Matematika pre programátorov: Teória pravdepodobnosti. Teória pravdepodobnosti a základné pojmy teórie Teória pravdepodobnosti kto

"Nehody nie sú náhodné" ... Znie to, ako povedal filozof, ale v skutočnosti je úlohou veľkej vedy matematiky študovať náhodnosť. V matematike sa teória náhody zaoberá náhodnosťou. V článku budú uvedené vzorce a príklady úloh, ako aj hlavné definície tejto vedy.

Čo je teória pravdepodobnosti?

Teória pravdepodobnosti je jednou z matematických disciplín, ktorá študuje náhodné udalosti.

Aby to bolo trochu jasnejšie, uveďme malý príklad: ak hodíte mincou nahor, môže padať „hlavy“ alebo „chvosty“. Pokiaľ je minca vo vzduchu, sú možné obe tieto možnosti. To znamená, že pravdepodobnosť možných následkov je 1: 1. Ak vytiahnete jednu z balíčka s 36 kartami, pravdepodobnosť bude označená ako 1:36. Zdalo by sa, že nie je čo skúmať a predpovedať, najmä pomocou matematických vzorcov. Napriek tomu, ak opakujete určitú činnosť mnohokrát, môžete identifikovať určitý vzorec a na jeho základe predpovedať výsledok udalostí v iných podmienkach.

Aby sme to všetko zhrnuli, teória pravdepodobnosti v klasickom zmysle študuje možnosť výskytu jednej z možných udalostí v číselnej hodnote.

Zo stránok histórie

Teória pravdepodobnosti, vzorce a príklady prvých úloh sa objavili v ďalekom stredoveku, keď sa prvýkrát pokúšali predpovedať výsledok kartových hier.

Spočiatku teória pravdepodobnosti nemala nič spoločné s matematikou. Bol založený na empirických faktoch alebo vlastnostiach udalosti, ktoré bolo možné reprodukovať v praxi. Prvé práce v tejto oblasti ako matematickej disciplíne sa objavili v 17. storočí. Zakladateľmi boli Blaise Pascal a Pierre Fermat. Dlho študovali hazardné hry a videli určité vzorce, o ktorých sa rozhodli povedať verejnosti.

Rovnakú techniku vynašiel Christian Huygens, aj keď nepoznal výsledky výskumu Pascala a Fermata. Zaviedol pojem „teória pravdepodobnosti“, vzorce a príklady, ktoré sú považované za prvé v histórii disciplíny.

Významné sú aj diela Jacoba Bernoulliho, Laplaceove a Poissonove teorémy. Urobili z teórie pravdepodobnosti skôr matematickú disciplínu. Teória pravdepodobnosti, vzorce a príklady základných úloh dostali dnešnú podobu vďaka Kolmogorovovým axiómam. V dôsledku všetkých zmien sa teória pravdepodobnosti stala jedným z matematických odvetví.

Základné pojmy teórie pravdepodobnosti. Diania

Hlavným konceptom tejto disciplíny je „event“. Existujú tri typy udalostí:

Dôveryhodný. Tie, ktoré sa aj tak stanú (minca padne).
nemožné. Udalosti, ktoré sa nestanú podľa žiadneho scenára (minca zostane visieť vo vzduchu).
Náhodný. Tie, ktoré sa stanú alebo nestanú. Môžu byť ovplyvnené rôznymi faktormi, ktoré je veľmi ťažké predvídať. Ak hovoríme o minci, potom náhodné faktory, ktoré môžu ovplyvniť výsledok: fyzikálne vlastnosti mince, jej tvar, počiatočná poloha, sila hodu atď.

Všetky udalosti v príkladoch sú označené veľkými latinskými písmenami, s výnimkou P, ktoré má inú úlohu. Napríklad:

A = "študenti prišli na prednášku."
Ā = "študenti neprišli na prednášku."

V praktických cvičeniach je zvykom zapisovať udalosti slovom.

Jednou z najdôležitejších charakteristík udalostí je ich rovnosť príležitostí. To znamená, že ak hodíte mincou, sú možné všetky varianty počiatočného pádu, kým nepadne. Ale ani udalosti nie sú rovnako možné. Stáva sa to vtedy, keď niekto konkrétne ovplyvňuje výsledok. Napríklad „označené“ hracie karty alebo kocky, v ktorých je posunuté ťažisko.

Udalosti sú tiež kompatibilné a nekompatibilné. Kompatibilné udalosti sa navzájom nevylučujú z výskytu. Napríklad:

A = "na prednášku prišiel študent."
B = "študent prišiel na prednášku."

Tieto udalosti sú na sebe nezávislé a vzhľad jednej z nich neovplyvňuje vzhľad druhej. Nezlučiteľné udalosti sú určené skutočnosťou, že vzhľad jedného vylučuje vzhľad druhého. Ak hovoríme o tej istej minci, potom vypadávajúce „chvosty“ znemožňujú, aby sa „hlavy“ objavili v rovnakom experimente.

Akcie na udalostiach

Udalosti je možné násobiť a pridávať, v disciplíne sú zavedené logické spojenia „AND“ a „ALEBO“.

Množstvo je určené skutočnosťou, že buď udalosť A, alebo B, alebo dve môžu nastať súčasne. V prípade, že sú nekompatibilné, posledná možnosť nie je možná, buď A alebo B.

Násobenie udalostí spočíva v objavení sa A a B súčasne.

Teraz môžete uviesť niekoľko príkladov, aby ste si lepšie zapamätali základy, teóriu pravdepodobnosti a vzorce. Ďalšie príklady riešenia problémov.

Cvičenie 1: Firma sa zúčastňuje súťaže o zákazky na tri druhy prác. Možné udalosti, ktoré môžu nastať:

A = "firma dostane prvú zmluvu."
A 1 = "firma nedostane prvú zmluvu."
B = "firma dostane druhú zmluvu."
B 1 = „firma nedostane druhú zákazku“
C = "firma dostane tretiu zmluvu."
C 1 = "firma nedostane tretiu zmluvu."

Pokúsme sa vyjadriť nasledujúce situácie pomocou akcií na udalostiach:

K = "firma dostane všetky zmluvy."

V matematickej forme bude rovnica vyzerať takto: K = ABC.

M = "firma nedostane ani jednu zákazku."

M = A1B1C1.

Komplikácia úlohy: H = "firma dostane jednu zákazku." Keďže nie je známe, akú zákazku firma dostane (prvú, druhú alebo tretiu), je potrebné zaznamenať celý rad možných udalostí:

Н = А 1 ВС 1 υ AB 1 С 1 υ А 1 В 1 С.

A 1 BC 1 je séria udalostí, kde firma nedostane prvú a tretiu zmluvu, ale dostane druhú. Ostatné možné udalosti boli zaznamenané zodpovedajúcou metódou. Symbol υ v disciplíne označuje prepojenie „ALEBO“. Ak uvedený príklad preložíme do ľudskej reči, tak firma dostane buď tretiu zákazku, alebo druhú, alebo prvú. Podobne si môžete zapísať ďalšie podmienky v disciplíne „Teória pravdepodobnosti“. Vyššie uvedené vzorce a príklady riešenia problémov vám pomôžu urobiť to sami.

Vlastne pravdepodobnosť

Možno je v tejto matematickej disciplíne ústredným pojmom pravdepodobnosť udalosti. Existujú 3 definície pravdepodobnosti:

klasický;
štatistické;
geometrický.

Každý má svoje miesto pri štúdiu pravdepodobností. Teória pravdepodobnosti, vzorce a príklady (stupeň 9) používajú hlavne klasickú definíciu, ktorá znie takto:

Pravdepodobnosť situácie A sa rovná pomeru počtu výsledkov, ktoré podporujú jej výskyt, k počtu všetkých možných výsledkov.

Vzorec vyzerá takto: P (A) = m / n.

A je vlastne udalosť. Ak existuje prípad opačný ako A, môže byť napísaný ako Ā alebo A 1.

m je počet možných priaznivých prípadov.

n - všetky udalosti, ktoré sa môžu stať.

Napríklad A = "vytiahnite kartu srdcovej farby." V štandardnom balíčku je 36 kariet, z toho 9 sŕdc. V súlade s tým bude vzorec na riešenie problému vyzerať takto:

P(A) = 9/36 = 0,25.

V dôsledku toho je pravdepodobnosť, že sa z balíčka vytiahne karta srdcovej farby, 0,25.

