St va rovnoramenný lichobežník. Uhlopriečky lichobežníka

Časť obsahuje geometrické úlohy (planimetrická časť) o lichobežníkoch. Ak ste nenašli riešenie problému, napíšte o ňom na fórum. Kurz bude určite doplnený.

Lichobežník. Definícia, vzorce a vlastnosti

Lichobežník (zo starogréčtiny τραπέζιον - „stôl“; τράπεζα - „stôl, jedlo“) je štvoruholník s presne jedným párom protiľahlých strán rovnobežných.

Lichobežník je štvoruholník, ktorého pár protiľahlých strán je rovnobežný.

Poznámka. V tomto prípade je rovnobežník špeciálnym prípadom lichobežníka.

Rovnobežné protiľahlé strany sa nazývajú základne lichobežníka a ďalšie dve sa nazývajú bočné strany.

Trapézy sú:

- všestranný ;

- rovnoramenné;

- pravouhlý

.
Červená a hnedé kvety Strany sú označené a základne lichobežníka sú označené zelenou a modrou farbou.

A - rovnoramenný (rovnoramenný, rovnoramenný) lichobežník
B - pravouhlý lichobežník
C - skalenový lichobežník

Skalnatý lichobežník má všetky strany rôzne dĺžky a základne sú rovnobežné.

Strany sú rovnaké a základne sú rovnobežné.

Paralelne na základni, jeden strane kolmo na základne a druhá strana je naklonená k základniam.

Vlastnosti lichobežníka

• Stredová čiara lichobežníka rovnobežné so základňami a rovné ich polovičnému súčtu
• Segment spájajúci stredy uhlopriečok, sa rovná polovici rozdielu základov a leží na stredovej čiare. Jeho dĺžka
• Rovnobežné čiary pretínajúce strany akéhokoľvek uhla lichobežníka odrežú proporcionálne segmenty zo strán uhla (pozri Thalesovu vetu)
• Priesečník lichobežníkových uhlopriečok, priesečník predĺženia jeho strán a stredu podstav leží na rovnakej priamke (pozri tiež vlastnosti štvoruholníka)
• Trojuholníky ležiace na základniach lichobežníky, ktorých vrcholy sú priesečníkom jeho uhlopriečok, sú podobné. Pomer plôch takýchto trojuholníkov sa rovná štvorcu pomeru základní lichobežníka
• Trojuholníky ležiace po stranách lichobežníky, ktorých vrcholy sú priesečníkom ich uhlopriečok, majú rovnakú plochu (rovnakú plochu)
• Do trapézu môžete vpísať kruh, ak sa súčet dĺžok základní lichobežníka rovná súčtu dĺžok jeho strán. Stredná čiara sa v tomto prípade rovná súčtu strán delených 2 (od r stredná čiara lichobežník sa rovná polovici súčtu základov)
• Segment rovnobežný so základňami a prechádza priesečníkom uhlopriečok, delí sa uhlopriečkami na polovicu a rovná sa dvojnásobku súčinu základov deleného ich súčtom 2ab / (a ​​+ b) (Burakovov vzorec)

Lichobežníkové uhly

Lichobežníkové uhly tam sú ostré, rovné a tupé.
Iba dva uhly sú správne.

Obdĺžnikový lichobežník má dva pravé uhly a ďalšie dve sú ostré a tupé. Iné typy lichobežníkov majú dva ostré uhly a dva tupé uhly.

Tupé uhly lichobežníka patria k menším po dĺžke základne a pikantné - viac základ.

Môže sa zvážiť akýkoľvek lichobežník ako zrezaný trojuholník, ktorého čiara rezu je rovnobežná so základňou trojuholníka.
Dôležité. Upozorňujeme, že týmto spôsobom (dodatočnou konštrukciou lichobežníka až do trojuholníka) možno vyriešiť niektoré problémy s lichobežníkmi a dokázať niektoré vety.

