Експоненциална мощност на формулата. Експоненциална функция, нейните свойства и графика

1.Експоненциална функцияе функция от вида y(x) = a x, в зависимост от експонентата x, с постоянна стойност на основата на степента a, където a > 0, a ≠ 0, xϵR (R е множеството от реални числа) .

Нека помислим графика на функцията, ако основата не удовлетворява условието: a>0
а)а< 0
Ако< 0 – возможно возведение в целую степень или в рациональную степень с нечетным показателем.
а = -2

Ако a = 0, функцията y = е дефинирана и има постоянна стойност 0

в) а =1
Ако a = 1, функцията y = е дефинирана и има постоянна стойност 1

2. Нека разгледаме по-отблизо експоненциалната функция:

0

Функционален домейн (DOF)

Регион приемливи стойностифункции (ODZ)

3. Нули на функцията (y = 0)

4. Пресечни точки с ординатната ос oy (x = 0)

5. Нарастващи, намаляващи функции

Ако , тогава функцията f(x) нараства
Ако , тогава функцията f(x) намалява
Функция y= , при 0 Функцията y =, за a> 1, нараства монотонно
Това следва от свойствата на монотонност на степен с реален показател.

6. Четна, нечетна функция

Функцията y = не е симетрична по отношение на оста 0y и по отношение на началото на координатите, следователно не е нито четна, нито нечетна. (Обща функция)

7. Функцията y = няма екстремуми

8. Свойства на степен с реален показател:

Нека a > 0; a≠1
b> 0; b≠1

Тогава за xϵR; yϵR:

Свойства на степента на монотонност:

ако , тогава
Например:

Ако a> 0, тогава .
Експоненциалната функция е непрекъсната във всяка точка ϵ R.

9. Относително положение на функцията

Колкото по-голяма е основата a, толкова по-близо до осите x и oy

a > 1, a = 20

Ако a0, тогава експоненциалната функция приема форма, близка до y = 0.
Ако a1, тогава по-нататък от осите ox и oy и графиката приема форма, близка до функцията y = 1.

Пример 1.
Постройте графика на y =

Решение на мнозинството математически задачипо някакъв начин е свързано с преобразуването на числови, алгебрични или функционални изрази. Горното се отнася особено за решението. Във версиите на Единния държавен изпит по математика този тип задачи включват по-специално задача C3. Да се ​​научите да решавате задачи от C3 е важно не само за целите на успеха полагане на Единния държавен изпит, но и поради причината, че това умение ще бъде полезно при изучаване на математика в гимназията.

Когато изпълнявате задачи C3, трябва да решите различни видовеуравнения и неравенства. Сред тях са рационални, ирационални, експоненциални, логаритмични, тригонометрични, съдържащи модули ( абсолютни стойности), както и комбинирани. В тази статия се обсъждат основните видове експоненциални уравнения и неравенства, както и различни методитехните решения. Прочетете за решаването на други типове уравнения и неравенства в раздела "" в статии, посветени на методи за решаване на задачи C3 от Опции за единен държавен изпитматематика.

Преди да започнем да анализираме конкретни експоненциални уравнения и неравенства, като учител по математика, ви предлагам да освежите малко теоретичен материал, който ще ни е необходим.

Експоненциална функция

Какво е експоненциална функция?

Функция на формата г = a x, Където а> 0 и а≠ 1 се извиква експоненциална функция.

Основен свойства на експоненциалната функция г = a x:

Графика на експоненциална функция

Графиката на експоненциалната функция е експонент:

Графики на експоненциални функции (експоненти)

Решаване на експоненциални уравнения

Показателносе наричат ​​уравнения, в които неизвестната променлива се намира само в показатели на някои степени.

За решения експоненциални уравнениятрябва да знаете и да можете да използвате следната проста теорема:

Теорема 1.Експоненциално уравнение а f(х) = а ж(х) (Където а > 0, а≠ 1) е еквивалентно на уравнението f(х) = ж(х).

