K dispozícii je stredná línia trapezingového vzorca. Square Trapezia

Štvorec Trapezium. Pozdravy! V tejto publikácii zvážime špecifikovaný vzorec. Prečo je to tak, a ako to pochopiť. Ak je pochopenie, potom ho nemusíte naučiť. Ak chcete vidieť tento vzorec a čo je naliehavé, môžete okamžite prejsť nadol na stránku))

Teraz podrobne a v poriadku.

Trapezium je štvoruholníkové, dve strany tohto kvadrillera sú rovnobežné, existujú dva ďalšie. Tí, ktoré nie sú paralelné - to je základom lichobežníka. Dvaja iní sa nazývajú bočné strany.

Ak sú bočné strany rovnaké, potom sa lichobežník nazýva izolovaný. Ak jedna strana bokov kolmá na zem, potom takýto lichobežník sa nazýva obdĺžnikový.

V klasickej forme je lichobežníkový, ktorý je znázornený ako nasledujúci - väčšia báza je nižšia ako menej. Ale nikto nie je zakázať zobrazovanie a naopak. Tu sú náčrty:

Nasledujúci dôležitý koncept.

Stredná čiara lichobežníka je segment, ktorý spája stred boku. Stredná čiara je rovnobežná so základmi lichobežníka a je rovná polovici semitov.

Teraz poďme hlboko dýchať. Prečo?

Zvážte lichobežník s pozemkami a A B. a so strednou líniou l. A ja budem vykonávať niektoré ďalšie konštrukcie: cez pozemky budú vykonávať rovno, a cez konce strednej čiary kolmého na križovatku so základmi:

* Abecedné označenia vrcholov a iných bodov nie sú zámerne zavedené, aby sa zabránilo zbytočným označením.

Pozri, trojuholníky 1 a 2 sú rovnaké na druhom základe rovnosti trojuholníkov, trojuholníkov 3 a 4 rovnaké. Z rovnosti trojuholníkov sa sleduje rovnosť prvkov, a to katézie (sú uvedené v súlade s modrou a červenou).

Pozor! Ak by sme psychicky "znížili" z spodnej bázy modrého a červeného segmentu, potom budeme mať segment (to je strana obdĺžnika) sa rovná strednej čiare. Ďalej, ak "lepidlo" rezané modré a červené segmenty na hornú základňu lichobežníka, potom máme tiež segment (to je aj obdĺžniková strana) rovná strednej čiare lichobežníka.

Chytil? Ukazuje sa, že množstvo základov bude rovné dvom stredným líniu lichobežníka:

Zobraziť ďalšie vysvetlenie

Urobíme nasledovné - budeme stavať priamku prechádzajúcu cez spodnú základňu lichobežníka a priamym, čo prejde cez body A a B:

Získame trojuholníky 1 a 2, sú rovní na boku a susedí s rohmi (druhý znak rovnosti trojuholníkov). To znamená, že výsledný segment (na skri, ktorý je určený modrá) sa rovná hornej základni lichobežníka.

Teraz zvážte trojuholník:

* Stredná čiara tohto lichobežníka a strednej čiary trojuholníka sa zhoduje.

Je známe, že trojuholník je rovný polovicu základne rovnobežne s ním, to znamená:

Dobre. Teraz o námestí trapézie.

Formula Trapezium námestie:

Hovorí sa, že štvorec Trapezium sa rovná diele polovice ako základov a výšky.

To znamená, že sa ukazuje, že sa rovná produktu stredovej čiary a výšky:

Pravdepodobne ste si už všimli, že je to zrejmé. To môže byť geometricky vyjadriť toto: ak psychicky rozrežme trapézové trojuholníky 2 a 4 a zodpovedajúcim spôsobom ich umiestnite na trojuholníky 1 a 3:

Že budeme mať obdĺžnik na námestí rovnajúcej sa oblasti nášho lichobežníka. Oblasť tohto obdĺžnika sa rovná produktu stredovej čiary a výšky, to znamená, že môžeme písať:

Ale bod tu nie je v zázname, samozrejme, ale v porozumení.

Stiahnite si (Zobraziť) Článok v * formáte PDF

To je všetko. Úspech pre vás!

S pozdravom Alexander.