Ako nájsť strany a uhlopriečky lichobežníka

Hľadanie strán a uhlopriečok lichobežníka sa vykonáva pomocou nižšie uvedených vzorcov:

V týchto vzorcoch sú použité zápisy ako na obrázku.

a - menšia zo základov lichobežníka
b - väčšia zo základov lichobežníka
c,d - strany
h 1 h 2 - uhlopriečky

Súčet druhých mocnín uhlopriečok lichobežníka sa rovná dvojnásobku súčinu základní lichobežníka plus súčet druhých mocnín bočných strán (vzorec 2)

Inštrukcie

Podľa vlastnosti rovnoramenného lichobežníka sa segment n rovná polovici rozdielu medzi základňami x a y. Preto menšiu základňu lichobežníka y možno znázorniť ako rozdiel medzi väčšou základňou a úsečkou n vynásobený dvoma: y = x - 2*n.

Nájdite neznámy menší segment n. Za týmto účelom vypočítajte jednu zo strán výsledného pravouhlého trojuholníka. Trojuholník je tvorený výškou - h (noha), stranou - a (hypotenúza) a úsečkou - n (noha). Podľa Pytagorovej vety je neznáma vetva n² = a² - h². Náhradník číselné hodnoty a vypočítajte druhú mocninu nohy n. Vezmite druhú odmocninu z výslednej hodnoty - to bude dĺžka segmentu n.

Dosaďte túto hodnotu do prvej rovnice na výpočet y. Plocha lichobežníka sa vypočíta podľa vzorca S = ((x + y)*h)/2. Vyjadrite neznámu premennú: y = 2*S/h – x.

Zdroje:

• výška rovnoramenného lichobežníka

Na definovanie štvoruholníka, akým je napríklad lichobežník, musia byť definované aspoň tri jeho strany. Preto môžeme napríklad uvažovať o probléme, v ktorom sú uvedené dĺžky uhlopriečok lichobežníky, ako aj jeden z bočných vektorov.

Inštrukcie

Obrázok z problémových stavov je uvedený v 1.B v tomto prípade treba predpokladať, že uvažovaná je ABCD, v ktorej sú uvedené dĺžky uhlopriečok AC a BD, ako aj bočná strana AB, reprezentovaná vektorom a(ax,ay). Akceptované počiatočné údaje nám umožňujú nájsť oboje dôvodov lichobežníky(hore aj dole). IN konkrétny príklad najprv sa nájde spodná základňa AD.

Zvážte trojuholník ABD. Dĺžka jeho strany AB sa rovná absolútnej hodnote vektora a. Nech |a|=sqrt((ax)^2+(ay)^2)=a, potom cosф =ax/sqrt(((ax)^2+(ay)^2), ako smer kosínus a. Nech má daná uhlopriečka BD dĺžka p a požadované AD dĺžka X. Potom podľa kosínovej vety P^2=a^2+ x^2-2axcosф. Alebo x^2-2axcosф+(a^2-p^2)=0.

Ak chcete nájsť vrchol dôvodov BC (jeho dĺžka sa pri vyhľadávaní označí aj x), použije sa modul |a|=a, ako aj druhá uhlopriečka BD=q a kosínus uhla ABC, ktorý sa zjavne rovná (n-ph) .

Ďalej uvažujeme trojuholník ABC, na ktorý je rovnako ako predtým aplikovaná kosínusová veta a vzniká nasledovné. Vzhľadom na to, že cos(п-ф)=-cosф, na základe riešenia pre AD môžeme použiť nasledujúci vzorec, ktorý nahradí p q:ВС=- a*ax|sqrt(((ax)^2+(ay) ^2) +sqrt((((a)^2)(ax^2))/(ax^2+ay^2))-a^2+q^2).

Toto je štvorec, a preto má dva korene. V tomto prípade teda zostáva vybrať len tie korene, ktoré majú kladná hodnota, pretože dĺžka nemôže byť záporná.

Príklad Vpustiť lichobežníky Strana ABCD AB je daná vektorom a(1, sqrt3), p=4, q=6. Nájsť dôvodov lichobežníky.Riešenie. Pomocou vyššie získaných algoritmov môžeme písať: |a|=a=2, cosф=1/2. AD=1/2+sqrt(4/4 -4+16)=1/2 +sqrt(13)=(sqrt(13)+1)/2,BC=-1/2+sqrt(-3+36 )=(sqrt(33)-1)/2.