Smerom k vyššej matematike

Teraz je už trochu známe, čo je to teória pravdepodobnosti, vzorce a príklady riešenia úloh, s ktorými sa stretávame v školských osnovách. Teóriu pravdepodobnosti však nájdeme aj vo vyššej matematike, ktorá sa vyučuje na univerzitách. Najčastejšie pracujú s geometrickými a štatistickými definíciami teórie a zložitými vzorcami.

Teória pravdepodobnosti je veľmi zaujímavá. Je lepšie začať sa učiť vzorce a príklady (vyššia matematika) v malom - so štatistickým (alebo frekvenčným) vymedzením pravdepodobnosti.

Štatistický prístup nie je v rozpore s klasickým, ale mierne ho rozširuje. Ak v prvom prípade bolo potrebné určiť, s akou mierou pravdepodobnosti sa udalosť vyskytne, potom je potrebné pri tejto metóde uviesť, ako často sa bude vyskytovať. Tu uvádzame nový pojem „relatívna frekvencia“, ktorú možno označiť ako W n (A). Vzorec sa nelíši od klasického:

Ak sa na prognózovanie počíta klasický vzorec, potom štatistický – podľa výsledkov experimentu. Vezmite si napríklad malú úlohu.

Oddelenie technologickej kontroly kontroluje kvalitu výrobkov. Spomedzi 100 produktov sa zistilo, že 3 sú nekvalitné. Ako zistíte pravdepodobnosť frekvencie kvalitného produktu?

A = "vzhľad kvalitného produktu."

Wn(A) = 97/100 = 0,97

Frekvencia kvalitného produktu je teda 0,97. Odkiaľ máš 97? Zo 100 položiek, ktoré sme skontrolovali, sa zistilo, že 3 sú nekvalitné. Od 100 odpočítame 3, dostaneme 97, to je množstvo kvalitného tovaru.

Trochu o kombinatorike

Ďalšia metóda teórie pravdepodobnosti sa nazýva kombinatorika. Jeho základným princípom je, že ak určitý výber A možno urobiť m rôznymi spôsobmi a výber B n rôznymi spôsobmi, potom výber A a B možno vykonať násobením.

Napríklad z mesta A do mesta B vedie 5 ciest. Z mesta B do mesta C vedú 4 cesty. Koľkými spôsobmi sa môžete dostať z mesta A do mesta C?

Je to jednoduché: 5x4 = 20, čiže z bodu A do bodu C sa dá dostať dvadsiatimi rôznymi spôsobmi.

Skomplikujme si úlohu. Koľko spôsobov je možné hrať karty v solitaire? V balíčku je 36 kariet - to je východiskový bod. Ak chcete zistiť počet spôsobov, musíte "odčítať" jednu kartu od počiatočného bodu a vynásobiť.

To znamená, že 36x35x34x33x32 ... x2x1 = výsledok sa nezmestí na obrazovku kalkulačky, takže ho môžete jednoducho označiť ako 36 !. Podpíšte sa "!" vedľa čísla znamená, že celý rad čísel sa medzi sebou násobí.

V kombinatorike existujú pojmy ako permutácia, umiestnenie a kombinácia. Každý z nich má svoj vlastný vzorec.

Usporiadaná množina prvkov v množine sa nazýva usporiadanie. Umiestnenia sa môžu opakovať, to znamená, že jeden prvok možno použiť viackrát. A žiadne opakovanie, keď sa prvky neopakujú. n sú všetky prvky, m sú prvky, ktoré sa podieľajú na umiestnení. Vzorec pre umiestnenie bez opakovaní by bol:

A n m = n! / (N-m)!

Spojenia n prvkov, ktoré sa líšia iba poradím umiestnenia, sa nazývajú permutácie. V matematike je to: P n = n!

Kombinácie n prvkov podľa m sa nazývajú také zlúčeniny, pri ktorých je dôležité, o aké prvky išlo a aký bol ich celkový počet. Vzorec bude vyzerať takto:

A n m = n! / M! (N-m)!

Bernoulliho vzorec

V teórii pravdepodobnosti, ako v každej disciplíne, existujú práce vynikajúcich výskumníkov vo svojom odbore, ktorí ju posunuli na novú úroveň. Jednou z týchto prác je Bernoulliho vzorec, ktorý vám umožňuje určiť pravdepodobnosť výskytu určitej udalosti za nezávislých podmienok. To naznačuje, že objavenie sa A v experimente nezávisí od objavenia sa alebo neobjavenia sa rovnakej udalosti v predchádzajúcich alebo nasledujúcich testoch.

Bernoulliho rovnica:

Pn (m) = Cn m × p m × q n-m.

Pravdepodobnosť (p) výskytu udalosti (A) sa pre každý test nemení. Pravdepodobnosť, že situácia nastane presne m-krát v n počte experimentov, sa vypočíta podľa vzorca uvedeného vyššie. V súlade s tým vzniká otázka, ako zistiť číslo q.

Ak sa udalosť A vyskytne p toľkokrát, nemusí sa vyskytnúť. Jedna je číslo, ktoré sa používa na označenie všetkých výsledkov situácie v disciplíne. Preto q je číslo, ktoré označuje možnosť, že udalosť nenastane.

Teraz poznáte Bernoulliho vzorec (teóriu pravdepodobnosti). Ďalej sa budeme zaoberať príkladmi riešenia problémov (prvá úroveň).

Úloha 2: Návštevník predajne uskutoční nákup s pravdepodobnosťou 0,2. Do predajne samostatne vošlo 6 návštevníkov. Aká je pravdepodobnosť, že návštevník uskutoční nákup?

Riešenie: Keďže nie je známe, koľko návštevníkov by malo uskutočniť nákup, jeden alebo všetci šiesti, je potrebné vypočítať všetky možné pravdepodobnosti pomocou Bernoulliho vzorca.

A = "návštevník uskutoční nákup."

V tomto prípade: p = 0,2 (ako je uvedené v úlohe). V súlade s tým q = 1-0,2 = 0,8.

n = 6 (keďže v predajni je 6 zákazníkov). Číslo m sa zmení z 0 (žiadny zákazník nenakúpi) na 6 (všetci návštevníci obchodu niečo kúpia). V dôsledku toho dostaneme riešenie:

P6 (0) = Co6 x p0 x q6 = q6 = (0,8)6 = 0,2621.

Žiadny z kupujúcich neuskutoční nákup s pravdepodobnosťou 0,2621.

Ako inak sa používa Bernoulliho vzorec (teória pravdepodobnosti)? Príklady riešenia problémov (druhá úroveň) nižšie.

Po vyššie uvedenom príklade vyvstávajú otázky, kam sa podeli C a p. Vzhľadom na p sa číslo s mocninou 0 rovná jednej. Pokiaľ ide o C, možno ho nájsť podľa vzorca:

C n m = n! / m! (n-m)!

Keďže v prvom príklade m = 0, C = 1, čo v zásade neovplyvňuje výsledok. Pomocou nového vzorca sa pokúsme zistiť, aká je pravdepodobnosť, že si tovar kúpia dvaja návštevníci.

P6 (2) = C6 2 × p 2 × q 4 = (6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1) / (2 × 1 × 4 × 3 × 2 × 1) × (0,2) 2 × ( 0,8) 4 = 15 × 0,04 × 0,4096 = 0,246.

Teória pravdepodobnosti nie je až taká zložitá. Bernoulliho vzorec, ktorého príklady sú uvedené vyššie, je toho priamym dôkazom.

Poissonov vzorec

Poissonova rovnica sa používa na výpočet nepravdepodobných náhodných situácií.

Základný vzorec:

Pn (m) = λ m/m! x e (-A).

Navyše λ = n x p. Tu je taký jednoduchý Poissonov vzorec (teória pravdepodobnosti). Ďalej zvážime príklady riešenia problémov.

Zadanie 3: Závod vyrobil diely v množstve 100 000 kusov. Výskyt chybnej časti = 0,0001. Aká je pravdepodobnosť, že v dávke bude 5 chybných dielov?

Ako vidíte, manželstvo je nepravdepodobná udalosť, a preto sa na výpočet používa Poissonov vzorec (teória pravdepodobnosti). Príklady riešenia úloh tohto druhu sa nijako nelíšia od iných úloh disciplíny, potrebné údaje dosadíme do uvedeného vzorca:

A = "náhodne vybraný diel bude chybný."

p = 0,0001 (podľa podmienky úlohy).

n = 100 000 (počet dielov).

m = 5 (chybné diely). Dosadíme údaje do vzorca a dostaneme:

P 100 000 (5) = 10 5/5! Xe-io = 0,0375.

