Teorem je potrebno in zadostno stanje vpisano kvadransko. Vpisano in opisano v bližini kvadranskega kroga

Konveksni kvadričnik A B C D (DisplayStyle DisplayStyle ABCD) Nato je napisana in le, če se v količini dobijo nasprotni koti v količini, to je.

A + C \u003d B + D \u003d π \u003d 180 ∘. (DisplayStyle A + C \u003d B + D \u003d PI \u003d 180 ^ (Cir).)

Teorem je bil Ponudba 22. V knjigi 3 Euclide Start. . Ekvivalent, konveksni kvadril je vpisan, če in samo, če je sosednji kot enak nasprotnemu notranjemu vogalu.

P Q \u003d A C + B D. (DisplaySyle DisplayStyle PQ \u003d AC + BD.)

Če sta dva ravna, od katere vsebuje segment Ac., in drugo - rezano BD.seka na točki Str.Potem štiri točke A., B., C., D. Ležite na krogu in samo takrat

P ⋅ p c \u003d b p ⋅ p d. (DisplayStyle AP CDOT PC \u003d BP CDOT PD.)

Točka križišča Str. Lahko leži tako znotraj kot iz kroga. V prvem primeru bo vpisan kvadrat ABCD.in v drugem - vpisanem quadril ABDC.. Če se križišče nahaja znotraj, enakost pomeni, da je produkt segmentov, na katerega je točka Str. delimo eno diagonalno, enako produktu segmentov druge diagonale. Ta izjava je znana kot teorem na križanju akordov Ker so diagonale vpisane štirje, so akordi opisanega kroga.

Konveksni kvadričnik ABCD. je nato vpisan in samo kdaj

Tan \u2061 2 TAN \u2061 C2 \u003d TAN \u2061 B 2 TAN \u2061 D 2 \u003d 1. (Razkazijo TAN (FRAC (A) (2)) TAN (FRAC (C) (2)) \u003d Tan (FRAC (B) (2)) TAN (FRAC (D) (2)) \u003d 1.)

Območje

S \u003d (P - A) (P-B) (P-C) (P-D) (DisplayStyle S \u003d (SQRT ((P-A) (P-B) (P-C) (P-D)))))

Vpisani kvadrilator ima največjo območje med vsemi štirikoletniki, ki imajo enako zaporedje dolžin strani. To je drugačna posledica razmerja bretenider. Izjava se lahko dokaže s pomočjo matematične analize.

Štiri neenake dolžine, od katerih je vsaka manjša od količine drugih treh, so strani treh, ki niso izolirane kvadrat, in na Brahmagupta formula, vse te trikotnike imajo isto območje. Zlasti za stranke a., b., c. in d. Stran a. Morda nasprotno od katere koli strani b., c. ali d.. Vsaka dva od teh treh vpisanih kvadratnih trgovcev imata diagonalo enake dolžine.

Območje vpisane štiri juhe z doslednimi strankami a., b., c., d. in kot B. Med strankami a. in b. Lahko izrazite formulo

S \u003d 1 2 (A B + C D) Sin \u2061 B (DisplayStyle S \u003d (TFRAC (1) (2)) (AB + CD) Sin (B)) S \u003d 1 2 (C + B d) Sin \u2061 θ (DisplayStyle S \u003d (TFRAC (1) (2)) (AC + BD) SIN (THETA))

kje θ - Vsak kot med diagonali. Če je vogal A. ni neposredna, območje se lahko izrazi s formulo

S \u003d 1 4 (A 2 - B 2 - C2 + D 2) TAN \u2061 a. (DisplayStyle S \u003d (tfrac (1) (4)) (a ^ (2) -b ^ (2) -C ^ (2) + D ^ (2)) TAN (A).) S \u003d 2 R2 Sin \u2061 Sin \u2061 b Sin \u2061 θ (DisplayStyle S \u003d 2R ^ (2) Sin (A) Sin (B) Sin (ETA)) S ≤ 2R2 (DisplayStyle S LEQ 2R ^ (2)),

in neenakost se spremeni v enakost v tem in samo, ko je Quadrolon kvadrat.

Diagonalo

Z vozlišči A., B., C., D. (v določenem zaporedju) in stranke a. = Ab., b. = BC., c. = Cd. in d. = Da. Diagonalne dolžine str. = Ac. in q. = BD. lahko izražajo s strankami

P \u003d (A C + B D) (D + B C) A B + C D (Prikaz p \u003d (Sqrt (AC + BD) (AD + BC)) (AB + CD)))) Q \u003d (A C + B D) (A B + C D) D + B C (Displaystyle Q \u003d (Sqrt ((AC + BD) (AD + CD)) (AD + BC)))) P Q \u003d A C + B D. (DisplayStyle PQ \u003d AC + BD.)

Po navedbah drugi ptolemijo teorem ,

P Q \u003d A D + B C A B + C D (DisplayStyle (Frac (P) (q)) \u003d (Frac (AD + BC) (AD + CD)))

z istimi simboli kot prej.

Za količino diagonal imamo neenakost

P + Q ≥ 2 A C + B D. (DisplayStyle P + Q GEQ 2 (SQRT (AC + BD)).)

Neenakost postane enaka v tem in samo, če ima diagonala enako dolžino, ki se lahko prikaže z uporabo neenakosti med povprečno aritmetično in srednje geometrijo.

(P + Q) 2 ≤ (A + C) 2 + (B + D) 2. (DisplaySyle (P + Q) ^ (2) LEQ (A + C) ^ (2) + (B + D) ^ (2).)

V kateri koli konveksni štirinajbi, dve diagonali delita štirikotni trikotnik. V pridobičenem kvadrisu so nasprotni pari teh štirih trikotnikov podobni.

Če M. in N. srednje številčnice diagonal Ac. in BD.T.

M n e f \u003d 1 2 | A C B D - B D A C | (DisplaySyle (Frac (MN) (EF)) \u003d (Frac (1) (2)) Levo | (Frac (AC) (BD) (BD)) - (Frac (BD) (AC)) \\ t |)

kje E. in F. - točka presečišča nasprotnih strani.

Če ABCD. - vpisan kvadrat in Ac. Prečkanje BD. Na točki Str.T.

P C P \u003d A B C B ⋅ D D D. (DisplaySyle (Frac (AP) (CP)) \u003d (Frac (AB) (CB)) CDOT (FRAC (AD) (CD) (CD)).)

Corner formulas.

a., b., c., d., polprosti s. in kot A. Med strankami a. in d. Trigonometrične funkcije vogala A. enako

cos \u2061 a \u003d a 2 + D 2 - B 2 - C22 (AD + BC), (DisplayStyle COS A \u003d (Frac (A ^ (2) + D ^ (2) -b ^ (2) -C ^ (2)) (2 (AD + BC))), " Sin \u2061 A \u003d 2 (S - A) (S-B) (S-C) (S-D) (AD + BC), (DisplayStyle Sin A \u003d (Frac (2 (SQRT (SQRT (S2) (Sb) (SD) (SD)))) ((AD + BC))),) TAN \u2061 A 2 \u003d (S-A) (S-D) (S-B) (S-C). (DisplayStyle Tan (Frac (A) (2)) \u003d (SKT (S-A) (S-D)) ((S-B) (S-C))).).).)

Za vogal θ med diagonali se izvaja

Tan \u2061 θ 2 \u003d (S-B) (S-D) (S-A) (S-C). (DisplayStyle Tan (Frac (frac) (2)) \u003d (SKT (ST-B) (S-D)) ((S-A) (S-C))).)

