Как да намерите най -малката стойност на функция. В кой момент стойността на деривата е най -голяма

Урокът по темата "Използване на производната за намиране на най -големите и най -малките стойности на непрекъсната функция на интервал" ще разгледа относително прости проблеми за намиране на най -голямата и най -малката стойност на функция за даден интервал с помощта на производната .

Тема: Производна

Урок: Използване на производната за намиране на най -големите и най -малките стойности на непрекъсната функция на интервал

В този урок ще разгледаме по -прост проблем, а именно ще бъде даден интервал, на този интервал ще бъде дадена непрекъсната функция. Необходимо е да се открие най -голямата и най -малката стойност на даденото функциявърху даденост интервал.

№ 32.1 (б). Като се има предвид:,. Нека начертаем графика на функцията (виж фиг. 1).

Ориз. 1. Графика на функция.

Известно е, че тази функция се увеличава в интервала, което означава, че тя също се увеличава в интервала. Така че, ако намерите стойността на функцията в точките и тогава ще бъдат известни границите на промяна на тази функция, нейната най -голяма и най -малка стойност.

Когато аргументът се увеличи от 8, функцията се увеличава от до.

Отговор: ; .

№ 32.2 (а) Дадено: Намерете най -голямата и най -малката стойност на функцията на даден интервал.

Нека изградим графика на тази функция (виж фиг. 2).

Ако аргументът се промени в интервала, тогава функцията се увеличава от -2 на 2. Ако аргументът се увеличава от, тогава функцията намалява от 2 на 0.

Ориз. 2. Функционална графика.

Нека намерим производната.

, ... Ако, тогава тази стойност също принадлежи към посочения сегмент. Ако, тогава. Лесно е да се провери дали приема други стойности, съответните неподвижни точки надхвърлят посочения сегмент. Нека сравним стойностите на функцията в краищата на сегмента и в избраните точки, в които производната е равна на нула. намирам

;

Отговор: ;.

И така, отговорът е получен. В този случай производната може да се използва, не можете да я използвате, да приложите свойствата на функцията, които са били проучени по -рано. Това не винаги е така, понякога използването на производни е единственият метод, който ви позволява да решавате такива проблеми.

Като се има предвид:,. Намерете най -голямата и най -малката стойност на функцията в даден сегмент.

Ако в предишния случай беше възможно да се направи без производната - знаехме как се държи функцията, то в този случай функцията е доста сложна. Следователно техниката, която споменахме в предишната задача, е напълно приложима.

1. Намерете производната. Нека да намерим критичните точки, оттам и критичните точки. От тях избираме тези, които принадлежат към дадения сегмент :. Нека сравним стойността на функцията в точките ,,. За това намираме

Нека илюстрираме резултата на фигурата (виж фиг. 3).

Ориз. 3. Граници на промяна на функционалните стойности

Виждаме, че ако аргументът се промени от 0 на 2, функцията се променя от -3 на 4. Функцията не се променя монотонно: тя или се увеличава, или намалява.

Отговор: ;.

Така че, три примера бяха използвани за демонстриране на обща техника за намиране на най -големите и най -малките стойности на функция на интервал, в този случай на сегмент.

Алгоритъм за решаване на задачата за намиране на най -голямата и най -малката стойност на функцията:

1. Намерете производната на функцията.

2. Намерете критичните точки на функцията и изберете тези точки, които са на даден сегмент.

3. Намерете стойностите на функцията в краищата на сегмента и в избраните точки.

4. Сравнете тези стойности и изберете най -голямата и най -малката.

Нека вземем друг пример.

Намерете най -голямата и най -малката стойност на функцията ,.

Преди това беше разгледана графиката на тази функция (виж фиг. 4).

Ориз. 4. Графика на функциите.

В интервала обхватът на тази функция е ... Точката е максималната точка. At - функцията се увеличава, при - функцията намалява. От чертежа може да се види, че, - не съществува.

И така, в урока разгледахме проблема за най -голямата и най -малката стойност на функция, когато даден интервал е сегмент; формулира алгоритъм за решаване на подобни проблеми.

1. Алгебра и началото на анализа, степен 10 (в две части). Учебник за образователни институции (профилно ниво), изд. А. Г. Мордкович. -М.: Mnemosina, 2009.

2. Алгебра и началото на анализа, степен 10 (в две части). Справочник за образователни институции (профилно ниво), изд. А. Г. Мордкович. -М.: Mnemosina, 2007.

3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математически анализ за 10 клас (учебник за ученици в училища и паралелки с напреднало изучаване на математика).- М.: Образование, 1996.

4. Галицки М. Л., Мошкович М. М., Шварцбург С. И. Задълбочено изучаване на алгебрата и математическия анализ.-М.: Просвещение, 1997.

5. Сборник задачи по математика за кандидати за висши учебни заведения (под редакцията на М. И. Сканави).- М .: Висше училище, 1992.

6. Мерзляк А.Г., Полонски В.Б., Якир М.С. Алгебричен симулатор.-К.: A.S.K., 1997.

7. Звавич Л. И., Шляпочник Л. Я., Чинкина Алгебра и началото на анализа. 8-11 класове: Наръчник за училища и класове с усъвършенствано изучаване на математика (дидактически материали).- М.: Дрофа, 2002.

8. Саакян С.М., Голдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебра и принципите на анализ (ръководство за ученици от 10-11 клас на общообразователните институции).- М.: Образование, 2003.

9. Карп А.П. Сборник задачи по алгебра и принципите на анализ: учебник. надбавка за 10-11 клас с задълбочаване проучване Математика.-М.: Образование, 2006.

10. Глейзър Г.И. История на математиката в училище. 9-10 клас (наръчник за учители).- М.: Образование, 1983

Допълнителни уеб ресурси

2. Портал за естествени науки ().