Rovnako ako Bernoulliho vzorec (teória pravdepodobnosti), príklady riešení, s ktorými sú napísané vyššie, aj Poissonova rovnica má neznáme e. V skutočnosti ju možno nájsť podľa vzorca:

е -λ = lim n -> ∞ (1-λ / n) n.

Existujú však špeciálne tabuľky, ktoré obsahujú takmer všetky hodnoty napr.

Moivre-Laplaceova veta

Ak je počet testov v Bernoulliho schéme dostatočne veľký a pravdepodobnosť výskytu udalosti A vo všetkých schémach je rovnaká, potom pravdepodobnosť výskytu udalosti A v určitom počte opakovaní v sérii testov možno nájsť pomocou Laplaceov vzorec:

Р n (m) = 1 / √npq x ϕ (X m).

Xm = m-np / √npq.

Aby ste si lepšie zapamätali Laplaceov vzorec (teória pravdepodobnosti), nižšie uvedené príklady problémov.

Najprv nájdeme X m, dosadíme údaje (všetky sú uvedené vyššie) do vzorca a dostaneme 0,025. Pomocou tabuliek nájdeme číslo ϕ (0,025), ktorého hodnota je 0,3988. Teraz môžete nahradiť všetky údaje vo vzorci:

R 800 (267) = 1/√ (800 x 1/3 x 2/3) x 0,3988 = 3/40 x 0,3988 = 0,03.

Takže pravdepodobnosť, že letáčik vystrelí presne 267-krát, je 0,03.

Bayesov vzorec

Bayesov vzorec (teória pravdepodobnosti), príklady riešenia problémov, pomocou ktorých budú uvedené nižšie, je rovnica, ktorá popisuje pravdepodobnosť udalosti na základe okolností, ktoré by s ňou mohli súvisieť. Základný vzorec vyzerá takto:

P (A | B) = P (B | A) x P (A) / P (B).

A a B sú určité udalosti.

P (A | B) - podmienená pravdepodobnosť, to znamená, že udalosť A môže nastať za predpokladu, že udalosť B je pravdivá.

P (B | A) - podmienená pravdepodobnosť udalosti B.

Takže záverečnou časťou krátkeho kurzu „Teória pravdepodobnosti“ je Bayesov vzorec, príklady riešení problémov, s ktorými sú uvedené nižšie.

Zadanie 5: Do skladu boli privezené telefóny od troch firiem. Zároveň je časť telefónov, ktoré sa vyrábajú v prvom závode, 25%, v druhom - 60%, v treťom - 15%. Je tiež známe, že priemerné percento chybných výrobkov v prvej továrni je 2%, v druhej - 4% a v tretej - 1%. Je potrebné nájsť pravdepodobnosť, že náhodne vybraný telefón sa ukáže ako chybný.

A = „náhodne vybraný telefón“.

B 1 - telefón, ktorý vyrobila prvá továreň. Podľa toho sa objaví vstup B 2 a B 3 (pre druhú a tretiu továreň).

V dôsledku toho dostaneme:

P(B1) = 25 % / 100 % = 0,25; P(B2) = 0,6; P (B 3) = 0,15 - teda sme zistili pravdepodobnosť každej možnosti.

Teraz musíte nájsť podmienené pravdepodobnosti požadovanej udalosti, to znamená pravdepodobnosť chybných produktov vo firmách:

P (A/B1) = 2 % / 100 % = 0,02;

P(A/B2) = 0,04;

P(A/B3) = 0,01.

Teraz zapojíme údaje do Bayesovho vzorca a získame:

P (A) = 0,25 x 0,2 + 0,6 x 0,4 + 0,15 x 0,01 = 0,0305.

Článok predstavuje teóriu pravdepodobnosti, vzorce a príklady riešenia problémov, no toto je len špička ľadovca obrovskej disciplíny. A po tom všetkom, čo bolo napísané, bude logické položiť si otázku, či je v živote potrebná teória pravdepodobnosti. Pre bežného človeka je ťažké odpovedať, lepšie je spýtať sa toho, kto s jej pomocou trafil jackpot viackrát.

Chýbať nebudú ani úlohy na samostatné riešenie, na ktoré si môžete pozrieť odpovede.

Teória pravdepodobnosti o typoch udalostí a pravdepodobnosti ich výskytu

Teória pravdepodobnosti študuje typy udalostí a pravdepodobnosť ich výskytu. Vznik teórie pravdepodobnosti sa datuje do polovice 17. storočia, keď sa matematici začali zaujímať o problémy hazardných hráčov a začali študovať udalosti, ako je zdanie výhry. V procese riešenia týchto problémov sa vykryštalizovali pojmy ako pravdepodobnosť a matematické očakávanie. Vtedajší vedci - Huygens (1629-1695), Pascal (1623-1662), Fermat (1601-1665) a Bernoulli (1654-1705) boli presvedčení, že na základe masívnych náhodných udalostí môžu vzniknúť jasné vzorce. Na výskum zároveň postačovali elementárne aritmetické a kombinatorické operácie.

Takže teória pravdepodobnosti vysvetľuje a skúma rôzne vzorce, ktoré riadia náhodné udalosti a náhodné premenné. Udalosť je akákoľvek skutočnosť, ktorú možno konštatovať ako výsledok pozorovania alebo skúsenosti. Pozorovanie alebo skúsenosť sa vzťahuje na realizáciu určitých podmienok, v ktorých sa môže udalosť uskutočniť.

Čo potrebujete vedieť, aby ste určili pravdepodobnosť výskytu udalosti

Všetky udalosti, ktoré ľudia pozorujú alebo si ich sami vytvárajú, sa delia na:

spoľahlivé udalosti;
nemožné udalosti;
náhodné udalosti.

Dôveryhodné udalosti nastať vždy, keď sa vytvoril určitý súbor okolností. Ak napríklad pracujeme, dostaneme za to odmenu, ak sme spravili skúšky a uspeli v súťaži, tak môžeme spoľahlivo počítať so započítaním do počtu študentov. Spoľahlivé deje možno pozorovať vo fyzike a chémii. V ekonómii sú spoľahlivé udalosti spojené s existujúcou sociálnou štruktúrou a legislatívou. Napríklad, ak sme vložili peniaze do banky na vklad a vyjadrili želanie, aby sme ich dostali v určitom časovom období, potom peniaze dostaneme. Dá sa to považovať za spoľahlivú udalosť.

Nemožné udalosti rozhodne nenastanú, ak bol vytvorený určitý súbor podmienok. Voda napríklad nezamŕza, ak je teplota plus 15 stupňov Celzia, výroba sa bez elektriny nezaobíde.

Náhodné udalosti keď sa splní určitý súbor podmienok, môžu a nemusia. Napríklad, ak si raz hodíme mincou, erb môže, ale nemusí padnúť, môžete vyhrať žrebom, ale nemôžete vyhrať, vyrobený výrobok môže byť dobrý alebo môže byť chybný. Objavenie sa chybnej položky je náhodná udalosť, zriedkavejšia ako výroba dobrých položiek.

Očakávaná frekvencia výskytu náhodných udalostí úzko súvisí s pojmom pravdepodobnosť. Zákonitosti výskytu a neexistencie náhodných udalostí skúma teória pravdepodobnosti.

Ak je súbor nevyhnutných podmienok implementovaný iba raz, potom dostávame nedostatočné informácie o náhodnej udalosti, pretože môže, ale nemusí nastať. Ak je súbor podmienok implementovaný mnohokrát, potom sa objavia určité zákonitosti. Napríklad nikdy nie je možné vedieť, ktorý kávovar v predajni bude ďalší zákazník vyžadovať, ale ak sú známe značky dlhodobo najžiadanejších kávovarov, potom je možné na základe týchto údajov organizovať výroby alebo ponuky na uspokojenie dopytu.

Znalosť zákonov, ktorými sa riadia masívne náhodné udalosti, umožňuje predpovedať, kedy tieto udalosti nastanú. Napríklad, ako už bolo spomenuté vyššie, výsledok hodu mincou nemožno predvídať vopred, ale ak sa minca hodí mnohokrát, znak možno predvídať. Chyba môže byť malá.