Video k téme

Lichobežník je štvoruholník, v ktorom sú dve strany rovnobežné a ostatné dve nie sú. Výška lichobežníka je segment nakreslený kolmo medzi dvoma rovnobežnými čiarami. V závislosti od zdrojových údajov sa dá vypočítať rôznymi spôsobmi.

Budete potrebovať

• Znalosť strán, základov, stredovej čiary lichobežníka a voliteľne aj jeho plochy a/alebo obvodu.

Inštrukcie

Povedzme, že existuje lichobežník s rovnakými údajmi ako na obrázku 1. Nakreslíme 2 výšky, dostaneme , ktorý má 2 menšie strany pri nohách pravouhlých trojuholníkov. Menší valec označme ako x. Nachádza sa vydelením rozdielu dĺžky medzi väčšími a menšími základňami. Potom podľa Pytagorovej vety druhá mocnina výšky rovná súčtuštvorce prepony d a ramena x. Z tohto súčtu vytiahneme výšku h. (obr. 2)

Video k téme

Zdroje:

• ako vypočítať výšku lichobežníka

Matematický útvar so štyrmi rohmi sa nazýva lichobežník, ak pár jeho protiľahlých strán je rovnobežný a druhý pár nie. Paralelné strany sú tzv dôvodov lichobežníky, ďalšie dve sú bočné. V obdĺžnikovom lichobežníky jeden z uhlov na strane je rovný.

Inštrukcie

Úloha 1. Nájdite základy BC a AD lichobežníky, ak je známa dĺžka AC = f; dĺžka strany CD = c a uhol ADC = α Riešenie: Uvažujme pravouhlý CED. Prepona c a uhol medzi preponou a EDC nohy sú známe. Nájdite dĺžky CE a ED: pomocou vzorca uhla CE = CD*sin(ADC); ED = CD*cos(ADC). Takže: CE = c*sinα; ED = c*cosa.

Zvážte pravouhlý trojuholník ACE. Poznáte preponu AC a CE, nájdite stranu AE ​​pomocou pravidla: súčet štvorcov nôh sa rovná štvorcu prepony. Takže: AE(2) = AC(2) - CE(2) = f(2) - c*sinα. Vypočítajte Odmocnina z pravej strany rovnosti. Hornú časť ste našli obdĺžnikovú lichobežníky.

Dĺžka základne AD je súčtom dĺžok dvoch segmentov AE a ED. AE = druhá odmocnina (f(2) - c*sinα); ED = c*cosα. Takže: AD = druhá odmocnina(f(2) - c*sinα) + c*cosα.Našli ste spodnú základňu obdĺžnika lichobežníky.

Úloha 2. Nájdite základy BC a AD obdĺžnika lichobežníky, ak je známa dĺžka uhlopriečky BD = f; dĺžka strany CD = c a uhol ADC = α Riešenie: Uvažujme pravouhlý trojuholník CED. Nájdite dĺžky strán CE a ED: CE = CD*sin(ADC) = c*sinα; ED = CD*cos(ADC) = c*cosa.

Zvážte obdĺžnik ABCE. Podľa vlastnosti AB = CE = c*sinα Uvažujme pravouhlý trojuholník ABD. Podľa vlastnosti pravouhlého trojuholníka je štvorec prepony súčtom štvorcov nôh. Preto AD(2) = BD(2) - AB(2) = f(2) - c*sinα. Našli ste spodnú základňu obdĺžnika lichobežníky AD = druhá odmocnina (f(2) - c*sinα).

Podľa pravidla obdĺžnika BC = AE = AD - ED = druhá odmocnina(f(2) - c*sinα) - c*cosα. Našli ste hornú základňu obdĺžnika lichobežníky.

Menšia základňa lichobežníka je jedna z jeho rovnobežných strán, ktorá má minimálnu dĺžku. Táto hodnota môže byť vypočítaná niekoľkými spôsobmi pomocou určitých údajov.

Budete potrebovať

• - kalkulačka.

