Теорема е необходимо и достатъчно състояние, вписано четириъгълник. Вписан и описан близо до четириъгълника на кръга

Изпъкнал квадрист A b c d (dispresstyle displaySyle abcd) Той е вписан тогава и само ако противоположните ъгли в количеството са дадени 180 °, т.е.

A + c \u003d b + d \u003d π \u003d 180 ∘. (DisplaySyle a + c \u003d b + d \u003d pi \u003d 180 ^ (цирк).)

Теорема беше Оферта 22. В книгата 3 еуклид Start. . Еквивалент, изпъкнал квадрис е вписан, ако и само ако съседният ъгъл е равен на обратния вътрешен ъгъл.

P Q \u003d A C + B D. (DisplessSley DisplaySyle PQ \u003d AC + BD.)

Ако две права, от които човек съдържа сегмент AC., а другият - нарязан BD.пресичайте в точката Пс.Тогава четири точки А., Б., ° С., Д. лежат върху кръга тогава и само когато

A p ⋅ p c \u003d b p ⋅ p d. (DisplessSley ap cdot pc \u003d bp cdot pd.)

Точка на пресичане Пс. Тя може да лежи както вътре, така и извън кръга. В първия случай той ще бъде вписан четирима ABCD.и във втория - вписан квадрис ABDC.. Ако пресечната точка е вътре, равенството означава, че продуктът на сегментите, към които точката Пс. разделя един диагонал, равен на продукта на сегменти на друг диагонал. Това твърдение е известно като теорема за пресичане на акорди Тъй като диагоналът е вписан четири, са акорди на описания кръг.

Изпъкнал квадрист ABCD. е вписан тогава и само когато

Tan \u2061 2 тен \u2061 c 2 \u003d тен \u2061 b 2 tan \u2061 d 2 \u003d 1. (displaystyle \\ t (frac (a) (2)) tan (frac (c) (2)) \u003d tan \\ t (Frac (b) (2)) tan (frac (d) (2)) \u003d 1.)

■ площ

S \u003d (р - а) (p - b) (p - c) (p - d) (displessSyle s \u003d (sqrt ((р-а) (Р-В) (р-С) (P-B) (P-C) (P-B) (P-C) (P-B) (P-C) (P-B) (P-C) (P-B) (P-C) (P-B) (P-C) (P-)

Вписаният квадратник има максимална площ сред всички квадратници, имащи една и съща последователност от дължини на страните. Това е различна последица от съотношението на бременадея. Изявлението може да се докаже с помощта на математическия анализ.

Четири неравномерни дължини, всяка от които е по-малка от количеството на другите три, са страните на три конглетроизолирани квландка, а на формулата на Brhmagupta всички тези триъгълници имат една и съща област. По-специално за партита а., б., ° С. и д. страна а. Може би обратното на всяка от страните б., ° С. или д.. Всяка две от тези три вписани квадратни имат диагонал със същата дължина.

Площта на вписания четири бульон с последователни партии а., б., ° С., д. и ъгъл Б. Между страните а. и б. Можете да изразявате формула

S \u003d 1 2 (a b + c d) sin \u2061 b (displessSyle s \u003d (tfrac (1) (2)) (AB + cd) sin (b)) S \u003d 1 2 (c + b d) sin \u2061 θ (displaySyle s \u003d (tfrac (1) (2)) (AC + BD) SIN (тета))

където θ - всеки ъгъл между диагонали. Ако ъгъл А. не е директно, площта може да бъде изразена с формулата

S \u003d 1 4 (А2 - В2 - С2 + D2) тен \u2061 а. (displessSyle s \u003d (tfrac (1) (4)) (a ^ (2) -b ^ (2) -C ^ (2) + d ^ (2)) тен (а).) S \u003d 2 R 2 sin \u2061 грех \u2061 b sin \u2061 θ (displaySyle s \u003d 2R ^ (2) sin (a) sin (b) sin (eta)) S ≤ 2 R2 (displessstyle s leq 2r ^ (2)),

и неравенството се превръща в равенство в това и само когато квадролон е квадрат.

