Matematika za programerje: teorija verjetnosti. Teorija verjetnosti in osnovni pojmi teorije Teorija verjetnosti kdo

"Nesreče niso naključne" ... Sliši se, kot je rekel filozof, a v resnici je usoda velike matematične znanosti, da preučuje naključnost. V matematiki se teorija naključja ukvarja z naključnostjo. V članku bodo predstavljene formule in primeri nalog ter glavne definicije te znanosti.

Kaj je teorija verjetnosti?

Teorija verjetnosti je ena od matematičnih disciplin, ki preučuje naključne dogodke.

Da bo malo bolj jasno, dajmo majhen primer: če kovanec vržete navzgor, lahko pade "glave" ali "repi". Dokler je kovanec v zraku, sta možni obe možnosti. To pomeni, da je verjetnost možnih posledic 1: 1. Če izvlečete eno iz krova s 36 kartami, bo verjetnost označena kot 1:36. Zdi se, da ni ničesar za raziskovanje in napovedovanje, zlasti s pomočjo matematičnih formul. Če pa določeno dejanje večkrat ponovite, lahko prepoznate določen vzorec in na njegovi podlagi napovete izid dogodkov v drugih pogojih.

Če povzamemo vse našteto, teorija verjetnosti v klasičnem pomenu preučuje možnost nastanka enega od možnih dogodkov v številčni vrednosti.

S strani zgodovine

Teorija verjetnosti, formule in primeri prvih nalog so se pojavili v daljnem srednjem veku, ko so se prvič poskušali napovedati izid iger s kartami.

Sprva teorija verjetnosti ni imela nič opraviti z matematiko. Temeljil je na empiričnih dejstvih ali lastnostih dogodka, ki bi jih bilo mogoče reproducirati v praksi. Prva dela na tem področju kot matematični disciplini so se pojavila v 17. stoletju. Ustanovitelja sta bila Blaise Pascal in Pierre Fermat. Dolgo so študirali igre na srečo in videli določene vzorce, o katerih so se odločili povedati javnosti.

Enako tehniko je izumil Christian Huygens, čeprav ni bil seznanjen z rezultati raziskav Pascala in Fermata. Uvedel je koncept "teorije verjetnosti", formule in primere, ki veljajo za prve v zgodovini discipline.

Pomembna so tudi dela Jacoba Bernoullija, Laplaceovi in Poissonovi izreki. Teorijo verjetnosti so naredili bolj podobno matematični disciplini. Teorija verjetnosti, formule in primeri osnovnih nalog so dobili svojo sedanjo obliko zahvaljujoč Kolmogorovim aksiomom. Zaradi vseh sprememb je teorija verjetnosti postala ena izmed matematičnih vej.

Osnovni pojmi teorije verjetnosti. Dogodki

Glavni koncept te discipline je "dogodek". Obstajajo tri vrste dogodkov:

Verodostojno. Tiste, ki se bodo vseeno zgodile (kovanec bo padel).
Nemogoče. Dogodki, ki se ne bodo zgodili po nobenem scenariju (kovanec bo ostal viseti v zraku).
Naključen. Tisti, ki se bodo ali ne bodo zgodili. Nanje lahko vplivajo različni dejavniki, ki jih je zelo težko predvideti. Če govorimo o kovancu, potem naključni dejavniki, ki lahko vplivajo na rezultat: fizične značilnosti kovanca, njegova oblika, začetni položaj, moč meta itd.

Vsi dogodki v primerih so označeni z velikimi latiničnimi črkami, z izjemo P, ki ima drugačno vlogo. Na primer:

A = "študentje so prišli na predavanje."
Ā = "študentje niso prišli na predavanje."

Pri praktičnih vajah je običajno, da dogodke zapišemo z besedami.

Ena najpomembnejših značilnosti dogodkov je enaka možnost. To pomeni, da če vržete kovanec, so možne vse različice začetnega padca, dokler ne pade. A tudi dogodki niso enako možni. To se zgodi, ko nekdo posebej vpliva na izid. Na primer, "označene" igralne karte ali kocke, pri katerih je težišče premaknjeno.

Tudi dogodki so združljivi in nezdružljivi. Združljivi dogodki drug drugega ne izključujejo pojavljanja. Na primer:

A = "na predavanje je prišel študent."
B = "študent je prišel na predavanje."

Ti dogodki so neodvisni drug od drugega in pojav enega od njih ne vpliva na videz drugega. Nezdružljive dogodke določa dejstvo, da pojav enega izključuje pojav drugega. Če govorimo o istem kovancu, potem izpadanje "repov" onemogoča, da bi se "glave" pojavile v istem poskusu.

Dejanja na dogodkih

Dogodke je mogoče množiti in seštevati, v disciplini sta uvedeni logični povezavi "IN" in "ALI".

Znesek je določen z dejstvom, da se lahko zgodi bodisi dogodek A, bodisi B ali dva hkrati. V primeru, ko sta nezdružljiva, je zadnja možnost nemogoča, bodisi A bodisi B.

Množenje dogodkov je sestavljeno iz pojavljanja A in B hkrati.

Zdaj lahko navedete nekaj primerov, da si bolje zapomnite osnove, teorijo verjetnosti in formule. Nadaljnji primeri reševanja problemov.

vaja 1: Podjetje sodeluje na natečaju za naročila treh vrst del. Možni dogodki, ki se lahko pojavijo:

A = "podjetje bo prejelo prvo pogodbo."
A 1 = "podjetje ne bo prejelo prve pogodbe."
B = "podjetje bo prejelo drugo pogodbo."
B 1 = "podjetje ne bo prejelo druge pogodbe"
C = "podjetje bo prejelo tretjo pogodbo."
C 1 = "podjetje ne bo prejelo tretje pogodbe."

Poskusimo izraziti naslednje situacije z dejanji na dogodkih:

K = "podjetje bo prejelo vse pogodbe."

V matematični obliki bo enačba videti takole: K = ABC.

M = "podjetje ne bo prejelo niti ene pogodbe."

M = A 1 B 1 C 1.

Zaplete nalogo: H = "podjetje bo prejelo eno pogodbo." Ker ni znano, katero pogodbo bo podjetje prejelo (prvo, drugo ali tretjo), je treba zabeležiti celotno serijo možnih dogodkov:

Н = А 1 ВС 1 υ AB 1 С 1 υ А 1 В 1 С.

A 1 BC 1 je niz dogodkov, pri katerih podjetje ne prejme prve in tretje pogodbe, prejme pa drugo. Drugi možni dogodki so bili zabeleženi z ustrezno metodo. Simbol υ v disciplini označuje povezavo "ALI". Če podani primer prevedemo v človeški jezik, bo podjetje prejelo bodisi tretjo pogodbo, bodisi drugo, bodisi prvo. Podobno lahko zapišete tudi druge pogoje v disciplini "Teorija verjetnosti". Zgoraj predstavljene formule in primeri reševanja problemov vam bodo pomagali, da to storite sami.

Pravzaprav verjetnost

Morda je v tej matematični disciplini verjetnost dogodka osrednji pojem. Obstajajo 3 definicije verjetnosti:

klasična;
statistični;
geometrijski.

Vsaka ima svoje mesto v preučevanju verjetnosti. Teorija verjetnosti, formule in primeri (9. razred) uporabljajo večinoma klasično definicijo, ki zveni takole:

Verjetnost situacije A je enaka razmerju med številom izidov, ki dajejo prednost njenemu nastanku, in številom vseh možnih izidov.

Formula izgleda takole: P (A) = m / n.

A je pravzaprav dogodek. Če obstaja velika črka, nasprotna od A, jo lahko zapišemo kot Ā ali A 1.

m je število možnih ugodnih primerov.

n - vsi dogodki, ki se lahko zgodijo.