Če nadaljujete nasprotne strani a. in c. Križ pod kotom φ (DisplayStyle PHI) T.

cos \u2061 φ 2 \u003d (S-B) (S-D) (B + D) 2 (AD + CD) (AD + BC) (DisplacSyle COS (FRAC (PHI) (2)) \u003d (\\ t Sqrt (Frac ((SB) (SD) (B + D) ^ (2)) ((AD + CD) (AD + BC)))))))

Parameshwara Formula

Za inscribd štiri-sprožilec s strankami a., b., c., d. (v določenem zaporedju) in pol-različice s. Polmer opisanega kroga) je nastavljen s formulo

R \u003d 1 4 (A B + C D) (A C + B D) (D + B C) (S-A) (S-B) (S-C) (S-D). (DisplayStyle R \u003d (Frac (1) (4)) (Sqrt (AD + CD) (AC + BD) (AD + BC)) ((SA) (SB) (SB) (SD) \\ t ))).)

Formulo je vodila indijski matematik Vatasterije Parameshwara. V 15. stoletju.

Če je diagonala vpisana v štirikolestne seka na točki Str., in sredi diagonale - V. in W., potem je anticenter kvadrila je orto središče trikotnika VWP.In tock Centroid je sredi segmenta, ki povezuje sredino diagonal.

V pričakovani kvadrilatement "Centroid Square" G A., "Centroid Verkhin" G V. in križišče Str. Diagonale ležijo na eni ravni liniji. Za razdalje med temi točkami se izvede enakost

P g a \u003d 4 3 p g v. (DisplayStyle PG_ (A) \u003d (TFRAC (4) (3)) PG_ (V).)

Druge nepremičnine

• V pridobljenem kvadrobju ABCD. s središčem opisanega kroga O. Naj bo. Str. - Diagonalna presečišče Ac. in BD.. Potem je kotiček Apb. je srednje veliki aritmetični koti Aob. in COD.. To je neposredna posledica izreka o vpisanem premogu in teoremi na zunanjem kotu trikotnika.

• Če je vpisan kvadrilater dolžine strank, ki tvorijo aritmetično napredovanje, potem je tudi Quadril zunaj opisana.

Fragmagons brahmagupta.

Quadricon Brahmagupta. - To je vpisana štiristranska s celoglasnimi dolžinami strani, celoštevilne dolžine diagonal in celoštevilčne površine. Vsi štirje sprožilci brahmagupta s strankami a, B, C, D, diagonale e, F., S in polmer opisanega kroga R. lahko dobite tako, da se znebite imenovalca v naslednjih izrazih (z racionalnimi parametri t., u. in v.):

A \u003d [T (U + V) + (1 - U V)] [U + V - T (1 - U V)] (DisplayStyle A \u003d) B \u003d (1 + U 2) (V - T) (1 + T V) (DisplayStyle B \u003d (1 + U ^ (2)) (V-T) (1 + TV)) C \u003d T (1 + U 2) (1 + V2) (DisplayStyle C \u003d T (1 + U ^ (2)) (1 + V ^ (2))) D \u003d (1 + V 2) (U-T) (1 + T U) (DisplayStyle D \u003d (1 + V ^ (2)) (U-T) (1 + TU)) E \u003d u (1 + t 2) (1 + v 2) (displaystyle e \u003d u (1 + t ^ (2)) (1 + v ^ (2))) F \u003d V (1 + T 2) (1 + U 2) (DisplayStyle F \u003d V (1 + T ^ (2)) (1 + U ^ (2))) S \u003d UV [2 T (1 - UV) - (U + V) (1 - T2)] [2 (U + V) T + (1 - UV) (1 - T2)] (DisplayStyle S \u003d Uv) 4 R \u003d (1 + U 2) (1 + V 2) (1 + T2). (DisplayStyle 4R \u003d (1 + U ^ (2)) (1 + V ^ (2)) (1 + T ^ (2)).)

Lastnosti ortoddomanalnih pridobljenih kvadratnih trgovcev

Opisano območje in polmer kroga

Pustite za vpisano štiri-koronalno sredstvo, ki je tudi ortoddomanalni (i.e., ki imajo pravokotne diagonale), prečkanje diagonalov deli eno diagonalno dolžino segmentov str. 1 I. str. 2, in še en deli na dolžini segmentov q. 1 I. q. 2. \\ T Potem (prva enakost je Predlog 11. V knjigah Arhimeds "Lemma")

D 2 \u003d P 1 2 + P 2 2 + Q 1 2 + Q 2 2 \u003d A 2 + C2 \u003d B 2 + D 2 (DisplayStyle D ^ (2) \u003d P_ (1) ^ (2) + P_ ( 2) ^ (2) + q_ (1) ^ (2) + q_ (2) ^ (2) \u003d a ^ (2) + c ^ (2) \u003d b ^ (2) + d ^ (2)),

kje D. -

ali, po straneh kvadrika

R \u003d 1 2 A 2 + C2 \u003d 1 2 B 2 + D 2. (DisplayStyle R \u003d (TFRAC (1) (2)) (SQRT (A ^ (2) + C ^ (2))) \u003d (TFRAC (1) (2) (2)) (SQRT (B ^ (B ^ \\ t 2) + D ^ (2))).)

Od tu sledi tudi to

A 2 + B2 + C2 + D 2 \u003d 8R2. (DisplayStyle A ^ (2) + B ^ (2) + C ^ (2) + D ^ (2) \u003d 8R ^ (2).)

Po podatkih Eulerja lahko polmer lahko izrazimo skozi diagonalno str. in q. in razdaljo x. med sredino diagonal

R \u003d P 2 + Q 2 + 4 x 2 8. (DisplayStyle R \u003d (SQRT (Frac (P ^ (2) + q ^ (2) + 4x ^ (2)) (8)).).).)

Formula za kvadrat K. Vpisana ortoddinalna štiri-juha lahko dobimo neposredno prek strank, če združujejo Ptolemy Therem (glej zgoraj) in formulo ortodinalno-rjavega območja. Kot rezultat, dobimo

Literatura.

