Čo je dopredné sčítanie alebo násobenie? Edukačný a metodický materiál z matematiky (3. ročník) na tému: Príklady poradia úkonov

V piatom storočí pred Kristom sformuloval staroveký grécky filozof Zenón z Eley svoje slávne apórie, z ktorých najznámejšia je apória „Achilles a korytnačka“. Znie to takto:

Povedzme, že Achilles beží desaťkrát rýchlejšie ako korytnačka a je za ňou tisíc krokov. Počas toho, ako Achilles prebehne túto vzdialenosť, korytnačka preplazí sto krokov rovnakým smerom. Keď Achilles prebehne sto krokov, korytnačka sa plazí ďalších desať krokov atď. Proces bude pokračovať donekonečna, Achilles korytnačku nikdy nedohoní.

Táto úvaha sa stala logickým šokom pre všetky nasledujúce generácie. Aristoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Hilbert... Všetci tak či onak považovali Zenónovu apóriu. Šok bol taký silný, že " ... diskusie pokračujú dodnes, vedecká obec zatiaľ nedokázala dospieť k jednotnému názoru na podstatu paradoxov ... do skúmania problematiky sa zapojila matematická analýza, teória množín, nové fyzikálne a filozofické prístupy ; žiadna z nich sa nestala všeobecne akceptovaným riešením problému..."[Wikipedia, "Zeno's Aporia". Každý chápe, že je oklamaný, ale nikto nechápe, v čom spočíva ten podvod.

Z matematického hľadiska Zeno vo svojich apóriách jasne demonštroval prechod od kvantity k . Tento prechod znamená aplikáciu namiesto trvalých. Pokiaľ som pochopil, matematický aparát na používanie premenných meracích jednotiek buď ešte nebol vyvinutý, alebo nebol aplikovaný na Zenónovu apóriu. Uplatnenie našej bežnej logiky nás vedie do pasce. My zo zotrvačnosti myslenia aplikujeme na recipročnú hodnotu konštantné jednotky času. Z fyzikálneho hľadiska to vyzerá tak, že sa čas spomaľuje, až sa úplne zastaví v momente, keď Achilles korytnačku dobehne. Ak sa čas zastaví, Achilles už nemôže predbehnúť korytnačku.

Ak otočíme našu obvyklú logiku, všetko zapadne na svoje miesto. Achilles beží konštantnou rýchlosťou. Každý nasledujúci úsek jeho cesty je desaťkrát kratší ako predchádzajúci. Čas strávený na jeho prekonanie je teda desaťkrát kratší ako ten predchádzajúci. Ak v tejto situácii použijeme pojem „nekonečno“, potom by bolo správne povedať: „Achilles dohoní korytnačku nekonečne rýchlo“.

Ako sa vyhnúť tejto logickej pasci? Zostaňte v konštantných jednotkách času a neprechádzajte na recipročné jednotky. V Zenónovom jazyku to vyzerá takto:

Za čas, ktorý potrebuje Achilles prejsť tisíc krokov, korytnačka preplazí sto krokov rovnakým smerom. Počas nasledujúceho časového intervalu, ktorý sa rovná prvému, Achilles prebehne ďalších tisíc krokov a korytnačka prejde sto krokov. Teraz je Achilles osemsto krokov pred korytnačkou.

Tento prístup adekvátne popisuje realitu bez akýchkoľvek logických paradoxov. Ale to nie je úplné riešenie problému. Einsteinov výrok o neodolateľnosti rýchlosti svetla je veľmi podobný Zenónovej apórii „Achilles a korytnačka“. Tento problém musíme stále študovať, premýšľať a riešiť. A riešenie treba hľadať nie v nekonečne veľkých číslach, ale v merných jednotkách.

Ďalšia zaujímavá aporia Zeno hovorí o lietajúcom šípe:

Letiaci šíp je nehybný, pretože v každom okamihu je v pokoji, a keďže je v každom okamihu v pokoji, je vždy v pokoji.