V tomto článku sa pokúsime čo najviac, aby sme úplne odrážali vlastnosti lichobežníka. Najmä budeme hovoriť o všeobecných značkách a vlastnostiach lichobežníka, ako aj vlastností napísaného lichobežníka a kruhu zapísaného v lichobežníkovi. Ovplyvňujeme vlastnosti neprístupného a pravouhlého lichobežníka.

Príkladom riešenia problému s použitím uvažovaných vlastností vám pomôže rozkladať na miestach v mojej hlave a je lepšie zapamätať si materiál.

Trapeze a všetky-všetko-všetko

Ak chcete začať, je stručne pamätať, čo je trapézia a aké ďalšie koncepty sú s ním spojené.

Trapezium tak, dvoma stranách, ktorých sú navzájom rovnobežné (to je základ). A dvaja nie sú paralelné - to sú strany.

V lichobežníkovi môže byť výška znížená - kolmá na dôvody. Uskutočnili sa stredná čiara a diagonálne. A tiež z akéhokoľvek uhla lichobežníka je možné vykonávať bisector.

O rôznych vlastnostiach spojených so všetkými týmito prvkami a ich kombináciami budeme hovoriť teraz.

Vlastnosti diagonálov Trapéra

Aby sme boli jasnejší pri čítaní, načrtnite na hárku akcie a strávte diagonálu v ňom.

1. Ak nájdete stred každej uhlopriečok (označujeme tieto body x a t) a pripojte ich, ukáže segment. Jedna z vlastností uhlopriečok Trapezia leží v tom, že segment HT leží na stredovej línii. A jej dĺžka je možné získať oddelením rozdielu v základoch pre dvoch: Ht \u003d (A - B) / 2.
2. Pred nami, všetky rovnaké trapezium ACME. Diagonály sa pretínajú v bode O. Pozrime sa na trojuholníky OO a IOC tvorené segmentmi uhlopriečok spolu s bázami lichobežníka. Tieto trojuholníky sú podobné. Pomer podobnosti k trojuholníky je vyjadrený pomocou pomeru základov lichobežníka: k \u003d AE / km.
   Pomer oblastí trojuholníkov a IOC je opísaný koeficientom K2.
3. Všetky tie isté trapezium, rovnaké diagonály pretínajúce sa v bode O. Len tentoraz budeme zvážiť trojuholníky, ktoré strihajú uhlopriečky spolu so stranami trapezóna. Oblasť trojuholníkov AKO a EMO sú rovnaké - ich štvorce sú rovnaké.
4. Ďalšou vlastnosťou Trapezium zahŕňa konštrukciu uhlopriečok. Takže, ak budete pokračovať po stranách AK a ja v smere menšej základne, potom skôr alebo neskôr budú prekročiť určitý bod. Ďalej, prostredníctvom strede základov lichobežníka strávi priame. Prechádza základom v bodoch X a T.
   Ak teraz rozširujeme priame HT, bude spájať bod priesečníka uhlopriečiek lichobežníka, bod, v ktorom pokračovanie boku a uprostred báz X a T.
5. Prostredníctvom priesečného bodu uhlopriečok, vykonávame segment, ktorý spája základňu lichobežníka (T leží na menšej základni cm, x - na väčšej AE). Miesto križovatky diagonály rozdeľuje tento segment v nasledujúcom pomere: Potom / oh \u003d km / ae.
6. A teraz cez priesečník uhlopriečok, budeme vykonávať paralelné základne lichobežníka (A a B) segmentu. Bod priesečníka ho rozdelí na dve rovnaké časti. Dĺžka segmentu nájdete podľa vzorca 2AB / (A + B).

Vlastnosti strednej čiary

Stredná čiara v lichobežníkovi rovnobežnej s jeho základmi.

1. Dĺžka stredovej čiary lichobežníka sa môže vypočítať, ak sú bázické dĺžky zložené a rozdeliť ich na polovicu: m \u003d (A + B) / 2.
2. Ak strávite oboma 4 báz, lichobežník akéhokoľvek segmentu (napríklad výška), stredná čiara ju rozdelí na dve rovnaké časti.