Диагонал

С върхове А., Б., ° С., Д. (в определената последователност) и партии а. = AB., б. = Пр. Хр., ° С. = CD. и д. = DA. Диагонални дължини пс. = AC. и q. = BD. може да изрази чрез страните

P \u003d (c + b d) (a d + b в) a b + c d (disply p \u003d (sqrt (FRAC (AC + BD) (AD + BC)) (AB + CD))) Q \u003d (C + B D) (a b + c d) a d + b c (displessyle q \u003d (sqrt (AC + BD) (AB + CD)) (AD + BC)))) P Q \u003d A C + B D. (DisplaySley PQ \u003d AC + BD.)

Според втората теорема на Ptolemy ,

P q \u003d a d + b c a b + c d (displaySyle (frac (p) (q)) \u003d (FRAC (AD + BC) (AB + CD))))

със същите символи, както преди.

За размера на диагоналите имаме неравенство

P + Q ≥ 2 A C + B D. (DisplaySyle P + Q GEQ 2 (SQRT (AC + BD)).)

Неравенството става равно на това и само ако диагоналът има същата дължина, която може да се покаже с помощта на неравенството между средната аритметична и средна геометрична.

(P + Q) 2 ≤ (A + с) 2 + (B + D) 2. (DisplaySyle (P + Q) ^ (2) LEQ (A + C) ^ (2) + (B + D) ^ (2).)

Във всеки изпъкнал четири-бульон два диагонала споделят четириъгълник-брат. В извлечения квадрис, противоположните двойки от тези четири триъгълници са сходни.

Ако М. и Н. са средно набиране на диагонали AC. и BD.T.

M n ef \u003d 1 2 | A C B D - B D A C | (DisplessSyle (FRAC (MN) (EF)) \u003d (FRAC (1) (2)), оставен | (FRAC (AC) (BD)) - (FRAC)) - (FRAC (BD) (AC))) |)

където Д. и Е. - Точка на пресичане на противоположните страни.

Ако ABCD. - вписан квартал и AC. Кръстосване BD. В точка Пс.T.

A p c p \u003d a b c b ⋅ a d c d. (DisplaySyle (FRAC (AP) (CP)) \u003d (FRAC (AB) (CB)) CCOT (FRAC (AD) (CD)).)

Ъглов формула.

а., б., ° С., д.полумерна мярка с. и ъгъл А. Между страните а. и д. Тригонометрични функции на ъгъла А. равен

COS \u2061 A \u003d A 2 + D2 - B 2 - C22 (AD + BC), (DisplaySyle COS A \u003d (FRAC (A ^ (2) + D ^ (2) -b ^ (2) \\ t -C ^ (2)) (2 (AD + BC))),) SIN \u2061 A \u003d 2 (S - A) (S - B) (S - с) (S-D) (AD + BC), (DisplaySyle Sin A \u003d (Frac (2 (SQRT (SA) \\ t (Sb) (sc) (sd))))) ((ad + bc))),) Tan \u2061 2 \u003d (s-а) (s-d) (s - b) (s - в). (displessstyle (frac (a) (2)) \u003d (sqrt ((s-а) (s-d)) ((s-b) (s-d)))))).).

За ъгъл θ между диагоналите се извършва

Tan \u2061 θ 2 \u003d (s - b) (s - d) (s - a) (s - в). (DISPRATSYLE (FRAC (така) (2)) \u003d (sqrt ((s-b) (s-d)) ((s-а) (s-С))))).)

Ако продължавате противоположните страни а. и ° С. Кръст под ъгъл φ (DisplaySley Phi) T.

cos \u2061 φ 2 \u003d (s - b) (s-d) (b + d) 2 (AB + cd) (ad + bc) (displictyle] cos (frac (phi) (2)) \u003d (\\ t SQRT (FRAC ((SB) (SD) (B + D) ^ (2)) ((AB + CD) (AD + BC)))))

Formeshwara формула

За инкризд четири спусъка със страните а., б., ° С., д. (в определената последователност) и полу-версия с. Радиусът на описания кръг) е зададен по формулата

R \u003d 1 4 (a b + С d) (С + ВН) (АН + ВС) (s - А) (s - В) (s - С) (s-d). (DisplaySyle R \u003d (FRAC (1) (4)) (SQRT ((FRAC (AB + CD) (AC + BD) (AD + BC)) ((SA) (SB) (SC) (SA) (SB) (SC) )))).)