Inštrukcie

Ak sú známe dve dĺžky - základňa a stredová čiara - použite vlastnosť lichobežníka na výpočet najmenšej základne. Podľa nej je stredná čiara lichobežníka totožná s polovicou súčtu základní. V tomto prípade sa najmenšia základňa bude rovnať rozdielu medzi dvojnásobkom dĺžky strednej čiary a dĺžkou veľkej základne tohto obrázku.

Ak sú známe parametre lichobežníka ako , výška, dĺžka veľkej základne, vypočítajte najmenšiu základňu tejto základne na základe lichobežníka. V tomto prípade získate konečný výsledok tak, že od rozdielu medzi kvocientom dvojnásobku plochy a výšky odčítate parameter, ako je dĺžka veľkej základne lichobežníka.

Vypočítajte dĺžku bočnej strany na druhej strane

Kurz geometrie pre 8. ročník zahŕňa štúdium vlastností a charakteristík konvexných štvoruholníkov. Patria sem rovnobežníky, ktorých špeciálnymi prípadmi sú štvorce, obdĺžniky a kosoštvorce a lichobežníky. A ak riešenie problémov na rôznych variáciách rovnobežníka najčastejšie nespôsobuje veľké ťažkosti, potom je o niečo ťažšie zistiť, ktorý štvoruholník sa nazýva lichobežník.

Definícia a typy

Na rozdiel od iných štvoruholníkov študovaných v r školské osnovy, lichobežník sa zvyčajne nazýva taký obrazec, ktorého dve protiľahlé strany sú navzájom rovnobežné a ďalšie dve nie sú. Existuje aj iná definícia: je to štvoruholník s dvojicou strán, ktoré sú nerovnaké a rovnobežné.

Rôzne typy sú zobrazené na obrázku nižšie.

Obrázok číslo 1 znázorňuje ľubovoľný lichobežník. Číslo 2 označuje špeciálny prípad - obdĺžnikový lichobežník, ktorého jedna zo strán je kolmá na jeho základne. Aj posledný údaj špeciálny prípad: Ide o rovnoramenný (rovnostranný) lichobežník, t. j. štvoruholník s rovnakými stranami.

Najdôležitejšie vlastnosti a vzorce

Na popis vlastností štvoruholníka je zvykom zvýrazniť určité prvky. Ako príklad uvažujme ľubovoľný lichobežník ABCD.

Obsahuje:

• základne BC a AD - dve strany navzájom rovnobežné;
• strany AB a CD sú dva nerovnobežné prvky;
• uhlopriečky AC a BD sú segmenty spájajúce protiľahlé vrcholy obrázku;
• výška lichobežníka CH je segment kolmý na základne;
• stredová čiara EF - čiara spájajúca stredy bočných strán.

Základné vlastnosti prvkov

Na riešenie úloh geometrie alebo dokazovanie akýchkoľvek tvrdení sa najčastejšie využívajú vlastnosti, ktoré spájajú rôzne prvky štvoruholníka. Sú formulované nasledovne:

Okrem toho je často užitočné poznať a aplikovať nasledujúce tvrdenia:

1. Osa nakreslená z ľubovoľného uhla oddeľuje segment na základni, ktorého dĺžka sa rovná strane obrázku.
2. Pri kreslení uhlopriečok sa vytvoria 4 trojuholníky; 2 z nich sú trojuholníky, tvorené bázami a segmenty uhlopriečok sú podobné a zostávajúci pár má rovnakú plochu.
3. Cez priesečník uhlopriečok O, stredy základov, ako aj bod, v ktorom sa pretínajú predĺženia strán, možno nakresliť priamku.

Výpočet obvodu a plochy

Obvod sa vypočíta ako súčet dĺžok všetkých štyri strany(podobne ako akýkoľvek iný geometrický útvar):

P = AD + BC + AB + CD.

Vpísaný a opísaný kruh

Kruh môže byť opísaný okolo lichobežníka iba vtedy, ak sú strany štvoruholníka rovnaké.

Na výpočet polomeru kružnice opísanej potrebujete poznať dĺžky uhlopriečky, strany a väčšej základne. Rozsah p, použitý vo vzorci sa vypočíta ako polovica súčtu všetkých vyššie uvedených prvkov: p = (a + c + d)/2.