Nehnuteľnosť Bisector Trapezia Nehnuteľnosť

Vyberte ľubovoľný uhol trapeze a otočných. Vezmite si napríklad uhol nášho lichobežníka ACME. Po vytvorení konštrukcie sa môžete ľahko uistiť, že bisector je odrezaný zo základne (alebo jeho pokračovanie na rovno z samotného obrázku) segment rovnakej dĺžky ako bočná strana.

Vlastnosti rohov lichobežníka

1. Čo z dvoch párov susedných na strane rohov, ktoré ste si nevybrali, súčet uhlov v páre je vždy 180 0: a + β \u003d 180 0 a y + δ \u003d 180 0.
2. Pripojte stred báz trapezoidového segmentu TX. Teraz sa pozrite na rohy na základoch trapézie. Ak je súčet uhlov na niektorom z nich 90 0, dĺžka segmentu TX je ľahko vypočítať na základe rozdielu v základných dĺžkach, na polovicu: Tx \u003d (AE - km) / 2.
3. Ak, po tom, čo strany držia paralelné čiary trapézových uhlov, zdieľajú bočné uhol proporcionálne segmenty.

Vlastnosti rovnovážneho (rovného) lichobežníka

1. V rovnovážnom lichobežníkovi sú uhly rovné niektorým z dôvodov.
2. Teraz si vybudujte lopapu, aby si predstavoval, o čom je. Pozorne sa pozrite na základe AE \u200b\u200b- M vrchol oproti základne sa predpokladá v určitom bode na riadku, ktorá obsahuje AE. Vzdialenosť od vrcholu A až do bodu projekcie vrcholu M a priemerná čiara ekviilného lichobežníka je rovnaká.
3. Niekoľko slov o majetku uhlopriečiek ekvidilačného lichobežníka - ich dĺžky sú rovnaké. Rovnako ako tie isté uhly nakláňania týchto uhlopriečok na základňu lichobežníka.
4. Len o rovnovážnom lichobežníkovi môže byť opísaný v obvode, pretože súčet opačných uhlov štvorkolka 180 0 je nevyhnutným predpokladom.
5. Z predchádzajúceho odseku Nasleduje majetok rovnovážneho lieku Trapezia - Ak môžete opísať kruh v blízkosti trapezionu, je to ekvidigrable.
6. Z vlastností rovnovážneho lichobežníka, výška trapézie toky: ak jeho uhlopriečky pretínajú v pravom uhle, dĺžka výšky je rovná polovici množstva dôvodov: h \u003d (A + B) / 2.
7. Opäť strávite segment TX cez stred základov lichobežníka - v rovnovážnom lichobežníkovi je kolmé na dôvody. A v rovnakom čase tx - os symetrie in-lúča lichotézy.
8. Tentoraz vynecháte väčšiu základňu (označujeme ho a) výšku opačného vrcholu lichobežníka. Ukazuje dva segmenty. Dĺžka jednej možno nájsť, ak sú bázické dĺžky zložené a rozdelené do polovice: (A + B) / 2. Druhá, keď sa z väčšej základne dostaneme, je menší a výsledný rozdiel rozdelený na dve: (A - B) / 2.

Vlastnosti lichobežníka, ktoré sú súčasťou kruhu

Akonáhle to bolo o lichobežníkovi napísané v kruhu, zamerame sa na túto otázku. Najmä, kde sa nachádza stred kruhu vo vzťahu k lichobežníkovi. Odporúča sa tiež, aby ste neboli leniví, aby ste si vzali ceruzku do svojich rúk a nakreslite niečo o tom, čo bude diskutované nižšie. Takže pochopíte rýchlejšie a spomeniete si lepšie.