Формулата е водена от индийски математик ВАНАСЕРИЯ ПАРАМБАРАА През 15 век.

Ако диагоналът е вписан в четиристранните пресичания в точката Пс.и средата на диагоналите - В. и W., след това антицентерът на квадрис е орто-център на триъгълник VWP.И центроидът на Vertex е в средата на сегмента, свързващ средата на диагоналите.

В извлечения четириъгълник "центроиден квадрат" G A., "Centroid verkhin" G V. и пресичане Пс. Диагоналите лежат на една права линия. За разстояния между тези точки се извършва равенство

P g a \u003d 4 3 p g v. (DisplaySyle pg_ (a) \u003d (tfrac (4) (3)) pg_ (v).)

Други имоти

• В извадката четирима ABCD. с центъра на описания кръг О. нека бъде Пс. - диагонална точка на пресичане AC. и BD.. Тогава ъгъла APB. Има средни аритметични ъгли Aob. и Треска.. Това е пряка последица от теоремата за вписаните въглища и теореми във външния ъгъл на триъгълника.

• Ако вписаният четиринатор има дължини на страните, образувайки аритметична прогресия, тогава Quadril също е външно описано.

FRAGMAGONS BRAHMAGUPTA.

Quadricon Brahmagupta. - Това е вписан четириъгълник с целочислени дължини от страните, целочислени дължини на диагонали и цяло число. Всички четири тригери Брахмагупта със страните a, B, C, D, диагонали e, F., s и радиус на окръжния кръг R. може да се получи чрез освобождаване на знаменателя в следните изрази (с рационални параметри t., улавяне и в.):

A \u003d [t (u + v) + (1 - u v)] [u + v - t (1 - u v)] (displaySyle a \u003d) B \u003d (1 + U 2) (v - t) (1 + t v) (DisplaySyle b \u003d (1 + U ^ (2)) (V-T) (1 + TV))) C \u003d T (1 + U 2) (1 + V 2) (DisplaySyle C \u003d T (1 + U ^ (2)) (1 + V ^ (2))) d \u003d (1 + v 2) (u - t) (1 + t u) (дисплей d \u003d (1 + v ^ (2)) (U-t) (1 + TU)) E \u003d u (1 + t 2) (1 + v 2) (displaystyle e \u003d u (1 + t ^ (2)) (1 + v ^ (2))) F \u003d V (1 + t 2) (1 + U 2) (DisplaySyle F \u003d V (1 + T ^ (2)) (1 + U ^ (2))) S \u003d UV [2 t (1 - UV) - (U + V) (1 - т2)] [2 (U + V) t + (1 - UV) (1 - т2)] (displaySyle s \u003d UV) 4 R \u003d (1 + U 2) (1 + V 2) (1 + т2). (DisplaySyle 4R \u003d (1 + U ^ (2)) (1 + V ^ (2)) (1 + t ^ (2)).)

Свойства на ортодинаъгъла извлечени квадратници

Област и радиус на описания кръг

Позволявам за вписания четирикрилонов агент, който също е ортодинаъгълен (т.е. имащи перпендикулярни диагонали), пресичането на диагоналите разделя един диагонал на дължина на сегментите пс. 1 I. пс. 2, а друг се разделя на дължина на сегментите q. 1 I. q. 2. След това (първото равенство е Предложение 11. В книгата Архимед "Лемма")

D2 \u003d P 1 2 + P2 2 + Q 1 2 + Q2 2 \u003d A 2 + C2 \u003d B 2 + D2 (displaySyle d ^ (2) \u003d p_ (1) ^ (2) + p_ ( 2) ^ (2) + Q_ (1) ^ (2) + Q_ (2) ^ (2) \u003d a ^ (2) + c ^ (2) \u003d b ^ (2) + d ^ (2)),

където Д. -

или през страните на четиристранния

R \u003d 1 2 A 2 + C2 \u003d 1 2 B 2 + D2. (displessSley r \u003d (tfrac (1) (2)) (sqrt (a ^ (2) + c ^ (2)) \u003d (tfrac (1) (2)) (sqrt (b ^ ()) 2) + d ^ (2))).)