Pre vpísanú kružnicu bude podmienka nasledovná: súčet základov sa musí zhodovať so súčtom strán obrazca. Jeho polomer možno nájsť cez výšku a bude sa rovnať r = h/2.

Špeciálne prípady

Zoberme si často sa vyskytujúci prípad - rovnoramenný (rovnostranný) lichobežník. Jeho znakmi sú rovnosť bočných strán alebo rovnosť opačných uhlov. Všetky vyhlásenia platia pre ňu, ktoré sú charakteristické pre ľubovoľný lichobežník. Ďalšie vlastnosti rovnoramenného lichobežníka:

Obdĺžnikový lichobežník sa v problémoch veľmi často nenachádza. Jeho znaky sú prítomnosť dvoch priľahlé rohy, rovný 90 stupňom a prítomnosť strany kolmej na základne. Výška v takomto štvoruholníku je zároveň jednou z jeho strán.

Všetky uvažované vlastnosti a vzorce sa zvyčajne používajú na riešenie planimetrických úloh. Musia sa však použiť aj v niektorých úlohách z kurzu stereometrie, napríklad pri určovaní plochy povrchu zrezaná pyramída, zvonka pripomínajúce objemový lichobežník.

V rôznych materiáloch testy a skúšky sú veľmi bežné problémy s lichobežníkmi, ktorého riešenie si vyžaduje znalosť jeho vlastností.

Poďme zistiť, aké zaujímavé a užitočné vlastnosti má lichobežník na riešenie problémov.

Po preštudovaní vlastností strednej čiary lichobežníka je možné formulovať a dokázať vlastnosť segmentu spájajúceho stredy uhlopriečok lichobežníka. Segment spájajúci stredy uhlopriečok lichobežníka sa rovná polovici rozdielu základní.

MO je stredná čiara trojuholníka ABC a rovná sa 1/2BC (obr. 1).

MQ je stredná čiara trojuholníka ABD a rovná sa 1/2AD.

Potom OQ = MQ – MO, teda OQ = 1/2AD – 1/2BC = 1/2(AD – BC).

Pri riešení mnohých problémov na lichobežníku je jednou z hlavných techník nakresliť do neho dve výšky.

Zvážte nasledujúce úloha.

Nech BT je výška rovnoramenného lichobežníka ABCD so základňami BC a AD, pričom BC = a, AD = b. Nájdite dĺžky segmentov AT a TD.

Riešenie.

Riešenie problému nie je ťažké (obr. 2), ale umožňuje vám získať vlastnosť výšky rovnoramenného lichobežníka ťahaného z vrcholu tupého uhla: výška rovnoramenného lichobežníka vedeného z vrcholu tupého uhla rozdeľuje väčšiu základňu na dva segmenty, z ktorých menší sa rovná polovici rozdielu základov a väčší sa rovná polovici súčtu základov .

Pri štúdiu vlastností lichobežníka musíte venovať pozornosť takej vlastnosti, ako je podobnosť. Napríklad uhlopriečky lichobežníka ho rozdeľujú na štyri trojuholníky a trojuholníky susediace so základňami sú podobné a trojuholníky susediace so stranami majú rovnakú veľkosť. Toto vyhlásenie možno nazvať vlastnosť trojuholníkov, na ktoré je lichobežník rozdelený svojimi uhlopriečkami. Prvú časť tvrdenia je navyše možné veľmi ľahko dokázať prostredníctvom znamienka podobnosti trojuholníkov v dvoch uhloch. Poďme dokázať druhá časť vyhlásenia.

Trojuholníky BOC a COD majú spoločnú výšku (obr. 3), ak za ich základňu vezmeme segmenty BO a OD. Potom S BOC /S COD = BO/OD = k. Preto S CHSK = 1/k · S BOC .

Podobne trojuholníky BOC a AOB majú spoločnú výšku, ak za základ zoberieme úsečky CO a OA. Potom S BOC/S AOB = CO/OA = k a S A O B = 1/k · S BOC.

Z týchto dvoch viet vyplýva, že S COD = S A O B.

Nezostávajme pri formulovanom tvrdení, ale nájdime vzťah medzi plochami trojuholníkov, na ktoré je lichobežník rozdelený svojimi uhlopriečkami. Ak to chcete urobiť, vyriešte nasledujúci problém.