1. Umiestnenie stredu kruhu je určené uhlom sklonu lichobežníkového uhlopriečky na jeho stranu. Napríklad, diagonálny môže opustiť vrchol lichobežníka v pravom uhle k boku. V tomto prípade väčšia základňa prechádza stredom kruhu opísaného presne v strede (R \u003d ½AE).
2. Diagonálna a strana sa môže vyskytnúť pod akútnym uhlom - potom je stred kruhu vo vnútri lichobežníka.
3. Stred popísaného kruhu môže byť mimo lichobežníkov, pre jeho veľkú bázu, ak je medzi lichobežníkovými uhlopriečkami a strana je hlúpy uhol.
4. Uhol tvorený uhlopriečkou a veľkou základňou ACME Trapezia (zapísaný uhol) je polovica tohto centrálneho uhla, ktorá jej zodpovedá: Môže \u003d ½m..
5. Stručne o dvoch spôsoboch, ako nájsť polomer opísaného kruhu. Metóda Najprv: Pozrite sa pozorne na tvoje kreslenie - čo vidíte? Môžete ľahko všimnúť, že diagonálne rozbije lopapu do dvoch trojuholníkov. Polomer možno nájsť pomocou pomeru strany trojuholníka k sínusu opačného uhla, vynásobený dvoma. Napríklad, R \u003d AE / 2 * SINAME. Podobne môže byť vzorec natretý na ktorúkoľvek zo strán oboch trojuholníkov.
6. Spôsob podľa druhého: Nájdeme polomer opísaného kruhu cez oblasť trojuholníka tvorenej uhlopriečkou, bočnou stranou a základňou trapézie: R \u003d am * me * ae / 4 * s.

Vlastnosti lichobežníka opísaného v blízkosti kruhu

Ak je pozorovaná jedna podmienka, môžete zadať obvod v lichobežníkovi. Viac o tom nižšie. A spolu táto kombinácia obrázkov má rad zaujímavých vlastností.

1. Ak je kruh v lichobežníkovi zapísaný, dĺžka jeho stredovej čiary sa dá ľahko nájsť zložením dĺžky strán a rozdelením množstva získaného na polovicu: m \u003d (c + d) / 2.
2. ACME Trapezia opísaný v blízkosti obvodu, súčet základových dĺžok je rovnaký ako súčet dĺžok strán: AK + ME \u003d km + AE.
3. Z tejto vlastnosti bázy Trapezia znamená inverzné vyhlásenie: Kruh môže byť uzavretý do tohto lichobežníka, ktorých súčet báz, ktoré sa rovná súčtu strán.
4. Bod dotyku kruhu s polomerom R, napísané v lichobežníkov, rozbije stranu dvoma segmentmi, zavolajme im a a b. Polomer kruhu môže byť vypočítaný vzorcom: r \u003d √ab.
5. A ešte jeden majetok. Aby sa nezískal zmätený, tento príklad tiež nakreslíte. Máme starý dobrý lichobežník AKME, popísaný v blízkosti kruhu. Bolo to diagonálne pretínajúce sa v bode O. Trojuholníky AOK a bokov tvorených rezu uhlopriečok a bokov sú obdĺžnikové.
   Výšky týchto trojuholníkov, znížené o hypotenusy (to znamená, že strany lichobežníka) sa zhodujú s polomerom napísaného kruhu. A výška lichobežníka - sa zhoduje s priemerom napísaného kruhu.

Vlastnosti obdĺžnikového lichobežníka

Obdĺžnikové zavolajte Trapezium, ktorého jeden z rohov je priamy. A jeho vlastnosti vyplývajú z tejto okolnosti.

1. Obdĺžnikový lichobežník má jednu z bočných strán kolmo na dôvody.
2. Výška a strana lichobežníka, susediaca s rovným rohom, sú rovnaké. To vám umožní vypočítať oblasť obdĺžnikového lichobežníka (všeobecný vzorec S \u003d (A + B) * H / 2) Nielen cez výšku, ale aj cez bočnú stranu, susediace s priamym rohom.
3. Pre obdĺžnikový lichobežník sú relevantné vyššie uvedené vlastnosti diagonálov lichobežníkov.

Dôkaz o niektorých vlastnostiach Trapónia

Rovnosť uhlov na základe neprístupného Trapezium:

• Pravdepodobne ste sa už uhádli, že tam bude znova potrebovať lichobežník akme - nakresliť rovnako Chagrin Trapecy. Stráviť z vrcholu MT rovno MT rovnobežne so stranou AK (MT || AK).

Výsledný štvoruholník AKMT - rovnobežník (AK || MT, km || at). Vzhľadom k tomu, mE \u003d ka \u003d mt, Δ MTA je predsedom a met-MTT.

AK || MT, preto MTA \u003d Kae, MET \u003d MTA \u003d KA.

Od miesta, kde AKM \u003d 180 0 - MET \u003d 180 0 - Kate \u003d KME.

Q.E.ED.