Na primer, A = "izvlecite karto srčne barve." V standardnem kompletu je 36 kart, od tega 9 src. V skladu s tem bo formula za rešitev problema videti tako:

P (A) = 9/36 = 0,25.

Posledično je verjetnost, da se iz krova izvleče karta srčne obleke, 0,25.

Proti višji matematiki

Zdaj je postalo malo znano, kaj je teorija verjetnosti, formule in primeri reševanja nalog, ki se srečujejo v šolskem kurikulumu. Teorijo verjetnosti pa najdemo tudi v višji matematiki, ki jo poučujejo na univerzah. Najpogosteje operirajo z geometrijskimi in statističnimi definicijami teorije in kompleksnimi formulami.

Teorija verjetnosti je zelo zanimiva. Bolje je začeti učiti formule in primere (višja matematika) majhne - s statistično (ali frekvenčno) opredelitvijo verjetnosti.

Statistični pristop ni v nasprotju s klasičnim, ampak ga nekoliko razširi. Če je bilo v prvem primeru treba ugotoviti, s kakšno stopnjo verjetnosti se bo dogodek zgodil, potem je pri tej metodi treba navesti, kako pogosto se bo zgodil. Tu uvajamo nov koncept "relativne frekvence", ki ga lahko označimo z W n (A). Formula se ne razlikuje od klasične:

Če se za napovedovanje izračuna klasična formula, potem statistična - glede na rezultate poskusa. Vzemite na primer majhno nalogo.

Oddelek za tehnološki nadzor preverja kakovost izdelkov. Med 100 izdelki so bili 3 slabe kakovosti. Kako najdete verjetnost pogostosti kakovostnega izdelka?

A = "videz kakovostnega izdelka."

W n (A) = 97/100 = 0,97

Tako je frekvenca kakovostnega izdelka 0,97. Od kod si dobil 97? Od 100 predmetov, ki smo jih preverili, so bili 3 slabe kakovosti. Od 100 odštejemo 3, dobimo 97, to je količina kakovostnega blaga.

Malo o kombinatoriki

Druga metoda teorije verjetnosti se imenuje kombinatorika. Njegovo osnovno načelo je, da če je mogoče določeno izbiro A narediti na m različnih načinov, izbiro B pa na n različnih načinov, potem je mogoče izbrati A in B z množenjem.

Na primer, od mesta A do mesta B vodi 5 cest. Od mesta B do mesta C so 4 poti. Na koliko načinov lahko pridete iz mesta A v mesto C?

Preprosto je: 5x4 = 20, torej lahko prideš od točke A do točke C na dvajset različnih načinov.

Zapletemo nalogo. Na koliko načinov je igranje kart v pasijansu? V krovu je 36 kart - to je izhodišče. Če želite izvedeti število načinov, morate od začetne točke "odšteti" eno kartico in pomnožiti.

Se pravi, 36x35x34x33x32 ... x2x1 = rezultat ne ustreza zaslonu kalkulatorja, zato ga lahko preprosto označite kot 36 !. Podpiši "!" poleg številke označuje, da se med seboj množi celotna serija številk.

V kombinatoriki obstajajo koncepti, kot so permutacija, umestitev in kombinacija. Vsak od njih ima svojo formulo.

Urejeni niz elementov v nizu se imenuje razporeditev. Umestitve se lahko ponavljajo, to pomeni, da je en element mogoče uporabiti večkrat. In brez ponavljanja, ko se elementi ne ponavljajo. n so vsi elementi, m elementi, ki sodelujejo pri umestitvi. Formula za umestitev brez ponovitev bi bila:

A n m = n! / (N-m)!

Povezave n elementov, ki se razlikujejo le po vrstnem redu postavitve, imenujemo permutacije. V matematiki je to: P n = n!

Kombinacije n elementov po m imenujemo takšne spojine, v katerih je pomembno, kateri elementi so bili in kakšno je bilo njihovo skupno število. Formula bo videti takole:

A n m = n! / M! (N-m)!

Bernoullijeva formula

V teoriji verjetnosti, kot v vsaki disciplini, obstajajo dela izjemnih raziskovalcev na svojem področju, ki so jo dvignili na novo raven. Eno od teh del je Bernoullijeva formula, ki vam omogoča, da določite verjetnost, da se določen dogodek zgodi pod neodvisnimi pogoji. To nakazuje, da pojav A v poskusu ni odvisen od pojava ali nepojavljanja istega dogodka v prejšnjih ali naslednjih testih.

Bernoullijeva enačba:

P n (m) = C n m × p m × q n-m.

Verjetnost (p) pojava dogodka (A) je za vsak test nespremenjena. Verjetnost, da se bo situacija zgodila natanko m-krat v n številu poskusov, se izračuna po zgoraj predstavljeni formuli. V skladu s tem se postavlja vprašanje, kako najti število q.

Če se dogodek A pojavi p številokrat oziroma se morda ne zgodi. Ena je številka, ki se uporablja za označevanje vseh izidov situacije v disciplini. Zato je q število, ki označuje možnost, da se dogodek ne zgodi.

Zdaj poznate Bernoullijevo formulo (teorija verjetnosti). Nadalje bomo obravnavali primere reševanja problemov (prva raven).

2. naloga: Obiskovalec trgovine bo opravil nakup z verjetnostjo 0,2. Samostojno je v trgovino vstopilo 6 obiskovalcev. Kakšna je verjetnost, da bo obiskovalec opravil nakup?

Rešitev: Ker ni znano, koliko obiskovalcev naj opravi nakup, eden ali vseh šest, je treba po Bernoullijevi formuli izračunati vse možne verjetnosti.

A = "obiskovalec opravi nakup."

V tem primeru: p = 0,2 (kot je navedeno v nalogi). V skladu s tem je q = 1-0,2 = 0,8.

n = 6 (ker je v trgovini 6 kupcev). Število m se bo spremenilo iz 0 (noben kupec ne bo opravil nakupa) na 6 (vsi obiskovalci trgovine bodo nekaj kupili). Kot rezultat dobimo rešitev:

P 6 (0) = C 0 6 × p 0 × q 6 = q 6 = (0,8) 6 = 0,2621.

Nobeden od kupcev ne bo opravil nakupa z verjetnostjo 0,2621.

Kako se sicer uporablja Bernoullijeva formula (teorija verjetnosti)? Primeri reševanja problemov (druga raven) spodaj.

Po zgornjem primeru se porajajo vprašanja, kam sta šla C in p. Glede na p bo število na potenco 0 enako ena. Kar se tiče C, ga je mogoče najti po formuli:

C n m = n! / m! (n-m)!

Ker je v prvem primeru m = 0, C = 1, kar načeloma ne vpliva na rezultat. Z novo formulo poskusimo ugotoviti, kolikšna je verjetnost, da dva obiskovalca kupita blago.

P 6 (2) = C 6 2 × p 2 × q 4 = (6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1) / (2 × 1 × 4 × 3 × 2 × 1) × (0,2) 2 × ( 0,8) 4 = 15 × 0,04 × 0,4096 = 0,246.

Teorija verjetnosti ni tako zapletena. Bernoullijeva formula, katere primeri so predstavljeni zgoraj, je neposreden dokaz za to.

Poissonova formula

Poissonova enačba se uporablja za izračun malo verjetnih naključnih situacij.

Osnovna formula:

P n (m) = λ m / m! × e (-λ).

Poleg tega je λ = n x p. Tukaj je tako preprosta Poissonova formula (teorija verjetnosti). Nadalje bomo obravnavali primere reševanja problemov.

Naloga 3: Tovarna je izdelala dele v količini 100.000 kosov. Pojav okvarjenega dela = 0,0001. Kakšna je verjetnost, da bo v seriji 5 pokvarjenih delov?