Metódy teórie pravdepodobnosti sú široko používané v rôznych odvetviach prírodných vied, teoretickej fyziky, geodézie, astronómie, teórie automatizovaného riadenia, teórie pozorovania chýb a v mnohých ďalších teoretických a praktických vedách. Teória pravdepodobnosti sa široko používa v plánovaní a organizácii výroby, analýze kvality produktov, analýze procesov, poisťovníctve, štatistike obyvateľstva, biológii, balistike a ďalších odvetviach.

Náhodné udalosti sa zvyčajne označujú veľkými písmenami latinskej abecedy A, B, C atď.

Náhodné udalosti môžu byť:

nekonzistentné;
kĺb.

Udalosti A, B, C ... sa nazývajú nekonzistentné ak v dôsledku jedného testu môže nastať jedna z týchto udalostí, ale výskyt dvoch alebo viacerých udalostí je nemožný.

Ak výskyt jednej náhodnej udalosti nevylučuje výskyt inej udalosti, potom sa takéto udalosti volajú kĺb ... Napríklad, ak je z dopravného pásu odstránená ďalšia časť a udalosť A znamená „časť spĺňa normu“ a udalosť B znamená „časť nespĺňa normu“, potom A a B sú nezlučiteľné udalosti. Ak udalosť C znamená „prebratá časť II. stupňa“, potom je táto udalosť kombinovaná s udalosťou A, ale nezlučiteľná s udalosťou B.

Ak by sa v každom pozorovaní (teste) mala vyskytnúť jedna a len jedna z nekonzistentných náhodných udalostí, potom tieto udalosti tvoria kompletný súbor (systém) udalostí .

Dôveryhodná udalosť je začiatok aspoň jednej udalosti z celého súboru udalostí.

Ak udalosti, ktoré tvoria úplný súbor udalostí párovo nekompatibilné , potom v dôsledku pozorovania môže nastať iba jedna z týchto udalostí. Študent musí napríklad vyriešiť dve úlohy testu. Jedno a len jedno z nasledovného sa určite stane:

prvá úloha bude vyriešená a druhá úloha nebude vyriešená;
druhá úloha bude vyriešená a prvá úloha nebude vyriešená;
obe úlohy budú vyriešené;
žiadna z úloh nebude vyriešená.

Tieto udalosti sa tvoria celý rad nekonzistentných udalostí .

Ak sa celý súbor udalostí skladá iba z dvoch nekompatibilných udalostí, potom sa volajú vzájomne opačné alebo alternatíva diania.

Udalosť opačná k udalosti je označená. Napríklad v prípade jedného hodu mincou sa môže objaviť nominálna hodnota () alebo štátny znak ().

Udalosti sú tzv rovnako možné ak žiadna z nich nemá objektívne výhody. Takéto udalosti tiež tvoria úplný súbor udalostí. To znamená, že v dôsledku pozorovania alebo testovania musí určite nastať aspoň jedna z rovnako možných udalostí.

Napríklad ucelenú skupinu udalostí tvorí strata nominálnej hodnoty a znaku pri jednom hode mincou, prítomnosť 0, 1, 2, 3 a viac ako 3 chýb na jednej vytlačenej strane textu.

Klasické a štatistické pravdepodobnosti. Pravdepodobnostné vzorce: klasické a štatistické

Klasická definícia pravdepodobnosti. Príležitosť alebo priaznivý prípad je prípad, keď sa naplní určitý súbor okolností udalosti A stať sa. Klasická definícia pravdepodobnosti zahŕňa priamy výpočet počtu priaznivých prípadov alebo príležitostí.

Pravdepodobnosť udalosti A je pomer počtu priaznivých príležitostí pre túto udalosť k počtu všetkých rovnako možných nezlučiteľných udalostí N ktoré sa môžu vyskytnúť ako výsledok jedného pokusu alebo pozorovania. Vzorec pravdepodobnosti diania A:

Ak je úplne jasné o pravdepodobnosti, o akej udalosti hovoríme, potom sa pravdepodobnosť označuje malým písmenom p bez uvedenia označenia udalosti.

Na výpočet pravdepodobnosti podľa klasickej definície je potrebné nájsť počet všetkých rovnako možných nekonzistentných udalostí a určiť, koľko z nich vyhovuje definícii udalosti. A.

Príklad 1 Nájdite pravdepodobnosť, že dostanete číslo 5 ako výsledok hodu kockou.

Riešenie. Je známe, že všetkých šesť tvárí má rovnakú možnosť byť na vrchole. Číslo 5 je vyznačené len na jednej strane. Počet všetkých rovnako možných nesúrodých udalostí je 6, z toho iba jedna výhodná príležitosť pre číslo 5 ( M= 1). To znamená, že požadovaná pravdepodobnosť získania čísla 5

Príklad 2 Krabička obsahuje 3 červené a 12 bielych guličiek rovnakej veľkosti. Jedna lopta bola odobratá bez pozerania. Nájdite pravdepodobnosť, že padne červená guľa.

Riešenie. Hľadá sa pravdepodobnosť

Nájdite pravdepodobnosti sami a potom sa pozrite na riešenie

Príklad 3 Hodí sa kocka. Udalosť B- vypadlo párne číslo. Vypočítajte pravdepodobnosť tejto udalosti.

Príklad 5. V urne je 5 bielych a 7 čiernych loptičiek. 1 loptička sa náhodne vytiahne. Udalosť A- vytiahne sa biela guľa. Udalosť B- ťahá sa čierna guľa. Vypočítajte pravdepodobnosť týchto udalostí.

Klasická pravdepodobnosť sa tiež nazýva predchádzajúca pravdepodobnosť, pretože sa vypočítava pred začiatkom testu alebo pozorovania. Z apriórneho charakteru klasickej pravdepodobnosti vyplýva jej hlavná nevýhoda: len v ojedinelých prípadoch, už pred začiatkom pozorovania, je možné vypočítať všetky rovnako možné nekompatibilné udalosti, vrátane priaznivých udalostí. Takéto príležitosti zvyčajne vznikajú v situáciách podobných hrám.

Kombinácie. Ak poradie udalostí nie je dôležité, počet možných udalostí sa vypočíta ako počet kombinácií:

Príklad 6. V skupine je 30 študentov. Traja študenti by si mali ísť na oddelenie informatiky vyzdvihnúť a priniesť počítač a projektor. Vypočítajte pravdepodobnosť, že to urobia traja konkrétni žiaci.

Riešenie. Počet možných udalostí sa vypočíta pomocou vzorca (2):

Pravdepodobnosť, že na oddelenie pôjdu traja konkrétni študenti:

Príklad 7. V predaji 10 mobilných telefónov. Sú 3 z nich, ktoré majú chyby. Kupujúci si vybral 2 telefóny. Vypočítajte pravdepodobnosť, že oba vybrané telefóny budú chybné.

Riešenie. Počet všetkých rovnako možných udalostí zistíme podľa vzorca (2):

Pomocou rovnakého vzorca nájdeme počet príležitostí priaznivých pre udalosť:

Hľadanie pravdepodobnosti, že oba vybrané telefóny budú chybné:

Nájdite pravdepodobnosť sami a potom sa pozrite na riešenie

Príklad 8. Lístky na skúšku obsahujú 40 otázok, ktoré sa neopakujú. Študent pripravil odpovede na 30 z nich. Každý tiket obsahuje 2 otázky. Aká je pravdepodobnosť, že študent pozná odpovede na obe otázky na lístku?

Mnohí, keď čelia konceptu „teórie pravdepodobnosti“, dostanú strach, mysliac si, že je to niečo ohromujúce, veľmi ťažké. Ale v skutočnosti nie je všetko také tragické. Dnes zvážime základný koncept teórie pravdepodobnosti, naučíme sa riešiť problémy pomocou konkrétnych príkladov.

Veda

Čo študuje taký odbor matematiky ako „teória pravdepodobnosti“? Zaznamenáva vzory a množstvá. Prvýkrát sa vedci o túto problematiku začali zaujímať už v osemnástom storočí, keď študovali hazardné hry. Základným pojmom teórie pravdepodobnosti je udalosť. Ide o akúkoľvek skutočnosť, ktorá je zistená skúsenosťou alebo pozorovaním. Ale čo je skúsenosť? Ďalší základný koncept teórie pravdepodobnosti. Znamená to, že tento súbor okolností nebol vytvorený náhodou, ale za konkrétnym účelom. Pokiaľ ide o pozorovanie, tu sa samotný výskumník nezúčastňuje experimentu, ale je jednoducho svedkom týchto udalostí, žiadnym spôsobom neovplyvňuje to, čo sa deje.