Направете у дома

№ 46.16, 46.17 (в) (Алгебра и началото на анализа, клас 10 (в две части). Проблемна книга за образователни институции (профилно ниво) под редакцията на А. Г. Мордкович. -М.: Мнемозина, 2007.)

На практика е доста често да се използва производна, за да се изчисли най -голямата и най -малката стойност на функция. Извършваме това действие, когато разберем как да намалим разходите, да увеличим печалбите, да изчислим оптималното натоварване на производството и т.н., тоест в онези случаи, когато е необходимо да се определи оптималната стойност на всеки параметър. За да решите правилно тези проблеми, трябва да разберете добре коя е най -голямата и най -малката стойност на функцията.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Обикновено дефинираме тези стойности в рамките на определен интервал x, който от своя страна може да съответства на цялата област на функцията или част от нея. Тя може да бъде като сегмент [a; b] и отворен интервал (a; b), (a; b], [a; b), безкраен интервал (a; b), (a; b], [a; b) или безкраен интервал - ∞; a, (- ∞; a], [a; + ∞), (- ∞; + ∞).

В тази статия ще опишем как се изчислява най -голямата и най -малката стойност на изрично дадена функция с една променлива y = f (x) y = f (x).

Основни определения

Нека започнем, както винаги, с формулирането на основни определения.

Определение 1

Най -голямата стойност на функцията y = f (x) на някакъв интервал x е стойността maxy = f (x 0) x ∈ X, която за всяка стойност xx ∈ X, x ≠ x 0 прави неравенството f (x) ≤ f (x 0).

Определение 2

Най -малката стойност на функцията y = f (x) на някакъв интервал x е стойността minx ∈ X y = f (x 0), която за всяка стойност x ∈ X, x ≠ x 0 прави неравенството f (X f ( x) ≥ f (x 0).

Тези определения са доста очевидни. Още по -просто е да се каже това: най -голямата стойност на функция е нейната най -голяма стойност в известен интервал при x 0, а най -малката е най -малката приета стойност в същия интервал при x 0.

Определение 3

Стационарните точки са тези стойности на аргумента на функция, при които нейната производна изчезва.

Защо трябва да знаем какви са неподвижните точки? За да се отговори на този въпрос, трябва да се припомни теоремата на Ферма. От това следва, че неподвижна точка е точка, в която се намира екстремума на диференцируемата функция (т.е. нейният локален минимум или максимум). Следователно, функцията ще вземе най -малката или най -голямата стойност за определен интервал точно в една от неподвижните точки.

Друга функция може да приеме най -голямата или най -малката стойност в онези точки, в които самата функция е определена и първата й производна не съществува.

Първият въпрос, който възниква при изучаване на тази тема: във всички случаи можем ли да определим най -голямата или най -малката стойност на функция в даден сегмент? Не, не можем да направим това, когато границите на даден интервал съвпадат с границите на областта на дефиниция, или ако имаме работа с безкраен интервал. Също така се случва функция в даден сегмент или в безкрайност да приема безкрайно малки или безкрайно големи стойности. В тези случаи не е възможно да се определи най -високата и / или най -ниската стойност.

Тези точки ще станат по -ясни, след като бъдат показани на графиките:

Първата фигура ни показва функция, която приема най-големите и най-малките стойности (m a x y и m i n y) в неподвижни точки, разположени на сегмента [- 6; 6].

Нека разгледаме подробно случая, посочен във втората графика. Нека променим стойността на сегмента на [1; 6] и откриваме, че най -голямата стойност на функцията ще бъде постигната в точка с абсциса в дясната граница на интервала, а най -малката - в неподвижна точка.

На третата фигура абсцисите на точките представляват граничните точки на сегмента [- 3; 2]. Те съответстват на най -високите и най -ниските стойности на дадената функция.

Нека сега разгледаме четвъртата фигура. В него функцията приема m a x y (най-голямата стойност) и m i n y (най-малката стойност) в неподвижни точки на отворения интервал (- 6; 6).

Ако вземем интервала [1; 6), тогава можем да кажем, че най -малката стойност на функцията върху нея ще бъде постигната в неподвижна точка. Най -голямата стойност ще бъде неизвестна за нас. Функцията може да приеме най -голямата си стойност при x, равна на 6, ако x = 6 принадлежи към интервала. Този случай е изобразен на графика 5.

На графика 6 тази функция придобива най-малката стойност в дясната граница на интервала (- 3; 2] и не можем да направим категорични изводи за най-голямата стойност.

На фигура 7 виждаме, че функцията ще има m a x y в неподвижна точка с абсциса, равна на 1. Функцията ще достигне най -малката си стойност на границата на интервала от дясната страна. При минус безкрайност стойностите на функцията асимптотично ще се доближат до y = 3.

Ако вземем интервала x ∈ 2; + ∞, тогава ще видим, че дадената функция няма да вземе нито най -малката, нито най -голямата стойност върху нея. Ако х се стреми към 2, тогава стойностите на функцията ще се стремят към минус безкрайност, тъй като правият х = 2 е вертикалната асимптота. Ако абсцисата се стреми към плюс безкрайност, тогава стойностите на функцията асимптотично ще се доближат до y = 3. Този случай е изобразен на фигура 8.

В този раздел ще дадем последователност от действия, които трябва да бъдат извършени, за да се намери най -голямата или най -малката стойност на функция в определен сегмент.

1. Първо, нека намерим домейна на функцията. Нека проверим дали посоченият в условието сегмент е включен в него.
2. Сега нека изчислим точките, съдържащи се в този сегмент, където първата производна не съществува. Най -често те могат да бъдат намерени във функции, чийто аргумент е записан под знака на модула, или във степенни функции, чийто показател е дробно рационално число.
3. След това нека разберем кои неподвижни точки попадат в дадения сегмент. За да направите това, трябва да изчислите производната на функцията, след това да я приравните на 0 и да решите полученото уравнение и след това да изберете подходящите корени. Ако не получим никакви неподвижни точки или те не попадат в дадения сегмент, преминаваме към следващата стъпка.
4. Определяме какви стойности ще вземе функцията в дадените неподвижни точки (ако има такива) или в тези точки, където първата производна не съществува (ако има такава), или изчисляваме стойностите за x = a и x = б.
5. 5. Имаме поредица от функционални стойности, от които сега трябва да изберем най -голямата и най -малката. Това ще бъдат най -големите и най -малките стойности на функцията, които трябва да намерим.

