 , potom neexistujú žiadne riešenia; b) ak a № –2 , potom x = 2; ak a=–2 , potom neexistujú žiadne riešenia; c) ak a=–2 , potom X- akékoľvek číslo okrem 3 ; ak a № –2 , potom x = 2; d) ak a=–8 , potom nie sú žiadne korene; ak a=2 , potom nie sú žiadne korene; ak

5. lekcia

Téma lekcie:"Riešenie zlomkových racionálnych rovníc obsahujúcich parametre."

Ciele lekcie:

nácvik riešenia rovníc s neštandardnou podmienkou;
vedomá asimilácia študentmi algebraických pojmov a súvislosti medzi nimi.

Typ lekcie: systematizácia a zovšeobecňovanie.

Kontrola domácej úlohy.

Príklad 1... Vyriešte rovnicu

a) vzhľadom na x; b) vzhľadom na y.

Riešenie.

a) Nájdite neplatné hodnoty r: y = 0, x = y, y2 = y2 – 2y,

y = 0- neplatná hodnota parametra r.

Ak r№ 0 , potom x = y – 2; ak y = 0 potom rovnica stráca zmysel.

b) Nájdite neplatné hodnoty parametrov X: y = x, 2x – x 2 + x 2 = 0, x = 0- neplatná hodnota parametra X; y (2 + x – y) = 0, y = 0 alebo y = 2 + x;

y = 0 nespĺňa podmienku y (y – x)№ 0 .

Odpoveď: a) ak y = 0, potom rovnica stráca svoj význam; ak r№ 0 , potom x = y – 2; b) ak x = 0 X№ 0 , potom y = 2 + x .

Príklad 2... Pre aké celočíselné hodnoty parametra a sú korene rovnice patria do medzery

D = (3 a + 2) 2 – 4a(a+ 1) 2 = 9 a 2 + 12a + 4 – 8a 2 – 8a,

D = ( a + 2) 2 .

Ak a № 0 alebo a № – 1 , potom

odpoveď: 5 .

Príklad 3... Nájsť relatívne X celočíselné riešenia rovnice

Odpoveď. Ak y = 0 potom rovnica nemá zmysel; ak y = -1, potom X- akékoľvek celé číslo iné ako nula; ak y№ 0, y№ - 1, potom neexistujú žiadne riešenia.

Príklad 4 Vyriešte rovnicu s parametrami a a b .

Ak a№ - b , potom

Odpoveď. Ak a = 0 alebo b = 0 , potom rovnica stráca svoj význam; ak a№ 0, b№ 0, a = –b , potom X- akékoľvek číslo iné ako nula; ak a№ 0, b№ 0, a№ -B, potom x = –a, x = –b .

Príklad 5... Dokážte, že pre akúkoľvek nenulovú hodnotu parametra n platí rovnica má jeden koreň rovný - n .

Riešenie.

t.j. x = –n, ako je potrebné preukázať.

Domáca úloha.

1. Nájdite celé riešenia rovnice

2. Pri akých hodnotách parametra c rovnica Má:
a) dva korene; b) jeden koreň?

3. Nájdite všetky celé korene rovnice ak a O N .

4. Vyriešte rovnicu 3xy - 5x + 5y = 7: a) týkajúce sa r; b) relatívne X .

1. Rovnica je splnená ľubovoľnými celými rovnakými hodnotami x a y, inými ako nula.
2.a) Pre
b) s alebo
3. – 12; – 9; 0 .
4. a) Ak potom nie sú korene; ak
b) ak potom nie sú žiadne korene; ak

Test

možnosť 1

1. Určte typ rovnice 7c (c + 3) x 2 + (c – 2) x – 8 = 0 pri: a) c = –3; b) c = 2; v) c = 4 .

2. Riešte rovnice: a) x 2 –bx = 0; b) cx 2 – 6x + 1 = 0; v)

3. Vyriešte rovnicu 3x – xy – 2y = 1:

a) týkajúce sa X ;
b) relatívne r .

nx 2 – 26x + n = 0, vediac, že ​​parameter n nadobúda iba celočíselné hodnoty.

5. Pre aké hodnoty b platí rovnica Má:

a) dva korene;
b) jeden koreň?

Možnosť 2

1. Určte typ rovnice 5c (c + 4) x 2 + (c – 7) x + 7 = 0 pri: a) c = -4; b) c = 7; v) c = 1 .

2. Riešte rovnice: a) y2 + cy = 0; b) ny2 – 8y + 2 = 0; v)

3. Vyriešte rovnicu 6x – xy + 2y = 5:

a) týkajúce sa X ;
b) relatívne r .