V tejto apórii je logický paradox prekonaný veľmi jednoducho - stačí objasniť, že letiaci šíp je v každom okamihu v pokoji v rôznych bodoch priestoru, čo je v skutočnosti pohyb. Tu je potrebné poznamenať ďalší bod. Z jednej fotografie auta na ceste nie je možné určiť ani skutočnosť jeho pohybu, ani vzdialenosť k nemu. Ak chcete zistiť, či sa auto pohybuje, potrebujete dve fotografie nasnímané z rovnakého bodu v rôznych časových bodoch, ale nemôžete určiť vzdialenosť od nich. Na určenie vzdialenosti od auta potrebujete dve fotografie rôzne body priestor v jednom časovom bode, ale nie je možné z nich určiť skutočnosť pohybu (samozrejme, na výpočty sú stále potrebné ďalšie údaje, pomôže vám trigonometria). Osobitne chcem upozorniť na to, že dva body v čase a dva body v priestore sú rozdielne veci, ktoré by sa nemali zamieňať, pretože poskytujú rôzne príležitosti na výskum.

Streda 4. júla 2018

Rozdiely medzi setom a multisetom sú veľmi dobre popísané na Wikipédii. Pozrime sa.

Ako vidíte, „v množine nemôžu byť dva identické prvky“, ale ak sú v množine rovnaké prvky, takáto množina sa nazýva „multiset“. Rozumné bytosti nikdy nepochopia takúto absurdnú logiku. Toto je úroveň hovoriace papagáje a cvičené opice, ktoré nemajú žiadnu inteligenciu od slova „úplne“. Matematici fungujú ako obyčajní školitelia, ktorí nám kážu svoje absurdné myšlienky.

Kedysi boli inžinieri, ktorí most stavali, v člne pod mostom pri testovaní mosta. Ak sa most zrútil, priemerný inžinier zomrel pod troskami svojho výtvoru. Ak most vydržal zaťaženie, talentovaný inžinier postavil ďalšie mosty.

Bez ohľadu na to, ako sa matematici skrývajú za frázu „nezabudnite, som v dome“, alebo skôr „matematika študuje abstraktné pojmy“, existuje jedna pupočná šnúra, ktorá ich neoddeliteľne spája s realitou. Táto pupočná šnúra sú peniaze. Aplikujme matematickú teóriu množín na samotných matematikov.

Matematiku sme sa učili výborne a teraz sedíme pri pokladni a rozdávame výplaty. Matematik si teda k nám príde po svoje peniaze. Odpočítame mu celú sumu a rozložíme ju na stôl na rôzne kôpky, do ktorých vložíme bankovky rovnakej nominálnej hodnoty. Potom z každej kôpky vezmeme jednu bankovku a dáme matematikovi jeho „matematický súbor platov“. Vysvetlime matematikovi, že zvyšné účty dostane až vtedy, keď dokáže, že množina bez rovnakých prvkov sa nerovná množine s rovnakými prvkami. Tu začína zábava.

V prvom rade bude fungovať logika poslancov: "To sa dá použiť na iných, ale nie na mňa!" Potom nás začnú ubezpečovať, že zmenky rovnakej nominálnej hodnoty majú rôzne čísla účtov, čo znamená, že ich nemožno považovať za rovnaké prvky. Dobre, počítajme platy v minciach - na minciach nie sú žiadne čísla. Matematik tu začne horúčkovito spomínať na fyziku: rôzne mince majú rôzne množstvo nečistôt, kryštálová štruktúra a usporiadanie atómov je pre každú mincu jedinečné...

A teraz mám najviac záujem Spýtaj sa: kde je hranica, za ktorou sa prvky multimnožiny menia na prvky množiny a naopak? Takáto línia neexistuje – o všetkom rozhodujú šamani, veda tu ani zďaleka neklame.