Diania

Dozvedeli sme sa, že základným pojmom teórie pravdepodobnosti je udalosť, ale neuvažovali sme o klasifikácii. Všetky spadajú do nasledujúcich kategórií:

Dôveryhodný.
nemožné.
Náhodný.

Bez ohľadu na to, aké udalosti sa pozorujú alebo vytvárajú v priebehu experimentu, všetky podliehajú tejto klasifikácii. Pozývame vás, aby ste sa zoznámili s každým z typov samostatne.

Dôveryhodná udalosť

Toto je taká okolnosť, pred ktorou bol prijatý potrebný súbor opatrení. Aby sme lepšie pochopili podstatu, je lepšie uviesť niekoľko príkladov. Fyzika, chémia, ekonómia a vyššia matematika podliehajú tomuto zákonu. Teória pravdepodobnosti zahŕňa taký dôležitý pojem, akým je spoľahlivá udalosť. Tu je niekoľko príkladov:

Pracujeme a dostávame odmenu vo forme mzdy.
Dobre sme zvládli skúšky, zvládli súťaž, za čo dostávame odmenu v podobe prijatia do vzdelávacej inštitúcie.
Peniaze sme investovali do banky, v prípade potreby ich vrátime.

Takéto udalosti sú dôveryhodné. Ak sme splnili všetky potrebné podmienky, tak sa určite dočkáme očakávaného výsledku.

Nemožné udalosti

Teraz sa pozrieme na prvky teórie pravdepodobnosti. Navrhujeme prejsť na vysvetlenie ďalšieho typu udalosti, konkrétne nemožné. Na začiatok si stanovme najdôležitejšie pravidlo – pravdepodobnosť nemožnej udalosti je nulová.

Od tejto formulácie sa pri riešení problémov nemožno odchýliť. Pre objasnenie uvádzame príklady takýchto udalostí:

Voda zamrzla pri teplote plus desať (to je nemožné).
Nedostatok elektriny nijako neovplyvňuje výrobu (rovnako nemožné ako v predchádzajúcom príklade).

Nemá cenu uvádzať viac príkladov, pretože vyššie opísané veľmi jasne odrážajú podstatu tejto kategórie. Počas zážitku sa za žiadnych okolností nikdy nestane nemožná udalosť.

Náhodné udalosti

Pri štúdiu prvkov je potrebné venovať osobitnú pozornosť tomuto konkrétnemu typu udalosti. Práve ich študuje táto veda. V dôsledku zážitku sa môže niečo stať alebo nie. Okrem toho môže byť test vykonaný neobmedzený počet krát. Nápadné príklady sú:

Hod mincou je zážitok alebo skúška, pád hlavy je udalosť.
Vytiahnutie loptičky z vrecka naslepo je skúška, chytí sa červená loptička – toto je udalosť atď.

Takýchto príkladov môže byť neobmedzený počet, ale vo všeobecnosti by mala byť podstata jasná. Na zhrnutie a systematizáciu získaných poznatkov o udalostiach je uvedená tabuľka. Teória pravdepodobnosti študuje len posledné druhy zo všetkých prezentovaných.

titul	definícia
Dôveryhodný	Udalosti vyskytujúce sa so 100% zárukou za určitých podmienok.	Prijatie do vzdelávacej inštitúcie s dobrým zložením prijímacej skúšky.
nemožné	Udalosti, ktoré sa za žiadnych okolností nikdy nestanú.	Sneží pri teplote vzduchu plus tridsať stupňov Celzia.
Náhodný	Udalosť, ktorá môže alebo nemusí nastať počas experimentu/testu.	Zasiahnutie alebo chýbanie pri hádzaní basketbalovej lopty do koša.

Zákony

Teória pravdepodobnosti je veda, ktorá skúma možnosť výskytu udalosti. Rovnako ako ostatné, má určité pravidlá. Existujú nasledujúce zákony teórie pravdepodobnosti:

Konvergencia postupností náhodných premenných.
Zákon veľkých čísel.

Pri výpočte možnosti komplexu môžete použiť súbor jednoduchých udalostí na dosiahnutie výsledku jednoduchším a rýchlejším spôsobom. Všimnite si, že zákony teórie pravdepodobnosti sa dajú ľahko dokázať pomocou niektorých teorémov. Odporúčame vám, aby ste sa najskôr oboznámili s prvým zákonom.

Konvergencia postupností náhodných premenných

Všimnite si, že existuje niekoľko typov konvergencie:

Postupnosť náhodných premenných konverguje v pravdepodobnosti.
Takmer nemožné.
Konvergencia koreňovej strednej hodnoty.
Konvergencia v distribúcii.

Takže za behu je veľmi ťažké pochopiť podstatu. Tu je niekoľko definícií, ktoré vám pomôžu pochopiť túto tému. Na začiatok prvý pohľad. Sekvencia je tzv konvergujúce v pravdepodobnosti, ak je splnená nasledujúca podmienka: n smeruje k nekonečnu, číslo, ku ktorému postupnosť smeruje, je väčšie ako nula a blíži sa k jednotke.

Prejdime na ďalší formulár, takmer určite... Hovorí sa, že postupnosť konverguje takmer určite k náhodnej premennej, pretože n smeruje k nekonečnu a P smeruje k hodnote blízkej jednotke.

Ďalší typ je RMS konvergencia... Pri použití SK-konvergencie sa štúdium vektorových stochastických procesov redukuje na štúdium ich súradnicových stochastických procesov.

Zostáva posledný typ, stručne si ho rozoberme, aby sme pristúpili priamo k riešeniu problémov. Konvergencia v distribúcii má ešte jeden názov - „slabá“, nižšie vysvetlíme prečo. Slabá konvergencia Je konvergencia distribučných funkcií vo všetkých bodoch kontinuity limitnej distribučnej funkcie.

Určite dodržíme svoj sľub: slabá konvergencia sa od všetkých vyššie uvedených líši tým, že náhodná premenná nie je definovaná na pravdepodobnostnom priestore. Je to možné, pretože stav sa vytvára výlučne pomocou distribučných funkcií.

Zákon veľkých čísel

Teorémy teórie pravdepodobnosti, ako napríklad:

Čebyševova nerovnosť.
Čebyševova veta.
Zovšeobecnená Čebyševova veta.
Markovova veta.

Ak vezmeme do úvahy všetky tieto teorémy, potom sa táto otázka môže natiahnuť na niekoľko desiatok strán. Našou hlavnou úlohou je aplikovať teóriu pravdepodobnosti v praxi. Odporúčame vám to urobiť hneď teraz a urobiť to. Predtým však zvážte axiómy teórie pravdepodobnosti, budú hlavnými pomocníkmi pri riešení problémov.

Axiómy

S prvým sme sa už stretli, keď sme hovorili o nemožnej udalosti. Pamätajme: pravdepodobnosť nemožnej udalosti je nulová. Uviedli sme veľmi názorný a nezabudnuteľný príklad: snežilo pri teplote vzduchu tridsať stupňov Celzia.

Druhá je nasledovná: spoľahlivá udalosť nastane s pravdepodobnosťou rovnajúcou sa jednej. Teraz si ukážeme, ako to napísať pomocou matematického jazyka: P (B) = 1.

Po tretie: Náhodná udalosť sa môže alebo nemusí stať, ale možnosť sa vždy mení od nuly do jednej. Čím je hodnota bližšia k jednej, tým väčšia je šanca; ak sa hodnota blíži nule, pravdepodobnosť je veľmi malá. Napíšme to v matematickom jazyku: 0<Р(С)<1.

Zoberme si poslednú, štvrtú axiómu, ktorá znie takto: pravdepodobnosť súčtu dvoch udalostí sa rovná súčtu ich pravdepodobností. V matematickom jazyku píšeme: P (A + B) = P (A) + P (B).

Axiómy teórie pravdepodobnosti sú najjednoduchšie pravidlá, ktoré nebude ťažké si zapamätať. Pokúsme sa vyriešiť niektoré problémy, spoliehajúc sa na už získané vedomosti.