• Claudi Alsina, Roger Nelsen. Ko je manj: vizualizacija osnovnih neenakosti, poglavje 4.3 ciklične, tangencialne in bicentrične kvadrilale. - Matematično združenje Amerike, 2009. - ISBN 978-0-88385-342-9.
• Claudi Alsina, Roger B. Nelsen. O diagonalinah cikličnega kvadrilateralnega foruma Geometrichorum. - 2007. - T. 7.
• Nathan Altshiller-Court. Geometrija kolegija: Uvod v moderno geometrijo trikotnika in kroga. - 2. \\ T - Kurirski dover, 2007. - ISBN 978-0-486-45805-2. (Org. 1952)
• \u003d Titu Andreescu, Bogdan Ensscu. .
• Harold Scott Macdonald Coxeter, Samuel L. Greitzer. Geometrija je ponovno pregledana. 3.2 Ciklične kvadranke; Brahmagupta "s formula. - Matematično združenje Amerike, 1967. - ISBN 978-0-88385-619-2. Prenos G. S. M. KOKSTETER, S. L. GRAIPZER. Nova srečanja z geometrijo. 3.2 Vpisani kvadris; Brahmagupta Therem. - Moskva: "Znanost", 1978. - (Knjižnica matematičnega kroga).
• Crux Mathematicorum. Neenakosti, predlagane v. Crux Mathematicorum.. - 2007.
• D. FRAIVERT. Teorija vpisanega štirikotnik in kroga, ki oblikuje Pascal točke // Journal of Mathematical Singice: predujmi in aplikacije. - 2016. - T. 42. - P. 81-107. - DOI: 10.18642 / JMSAA_7100121742.
• C. V. DURELL, A. ROBSON. Napredna trigonometrija. - Kurirski dover, 2003. - ISBN 978-0-486-43229-8. (Orig. 1930)
• Mowfaqaq Hajja. Pogoj za omejevalno štirikotnik, ki je Cyclic // Forum Geometrichorum. - 2008. - T. 8.
• Larry Hoehn. Ciklični kvadrilateralni // matematični gladina. - 2000. - T. 84, izdaja. 499. marec.
• Ross Honsberger. Epizode v devetnajstem in Triquentieth Century Euclidean Geometrija. - Cambridge University Press, 1995. - T. 37. - (nova matematična knjižnica). - ISBN 978-0-88385-639-0.
• Roger A. Johnson. Napredna evklidska geometrija. - Dover PUBL, 2007. (Orig. 1929)
• Thomas Peter. Maksimiranje območja kvadrilateralne // akaded matematika Journal. - 2003. - T. 34, Vol. 4. september.
• Alfred S. Posamenter, Charles T. Salkind. Izziv problemov v geometriji. - 2. \\ T - Kurirski dover, 1970. - ISBN 978-0-486-69154-1. Poglavje: Rešitve: 4-23 Dokaži, da je vsota vsote kvadratov izvedenih pravokotnih akordov enaka kvadratu mera premera danega kroga.

• , Prevod iz ruskega V.V. Prasolov. Naloge za planimotrijo. Vadnica. - 5.. - Moskva: McNMO OAO "Moscow učbeniki", 2006. - ISBN 5-94057-214-6

Quadrangle je vpisan v krog, če vse njegove torte ležijo na tem krogu. Tak krog je opisan v bližini kvadranskega.

Ker ni mogoče opisati vsakega kvadrilaterala v bližini kroga, ne morejo vsi vstopiti v krog.

Konveksni kvadrilateralni, vpisani v krogu, ima lastnost: njegovi nasprotni koti v količini je 180 °. Torej, če je Quadrilater ABCD dana, v katerem je kot A nasproti kotu C, in kot B B je nasproti kota D, nato ∠a + ∠c \u003d 180 ° in ∠b + ∠d \u003d 180 ° .

Na splošno, če je en par nasprotnih kotov kvadratnega v količini 180 °, bo drugi par v količini enak. To izhaja iz dejstva, da je v konveksni štipendilu vsota kotov vedno enaka 360 °. Po drugi strani pa to dejstvo izhaja iz dejstva, da v konveksnih poligonih se vsota kotov določi s formulo 180 ° * (N-2), kjer je n število kotov (ali strani).

Možno je dokazati lastnost vključenega kvadranskega na naslednji način. Pustite, da se ABCD Quadrilater vnese v krog. Potrebno je dokazati, da je ∠B + ∠D \u003d 180 °.

Kot B je vpisan v krog. Kot veste, je takšen kot enak polovici loka, ki se zanaša. V tem primeru se kot B temelji na ADC ARC, to pomeni, da je ∠b \u003d ½◡adc. (Ker je ARC enak kot med polmerom, ki ga tvori, potem je mogoče napisati, da je ∠b \u003d ½∠ooc, katerega notranje območje vsebuje točko D.)

Po drugi strani pa je kot D kvadrilateral temelji na ABC ARC, to je, ∠d \u003d ½◡abc.

Ker stran kotov B in D prečka krog v istih točkah (A in C), delita krog samo za dva loka - ◡ADC in ◡abc. Ker je celoten krog v količini 360 °, nato ◡adc + ◡abc \u003d 360 °.

Tako so bile pridobljene naslednje enakosti:

∠b \u003d ½◡adc.
∠D \u003d ½◡ABC.
◡ADC + ◡ABC \u003d 360 °

Izraziti vsoto vogalov:

∠b + ∠d \u003d ½◡adc + ½◡abc

Prinesel bom ½ za nosilec:

∠b + ∠d \u003d ½ (◡adc + ◡abc)

Zamenjali bomo lokalno vsoto svojega numeričnega pomena:

∠b + ∠d \u003d ½ * 360 ° \u003d 180 °

Dobili smo, da je vsota nasprotnih kotov vpisanega štirikotnik 180 °. To je bilo potrebno dokazati.

Dejstvo, da je vpisan kvadričnik takšno lastnost (vsota nasprotnih kotov je 180 °), ne pomeni, da se lahko v krog vnese vsoto nasprotnih kotov, v katerem je vsota nasprotnih kotov 180 °. Čeprav je dejansko. To dejstvo se imenuje znak vpisanega kvadratnega in je formuliran kot: če je vsota nasprotnih kotov konveksne štirikolesnika 180 °, nato v bližini ga je mogoče opisati v krogu (ali jo vnesite v krog).

Da bi dokazali znak vpisanega kvadranskega, lahko uporabite nasprotnika. Naj se poda ABCD Quadrilater, v katerem so nasprotni koti B in D v skupnem znesku do 180 °. V tem primeru kota D ne leži na krogu. Nato prevzamete neposredno, ki vsebuje CD segment, tako točko e, tako da je ležala na krogu. Izkazalo se je, da je vpisan kvadrilateralni ABCE. Ta kvadranko ima nasprotne kote B in E, in to pomeni, da so v količini 180 °. To izhaja iz premoženja vpisanega štirikotnik.

Izkazalo se je, da je ∠B + ∠D \u003d 180 ° in ∠b + ∠e \u003d 180 °. Vendar pa je kotar D kvigal ABCD v zvezi z AED trikotnikom zunanji, zato kota e tega trikotnika. Tako smo prišli na protislovje. To pomeni, da če je vsota nasprotnih vogalov kvadratja 180 °, jo lahko vedno vnesete v krog.

Krog se imenuje vpisana v kvadranski, če se vse strani kvadranta tangendujejo na obod.

Središče tega kroga je presečišče disertatorja kotov kvadratnega. V tem primeru je poldilo, ki se izvaja v točki dotika, pravokotne na straneh kvadratnega

Krog se imenuje opisan v bližini kvadranskega, če gre skozi vse svoje tocke.

Center tega kroga je presečišče srednjega pravokotnega na strani kvadratnega

Ne v vsakem štirikonadbilateralu lahko vnesete krog in ne v bližini quadrangle

Nepremičnine so bile vpisane in opisane kvadrante

Teorem v konveksni vpisani kvadranti vsote nasprotnih kotov je enak drug drugemu in je enak 180 °.

Teorem Nazaj: Če je količina vsote nasprotnih kotov enaka, potem je mogoče opisati v bližini kvadranskega. Njeno središče je točka presečišča srednjih pravokotnih strank.

Teorem Če je krog vpisan v štiristranski, so vsote nasprotnih strank enake.

Teorem Nazaj: Če je v kvadajo vsota nasprotnih strani je enaka, potem lahko krog vstopi. Njegov center je križična točka sisetorja.

Portranost: od vseh paralelogramov le blizu pravokotnika (zlasti o trgu), lahko opišete krog.

Od vseh paralelogramov samo v rombi (zlasti na trgu), lahko vstopite v krog (središče - točka presečišča diagonal, polmer je enak polovici višine).

Če lahko opišete krog v bližini trapeziona, je izoliran. Obod lahko opišemo v bližini vsakega analnega trapeziona.

Če je krog vpisan v trapezijo, je njegov polmer enak polovici višine.

Naloge z rešitvami

1. Poiščite diagonalo pravokotnika, ki je vključeno v krog, katerega polmer je 5.

Središče kroga, opisanega v bližini pravokotnika, je točka preseka njegovih diagonal. Posledično diagonalo Ac. enako 2. R.. I.e. Ac.=10
Odgovor: 10.

2. V bližini trapez, katerih osnova je 6 cm in 8 cm, višina pa 7cm, opisuje krog, da bi našli območje tega kroga.

Naj bo. Dc.=6, Ab.\u003d 8. Ker je krog opisan v bližini trapeziona, je izoliran.

Preživili bomo dve višini DM in CN.Torej, kot trapez je prost, potem AM \u003d nb.=

Potem .=6+1=7

Iz trikotnika Ans. Pythagoreov teorem najdemo Ac..

Iz trikotnika CVN. Pythagoreov teorem najdemo Sonce..

Krog, opisan v bližini trapezma, je tako krog, ki je opisan v bližini trikotnika Qa.

Poiščite območje tega trikotnika na dva načina s formulami

Hpe. h.- Višina I. - podnožja trikotnika

Kjer je opisan R-radij kroga.

Od teh izrazov dobimo enačbo. Od

Območje kroga bo enako

3. Pripadajo vogali in kvadrilaterji. Poiščite kot, če lahko opišete krog blizu tega kvadrilateralnega. Odgovor v stopinjah

Iz pogoja izhaja, da. V takem štirikonadbilateralu lahko opišete krog, potem

Dobimo enačbo . Potem. Vsota vseh kotov kvadrganca je 360º. Potem

. Kje to dobimo

4. Pot trapez, opisane v bližini kroga, so enake 3 in 5. Poiščite povprečno črto trapez.

Potem je srednja linija enaka

5. Območje pravokotnega trapeziona, opisanega v bližini kroga, je 22, njegova velika stranska stran je 7. Poiščite polmer kroga.

V trapenu je polmer vpisanega kroga enak polovici višine. Višino SC bomo porabili.

Potem .

Ker je krog vpisan v trapezijo, so vsote dolžin nasprotnih strani enake. Potem

Potem perimeter.

Dobimo enačbo

6. Osnove izenačenega trapezja so 8 in 6. Polmer opisanega kroga je 5. najti višino trapezja.

Naj center opisal v bližini kroga kroga. Potem.

Višino KN bomo preživeli skozi točko

Potem kjer je KO in on je višina in hkrati medianov ISCED TRIANGES DOC in AOS. Potem

Glede na Theorem Pythagore.

"Opisan krog" Videli smo, da je mogoče opisati okoli vsakega trikotnika. To je, da je vsak trikotnik takšen krog, ki vse tri tocke trikotnika "sedijo" na njem. Všečkaj to:

Vprašanje: Ali je mogoče reči enako o kvadranskem? Je res, da bo vedno krog, na katerem bodo vse štiri tocke kvadrganlja "sedi"?

Izkazalo se je, da to ni res! V krog ni mogoče vnesti vedno štirikotnik.. Obstaja zelo pomembno stanje:

V naši risbi:

.

Poglej, vogali in laž nasproti, to pomeni, da so nasproti. In kaj potem s vogali in? Zdi se, da so tudi nasproti? Ali je mogoče vzeti vogale namesto kotov in?

Seveda boste morda! Glavna stvar je, da ima Quadrangle lahko nekaj nasprotnih vogalov, katerih vsota bo. Preostali dva kota se nato postavita skupaj. Ne zaupaj? Poskrbimo. Poglej:

Naj bo. Se spomnite, kaj je vsota vseh štirih vogalov katere koli kvadrante? . To je vedno! . Ampak, →.

Magic naravnost!

Torej spomnite trdno popraviti:

Če je kvadrilateralni vpisan v krog, potem je vsota dveh nasprotnih vogalov enaka

in obratno:

Če ima kvadrankova dva nasprotni kot, je vsota enaka, potem je taka kvadranščina vpisana.

Tukaj ne bomo dokazali vsega tega (če vas zanima, poglejte na naslednje ravni teorije). Vendar pa poglejmo, kaj to čudovito dejstvo vodi do tega, da je vpisana kvadranska enaka vpisanemu kvadratbu.

Na primer, gre za vprašanje, in je mogoče opisati krog okoli paralelograma? Poskusimo prvo "trenutno metodo".

Tako ne deluje.

Zdaj uporabite znanje:

recimo, da smo nekako uspeli posaditi krog na paralelogramih. Potem bi moralo biti zagotovo :, to je.

In zdaj se spomnimo lastnosti paralelama:

v vsakem paralelu, so nasprotni koti enaki.

Uspelo nam je

Kateri koti in? Enako je enako.

Poleg → →

Pollagram → →

Čudovito, kajne?

Izkazalo se je, da če je bil paralelogram vnesen v krog, so vsi njegovi vogali enaki, to je pravokotnik!

In vendar - Center kroga sovpada s presečišče diagonale tega pravokotnika. To, da bo govoril, kot bonus je priložen.

To pomeni, da so ugotovili, da je paralelogram, vpisan v krogu - pravokotnik.

Zdaj pa govorimo o trapezi. Kaj se bo zgodilo, če se trapezion vstopi v krog? In se izkaže, bo enako trapez.. Zakaj?

Torej pustite, da trapez vpiše v krog. Potem pa spet, ampak zaradi vzporednosti neposrednega in.

Torej, imamo: → → Trapenium je enako.

Še lažje kot s pravokotnikom, kajne? Ampak morate biti spomniti - koristno:

Naj naštevamo najbolj glavne izjaveV zvezi s kvadransko, vpisano v krogu:

1. Quadrangle je vstopil v krog in samo, če je vsota dveh nasprotnih vogalov enaka
2. Paralelogram, vpisan v krogu - zagotovo pravokotnik in središče kroga sovpada s točko presečitve diagonal
3. Trapez, vpisan v krogu, je enak.

Vpisana štiristranska. Povprečna raven

Znano je, da je za vsak trikotnik opisan krog (izkazali smo se v temi »oblikovani krog«). Kaj lahko rečemo o kvadrizu? Tu se izkaže Vsak kvadranko lahko vstopi v krogin tam je tak izrek:

Quadril se vstavi v krog, če in samo, če je vsota njegovih nasprotnih vogalov enaka.

V naši risbi -

Poskusimo razumeti, zakaj? Z drugimi besedami, zdaj dokazujemo ta izrek. Toda preden se dokaže, je treba razumeti, kako je odobritev urejena. Ste opazili v odobritvi besede "Potem in šele potem"? Takšne besede pomenijo, da je škodljiva matematika pretresla dva izjave v enem.

Dešifriraj:

1. "Potem" pomeni: če je kvadrilateralni vpisan v krog, potem je vsota dveh nasprotnih vogalov enaka.
2. "Šele takrat" pomeni: če ima kvadratček dva nasprotni kot, katere vsota je enaka, potem se taka kvadranko lahko vnese v krog.

Tako kot Alice: "Mislim, da govorim" in "pravim, da mislim."

In zdaj razumemo, zakaj je res in 1, in 2?

Prva 1.

Naj Quadrangle vstopi v krog. Upoštevamo njegovo središče in radio in. Kaj se bo zgodilo? Se spomniš, da je vpisan kotiček dvakrat ustrezen osrednji? Če se spomnite - zdaj velja, in če ne res - poglejte na temo "Krog. Vpisan kot.

Vpisana

Vpisana

Ampak glej :.

To dobimo, če - vpisano, potem

Jasno je, da je tudi v količini. (Upoštevati morate tudi.

Zdaj in "nasprotno", to je, 2.

Naj se izkaže, da je kvadrilateralni del dveh nasprotnih vogalov. Recimo, pustite

Še ne vemo, ali lahko krog opiše okoli njega. Vendar vemo, da bomo okoli trikotnika zagotovo opisali krog. Torej to.

Če je točka ni "sedel" v krog, se je izkazalo, da je neizogibno ali zunaj ali znotraj.

Razmislite o obeh primerih.

Naj bo točka prva - zunaj. Potem segment na neki točki prečka krog. Povežite in. Izkazalo se je vpisano (!) Quadrangle.

O tem že vemo, da je vsota njegovih nasprotnih vogalov enaka, to je, vendar s pogojem nas.

Izkazalo se je, da mora biti tako.

Ampak to ne more biti, ker - zunanji kot in to pomeni.

In notri? Podobna dejanja. Naj bo točka znotraj.

Nato nadaljevanje segmenta prečka krog na točki. Spet - vpisana štirikotnik in pod pogojem je treba izvesti, vendar zunanji kot in to pomeni, da je spet ne more biti tako, da to.

To pomeni, da točka ne more biti zunaj, niti znotraj kroga pomeni, da je na krogu!

Dokazal vse celotne teoreme!

Zdaj pa poglejmo, kaj dobre preiskave dajejo ta izrek.

Colorlary 1.

Paralelogram, vpisan v krogu, je lahko le pravokotnik.

Razumem, zakaj je tako. Naj se paralelogram vnese v krog. Potem je treba izvesti.

Toda iz lastnosti paralelama, to vemo.

In enako, seveda, glede vogalov in.

Tako je izkazalo pravokotnik - vsi vogali programske opreme.

Poleg tega je poleg tega dodatno prijetno dejstvo: center kroga, opisanega v bližini pravokotnika, sovpada s točko presečišča diagonal.

Razumem, zakaj. Upam, da se popolnoma spomnite, da je kot na osnovi premera naravnost.

Premer,

Premer

torej, center. To je vse.

Colorlary 2.

Trapelov, napisan v krogu, je ravnovesje.

Pustite, da trapez vpiše v krog. Potem.

In tudi.

Smo razpravljali o vseh? Ni res. Pravzaprav je še ena, "tajna" način, kako prepoznati vpisani kvadranski. Ta metoda bomo oblikovali ne zelo strogo (vendar jasno), vendar bomo dokazali šele na zadnji ravni teorije.

Če v kvadrilateru lahko upoštevate tako sliko, kot je tukaj na sliki (obstajajo koti, «gledajo na stran točk in so enaki), potem je taka kvadranko vpisana.

To je zelo pomembna risba - nalog, ki jih je pogosto lažje najti enake kote kot količina vogalov in.

Kljub popolnemu pomanjkanju strogosti v naši formulaciji je res, in poleg tega je vedno sprejeta s preučevanjem izpita. Morate pisati nekaj takega:

"- vpisana" - in vse bo v redu!

Ne pozabite na to pomembno funkcijo - se spomnite slike, in morda bo v oči v oči v času, ko je naloga rešena.

Vpisana štiristranska. Kratek opis in osnovne formule

Če je kvadrilateralni vpisan v krog, potem je vsota dveh nasprotnih vogalov enaka

in obratno:

Če ima kvadrankova dva nasprotni kot, je vsota enaka, potem je taka kvadranščina vpisana.

Quadrangle je vstopil v krog in le, če je vsota dveh nasprotnih vogalov enaka.

Paralelogram, ki je vključen v krog - Seveda pravokotnik, središče kroga sovpada s točko presečišča diagonal.

Trapez, vpisan v krogu, je enak.

Primeri opisanih kvadratnih trgovcev lahko služijo DELTO, ki vključujejo diamante, ki vsebujejo kvadrate. Deltaida je točno tiste, ki so opisane kvadratne, ki so tudi ortoddomanalni. Če je kvadrilater opisan in vpisan s kvadričem, se imenuje bentral..

Nepremičnine

V štirih juhih, opisanih štirih sicerjih seka v središču oboda. Nasprotno pa je treba opisati konveksno quadril, v katerem je treba opisati štirje bisertector na eni točki, in je extector križišče točko središče vpisanega kroga.

Če so nasprotne strani v konveksu kvadrisa ABCD. (ne trapez) seka na točkah E. in F.Potem pa so tangente na obodu in šele, ko

B E + B F \u003d D E + D F (DisplayStyle DisplayStyle BE + BF \u003d DE + DF) E-E C \u003d A F - F C. (DisplaySyle DisplayStyle AE-EC \u003d AF-FC.)

Druga enakost je skoraj enaka enakosti therem urkharta.. Razlika je samo v znakih - v Theremu Urkharta vsote, in tukaj je razlika (glej risba na desni).

Še en potreben in zadosten pogoj je konveksni kvadrat ABCD. je opisan v tem in samo, ko je vpisano v trikotnikih Abc in ADC. Obkrožite drug drugega.

Opis vogalov, ki jih tvorijo diagonalno BD. S stranicami quadricle ABCD.spada v IOSIFESCU (IOSIFESCU). Leta 1954 je dokazal, da ima CONVEX Quadrolon vpisan krog in šele, ko

Tan \u2061 ∠ a b D 2 ⋅ TAN \u2061 ∠ B D C 2 \u003d TAN \u2061 ∠ D B 2 ⋅ TAN \u2061 ∠ D B C 2. (DisplaySyle TAN (FRAC (ANGD ABD) (2)) CDOT TAN (FRAC (kot BDC) (2)) \u003d Tan (ADB ADB) (2)) CDOT Tan (Frac (kot DBC) (2)).) R r r c \u003d r b r d (displaystyle r_ (a) r_ (c) \u003d r_ (b) r_ (d)),

kje R. a. , R. b. , R. c. , R. d. so polmer krogov, zunaj tangentov a., b., c., d. V skladu s tem je nadaljevanje s tem povezanih strani na vsaki strani.

Nekateri drugi opisi so znani po štirih trikotnikih, ki jih tvorijo diagonale.

Posebni segmenti

Osem tangenti segmentov Opisana kvadrila je segmente med tockami in točkami na dotik na straneh. Vsaka točka ima dva enaka tangentne segmente.

Točke točke se oblikujejo z vpisanim kvadriljem.

Območje

Noncrometric formulas.

K \u003d 1 2 P 2 Q 2 - (AC - BD) 2 (Displaystyle K \u003d (TFRAC (1) (2)) (SQRT (P ^ (2) q ^ (2) - (AC-BD) ^ (2)))),

dajanje območja v smislu diagonal str., q. in stran a., b., c., d. količina tangentov.

Območje lahko zastopamo tudi v smislu segmentov tangentov (glej zgoraj). Če jih imenujejo e., f., g., h., Tangent Quadril ima območje

K \u003d (e + f + g + h) (e f g + f g h + g h e + h e f). (DisplayStyle K \u003d (SQRT (((E + F + G + H) (EFG + FGH + GHE + HEF)).).)