Pozri sa sem. Vyberáme futbalové štadióny s rovnakou rozlohou ihriska. Plochy polí sú rovnaké – čo znamená, že máme multiset. Ale keď sa pozrieme na názvy tých istých štadiónov, dostaneme ich veľa, pretože názvy sú rôzne. Ako vidíte, tá istá množina prvkov je množina aj multimnožina. Ktoré je správne? A tu matematik-šaman-sharpista vytiahne z rukáva tromfové eso a začne nám rozprávať buď o sade, alebo o multisete. V každom prípade nás presvedčí, že má pravdu.

Aby sme pochopili, ako moderní šamani pracujú s teóriou množín a spájajú ju s realitou, stačí odpovedať na jednu otázku: ako sa líšia prvky jednej množiny od prvkov inej množiny? Ukážem vám to bez akéhokoľvek „nemysliteľného ako jeden celok“ alebo „nemysliteľného ako jeden celok“.

Nedeľa 18. marca 2018

Súčet číslic čísla je tanec šamanov s tamburínou, ktorý nemá nič spoločné s matematikou. Áno, na hodinách matematiky nás učia nájsť súčet číslic čísla a použiť ho, ale preto sú šamani, aby naučili svojich potomkov ich zručnosti a múdrosti, inak šamani jednoducho vymrú.

Potrebujete dôkaz? Otvorte si Wikipédiu a skúste nájsť stránku „Súčet číslic čísla“. Ona neexistuje. V matematike neexistuje vzorec, ktorý by sa dal použiť na nájdenie súčtu číslic akéhokoľvek čísla. Čísla sú predsa grafické symboly, ktorými čísla píšeme a v jazyku matematiky znie úloha takto: „Nájdite súčet grafických symbolov reprezentujúcich ľubovoľné číslo.“ Matematici tento problém nedokážu vyriešiť, ale šamani to dokážu ľahko.

Poďme zistiť, čo a ako robíme, aby sme našli súčet číslic daného čísla. Majme teda číslo 12345. Čo je potrebné urobiť, aby sme našli súčet číslic tohto čísla? Zvážme všetky kroky v poradí.

1. Zapíšte si číslo na kúsok papiera. čo sme urobili? Číslo sme previedli na grafický číselný symbol. Toto nie je matematická operácia.

2. Jeden výsledný obrázok rozstriháme na niekoľko obrázkov obsahujúcich jednotlivé čísla. Vystrihnutie obrázka nie je matematická operácia.

3. Preveďte jednotlivé grafické symboly na čísla. Toto nie je matematická operácia.

4. Pridajte výsledné čísla. Teraz je to matematika.

Súčet číslic čísla 12345 je 15. Toto sú „kurzy strihania a šitia“, ktoré vyučujú šamani, ktoré používajú matematici. To však nie je všetko.

Z matematického hľadiska je jedno, v akej číselnej sústave číslo zapíšeme. Takže v rôznych systémov V kalkulácii sa súčet číslic toho istého čísla bude líšiť. V matematike sa číselný systém uvádza ako dolný index napravo od čísla. S Vysoké číslo 12345 Nechcem si klamať hlavu, pozrime sa na číslo 26 z článku o . Zapíšme toto číslo v dvojkovej, osmičkovej, desiatkovej a šestnástkovej sústave. Nebudeme sa na každý krok pozerať pod mikroskopom, to sme už urobili. Pozrime sa na výsledok.

Ako vidíte, v rôznych číselných sústavách je súčet číslic toho istého čísla rôzny. Tento výsledok nemá nič spoločné s matematikou. Je to rovnaké, ako keby ste určili plochu obdĺžnika v metroch a centimetroch, dostali by ste úplne iné výsledky.

Nula vyzerá rovnako vo všetkých číselných sústavách a nemá žiadny súčet číslic. To je ďalší argument v prospech skutočnosti, že. Otázka pre matematikov: ako sa v matematike označuje niečo, čo nie je číslo? Čo, pre matematikov neexistuje nič okrem čísel? Šamanom to môžem dovoliť, ale vedcom nie. Realita nie je len o číslach.