Teraz, na základe majetku rovnovážneho lichobežníka (rovnosť uhlopriečok), dokazujeme aKME TRAPEZIUM JE POTREBNÉ:

• Ak chcete začať, budeme stráviť Direct MX - MX || KE. Dostaneme paralelník KMCH (BASE - MX || KE A KM || EX).

ΔAMH je odpad, pretože AM \u003d KE \u003d MX a max \u003d MEA.

MX || Ke, kea \u003d mach, teda, môže \u003d mach.

Ukázalo sa, že trojuholníky Ake a EMA sú rovnaké, pretože AM \u003d KE A AE - spoločná strana dvoch trojuholníkov. Ako aj máj \u003d mach. Môžeme konštatovať, že AK \u003d IU, a preto to vyplýva a že AKME Trapezium je odpad.

Úloha na opakovanie

Základňa lichobežníka ACME je 9 cm a 21 cm, bočná strana 8 cm, tvorí uhol 150 0 s menšou bázou. Je potrebné nájsť oblasť Trapezium.

Riešenie: zhora na zníženie výšky na väčšiu bázu lichobežníka. A začnime zvážiť rohy lichobežníka.

Uhly AEM a KAHN sú jednostranné. A to znamená, že v množstve, ktorú dávajú 180 0. Preto Kan \u003d 30 0 (na základe vlastností uhlov Trapezium).

Teraz zvažujeme obdĺžnikový Δnk (predpokladám, že tento moment je zrejmý pre čitateľov bez dodatočných dôkazov). Z toho nájdeme výšku KN Trapóna - v trojuholníku je katedát, ktorý leží oproti uhlu 30 0. Preto KN \u003d ½av \u003d 4 cm.

Oblasť lichobežníka sa nachádza podľa vzorca: S ACME \u003d (KM + AE) * KN / 2 \u003d (9 + 21) * 4/2 \u003d 60 cm2.

Afterword

Ak ste starostlivo a zamyslene študoval tento článok, nemal som ceruzku s ceruzkou v rukách kreslenia lichobežníka pre všetky dané vlastnosti a rozobrať ich v praxi, materiál sa mal dobre pochopiť.

Samozrejme, je tu veľa informácií, rôznorodé a na miestach dokonca mätúce: nie je tak ťažké zmiasť vlastnosti opísaného lichobežníka s vlastnosťami napísanými. Ale ste sa uistili, že rozdiel je obrovský.

Teraz máte podrobný súhrn všetkých spoločných vlastností trapezelu. Ako aj špecifické vlastnosti a príznaky lichobežníkov izolovaných a pravouhlých. Sú veľmi vhodné použiť na prípravu na kontrolu a skúšok. Vyskúšajte si to sami a zdieľajte odkaz s priateľmi!

blog.SET, s plným alebo čiastočným kopírovaním materiálu odkazu na pôvodný zdroj.

Segment priamky spájania stredu bokov lichobežníka sa nazýva stredná čiara lichobežníka. O tom, ako nájsť priemernú linku trapézie a ako to zodpovedá iným prvkom tohto obrázku, povieme nižšie.

Middle Line Theorem

Nakreslite lichobežník, v ktorom reklame je väčšia základňa, BC je menšia základňa, EF - stredná čiara. Poďme pokračovať v základoch reklám za bodu D. Vykonávame BF Line a pokračujte v tom, aby interakcia s pokračovaním základnej reklamy v mieste O. Zvážte trojuholníky ABCF a ADFO. Rohy ∟bcf \u003d ∟dfo ako vertikálne. Cf \u003d df, ∟bcf \u003d ∟fdo, pretože SUND // JSC. V dôsledku toho trojuholníky Δbcf \u003d Δdfo. Teda strana bf \u003d fo.

Teraz zvážte δavo a ΔEBF. ∟Abo bežné pre oba trojuholníky. BE / AB \u003d ½ podľa stavu, BF / BO \u003d ½, pretože Δbcf \u003d ΔDFO. V dôsledku toho sú trojuholníky ABO a EFB podobné. Preto pomer strán EF / AO \u003d ½, as je vzťah iných strán.

Nájdeme EF \u003d ½ AO. Podľa výkresu je možné vidieť, že AO \u003d AD + robiť. Do \u003d BC ako strany rovnakých trojuholníkov, to znamená AO \u003d AD + Bc. Preto EF \u003d ½ AO \u003d ½ (AD + BC). Tí. Dĺžka priemerného lichobežníka sa rovná polovici základne.

Existuje vždy priemerná línia lichobežníka rovná stredu základne?

Predpokladajme, že existuje taký špeciálny prípad, keď EF ≠ ½ (AD + BC). Potom slnko ≠, preto Δbcf ≠ ΔDCF. Ale je to nemožné, pretože sa rovná dvom rohom a stranám medzi nimi. V dôsledku toho je veta pravdivá za všetkých podmienok.

Stredná riadková úloha

Predpokladajme, že v našom lichobežníkovi AVD AD // SUN, ∟A \u003d 90 °, ∟C \u003d 135 °, AV \u003d 2 cm, pásiková klapka je kolmá na bočnú stranu. Nájdite strednú čiaru EF trapezoid.

Ak ∟A \u003d 90 °, potom ∟V \u003d \u200b\u200b90 °, to znamená, že ΔAVs je pravouhlý.

∟BCA \u003d ∟BCD - ∟ACD. ∟Acd \u003d 90 ° podľa stavu, teda ∟bca \u003d ∟BCD - ∟ACD \u003d 135 ° - 90 ° \u003d 45 °.

Ak je jeden uhol 45 ° v pravouhlom trojuholníku, znamená to, že Kartets sa rovná: AV \u003d SUN \u003d 2 cm.

Hypotenus As \u003d √ (AV² + SOLB²) \u003d √8 cm.

Zvážte ΔACD. ∟Acd \u003d 90 ° podľa stavu. ∟CAD \u003d ∟BCA \u003d 45 ° ako uhly tvorené sekvenčnými paralelnými základňami lichobežníka. V dôsledku toho sú Catts AC \u003d CD \u003d √8.

Hypotenus ad \u003d √ (AC2 + CD²) \u003d √ (8 + 8) \u003d √16 \u003d 4 cm.

Priemerná čiara lichobežníka EF \u003d ½ (AD + BC) \u003d ½ (2 + 4) \u003d 3 cm.

V tomto článku bol pre vás vytvorený ďalší výber úloh s lichobežníkom. Podmienky sú nejako spojené so strednou čiarou. Druhy úloh sú prevzaté z otvorenej banky typických úloh. Ak je túžba, môžete obnoviť svoje teoretické znalosti. Blog už považoval úlohy, ktoré sú spojené rovnako. Stručne o stredovej čiare:

Stredná čiara trapézie spája stred boku. Je rovnobežná so základmi a je rovná polovici polovice.

Pred riešením úloh zvážte teoretický príklad.

Dana Trapezium ABCD. Diagonal reproduktorov pretínajúcich sa so strednou čiarou tvorí bod K, uhlopriečka BD bodu L. Dokážte, že segment KL sa rovná polovici rozdielu základne.

Poďme najprv poznamenať, že priemerná čiara lichobežníkových akcií v polovici segmentu, ktorá leží na jeho základoch. Tento záver navrhuje. Predstavte si segment spájajúci dva body bodov, rozbije tento trapezium na dvoch ďalších. Ukazuje sa, že segment je rovnobežný s základmi lichobežníka a prechádza strednou stranou na inej strane prejde stredom.

Je tiež založený na Falez Theorem:

Ak jeden z dvoch priamo odloží postupne trochu rovnaké segmenty a cez ich konce, aby sa uskutočňovali rovnobežné rovné, križovalo druhú rovnú, potom sa odrezajú na druhé priame rovnaké segmenty.

To znamená, že v tomto prípade uprostred AC a L je stred BD. V dôsledku toho je EK stredná čiara trojuholníka ABC, LF je stredná čiara trojuholníka DCB. Vlastnosťami strednej čiary trojuholníka:

Teraz môžeme vyjadriť segment KL cez dôvody:

Uverené!

Tento príklad nie je taký. V úlohách pre nezávislé riešenie je len takáto úloha. Len to nehovorí, že segment spájajúci stred uhlopriečok leží na stredovej čiare. Zvážte úlohy:

27819. Nájdite priemernú linezoidovú čiaru, ak sú jej základy rovné 30 a 16.

Vypočítajte vzorcom:

27820. Priemerná trapézia je 28 a menšia základňa je 18. Nájdite väčšiu bázu lichobežníka.

Vyjadrite väčšiu základňu:

Touto cestou:

27836. kolmé, vynechané z vrcholu hlúpeho uhla k väčšej báze neprístupného lichobežníka, rozdeľuje ho na časti, ktoré majú dĺžky 10 a 4. Nájdite strednú čiaru tohto Trapónia.

