Единен държавен изпит по математика (профил). Четене на производната графика

Здравейте! Нека ударим предстоящия Единен държавен изпит с висококачествена систематична подготовка и постоянство в шлайфането на гранита на науката!!! INВ края на публикацията има състезателна задача, бъдете първи! В една от статиите в този раздел Вие и аз, в която беше дадена графиката на функцията и бяха повдигнати различни въпроси относно екстремуми, интервали на нарастване (намаляване) и други.

В тази статия ще разгледаме задачите, включени в Единния държавен изпит по математика, в който е дадена графика на производната на функция и са поставени следните въпроси:

1. В коя точка на даден сегмент функцията приема най-голямата (или най-малката) стойност.

2. Намерете броя на максималните (или минималните) точки на функцията, принадлежащи на даден сегмент.

3. Намерете броя на точките на екстремума на функцията, принадлежащи на даден сегмент.

4. Намерете точката на екстремума на функцията, принадлежаща на дадения сегмент.

5. Намерете интервалите на нарастваща (или намаляваща) функция и в отговора посочете сумата от целите точки, включени в тези интервали.

6. Намерете интервалите на нарастване (или намаляване) на функцията. В отговора си посочете дължината на най-големия от тези интервали.

7. Намерете броя на точките, в които допирателната към графиката на функцията е успоредна или съвпада с права от вида y = kx + b.

8. Намерете абсцисата на точката, в която допирателната към графиката на функцията е успоредна на абсцисната ос или съвпада с нея.

Може да има и други въпроси, но те няма да ви създадат затруднения, ако разбирате и (предоставени са връзки към статии, които предоставят информацията, необходима за решението, препоръчвам да ги повторите).

Основна информация (накратко):

1. Производната на нарастващи интервали има положителен знак.

Ако производната в определен момент от определен интервал има положителна стойност, тогава графиката на функцията нараства на този интервал.

2. При намаляващи интервали производната е с отрицателен знак.

Ако производната в определена точка от определен интервал има отрицателна стойност, тогава графиката на функцията намалява на този интервал.

3. Производната в точка x е равна на наклона на допирателната, начертана към графиката на функцията в същата точка.

4. В точките на екстремум (максимум-минимум) на функцията производната е равна на нула. Допирателната към графиката на функцията в тази точка е успоредна на оста x.

Това трябва ясно да се разбере и запомни!!!

Производната графика „обърква“ много хора. Някои хора по невнимание го бъркат с графиката на самата функция. Следователно в такива сгради, където видите, че е дадена графика, веднага насочете вниманието си в условието върху това, което е дадено: графиката на функцията или графиката на производната на функцията?

Ако това е графика на производната на функция, тогава я третирайте като "отражение" на самата функция, което просто ви дава информация за тази функция.

Помислете за задачата:

Фигурата показва графика y =f'(Х)- производна на функция f(Х), определени на интервала (–2;21).

Ще отговорим на следните въпроси:

1. В коя точка на сегмента е функцията f(Х)приема най-висока стойност.

На даден интервал производната на дадена функция е отрицателна, което означава, че функцията на този интервал намалява (намалява от лявата граница на интервала към дясната). Така най-голямата стойност на функцията се постига на лявата граница на сегмента, т.е. в точка 7.

Отговор: 7

2. В коя точка на отсечката е функцията f(Х)

От тази производна графика можем да кажем следното. На даден интервал производната на функцията е положителна, което означава, че функцията на този интервал нараства (тя нараства от лявата граница на интервала към дясната). По този начин, най-малка стойностфункция се постига на лявата граница на сегмента, тоест в точката x = 3.

Отговор: 3

3. Намерете броя на максималните точки на функцията f(Х)

Максималните точки съответстват на точките, в които знакът на производната се променя от положителен на отрицателен. Нека разгледаме къде знакът се променя по този начин.

На отсечката (3;6) производната е положителна, на отсечката (6;16) е отрицателна.

На отсечката (16;18) производната е положителна, на отсечката (18;20) е отрицателна.

Така на даден сегмент функцията има две максимални точки x = 6 и x = 18.

Отговор: 2

4. Намерете броя на минималните точки на функцията f(Х), принадлежащи към сегмента.

Минималните точки съответстват на точки, в които знакът на производната се променя от отрицателен на положителен. Нашата производна е отрицателна на интервала (0;3) и положителна на интервала (3;4).

Така на сегмента функцията има само една минимална точка x = 3.

*Внимавайте при записване на отговора - записва се броят точки, а не стойността x; поради невнимание може да се допусне такава грешка.

Отговор: 1

5. Намерете броя на точките на екстремума на функцията f(Х), принадлежащи към сегмента.

Моля, отбележете какво трябва да намерите количествоекстремни точки (това са както максимални, така и минимални точки).