4. Nájdite celé korene rovnice nx 2 – 22x + 2n = 0, vediac, že ​​parameter n nadobúda iba celočíselné hodnoty.

5. Pre aké hodnoty parametra je rovnica Má:

a) dva korene;
b) jeden koreň?

Odpovede

V 1. 1. a) Lineárna rovnica;
b) neúplná kvadratická rovnica; c) kvadratická rovnica.
2.a) Ak b = 0, potom x = 0; ak b # 0, potom x = 0, x = b;
b) ak cО (9; + Ґ), potom nie sú žiadne korene;
c) ak a=–4 , potom rovnica stráca svoj význam; ak a№ –4 , potom x = - a .
3.a) Ak y = 3, potom nie sú žiadne korene; ak);
b) a=–3, a=1.

Ďalšie úlohy

Riešte rovnice:

Literatúra

1. Golubev V.I., Goldman A.M., Dorofeev G.V. O parametroch od úplného začiatku. - Doučovateľ, č. 2/1991, s. 3-13.
2. Gronshtein P.I., Polonskiy V.B., Yakir M.S. Nevyhnutné podmienky pri problémoch s parametrami. - Kvant, č.11/1991, s. 44-49.
3. Dorofeev G.V., Zatakavai V.V. Riešenie problémov s parametrami. Časť 2. - M., Perspektíva, 1990, s. 2-38.
4. Tynyakin S.A. Päťstoštrnásť úloh s parametrami. - Volgograd, 1991.
5. Yastrebinetskiy G.A. Úlohy s parametrami. - M., Vzdelávanie, 1986.

"Racionálne rovnice s polynómami" sú jednou z najčastejšie sa vyskytujúcich tém v skúškových otázkach z matematiky. Z tohto dôvodu by sa ich opakovaniu mala venovať osobitná pozornosť. Mnoho študentov sa stretáva s problémom nájsť diskriminant, preniesť ukazovatele z pravej strany na ľavú a dostať rovnicu do spoločného menovateľa, čo sťažuje splnenie takýchto úloh. Riešenie racionálnych rovníc pri príprave na skúšku na našej webovej stránke vám pomôže rýchlo zvládnuť problémy akejkoľvek zložitosti a dokonale zložiť test.

Vyberte si vzdelávací portál "Shkolkovo" pre úspešnú prípravu na jednotnú skúšku z matematiky!

Ak chcete poznať pravidlá výpočtu neznámych a ľahko získať správne výsledky, použite našu online službu. Portál Shkolkovo je jedinečná platforma, kde sa zhromažďujú materiály potrebné na prípravu na jednotnú štátnu skúšku. Naši učitelia systematizovali a zrozumiteľnou formou predložili všetky matematické pravidlá. Okrem toho pozývame školákov, aby si vyskúšali riešenie typických racionálnych rovníc, ktorých základňa sa neustále aktualizuje a dopĺňa.

Pre efektívnejšiu prípravu na testovanie odporúčame postupovať podľa našej špeciálnej metódy a začať s opakovaním pravidiel a riešením jednoduchých problémov, postupne prejsť k zložitejším. Absolvent tak bude môcť vyzdvihnúť pre seba najťažšie témy a sústrediť sa na ich štúdium.

Začnite sa pripravovať na záverečné testovanie so Shkolkovo už dnes a výsledok na seba nenechá dlho čakať! Vyberte najjednoduchší príklad z navrhovaných. Ak ste rýchly s výrazom, prejdite na ťažšiu úlohu. Môžete si tak zlepšiť svoje znalosti až po riešenie úloh USE v matematike na úrovni profilu.

Vzdelávanie je dostupné nielen pre absolventov z Moskvy, ale aj pre školákov z iných miest. Strávte pár hodín denne napríklad štúdiom na našom portáli a už čoskoro si budete vedieť poradiť s rovnicami akejkoľvek zložitosti!

Vaše súkromie je pre nás dôležité. Z tohto dôvodu sme vyvinuli Zásady ochrany osobných údajov, ktoré popisujú, ako používame a uchovávame vaše informácie. Prečítajte si prosím naše zásady ochrany osobných údajov a ak máte nejaké otázky, dajte nám vedieť.

Zhromažďovanie a používanie osobných údajov

Osobné údaje sú údaje, ktoré možno použiť na identifikáciu konkrétnej osoby alebo jej kontaktovanie.

Kedykoľvek nás budete kontaktovať, môžete byť požiadaní o poskytnutie svojich osobných údajov.

Nižšie sú uvedené niektoré príklady typov osobných údajov, ktoré môžeme zhromažďovať, a ako môžeme tieto informácie použiť.