Poleg tega se lahko območje Tangent Quadril izrazimo v smislu strank. a, B, C, D in ustrezne dolžine segmentov tangentov e, F, G, H

K \u003d A B C D - (E G - F H) 2. (DisplayStyle K \u003d (SQRT (ABCD- (EG-FH) ^ (2))).)

Kolikor npr = fh. V tem in samo v primeru, ko je bilo tudi vpisano, dobimo to največje območje A B C D (RAINSTSTYLE (SQRT (ABCD))) Lahko se doseže samo na štirikolesnikih, ki so opisani tudi in vpisani hkrati.

Trigonometrične formule

K \u003d A B C D SIN \u2061 A + C2 \u003d A B C D SIN \u2061 B + D 2. (DisplaySyle K \u003d (SQRT (ABCD)) SIN (FRAC (A + C) (2)) \u003d (SQRT (ABCD)) SIN (FRAC (B + D) (2)).).).

Za dani produkt strank bo območje največja, ko je napisana tudi kvadril. V tem primeru K \u003d a b c d (displaystyle k \u003d (sqrt (abcd)))Ker so nasprotni koti neobvezni. To se lahko izkaže na drug način z uporabo matematične analize.

Druga formula kvadratnega kvadratnega kvadratnega spola ABCD.z uporabo dveh nasprotnih vogalov

K \u003d (O ⋅ OC + OB ⋅ OD) Sin \u2061 A + C2 (Displaystyle K \u003d levo (OA CDOT OC + OB CDOT OD) SIN (FRAC (A + C) (2) )),

kje O. To je središče vpisanega kroga.

Pravzaprav se območje lahko izrazi v smislu dveh sosednjih strani in dveh nasprotnih vogalov.

K \u003d a b sin \u2061 B 2 CSC \u2061 D 2 SIN \u2061 B + D 2. (Displaystyle K \u003d AB SIN (FRAC (B) (2)) CSC (FRAC (D) (2)) Sin (Frac (B + D) (2)).).).). K \u003d 1 2 | (C - B d) Tan \u2061 θ | (DisplayStyle K \u003d (TFRAC (1) (2)) | (AC-BD) TAN (THETA) |

kje θ Kot (vse) med diagonali. Formula se ne uporablja za primer Delptoida, ker v tem primeru θ To je 90 ° in Tangent ni definiran.

Neenakosti

Kot je bilo omenjeno, je bilo priložnostno, območje tangenta poligona s strankami a., b., c., d. Izpolnjuje neenakost

K ≤ a b c d (displaystyle K \\ leq (sqrt (abcd)))

in enakost se doseže, če in samo, ko je kvadrat bentral..

Po T T. A. Ivanova (1976), pol metra s. Opisan Quadricle izpolnjuje neenakost

S ≥ 4 R (DisplayStyle S GEQ 4R),

kje r. - Polski napisan krog. Neenakost se spremeni v enakost, če in samo če je kvadrat kvadrat. To pomeni, da za območje K. = rs.Izvedena se neenakost

K ≥ 4R2 (Displaystyle K GEQ 4R ^ (2))

s prehodom na enakost v tem in samo v primeru, ko je Quadrolon kvadrat.

Lastnosti kosov kvadrika

Štiri segmente vrstic med središčem vpisanega kroga in točk na dotik so razdeljeni s štirimi kratkimi pravokotna Deltaida..

Če neposredna razdeli opisan kvadrilator v dva poligona z enakimi površinami in enakimi menijami, potem ta linija prehaja skozi inchener.

Polski napisan krog

Polmer vpisanega kroga opisanega kvadrodca s strankami a., b., c., d. Nastavite formulo

R \u003d K S \u003d K A + C \u003d K B + D (DisplayStyle R \u003d (Frac (K) (S)) \u003d (Frac (K) (A + C)) \u003d (Frac (K) (B + D ))),

kje K. - območje kvadrika, in s. - pol metra. Za opisane štirikoletnike z dano polovično merjenje, je polmer vpisanega kroga maksimiran, ko je kvadričnik istočasno vpisan.

V smislu segmentov tangentnega polmera vpisanega kroga.

R \u003d E F G + F G H + G H E + H E F + F + G + H. (DisplaySyle DisplayStyle R \u003d (Sqrt (EFG + FGH + GGH + GGH + HEF) (E + F + G + H)).).).)

Polmer napisanega oboda je moden tudi v smislu razdalje od insantra O. na tocke opisane kvadratke ABCD.. Če u \u003d ao., v \u003d bo., x \u003d Co in y \u003d.T.

R \u003d 2 (Σ - VXY) (Σ - XYU) (Σ - YUV) UVXY (UV + XY) (UY + VY) (UY + VX) (prikaz R \u003d 2 (SQRT (\\ t FRAC ((SIGMA -UVX) (SIGMA -VXY) (SIGMA -XYU) (SIGMA -YUV)) (UVXY (UV + XY) (UX + VY) (UY + VX)))))),

kje Σ \u003d 1 2 (U V X + V X Y + X Y U + Y U V) (Razkazijo SIGMA \u003d (TFRAC (1) (2)) (UVX + VXY + XYU + YUV)) .

Corner formulas.

Če e., f., g. in h. Tanner segmenti iz vozlišč A., B., C. in D. na točko dotika oboda kvadrisa ABCD., vogali kvadrila se lahko izračunajo s formulami

SIN \u2061 2 \u003d EFG + FGH + GHE + HEF (E + F) (E + G) (E + H), (DisplayStyle Sin (Frac (A) (2)) \u003d (SQRT (Frac (EFG + FGH + GHE + HEF) ((E + F) (E + G) (E + H))),),) Sin \u2061 B 2 \u003d EFG + FGH + GHE + TGE (F + E) (F + G) (F + H), (DisplayStyle Sin (Frac (B) (2)) \u003d (SQRT (Frac (EFG + FGH + GHE + HEF) ((F + E) (F + G) (F + H))),),) Sin \u2061 C2 \u003d EFG + FGH + GHE + Hef (G + E) (G + F) (G + H), (DisplayStyle Sin (Frac (C) (2)) \u003d (SQRT (Frac (EFG + FGH + GHE + HEF) ((G + E) (G + F) (G + H))),) ,) Sin \u2061 D 2 \u003d E F G + F G H + G H E + H E F (H + E) (H + F) (H + G). (DisplaySyle Sin (Frac (D) (2)) \u003d (SQRT (EFG + FGH + GGH + GGH + HEF) ((H + E) (H + F) (H + F)))) .)

Kot med Chordamijem Km. in Ln. Določena s formulo (glej sliko)

Sin \u2061 φ \u003d (E + F + G + H) (E f G + F H + G H E + H E F) (E + F) (F + G) (G + H) (H + E). (DisplaySyle Sin (Varfi) \u003d (SQRT (Frac ((E + F + G + H) (EFG + FGH + GHE + HEF)) ((E + F) (F + G) (G + h) (H + E)))).)

Diagonalo

Če e., f., g. in h. so segmenti tangente iz A., B., C. in D. na dovajanje vpisanega kroga s strani quadricle ABCD., potem dolžine diagonal p \u003d AC. in q \u003d Bd. enako

P \u003d E + GF + H ((E + G) (F + H) + 4 FH), (disstestyle DisplayStyle P \u003d (SKT (FRAC (E + G) (F + H)) (\\ t Velika () (E + G) (F + H) + 4FH (velika)))),) Q \u003d F + H E + G ((E + G) (F + H) + 4 E g). (DisplaySyle DisplayStyle Q \u003d (Sqrt (Frac (F + H) (E + G)) (velika (E + G) (F + H) + 4EG (velika)).).)