Оттук също следва това

А2 + В2 + С2 + D2 \u003d 8 R2. (DisplaySyle a ^ (2) + b ^ (2) + c ^ (2) + d ^ (2) \u003d 8R ^ (2).)

Така, съгласно формулата на Ойлер, радиусът може да бъде експресиран през диагонала пс. и q. и разстояние х. между средата на диагоналите

R \u003d P 2 + Q2 + 4 x 2 8. (Sqrtstyle r \u003d (sqrt (frac (p ^ (2) + q ^ (2) + 4x ^ (2)) (8)).)

Формула за квадрат К. Изписаният ортодинаъгълен четирибунт може да бъде получен директно чрез страните, ако комбинират теоремата на Ptolemy (виж по-горе) и формулата на ортодинаъгълен четири-кафяв район. В резултат на това получаваме

Литература

• Клауди Алсина, Роджър Нелсен. Когато по-малко е повече: визуализиране на основните неравенства, глава 4.3 циклични, тангенциални и бикентрични четиристранни. - математическа асоциация на Америка, 2009. - ISBN 978-0-88385-342-9.
• Клавди Алсина, Роджър Б. Нелсен. Върху диагоналите на цикличен четириъгълник // Геометрикорум на форума. - 2007. - Т. 7.
• Nathan Altshiller-Court. Геометрия на колежа: Въведение в съвременната геометрия на триъгълника и кръга. - 2-ри. - Куриерският Dover, 2007. - ISBN 978-0-486-45805-2. (ORG. 1952)
• \u003d Титу Андреевзу, Богдан Енску. .
• Харолд Скот Макдоналд Коксетер, Самуел Л. Грийтър. Геометрията е преразгледана. 3.2 циклични квадранс; Формула на Брахмагупта. - Математическа асоциация на Америка, 1967. - ISBN 978-0-88385-619-2. Трансфер G. S. M. Koksteter, S. L. Graaitzer. Нови срещи с геометрия. 3.2, вписани в квадрис; Теорема на Брахмагупсия. - Москва: "Наука", 1978. - (библиотека на математически кръг).
• Crux mathematicorum. Предложени в неравенствата. Crux mathematicorum. - 2007.
• Г. FRAIVERT. Теория на един четиристранен четириъгълник и кръг, който формира Pascal точки // вестник на математическите науки: аванси и приложения. - 2016. - Т. 42. - стр. 81-107. - DOI: 10.18642 / JMSAA_7100121742.
• В. В. Дуръл, А. Робсън. Напреднала тригонометрия. - Куриерският Dover, 2003. - ISBN 978-0-486-43229-8. (Orig. 1930)
• Mowaffaq hajja. Условие за ограничима четириъгълник, за да бъде цикличен // форум геометрикорум. - 2008. - Т. 8.
• Лари Хохн. Circigradius на цикличен четиристранна // Математически вестник. - 2000. - Т. 84, издаване. 499 март.
• Рос Хонсбергер. Епизоди през деветнадесета и Twitter век евклидовата геометрия. - Кеймбриджски университет, 1995. - Т. 37. - (нова математическа библиотека). - ISBN 978-0-88385-639-0.
• Роджър А. Джонсън. Напреднала евклидоан геометрия. - Dover Publ, 2007. (Orig. 1929)
• Томас Петър. Максимизиране на площта на четиристранна // колежчето Mathematics Journal. - 2003. - T. 34, Vol. 4 септември.
• Alfred S. Postamentier, Charles T. Salkind. Предизвикателни проблеми в геометрията. - 2-ри. - Куриерският Dover, 1970. - ISBN 978-0-486-69154-1. Глава: Решения: 4-23 Докажете, че сумата от сумата на квадратите на направените перпендикулярни акорди е равна на квадрата на мярката на диаметъра на дадения кръг.