Точките на екстремума съответстват на точки, в които знакът на производната се променя (от положителен на отрицателен или обратно). В графиката, дадена в условието, това са нулите на функцията. Производната изчезва в точки 3, 6, 16, 18.

Така функцията има 4 точки на екстремум на сегмента.

Отговор: 4

6. Намерете интервалите на нарастваща функция f(Х)

Интервали на нарастване на тази функция f(Х)съответстват на интервалите, на които неговата производна е положителна, т.е. интервалите (3;6) и (16;18). Моля, обърнете внимание, че границите на интервала не са включени в него (кръгли скоби - границите не са включени в интервала, квадратни скоби - включени). Тези интервали съдържат цели числа 4, 5, 17. Сборът им е: 4 + 5 + 17 = 26

Отговор: 26

7. Намерете интервалите на намаляваща функция f(Х)на даден интервал. В отговора си посочете сумата от целите точки, включени в тези интервали.

Интервали на намаляване на функцията f(Х)съответстват на интервали, на които производната на функцията е отрицателна. В тази задача това са интервалите (–2;3), (6;16), (18:21).

Тези интервали съдържат следните цели числа: –1, 0, 1, 2, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 19, 20. Тяхната сума е:

(–1) + 0 + 1 + 2 + 7 + 8 + 9 + 10 +

11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 19 + 20 = 140

Отговор: 140

* Обърнете внимание на условието: дали границите са включени в интервала или не. Ако са включени граници, тогава в интервалите, разглеждани в процеса на решаване, тези граници също трябва да бъдат взети предвид.

8. Намерете интервалите на нарастваща функция f(Х)

Интервали на нарастваща функция f(Х)съответстват на интервали, на които производната на функцията е положителна. Вече ги посочихме: (3;6) и (16:18). Най-големият от тях е интервалът (3;6), дължината му е 3.

Отговор: 3

9. Намерете интервалите на намаляваща функция f(Х). В отговора си посочете дължината на най-голямата от тях.

Интервали на намаляване на функцията f(Х)съответстват на интервали, на които производната на функцията е отрицателна. Вече ги посочихме, това са интервалите (–2;3), (6;16), (18;21), техните дължини са съответно 5, 10, 3.

Дължината на най-голямата е 10.

Отговор: 10

10. Намерете броя на точките, в които е допирателната към графиката на функцията f(Х)успоредна или съвпадаща с правата линия y = 2x + 3.

Стойността на производната в точката на допирателна е равна на наклона на допирателната. Тъй като допирателната е успоредна на правата y = 2x + 3 или съвпада с нея, тогава техните склоновеса равни на 2. Това означава, че е необходимо да се намери броят на точките, в които y′(x 0) = 2. Геометрично това съответства на броя точки на пресичане на графиката на производната с правата линия y = 2. Има 4 такива точки на даден интервал.

Отговор: 4

11. Намерете точката на екстремума на функцията f(Х), принадлежащи към сегмента.

Точката на екстремума на функция е точката, в която нейната производна е равна на нула, а в близост до тази точка производната променя знака (от положителна на отрицателна или обратно). На сегмента графиката на производната пресича оста x, производната променя знака от отрицателен на положителен. Следователно точката x = 3 е точка на екстремум.

Отговор: 3

12. Намерете абсцисата на точките, в които допирателните към графиката y = f (x) са успоредни на абсцисната ос или съвпадат с нея. В отговора си посочете най-големия от тях.

Допирателната към графиката y = f (x) може да бъде успоредна на абсцисната ос или да съвпада с нея само в точки, където производната е равна на нула (това могат да бъдат точки на екстремум или стационарни точки, в близост до които производната прави не променя знака си). Тази графика показва, че производната е нула в точки 3, 6, 16,18. Най-големият е 18.

Можете да структурирате разсъжденията си по следния начин:

Стойността на производната в точката на допирателна е равна на наклона на допирателната. Тъй като тангентата е успоредна или съвпада с оста x, нейният наклон е 0 (всъщност тангентата на ъгъл от нула градуса е нула). Следователно, ние търсим точката, в която наклонът е равен на нула и следователно производната е равна на нула. Производната е равна на нула в точката, в която нейната графика пресича оста x и това са точки 3, 6, 16,18.

Отговор: 18

Фигурата показва графика y =f'(Х)- производна на функция f(Х), определени на интервала (–8;4). В коя точка от отсечката [–7;–3] е функцията f(Х)приема най-малката стойност.

Фигурата показва графика y =f'(Х)- производна на функция f(Х), определени на интервала (–7;14). Намерете броя на максималните точки на функцията f(Х), принадлежащ на сегмента [–6;9].

Фигурата показва графика y =f'(Х)- производна на функция f(Х), определени на интервала (–18;6). Намерете броя на минималните точки на функцията f(Х), принадлежащ на сегмента [–13;1].

Фигурата показва графика y =f'(Х)- производна на функция f(Х), определени на интервала (–11; –11). Намерете броя на точките на екстремума на функцията f(Х), принадлежащ на сегмента [–10; -10].

Фигурата показва графика y =f'(Х)- производна на функция f(Х), определени на интервала (–7;4). Намерете интервалите на нарастваща функция f(Х). В отговора си посочете сумата от целите точки, включени в тези интервали.

Фигурата показва графика y =f'(Х)- производна на функция f(Х), определени на интервала (–5;7). Намерете интервалите на намаляваща функция f(Х). В отговора си посочете сумата от целите точки, включени в тези интервали.

Фигурата показва графика y =f'(Х)- производна на функция f(Х), определени на интервала (–11;3). Намерете интервалите на нарастваща функция f(Х). В отговора си посочете дължината на най-голямата от тях.

F Фигурата показва графика

Условията на проблема са същите (които разгледахме). Намерете сбора на три числа:

1. Сумата от квадратите на екстремумите на функцията f (x).

2. Разликата между квадратите на сумата от максималните точки и сумата от минималните точки на функцията f (x).

3. Броят на допирателните към f (x), успоредни на правата линия y = –3x + 5.

Първият, който даде правилен отговор, ще получи поощрителна награда от 150 рубли. Напишете отговорите си в коментарите. Ако това е първият ви коментар в блога, той няма да се появи веднага, а малко по-късно (не се притеснявайте, времето на писане на коментара се записва).

Късмет!

С най-добри пожелания, Александър Крутицих.

P.S: Ще съм благодарен, ако ми разкажете за сайта в социалните мрежи.

B8. Единен държавен изпит

1. Фигурата показва графика на функцията y=f(x) и допирателна към тази графика, начертана в точката с абсцисата x0. Намерете стойността на производната на функцията f(x) в точката x0. Отговор: 2

2.

Отговор: -5

3.

На интервала (–9;4).

Отговор:2

4.

Намерете стойността на производната на функцията f(x) в точката x0 Отговор: 0,5

5. Намерете допирателната точка на правата y = 3x + 8 и графиката на функцията y = x3+x2-5x-4. В отговора си посочете абсцисата на тази точка. Отговор: -2

6.

Определете броя на целочислените стойности на аргумента, за които производната на функцията f(x) е отрицателна. Отговор: 4

7.

Отговор: 2

8.

Намерете броя на точките, в които допирателната към графиката на функцията f(x) е успоредна на правата y=5–x или съвпада с нея. Отговор: 3

9.

Интервал (-8; 3).

Права линия y = -20. Отговор: 2

10.

Отговор: -0,5

11

Отговор: 1

12. Фигурата показва графиката на функцията y=f(x) и допирателната към нея в точката с абсцисата x0.

Намерете стойността на производната на функцията f(x) в точката x0. Отговор: 0,5

13. Фигурата показва графиката на функцията y=f(x) и допирателната към нея в точката с абсцисата x0.

Намерете стойността на производната на функцията f(x) в точката x0. Отговор: -0,25

14.

Намерете броя на точките, в които допирателната към графиката на функцията f(x) е успоредна или съвпада с правата линия y = x+7. Отговор: 4

15

Намерете стойността на производната на функцията f(x) в точката x0. Отговор: -2

16.

интервал (-14;9).

Намерете броя на максималните точки на функцията f(x) върху отсечката [-12;7]. Отговор: 3

17

на интервала (-10;8).

Намерете броя на точките на екстремум на функцията f(x) на отсечката [-9;7]. Отговор: 4

18. Правата y = 5x-7 докосва графиката на функцията y = 6x2 + bx-1 в точка с абциса по-малка от 0. Намерете b. Отговор: 17

19

Отговор:-0,25

20

Отговор: 6

21. Намерете допирателната към графиката на функцията y=x2+6x-7, успоредна на правата y=5x+11. В отговора си посочете абсцисата на точката на допиране. Отговор: -0,5

22.

Отговор: 4

23. f "(x) на интервала (-16;4).

На отсечката [-11;0] намерете броя на максималните точки на функцията. Отговор: 1

B8 Графики на функции, производни на функции. Функционално изследване . Единен държавен изпит

1. Фигурата показва графика на функцията y=f(x) и допирателна към тази графика, начертана в точката с абсцисата x0. Намерете стойността на производната на функцията f(x) в точката x0.

2. На фигурата е показана графика на производната на функцията f(x), дефинирана на интервала (-6; 5).

В коя точка на сегмента [-5; -1] f(x) приема най-малката стойност?

3. Фигурата показва графика на дефинираната производна на функцията y = f(x).

На интервала (–9;4).

Намерете броя на точките, в които допирателната към графиката на функцията f(x) е успоредна на правата

y = 2x-17 или съвпада с него.

4. Фигурата показва графиката на функцията y = f(x) и допирателната към нея в точката с абсцисата x0.