Získaný výsledok by sa mal považovať za dôkaz, že číselné sústavy sú jednotkami merania čísel. Nemôžeme predsa porovnávať čísla s rôznymi jednotkami merania. Ak rovnaké akcie s rôznymi jednotkami merania rovnakej veličiny vedú po ich porovnaní k rôznym výsledkom, potom to nemá nič spoločné s matematikou.

Čo je skutočná matematika? Je to vtedy, keď výsledok matematickej operácie nezávisí od veľkosti čísla, použitej mernej jednotky a od toho, kto túto akciu vykoná.

Nápis na dvere Otvára dvere a hovorí:

Oh! Nie je to dámska toaleta?
- Mladá žena! Toto je laboratórium na štúdium nečistej svätosti duší počas ich vzostupu do neba! Halo hore a šípka hore. Aký iný záchod?

Žena... Svätožiara navrchu a šípka dole sú mužské.

Ak sa vám takéto umelecké dielo mihne pred očami niekoľkokrát za deň,

Potom nie je prekvapujúce, že zrazu nájdete vo svojom aute zvláštnu ikonu:

Osobne sa snažím vidieť u kakajúceho človeka (jeden obrázok) mínus štyri stupne (kompozícia viacerých obrázkov: znamienko mínus, číslo štyri, označenie stupňov). A nemyslím si, že toto dievča je hlupák, ktorý nepozná fyziku. Má len silný stereotyp vnímania grafických obrázkov. A matematici nás to neustále učia. Tu je príklad.

1A nie je „mínus štyri stupne“ alebo „jedno a“. Toto je „kakajúci muž“ alebo číslo „dvadsaťšesť“ v šestnástkovej sústave. Tí ľudia, ktorí neustále pracujú v tomto číselnom systéme, automaticky vnímajú číslo a písmeno ako jeden grafický symbol.

Keď pracujeme s rôznymi výrazmi, ktoré obsahujú čísla, písmená a premenné, musíme vykonať veľké množstvo aritmetické operácie. Keď robíme konverziu alebo vypočítavame hodnotu, je veľmi dôležité dodržať správne poradie týchto akcií. Inými slovami, aritmetické operácie majú svoje vlastné špeciálne poradie vykonávania.

Yandex.RTB R-A-339285-1

V tomto článku vám povieme, ktoré akcie by ste mali vykonať ako prvé a ktoré potom. Najprv sa pozrime na pár jednoduchých výrazov, ktoré obsahujú len premenné resp číselné hodnoty, ako aj znamienka na delenie, násobenie, odčítanie a sčítanie. Potom si zoberme príklady so zátvorkami a zvážme, v akom poradí by sa mali počítať. V tretej časti uvedieme potrebné poradie transformácií a výpočtov v tých príkladoch, ktoré obsahujú znaky koreňov, mocniny a ďalšie funkcie.

Definícia 1

V prípade výrazov bez zátvoriek je poradie akcií určené jednoznačne:

Všetky akcie sa vykonávajú zľava doprava.
Najprv vykonáme delenie a násobenie a ako druhé odčítanie a sčítanie.

Význam týchto pravidiel je ľahko pochopiteľný. Tradičné poradie zápisu zľava doprava definuje základnú postupnosť výpočtov a nutnosť najprv násobiť alebo deliť je vysvetlená samotnou podstatou týchto operácií.

Pre názornosť si dáme niekoľko úloh. Použili sme len najjednoduchšie číselné výrazy, aby sa všetky výpočty dali robiť mentálne. Takto si rýchlo zapamätáte požadovanú objednávku a rýchlo skontrolujete výsledky.

Príklad 1

podmienka: vypočítaj, koľko to bude 7 − 3 + 6 .