• , Превод от руски V.V. Прасолов. Задачи за планиране. Урок. - 5-ти. - Москва: McNMo OAO "Московски учебници", 2006. - ISBN 5-94057-214-6

Четвъртото е вписано в кръг, ако всичките му върхове лежат на този кръг. Такъв кръг е описан близо до четириъгълника.

Тъй като не всеки четириъгълник може да бъде описан близо до кръга, не всеки може да влезе в кръг.

Избключването на четиристранно, вписано в кръга, има свойство: противоположните му ъгли в количеството са 180 °. Така че, ако е дадено ABCD квадрилата, при което ъгълът А е противоположно на ъгъла С, и ъгълът В е противоположно на ъгъла d, след това ∠ + ∠C \u003d 180 ° и ∠b + ∠d \u003d 180 ° .

Като цяло, ако един двойка от противоположните ъгли на четириъгълника в количеството е 180 °, другият двойка в сумата ще бъде същият. Това следва от факта, че в изпъкналия четириъгълник сумата на ъглите винаги е равна на 360 °. От своя страна този факт следва от факта, че в изпъкнали полигони сумата на ъглите се определя с формулата 180 ° * (N-2), където п е броят на ъглите (или страни).

Възможно е да се докаже свойството на включения четириъгълник, както следва. Нека ABCD квадрилата ще бъде влязъл в кръга. Необходимо е да се докаже, че ∠B + ∠d \u003d 180 °.

Ъгъл В е вписан в кръг. Както знаете, такъв ъгъл е равен на половината от дъгата, която разчита. В този случай ъгълът B разчита на ADC дъгата, това означава, че ∠b \u003d ½◡ADC. (Тъй като дъгата е равна на ъгъла между радиуса, който го образува, той може да бъде написан, че ∠B \u003d ½∠OOC, чието вътрешна област съдържа точка D.)

От друга страна, ъгълът D на четириъгълника се основава на ABC дъга, т.е. ∠d \u003d ½◡ABC.

От страната на ъглите b и d пресича кръга в същите точки (А и С), те споделят кръга само за две дъги - ◡ADC и ◡abc. Тъй като пълният кръг в количеството е 360 °, след това ◡ADC + ◡abc \u003d 360 °.

По този начин бяха получени следните равенства:

∠b \u003d ½◡ADC.
∠d \u003d ½◡ABC.
◡ADC + ◡abc \u003d 360 °

Изразяват сумата на ъглите:

∠b + ∠d \u003d ½◡Adc + ½◡ABC

Ще донеса ½ за скоба:

∠b + ∠d \u003d ½ (◡ADC + ◡abc)

Ще заменим сумата на дъгата на численото им значение:

∠b + ∠d \u003d ½ * 360 ° \u003d 180 °

Получихме, че сумата от противоположните ъгли на вписания четириъгълник е 180 °. Това се изискваше да докаже.

Фактът, че вписаният четириколка има такъв имот (сумата от противоположните ъгли е 180 °), не означава, че всеки четириъгълник, в който сумата от противоположните ъгли е 180 °, може да бъде въведена в кръг. Въпреки че всъщност е така. Този факт се нарича знак за изписан четириъгълник и е формулиран като: Ако сумата от противоположните ъгли на изпъкналия четириъгълник е 180 °, след това близо до него може да бъде описан в кръга (или да го влезе в кръг).

За да се докаже знак за вписан четириъгълник, може да се използва противникът. Оставете ABCD квадрилата да бъде дадена, в която противоположните ъгли B и D са общо 180 °. В този случай ъгъл D не лежи върху кръга. След това вземете директен CD сегмент, такава точка Е, така че да лежеше върху кръга. Оказва се вписания четириъгълник Abce. Този четириъгълник има противоположни ъгли b и e, и това означава, че те са в размер на 180 °. Това следва от собствеността на вписан четириъгълник.

Оказва се, че ∠b + ∠d \u003d 180 ° и ∠B + ∠e \u003d 180 °. Въпреки това, ъгълът D на четириъгълника на ABCD по отношение на AED триъгълника е външен, и следователно ъгълът е на този триъгълник. Така стигнахме до противоречие. Това означава, че ако сумата от противоположните ъгли на четириъгълника е 180 °, тя винаги може да бъде въведена в кръг.