Aby ste našli priemernú čiaru, potrebujete poznať základ. Základňa AB je jednoduchá: 10 + 4 \u003d 14. Nájsť DC.

Vytvárame druhý kolmý DF:

Rezy AF, FE a EB budú rovnaké, 4, 6 a 4. Prečo?

V rovnovážnom lichobežníkovi, kolmé hodnoty znížené na väčšiu bázu ju zlomiť do troch segmentov. Dvaja z nich, ktoré sú na mieru, ktoré sú zvyknutí, sú vzájomne rovné. Tretia časť sa rovná menšej základni, pretože obdĺžnik je vytvorený pri konštrukcii uvedených výšok a v obdĺžniku, opačné strany sú rovnaké. V tejto úlohe:

DC \u003d 6. Vypočítajte:

27839. Základy Trapezium zahŕňajú 2: 3 a stredná čiara sa rovná 5. Nájdite menšiu základňu.

Predstavujeme koeficient proporcionality. Potom AV \u003d 3X, DC \u003d 2X. Môžeme napísať:

Preto je menšia báza 2 ∙ 2 \u003d 4.

27840. Obvod rovnakého lichobežníka je 80, jeho stredná čiara je rovná strane. Nájdite stranu trapezoidu.

Na základe stavu môžeme napísať:

Ak označíte priemernú čiaru prostredníctvom množstva X, zobrazí sa:

Druhá rovnica už môže byť napísaná ako:

27841. Priemerná čiara lichobežníka je 7 a jeden z jeho báz je väčší ako druhý na 4. Nájdite väčšiu základňu lichobežníka.

Označujú menšiu základňu (DC) ako X, potom viac (AB) bude X + 4. Môžeme zapísať

Získa sa, že menšia základňa je skoro päť, znamená to viac rovná 9.

27842. Priemerná linka trapézie je 12. Jedna z uhlopriečok, ktoré ju rozdeľuje do dvoch segmentov, ktorých rozdiel sa rovná 2. Nájdite väčšiu základňu lichobežníka.

Ak vypočítame segment eo, môžeme ľahko nájsť väčšiu základňu trapeziónu. Je stredná čiara v trojuholníku ADB a AV \u003d 2 ∙ EO.

Čo máš? Hovorí sa, že priemerná čiara je 12 a rozdiel medzi segmentmi EO a je rovný 2. Môžeme písať dve rovnice a vyriešiť systém:

Je zrejmé, že v tomto prípade je možné zvoliť niekoľko čísel bez výpočtu, je 5 a 7. Ale koniec koncov, riešenie systému:

To znamená EO \u003d 12-5 \u003d 7. Väčšia základňa je teda AV \u003d 2 ∙ EO \u003d 14.

27844. V ekologickom lichobežníkovi, diagonálne kolmé. Výška trapézie je 12. Nájdite svoju strednú čiaru.

Ihneď zaznamenávame, že výška vedená cez priesečník uhlopriečok v rovnovážnom lichobežníkov leží na osi symetrie a prelomí tekutinu do dvoch rovnakých obdĺžnikových lichobežníkov, to znamená, že základy tejto výšky sú rozdelené do polovice.

Zdá sa, že na výpočet stredovej čiary, musíme nájsť dôvody. Tu sa vyskytne malé zablokovanie ... Ako poznanie výšky, v tomto prípade vypočítať základy? A ako! Existuje mnoho z týchto trapézií s pevnou výškou a uhlopriečkou v uhle 90 stupňov. Ako byť?

Pozrite sa na stredný vzorec. Koniec koncov, nemusíme poznať samotné dôvody, stačí poznať ich sumu (alebo napoly Asum). Môžeme to urobiť.

Keďže uhlopriečky sa pretínajú v pravom uhle, výška EF je vytvorená s rovnakými obdĺžnikovými trojuholníkmi:

Z vyššie uvedeného vyplýva, že FO \u003d DF \u003d FC a OE \u003d AE \u003d EB. Teraz napíšte, čo sa rovná výške vyjadrená cez segmenty DF a AE:

Teda stredná čiara je 12.