Освен това е полезно да запомните основните формули и операции със степени:

Title="Изобразено от QuickLaTeX.com">!}

Пример 1.Решете уравнението:

Решение:Използваме горните формули и заместване:

Тогава уравнението става:

Дискриминант на полученото квадратно уравнениеположителен:

Title="Изобразено от QuickLaTeX.com">!}

Това означава, че това уравнение има два корена. Намираме ги:

Преминавайки към обратното заместване, получаваме:

Второто уравнение няма корени, тъй като експоненциалната функция е строго положителна в цялата област на дефиниция. Нека решим второто:

Като вземем предвид казаното в теорема 1, преминаваме към еквивалентното уравнение: х= 3. Това ще бъде отговорът на задачата.

Отговор: х = 3.

Пример 2.Решете уравнението:

Решение:Уравнението няма ограничения за обхвата на допустимите стойности, тъй като радикалният израз има смисъл за всяка стойност х(експоненциална функция г = 9 4 -хположителен и не равен на нула).

Решаваме уравнението чрез еквивалентни трансформации, използвайки правилата за умножение и деление на степени:

Последният преход беше извършен в съответствие с теорема 1.

Отговор:х= 6.

Пример 3.Решете уравнението:

Решение:двете страни на първоначалното уравнение могат да бъдат разделени на 0,2 х. Този преход ще бъде еквивалентен, тъй като този израз е по-голям от нула за всяка стойност х(експоненциалната функция е строго положителна в своята област на дефиниция). Тогава уравнението приема формата:

Отговор: х = 0.

Пример 4.Решете уравнението:

Решение:ние опростяваме уравнението до елементарно чрез еквивалентни трансформации, използвайки правилата за деление и умножение на степени, дадени в началото на статията:

Разделяне на двете страни на уравнението на 4 х, както в предишния пример, е еквивалентна трансформация, тъй като този израз не е равен на нула за никакви стойности х.

Отговор: х = 0.

Пример 5.Решете уравнението:

Решение:функция г = 3х, стоящ от лявата страна на уравнението, нараства. функция г = —х-2/3 от дясната страна на уравнението намалява. Това означава, че ако графиките на тези функции се пресичат, то най-много една точка. IN в такъв случайне е трудно да се досетите, че графиките се пресичат в точката х= -1. Други корени няма да има.

Отговор: х = -1.

Пример 6.Решете уравнението:

Решение:ние опростяваме уравнението чрез еквивалентни трансформации, като имаме предвид навсякъде, че експоненциалната функция е строго по-голяма от нула за всяка стойност хи използвайки правилата за изчисляване на произведението и частното на степените, дадени в началото на статията:

Отговор: х = 2.

Решаване на експоненциални неравенства

Показателносе наричат ​​неравенства, в които неизвестната променлива се съдържа само в показатели на някои степени.

За решения експоненциални неравенстваизисква се познаване на следната теорема:

Теорема 2.Ако а> 1, тогава неравенството а f(х) > а ж(х) е еквивалентно на неравенство със същото значение: f(х) > ж(х). Ако 0< а < 1, то експоненциално неравенство а f(х) > а ж(х) е еквивалентно на неравенство с противоположно значение: f(х) < ж(х).

Пример 7.Решете неравенството:

Решение:Нека представим първоначалното неравенство във формата:

Нека разделим двете страни на това неравенство на 3 2 х, в този случай (поради положителността на функцията г= 3 2х) знакът за неравенство няма да се промени:

Нека използваме заместването:

Тогава неравенството ще приеме формата:

И така, решението на неравенството е интервалът:

преминавайки към обратното заместване, получаваме:

Лявото неравенство, поради положителността на експоненциалната функция, се удовлетворява автоматично. Възползвам се известна собственостлогаритъм, преминаваме към еквивалентното неравенство:

Тъй като основата на степента е число, по-голямо от едно, еквивалентен (по теорема 2) е преходът към следното неравенство:

И така, най-накрая получаваме отговор:

Пример 8.Решете неравенството:

Решение:Използвайки свойствата на умножение и деление на степени, пренаписваме неравенството във формата:

Нека въведем нова променлива:

Като се вземе предвид тази замяна, неравенството приема формата:

Умножавайки числителя и знаменателя на дробта по 7, получаваме следното еквивалентно неравенство:

И така, следните стойности на променливата удовлетворяват неравенството T:

След това, преминавайки към обратното заместване, получаваме:

Тъй като основата на степента тук е по-голяма от единица, преходът към неравенството ще бъде еквивалентен (по теорема 2):

Накрая получаваме отговор:

Пример 9.Решете неравенството:

Решение:

Разделяме двете страни на неравенството с израза:

Той винаги е по-голям от нула (поради положителността на експоненциалната функция), така че знакът за неравенство не трябва да се променя. Получаваме:

t разположен в интервала:

Преминавайки към обратното заместване, откриваме, че първоначалното неравенство се разделя на два случая:

Първото неравенство няма решения поради положителността на експоненциалната функция. Нека решим второто:

Пример 10.Решете неравенството:

Решение:

Разклонения на парабола г = 2х+2-х 2 са насочени надолу, следователно е ограничен отгоре от стойността, която достига на върха си:

Разклонения на парабола г = х 2 -2х+2 в индикатора са насочени нагоре, което означава, че е ограничен отдолу от стойността, която достига в своя връх:

В същото време функцията също се оказва ограничена отдолу г = 3 х 2 -2х+2, което е от дясната страна на уравнението. Тя постига целта си най-ниска стойноств същата точка като параболата в експонентата и тази стойност е равна на 3 1 = 3. Така че първоначалното неравенство може да е вярно само ако функцията отляво и функцията отдясно приемат стойност, равна на 3 в същата точка (от пресечната точка. Диапазонът на стойностите на тези функции е само това число). Това условие е изпълнено в една точка х = 1.

Отговор: х= 1.

За да се научите да решавате експоненциални уравнения и неравенства,необходимо е постоянно да се тренира в решаването им. Различни неща могат да ви помогнат в тази трудна задача. методически ръководства, задачници по начална математика, сборници със състезателни задачи, уроци по математика в училище, както и индивидуални уроци с професионален преподавател. От сърце Ви пожелавам успех в подготовката и отлични резултати на изпита.

Сергей Валериевич

P.S. Уважаеми гости! Моля, не пишете заявки за решаване на вашите уравнения в коментарите. За съжаление, нямам абсолютно никакво време за това. Такива съобщения ще бъдат изтривани. Моля, прочетете статията. Може би в него ще намерите отговори на въпроси, които не са ви позволили да решите задачата си сами.

Концентрация на вниманието:

Определение. функция вид се нарича експоненциална функция .

Коментирайте. Изключване от базовите стойности ачисла 0; 1 и отрицателни стойности асе обяснява със следните обстоятелства:

Самият аналитичен израз a xв тези случаи той запазва значението си и може да се използва при решаване на проблеми. Например за израза x yточка х = 1; г = 1 е в границите на допустимите стойности.

Постройте графики на функции: и.

Графика на експоненциална функция
y =а х, a > 1	y =а х , 0< a < 1

Свойства на експоненциалната функция

Свойства на експоненциалната функция	y =а х, a > 1	y =а х , 0< a < 1
Функционален домейн
2. Функционален диапазон
3. Интервали на сравнение с единица	при х> 0, а х > 1	при х > 0, 0< a х < 1
	при х < 0, 0< a х < 1	при х < 0, a х > 1
4. Четно, нечетно.	Функцията не е нито четна, нито нечетна (функция от общ вид).
5.Монотонност.	монотонно нараства с Р	намалява монотонно с Р
6. Крайности.	Експоненциалната функция няма екстремуми.
7.Асимптота	О-ос хе хоризонтална асимптота.
8. За всякакви реални стойности хИ г;

При попълване на таблицата успоредно с попълването се решават задачи.

Задача № 1. (Да се ​​намери област на дефиниция на функция).

Какви стойности на аргументи са валидни за функции:

Задача № 2. (За намиране на диапазона от стойности на функция).

Фигурата показва графиката на функцията. Посочете домейна на дефиницията и диапазона от стойности на функцията:

Задача № 3. (Да се ​​посочат интервалите на сравнение с единица).