Kot lahko vidite, je poroka malo verjeten dogodek, zato se za izračun uporablja Poissonova formula (teorija verjetnosti). Primeri reševanja tovrstnih problemov se v ničemer ne razlikujejo od drugih nalog discipline, potrebne podatke nadomestimo v dani formuli:

A = "naključno izbran del bo pokvarjen."

p = 0,0001 (glede na pogoj naloge).

n = 100000 (število delov).

m = 5 (pokvarjeni deli). Podatke vnesemo v formulo in dobimo:

P 100000 (5) = 10 5/5! Xe -10 = 0,0375.

Tako kot Bernoullijeva formula (teorija verjetnosti), primeri rešitev s katerimi so zapisani zgoraj, ima Poissonova enačba neznano e. Pravzaprav jo lahko najdemo po formuli:

е -λ = lim n -> ∞ (1-λ / n) n.

Vendar pa obstajajo posebne tabele, ki vsebujejo skoraj vse vrednosti e.

Moivre-Laplaceov izrek

Če je število testov v Bernoullijevi shemi dovolj veliko in je verjetnost pojava dogodka A v vseh shemah enaka, potem lahko verjetnost, da se dogodek A pojavi določeno število krat v seriji testov, najdemo z Laplaceova formula:

Р n (m) = 1 / √npq x ϕ (X m).

X m = m-np / √npq.

Da bi si bolje zapomnili Laplaceovo formulo (teorija verjetnosti), so vam v pomoč primeri težav spodaj.

Najprej najdemo X m, zamenjamo podatke (vsi so navedeni zgoraj) v formulo in dobimo 0,025. S pomočjo tabel najdemo število ϕ (0,025), katerega vrednost je 0,3988. Zdaj lahko zamenjate vse podatke v formuli:

R 800 (267) = 1 / √ (800 x 1/3 x 2/3) x 0,3988 = 3/40 x 0,3988 = 0,03.

Torej je verjetnost, da se bo letak sprožil natanko 267-krat, 0,03.

Bayesova formula

Bayesova formula (teorija verjetnosti), primeri reševanja problemov s pomočjo katere bodo podani v nadaljevanju, je enačba, ki opisuje verjetnost dogodka glede na okoliščine, ki bi lahko bile z njim povezane. Osnovna formula izgleda takole:

P (A | B) = P (B | A) x P (A) / P (B).

A in B sta določena dogodka.

P (A | B) - pogojna verjetnost, to pomeni, da se dogodek A lahko zgodi, če je dogodek B resničen.

P (B | A) - pogojna verjetnost dogodka B.

Torej, zadnji del kratkega tečaja "Teorija verjetnosti" je Bayesova formula, primeri rešitev problemov s katerimi so spodaj.

Naloga 5: V skladišče so pripeljali telefone treh podjetij. Hkrati je del telefonov, ki so proizvedeni v prvi tovarni, 25%, v drugi - 60%, v tretji - 15%. Znano je tudi, da je povprečni odstotek pokvarjenih izdelkov v prvi tovarni 2%, v drugi - 4%, v tretji - 1%. Treba je najti verjetnost, da se bo naključno izbran telefon izkazal za okvarjenega.

A = "naključno izbran telefon".

B 1 - telefon, ki ga je izdelala prva tovarna. V skladu s tem se prikažeta vnosa B 2 in B 3 (za drugo in tretjo tovarno).

Kot rezultat dobimo:

P (B 1) = 25 % / 100 % = 0,25; P (B 2) = 0,6; P (B 3) = 0,15 - tako smo našli verjetnost vsake možnosti.

Zdaj morate najti pogojne verjetnosti želenega dogodka, to je verjetnost okvarjenih izdelkov v podjetjih:

P (A / B 1) = 2 % / 100 % = 0,02;

P (A / B 2) = 0,04;

P (A / B 3) = 0,01.

Zdaj dodamo podatke v Bayesovo formulo in dobimo:

P (A) = 0,25 x 0,2 + 0,6 x 0,4 + 0,15 x 0,01 = 0,0305.

Članek predstavlja teorijo verjetnosti, formule in primere reševanja problemov, vendar je to le vrh ledene gore obsežne discipline. In po vsem napisanem se bo logično zastaviti vprašanje, ali je teorija verjetnosti potrebna v življenju. Navadnemu človeku je težko odgovoriti, bolje je vprašati osebo, ki je z njeno pomočjo večkrat zadela jackpot.

Na voljo bodo tudi naloge za samostojno rešitev, na katere si lahko ogledate odgovore.

Teorija verjetnosti o vrstah dogodkov in verjetnosti njihovega nastanka

Teorija verjetnosti proučuje vrste dogodkov in verjetnost njihovega nastanka. Pojav teorije verjetnosti sega v sredino 17. stoletja, ko so se matematiki začeli zanimati za težave, ki jih postavljajo hazarderji, in začeli preučevati dogodke, kot je pojav dobitka. V procesu reševanja teh problemov sta se izkristalizirala pojma, kot sta verjetnost in matematično pričakovanje. Znanstveniki tistega časa - Huygens (1629-1695), Pascal (1623-1662), Fermat (1601-1665) in Bernoulli (1654-1705) so bili prepričani, da lahko na podlagi množičnih naključnih dogodkov nastanejo jasni vzorci. Hkrati so za raziskovanje zadostovale osnovne aritmetične in kombinatorne operacije.

Torej teorija verjetnosti razlaga in raziskuje različne vzorce, ki urejajo naključne dogodke in naključne spremenljivke. Dogodek je vsako dejstvo, ki ga je mogoče navesti kot rezultat opazovanja ali izkušenj. Opazovanje ali izkušnja se nanaša na uresničitev določenih pogojev, v katerih se dogodek lahko zgodi.

Kaj morate vedeti, da ugotovite verjetnost, da se dogodek zgodi

Vse dogodke, ki jih ljudje opazujejo ali ustvarijo sami, delimo na:

zanesljivi dogodki;
nemogoči dogodki;
naključni dogodki.

Verodostojni dogodki vedno nastane, ko je nastal določen sklop okoliščin. Na primer, če delamo, dobimo za to nagrado, če smo opravili izpite in tekmovanje, potem lahko zanesljivo računamo, da bomo vključeni v število študentov. Zanesljive dogodke je mogoče opazovati v fiziki in kemiji. V gospodarstvu so zanesljivi dogodki povezani z obstoječo družbeno strukturo in zakonodajo. Če na primer položimo denar v banko za depozit in izrazimo željo, da ga prejmemo v določenem času, potem denar prejmemo. Na to lahko računamo kot na zanesljiv dogodek.

Nemogoči dogodki vsekakor ne pride, če je bil ustvarjen določen niz pogojev. Voda na primer ne zmrzne, če je temperatura plus 15 stopinj Celzija, proizvodnja ne poteka brez električne energije.

Naključni dogodki ko je določen niz pogojev realiziran, lahko in ne. Na primer, če enkrat vržemo kovanec, lahko grb pade ali pa tudi ne, lahko dobite z srečko, vendar ne morete zmagati, proizvedeni izdelek je lahko dober ali pa je pokvarjen. Videz okvarjenega artikla je naključni dogodek, bolj redek kot proizvodnja dobrih artiklov.

Pričakovana pogostost pojavljanja naključnih dogodkov je tesno povezana s konceptom verjetnosti. Zakonite o pojavu in nepojavitvi naključnih dogodkov raziskuje teorija verjetnosti.

Če se nabor potrebnih pogojev izvede samo enkrat, potem o naključnem dogodku prejmemo premalo informacij, saj se lahko zgodi ali pa tudi ne. Če se sklop pogojev izvaja večkrat, se pojavijo določene pravilnosti. Na primer, nikoli ni mogoče vedeti, kateri aparat za kavo v trgovini bo potreboval naslednji kupec, če pa so blagovne znamke najbolj iskanih kavnih avtomatov znane že dlje časa, potem je na podlagi teh podatkov mogoče organizirati proizvodnjo ali ponudbo za zadovoljitev povpraševanja.