Aké osobné údaje zhromažďujeme:

• Keď na stránke zanecháte žiadosť, môžeme zhromažďovať rôzne informácie vrátane vášho mena, telefónneho čísla, e-mailovej adresy atď.

Ako používame vaše osobné údaje:

• Osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, nám umožňujú kontaktovať vás a nahlasovať jedinečné ponuky, propagačné akcie a iné udalosti a nadchádzajúce udalosti.
• Z času na čas môžeme použiť vaše osobné údaje na odosielanie dôležitých upozornení a správ.
• Osobné údaje môžeme použiť aj na interné účely, ako je vykonávanie auditov, analýza údajov a rôzne výskumy, aby sme zlepšili služby, ktoré poskytujeme, a poskytli vám odporúčania týkajúce sa našich služieb.
• Ak sa zúčastníte žrebovania o ceny, súťaže alebo podobnej propagačnej akcie, môžeme použiť informácie, ktoré nám poskytnete, na správu týchto programov.

Sprístupnenie informácií tretím stranám

Informácie, ktoré od vás dostaneme, nezverejňujeme tretím stranám.

Výnimky:

• Ak je potrebné – v súlade so zákonom, súdnym príkazom, v súdnom konaní a/alebo na základe verejných žiadostí alebo žiadostí vládnych orgánov na území Ruskej federácie – zverejniť vaše osobné údaje. Môžeme tiež zverejniť informácie o vás, ak usúdime, že takéto zverejnenie je nevyhnutné alebo vhodné z dôvodu bezpečnosti, presadzovania práva alebo z iných spoločensky dôležitých dôvodov.
• V prípade reorganizácie, zlúčenia alebo predaja môžeme osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, odovzdať príslušnej tretej strane – právnemu nástupcovi.

Ochrana osobných údajov

Prijímame opatrenia – vrátane administratívnych, technických a fyzických – na ochranu vašich osobných údajov pred stratou, krádežou a zneužitím, ako aj pred neoprávneným prístupom, zverejnením, pozmenením a zničením.

Rešpektovanie vášho súkromia na úrovni spoločnosti

Aby sme sa uistili, že vaše osobné údaje sú v bezpečí, prinášame našim zamestnancom pravidlá dôvernosti a bezpečnosti a prísne monitorujeme ich dodržiavanie.

Už sme sa naučili riešiť kvadratické rovnice. Teraz rozšírme študované metódy na racionálne rovnice.

Čo je racionálne vyjadrenie? S týmto pojmom sme sa už stretli. Racionálne výrazy sa volajú výrazy, zložené z čísel, premenných, ich stupňov a znakov matematických operácií.

Podľa toho sú racionálne rovnice rovnicami v tvare:, kde - racionálne prejavy.

Predtým sme zvažovali iba tie racionálne rovnice, ktoré sa redukujú na lineárne. Teraz sa pozrime na tie racionálne rovnice, ktoré možno tiež zredukovať na kvadratické.

Príklad 1

Vyriešte rovnicu:.

Riešenie:

Zlomok je 0 práve vtedy, ak jeho čitateľ je 0 a menovateľ nie je 0.

Získame nasledujúci systém:

Prvá rovnica v systéme je kvadratická rovnica. Pred jeho riešením vydeľme všetky jeho koeficienty 3. Dostaneme:

Dostaneme dva korene:; ...

Keďže 2 sa nikdy nerovná 0, musia byť splnené dve podmienky: ... Keďže žiadny z vyššie uvedených koreňov rovnice sa nezhoduje s neplatnými hodnotami premennej, ktoré boli získané vyriešením druhej nerovnosti, obidve sú riešením tejto rovnice.

odpoveď:.

Poďme teda sformulovať algoritmus na riešenie racionálnych rovníc:

1. Presuňte všetky výrazy na ľavú stranu, aby ste dostali 0 na pravú stranu.

2. Transformujte a zjednodušte ľavú stranu, priveďte všetky zlomky k spoločnému menovateľovi.

3. Výsledný zlomok sa rovná 0 podľa nasledujúceho algoritmu: .

4. Napíšte korene získané v prvej rovnici a uspokojte druhú nerovnosť v odpovedi.

Uveďme si ďalší príklad.

Príklad 2

Vyriešte rovnicu: .

Riešenie

Hneď na začiatku prenesieme všetky pojmy na ľavú stranu tak, aby na pravej strane zostala 0. Dostaneme:

Teraz prinesme ľavú stranu rovnice k spoločnému menovateľovi:

Táto rovnica je ekvivalentná systému:

Prvá rovnica v systéme je kvadratická rovnica.

Koeficienty tejto rovnice:. Vypočítame diskriminant:

Dostaneme dva korene:; ...