Touchpoint Achords.

Če e., f., g. in h. so segmenti iz točk na dotik, nato pa so dolžine tokov na nasprotne dotik

K \u003d 2 (EFG + FGH + GGH + GGH + HEF) (E + F) (G + H) (E + G) (F + H), (DisplayStyle Displaystyle K \u003d (Frac (2 (EFG + FGH + GHE + HEF)) (SQRT ((((E + F) (G + H) (E + G) (F + H))))),),),) L \u003d 2 (EFG + FGH + GHE + HEF) (E + H) (F + G) (E + G) (F + H), (DisplayStyle Displaystyle L \u003d (Frac (2 (EFG + FGH + GHE + HEF)) (SQRT ((((E + H) (F + G) (E + G) (F + H))))),),)

kje Chorda k. povezuje stranke z dolžinami a. = e. + f. in c. = g. + h.in Chorda l. Povezuje dolžino strank b. = f. + g. in d. = h. + e.. Kvadratni odnos Horde izpolnjuje razmerje

k 2 l 2 \u003d b d a c. (DisplaySyle (Frac (K ^ (2)) (L ^ (2))) \u003d (Frac (BD) (AC)).)

Dva akorda

Med strankami Ab. in Cd. v opisanem pridelovalcu ABCD. dlje kot akord med strankami BC. in Da. Potem in šele, ko srednja linija med strankami Ab. in Cd. krajši od srednje linije med strankami BC. in Da. .

Če je opisan kvadrigon opisan ABCD. Držite se točk M. na The Ab. in N. na The Cd. in Chorda Mn. Prečkanje diagonale BD. Na točki Str., potem odnos segmentov tangentov B m D N (disprovestyle (TFRAC (BM) (DN))) Enako odnos B p d p (displaystyle (TFRAC (BP) (DP))) Segmenti diagonale BD..

Collinear Tows.

Če M 1. in M 2. so sredi diagonalov Ac. in BD. V skladu z opisanim kvadratcem ABCD. O.in pari nasprotnih strani sekajo na točkah E. in F. in M 3. - Srednji rez EF., nato točke M 3., M 1., O., JAZ. M 2. Leži na eni ravni liniji, ki povezuje te točke, se imenuje Direct Newton quadricle.

E. in F.in nadaljevanje nasprotnih strani kvadrisa, ki jo tvorijo točke na dotik, sekajo na točkah T. in S.Potem štiri točke E., F., T. in S. laži na eno naravnost

Ab., BC., Cd., Da. V točkah M., K., N. in L. Zato in če T M., T K., T N., T L. so izotomično konjugirane točke teh točk (to je Pri M. = BM. itd.) točka grelnika opredeljeno kot presečišče neposrednega T n t m in T k t l. Oba neposredna razdelita obod kvadrisa v dva enake dele. Vendar pa je bolj pomembno, da je točka Brezan Q., "Centroid Square" G. in center vpisanega kroga O. ležijo na eni ravni liniji in hkrati Qg. = 2Pojdi.. To neposredno se imenuje direct Brand. Opisan kvadrat.

V opisanem pridelovalcu ABCD. s središčem vpisanega kroga O. Str., naj bo. H M., H K., H N., H L. so orto centri trikotnikov Aob., Boc., COD. in DOA. oziroma. Potem točkah Str., H M., H K., H N. in H L. Leži na eni ravni liniji.

Konkurenčne in pravokotne ravni

Dve diagonali kvadrilateralnih in dveh akordov, ki povezujejo nasprotne točke na dotik (nasproti tocke vpisanega kvadrilateralne), konkurenčne (to je, seka na eni točki). Da bi to pokazali, lahko uporabite poseben primer Briangon Therem, ki trdi, da je šesterokotnik, vse strani, ki se nanašajo na stožčast oddelek, tri diagonal sekajo na eni točki. Od opisanega Quadrolona je enostavno pridobiti šesterokotnik z dvema koti 180 ° z vstavljanjem dveh novih vozlišč nasprotnih točk na dotik. Vseh šest strani šesterokotnikov je tangenta vpisanega kroga, tako da njegove diagonale sekajo na eni točki. Toda dve diagonali šesterokotnika sovpadata z diagonali štirikotnik, tretja diagonala pa skozi nasprotne točke na dotik. Ponavljanje enake utemeljitve za dve drugi točki dotika, dobimo zahtevani rezultat.

Če se vpisani krog nanaša na stranke Ab., BC., Cd. in Da. V točkah M., K., N., L. V skladu s tem, potem neposredno Mk., Ln. in Ac. Konkurenčno.

Če se nadaljuje na nasprotnih straneh opisanega kvadčustva na točkah E. in F.in diagonale sekajo na točki Str., potem naravnost EF. Pravokotno na nadaljevanje OP.kje O. - Center vpisan krog.

Lastnosti vpisanega oboda

Odnosi na obeh nasprotnih straneh opisanega kvadrodca se lahko izrazijo na razdaljah iz središča vpisanega kroga O. na posamezne stranke

A B C D \u003d O A ⋅ O B O C ⋅ O D, B C D A \u003d O B ⋅ O C O D ⋅ O A A. (DisplaySyle (Frac (AB) (CD)) \u003d (OA CDOT OB) (OC CDOT OD)), Quad quad (Frac (BC) (DA)) \u003d (Frac (\\ t OB CDOT OC) (OD CDOT OA)).)

Izdelek dveh sosednjih strani kvadrisa ABCD. s središčem vpisanega kroga O. Izpolnjuje razmerje

A B ⋅ B C \u003d O B 2 + O A ⋅ O B ⋅ O C O D. (DisplayStyle AB CDOT BC \u003d OB ^ (2) + (Frac (OA CDOT OB OC CDOT OC) (OD)).).)

Če O. - središče vpisanega kroga kvadrisa ABCD.T.

O a ⋅ O C + O B ⋅ O D \u003d A B ⋅ B C ⋅ C D ⋅ D a. (DisplaySyle OA CDOT OC + OB CDOT OD \u003d (SQRT (AB CDOT BC CDOT CD CDOT DA)).)

Center vpisan krog O. sovpada z "osrednjim vložkom vozlišč" kvadrika v tem in samo v primeru, ko

O A ⋅ O C \u003d O B ⋅ O D. (DisplayStyle OA CDOT OC \u003d OD CDOT OD.)

Če M 1. in M 2. so sredi diagonalov Ac. in BD. V skladu s tem, to

OM 1 OM 2 \u003d OA ⋅ OCOB ⋅ OD \u003d E + GF + H, (R FRAC (OM_ (1)) (OM_ (2))) \u003d (Frac (OA CDOT OC) (OB CDOT) OD) \u003d (Frac (E + G) (F + H)),)

kje e., f., g. in h. - Cuts Tangente v vozliščih A., B., C. in D. oziroma. Združevanje prve enakosti s slednjim, smo pridobili, da "Centroid iz vozlišč" opisanega Quadricon sovpada z vrednostjo vpisanega kroga, če in samo, če je središče vpisanega kroga leži v sredini med povprečnimi darovalnimi točkami.

1 R 1 + 1R3 \u003d 1 R2 + 1 R4. (DisplaySyle (Frac (1) (R_ (1))) + (Frac (1) (R_ (3))) \u003d (Frac (1) (R_ (2)) + (Frac (1) \\ t ) (R_ (4)).)