Poznavanje zakonov, ki urejajo množične naključne dogodke, omogoča predvidevanje, kdaj se bodo ti dogodki zgodili. Na primer, kot je bilo že omenjeno, rezultata meta kovanca ni mogoče predvideti vnaprej, če pa se kovanec vrže večkrat, je emblem mogoče predvideti. Napaka je lahko majhna.

Metode teorije verjetnosti se pogosto uporabljajo v različnih vejah naravoslovja, teoretični fiziki, geodeziji, astronomiji, teoriji avtomatskega krmiljenja, teoriji opazovanja napak in v mnogih drugih teoretičnih in praktičnih znanostih. Teorija verjetnosti se pogosto uporablja v načrtovanju in organizaciji proizvodnje, analizi kakovosti izdelkov, analizi procesov, zavarovanju, statistiki prebivalstva, biologiji, balistiki in drugih panogah.

Naključni dogodki so običajno označeni z velikimi črkami latinske abecede A, B, C itd.

Naključni dogodki so lahko:

nedosleden;
sklep.

Dogodki A, B, C ... se imenujejo nedosleden če se lahko zaradi enega preizkusa zgodi eden od teh dogodkov, vendar je nastop dveh ali več dogodkov nemogoč.

Če pojav enega naključnega dogodka ne izključuje pojava drugega dogodka, se takšni dogodki imenujejo sklep ... Na primer, če je naslednji del odstranjen s tekočega traku in dogodek A pomeni "del ustreza standardu", dogodek B pa pomeni "del ne ustreza standardu", potem sta A in B nezdružljiva dogodka. Če dogodek C pomeni "izvzeti del II. razreda", je ta dogodek združen z dogodkom A, vendar ni združljiv z dogodkom B.

Če bi se v vsakem opazovanju (preskusu) zgodil en in samo eden od nedoslednih naključnih dogodkov, potem ti dogodki sestavljajo celoten sklop (sistem) dogodkov .

Verodostojen dogodek je začetek vsaj enega dogodka iz celotnega niza dogodkov.

Če dogodki, ki tvorijo celoten sklop dogodkov parno nezdružljivo , potem se lahko zaradi opazovanja zgodi le eden od teh dogodkov. Študent mora na primer rešiti dve nalogi testa. Eno in edino od naslednjega se bo zagotovo zgodilo:

prva naloga bo rešena, druga naloga pa ne;
druga naloga bo rešena, prva pa ne;
obe nalogi bosta rešeni;
nobena od nalog ne bo rešena.

Ti dogodki se oblikujejo celoten niz nedoslednih dogodkov .

Če je celoten niz dogodkov sestavljen samo iz dveh nezdružljivih dogodkov, se imenujejo medsebojno nasprotni oz alternativa dogodkov.

Dogodek nasproti dogodku je označen. Na primer, v primeru enega metanja kovanca se lahko pojavi nominalna vrednost () ali grb ().

Dogodki se imenujejo enako možno če nobeden od njih nima objektivnih prednosti. Takšni dogodki so tudi celoten sklop dogodkov. To pomeni, da se mora zaradi opazovanja ali testiranja zagotovo zgoditi vsaj eden od enako možnih dogodkov.

Na primer, popolna skupina dogodkov se oblikuje z izgubo apoena in emblema z enim metom kovanca, prisotnostjo 0, 1, 2, 3 in več kot 3 napak na eni natisnjeni strani besedila.

Klasične in statistične verjetnosti. Formule verjetnosti: klasične in statistične

Klasična definicija verjetnosti. Priložnost ali ugoden primer je primer, ko se uresniči določen sklop okoliščin dogodka A zgoditi. Klasična definicija verjetnosti vključuje neposredno izračun števila ugodnih primerov ali priložnosti.

Verjetnost dogodka A je razmerje med številom ugodnih priložnosti za ta dogodek in številom vseh enako možnih nezdružljivih dogodkov N ki se lahko pojavi kot posledica enega samega preskušanja ali opazovanja. Formula verjetnosti dogodkov A:

Če je popolnoma jasno o verjetnosti, o katerem dogodku govorimo, potem je verjetnost označena z malo črko str brez navedbe oznake dogodka.

Za izračun verjetnosti po klasični definiciji je treba poiskati število vseh enako možnih nekonsistentnih dogodkov in ugotoviti, koliko od njih je ugodnih za definicijo dogodka. A.

Primer 1. Poišči verjetnost, da dobiš številko 5 kot rezultat metanja kocke.

Rešitev. Znano je, da ima vseh šest obrazov enako priložnost biti na vrhu. Številka 5 je označena samo na enem obrazu. Število vseh enako možnih neskladnih dogodkov je 6, od tega le ena ugodna priložnost za število 5 ( M= 1). To pomeni, da je želena verjetnost, da dobimo številko 5

Primer 2.Škatla vsebuje 3 rdeče in 12 belih kroglic enake velikosti. Ena žogica je bila vzeta brez pogleda. Poišči verjetnost, da je vzeta rdeča krogla.

Rešitev. Iskanje verjetnosti

Sami poiščite verjetnosti in nato poglejte rešitev

Primer 3. Vrže se kocka. Dogodek B- izpadlo je sodo število. Izračunajte verjetnost tega dogodka.

Primer 5. V žari je 5 belih in 7 črnih kroglic. 1 žogica je naključno izvlečena. Dogodek A- bela krogla je izvlečena. Dogodek B- izvleče se črna kroglica. Izračunajte verjetnosti teh dogodkov.

Klasična verjetnost se imenuje tudi predhodna verjetnost, saj se izračuna pred začetkom preizkusa ali opazovanja. A priori narava klasične verjetnosti pomeni njeno glavno pomanjkljivost: le v redkih primerih je že pred začetkom opazovanja mogoče izračunati vse enako možne nezdružljive dogodke, vključno z ugodnimi dogodki. Takšne priložnosti se običajno pojavijo v situacijah, podobnih igram.

Kombinacije.Če zaporedje dogodkov ni pomembno, se število možnih dogodkov izračuna kot število kombinacij:

Primer 6. V skupini je 30 študentov. Trije dijaki naj gredo na oddelek za računalništvo, da vzamejo in prinesejo računalnik in projektor. Izračunajte verjetnost, da bodo to storili trije določeni učenci.

Rešitev. Število možnih dogodkov se izračuna po formuli (2):

Verjetnost, da bodo na oddelek šli trije določeni študenti:

Primer 7. V prodaji je 10 mobilnih telefonov. Obstajajo 3 od njih, ki imajo napake. Kupec je izbral 2 telefona. Izračunajte verjetnost, da bosta oba izbrana telefona pokvarjena.

Rešitev. Število vseh enako možnih dogodkov najdemo s formulo (2):

Z uporabo iste formule najdemo število priložnosti, ki so ugodne za dogodek:

Iščemo verjetnost, da bosta oba izbrana telefona pokvarjena:

Sami poiščite verjetnost in nato poiščite rešitev

Primer 8. Izpitne liste vsebujejo 40 vprašanj, ki se ne ponavljajo. Na 30 jih je dijak pripravil odgovore. Vsaka vstopnica vsebuje 2 vprašanji. Kakšna je verjetnost, da študent pozna odgovore na obe vprašanji na listki?

Mnogi se, ko se soočijo s konceptom "teorije verjetnosti", prestrašijo in mislijo, da je to nekaj velikega, zelo težkega. A pravzaprav vse ni tako tragično. Danes bomo obravnavali osnovni koncept teorije verjetnosti, naučili se bomo reševati probleme na posebnih primerih.