Lístok do lotérie

Začnime tým, že sa pozrieme na najjednoduchší príklad – lotériu. Predstavte si, že ste si kúpili jeden žreb pre šťastie. Aká je pravdepodobnosť, že vyhráte aspoň dvadsať rubľov? Celkovo sa žrebovania zúčastňuje tisíc lístkov, z ktorých jeden má cenu päťsto rubľov, desať za sto rubľov, päťdesiat za dvadsať rubľov a sto za päť. Problémy pravdepodobnosti sú založené na hľadaní príležitosti na šťastie. Teraz spoločne analyzujeme riešenie vyššie uvedenej úlohy.

Ak označíme výhru päťsto rubľov písmenom A, potom pravdepodobnosť získania A bude 0,001. Ako sme to získali? Stačí vydeliť počet „šťastných“ tiketov ich celkovým počtom (v tomto prípade: 1/1000).

B je výhra sto rubľov, pravdepodobnosť bude 0,01. Teraz sme konali na rovnakom princípe ako v predchádzajúcej akcii (10/1000)

С - výhry sa rovnajú dvadsiatim rubľov. Nájdeme pravdepodobnosť, rovná sa 0,05.

Ostatné lístky nás nezaujímajú, pretože ich výherný fond je nižší ako ten, ktorý je uvedený v podmienke. Aplikujme štvrtú axiómu: Pravdepodobnosť výhry aspoň dvadsiatich rubľov je P (A) + P (B) + P (C). Písmeno P označuje pravdepodobnosť výskytu tejto udalosti, našli sme ich už v predchádzajúcich akciách. Zostáva len doplniť potrebné údaje, v odpovedi dostaneme 0,061. Toto číslo bude odpoveďou na otázku úlohy.

Balíček kariet

Problémy teórie pravdepodobnosti môžu byť zložitejšie, zoberme si napríklad nasledujúcu úlohu. Tu je balíček tridsiatich šiestich kariet. Vašou úlohou je ťahať dve karty za sebou bez toho, aby ste zamiešali kôpku, prvá a druhá karta musia byť esá, na farbe nezáleží.

Najprv nájdime pravdepodobnosť, že prvou kartou bude eso, preto vydelíme štyri tridsiatimi šiestimi. Odložili to bokom. Vyťahujeme druhú kartu, bude to eso s pravdepodobnosťou tri tridsiate pätiny. Pravdepodobnosť druhej udalosti závisí od toho, ktorú kartu vytiahneme ako prvú, zaujímalo by nás, či to bolo eso alebo nie. Z toho vyplýva, že udalosť B závisí od udalosti A.

Ďalším krokom je zistenie pravdepodobnosti súčasného výskytu, to znamená, že vynásobíme A a B. Ich súčin nájdeme nasledovne: pravdepodobnosť jednej udalosti sa vynásobí podmienenou pravdepodobnosťou inej udalosti, ktorú vypočítame za predpokladu, že prvá sa stala udalosť, to znamená, že s prvou kartou sme si vytiahli eso.

Aby bolo všetko jasné, dáme takému prvku označenie ako udalosti. Vypočíta sa za predpokladu, že udalosť A nastala. Vypočítané takto: P (B / A).

Pokračujme v riešení nášho problému: P (A * B) = P (A) * P (B / A) alebo P (A * B) = P (B) * P (A / B). Pravdepodobnosť je (4/36) * ((3/35) / (4/36). Vypočítajte, zaokrúhlite na najbližšiu stotinu. Máme: 0,11 * (0,09 / 0,11) = 0,11 * 0, 82 = 0,09 Pravdepodobnosť že vytiahneme dve esá za sebou sa rovná deväť stotín Hodnota je veľmi malá, čo znamená, že pravdepodobnosť výskytu udalosti je extrémne malá.

Zabudnuté číslo

Navrhujeme analyzovať niekoľko ďalších možností úloh, ktoré študuje teória pravdepodobnosti. Príklady riešenia niektorých ste už videli v tomto článku, skúsme vyriešiť nasledujúci problém: chlapec zabudol poslednú číslicu telefónneho čísla svojho priateľa, ale keďže hovor bol veľmi dôležitý, začal postupne vytáčať všetko. Musíme vypočítať pravdepodobnosť, že nezavolá viac ako trikrát. Riešenie problému je najjednoduchšie, ak sú známe pravidlá, zákony a axiómy teórie pravdepodobnosti.

Skôr ako sa pozriete na riešenie, skúste ho vyriešiť sami. Vieme, že posledná číslica môže byť od nuly do deviatky, to znamená, že existuje iba desať hodnôt. Pravdepodobnosť získania požadovaného je 1/10.

Ďalej musíme zvážiť možnosti pôvodu udalosti, predpokladajme, že chlapec uhádol správne a okamžite napísal požadovanú udalosť, pravdepodobnosť takejto udalosti je 1/10. Druhá možnosť: prvý hovor je zmeškaný a druhý je na cieľ. Vypočítajme pravdepodobnosť takejto udalosti: vynásobíme 9/10 1/9, nakoniec dostaneme tiež 1/10. Tretia možnosť: prvý a druhý hovor bol na nesprávnej adrese, až z tretieho sa chlapec dostal tam, kam chcel. Vypočítame pravdepodobnosť takejto udalosti: vynásobíme 9/10 8/9 a 1/8, dostaneme 1/10. Iné možnosti nás podľa stavu problému nezaujímajú, preto musíme získané výsledky sčítať, nakoniec máme 3/10. Odpoveď: Pravdepodobnosť, že chlapec nezavolá viac ako trikrát, je 0,3.

Karty s číslami

Pred vami je deväť kariet, z ktorých každá má napísané číslo od jedna do deväť, čísla sa neopakujú. Boli vložené do krabice a dôkladne premiešané. Musíte vypočítať pravdepodobnosť, že

vypadne párne číslo;
dvojciferný.

Predtým, ako pristúpime k riešeniu, určme, že m je počet úspešných prípadov a n je celkový počet možností. Nájdite pravdepodobnosť, že číslo bude párne. Nebude ťažké vypočítať, že existujú štyri párne čísla, toto bude naše m, celkovo je možných deväť možností, teda m = 9. Potom je pravdepodobnosť 0,44 alebo 4/9.

Zoberme si druhý prípad: počet možností je deväť, ale nemôže dôjsť k žiadnym úspešným výsledkom, to znamená, že m sa rovná nule. Pravdepodobnosť, že vytiahnutá karta bude obsahovať dvojciferné číslo, je tiež nulová.

Klasická definícia pravdepodobnosti je založená na koncepte pravdepodobnostná skúsenosť, alebo pravdepodobnostný experiment. Jeho výsledkom je jeden z viacerých možných výstupov, tzv elementárne výsledky a nie je dôvod očakávať, že nejaký elementárny výsledok sa pri opakovaní pravdepodobnostného experimentu objaví častejšie ako ostatné. Uvažujme napríklad o pravdepodobnostnom experimente s hodom kockou. Výsledkom tejto skúsenosti je jeden zo 6 bodov nakreslených po stranách kocky.

V tomto experimente teda existuje 6 základných výsledkov:

a každý z nich je rovnako očakávaný.

Udalosť v klasickom pravdepodobnostnom experimente je ľubovoľná podmnožina množiny elementárnych výsledkov. V uvažovanom príklade hodu kockou je udalosťou napríklad párny počet bodov, ktorý pozostáva z elementárnych výsledkov.

Pravdepodobnosť udalosti je číslo:

kde je počet základných výsledkov, ktoré tvoria udalosť (niekedy hovoria, že ide o počet základných výsledkov, ktoré podporujú výskyt udalosti) a je počet všetkých základných výsledkov.

V našom príklade:

Kombinatorické prvky.

Pri popise mnohých pravdepodobnostných experimentov možno elementárne výsledky stotožniť s jedným z nasledujúcich predmetov kombinatoriky (náuky o konečných množinách).

Permutácia z čísel sa nazýva ľubovoľný usporiadaný záznam týchto čísel bez opakovaní. Napríklad pre množinu troch čísel existuje 6 rôznych permutácií:

, , , , , .

Pre ľubovoľný počet permutácií je

(súčin po sebe idúcich čísel prirodzených čísel, počnúc od 1).

Kombinácia softvéru sa nazýva ľubovoľná neusporiadaná kolekcia ľubovoľných prvkov množiny. Napríklad pre množinu troch čísel existujú 3 rôzne kombinácie 3 až 2:

Pre ľubovoľný pár je počet kombinácií od a rovný

napr.

Hypergeometrické rozdelenie.

Zvážte nasledujúcu pravdepodobnostnú skúsenosť. Je tam čierna krabica s bielymi a čiernymi guličkami. Loptičky majú rovnakú veľkosť a sú na dotyk nerozoznateľné. Experiment spočíva v náhodnom vyberaní loptičiek. Udalosť, ktorej pravdepodobnosť je potrebné nájsť, je taká, že tieto loptičky sú biele a ostatné sú čierne.

Vypočítajme všetky gule s číslami od 1 do. Nech čísla 1, ¼ zodpovedajú bielym guličkám a čísla ¼ čiernym guličkám. Základným výsledkom tohto zážitku je neusporiadaný súbor prvkov zo sady, teda kombinácia prvkov. Preto existujú všetky základné výsledky.

Nájdite počet základných výsledkov, ktoré podporujú výskyt udalosti. Zodpovedajúce sady sa skladajú z „bielych“ a „čiernych“ čísel. Môžete si vybrať čísla z "bielych" čísel spôsobmi a čísla z "čiernych" - spôsobmi. Biele a čierne súpravy je možné ľubovoľne kombinovať, takže sú tu len elementárne výsledky priaznivé pre podujatie.

Pravdepodobnosť udalosti je

Výsledný vzorec sa nazýva hypergeometrické rozdelenie.

Úloha 5.1. Krabica obsahuje 55 podmienených a 6 chybných dielov rovnakého typu. Aká je pravdepodobnosť, že medzi tromi náhodne vybranými dielmi bude aspoň jeden chybný?

Riešenie. Celkovo je 61 detailov, berieme 3. Elementárny výsledok je kombinácia 61 až 3. Počet všetkých elementárnych výsledkov je rovnaký. Priaznivé výsledky sú rozdelené do troch skupín: 1) sú to výsledky, v ktorých 1 časť je chybná a 2 sú dobré; 2) 2 diely sú chybné a 1 je dobrý; 3) všetky 3 diely sú chybné. Počet sád prvého typu je rovnaký, počet sád druhého typu je rovnaký, počet sád tretieho typu je rovnaký. V dôsledku toho elementárne výsledky podporujú výskyt udalosti. Pravdepodobnosť udalosti je

Algebra udalostí

Priestor elementárnych udalostí sa nazýva súbor všetkých elementárnych výsledkov súvisiacich s danou skúsenosťou.

Suma dve udalosti sa nazýva udalosť, ktorá pozostáva z elementárnych výsledkov patriacich k udalosti alebo udalosti.

Podľa produktu dve udalosti sa nazýva udalosť pozostávajúca z elementárnych výstupov patriacich súčasne k udalostiam a.

Udalosti a sa nazývajú nekonzistentné ak.

Podujatie sa volá opak udalosť, ak je udalosť uprednostňovaná všetkými tými základnými výsledkami, ktoré do udalosti nepatria. Najmä, ,.

Sumárna veta.

Najmä .

Podmienená pravdepodobnosť udalosti, za predpokladu, že sa udalosť stala, sa nazýva pomer počtu elementárnych výsledkov prislúchajúcich priesečníku k počtu elementárnych výsledkov, ku ktorým prislúcha. Inými slovami, podmienená pravdepodobnosť udalosti je určená klasickým pravdepodobnostným vzorcom, v ktorom je nový pravdepodobnostný priestor. Podmienená pravdepodobnosť udalosti je označená cez.

TEOREM o produkte. ...

Udalosti sú tzv nezávislý, ak . Pre nezávislé udalosti dáva veta o súčine vzťah.

Nasledujúce dva vzorce sú dôsledkom vety o súčte a súčine.

Vzorec celkovej pravdepodobnosti. Celá skupina hypotéz je ľubovoľná množina nekompatibilných udalostí,, ¼,, v súčte tvoriacom celý pravdepodobnostný priestor:

V tejto situácii pre ľubovoľnú udalosť platí vzorec, ktorý sa nazýva vzorec celkovej pravdepodobnosti,

kde je Laplaceova funkcia,,. Laplaceova funkcia je tabuľková a jej hodnoty pre danú funkciu možno nájsť v akejkoľvek učebnici teórie pravdepodobnosti a matematickej štatistiky.

Úloha 5.3. Je známe, že vo veľkej sérii dielov je 11 % chybných dielov. Na overenie sa vyberie 100 dielov. Aká je pravdepodobnosť, že medzi nimi nie je viac ako 14 chybných? Odhadnite odpoveď pomocou Moivre-Laplaceovej vety.

Riešenie. Máme do činenia s Bernoulliho testom, kde,,. Úspech je definovaný ako nájdenie chybnej časti a počet úspechov spĺňa nerovnosť. teda

Priamy výpočet poskytuje:

, , , , , , , , , , , , , , .

Preto, . Teraz použijeme Moivre-Laplaceovu integrálnu vetu. Dostaneme:

Pomocou tabuľky hodnôt funkcie, berúc do úvahy nepárnosť funkcie, získame

Približná chyba výpočtu nepresahuje.

Náhodné premenné

Náhodná premenná je numerická charakteristika pravdepodobnostnej skúsenosti, ktorá je funkciou elementárnych výsledkov. Ak,, ¼, existuje súbor elementárnych výsledkov, potom náhodná premenná je funkcia. Je však pohodlnejšie charakterizovať náhodnú premennú uvedením všetkých jej možných hodnôt a pravdepodobností, s ktorými túto hodnotu nadobúda.

Takáto tabuľka sa nazýva zákon rozdelenia náhodnej premennej. Keďže udalosti tvoria ucelenú skupinu, zákon pravdepodobnostnej normalizácie je naplnený

Matematické očakávanie alebo stredná hodnota náhodnej premennej je číslo, ktoré sa rovná súčtu súčinov hodnôt náhodnej premennej zodpovedajúcich pravdepodobností.

Rozptyl (stupeň rozšírenia hodnôt okolo matematického očakávania) náhodnej premennej je matematickým očakávaním náhodnej premennej,

Dá sa to ukázať

Veľkosť

sa nazýva stredná kvadratická odchýlka náhodnej premennej.

Distribučná funkcia pre náhodnú premennú má pravdepodobnosť, že sa dostane do množiny, tzn

Je to nezáporná, neklesajúca funkcia nadobúdajúca hodnoty od 0 do 1. Pre náhodnú premennú s konečnou množinou hodnôt je to po častiach konštantná funkcia s diskontinuitami druhého druhu v bodoch stavov. V tomto prípade je súvislá vľavo a.

Úloha 5.4. Postupne sa hádžu dve kocky. Ak na jednej kocke vypadne jeden, tri alebo päť bodov, hráč stráca 5 rubľov. Keď padnú dva alebo štyri body, hráč dostane 7 rubľov. Pri strate šiestich bodov hráč stráca 12 rubľov. Náhodná hodnota X pri dvoch hodoch kockou je zisk hráča. Nájdite distribučný zákon X, vykreslite distribučnú funkciu, nájdite matematické očakávanie a rozptyl X.

Riešenie. Najprv sa zamyslime nad tým, aká je odmena hráča pri jednom hode kockou. Nech sa udalosť skladá z 1, 3 alebo 5 bodov. Potom a výhrami budú ruble. Nech sa udalosť skladá z 2 alebo 4 bodov. Potom a výhrami budú ruble. Nakoniec nech udalosť znamená pokles o 6 bodov. Potom sa cena rovná rubľom.

Teraz zvážime všetky možné kombinácie udalostí a dvoma hodmi kockou a určíme hodnoty výhier pre každú takúto kombináciu.

Ak došlo k udalosti, potom súčasne.

Podobne pre získame,.

Všetky nájdené stavy a celkové pravdepodobnosti týchto stavov sú zapísané do tabuľky:

Kontrolujeme splnenie zákona pravdepodobnostnej normalizácie: na reálnej čiare musíte vedieť určiť pravdepodobnosť náhodnej premennej spadajúcej do tohto intervalu 1) a rýchlo klesajúcej o, ¼,

Teória pravdepodobnosti je odvetvie matematiky, ktoré študuje zákony náhodných javov: náhodné udalosti, náhodné premenné, ich vlastnosti a operácie s nimi.

Teória pravdepodobnosti dlho nemala jasnú definíciu. Bol sformulovaný až v roku 1929. Vznik teórie pravdepodobnosti ako vedy sa pripisuje stredoveku a prvým pokusom o matematickú analýzu hazardných hier (mince, kocky, ruleta). Francúzski matematici 17. storočia Blaise Pascal a Pierre Fermat, ktorí skúmali predpovede výhier v hazardných hrách, objavili prvé zákony pravdepodobnosti vyplývajúce z hádzania kockami.

Teória pravdepodobnosti vznikla ako veda z presvedčenia, že určité vzorce ležia v srdci náhodných hromadných udalostí. Teória pravdepodobnosti študuje tieto vzorce.

Teória pravdepodobnosti sa zaoberá štúdiom udalostí, ktorých výskyt nie je s určitosťou známy. Umožňuje vám posúdiť mieru pravdepodobnosti výskytu niektorých udalostí v porovnaní s inými.

Napríklad: nie je možné jednoznačne určiť výsledok získania „hlavy“ alebo „chvosta“ v dôsledku hodu mincou, ale pri opakovanom hádzaní vypadne približne rovnaký počet „hlavy“ a „chvosta“, čo znamená že pravdepodobnosť získania „hlavy“ alebo „chvosta“ „Je rovná 50 %.

Test v tomto prípade sa nazýva realizácia určitého súboru podmienok, teda v tomto prípade hod mincou. Výzvu je možné hrať neobmedzený počet krát. V tomto prípade komplex podmienok zahŕňa náhodné faktory.

Výsledok testu je udalosť... Udalosť sa koná:

Dôveryhodné (vždy sa to stane ako výsledok testu).
Nemožné (nikdy sa to nestane).
Náhodné (môže alebo nemusí nastať v dôsledku testu).

Napríklad, keď sa hodí minca, nemožná udalosť – minca bude na hrane, náhodná udalosť – padanie „hláv“ alebo „chvostov“. Konkrétny výsledok testu je tzv elementárna udalosť... Výsledkom testu sú iba elementárne udalosti. Nazýva sa súhrn všetkých možných, rôznych, špecifických výsledkov testov priestor elementárnych udalostí.

Základné pojmy teórie

Pravdepodobnosť- miera možnosti vzniku udalosti. Keď dôvody pre nejakú možnú udalosť skutočne nastanú prevažujú nad opačnými dôvodmi, potom sa udalosť nazýva pravdepodobná, inak - nepravdepodobná alebo nepravdepodobná.

Náhodná hodnota je hodnota, ktorá v dôsledku testovania môže nadobudnúť určitú hodnotu a nie je vopred známe, ktorá. Napríklad: počet na hasičskú stanicu za deň, počet zásahov s 10 ranami atď.

Náhodné premenné možno rozdeliť do dvoch kategórií.

Diskrétna náhodná premenná je veličina, ktorá v dôsledku testu môže s určitou pravdepodobnosťou nadobudnúť určité hodnoty a vytvoriť tak počítateľnú množinu (množinu, ktorej prvky možno očíslovať). Táto množina môže byť konečná aj nekonečná. Napríklad počet výstrelov pred prvým zásahom do cieľa je diskrétna náhodná premenná, od r táto hodnota môže nadobudnúť nekonečný, aj keď spočítateľný počet hodnôt.
Spojitá náhodná premenná nazýva sa také množstvo, ktoré môže nadobudnúť akékoľvek hodnoty z určitého konečného alebo nekonečného intervalu. Je zrejmé, že počet možných hodnôt spojitej náhodnej premennej je nekonečný.

Priestor pravdepodobnosti- koncept zavedený A.N. Kolmogorov v 30. rokoch XX. storočia formalizoval pojem pravdepodobnosti, čo dalo podnet k rýchlemu rozvoju teórie pravdepodobnosti ako prísnej matematickej disciplíny.

Pravdepodobný priestor je trojica (niekedy ohraničená lomenými zátvorkami:, kde

Ide o ľubovoľnú množinu, ktorej prvky sa nazývajú elementárne udalosti, výsledky alebo body;
- sigma-algebra podmnožín nazývaných (náhodné) udalosti;
- pravdepodobnostná miera alebo pravdepodobnosť, t.j. sigma-aditívna konečná miera taká, že.

Moivre-Laplaceova veta- jedna z limitných viet teórie pravdepodobnosti, ktorú založil Laplace v roku 1812. Tvrdí, že počet úspechov s viacnásobným opakovaním toho istého náhodného experimentu s dvoma možnými výsledkami má približne normálne rozdelenie. Umožňuje vám nájsť približnú hodnotu pravdepodobnosti.

Ak sa pre každý z nezávislých testov pravdepodobnosť výskytu nejakej náhodnej udalosti rovná () a je to počet testov, v ktorých k nej skutočne dôjde, potom je pravdepodobnosť nerovnosti blízka (pre veľkú) hodnote Laplaceovho integrálu.

Distribučná funkcia v teórii pravdepodobnosti- funkcia, ktorá charakterizuje rozdelenie náhodnej premennej alebo náhodného vektora; pravdepodobnosť, že náhodná premenná X nadobudne hodnotu menšiu alebo rovnú x, kde x je ľubovoľné reálne číslo. Ak sú splnené určité podmienky, úplne určuje náhodnú premennú.

Očakávaná hodnota- priemerná hodnota náhodnej premennej (ide o rozdelenie pravdepodobnosti náhodnej premennej, uvažované v teórii pravdepodobnosti). V anglickojazyčnej literatúre sa v ruštine označuje ako -. V štatistike sa často používa zápis.

Nech je daný pravdepodobnostný priestor a náhodná premenná na ňom definovaná. To znamená, že podľa definície je to merateľná funkcia. Potom, ak existuje Lebesgueov integrál nadpriestoru, potom sa nazýva matematické očakávanie alebo stredná hodnota a označuje sa.

Rozptyl náhodnej premennej- miera šírenia danej náhodnej veličiny, teda jej odchýlky od matematického očakávania. Uvádza sa v ruskej literatúre aj v zahraničnej literatúre. V štatistike sa často používa označenie alebo. Druhá odmocnina rozptylu sa nazýva štandardná odchýlka, štandardná odchýlka alebo štandardná odchýlka.

Nech je náhodná premenná definovaná na určitom pravdepodobnostnom priestore. Potom

kde symbol označuje matematické očakávanie.

V teórii pravdepodobnosti sa nazývajú dve náhodné udalosti nezávislý ak výskyt jedného z nich nemení pravdepodobnosť výskytu druhého. Podobne sa nazývajú dve náhodné premenné závislý ak hodnota jednej z nich ovplyvňuje pravdepodobnosť hodnôt druhej.

Najjednoduchšou formou zákona veľkých čísel je Bernoulliho veta, ktorá hovorí, že ak je pravdepodobnosť udalosti rovnaká vo všetkých pokusoch, potom so zvyšujúcim sa počtom pokusov sa frekvencia udalosti približuje k pravdepodobnosti udalosti. udalosť a prestáva byť náhodná.

Zákon veľkých čísel v teórii pravdepodobnosti uvádza, že aritmetický priemer konečnej vzorky z pevného rozdelenia je blízky teoretickému strednému matematickému očakávaniu tohto rozdelenia. Podľa typu konvergencie sa rozlišuje slabý zákon veľkých čísel, kedy dochádza ku konvergencii pravdepodobnosti, a silný zákon veľkých čísel, kedy je konvergencia takmer istá.

Všeobecný význam zákona veľkých čísel je, že spoločné pôsobenie veľkého počtu rovnakých a nezávislých náhodných faktorov vedie k výsledku, ktorý nezávisí od prípadu v limite.

Na tejto vlastnosti sú založené metódy odhadu pravdepodobnosti založené na analýze konečnej vzorky. Názorným príkladom je prognóza výsledkov volieb na základe prieskumu na vzorke voličov.

Centrálne limitné vety- trieda viet v teórii pravdepodobnosti, ktorá tvrdí, že súčet dostatočne veľkého počtu slabo závislých náhodných premenných s približne rovnakými škálami (žiadny z členov nedominuje, nemá určujúci príspevok k súčtu) má rozdelenie blízko k normálu.

Keďže mnohé náhodné premenné v aplikáciách vznikajú pod vplyvom niekoľkých slabo závislých náhodných faktorov, ich rozdelenie sa považuje za normálne. V tomto prípade musí byť splnená podmienka, že žiadny z faktorov nie je dominantný. Centrálne limitné vety v týchto prípadoch oprávňujú použitie normálneho rozdelenia.