Ta nepremičnina je dokazala pet let prej, ki jih Weinstein. Pri reševanju njegove naloge je bila podobna nepremičnina dana Vasilyev in Sander. Če. h. M, h. K, h. N I. h. L označuje višino enakih trikotnikov (spuščenih iz križišča diagonal Str.), potem je kvadril opisan, če in samo, ko

1 H M + 1 H n \u003d 1 H K + 1 H L. (DisplaySyle (FRAC (1) (H_ (M))) + (FRAC (1) (H_ (N))) \u003d (FRAC (1) (H_ (K)) + (Frac (1) \\ t ) (H_ (L))).)

Druga podobna nepremičnina pripada radij neveljavnih krogov. r. M. , r. K. , r. N. in r. L. Za iste štiri trikotnike (štiri letne kroge se nanašajo na vsako od strani kvadrileta in nadaljevanja diagonal). Quadricle je opisan v tem in samo ko

1 R M + 1 R n \u003d 1 R K + 1 R L. (DisplaySyle (Frac (1) (R_ (M))) + (FRAC (1) (R_ (N))) \u003d (Frac (1) (R_ (K))) + (Frac (1) \\ t ) (R_ (L))).)

Če R. M, R. K, R. N I. R. L - polmer opisanih krogov trikotnikov Apb., BPC., CPD. in Dpa. V skladu s tem trikotnik ABCD. potem je nato opisana in samo takrat

R M + R n \u003d R K + R L. (DisplayStyle R_ (M) + R_ (N) \u003d R_ (K) + R_ (L).)

Leta 1996, Vinstein, se zdi, da je bil prvi, ki dokazuje drugo čudovito lastnost opisanih kvadriricletov, ki se je kasneje pojavil v več revijah in spletnih mestih. Nepremičnina trdi, da če so konveksne štiri-sprožilci razdeljeni na štiri ne-spremenljive trikotnike s svojimi diagonali, centri vpisani krogi teh trikotnikov ležijo na istem krogu, če in samo, če je kvadričnik opisan. Pravzaprav so centri vpisani krogi tvorita štiri-ritev, ki se hrani v ortodiji. Tu se lahko vpisane obolenje nadomestijo z mostovi (v zvezi s strankami in nadaljevanje diagonale štirikotnik). Potem je konveksni kvadratnik opisan, če in samo, ko so centri letnih krogov tocke vpisanega kvadrila.

Konveksni kvadričnik ABCD.v kateri se diagonali sekajo na točki Str.je opisan, če in samo če štiri središče letnih trikotnikov trikotnikov Apb., BPC., CPD. in Dpa. Ležijo na enem krogu (tukaj letne obodeži prečkajo stranke štirikotnik, v nasprotju z isto trditvijo zgoraj, kjer so letni krogi zunaj štirikotnik). Če R M., R N., R K. in R L. - polmer povišanih krogov Apb., BPC., CPD. in Dpa. Nasproti vrhovi B. in D., nato še eno potrebno in zadostno stanje, da je kvadričnik opisan, bo

1 R M + 1 R n \u003d 1 R K + 1 R L. (DisplaySyle (Frac (1) (R_ (M))) + (FRAC (1) (R_ (N))) \u003d (Frac (1) (R_ (K))) + (Frac (1) \\ t ) (R_ (L))).) M △ (APB) + N △ (CPD) \u003d K △ (BPC) + L △ (DPA) (DisplayStyle (Frac (M) (trikotnik (APB)) + (FRAC (N) CPD)) \u003d (FRAC (K) (trikotnik (BPC)) + (Frac (L) (trikotnik (DPA))))

tukaj M, K, N, L - dolžina strank AB, BC, CD in DA, in δ ( Apb.) - površina trikotnika Apb..

Označuje segmente, na katere je točka Str. Dolit Diagonal. Ac. sodišče Ap. = str. I. PC. = str. c. Na enak način Str. Diagonalo BD. na segmentih BP. = str. B I. PD. = str. d. Nato je kvadril opisan, če in samo če se izvede ena od enakosti:

(M + PB - Pb) (N + PC - PD) (M - PA + PB) (N - PC + PD) \u003d (K + PC - PB) (L + PA - PD) (K - PC + Pb) (L - PA + PD). (DisplaySyle (Frac (((M + P_ (A) -P_ (B)) (N + P_ (C) -P_ (D))) ((M - P_ (A) + P_ (B)) (n -P_ (C) + p_ (d)))) \u003d ((K + p_ (C) -P_ (B)) (L + P_ (A) -P_ (D)) ((K-P_ (c) + p_ (b)) (l-p_ (a) + p_ (d))).).).)

Pogoji za opisani kvadratke, da je druga vrsta kvadrisa.

Opisani kvadratnik je dvo-center (tj. Opisan in vpisan ob istem času), če in samo, če je polmer vključenega kroga največji med vsemi opisanimi štirikotniki, ki imajo enako zaporedje dolžin strank v tem in samo Ko se izvede kateri koli od naslednjih pogojev:

• Kvadrat je enak polovici dela diagonalov
• Diagonalno pravokotno
• Dva segmenta, ki povezujeta nasprotne točke na dotik, imata enake dolžine.
• Ena par nasprotnih segmentov od vrha do točke dotika ima enake dolžine.
C.v. Durella, A. Robson. Napredno Trigonometriry // Dover Retint. - 2003.
• Victor Bryant, John Duncan. Kolesa znotraj koles // matematični gladina. - 2010. - Vol. 94, november.
• Albrecht Hess. Na krogu, ki vsebuje spodbujevalce tangencialnih kvadrilatorjev // forum geometriricorum. - 2014. - T. 14.
• Wu Wei Chao, Plaman Simeonov. Ko so kvadrilateriji vpisani krogi (rešitev za problem 10698) // ameriške matematične mesečne mesečne. - 2000. - T. 107, izdaja. 7. - DOI: 10.2307 / 2589133.
• Mowfaqaq Hajja. Pogoj za omejevalno štirikotnik, ki je Cyclic // Forum Geometrichorum. - 2008. - T. 8.

Larry Hoehn. Nova formula v zvezi z diagonali in stranemi štirikotnik. - 2011. - T. 11 T. 10.

Martin Josefsson. Kdaj je tangencialni štirikotnik? // forum geometriricrum. - 2011a. - T. 11.

Martin Josefsson. Več karakterizacij tangencialnih kvadrilatov // forum geometriric. - 2011b. - T. 11.

Martin Josefsson. Področje bicentričnega kvadrilateralnega foruma Geometriricrum. - 2011c. - T. 11.

Martin Josefsson. Podobne metrične karakterizacije tangencialnih in ekstrangencialnih kvadrilatov // forum geometririty. - 2012. - T. 12.

Martin Josefsson. Karakterizacije ortodijskih kvadrilatov. - 2012B. T. 12.

Nicusor Minculete. Karakterizacije tangencialnega kvadrilateralnega foruma Geometrichorum. - 2009. - T. 9.

Alexei miakishev. Na dveh izjemnih linijah, povezanih z štirikoletnim forumom Geometriricrum. - 2006. - T. 6.

A.W. Siddons, r.t. Hughes. Trigonometrija. - Cambridge Univ. Pritisnite, 1929.

I. VAINSTEIN, N. VASYEV, V. SADDERV. (Reševanje problemov) M1495 // Kvant. - 1995. - Vol. 6.

Michael de Villiers. Equiangularni ciklični in enakostrani, ki so omejeni poligoni // matematični gladina. - 2011. - Vol. 95, marec.