Znanost

Kaj preučuje taka veja matematike, kot je "teorija verjetnosti"? Opaža vzorce in količine. Prvič so se znanstveniki za to vprašanje začeli zanimati že v osemnajstem stoletju, ko so preučevali igre na srečo. Osnovni koncept teorije verjetnosti je dogodek. To je vsako dejstvo, ki je potrjeno z izkušnjami ali opazovanjem. Toda kaj je izkušnja? Še en osnovni koncept teorije verjetnosti. To pomeni, da ta splet okoliščin ni nastal po naključju, ampak z določenim namenom. Kar zadeva opazovanje, tukaj raziskovalec sam ne sodeluje v poskusu, ampak je le priča tem dogodkom, na noben način ne vpliva na dogajanje.

Dogodki

Spoznali smo, da je osnovni koncept teorije verjetnosti dogodek, a klasifikacije nismo upoštevali. Vsi spadajo v naslednje kategorije:

Verodostojno.
Nemogoče.
Naključen.

Ne glede na to, kakšni dogodki so opazovani ali ustvarjeni med poskusom, so vsi predmet te klasifikacije. Vabimo vas, da se seznanite z vsako od vrst posebej.

Verodostojen dogodek

To je taka okoliščina, pred katero so bili sprejeti potrebni ukrepi. Da bi bolje razumeli bistvo, je bolje navesti nekaj primerov. Temu zakonu veljajo fizika, kemija, ekonomija in višja matematika. Teorija verjetnosti vključuje tako pomemben koncept, kot je zanesljiv dogodek. Tukaj je nekaj primerov:

Delamo in prejemamo plačilo v obliki plače.
Dobro smo opravili izpite, opravili tekmovanje, za kar prejmemo nagrado v obliki sprejema v izobraževalno ustanovo.
Denar smo vložili v banko, če bo treba, ga bomo dobili nazaj.

Takšni dogodki so verodostojni. Če smo izpolnili vse potrebne pogoje, bomo zagotovo dobili pričakovani rezultat.

Nemogoči dogodki

Zdaj si ogledujemo elemente teorije verjetnosti. Predlagamo, da preidemo na razlago naslednje vrste dogodka, namreč nemogočega. Za začetek določimo najpomembnejše pravilo – verjetnost nemogočega dogodka je nič.

Od te formulacije pri reševanju problemov ni mogoče odstopati. Za pojasnitev, tukaj so primeri takšnih dogodkov:

Voda je zmrznila pri temperaturi plus deset (to je nemogoče).
Pomanjkanje električne energije nikakor ne vpliva na proizvodnjo (tako nemogoče kot v prejšnjem primeru).

Več primerov ni vredno navajati, saj zgoraj opisani zelo jasno odražajo bistvo te kategorije. Nemogoč dogodek se ne bo nikoli zgodil med izkušnjo pod nobenim pogojem.

Naključni dogodki

Pri preučevanju elementov je treba posebno pozornost nameniti tej posebni vrsti dogodka. Prav njih ta znanost preučuje. Kot rezultat izkušnje se lahko nekaj zgodi ali pa ne. Poleg tega se lahko preizkus izvede neomejeno število krat. Osupljivi primeri so:

Met kovanca je izkušnja ali preizkus; padec glave je dogodek.
Izvlečenje žoge iz vreče na slepo je preizkus, rdeča krogla je ujeta - to je dogodek itd.

Takih primerov je lahko neomejeno, a na splošno bi moralo biti bistvo jasno. Za povzetek in sistematizacijo pridobljenega znanja o dogodkih je podana tabela. Teorija verjetnosti proučuje le zadnjo vrsto od vseh predstavljenih.

naslov	opredelitev
Verodostojno	Dogodki, ki se odvijajo s 100-odstotno garancijo, pod določenimi pogoji.	Vpis v izobraževalno ustanovo z dobro opravljenim sprejemnim izpitom.
Nemogoče	Dogodki, ki se v nobenem primeru ne bodo zgodili.	Sneži pri temperaturi zraka plus trideset stopinj Celzija.
Naključen	Dogodek, ki se lahko zgodi ali pa tudi ne med poskusom/testom.	Zadeti ali zgrešiti pri metanju košarkarske žoge v koš.

Zakoni

Teorija verjetnosti je znanost, ki preučuje možnost nastanka dogodka. Tako kot drugi ima tudi ta pravila. Obstajajo naslednji zakoni teorije verjetnosti:

Konvergenca zaporedij naključnih spremenljivk.
Zakon velikih števil.

Pri izračunu možnosti kompleksa lahko uporabite niz preprostih dogodkov, da dosežete rezultat na lažji in hitrejši način. Upoštevajte, da je zakone teorije verjetnosti enostavno dokazati z uporabo nekaterih izrekov. Predlagamo, da se najprej seznanite s prvim zakonom.

Konvergenca zaporedij naključnih spremenljivk

Upoštevajte, da obstaja več vrst konvergence:

Zaporedje naključnih spremenljivk se po verjetnosti konvergira.
Skoraj nemogoče.
Srednje kvadratna konvergenca.
Konvergenca v distribuciji.

Tako je na hitro zelo težko dojeti bistvo. Tukaj je nekaj definicij, ki vam bodo pomagale razumeti to temo. Za začetek prvi pogled. Zaporedje se imenuje konvergirajo po verjetnosti, če je izpolnjen naslednji pogoj: n teži k neskončnosti, je število, h kateremu teži zaporedje, večje od nič in je blizu ena.

Pojdimo na naslednji obrazec, skoraj zagotovo... Rečeno je, da se zaporedje konvergira skoraj zagotovo na naključno spremenljivko, saj n teži k neskončnosti, P pa k vrednosti blizu enote.

Naslednja vrsta je RMS konvergenca... Pri uporabi SK-konvergence se študij vektorskih stohastičnih procesov zmanjša na preučevanje njihovih koordinatnih stohastičnih procesov.

Zadnja vrsta ostaja, na kratko jo analizirajmo, da nadaljujemo neposredno k reševanju problemov. Konvergenca v distribuciji ima še eno ime - "šibka", spodaj bomo razložili, zakaj. Šibka konvergenca Je konvergenca porazdelitvenih funkcij na vseh točkah kontinuitete omejevalne porazdelitvene funkcije.

Obljubo bomo zagotovo držali: šibka konvergenca se od vseh naštetih razlikuje po tem, da naključna spremenljivka ni definirana na verjetnostnem prostoru. To je mogoče, ker se pogoj oblikuje izključno z uporabo distribucijskih funkcij.

Zakon velikih števil

Izreki teorije verjetnosti, kot so:

Čebiševa neenakost.
Čebišev izrek.
Posplošen Čebišev izrek.
Markovljev izrek.

Če upoštevamo vse te izreke, se lahko to vprašanje zavleče na več deset strani. Naša glavna naloga je uporabiti teorijo verjetnosti v praksi. Predlagamo, da to storite takoj in to storite. Toda pred tem razmislite o aksiomih teorije verjetnosti, ki bodo glavni pomočniki pri reševanju problemov.

aksiomi

S prvim smo se že srečali, ko smo govorili o nemogočem dogodku. Zapomnimo si: verjetnost nemogočega dogodka je nič. Navedli smo zelo nazoren in nepozaben primer: snežilo je pri temperaturi zraka trideset stopinj Celzija.

Drugi je naslednji: zanesljiv dogodek se zgodi z verjetnostjo, ki je enaka ena. Zdaj bomo pokazali, kako to zapisati z matematičnim jezikom: P (B) = 1.

Tretjič: naključni dogodek se lahko zgodi ali pa tudi ne, vendar se možnost vedno spreminja od nič do ena. Bližje kot je vrednost enoti, večje so možnosti; če se vrednost približa nič, je verjetnost zelo majhna. Zapišimo ga v matematičnem jeziku: 0<Р(С)<1.

Razmislite o zadnjem, četrtem aksiomu, ki zveni takole: verjetnost vsote dveh dogodkov je enaka vsoti njunih verjetnosti. Pišemo v matematičnem jeziku: P (A + B) = P (A) + P (B).

Aksiomi teorije verjetnosti so najpreprostejša pravila, ki si jih ne bo težko zapomniti. Poskusimo rešiti nekaj težav, pri čemer se zanašamo na že pridobljeno znanje.