Riešenie

V našom výraze nie sú žiadne zátvorky, neexistuje ani násobenie a delenie, takže všetky akcie vykonávame v určenom poradí. Najprv odpočítame tri od siedmich, potom k zvyšku pridáme šesť a dostaneme desať. Tu je prepis celého riešenia:

7 − 3 + 6 = 4 + 6 = 10

odpoveď: 7 − 3 + 6 = 10 .

Príklad 2

podmienka: v akom poradí by sa mali výpočty vykonať vo výraze? 6:2 8:3?

Riešenie

Aby sme odpovedali na túto otázku, znova si prečítajte pravidlo pre výrazy bez zátvoriek, ktoré sme sformulovali skôr. Máme tu len násobenie a delenie, čo znamená, že zachovávame písomné poradie výpočtov a počítame postupne zľava doprava.

odpoveď: Najprv vydelíme šesť dvomi, výsledok vynásobíme ôsmimi a výsledné číslo vydelíme tromi.

Príklad 3

podmienka: vypočítajte, koľko to bude 17 − 5 · 6: 3 − 2 + 4: 2.

Riešenie

Najprv si určme správne poradie operácií, keďže tu máme všetky základné typy aritmetických operácií – sčítanie, odčítanie, násobenie, delenie. Prvá vec, ktorú musíme urobiť, je deliť a násobiť. Tieto úkony nemajú pred sebou prednosť, preto ich vykonávame v písomnom poradí sprava doľava. To znamená, že 5 je potrebné vynásobiť 6, aby ste dostali 30, a potom 30 vydeliť 3, aby ste dostali 10. Potom vydeľte 4 2, toto je 2. Nahraďte nájdené hodnoty do pôvodného výrazu:

17 − 5 6: 3 − 2 + 4: 2 = 17 − 10 − 2 + 2

Už tu nie je delenie ani násobenie, takže zvyšné výpočty urobíme v poradí a dostaneme odpoveď:

17 − 10 − 2 + 2 = 7 − 2 + 2 = 5 + 2 = 7

odpoveď:17 − 5 6: 3 − 2 + 4: 2 = 7.

Kým si poradie vykonávania akcií pevne nezapamätáte, môžete nad znaky aritmetických operácií umiestniť čísla označujúce poradie výpočtu. Napríklad pre vyššie uvedený problém by sme to mohli napísať takto:

Ak máme doslovné výrazy, potom s nimi urobíme to isté: najprv násobíme a delíme, potom sčítame a odčítame.

Aké sú akcie prvej a druhej fázy?

Niekedy sú v referenčných knihách všetky aritmetické operácie rozdelené na akcie prvej a druhej fázy. Sformulujme potrebnú definíciu.

Operácie prvej fázy zahŕňajú odčítanie a sčítanie, druhá - násobenie a delenie.

Keď poznáme tieto mená, môžeme napísať vyššie uvedené pravidlo týkajúce sa poradia akcií takto:

Definícia 2

Vo výraze, ktorý neobsahuje zátvorky, musíte najprv vykonať akcie druhej fázy v smere zľava doprava, potom akcie prvej fázy (v rovnakom smere).

Poradie výpočtov vo výrazoch so zátvorkami

Samotné zátvorky sú znakom, ktorý nám hovorí o želanom poradí akcií. V tomto prípade správne pravidlo dá sa napísať takto:

Definícia 3

Ak sú vo výraze zátvorky, potom je prvým krokom vykonanie operácie v nich, po ktorej vynásobíme a rozdelíme a potom sčítame a odčítame zľava doprava.

Pokiaľ ide o samotný zátvorkový výraz, možno ho považovať za integrálnu súčasť hlavného výrazu. Pri výpočte hodnoty výrazu v zátvorke zachovávame rovnaký nám známy postup. Ilustrujme našu predstavu na príklade.

Príklad 4

podmienka: vypočítaj, koľko to bude 5 + (7 − 2 3) (6 − 4): 2.