Nech bod O je priesečníkom uhlopriečok lichobežníka ABCD so základňami BC a AD. Je známe, že plochy trojuholníkov BOC a AOD sa rovnajú S1 a S2. Nájdite oblasť lichobežníka.

Keďže S COD = S A O B, potom S ABC D = S 1 + S 2 + 2S COD.

Z podobnosti trojuholníkov BOC a AOD vyplýva, že BO/OD = √(S₁/S 2).

Preto S₁/S COD = BO/OD = √(S₁/S 2), čo znamená S COD = √(S 1 · S 2).

Potom S ABC D = S 1 + S 2 + 2√(S 1 · S 2) = (√S 1 + √S 2) 2.

Pomocou podobnosti je to dokázané vlastnosť úsečky prechádzajúcej priesečníkom uhlopriečok lichobežníka rovnobežného so základňami.

Uvažujme úloha:

Nech bod O je priesečníkom uhlopriečok lichobežníka ABCD so základňami BC a AD. BC = a, AD = b. Nájdite dĺžku úsečky PK prechádzajúcej priesečníkom uhlopriečok lichobežníka rovnobežných so základňami. Aké segmenty delí PK bod O (obr. 4)?

Z podobnosti trojuholníkov AOD a BOC vyplýva, že AO/OC = AD/BC = b/a.

Z podobnosti trojuholníkov AOP a ACB vyplýva, že AO/AC = PO/BC = b/(a + b).

Preto PO = BC b / (a ​​​​+ b) = ab / (a ​​+ b).

Podobne z podobnosti trojuholníkov DOK a DBC vyplýva, že OK = ab/(a + b).

Preto PO = OK a PK = 2ab/(a + b).

Dokázanú vlastnosť teda možno formulovať takto: úsečka rovnobežná so základňami lichobežníka, prechádzajúca priesečníkom uhlopriečok a spájajúca dva body na bočných stranách, je rozdelená na polovicu priesečníkom lichobežníka. uhlopriečky. Jeho dĺžka je harmonickým priemerom základov lichobežníka.

Sledovanie štvorbodová vlastnosť: v lichobežníku leží priesečník uhlopriečok, priesečník pokračovania strán, stredy základov lichobežníka ležia na tej istej priamke.

Trojuholníky BSC a ASD sú podobné (obr. 5) a v každom z nich mediány ST a SG rozdeľujú vrcholový uhol S na rovnaké časti. Preto body S, T a G ležia na tej istej priamke.

Rovnakým spôsobom sa na tej istej priamke nachádzajú body T, O a G. Vyplýva to z podobnosti trojuholníkov BOC a AOD.

To znamená, že všetky štyri body S, T, O a G ležia na jednej priamke.

Môžete tiež nájsť dĺžku segmentu rozdeľujúceho lichobežník na dva podobné.

Ak sú lichobežníky ALFD a LBCF podobné (obr. 6), potom a/LF = LF/b.

Preto LF = √(ab).

Segment rozdeľujúci lichobežník na dva podobné lichobežníky má teda dĺžku rovnajúcu sa geometrickému priemeru dĺžok základní.

Poďme dokázať vlastnosť segmentu rozdeľujúceho lichobežník na dve rovnaké oblasti.

Nech je oblasť lichobežníka S (obr. 7). h 1 a h 2 sú časti výšky a x je dĺžka požadovaného segmentu.

Potom S/2 = h1 (a + x)/2 = h2 (b + x)/2 a

S = (h1 + h2) · (a + b)/2.

Vytvorme si systém

(h 1 (a + x) = h 2 (b + x)
(h1 · (a + x) = (h1 + h2) · (a + b)/2.

Vyriešením tejto sústavy dostaneme x = √(1/2(a 2 + b 2)).

teda dĺžka úsečky rozdeľujúcej lichobežník na dva rovnaké sa rovná √((a 2 + b 2)/2)(stredná štvorec základných dĺžok).

Takže pre lichobežník ABCD so základňami AD a BC (BC = a, AD = b) sme dokázali, že segment:

1) MN, spájajúca stredy bočných strán lichobežníka, je rovnobežná so základňami a rovná sa ich polovičnému súčtu (priemer aritmetické čísla a a b);

2) PK prechádzajúca priesečníkom uhlopriečok lichobežníka rovnobežného so základňami sa rovná
2ab/(a + b) (harmonický priemer čísel a a b);

3) LF, ktorá rozdeľuje lichobežník na dva podobné lichobežníky, má dĺžku rovnajúcu sa geometrickému priemeru čísel a a b, √(ab);

4) EH, ktorý delí lichobežník na dva rovnaké, má dĺžku √((a 2 + b 2)/2) (stredná odmocnina z čísel a a b).

Znak a vlastnosť vpísaného a ohraničeného lichobežníka.

Vlastnosť vpísaného lichobežníka: lichobežník môže byť vpísaný do kruhu vtedy a len vtedy, ak je rovnoramenný.

Vlastnosti opísaného lichobežníka. Lichobežník môže byť opísaný okolo kruhu vtedy a len vtedy, ak súčet dĺžok základní je rovný súčtu dĺžok strán.

Užitočné dôsledky skutočnosti, že kruh je vpísaný do lichobežníka:

1. Výška opísaného lichobežníka sa rovná dvom polomerom vpísanej kružnice.

2. Strana opísaného lichobežníka je viditeľná zo stredu vpísanej kružnice v pravom uhle.

Prvý je zrejmý. Aby sa dokázal druhý dôsledok, je potrebné zistiť, či je uhol COD správny, čo tiež nie je ťažké. Ale znalosť tohto následku vám umožňuje používať pri riešení problémov pravouhlý trojuholník.

Upresnime dôsledky pre rovnoramenný opísaný lichobežník:

Výška rovnoramenného opísaného lichobežníka je geometrickým priemerom základov lichobežníka
h = 2r = √(ab).

Uvažované vlastnosti vám umožnia hlbšie pochopiť lichobežník a zabezpečiť úspech pri riešení problémov pomocou jeho vlastností.

Stále máte otázky? Neviete, ako vyriešiť problémy s lichobežníkmi?
Ak chcete získať pomoc od tútora, zaregistrujte sa.
Prvá lekcia je zadarmo!

webová stránka, pri kopírovaní celého materiálu alebo jeho časti je potrebný odkaz na zdroj.

Lichobežník je konvexný štvoruholník, v ktorom jeden pár protiľahlých strán je navzájom rovnobežný a druhý nie.

Na základe definície lichobežníka a charakteristík rovnobežníka, rovnobežné strany lichobežníky sa nemôžu navzájom rovnať. V opačnom prípade by sa aj druhý pár strán stal rovnobežným a navzájom rovným. V tomto prípade by sme mali do činenia s rovnobežníkom.

Rovnobežné protiľahlé strany lichobežníka sa nazývajú dôvodov. To znamená, že lichobežník má dve základne. Nerovnobežné protiľahlé strany lichobežníka sa nazývajú strany.

Podľa toho, ktoré bočné strany, aké uhly zvierajú so základňami, sa rozlišujú rôzne druhy lichobežník. Najčastejšie sa lichobežníky delia na nerovnaké (jednostranné), rovnoramenné (rovnostranné) a obdĺžnikové.

U šikmé lichobežníky strany nie sú navzájom rovné. Navyše s veľkou základňou môžu oba zvierať iba ostré uhly, alebo jeden uhol bude tupý a druhý ostrý. V prvom prípade sa nazýva lichobežník ostrý uhlový, v druhom - tupý.

U rovnoramenné lichobežníky strany sú si navzájom rovné. Navyše s veľkou základňou môžu zvierať len ostré uhly, t.j. Všetky rovnoramenné lichobežníky majú ostrý uhol. Preto sa nedelia na ostré a tupouhlé.

U pravouhlé lichobežníky jedna strana je kolmá na základne. Druhá strana nemôže byť na ne kolmá, pretože v tomto prípade by sme mali do činenia s obdĺžnikom. V pravouhlých lichobežníkoch sa nekolmá strana vždy tvorí s väčšou základňou ostrý roh. Kolmá strana je kolmá na obe základne, pretože základne sú rovnobežné.