Loterija

Začnimo z najpreprostejšim primerom - loteriji. Predstavljajte si, da ste za srečo kupili eno srečko. Kakšna je verjetnost, da boste osvojili vsaj dvajset rubljev? Skupno v žrebanju sodeluje tisoč vstopnic, od katerih ima ena nagrado petsto rubljev, deset za sto rubljev, petdeset za dvajset rubljev in sto za pet. Težave z verjetnostjo temeljijo na iskanju priložnosti za srečo. Zdaj bomo skupaj analizirali rešitev zgoraj predstavljene naloge.

Če s črko A označimo dobitek v višini petsto rubljev, bo verjetnost, da dobimo A, 0,001. Kako smo ga dobili? Samo število "srečnih" vstopnic morate deliti z njihovim skupnim številom (v tem primeru: 1/1000).

B je zmaga sto rubljev, verjetnost bo 0,01. Zdaj smo ravnali po enakem principu kot v prejšnji akciji (10/1000)

С - dobitek je enak dvajsetim rubljem. Najdemo verjetnost, enaka je 0,05.

Ostale vstopnice nas ne zanimajo, saj je njihov nagradni sklad manjši od navedenega v pogoju. Uporabimo četrti aksiom: verjetnost za zmago vsaj dvajset rubljev je P (A) + P (B) + P (C). Črka P označuje verjetnost nastanka tega dogodka, našli smo jih že v prejšnjih dejanjih. Ostaja le še dodati potrebne podatke, v odgovoru dobimo 0,061. Ta številka bo odgovor na vprašanje o nalogi.

Krov kart

Težave teorije verjetnosti so lahko bolj zapletene, na primer vzemimo naslednjo nalogo. Tukaj je sklop šestintridesetih kart. Vaša naloga je, da izvlečete dve karti zapored brez mešanja kupa, prva in druga karta morata biti asi, barva ni pomembna.

Najprej poiščimo verjetnost, da bo prva karta as, za to štiri delimo s šestintrideset. Odložili so ga. Vzamemo drugo karto, to bo as z verjetnostjo tri petintrideset. Verjetnost drugega dogodka je odvisna od tega, katero karto izvlečemo prvo, sprašujemo se, ali je bil as ali ne. Iz tega sledi, da je dogodek B odvisen od dogodka A.

Naslednji korak je poiskati verjetnost hkratnega pojava, torej pomnožimo A in B. Njun produkt najdemo takole: verjetnost enega dogodka se pomnoži s pogojno verjetnostjo drugega, ki jo izračunamo ob predpostavki, da je prvi zgodil dogodek, torej s prvo karto smo izvlekli asa.

Da bi bilo vse jasno, bomo dali oznako takemu elementu kot dogodki. Izračuna se ob predpostavki, da se je zgodil dogodek A. Izračunano na naslednji način: P (B / A).

Nadaljujmo z reševanjem našega problema: P (A * B) = P (A) * P (B / A) ali P (A * B) = P (B) * P (A / B). Verjetnost je (4/36) * ((3/35) / (4/36). Izračunajte, zaokrožite na najbližjo stotino. Imamo: 0,11 * (0,09 / 0,11) = 0,11 * 0, 82 = 0,09 Verjetnost da bomo izžrebali dva asa zapored je enaka devetim stotinkam Vrednost je zelo majhna, kar pomeni, da je verjetnost nastanka dogodka izjemno majhna.

Pozabljena številka

Predlagamo, da analiziramo več možnosti za naloge, ki jih preučuje teorija verjetnosti. V tem članku ste že videli primere reševanja nekaterih od njih, poskusimo rešiti naslednjo težavo: fant je pozabil zadnjo številko telefonske številke svojega prijatelja, a ker je bil klic zelo pomemben, je začel klicati vse po vrsti. Izračunati moramo verjetnost, da ne bo poklical več kot trikrat. Rešitev problema je najenostavnejša, če so znana pravila, zakoni in aksiomi teorije verjetnosti.

Preden pogledate rešitev, jo poskusite rešiti sami. Vemo, da je lahko zadnja številka od nič do devet, torej je le deset vrednosti. Verjetnost za pridobitev zahtevanega je 1/10.

Nato moramo razmisliti o možnostih izvora dogodka, predpostavimo, da je fant pravilno uganil in takoj vtipkal želeno, verjetnost takega dogodka je 1/10. Druga možnost: prvi klic je zgrešen, drugi pa je na cilju. Izračunajmo verjetnost takšnega dogodka: 9/10 pomnožimo z 1/9, na koncu dobimo tudi 1/10. Tretja možnost: prvi in drugi klic sta bila na napačnem naslovu, le s tretjega je fant prišel, kamor je hotel. Izračunamo verjetnost takega dogodka: 9/10 pomnožimo z 8/9 in z 1/8 dobimo kot rezultat 1/10. Druge možnosti glede na pogoj problema nas ne zanimajo, zato moramo dobljene rezultate sešteti, na koncu imamo 3/10. Odgovor: Verjetnost, da bo fant poklical največ trikrat, je 0,3.

Številčne kartice

Pred vami je devet kart, na vsaki je napisana številka od ena do devet, številke se ne ponavljajo. Dali so jih v škatlo in temeljito premešali. Izračunati morate verjetnost, da

sodo število bo izpadlo;
dvomestno.

Preden nadaljujemo z rešitvijo, določimo, da je m število uspešnih primerov, n pa skupno število možnosti. Poiščimo verjetnost, da bo število sodo. Ne bo težko izračunati, da so štiri sode številke, to bo naše m, skupno je možnih devet možnosti, torej m = 9. Potem je verjetnost 0,44 ali 4/9.

Razmislite o drugem primeru: število možnosti je devet, vendar uspešnih izidov sploh ne more biti, to pomeni, da je m enak nič. Tudi verjetnost, da bo izvlečena karta vsebovala dvomestno številko, je enaka nič.

Klasična definicija verjetnosti temelji na konceptu verjetnostne izkušnje, ali verjetnostni eksperiment. Njegov rezultat je eden od več možnih izidov, imenovanih elementarni rezultati, in ni razloga za pričakovati, da se bo katerikoli elementarni izid pojavil pogosteje kot drugi pri ponavljanju verjetnostnega poskusa. Na primer, razmislite o verjetnostnem poskusu z metanjem kocke. Rezultat te izkušnje je ena od 6 točk, narisanih na straneh kocke.

Tako je v tem poskusu 6 osnovnih rezultatov:

in vsak od njih je enako pričakovan.

Dogodek v klasičnem verjetnostnem eksperimentu je poljubna podmnožica niza elementarnih izidov. V obravnavanem primeru metanja kocke je dogodek na primer sodo število točk, ki je sestavljeno iz elementarnih izidov.

Verjetnost dogodka je število:

kjer je število elementarnih izidov, ki sestavljajo dogodek (včasih pravijo, da je to število elementarnih izidov, ki dajejo prednost nastanku dogodka), in število vseh elementarnih izidov.

V našem primeru:

Kombinatorni elementi.

Ko opisujemo številne verjetnostne eksperimente, lahko elementarne izide identificiramo z enim od naslednjih predmetov kombinatorike (znanost o končnih množicah).

Permutacija iz števil se imenuje poljuben urejen zapis teh števil brez ponovitev. Na primer, za niz treh številk obstaja 6 različnih permutacij:

, , , , , .

Za poljubno število permutacij je

(zmnožek zaporednih števil naravnih števil, začenši z 1).

Kombinacija programske opreme se imenuje poljubna neurejena zbirka poljubnih elementov množice. Na primer, za niz treh številk obstajajo 3 različne kombinacije od 3 do 2:

Za poljuben par je število kombinacij iz in enako

na primer,

Hipergeometrijska porazdelitev.