Нека да видим как правилно да приложим този алгоритъм при решаване на проблеми.

Пример 1

Състояние:е дадена функцията y = x 3 + 4 x 2. Определете най -голямата и най -малката му стойност по сегментите [1; 4] и [- 4; - 1].

Решение:

Нека започнем с намирането на домейна на тази функция. В този случай това ще бъде набор от всички реални числа с изключение на 0. С други думи, D (y): x ∈ (- ∞; 0) ∪ 0; + ∞. И двата сегмента, посочени в условието, ще бъдат в областта на дефиницията.

Сега изчисляваме производната на функцията според правилото за диференциране на дробата:

y "= x 3 + 4 x 2" = x 3 + 4 "x 2 - x 3 + 4 x 2" x 4 = = 3 x 2 x 2 - (x 3 - 4) 2 xx 4 = x 3 - 8 x 3

Научихме, че производната на функцията ще съществува във всички точки на сегментите [1; 4] и [- 4; - 1].

Сега трябва да определим неподвижните точки на функцията. Правим това, като използваме уравнението x 3 - 8 x 3 = 0. Той има само един валиден корен, който е 2. Тя ще бъде неподвижна точка на функцията и ще попадне в първия сегмент [1; 4].

Изчисляваме стойностите на функцията в краищата на първия сегмент и в дадена точка, т.е. за x = 1, x = 2 и x = 4:

y (1) = 1 3 + 4 1 2 = 5 y (2) = 2 3 + 4 2 2 = 3 y (4) = 4 3 + 4 4 2 = 4 1 4

Получихме, че най -голямата стойност на функцията m a x y x ∈ [1; 4] = y (2) = 3 ще бъде постигнато при x = 1, а най -малкият m i n y x ∈ [1; 4] = y (2) = 3 - за x = 2.

Вторият сегмент не включва неподвижни точки, така че трябва да изчислим стойностите на функцията само в краищата на дадения сегмент:

y (- 1) = (- 1) 3 + 4 (- 1) 2 = 3

Следователно, m a x y x ∈ [- 4; - 1] = y (- 1) = 3, m i n y x ∈ [- 4; - 1] = y ( - 4) = - 3 3 4.

Отговор:За сегмента [1; 4] - m a x y x ∈ [1; 4] = y (2) = 3, m i n y x ∈ [1; 4] = y (2) = 3, за сегмента [- 4; - 1] - m a x y x ∈ [ - 4; - 1] = y (- 1) = 3, m i n y x ∈ [- 4; - 1] = y ( - 4) = - 3 3 4.

Вижте снимката:

Преди да изучите този метод, ви съветваме да повторите как правилно да изчислите едностранната граница и границата при безкрайност, както и да научите основните методи за намирането им. За да намерите най -голямата и / или най -малката стойност на функция на отворен или безкраен интервал, изпълнете следните стъпки последователно.

1. Първо, трябва да проверите дали посоченият интервал ще бъде подмножество на обхвата на тази функция.
2. Нека определим всички точки, които се съдържат в търсения интервал и в които първата производна не съществува. Обикновено те са във функции, където аргументът е затворен в знака на модула, и във функции на степента с дробно рационален показател. Ако тези точки липсват, можете да преминете към следващата стъпка.
3. Сега ще определим кои неподвижни точки попадат в дадения интервал. Първо, приравняваме производната на 0, решаваме уравнението и намираме подходящи корени. Ако нямаме нито една неподвижна точка или те не попадат в определения интервал, веднага пристъпваме към по -нататъшни действия. Те се определят от вида на интервала.

• Ако интервалът е от формата [a; b), тогава трябва да изчислим стойността на функцията в точката x = a и едностранната граница lim x → b - 0 f (x).
• Ако интервалът има формата (a; b], тогава трябва да изчислим стойността на функцията в точката x = b и едностранната граница lim x → a + 0 f (x).
• Ако интервалът има формата (a; b), тогава трябва да изчислим едностранните граници lim x → b - 0 f (x), lim x → a + 0 f (x).
• Ако интервалът е от формата [a; + ∞), тогава е необходимо да се изчисли стойността в точката x = a и границата при плюс безкрайност lim x → + ∞ f (x).
• Ако интервалът изглежда като ( - ∞; b], изчислете стойността в точката x = b и границата при минус безкрайност lim x → - ∞ f (x).
• Ако - ∞; b, тогава приемаме едностранната граница lim x → b - 0 f (x) и границата при минус безкрайност lim x → - ∞ f (x)
• Ако - ∞; + ∞, тогава разглеждаме границите при минус и плюс безкрайност lim x → + ∞ f (x), lim x → - ∞ f (x).

1. В крайна сметка трябва да направите заключение въз основа на получените стойности и граници на функцията. Тук има много възможности. Така че, ако едностранната граница е равна на минус безкрайност или плюс безкрайност, веднага става ясно, че нищо не може да се каже за най-малката и най-голямата стойност на функцията. По -долу ще анализираме един типичен пример. Подробните описания ще ви помогнат да разберете какво е какво. Ако е необходимо, можете да се върнете към фигури 4 - 8 в първата част на материала.

Пример 2

Условие: дадена е функцията y = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4. Изчислете най -високите и най -ниските му стойности в интервалите - ∞; - 4, - ∞; - 3, (- 3; 1], (- 3; 2), [1; 2), 2; + ∞, [4; + ∞).