Teraz vyriešme druhú nerovnosť: súčin faktorov sa nerovná 0 práve vtedy, ak žiadny z faktorov nie je rovný 0.

Musia byť splnené dve podmienky: ... Dostaneme, že z dvoch koreňov prvej rovnice je vhodný iba jeden - 3.

odpoveď:.

V tejto lekcii sme si pripomenuli, čo je racionálny výraz, a tiež sme sa naučili, ako riešiť racionálne rovnice, ktoré sa redukujú na kvadratické rovnice.

V ďalšej lekcii sa pozrieme na racionálne rovnice ako na modely reálnych situácií a tiež zvážime pohybové problémy.

Bibliografia

1. Bašmakov M.I. Algebra, ročník 8. - M .: Vzdelávanie, 2004.
2. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. a kol., Algebra, 8. 5. vydanie. - M .: Vzdelávanie, 2010.
3. Nikolsky S.M., Potapov M.A., Reshetnikov N.N., Shevkin A.V. Algebra, ročník 8. Učebnica pre vzdelávacie inštitúcie. - M .: Vzdelávanie, 2006.

1. Festival pedagogických myšlienok „Otvorená hodina“ ().
2. School.xvatit.com ().
3. Rudocs.exdat.com ().

Domáca úloha

Riešenie rovníc so zlomkami Pozrime sa na príklady. Príklady sú jednoduché a názorné. S ich pomocou sa budete môcť učiť tým najzrozumiteľnejším spôsobom.
Napríklad chcete vyriešiť jednoduchú rovnicu x / b + c = d.

Rovnice tohto typu sa nazývajú lineárne, pretože menovateľ obsahuje iba čísla.

Riešenie sa uskutoční vynásobením oboch strán rovnice b, potom rovnica nadobudne tvar x = b * (d - c), t.j. menovateľ zlomku vľavo sa ruší.

Napríklad, ako vyriešiť zlomkovú rovnicu:
x / 5 + 4 = 9
Obe časti vynásobíme 5. Dostaneme:
x + 20 = 45
x = 45 - 20 = 25

Ďalší príklad, keď je v menovateli neznáma:

Rovnice tohto typu sa nazývajú zlomkové racionálne alebo jednoducho zlomkové.

Zlomkovú rovnicu by sme riešili zbavením sa zlomkov, potom sa táto rovnica najčastejšie zmení na lineárnu alebo štvorcovú, ktorá sa rieši bežným spôsobom. Mali by ste zvážiť iba nasledujúce body:

• hodnota premennej, ktorá zmení menovateľa na 0, nemôže byť koreň;
• rovnicu nemôžete deliť ani násobiť výrazom = 0.

Tu vstupuje do platnosti taká koncepcia, ako je rozsah prípustných hodnôt (ODV) - to sú hodnoty koreňov rovnice, pre ktoré má rovnica zmysel.

Preto pri riešení rovnice je potrebné nájsť korene a potom ich skontrolovať, či sú v súlade s ODZ. Z odpovede sú vylúčené tie korene, ktoré nezodpovedajú našej ODZ.

Napríklad musíte vyriešiť zlomkovú rovnicu:

Na základe vyššie uvedeného pravidla x nemôže byť = 0, t.j. ODZ v tomto prípade: x - akákoľvek iná hodnota ako nula.

Menovateľa sa zbavíme vynásobením všetkých členov rovnice x

A riešime obvyklú rovnicu

5x - 2x = 1
3x = 1
x = 1/3

Odpoveď: x = 1/3

Poďme vyriešiť zložitejšiu rovnicu:

Nachádza sa tu aj ODZ: x -2.

Pri riešení tejto rovnice neprenesieme všetko na jednu stranu a zlomky zredukujeme na spoločného menovateľa. Okamžite vynásobíme obe strany rovnice výrazom, ktorý zruší všetkých menovateľov naraz.

Ak chcete zmenšiť menovateľov, musíte vynásobiť ľavú stranu x + 2 a pravú stranu - 2. Obidve strany rovnice teda musia byť vynásobené 2 (x + 2):

Toto je najbežnejšie násobenie zlomkov, o ktorom sme už hovorili vyššie.

Napíšme rovnakú rovnicu, ale trochu iným spôsobom

Ľavá strana je zrušená (x + 2) a pravá 2. Po zrušení dostaneme obvyklú lineárnu rovnicu:

x = 4 - 2 = 2, čo zodpovedá našej ODZ

Odpoveď: x = 2.

Riešenie rovníc so zlomkami nie také ťažké, ako by sa mohlo zdať. V tomto článku sme si to ukázali na príkladoch. Ak s tým máte nejaké ťažkosti, ako riešiť rovnice so zlomkami, potom sa odhláste v komentároch.