* Všeobecne platí, že je to úloha, ako rozumiete, na orálny účet. Som však si istý, že je potrebné predložené podrobné vysvetlenie. A tak ... ak sa pozriete na výkres (za predpokladu, že uhol medzi uhlopriečkou je pozorovaný počas konštrukcie), rovnosť FO \u003d DF \u003d FC a OE \u003d AE \u003d EB, sa ponáhľa do oka.

Ako súčasť prototypov, stále existujú typy úloh s lichobežníkmi. Je postavený na hárku do klietky a je potrebné nájsť strednú čiaru, strana bunky je zvyčajne 1, ale môže existovať ďalšia hodnota.

27848. Nájdite priemernú linezoidovú čiaru A B C d.Ak sú strany štvorcových buniek rovné 1.

Všetko je jednoduché, výpočet základne bunkami a používame vzorec: (2 + 4) / 2 \u003d 3

Ak sú základy postavené v uhle k bunkovej mriežke, to znamená dva spôsoby. Napríklad!

Koncepcia strednej čiary

Začať, pozrime sa, aký druh postavy sa nazýva trapézia.

Definícia 1.

Trapezium sa nazýva QUADRANK, v ktorom sú dve strany rovnobežné, a ďalšie dva nie sú paralelné.

Súčasne sa paralelné strany nazývajú bázy lichobežníka a nie súbežne - bočné steny lichobežníka.

Definícia 2.

Stredná čiara lichobežníka je segment spájajúci stred boku trapezoidu.

Middle Line Theorem

Teraz predstavíme teorem o strednej čiare trapézie a dokázať, že je to vektorová metóda.

Teorem 1.

Stredná čiara lichobežníka je rovnobežná so základmi a je rovná polovici polovice.

Dôkazov.

Dostaneme sa o trapéziu $ ABCD $ s základňami $ AD a Bc $. A nechajte $ MN $ - strednú čiaru tohto lichobežníka (obr. 1).

Obrázok 1. Stredná línia lichobežníka

Dokážeme, že $ MN || AD a mn \u003d frac (AD + BC) (2) $.

Zvážte vektor $ whipightrow (MN) $. Ďalej používame pravidlo polygónu na pridanie vektorov. Na jednej strane to dostaneme

Na druhej strane

Presúvanie posledných dvoch rovnosti, dostaneme

Vzhľadom k tomu, $ m $ a $ n $ - stredne bočné strany trapeze, potom budeme mať

Dostaneme:

Teda

Z tej istej rovnosti (pretože $ Prehriatie (BC) $ a $ Prehriatie (AD) $ je potiahnuté, a preto Collinearry) Dostaneme, že $ MN || Ad $.

Theorem sa dokáže.

Príklady úloh pre koncepciu strednej čiary trapez

Príklad 1.

Strany trapézie sa rovná 15 cm $ a $ 17 cm $, resp. Perimeter trapezium sa rovná $ 52 cm $. Nájdite dĺžku strednej čiary lichobežníka.

Rozhodnutie.

Označujú priemernú linezoidovú čiaru cez $ n $.

Súčet strany je rovná

Preto, keďže obvod je $ 52 cm $, množstvo základov je rovnaké

Tak, teoremou 1, dostaneme sa

Odpoveď: $ 10 cm $.

Príklad 2.

Konce priemeru kruhu sú odstránené z tangenciálneho, resp. $ 9 cm a $ 5 $ Pozri nájsť priemer tohto kruhu.

Rozhodnutie.

Dostaneme sa kruh s centrom na $ O $ Point a $ AB $ Priemer. Vykonávame Tangent $ L $ a postavíme vzdialenosť $ ad \u003d 9 cm $ a $ bc \u003d 5 cm $. Vykonávame polomer $ oh $ (obr. 2).

Obrázok 2.

Vzhľadom k tomu, $ AD $ a $ BC $ - Vzdialenosť k tangenciálnemu, potom $ AD \\ t | AD PRAVION || BC $. Z toho všetko dostaneme, že $ ABCD $ je trapézia, a $ oh $ je jeho stredná čiara. Torem 1, dostaneme sa