Решение

Първата стъпка е да намерите домейна на функцията. Знаменателят на дробата съдържа квадратен трином, който не трябва да изчезва:

x 2 + x - 6 = 0 D = 1 2 - 4 1 ( - 6) = 25 x 1 = - 1 - 5 2 = - 3 x 2 = - 1 + 5 2 = 2 ⇒ D (y): x ∈ (- ∞;- 3) ∪ (- 3; 2) ∪ (2; + ∞)

Получихме домейна на функцията, към която принадлежат всички интервали, посочени в условието.

Сега нека разграничим функцията и да получим:

y "= 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4" = 3 e 1 x 2 + x - 6 "= 3 e 1 x 2 + x - 6 1 x 2 + x - 6" = = 3 · E 1 x 2 + x - 6 · 1 "x 2 + x - 6 - 1 · x 2 + x - 6" (x 2 + x - 6) 2 = - 3 · (2 ​​x + 1) · e 1 x 2 + x - 6 x 2 + x - 6 2

Следователно, производни на функцията съществуват в цялата област на нейното определение.

Нека преминем към намиране на неподвижни точки. Производната на функцията изчезва при x = - 1 2. Това е неподвижна точка, разположена в интервалите (- 3; 1] и (- 3; 2).

Изчисляваме стойността на функцията при x = - 4 за интервала ( - ∞; - 4], както и границата при минус безкрайност:

y ( - 4) = 3 e 1 ( - 4) 2 + ( - 4) - 6 - 4 = 3 e 1 6 - 4 ≈ - 0. 456 lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 = 3 e 0 - 4 = - 1

Тъй като 3 e 1 6 - 4> - 1, това означава, че maxyx ∈ ( - ∞; - 4] = y ( - 4) = 3 e 1 6 - 4. Това не ни позволява еднозначно да определим най -малката стойност на Можем само да заключим, че има ограничение - 1 в долната част, тъй като именно до тази стойност функцията се приближава асимптотично при минус безкрайност.

Характеристика на втория интервал е, че той не съдържа нито една неподвижна точка и нито една строга граница. Следователно не можем да изчислим нито най -голямата, нито най -малката стойност на функцията. След като определим границата при минус безкрайност и тъй като аргументът се стреми към - 3 от лявата страна, ще получим само диапазона от стойности:

lim x → - 3 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 - 0 3 e 1 (x + 3) (x - 3) - 4 = 3 e 1 ( - 3 - 0 + 3) ( - 3 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 ( + 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1

Това означава, че стойностите на функцията ще бъдат разположени в интервала - 1; + ∞

За да намерим най -голямата стойност на функцията в третия интервал, определяме нейната стойност в неподвижната точка x = - 1 2, ако x = 1. Трябва също така да знаем едностранната граница за случая, когато аргументът се стреми към - 3 от дясната страна:

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e 4 25 - 4 ≈ - 1. 444 y (1) = 3 e 1 1 2 + 1 - 6 - 4 ≈ - 1. 644 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 - 3 + 0 + 3 ( - 3 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 ( - 0) - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 0 - 4 = - 4

Открихме, че функцията ще вземе най -голямата стойност в неподвижната точка maxyx ∈ (3; 1] = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4. Що се отнася до най -малката стойност, не можем да я определим. наличие на ограничение отдолу до - 4.

За интервала (- 3; 2) вземаме резултатите от предишното изчисление и отново изчисляваме на какво е равна едностранната граница, когато се стремим към 2 от лявата страна:

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e - 4 25 - 4 ≈ - 1. 444 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = - 4 lim x → 2 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 - 0 + 3) (2 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 - 0 - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 0 - 4 = - 4

Следователно, m a x y x ∈ ( - 3; 2) = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4, а най -малката стойност не може да бъде определена, а стойностите на функцията са ограничени отдолу с числото - 4.

Въз основа на това, което получихме в двете предишни изчисления, можем да кажем, че на интервала [1; 2) функцията ще вземе най -голямата стойност при x = 1 и е невъзможно да се намери най -малката.

На интервала (2; + ∞) функцията няма да достигне нито най -голямата, нито най -малката стойност, т.е. ще вземе стойности от интервала - 1; + ∞.

lim x → 2 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 + 0 + 3 ) (2 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 ( + 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → + ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1

Като изчислихме каква ще бъде стойността на функцията за x = 4, откриваме, че m a x y x ∈ [4; + ∞) = y (4) = 3 e 1 14 - 4 и дадената функция при плюс безкрайност асимптотично ще се доближи до правата y = - 1.

Нека сравним това, което получихме при всяко изчисление с графиката на дадената функция. На фигурата асимптотите са показани с пунктирана линия.

Това е всичко, което искахме да ви кажем за намирането на най -голямата и най -малката стойност на функцията. Последователността от действия, които дадохме, ще ви помогне да направите необходимите изчисления възможно най -бързо и лесно. Но не забравяйте, че често е полезно първо да разберете на какви интервали функцията ще намалява и на какви интервали ще се увеличава, след което можете да направите допълнителни заключения. По този начин можете по -точно да определите най -голямата и най -малката стойност на функцията и да обосновите получените резултати.

Ако забележите грешка в текста, моля, изберете я и натиснете Ctrl + Enter

Понякога проблеми В14 се натъкват на „лоши“ функции, за които е трудно да се намери производна. Преди това това беше само на сонди, но сега тези задачи са толкова често срещани, че вече не могат да бъдат пренебрегвани при подготовката за истинския изпит. В този случай работят други техники, една от които е монотонността. Определение Функция f (x) се нарича монотонно нарастваща на отсечка, ако за всяка точка x 1 и x 2 от този сегмент е вярно: x 1

Определение. Функция f (x) се нарича монотонно намаляваща на отсечка, ако за всички точки x 1 и x 2 от този сегмент е вярно следното: x 1 f (x 2). С други думи, за нарастваща функция, колкото по -голям е x, толкова по -голям е f (x). За намаляваща функция е обратното: колкото по -голям е x, толкова по -малък е f (x).

Примери. Логаритъмът се увеличава монотонно, ако основата a> 1, и намалява монотонно, ако 0 0.f (x) = log a x (a> 0; a 1; x> 0) 1 и намалява монотонно, ако 0 0.f (x) = log ax (a> 0; a 1; x> 0) "> 1, и намалява монотонно, ако 0 0.f (x) = log ax (a> 0 ; a 1; x> 0) "> 1 и монотонно намалява, ако 0 0. f (x) = log ax (a> 0; a 1; x> 0)" title = "(! LANG: Примери. Логаритъмът се увеличава монотонно, ако основата a> 1, и намалява монотонно, ако 0 0.f (x) = log ax (a> 0; a 1; x> 0)"> title="Примери. Логаритъмът се увеличава монотонно, ако основата a> 1, и намалява монотонно, ако 0 0.f (x) = log a x (a> 0; a 1; x> 0)"> !}

Примери. Експоненциалната функция се държи подобно на логаритъма: тя расте при a> 1 и намалява за 0 0: 1 и намалява при 0 0: "> 1 и намалява при 0 0:"> 1 и намалява при 0 0: "title =" (! LANG: Примери. Експоненциалната функция се държи подобно на логаритъма: увеличава се при a> 1 и намалява при 0 0:"> title="Примери. Експоненциалната функция се държи подобно на логаритъма: тя расте при a> 1 и намалява за 0 0:"> !}

0) или надолу (a 0) или надолу (a 9Координати на върха на парабола Най -често аргументът на функцията се заменя с квадратен трином на формата Нейната графика е стандартна парабола, в която се интересуваме от клонове: Клоните на парабола могат да се издигат нагоре (за a> 0) или надолу (a 0) или най -голямото (a 0) или надолу (a 0) или надолу (a 0) или най -голямото (a 0) или надолу (a 0) или надолу (заглавие = "(! LANG: Координати на върха на параболата) Най -често аргументът на функцията се заменя с квадратен трином на формата Нейната графика е стандартна парабола, в която се интересуваме от клонове: Клоновете на парабола могат да се издигат нагоре (за a> 0) или надолу ( а

В изявлението на проблема няма сегмент. Следователно няма нужда да се изчисляват f (a) и f (b). Остава да се вземат предвид само крайните точки; Но има само една такава точка, това е върхът на параболата х 0, координатите на която се изчисляват буквално устно и без никакви производни.

По този начин решението на задачата е значително опростено и се свежда само до две стъпки: Напишете уравнението на параболата и намерете нейния връх по формулата: Намерете стойността на оригиналната функция в тази точка: f (x 0). Ако няма допълнителни условия, това ще бъде отговорът.

0. Върхът на параболата: x 0 = b / (2a) = 6 / (2 парабола с клони нагоре, тъй като коефициентът a = 1> 0. Върхът на параболата: x 0 = b / (2a) = 6 / (2 · 1) = 6/2 = 3" class="link_thumb"> 18 !}Намерете най -малката стойност на функцията: Решение: Под корена има квадратна функция. Графиката на тази функция е парабола с клони нагоре, тъй като коефициентът a = 1> 0. Върхът на параболата: x 0 = b / (2а) = 6 / (2 · 1) = 6/2 = 3 0. Върхът на параболата: x 0 = b / (2a) = 6 / (2 1) = 6/2 = 3 "> 0. Върхът на параболата: x 0 = b / (2a) = 6 / (2 1) = 6/2 = 3 "> 0. Върхът на параболата: x 0 = b / (2a) = 6 / (2 · 1) = 6/2 = 3" title = "(! LANG: Намерете най -малката стойност на функцията: Решение: Квадратната функция е под корена. Графиката на тази функция е парабола с клони нагоре, тъй като коефициентът a = 1> 0. Върхът на параболата: x 0 = b / ( 2а) = 6 / (2 · 1) = 6/2 = 3"> title="Намерете най -малката стойност на функцията: Решение: Под корена има квадратна функция. Графиката на тази функция е парабола с клони нагоре, тъй като коефициентът a = 1> 0. Върхът на параболата: x 0 = b / (2а) = 6 / (2 · 1) = 6/2 = 3"> !}

Намерете най -малката стойност на функцията: Решение Под логаритъма квадратната функция е отново. a = 1> 0. Върхът на параболата: x 0 = b / (2a) = 2 / (2 1) = 2/2 = 1 0. Върхът на параболата: x 0 = b / (2a) = 2 / (2 1) = 2/2 = 1 "> 0. Върхът на параболата: x 0 = b / (2a) = 2 / (2 1) = 2/2 = 1 "> 0. Върхът на параболата: x 0 = b / (2a) = 2 / (2 1) = 2/2 = 1" title = "(! LANG: Намерете най -малката стойност на функцията: Решение под Логаритъмът отново е квадратична функция. Графиката на параболата се разклонява нагоре, тъй като a = 1> 0. Върхът на параболата: x 0 = b / (2a) = 2 / (2 1) = 2/2 = 1"> title="Намерете най -малката стойност на функцията: Решение Под логаритъма квадратната функция е отново. a = 1> 0. Върхът на параболата: x 0 = b / (2a) = 2 / (2 1) = 2/2 = 1"> !}

Намерете най -голямата стойност на функцията: Решение: Степента съдържа квадратична функция Нека я препишем в нормалната й форма: Очевидно графиката на тази функция е парабола, разклонява се надолу (a = 1

Последици от областта на функция Понякога, за да се реши задача В14, не е достатъчно само да се намери върхът на парабола. Желаната стойност може да се намира в края на сегмента, а изобщо не в крайната точка. Ако проблемът изобщо не посочва сегмент, разглеждаме диапазона от допустими стойности на оригиналната функция. А именно:

0 2. Аритметичният квадратен корен съществува само от неотрицателни числа: 3. Знаменателят на дробата не трябва да е нула: "title =" (! LANG: 1. Логаритмичният аргумент трябва да е положителен: y = log af (x ) f (x)> 0 2. Аритметичният квадратен корен съществува само от неотрицателни числа: 3. Знаменателят на дробата не трябва да е нула:" class="link_thumb"> 26 !} 1. Аргументът на логаритъма трябва да бъде положителен: y = log a f (x) f (x)> 0 2. Аритметичният квадратен корен съществува само от неотрицателни числа: 3. Знаменателят на дробата не трябва да е нула: 0 2. Аритметичният квадратен корен съществува само от неотрицателни числа: 3. Знаменателят на дроб не трябва да е нула: "> 0 2. Аритметичният квадратен корен съществува само от неотрицателни числа: 3. Знаменателят на a дроб не трябва да е равна на нула: "> 0 2. Аритметичен квадратен корен съществува само от неотрицателни числа: 3. Знаменателят на дробата не трябва да е нула:" title = "(! LANG: 1. Аргументът на логаритъма трябва бъде положително: y = log af (x) f (x)> 0 2. Аритметичен квадрат коренът съществува само от неотрицателни числа: 3. Знаменателят на дробата не трябва да е нула:"> title="1. Аргументът на логаритъма трябва да бъде положителен: y = log a f (x) f (x)> 0 2. Аритметичният квадратен корен съществува само от неотрицателни числа: 3. Знаменателят на дробата не трябва да е нула:"> !}

Решение Под корена отново е квадратна функция. Графиката му е парабола, но клоните са насочени надолу, тъй като a = 1
Сега намираме върха на параболата: x 0 = b / (2a) = (2) / (2 Сега изчисляваме стойността на функцията в точката x 0, както и в краищата на ODZ: y (3) = y (1) = 0 И така, имаме числата 2 и 0. От нас се иска да намерим най -голямото число 2. Отговор: 2

Моля, обърнете внимание: неравенството е строго, така че краищата не принадлежат на ODZ. По този начин логаритъмът се различава от корена, където краищата на сегмента са доста подходящи за нас. Търсим върха на параболата: x 0 = b / (2a) = 6 / (2 Но тъй като не се интересуваме от краищата на сегмента, ние разглеждаме стойността на функцията само в точката x 0:

Y min = y (3) = log 0.5 (6) = = log 0.5 (18 9 5) = log 0.5 4 = 2 Отговор: -2

Понякога проблемите B15 се натъкват на „лоши“ функции, за които е трудно да се намери производна. Преди това това беше само на сонди, но сега тези задачи са толкова често срещани, че вече не могат да бъдат пренебрегвани при подготовката за истинския изпит.

В този случай работят други трикове, един от които е - монотонен.

Функция f (x) се нарича монотонно нарастваща на отсечка, ако за всяка точка x 1 и x 2 от този сегмент е вярно следното:

x 1< x 2 ⇒ f (x 1) < f (x 2).

Функция f (x) се нарича монотонно намаляваща на сегмент, ако за всички точки x 1 и x 2 от този сегмент е вярно следното:

x 1< x 2 ⇒ f (x 1)> f ( x 2).

С други думи, за нарастваща функция, колкото по -голям е x, толкова по -голям е f (x). За намаляваща функция е вярно обратното: колкото по -голям x, по -малки f (x).

Например логаритъмът се увеличава монотонно, ако основата a> 1, и намалява монотонно, ако 0< a < 1. Не забывайте про область допустимых значений логарифма: x > 0.

f (x) = log a x (a> 0; a ≠ 1; x> 0)

Аритметичният квадратен (и не само квадратен) корен се увеличава монотонно в цялата област на дефиниция:

Експоненциалната функция се държи подобно на логаритъма: тя расте при a> 1 и намалява за 0< a < 1. Но в отличие от логарифма, показательная функция определена для всех чисел, а не только для x > 0:

f (x) = a x (a> 0)

И накрая, отрицателни показатели. Можете да ги напишете като дроб. Имайте точка на прекъсване, в която монотонността се нарушава.

Всички тези функции никога не се намират в чист вид. Те добавят полиноми, дроби и други глупости, поради което става трудно да се преброи производната. Какво се случва в този случай - сега ще анализираме.

Координати на върха на парабола

Най -често аргументът функция се заменя с квадратен тричленот формата y = ax 2 + bx + c. Неговата графика е стандартна парабола, от която се интересуваме:

1. Клоните на Parabola - могат да се издигат нагоре (за a> 0) или надолу (a< 0). Задают направление, в котором функция может принимать бесконечные значения;
2. Върхът на парабола е крайната точка на квадратна функция, в която тази функция приема най -малката си (за a> 0) или най -голямата (a< 0) значение.

Най -голям интерес представлява именно върха на парабола, чиято абсциса се изчислява по формулата:

И така, открихме крайната точка на квадратната функция. Но ако първоначалната функция е монотонна, за нея точката x 0 също ще бъде екстремна точка. Така ще формулираме основното правило:

Екстремните точки на квадратичния трином и комплексната функция, в която влиза, съвпадат. Следователно можете да търсите x 0 за квадратен трином и да отбележите функция.

От горните разсъждения остава неясно коя точка получаваме: максимална или минимална. Задачите обаче са специално проектирани така, че да няма значение. Преценете сами:

1. В изявлението на проблема няма сегмент. Следователно няма нужда да се изчисляват f (a) и f (b). Остава да се вземат предвид само крайните точки;
2. Но има само една такава точка - това е върхът на параболата х 0, чиито координати се изчисляват буквално устно и без никакви производни.

По този начин решаването на проблема е значително опростено и се свежда само до две стъпки:

1. Изпишете уравнението на параболата y = ax 2 + bx + c и намерете върха му по формулата: x 0 = −b / 2a;
2. Намерете стойността на оригиналната функция в този момент: f (x 0). Ако няма допълнителни условия, това ще бъде отговорът.

На пръв поглед този алгоритъм и обосновката му могат да изглеждат обезсърчаващи. Умишлено не публикувам "гола" схема на решение, тъй като необмисленото прилагане на такива правила е изпълнено с грешки.

Помислете за реални проблеми от пробния изпит по математика - тук тази техника се среща най -често. В същото време ще се уверим, че по този начин много задачи на B15 стават почти словесни.

Под корена е квадратната функция y = x 2 + 6x + 13. Графиката на тази функция е парабола с клони нагоре, тъй като коефициентът a = 1> 0.

Върхът на параболата:

x 0 = −b / (2a) = −6 / (2 1) = −6/2 = −3

Тъй като клоните на параболата са насочени нагоре, в точката x 0 = −3 функцията y = x 2 + 6x + 13 приема най -малката стойност.

Коренът се увеличава монотонно, така че x 0 е минималната точка на цялата функция. Ние имаме:

Задача. Намерете най -малката стойност на функцията:

y = log 2 (x 2 + 2x + 9)

Под логаритъма отново има квадратна функция: y = x 2 + 2x + 9. Графиката е парабола с клони нагоре, тъй като a = 1> 0.

Върхът на параболата:

x 0 = −b / (2a) = −2 / (2 1) = −2/2 = −1

Така че в точката x 0 = −1 квадратната функция приема най -малката стойност. Но функцията y = log 2 x е монотонна, следователно:

y min = y (−1) = log 2 ((−1) 2 + 2 (−1) + 9) = ... = log 2 8 = 3

Експонентата съдържа квадратната функция y = 1 - 4x - x 2. Нека го пренапишем в нормалната му форма: y = −x 2 - 4x + 1.

Очевидно графиката на тази функция е парабола, разклоняваща се надолу (a = −1< 0). Поэтому вершина будет точкой максимума:

x 0 = −b / (2a) =- (- 4) / (2 (−1)) = 4 / (- 2) = −2

Първоначалната функция е експоненциална, тя е монотонна, така че най -голямата стойност ще бъде в намерената точка x 0 = −2:

Внимателният читател вероятно ще забележи, че не сме изписали диапазона от допустими стойности на корена и логаритъма. Но това не се изискваше: вътре има функции, чиито стойности винаги са положителни.

Последици от областта на функцията

Понякога намирането на върха на параболата не е достатъчно за решаване на задача В15. Желаната стойност може да лъже в края на сегмента, но не в крайната точка. Ако изобщо няма зададен сегмент в проблема, ние разглеждаме диапазон от валидни стойностиоригиналната функция. А именно:

Забележете отново: нулата може да е под корена, но никога в логаритъма или знаменателя на дроб. Нека да видим как работи това с конкретни примери:

Задача. Намерете най -голямата стойност на функцията:

Под корена отново има квадратна функция: y = 3 - 2x - x 2. Графиката му е парабола, но се разклонява надолу, тъй като a = −1< 0. Значит, парабола уходит на минус бесконечность, что недопустимо, поскольку арифметический квадратный корень из отрицательного числа не существует.

Изписваме диапазона от допустими стойности (ODZ):

3 - 2x - x 2 ≥ 0 ⇒ x 2 + 2x - 3 ≤ 0 ⇒ (x + 3) (x - 1) ≤ 0 ⇒ x ∈ [−3; 1]

Сега нека намерим върха на параболата:

x 0 = −b / (2a) =- (- 2) / (2 (−1)) = 2 / (- 2) = −1

Точката x 0 = −1 принадлежи към сегмента на ODZ - и това е добре. Сега изчисляваме стойността на функцията в точката x 0, както и в краищата на ODZ:

y (−3) = y (1) = 0

И така, получихме числата 2 и 0. От нас се иска да намерим най -голямото - това е числото 2.

Задача. Намерете най -малката стойност на функцията:

y = log 0.5 (6x - x 2 - 5)

Вътре в логаритъма има квадратна функция y = 6x - x 2 - 5. Това е парабола с разклонения надолу, но не може да има отрицателни числа в логаритъма, затова пишем ODZ:

6x - x 2 - 5> 0 ⇒ x 2 - 6x + 5< 0 ⇒ (x − 1)(x − 5) < 0 ⇒ x ∈ (1; 5)

Моля, обърнете внимание: неравенството е строго, така че краищата не принадлежат на ODZ. По този начин логаритъмът се различава от корена, където краищата на сегмента са доста подходящи за нас.

Търсим върха на параболата:

x 0 = −b / (2a) = −6 / (2 (−1)) = −6 / (- 2) = 3

Върхът на параболата е подходящ за ODV: x 0 = 3 ∈ (1; 5). Но тъй като краищата на сегмента не представляват интерес за нас, ние разглеждаме стойността на функцията само в точка x 0:

y min = y (3) = log 0.5 (6 3 - 3 2 - 5) = log 0.5 (18 - 9 - 5) = log 0.5 4 = −2

Скъпи приятели! Групата задачи, свързани с производната, включва задачи - условието дава графика на функцията, няколко точки на тази графика и въпросът е:

В кой момент стойността на деривата е най -голямата (най -малката)?

Нека повторим накратко:

Производната в точката е равна на наклона на тангента, преминаваща през неятази точка на графиката.

Имамглобалният коефициент на допирателната от своя страна е равен на тангенсата на ъгъла на наклон на тази допирателна.

* Това се отнася до ъгъла между допирателната и абсцисата.

1. На интервалите на увеличаване на функцията производната има положителна стойност.

2. В интервалите на своето намаляване дериватът има отрицателна стойност.

Обмислете следната скица:

В точки 1,2,4 производната на функцията има отрицателна стойност, тъй като тези точки принадлежат към интервалите на намаляване.

В точки 3,5,6, производната на функцията има положителна стойност, тъй като тези точки принадлежат към нарастващите интервали.

Както можете да видите, всичко е ясно със стойността на производната, тоест не е трудно да се определи какъв знак има (положителен или отрицателен) в определена точка на графиката.

Освен това, ако мислено конструираме допирателни в тези точки, ще видим, че правите линии, преминаващи през точки 3, 5 и 6, образуват ъгли с оста oX, лежаща в диапазона от 0 до 90 o, и правите линии, преминаващи през точки 1 , 2 и 4 се образуват с ъглите на оста ОХ в диапазона от 90 о до 180 о.

* Връзката е ясна: тангентите, преминаващи през точките, принадлежащи към интервалите на нарастваща функция, образуват остри ъгли с оста oX, тангентите, преминаващи през точките, принадлежащи към интервалите на намаляващите функции, образуват тъпи ъгли с оста oX.

Сега за един важен въпрос!

Как се променя стойността на деривата? В края на краищата, допирателната в различни точки на графиката на непрекъсната функция образува различни ъгли, в зависимост от това през коя точка на графиката преминава.

* Или просто казано, допирателната се намира като "хоризонтална" или "вертикална". Погледни:

Правите образуват ъгли с оста ОХ в диапазона от 0 до 90 о

Правите образуват ъгли с оста ОХ в диапазона от 90 до 180 о

Ето защо, ако има въпроси:

- в коя от тези точки на графиката стойността на деривата е с най -малка стойност?

- в коя от тези точки на графиката стойността на деривата е най -важна?

тогава за отговора е необходимо да се разбере как се променя стойността на тангента на допирателния ъгъл в диапазона от 0 до 180 о.

* Както вече споменахме, стойността на производната на функцията в дадена точка е равна на тангента на ъгъла на наклон на тангента към оста oX.

Стойността на допирателната се променя, както следва:

Когато ъгълът на наклон на правата линия се промени от 0 o до 90 o, стойността на тангенсата, а оттам и на производната, се променя съответно от 0 до + ∞;

Когато ъгълът на наклон на правата линия се промени от 90 ° на 180 °, стойността на допирателната, а оттам и на производната, се променя съответно от –∞ на 0.

Това може ясно да се види от графиката на допирателната функция:

С прости думи:

Под ъгъл на наклон на допирателната от 0 o до 90 o

Колкото по -близо е до 0 о, толкова повече стойността на производната ще бъде близка до нула (от положителната страна).

Колкото по -близо е ъгълът до 90 °, толкова повече стойността на производната ще се увеличи към + ∞.

Под ъгъл на наклон на тангента от 90 o до 180 o

Колкото по -близо е до 90 °, толкова повече стойността на производната ще намалее до –∞.

Колкото по -близо е ъгълът до 180 °, толкова повече стойността на производната ще бъде близка до нула (от отрицателната страна).

317543. Фигурата показва графиката на функцията y = е(х) и маркирани точки–2, –1, 1, 2. В коя от тези точки стойността на производната е най -голяма? Посочете тази точка в отговора си.

Имаме четири точки: две от тях принадлежат на интервалите, на които функцията намалява (това са точки –1 и 1) и два интервала, на които функцията се увеличава (това са точки –2 и 2).

Веднага можем да заключим, че в точки –1 и 1 производната има отрицателна стойност, в точки –2 и 2 има положителна стойност. Следователно в този случай е необходимо да се анализират точки –2 и 2 и да се определи в коя от тях стойността ще бъде най -голяма. Нека конструираме допирателни, преминаващи през посочените точки:

Тангенсът на ъгъла между права линия а и оста на абсцисата ще бъде по -голям от тангенса на ъгъла между права линия b и тази ос. Това означава, че стойността на деривата в точка –2 ще бъде най -голямата.

Нека да отговорим на следния въпрос: в коя от точки –2, –1, 1 или 2 стойността на производната е най -голямата отрицателна? Посочете тази точка в отговора си.

Производната ще има отрицателна стойност в точките, принадлежащи към интервалите на разпадане, затова вземете предвид точки –2 и 1. Постройте тангентите, преминаващи през тях:

Виждаме, че тъпият ъгъл между правата линия b и оста oX е "по -близо" до 180О , следователно, неговата допирателна ще бъде по -голяма от допирателната на ъгъла, образуван от правата линия a и оста oX.

По този начин, в точка x = 1, стойността на деривата ще бъде най -големият отрицателен.

317544. Фигурата показва графиката на функцията y = е(х) и маркирани точки–2, –1, 1, 4. В коя от тези точки стойността на производната е най -малката? Посочете тази точка в отговора си.

Имаме четири точки: две от тях принадлежат на интервалите, на които функцията намалява (това са точки –1 и 4) и два интервала, на които функцията се увеличава (това са точки –2 и 1).

Веднага можем да заключим, че в точки –1 и 4 производната има отрицателна стойност, в точки –2 и 1 има положителна стойност. Следователно в този случай е необходимо да се анализират точките –1 и 4 и да се определи - в коя от тях стойността ще бъде най -малката. Нека конструираме допирателни, преминаващи през посочените точки:

Тангенсът на ъгъла между права линия а и оста на абсцисата ще бъде по -голям от тангенса на ъгъла между права линия b и тази ос. Това означава, че стойността на производната в точката x = 4 ще бъде най -малката.

Отговор: 4

Надявам се да не съм ви „затрупал“ с количеството писане. Всъщност всичко е много просто, просто трябва да разберете свойствата на производната, нейното геометрично значение и как стойността на тангента на ъгъла се променя от 0 до 180 о.

1. Първо, определете знаците на производната в дадените точки (+ или -) и изберете необходимите точки (в зависимост от поставения въпрос).

2. Начертайте допирателни в тези точки.

3. С помощта на тангезоидната графика скицирайте ъглите и покажетеАлександър.

P.S: Ще бъда благодарен, ако разкажете за сайта в социалните мрежи.