Намерете стойността на производната на функцията f(x) в точката x0

5. Намерете допирателната точка на правата y = 3x + 8 и графиката на функцията y = x3+x2-5x-4. В отговора си посочете абсцисата на тази точка.

6. На фигурата е показана графика на функцията y = f(x), дефинирана на интервала (-7; 5).

Определете броя на целочислените стойности на аргумента, за които производната на функцията f(x) е отрицателна.

7. Фигурата показва графика на функцията y=f "(x), дефинирана на интервала (-8; 8).

Намерете броя на точките на екстремума на функцията f(x), принадлежащи на отсечката [-4; 6].

8. Фигурата показва графика на функцията y = f "(x), дефинирана в интервала (-8; 4).

Намерете броя на точките, в които допирателната към графиката на функцията f(x) е успоредна на правата y=5–x или съвпада с нея.

9. Фигурата показва графика на производната на функцията y = f(x), дефинирана на

Интервал (-8; 3).

Намерете броя на точките, в които допирателната към графиката на функцията е успоредна

Права линия y = -20.

10. Фигурата показва графиката на функцията y=f(x) и допирателната към нея в точката с абсцисата x0.

Намерете стойността на производната на функцията f(x) в точката x0.

11 . На фигурата е показана графика на производната на функцията f(x), дефинирана на интервала (-9;9).

Намерете броя на минималните точки на функцията $f(x)$ на интервала [-6;8]. 1

12. Фигурата показва графиката на функцията y=f(x) и допирателната към нея в точката с абсцисата x0.

Намерете стойността на производната на функцията f(x) в точката x0.

13. Фигурата показва графиката на функцията y=f(x) и допирателната към нея в точката с абсцисата x0.

Намерете стойността на производната на функцията f(x) в точката x0.

14. На фигурата е показана графика на производната на функцията f(x), дефинирана на интервала (-6;8).

Намерете броя на точките, в които допирателната към графиката на функцията f(x) е успоредна или съвпада с правата линия y = x+7.

15 . Фигурата показва графиката на функцията y = f(x) и допирателната към нея в точката с абсцисата x0.

Намерете стойността на производната на функцията f(x) в точката x0.

16. Фигурата показва графика на производната на функцията f(x), дефинирана на

интервал (-14;9).

Намерете броя на максималните точки на функцията f(x) върху отсечката [-12;7].

17 . Фигурата показва графика на дефинираната производна на функцията f(x).

на интервала (-10;8).

Намерете броя на точките на екстремум на функцията f(x) на отсечката [-9;7].

18. Правата y = 5x-7 докосва графиката на функцията y = 6x2 + bx-1 в точка с абциса по-малка от 0. Намерете b.

19 . Фигурата показва графика на производната на функцията f(x) и допирателната към нея в точката с абсцисата x0.

Намерете стойността на производната на функцията f(x) в точката x0.

20 . Намерете броя на точките в интервала (-1;12), при които производната на функцията y = f(x), показана на графиката, е равна на 0.

21. Намерете допирателната към графиката на функцията y=x2+6x-7, успоредна на правата y=5x+11. В отговора си посочете абсцисата на точката на допиране.

22. На фигурата е показана графика на функцията y=f(x). Намерете броя на целочислените точки в интервала (-2;11), при които производната на функцията f(x) е положителна.

23. Фигурата показва графиката на функцията y= f "(x) на интервала (-16;4).

На отсечката [-11;0] намерете броя на максималните точки на функцията.

Правата y=3x+2 е допирателна към графиката на функцията y=-12x^2+bx-10. Намерете b, като се има предвид, че абсцисата на допирателната е по-малка от нула.

Покажи решение

Решение

Нека x_0 е абсцисата на точката от графиката на функцията y=-12x^2+bx-10, през която минава допирателната към тази графика.

Стойността на производната в точка x_0 е равна на наклона на допирателната, т.е. y"(x_0)=-24x_0+b=3. От друга страна, точката на допирателна принадлежи едновременно на графиката на функция и допирателната, тоест -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0+2. Получаваме система от уравнения \begin(cases) -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \край (случаи)

Решавайки тази система, получаваме x_0^2=1, което означава или x_0=-1, или x_0=1. Съгласно условието за абсцисата, допирателните точки са по-малки от нула, така че x_0=-1, тогава b=3+24x_0=-21.

Отговор

Състояние

Фигурата показва графика на функцията y=f(x) (която е начупена линия, съставена от три прави сегмента). Като използвате фигурата, изчислете F(9)-F(5), където F(x) е една от първоизводните на функцията f(x).

Покажи решение

Решение

Съгласно формулата на Нютон-Лайбниц, разликата F(9)-F(5), където F(x) е една от първоизводните на функцията f(x), е равна на площта на криволинейния трапец, ограничен по графиката на функцията y=f(x), прави y=0 , x=9 и x=5. От графиката определяме, че посоченият извит трапец е трапец с основи равни на 4 и 3 и височина 3.

Площта му е равна \frac(4+3)(2)\cdot 3=10,5.

Отговор

Източник: „Математика. Подготовка за Единния държавен изпит 2017 г. Ниво на профил" Изд. Ф. Ф. Лисенко, С. Ю. Кулабухова.

Състояние

Фигурата показва графика на y=f"(x) - производната на функцията f(x), дефинирана на интервала (-4; 10). Намерете интервалите на намаляваща функция f(x). Във вашия отговор, посочете дължината на най-големия от тях.

Покажи решение

Решение

Както е известно, функцията f(x) намалява на тези интервали, във всяка точка на които производната f"(x) е по-малка от нула. Като се има предвид, че е необходимо да се намери дължината на най-големия от тях, три такива интервала са естествено разграничени от фигурата: (-4; -2) ; (0; 3);

Дължината на най-голямата от тях - (5; 9) е 4.

Отговор

Източник: „Математика. Подготовка за Единния държавен изпит 2017 г. Ниво на профил." Изд. Ф. Ф. Лисенко, С. Ю. Кулабухова.

Състояние

Фигурата показва графика на y=f"(x) - производната на функцията f(x), дефинирана на интервала (-8; 7). Намерете броя на максималните точки на функцията f(x), принадлежащи на интервалът [-6].

Покажи решение

Решение

Графиката показва, че производната f"(x) на функцията f(x) променя знака от плюс на минус (в такива точки ще има максимум) точно в една точка (между -5 и -4) от интервала [ -6; -2 ] Следователно има точно една максимална точка в интервала [-6;

Отговор

Източник: „Математика. Подготовка за Единния държавен изпит 2017 г. Ниво на профил." Изд. Ф. Ф. Лисенко, С. Ю. Кулабухова.

Състояние

На фигурата е показана графика на функцията y=f(x), дефинирана на интервала (-2; 8). Определете броя на точките, в които производната на функцията f(x) е равна на 0.

Покажи решение

Решение

Равенството на производната в точка на нула означава, че допирателната към графиката на функцията, начертана в тази точка, е успоредна на оста Ox. Следователно намираме точки, в които допирателната към графиката на функцията е успоредна на оста Ox. На тази диаграма такива точки са екстремни точки (максимални или минимални точки). Както можете да видите, има 5 точки на екстремум.

Отговор

Източник: „Математика. Подготовка за Единния държавен изпит 2017 г. Ниво на профил." Изд. Ф. Ф. Лисенко, С. Ю. Кулабухова.

Състояние

Правата y=-3x+4 е успоредна на допирателната към графиката на функцията y=-x^2+5x-7. Намерете абсцисата на допирателната точка.

Покажи решение

Решение

Ъгловият коефициент на правата към графиката на функцията y=-x^2+5x-7 в произволна точка x_0 е равен на y"(x_0). Но y"=-2x+5, което означава y" (x_0)=-2x_0+5 Ъгловият коефициент на линията y=-3x+4, определен в условието, е равен на -3 -2x_0 +5=-3.

Получаваме: x_0 = 4.

Отговор

Източник: „Математика. Подготовка за Единния държавен изпит 2017 г. Ниво на профил." Изд. Ф. Ф. Лисенко, С. Ю. Кулабухова.

Състояние

На фигурата е показана графика на функцията y=f(x) и на абсцисата са отбелязани точки -6, -1, 1, 4. В коя от тези точки производната е най-малка? Моля, посочете тази точка в отговора си.

Задача B9 дава графика на функция или производна, от която трябва да определите една от следните величини:

1. Стойността на производната в дадена точка x 0,
2. Максимални или минимални точки (екстремни точки),
3. Интервали на нарастващи и намаляващи функции (интервали на монотонност).

Функциите и производните, представени в този проблем, винаги са непрекъснати, което прави решението много по-лесно. Въпреки факта, че задачата принадлежи към раздела на математическия анализ, дори и най-слабите ученици могат да я направят, тъй като тук не се изискват дълбоки теоретични познания.

За намиране на стойността на производната, точките на екстремум и интервалите на монотонност има прости и универсални алгоритми - всички те ще бъдат разгледани по-долу.

Прочетете внимателно условията на задача B9, за да избегнете глупави грешки: понякога попадате на доста дълги текстове, но важни условия, които влияят върху хода на решението, са малко.

Изчисляване на производната стойност. Метод с две точки

Ако за задачата е дадена графика на функция f(x), допирателна към тази графика в някаква точка x 0, и се изисква да се намери стойността на производната в тази точка, се прилага следният алгоритъм:

1. Намерете две „адекватни“ точки на допирателната графика: техните координати трябва да са цели числа. Нека означим тези точки с A (x 1 ; y 1) и B (x 2 ; y 2). Запишете правилно координатите - това е ключов моментрешения и всяка грешка тук води до неправилен отговор.
2. Познавайки координатите, е лесно да се изчисли увеличението на аргумента Δx = x 2 − x 1 и увеличението на функцията Δy = y 2 − y 1 .
3. Накрая намираме стойността на производната D = Δy/Δx. С други думи, трябва да разделите увеличението на функцията на увеличението на аргумента - и това ще бъде отговорът.

Отбелязваме още веднъж: точките A и B трябва да се търсят именно по допирателната, а не върху графиката на функцията f(x), както често се случва. Допирателната задължително ще съдържа поне две такива точки - в противен случай задачата няма да бъде формулирана правилно.

Разгледайте точки A (−3; 2) и B (−1; 6) и намерете увеличенията:
Δx = x 2 − x 1 = −1 − (−3) = 2; Δy = y 2 − y 1 = 6 − 2 = 4.

Нека намерим стойността на производната: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.

Задача. Фигурата показва графика на функцията y = f(x) и допирателна към нея в точката с абсцисата x 0. Намерете стойността на производната на функцията f(x) в точката x 0 .

Помислете за точки A (0; 3) и B (3; 0), намерете увеличенията:
Δx = x 2 − x 1 = 3 − 0 = 3; Δy = y 2 − y 1 = 0 − 3 = −3.

Сега намираме стойността на производната: D = Δy/Δx = −3/3 = −1.

Задача. Фигурата показва графика на функцията y = f(x) и допирателна към нея в точката с абсцисата x 0. Намерете стойността на производната на функцията f(x) в точката x 0 .

Разгледайте точки A (0; 2) и B (5; 2) и намерете увеличенията:
Δx = x 2 − x 1 = 5 − 0 = 5; Δy = y 2 − y 1 = 2 − 2 = 0.

Остава да намерим стойността на производната: D = Δy/Δx = 0/5 = 0.

От последния пример можем да формулираме правило: ако допирателната е успоредна на оста OX, производната на функцията в точката на допирателна е нула. В този случай дори не е нужно да броите нищо - просто погледнете графиката.

Изчисляване на максимални и минимални точки

Понякога, вместо графика на функция, задача B9 дава графика на производната и изисква намиране на максималната или минималната точка на функцията. В тази ситуация двуточковият метод е безполезен, но има друг, още по-прост алгоритъм. Първо, нека дефинираме терминологията:

1. Точката x 0 се нарича максимална точка на функцията f(x), ако в някаква околност на тази точка е изпълнено неравенството f(x 0) ≥ f(x).
2. Точката x 0 се нарича точка на минимум на функцията f(x), ако в някаква околност на тази точка е изпълнено неравенството f(x 0) ≤ f(x).

За да намерите максималните и минималните точки от производната графика, просто изпълнете следните стъпки:

1. Преначертайте производната графика, като премахнете цялата ненужна информация. Както показва практиката, ненужните данни само пречат на решението. Затова маркираме нулите на производната на координатната ос - и това е всичко.
2. Намерете знаците на производната на интервалите между нулите. Ако за дадена точка x 0 е известно, че f'(x 0) ≠ 0, тогава са възможни само две опции: f'(x 0) ≥ 0 или f'(x 0) ≤ 0. Знакът на производната е лесно се определя от оригиналния чертеж: ако графиката на производната лежи над оста OX, тогава f'(x) ≥ 0. И обратното, ако графиката на производната лежи под оста OX, тогава f'(x) ≤ 0.
3. Отново проверяваме нулите и знаците на производната. Там, където знакът се променя от минус на плюс, е минималната точка. Обратно, ако знакът на производната се промени от плюс на минус, това е максималната точка. Броенето винаги се извършва отляво надясно.

Тази схема работи само за непрекъснати функции - в задача B9 няма други.

Задача. Фигурата показва графика на производната на функцията f(x), дефинирана на интервала [−5; 5]. Намерете минималната точка на функцията f(x) върху тази отсечка.

Да се ​​отървем от ненужна информация— нека оставим само границите [−5; 5] и нули на производната x = −3 и x = 2.5. Отбелязваме и знаците:

Очевидно в точката x = −3 знакът на производната се променя от минус на плюс. Това е минималната точка.

Задача. Фигурата показва графика на производната на функцията f(x), дефинирана на интервала [−3; 7]. Намерете максималната точка на функцията f(x) на този сегмент.

Нека преначертаем графиката, оставяйки само границите [−3; 7] и нули на производната x = −1.7 и x = 5. Нека отбележим знаците на производната върху получената графика. Ние имаме:

Очевидно в точката x = 5 знакът на производната се променя от плюс на минус - това е максималната точка.

Задача. На фигурата е показана графика на производната на функцията f(x), дефинирана на интервала [−6; 4]. Намерете броя на максималните точки на функцията f(x), принадлежащи на отсечката [−4; 3].

От условията на задачата следва, че е достатъчно да се разгледа само частта от графиката, ограничена от сегмента [−4; 3]. Затова изграждаме нова графика, на която отбелязваме само границите [−4; 3] и нули на производната вътре в него. А именно точки x = −3,5 и x = 2. Получаваме:

На тази графика има само една максимална точка x = 2. Именно в тази точка знакът на производната се променя от плюс на минус.

Малка бележка за точки с нецелочислени координати. Например в последната задача беше разгледана точката x = −3,5, но със същия успех можем да вземем x = −3,4. Ако проблемът е компилиран правилно, подобни промени не трябва да влияят на отговора, тъй като точките „без определено място на пребиваване“ не участват пряко в решаването на проблема. Разбира се, този трик няма да работи с цели точки.

Намиране на интервали на нарастващи и намаляващи функции

В такъв проблем, подобно на максималните и минималните точки, се предлага да се използва графиката на производната, за да се намерят области, в които самата функция нараства или намалява. Първо, нека дефинираме какво е увеличаване и намаляване:

1. Казва се, че функция f(x) нараства на отсечка, ако за всеки две точки x 1 и x 2 от тази отсечка е вярно следното твърдение: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2) . С други думи, колкото по-голяма е стойността на аргумента, толкова по-голяма е стойността на функцията.
2. Казва се, че функция f(x) намалява на отсечка, ако за всеки две точки x 1 и x 2 от тази отсечка е вярно следното твърдение: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2) . Тези. по-висока стойностаргумент съответства на по-малката стойност на функцията.

Да формулираме достатъчни условиявъзходящо и низходящо:

1. За да расте непрекъсната функция f(x) върху отсечката , достатъчно е нейната производна вътре в отсечката да е положителна, т.е. f’(x) ≥ 0.
2. За да намалява една непрекъсната функция f(x) върху отсечката , е достатъчно нейната производна вътре в отсечката да е отрицателна, т.е. f’(x) ≤ 0.

Нека приемем тези твърдения без доказателства. По този начин получаваме схема за намиране на интервали на нарастване и намаляване, която в много отношения е подобна на алгоритъма за изчисляване на точки на екстремум:

1. Премахнете цялата ненужна информация. В оригиналната графика на производната се интересуваме предимно от нулите на функцията, така че ще оставим само тях.
2. Отбележете знаците на производната на интервалите между нулите. Когато f’(x) ≥ 0, функцията нараства, а когато f’(x) ≤ 0, тя намалява. Ако проблемът поставя ограничения върху променливата x, ние допълнително ги маркираме на нова графика.
3. Сега, след като знаем поведението на функцията и ограниченията, остава да изчислим необходимото количество в проблема.

Задача. Фигурата показва графика на производната на функцията f(x), дефинирана на интервала [−3; 7.5]. Намерете интервалите на спадане на функцията f(x). В отговора си посочете сумата от целите числа, включени в тези интервали.

Както обикновено, нека преначертаем графиката и да маркираме границите [−3; 7.5], както и нули на производната x = −1.5 и x = 5.3. След това отбелязваме знаците на производната. Ние имаме:

Тъй като производната е отрицателна на интервала (− 1,5), това е интервалът на намаляваща функция. Остава да се сумират всички цели числа, които са вътре в този интервал:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

Задача. На фигурата е показана графика на производната на функцията f(x), дефинирана на интервала [−10; 4]. Намерете интервалите на нарастване на функцията f(x). В отговора си посочете дължината на най-голямата от тях.

Да се ​​отървем от ненужната информация. Нека оставим само границите [−10; 4] и нули на производната, които този път бяха четири: x = −8, x = −6, x = −3 и x = 2. Нека маркираме знаците на производната и получаваме следната картина:

Ние се интересуваме от интервалите на нарастваща функция, т.е. където f’(x) ≥ 0. Има два такива интервала на графиката: (−8; −6) и (−3; 2). Нека изчислим техните дължини:
l 1 = − 6 − (−8) = 2;
l 2 = 2 − (−3) = 5.

Тъй като трябва да намерим дължината на най-големия от интервалите, записваме стойността l 2 = 5 като отговор.

На фигурата е показана графика на производната на функцията f(x), дефинирана на интервала [–5; 6]. Намерете броя на точките върху графиката на f(x), във всяка от които допирателната, начертана към графиката на функцията, съвпада с или е успоредна на оста x

Фигурата показва графика на производната на диференцируемата функция y = f(x).

Намерете броя на точките върху графиката на функцията, които принадлежат на отсечката [–7; 7], в която допирателната към графиката на функцията е успоредна на правата, зададена от уравнението y = –3x.

Материалната точка М започва да се движи от точка А и се движи по права линия за 12 секунди. Графиката показва как разстоянието от точка А до точка М се променя с времето. Абсцисната ос показва времето t в секунди, а ординатната ос показва разстоянието s в метри. Определете колко пъти по време на движение скоростта на точка М се е обърнала на нула (не вземайте предвид началото и края на движението).

Фигурата показва участъци от графиката на функцията y=f(x) и допирателната към нея в точката с абсцисата x = 0. Известно е, че тази допирателна е успоредна на правата, минаваща през точките на графиката с абсцисата x = -2 и x = 3. Използвайки това, намерете стойността на производната f"(o).

Фигурата показва графика на y = f’(x) - производната на функцията f(x), дефинирана върху сегмента (−11; 2). Намерете абсцисата на точката, в която допирателната към графиката на функцията y = f(x) е успоредна или съвпада с абсцисата.

Материална точка се движи праволинейно по закона x(t)=(1/3)t^3-3t^2-5t+3, където x е разстоянието от референтната точка в метри, t е времето в секунди, измерено от началото на движението. В кой момент от време (в секунди) скоростта му е била равна на 2 m/s?

Материална точка се движи по права линия от началната до крайната позиция. Фигурата показва графика на неговото движение. Абсцисната ос показва времето в секунди, а ординатната ос показва разстоянието от началната позиция на точката (в метри). намирам Средната скоростточково движение. Дайте отговора си в метри в секунда.

Функцията y = f (x) е дефинирана на интервала [-4; 4]. Фигурата показва графика на неговата производна. Намерете броя на точките върху графиката на функцията y = f (x), тангентата на която сключва ъгъл 45° с положителната посока на оста Ox.

Функцията y = f (x) е дефинирана на интервала [-2; 4]. Фигурата показва графика на неговата производна. Намерете абсцисата на точката от графиката на функцията y = f (x), в която тя приема най-малката стойност на отсечката [-2; -0,001].

Фигурата показва графика на функцията y = f(x) и допирателна към тази графика, начертана в точка x0. Тангенсът е даден от уравнението y = -2x + 15. Намерете стойността на производната на функцията y = -(1/4)f(x) + 5 в точката x0.

На графиката на диференцируемата функция y = f (x) са отбелязани седем точки: x1,.., x7. Намерете всички отбелязани точки, в които производната на функцията f(x) е по-голяма от нула. В отговора си посочете броя на тези точки.

Фигурата показва графика y = f"(x) на производната на функцията f(x), определена на интервала (-10; 2). Намерете броя на точките, в които допирателната към графиката на функцията f (x) е успоредна на правата y = -2x-11 или съвпада с нея.

Фигурата показва графика на y=f"(x) - производната на функцията f(x). На абсцисната ос са отбелязани девет точки: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x6, x7, х8, х9.
Колко от тези точки принадлежат на интервалите на намаляваща функция f(x)?

Фигурата показва графика на функцията y = f(x) и допирателна към тази графика, начертана в точка x0. Тангенсът е даден от уравнението y = 1,5x + 3,5. Намерете стойността на производната на функцията y = 2f(x) - 1 в точката x0.

Фигурата показва графиката y=F(x) на една от първоизводните на функцията f (x). На графиката са отбелязани шест точки с абсцисите x1, x2, ..., x6. В колко от тези точки функцията y=f(x) приема отрицателни стойности?

Фигурата показва графика на автомобила, движещ се по маршрута. Абсцисната ос показва времето (в часове), а ординатната ос показва изминатото разстояние (в километри). Намерете средната скорост на автомобила по този маршрут. Дайте своя отговор в км/ч

Материална точка се движи праволинейно по закона x(t)=(-1/6)t^3+7t^2+6t+1, където x е разстоянието от референтната точка (в метри), t е времето на движение (в секунди). Намерете неговата скорост (в метри в секунда) в момент t=6 s

На фигурата е показана графика на първоизводната y = F(x) на някаква функция y = f(x), дефинирана на интервала (-6; 7). Като използвате фигурата, определете броя на нулите на функцията f(x) на този интервал.

Фигурата показва графика на y = F(x) на една от първоизводните на някаква функция f(x), дефинирана на интервала (-7; 5). Като използвате фигурата, определете броя на решенията на уравнението f(x) = 0 на интервала [- 5; 2].

На фигурата е показана графиката на диференцируемата функция y=f(x). На оста x са отбелязани девет точки: x1, x2, ... x9. Намерете всички отбелязани точки, в които производната на функцията f(x) е отрицателна. В отговора си посочете броя на тези точки.

Материалната точка се движи праволинейно по закона x(t)=12t^3−3t^2+2t, където x е разстоянието от референтната точка в метри, t е времето в секунди, измерено от началото на движението. Намерете неговата скорост (в метри в секунда) в момент t=6 s.

Фигурата показва графика на функцията y=f(x) и допирателна към тази графика, начертана в точка x0. Уравнението на допирателната е показано на фигурата. намерете стойността на производната на функцията y=4*f(x)-3 в точка x0.