Upoštevajte naslednjo verjetnostno izkušnjo. Obstaja črna škatla, ki vsebuje bele in črne kroglice. Kroglice so enake velikosti in se na dotik ne razlikujejo. Poskus je sestavljen iz naključnega jemanja žogic. Dogodek, katerega verjetnost je treba najti, je, da so te kroglice bele, ostale pa črne.

Naštejmo vse kroglice s številkami od 1 do. Številke 1, ¼ naj ustrezajo belim kroglicam, številke ¼ pa črnim kroglicam. Osnovni rezultat te izkušnje je neurejena zbirka elementov iz niza, to je kombinacija by. Zato obstajajo vsi osnovni rezultati.

Poiščimo število elementarnih izidov, ki prispevajo k nastanku dogodka. Ujemajoči se nizi so sestavljeni iz "belih" in "črnih" številk. Številke iz "belih" številk lahko izbirate na načine, številke iz "črnih" pa na načine. Bele in črne garniture je mogoče poljubno kombinirati, tako da so za dogodek naklonjeni le elementarni izidi.

Verjetnost dogodka je

Nastala formula se imenuje hipergeometrijska porazdelitev.

Naloga 5.1.Škatla vsebuje 55 pogojnih in 6 pokvarjenih delov iste vrste. Kolikšna je verjetnost, da bo med tremi naključno izbranimi deli vsaj en pokvarjen?

Rešitev. Skupno je 61 detajlov, vzamemo 3. Elementarni izid je kombinacija 61 proti 3. Število vseh elementarnih izidov je enako. Ugodne izide delimo v tri skupine: 1) to so rezultati, pri katerih je 1 del pomanjkljiv, 2 pa dobra; 2) 2 dela sta pokvarjena in 1 je dober; 3) vsi 3 deli so pokvarjeni. Število sklopov prve vrste je enako, število nizov druge vrste je enako, število nizov tretje vrste je. Posledično osnovni izidi dajejo prednost nastanku dogodka. Verjetnost dogodka je

Algebra dogodkov

Prostor elementarnih dogodkov imenujemo množica vseh elementarnih rezultatov, povezanih z dano izkušnjo.

Vsota dva dogodka se imenuje dogodek, ki je sestavljen iz elementarnih rezultatov, ki pripadajo dogodku ali dogodku.

Po izdelku dva dogodka se imenuje dogodek, sestavljen iz elementarnih rezultatov, ki sočasno pripadajo dogodkom in.

Dogodki in se imenujejo neskladni, če.

Dogodek se imenuje nasprotno dogodek, če dogodku favorizirajo vsi tisti elementarni izidi, ki ne sodijo v dogodek. Še posebej, , .

Izrek o vsoti.

Še posebej, .

Pogojna verjetnost dogodkov, pod pogojem, da se je dogodek zgodil, imenujemo razmerje med številom elementarnih izidov, ki pripadajo presečišču, in številom elementarnih izidov, ki mu pripadajo. Z drugimi besedami, pogojna verjetnost dogodka je določena s klasično formulo verjetnosti, v kateri je nov verjetnostni prostor. Pogojna verjetnost dogodka je označena z.

TOREM o izdelku. ...

Dogodki se imenujejo neodvisna, če . Za neodvisne dogodke izrek produkta daje relacijo.

Naslednji dve formuli sta posledica izrekov o vsoti in produktu.

Formula skupne verjetnosti. Celotna skupina hipotez je poljuben niz nezdružljivih dogodkov,, ¼,, v vsoti, ki sestavlja celoten verjetnostni prostor:

V tej situaciji je za poljuben dogodek veljavna formula, imenovana formula skupne verjetnosti,

kjer je Laplaceova funkcija,,. Laplaceova funkcija je tabelarno prikazana, njene vrednosti za dano pa je mogoče najti v katerem koli učbeniku teorije verjetnosti in matematične statistike.

Naloga 5.3. Znano je, da je v veliki seriji delov 11 % okvarjenih delov. Za preverjanje je izbranih 100 delov. Kakšna je verjetnost, da med njimi ni več kot 14 okvarjenih? Ocenite odgovor z uporabo Moivre-Laplaceovega izreka.

Rešitev. Imamo opravka z Bernoullijevim testom, kjer,,. Uspeh je opredeljen kot iskanje okvarjenega dela, število uspehov pa zadosti neenakosti. zato

Neposredni izračun daje:

, , , , , , , , , , , , , , .

Zato,. Zdaj bomo uporabili Moivre-Laplaceov integralni izrek. Dobimo:

S pomočjo tabele vrednosti funkcije, ob upoštevanju nenavadnosti funkcije, dobimo

Približna računska napaka ne presega.

Naključne spremenljivke

Naključna spremenljivka je numerična značilnost verjetnostne izkušnje, ki je funkcija elementarnih izidov. Če,, ¼, obstaja niz elementarnih rezultatov, potem je naključna spremenljivka funkcija. Vendar je bolj priročno, da naključno spremenljivko označimo tako, da navedemo vse njene možne vrednosti in verjetnosti, s katerimi vzame to vrednost.

Takšna tabela se imenuje zakon porazdelitve naključne spremenljivke. Ker dogodki tvorijo popolno skupino, je zakon verjetnostne normalizacije izpolnjen

Matematično pričakovanje ali povprečna vrednost naključne spremenljivke je število, ki je enako vsoti produktov vrednosti naključne spremenljivke z ustreznimi verjetnostmi.

Varianca (stopnja širjenja vrednosti okoli matematičnega pričakovanja) naključne spremenljivke je matematično pričakovanje naključne spremenljivke,

To se lahko pokaže

Velikost

se imenuje povprečna kvadratna deviacija naključne spremenljivke.

Funkcija porazdelitve za naključno spremenljivko ima verjetnost, da pride v množico, tj

Je nenegativna, nepadajoča funkcija, ki ima vrednosti od 0 do 1. Za naključno spremenljivko s končnim naborom vrednosti je kosično konstantna funkcija z diskontinuitetami druge vrste na točkah stanj. V tem primeru je neprekinjeno na levi in.

Naloga 5.4. Zaporedoma se vržeta dve kocki. Če na eni kocki izpade ena, tri ali pet točk, igralec izgubi 5 rubljev. Ko izpadejo dve ali štiri točke, igralec prejme 7 rubljev. Ko pade šest točk, igralec izgubi 12 rubljev. Naključna vrednost x pri dveh metah kocke je dobiček igralca. Poiščite zakon o distribuciji x, narišite distribucijsko funkcijo, poiščite matematično pričakovanje in varianco x.

Rešitev. Najprej razmislimo, kakšen je izkupiček igralca pri enem metu kocke. Naj bo dogodek sestavljen iz 1, 3 ali 5 točk. Nato bodo dobitki rubljev. Naj bo dogodek sestavljen iz 2 ali 4 točk. Nato bodo dobitki rubljev. Končno naj dogodek pomeni padec za 6 točk. Potem je nagrada enaka rubljem.

Zdaj bomo upoštevali vse možne kombinacije dogodkov in z dvema metoma kocke ter določili vrednosti dobitkov za vsako tako kombinacijo.

Če se je dogodek zgodil, potem hkrati.

Podobno, saj dobimo,.

Vsa najdena stanja in skupne verjetnosti teh stanj so zapisane v tabelo:

Preverimo izpolnjevanje zakona verjetnostne normalizacije: na realni premici morate biti sposobni določiti verjetnost, da naključna spremenljivka pade v ta interval 1) in se hitro zmanjša za, ¼,

Teorija verjetnosti je veja matematike, ki preučuje zakonitosti naključnih pojavov: naključne dogodke, naključne spremenljivke, njihove lastnosti in operacije z njimi.