Riešenie

V tomto výraze sú zátvorky, tak začnime nimi. Najprv si spočítajme, koľko bude 7 − 2 · 3. Tu musíme vynásobiť 2 x 3 a odpočítať výsledok od 7:

7 − 2 3 = 7 − 6 = 1

Výsledok vypočítame v druhej zátvorke. Máme len jednu akciu: 6 − 4 = 2 .

Teraz musíme výsledné hodnoty nahradiť pôvodným výrazom:

5 + (7 − 2 3) (6 − 4): 2 = 5 + 1 2: 2

Začnime násobením a delením, potom vykonajte odčítanie a získajte:

5 + 1 2: 2 = 5 + 2: 2 = 5 + 1 = 6

Týmto sú výpočty ukončené.

odpoveď: 5 + (7 − 2 3) (6 − 4): 2 = 6.

Nezľaknite sa, ak naša podmienka obsahuje výraz, v ktorom niektoré zátvorky uzatvárajú iné. Musíme iba dôsledne aplikovať vyššie uvedené pravidlo na všetky výrazy v zátvorkách. Zoberme si tento problém.

Príklad 5

podmienka: vypočítaj, koľko to bude 4 + (3 + 1 + 4 (2 + 3)).

Riešenie

Máme zátvorky v zátvorkách. Začíname s 3 + 1 + 4 · (2 + 3), konkrétne 2 + 3. Bude 5. Hodnotu bude potrebné nahradiť do výrazu a vypočítať, že 3 + 1 + 4 · 5. Pamätáme si, že najprv musíme vynásobiť a potom sčítať: 3 + 1 + 4 5 = 3 + 1 + 20 = 24. Nahradením nájdených hodnôt do pôvodného výrazu vypočítame odpoveď: 4 + 24 = 28 .

odpoveď: 4 + (3 + 1 + 4 · (2 + 3)) = 28.

Inými slovami, pri výpočte hodnoty výrazu, ktorý obsahuje zátvorky v zátvorkách, začíname vnútornými zátvorkami a postupujeme k vonkajším.

Povedzme, že potrebujeme zistiť, koľko bude (4 + (4 + (4 − 6: 2)) − 1) − 1. Začíname s výrazom vo vnútorných zátvorkách. Keďže 4 − 6: 2 = 4 − 3 = 1, pôvodný výraz možno zapísať ako (4 + (4 + 1) − 1) − 1. Znova sa pozrite na vnútorné zátvorky: 4 + 1 = 5. Prišli sme k výrazu (4 + 5 − 1) − 1 . Počítame 4 + 5 − 1 = 8 a výsledkom je rozdiel 8 - 1, ktorého výsledok bude 7.

Poradie výpočtu vo výrazoch s mocninami, odmocninami, logaritmami a inými funkciami

Ak naša podmienka obsahuje výraz so stupňom, odmocninou, logaritmom alebo goniometrická funkcia(sínus, kosínus, tangens a kotangens) alebo iné funkcie, potom najskôr vypočítame hodnotu funkcie. Potom konáme podľa pravidiel uvedených v predchádzajúcich odsekoch. Inými slovami, funkcie majú rovnakú dôležitosť ako výraz v zátvorkách.

Pozrime sa na príklad takéhoto výpočtu.

Príklad 6

podmienka: zistite, koľko je (3 + 1) · 2 + 6 2: 3 − 7.

Riešenie

Máme výraz so stupňom, ktorého hodnotu treba najskôr nájsť. Počítame: 6 2 = 36. Teraz dosadíme výsledok do výrazu, po ktorom bude mať tvar (3 + 1) · 2 + 36: 3 − 7.

(3 + 1) 2 + 36: 3 − 7 = 4 2 + 36: 3 − 7 = 8 + 12 − 7 = 13

odpoveď: (3 + 1) 2 + 6 2: 3 − 7 = 13.

V samostatnom článku venovanom výpočtom hodnôt výrazov uvádzame ďalšie, zložitejšie príklady výpočtov v prípade výrazov s odmocninami, stupňami a pod. Odporúčame sa s ním zoznámiť.

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter