Kosinusni izrek. Vizualni vodnik (2019)

Vsak od nas je preživel veliko ur pri reševanju enega ali drugega geometrijskega problema. Seveda se postavlja vprašanje: zakaj se sploh morate učiti matematiko? Vprašanje je še posebej pomembno za geometrijo, katere poznavanje, če je koristno, je zelo redko. Toda matematika ima namen tudi za tiste, ki ne nameravajo postati delavci. Človeka sili k delu in razvoju.

Prvotni namen matematike ni bil učencem zagotoviti znanja o predmetu. Učitelji so si zadali cilj, da bodo otroke naučili razmišljati, sklepati, analizirati in argumentirati. Prav to najdemo v geometriji s številnimi aksiomi in izreki, posledicami in dokazi.

Kosinusni izrek

Uporaba

Poleg pouka matematike in fizike se ta izrek pogosto uporablja v arhitekturi in gradbeništvu za izračun zahtevanih stranic in kotov. Z njegovo pomočjo se določijo zahtevane dimenzije zgradbe in količina materialov, ki bodo potrebni za njeno gradnjo. Seveda je večina procesov, ki so prej zahtevali neposredno človeško sodelovanje in znanje, danes avtomatiziranih. obstaja ogromno programe, ki vam omogočajo simulacijo takšnih projektov na računalniku. Njihovo programiranje poteka tudi ob upoštevanju vseh matematičnih zakonov, lastnosti in formul.

Pri reševanju geometrijskih problemov iz Enotnega državnega izpita in Enotnega državnega izpita iz matematike se pogosto pojavi potreba po poznavanju obeh strani trikotnika in kota med njima, da bi našli tretjo stran. Ali če poznate vse stranice trikotnika, poiščite njegove kote. Za rešitev teh problemov boste potrebovali vrednost kosinusnega izreka za trikotnik. V tem članku učitelj matematike in fizike govori o tem, kako je ta izrek oblikovan, dokazan in uporabljen v praksi pri reševanju problemov.

Formulacija kosinusnega izreka za trikotnik

Kosinusni izrek za trikotnik povezuje dve strani trikotnika in kot med njima s stranico, ki je temu kotu nasproti. Na primer, označimo s črkami , in dolžine strani trikotnika ABC, ki ležita nasproti kotov A, B in C.

Potem lahko kosinusni izrek za ta trikotnik zapišemo kot:

Na sliki, za udobje nadaljnje razprave, kot Z označen s kotom. Z besedami je to mogoče formulirati na naslednji način: »Kvadrat katere koli stranice trikotnika enaka vsoti kvadrata drugih dveh stranic minus dvakratni produkt teh stranic s kosinusom kota med njima.«

Jasno je, da če bi izrazili drugo stran trikotnika, na primer stran, bi morali v formuli vzeti kosinus kota A, to je, da leži nasproti želene stranice v trikotniku, na desni v enačbi pa bi bili strani in na svojih mestih. Izraz za kvadrat stranice dobimo podobno:

Dokaz kosinusnega izreka za trikotnik

Dokaz kosinusnega izreka za trikotnik se običajno izvede na naslednji način. Prvotni trikotnik z višino razdelijo na dva pravokotna trikotnika, nato pa se poigrajo s stranicami nastalih trikotnikov in Pitagorovim izrekom. Kot rezultat, po dolgih dolgočasnih preobrazbah dobim želeni rezultat. Meni osebno ta pristop ni všeč. Pa ne le zaradi okornih izračunov, ampak tudi zato, ker moramo v tem primeru posebej obravnavati primer, ko je trikotnik topokotnik. Težav je preveč.

Predlagam, da ta izrek dokažem z uporabo koncepta "skalarnega produkta vektorjev". Zavestno prevzemam to tveganje zase, saj vem, da se mnogi šolarji tej temi raje izognejo, saj menijo, da je nekako nejasna in je bolje, da se z njo ne ukvarjajo. Toda nenaklonjenost, da bi se ločeno ukvarjala s tupim trikotnikom, me še vedno premaga. Poleg tega se nastali dokaz izkaže za presenetljivo preprost in nepozaben. Zdaj boste videli to.

Zamenjajmo stranice našega trikotnika z naslednjimi vektorji:

Uporaba kosinusnega izreka za trikotnik ABC. Kvadrat stranice je enak vsoti kvadratov strani minus dvakratni produkt teh stranic s kosinusom kota med njima:

Ker je rezultat:

Pomeni,. Jasno je, da negativna odločitev ne vzamemo, ker je dolžina odseka pozitivno število.

Zahtevani kot je prikazan na sliki. Prepišimo kosinusni izrek za trikotnik ABC. Ker smo ohranili vse zapise, bo formula, ki izraža kosinusni izrek za ta trikotnik, ostala enaka:

V to formulo nadomestimo vse dane količine. Kot rezultat dobimo naslednji izraz:

Po vseh izračunih in transformacijah dobimo naslednji preprost izraz:

Kakšna naj bo velikost ostrega kota, da bo njegov kosinus enak? Pogledamo tabelo, ki jo najdemo v, in dobimo odgovor: .

Tako se rešujejo geometrijske težave z uporabo kosinusnega izreka za trikotnik. Če boste opravljali OGE ali enotni državni izpit iz matematike, potem morate zagotovo obvladati to gradivo. Ustrezne težave bodo skoraj zagotovo na izpitu. Vadite jih rešiti sami. Izpolnite naslednje naloge:

V trikotniku ABC strani AB enaka 4 cm, stran B.C. enak 6 cm, kot B enako 30°. Poiščite stran A.C..
V trikotniku ABC strani AB enako 10, stran B.C. enako 8, stran A.C. je enak 9. Poiščite kosinus kota A.

Svoje odgovore in rešitve zapišite v komentar. Vso srečo!

Gradivo je pripravil Sergey Valerievich

Če problem poda dolžini dveh strani trikotnika in kota med njima, potem lahko uporabite formulo za površino trikotnika skozi sinus.

Primer izračuna površine trikotnika s sinusom. Dane stranice so a = 3, b = 4 in kot γ = 30°. Sinus kota 30° je 0,5

Površina trikotnika bo 3 kvadratne metre. cm.

Obstajajo lahko tudi drugi pogoji. Če so podani dolžina ene stranice in koti, morate najprej izračunati manjkajoči kot. Ker vsota vseh kotov trikotnika je 180°, potem:

Površina bo enaka polovici kvadrata stranice, pomnoženi z ulomkom. Njegov števec je produkt sinusov sosednjih kotov, imenovalec pa sinus nasprotnega kota. Zdaj izračunamo površino z naslednjimi formulami:

Na primer, podan je trikotnik s stranico a=3 in kotoma γ=60°, β=60°. Izračunajte tretji kot:
Zamenjava podatkov v formulo
Ugotovimo, da je površina trikotnika 3,87 kvadratnih metrov. cm.

II. Območje trikotnika skozi kosinus

Če želite najti površino trikotnika, morate poznati dolžine vseh strani. Z uporabo kosinusnega izreka lahko najdete neznane strani in jih šele nato uporabite.
V skladu s kosinusnim izrekom je kvadrat neznane strani trikotnika enak vsoti kvadratov preostalih strani minus dvakratni produkt teh strani in kosinusa kota med njima.

Iz izreka izpeljemo formule za iskanje dolžine neznane stranice:

Če veste, kako najti manjkajočo stran, z dvema stranicama in kotom med njima, lahko preprosto izračunate površino. Formula za površino trikotnika skozi kosinus pomaga hitro in enostavno najti rešitve za različne probleme.

Primer izračuna formule za površino trikotnika z uporabo kosinusa
Podan je trikotnik z znanimi stranicami a = 3, b = 4 in kotom γ = 45°. Najprej poiščimo manjkajočo stran z. Kosinus 45°=0,7. Da bi to naredili, nadomestimo podatke v enačbo, ki izhaja iz kosinusnega izreka.
Zdaj z uporabo formule najdemo

Vsi šolarji in še posebej odrasli ne vedo, da je kosinusni izrek neposredno povezan s Pitagorejskim izrekom. Natančneje, slednji je poseben primer prvega. Ta točka, kot tudi dva načina za dokaz kosinusnega izreka, vam bosta pomagala postati več razgledana oseba. Poleg tega se dobro razvija vaja izražanja količin iz začetnih izrazov logično razmišljanje. Dolga formula izreka, ki ga preučujete, vas bo zagotovo prisilila, da trdo delate in se izboljšate.

Začetek pogovora: uvajanje notacije

Ta izrek je formuliran in dokazan za poljuben trikotnik. Zato ga je mogoče uporabiti vedno, v kateri koli situaciji, če sta podani dve stranici, v nekaterih primerih pa tri, in kot, in ne nujno med njima. Ne glede na vrsto trikotnika bo izrek vedno deloval.

In zdaj o označevanju količin v vseh izrazih. Bolje je, da se strinjate takoj, da vam kasneje ne bo treba večkrat razlagati. V ta namen je bila sestavljena naslednja tabela.

Formulacija in matematični zapis

Torej je kosinusni izrek formuliran na naslednji način:

Kvadrat stranice katerega koli trikotnika je enak vsoti kvadratov njegovih dveh drugih strani minus dvakratni produkt teh istih stranic in kosinusa kota, ki leži med njima.

Seveda je dolg, a če razumete njegovo bistvo, si ga boste zlahka zapomnili. Lahko si celo predstavljate, da narišete trikotnik. Vizualno si je vedno lažje zapomniti.

Formula tega izreka bo videti takole:

Malo dolgo, ampak vse je logično. Če pogledate malo bolj natančno, vidite, da se črke ponavljajo, kar pomeni, da si ni težko zapomniti.

Skupni dokaz izreka

Ker velja za vse trikotnike, lahko za sklepanje izberete katero koli vrsto. Naj bo figura z vsemi ostri koti. Oglejmo si poljuben ostrokotni trikotnik, katerega kot C je večji od kota B. Iz oglišča s tem velikim kotom morate spustiti navpično na nasprotno stran. Narisana višina bo razdelila trikotnik na dva pravokotna. To bo potrebno za dokaz.

Stran bo razdeljena na dva segmenta: x, y. Izraziti jih je treba z znanimi količinami. Del, ki bo v trikotniku s hipotenuzo, enako b, bo izražen z zapisom:

x = b * cos A.

Drugi bo enak tej razliki:

y = c - in * cos A.

Zdaj morate zapisati Pitagorov izrek za dva nastala pravokotna trikotnika, pri čemer vzamete višino kot neznano vrednost. Te formule bodo videti takole:

n 2 = v 2 - (v * cos A) 2,

n 2 = a 2 - (c - b * cos A) 2.

Te enačbe vsebujejo iste izraze na levi strani. To pomeni, da bosta tudi njuni desni strani enaki. To je enostavno zapisati. Zdaj morate odpreti oklepaje:

v 2 - v 2 * (cos A) 2 = a 2 - c 2 + 2 c * v * cos A - v 2 * (cos A) 2.

Če tukaj izvedete prenos in redukcijo podobnih izrazov, boste dobili začetno formulo, ki je zapisana za formulacijo, to je kosinusni izrek. Dokaz je popoln.

Dokaz izreka z vektorji

Je veliko krajši od prejšnjega. In če poznate lastnosti vektorjev, bo kosinusni izrek za trikotnik preprosto dokazan.

Če so stranice a, b, c označene z vektorji BC, AC in AB, potem velja enakost:

BC = AC - AB.

Zdaj morate narediti nekaj korakov. Prvi od teh je kvadriranje obeh strani enakosti:

BC 2 = AC 2 + AB 2 - 2 AC * AB.

Nato je treba enakost prepisati v skalarni obliki, pri čemer je treba upoštevati, da je produkt vektorjev enak kosinusu kota med njimi in njihovimi skalarnimi vrednostmi:

BC 2 = AC 2 + AB 2 - 2 AC * AB * cos A.

Vse kar ostane je, da se vrnemo na stari zapis in spet dobimo kosinusni izrek:

a 2 = b 2 + c 2 - 2 * b * c * cos A.

Formule za druge stranice in vse kote

Če želite najti stran, morate vzeti kvadratni koren kosinusnega izreka. Formula za kvadrate ene od drugih strani bo videti takole:

c 2 = a 2 + b 2 - 2 * a * b * cos C.

Zapisati izraz za kvadrat stranice V, morate zamenjati v prejšnji enakosti z na V, in obratno, in postavite kot B pod kosinus.

Iz osnovne formule izreka lahko izrazimo vrednost kosinusa kota A:

cos A = (v 2 + c 2 - a 2) / (2 v * c).

Formule za druge kote izpeljemo podobno. Dobro je, da jih poskusite napisati sami.

Seveda si teh formul ni treba zapomniti. Dovolj je razumevanje izreka in sposobnost izpeljave teh izrazov iz njegovega glavnega zapisa.

Izvirna formula izreka omogoča iskanje strani, če kot ne leži med dvema znanima. Na primer, morate najti V, ko so podane vrednosti: a, c, A. Ali neznano z, vendar obstajajo pomeni a, b, A.

V tem primeru morate prenesti vse pogoje formule v leva stran. Dobiš naslednjo enakost:

с 2 - 2 * в * с * cos А + в 2 - а 2 = 0.

Zapišimo ga v nekoliko drugačni obliki:

c 2 - (2 * v * cos A) * c + (v 2 - a 2) = 0.

Lahko se zlahka vidi kvadratna enačba. V njem je neznana količina - z, vse ostalo pa je dano. Zato je dovolj, da jo rešimo z diskriminanto. Tako bo najdena neznana stran.

Formulo za drugo stran dobimo podobno:

in 2 - (2 * c * cos A) * in + (c 2 - a 2) = 0.

Iz drugih izrazov je takšne formule enostavno dobiti tudi neodvisno.

Kako lahko ugotovite vrsto kota, ne da bi izračunali kosinus?

Če pozorno pogledate prej izpeljano formulo kotnega kosinusa, boste opazili naslednje:

imenovalec ulomka je vedno pozitivno število, ker vsebuje produkt stranic, ki ne morejo biti negativne;
vrednost kota bo odvisna od predznaka števca.

Kot A bo:

akutno v situaciji, ko je števec večji od nič;
neumen, če je ta izraz negativen;
direktna, ko je enaka nič.

Mimogrede, zadnja situacija spremeni kosinusni izrek v Pitagorov izrek. Ker je za kot 90º njegov kosinus enak nič in zadnji člen izgine.

Prva naloga

Pogoj

Tupi kot nekega poljubnega trikotnika je 120º. O stranicah, s katerimi je omejen, je znano, da je ena od njih večja od druge, znana je 28 cm. Potrebno je najti obod trikotnika.

rešitev

Najprej morate eno od strani označiti s črko "x". V tem primeru bo drugi enak (x + 8). Ker obstajajo izrazi za vse tri strani, lahko uporabimo formulo, ki jo ponuja kosinusni izrek:

28 2 = (x + 8) 2 + x 2 - 2 * (x + 8) * x * cos 120º.

V tabelah za kosinuse morate najti vrednost, ki ustreza 120 stopinjam. To bo število 0,5 z znakom minus. Zdaj morate odpreti oklepaje ob upoštevanju vseh pravil in prinesti podobne pogoje:

784 = x 2 + 16x + 64 + x 2 - 2x * (-0,5) * (x + 8);

784 = 2x 2 + 16x + 64 + x 2 + 8x;

3x 2 + 24x - 720 = 0.

To kvadratno enačbo rešimo tako, da poiščemo diskriminanto, ki bo enaka:

D = 24 2 - 4 * 3 * (- 720) = 9216.

Ker je njena vrednost večja od nič, ima enačba dva korenska odgovora.

x 1 = ((-24) + √(9216)) / (2 * 3) = 12;

x 2 = ((-24) - √(9216)) / (2 * 3) = -20.

Zadnji koren ne more biti odgovor na problem, ker mora biti stran pozitivna.

Ohranjanje vaše zasebnosti je za nas pomembno. Iz tega razloga smo razvili Politiko zasebnosti, ki opisuje, kako uporabljamo in shranjujemo vaše podatke. Preglejte naše postopke varovanja zasebnosti in nam sporočite, če imate kakršna koli vprašanja.

Zbiranje in uporaba osebnih podatkov

Osebni podatki se nanašajo na podatke, ki jih je mogoče uporabiti za identifikacijo ali vzpostavitev stika z določeno osebo.

Kadar koli stopite v stik z nami, boste morda morali posredovati svoje osebne podatke.

Spodaj je nekaj primerov vrst osebnih podatkov, ki jih lahko zbiramo, in kako lahko te podatke uporabimo.

Katere osebne podatke zbiramo:

Ko na spletnem mestu oddate zahtevo, lahko zbiramo razne informacije, vključno z vašim imenom, telefonsko številko, naslovom e-pošta itd.

Kako uporabljamo vaše osebne podatke:

Osebni podatki, ki jih zbiramo, nam omogočajo, da vas kontaktiramo in vas obveščamo edinstvene ponudbe, promocije in drugi dogodki ter prihajajoči dogodki.
Občasno lahko uporabimo vaše osebne podatke za pošiljanje pomembnih obvestil in sporočil.
Osebne podatke lahko uporabimo tudi za interne namene, kot so revizija, analiza podatkov in razne študije da bi izboljšali storitve, ki jih nudimo, in vam dali priporočila glede naših storitev.
Če sodelujete v nagradni igri, tekmovanju ali podobni promociji, lahko podatke, ki nam jih posredujete, uporabimo za upravljanje takih programov.

Razkritje informacij tretjim osebam

Prejetih podatkov ne razkrivamo tretjim osebam.

Izjeme:

Po potrebi – v skladu z zakonom, sodnim postopkom, pravnim postopkom in/ali na podlagi javnih pozivov oz. vladne agencije na ozemlju Ruske federacije - razkrijte svoje osebne podatke. Podatke o vas lahko razkrijemo tudi, če ugotovimo, da je tako razkritje potrebno ali primerno zaradi varnosti, kazenskega pregona ali drugih javno pomembnih namenov.
V primeru reorganizacije, združitve ali prodaje lahko osebne podatke, ki jih zberemo, prenesemo na ustrezno naslednico tretje osebe.

Varstvo osebnih podatkov

Izvajamo previdnostne ukrepe – vključno z administrativnimi, tehničnimi in fizičnimi – za zaščito vaših osebnih podatkov pred izgubo, krajo in zlorabo ter nepooblaščenim dostopom, razkritjem, spreminjanjem in uničenjem.

Spoštovanje vaše zasebnosti na ravni podjetja

Da bi zagotovili varnost vaših osebnih podatkov, svojim zaposlenim sporočamo standarde zasebnosti in varnosti ter strogo uveljavljamo prakse glede zasebnosti.