Сравнете всяка от следните мощности с една:

Задача № 4. (Да се ​​изследва функцията за монотонност).

Сравнете реални числа по размер мИ нАко:

Задача № 5. (Да се ​​изследва функцията за монотонност).

Направете заключение относно основата а, ако:

y(x) = 10 x ; f(x) = 6 x; z(x) - 4 x

Как са графиките на експоненциалните функции една спрямо друга за x > 0, x = 0, x< 0?

Следните графики на функциите са начертани в една координатна равнина:

y(x) = (0,1) x ; f(x) = (0,5) x ; z(x) = (0,8) x.

Как са графиките на експоненциалните функции една спрямо друга за x > 0, x = 0, x< 0?

Номер една от най-важните константи в математиката. По дефиниция то равен на границата на редицата с неограничен увеличаване на n . Обозначаване двъведени Леонард Ойлер през 1736 г. Той изчислява първите 23 цифри от това число в десетична система, а самото число е наречено в чест на Напиер „числото, което не е Пиер“. Номер диграе специална роля в математическия анализ. Експоненциална функция с основа д, наречен експонента и е обозначен y = e x. Първи признаци числа длесно за запомняне: две, запетая, седем, година на раждане на Лев Толстой - два пъти, четиридесет и пет, деветдесет, четиридесет и пет.

Домашна работа:

Колмогоров стр. 35; No 445-447; 451; 453.

Повторете алгоритъма за построяване на графики на функции, съдържащи променлива под знака на модула.

Нека първо въведем дефиницията на експоненциална функция.

Експоненциална функция $f\left(x\right)=a^x$, където $a >1$.

Нека въведем свойствата на експоненциалната функция за $a >1$.

\ \[без корени\] \

Пресечна точка с координатни оси. Функцията не пресича оста $Ox$, но пресича оста $Oy$ в точката $(0,1)$.

$f""\left(x\right)=(\left(a^xlna\right))"=a^x(ln)^2a$

\ \[без корени\] \

Графика (фиг. 1).

Фигура 1. Графика на функцията $f\left(x\right)=a^x,\ for\ a >1$.

Експоненциална функция $f\left(x\right)=a^x$, където $0

Нека представим свойствата на експоненциалната функция при $0

Областта на дефиниция са всички реални числа.

$f\left(-x\right)=a^(-x)=\frac(1)(a^x)$ -- функцията не е нито четна, нито нечетна.

$f(x)$ е непрекъснат в цялата област на дефиниция.

Диапазонът от стойности е интервалът $(0,+\infty)$.

$f"(x)=\left(a^x\right)"=a^xlna$

\ \[няма корени\] \ \[няма корени\] \

Функцията е изпъкнала по цялата област на дефиниция.

Поведение в края на домейна:

\[(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) a^x\ )=+\infty \] \[(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) a^x\ ) =0\]

Графика (фиг. 2).

Пример за задача за конструиране на експоненциална функция

Разгледайте и начертайте функцията $y=2^x+3$.

Решение.

Нека проведем проучване, като използваме примерната диаграма по-горе:

Областта на дефиниция са всички реални числа.

$f\left(-x\right)=2^(-x)+3$ -- функцията не е нито четна, нито нечетна.

$f(x)$ е непрекъснат в цялата област на дефиниция.

Диапазонът от стойности е интервалът $(3,+\infty)$.

$f"\left(x\right)=(\left(2^x+3\right))"=2^xln2>0$

Функцията нараства в цялата област на дефиниция.

$f(x)\ge 0$ в цялата област на дефиниция.

Пресечна точка с координатни оси. Функцията не пресича оста $Ox$, но пресича оста $Oy$ в точката ($0,4)$

$f""\left(x\right)=(\left(2^xln2\right))"=2^x(ln)^22>0$

Функцията е изпъкнала по цялата област на дефиниция.

Поведение в края на домейна:

\[(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) a^x\ )=0\] \[(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) a^x\ )=+ \infty\]

Графика (фиг. 3).

Фигура 3. Графика на функцията $f\left(x\right)=2^x+3$