Dolgo časa teorija verjetnosti ni imela jasne definicije. Oblikovana je bila šele leta 1929. Pojav teorije verjetnosti kot znanosti pripisujemo srednjemu veku in prvim poskusom matematične analize iger na srečo (kovanci, kocke, ruleta). Francoska matematika iz 17. stoletja Blaise Pascal in Pierre Fermat, ki sta raziskovala napovedovanje dobitkov pri igrah na srečo, sta odkrila prve verjetnostne zakone, ki izhajajo iz metanja kocke.

Teorija verjetnosti je nastala kot znanost iz prepričanja, da so določeni vzorci v središču naključnih množičnih dogodkov. Teorija verjetnosti preučuje te vzorce.

Teorija verjetnosti se ukvarja s preučevanjem dogodkov, katerih pojav ni zagotovo znan. Omogoča vam, da ocenite stopnjo verjetnosti nastanka nekaterih dogodkov v primerjavi z drugimi.

Na primer: nemogoče je nedvoumno določiti rezultat pridobivanja "glav" ali "repov" zaradi metanja kovanca, vendar pri večkratnem metanju izpade približno enako število "glav" in "repov", kar pomeni da je verjetnost, da dobimo "glave" ali "repe" "enaka 50%.

Test v tem primeru se imenuje izvajanje določenega niza pogojev, to je v tem primeru metanje kovanca. Izziv se lahko igra neomejeno število krat. V tem primeru kompleks pogojev vključuje naključne dejavnike.

Rezultat testa je dogodek... Dogodek se zgodi:

Verodostojen (vedno se zgodi kot rezultat testa).
Nemogoče (nikoli se ne zgodi).
Slučajno (lahko se zgodi kot rezultat testa ali pa tudi ne).

Na primer, ko se vrže kovanec, nemogoč dogodek - kovanec bo na robu, naključni dogodek - padec "glav" ali "repov". Konkreten rezultat testa se imenuje osnovni dogodek... Kot rezultat testa se pojavijo le elementarni dogodki. Imenuje se celota vseh možnih, različnih, specifičnih rezultatov testa prostor elementarnih dogodkov.

Osnovni pojmi teorije

Verjetnost- stopnja možnosti nastanka dogodka. Kadar razlogi, da se kakšen možni dogodek dejansko zgodi, prevladajo nad nasprotnimi razlogi, se dogodek imenuje verjeten, sicer pa malo verjeten ali neverjeten.

Naključna vrednost je vrednost, ki lahko zaradi testiranja prevzame določeno vrednost, pri čemer se vnaprej ne ve, katero. Na primer: številka do gasilskega doma na dan, število zadetkov z 10 streli itd.

Naključne spremenljivke lahko razdelimo v dve kategoriji.

Diskretna naključna spremenljivka je količina, ki lahko na podlagi testa z določeno verjetnostjo prevzame določene vrednosti in tvori šteto množico (množico, katere elemente je mogoče oštevilčiti). Ta množica je lahko končna in neskončna. Na primer, število strelov pred prvim zadetkom v tarčo je diskretna naključna spremenljivka, saj ta vrednost lahko prevzame neskončno, čeprav šteto število vrednosti.
Neprekinjena naključna spremenljivka imenuje se taka količina, ki lahko vzame poljubne vrednosti iz določenega končnega ali neskončnega intervala. Očitno je število možnih vrednosti neprekinjene naključne spremenljivke neskončno.

Verjetnostni prostor- koncept, ki ga je predstavil A.N. Kolmogorov v 30-ih letih 20. stoletja formaliziral koncept verjetnosti, ki je povzročil hiter razvoj teorije verjetnosti kot stroge matematične discipline.

Verjetnostni prostor je trojček (včasih obdan s kotnimi oklepaji:, kjer

To je poljuben niz, katerega elementi se imenujejo elementarni dogodki, izidi ali točke;
- sigma-algebra podmnožic, imenovanih (naključni) dogodki;
- verjetnostna mera ali verjetnost, t.j. sigma-aditivna končna mera, tako da.

Moivre-Laplaceov izrek- eden od mejnih izrekov teorije verjetnosti, ki ga je postavil Laplace leta 1812. Trdi, da ima število uspehov z večkratnimi ponovitvami istega naključnega poskusa z dvema možnima izidoma približno normalno porazdelitev. Omogoča vam, da najdete približno vrednost verjetnosti.

Če je za vsakega od neodvisnih testov verjetnost pojava nekega naključnega dogodka enaka () in je število testov, pri katerih se dejansko zgodi, potem je verjetnost neenakosti blizu (za velike) vrednosti Laplaceovega integrala.

Porazdelitvena funkcija v teoriji verjetnosti- funkcija, ki označuje porazdelitev naključne spremenljivke ali naključnega vektorja; verjetnost, da bo naključna spremenljivka X dobila vrednost, manjšo ali enako x, kjer je x poljubno realno število. Če so izpolnjeni določeni pogoji, popolnoma določi naključno spremenljivko.

Pričakovana vrednost- povprečna vrednost naključne spremenljivke (to je verjetnostna porazdelitev naključne spremenljivke, obravnavana v teoriji verjetnosti). V angleški literaturi je označen z, v ruščini -. V statistiki se zapis pogosto uporablja.

Naj bo dana verjetnostni prostor in na njem definirana naključna spremenljivka. To pomeni, da je po definiciji merljiva funkcija. Potem, če obstaja Lebesgueov integral nad prostorom, se imenuje matematično pričakovanje ali povprečna vrednost in je označena.

Varianca naključne spremenljivke- merilo razširjenosti dane naključne spremenljivke, to je njenega odstopanja od matematičnega pričakovanja. Naveden je v ruski in tuji literaturi. V statistiki se pogosto uporablja oznaka ali. Kvadratni koren variance se imenuje standardni odklon, standardni odklon ali standardni odklon.

Naj je naključna spremenljivka, definirana na določenem verjetnostnem prostoru. Potem

kjer simbol označuje matematično pričakovanje.

V teoriji verjetnosti se imenujeta dva naključna dogodka neodvisnače pojav enega od njih ne spremeni verjetnosti nastopa drugega. Podobno se kličeta dve naključni spremenljivki odvisenče vrednost enega od njih vpliva na verjetnost vrednosti drugega.

Najenostavnejša oblika zakona velikih števil je Bernoullijev izrek, ki pravi, da če je verjetnost dogodka enaka v vseh poskusih, se s povečanjem števila poskusov pogostost dogodka nagiba k verjetnosti dogodka. dogodek in preneha biti naključen.

Zakon velikih števil v teoriji verjetnosti pravi, da je aritmetična sredina končnega vzorca iz fiksne porazdelitve blizu teoretičnemu srednjemu matematičnemu pričakovanju te porazdelitve. Glede na vrsto konvergence se razlikuje med šibkim zakonom velikih števil, ko obstaja konvergenca verjetnosti, in močnim zakonom velikih števil, ko je konvergenca skoraj gotova.

Splošni pomen zakona velikih števil je, da skupno delovanje velikega števila enakih in neodvisnih naključnih faktorjev vodi do rezultata, ki ni odvisen od primera v meji.

Na tej lastnosti temeljijo metode za ocenjevanje verjetnosti na podlagi analize končnega vzorca. Ilustrativen primer je napoved volilnih rezultatov na podlagi ankete vzorca volivcev.

Osrednji mejni izreki- razred izrekov v teoriji verjetnosti, ki trdi, da ima vsota dovolj velikega števila šibko odvisnih naključnih spremenljivk s približno enakimi lestvicami (nobeden od izrazov ne prevladuje, ne daje odločilnega prispevka k vsoti) porazdelitev blizu normale.

Ker se številne naključne spremenljivke v aplikacijah oblikujejo pod vplivom več šibko odvisnih naključnih faktorjev, se njihova porazdelitev šteje za normalno. V tem primeru mora biti izpolnjen pogoj, da nobeden od dejavnikov ni prevladujoč. Osrednji mejni izreki v teh primerih upravičujejo uporabo normalne porazdelitve.