Кръгът се нарича вписан в четириъгълника, ако всички страни на четириъгълника са допирателни до обиколката.

Центърът на този кръг е точката на пресичане на бисектора на ъглите на четириъгълника. В този случай радиусите, проведени в точката на докосване, са перпендикулярни на страните на четириъгълника

Кръгът се нарича описан близо до четириъгълника, ако минава през всичките му върхове.

Центърът на този кръг е точката на пресичане на средната перпендикулярна на страните на четириъгълника

Не във всеки четириъгълник можете да влезете в кръга, а не близо до всеки четириъгълник може да бъде описан

Имоти, вписани и описани четириъгълници

Теоремата в изпъкналия изписан четириъгълник от сумата от противоположни ъгли е равна един на друг и е равна на 180 °.

Теорема назад: Ако количеството на сумата от противоположни ъгли е равно, може да се опише в близост до четириъгълника. Нейният център е точката на пресичане на средните перпендикулярни на страните.

Теоремата, ако кръгът е вписан в четириъгълника, сумите от противоположни партии са равни.

Теорема обратно: Ако в четириъгълника сумата от противоположните страни е равна, тогава кръгът може да го влезе. Центърът му е точка на пресичане на бисектор.

Следствие: От всички паралелограми само близо до правоъгълника (по-специално за квадрат), можете да опишете кръга.

От всички паралелограми само в ромб (по-специално на площада) можете да влезете в кръга (център - точката на пресичане на диагонали, радиусът е равен на половината от височината).

Ако можете да опишете кръга близо до трапеза, той е изолиран. Оценката може да бъде описана близо до някой анален трапезион.

Ако в трапеца е вписан кръг, неговият радиус е равен на половин височина.

Задачи с решения

1. Намерете диагонала на правоъгълника, включен в кръга, чийто радиус е 5.

Центърът на кръга, описан близо до правоъгълника, е точката на пресичане на нейните диагонали. Следователно, диагонал AC. равен на 2. R.. I.e. AC.=10
Отговор: 10.

2. В близост до трапеца, основата на която е 6 cm и 8 cm, а височината е 7 см, описва кръга, за да намери областта на този кръг.

Нека бъде DC.=6, AB.\u003d 8. Тъй като кръгът е описан близо до трапеза, той е изолиран.

Ще прекараме две височини Dm и cn.Така че, когато трапецът е свободен, тогава AM \u003d NB.=

Тогава Ан.=6+1=7

От триъгълник Анзоц Теоремата на Питагор намираме AC..

От триъгълник CVN. Теоремата на Питагор намираме Слънце..

Кръгът, описан близо до трапеца, е и кръглата, описана близо до триъгълника QA.

Намерете областта на този триъгълник по два начина чрез формули

HPE. х.- Височина I. - основата на триъгълника

Където е описан r- радиус на кръга.

От тези изрази получаваме уравнението. От

Районът на кръга ще бъде равен

3. Ъглите, а квадрилата принадлежат като. Намерете ъгъла, ако можете да опишете кръга близо до този четириъгълник. Отговор в градуси

От условието следва това. В такъв четириъгълник можете да опишете кръга, тогава

Получаваме уравнението . Тогава. Сумата от всички ъгли на четириъгълника е 360º. Тогава

. Къде ще го получим

4. Пътищата на трапецоида, описани близо до кръга, са равни на 3 и 5. Намерете средната линия на трапеца.

Тогава средната линия е равна

5. Периметърът на правоъгълния трапези, описан близо до кръга, е 22, неговата голяма страна е 7. Намерете радиуса на кръга.

В трапеца радиусът на вписания кръг е равен на половината от височината. Ще прекараме височината на SC.

Тогава .

Тъй като кръгът е вписан в трапезата, сумите на дължините на противоположните страни са равни. Тогава

След това периметър

Получаваме уравнението

6. Основите на изравняването на трапеца са 8 и 6. Радиусът на описания кръг е 5. Намерете височината на трапеца.

Нека центърът е описан близо до веригата на кръга. Тогава.

Ще прекараме височината на KN чрез точката

Тогава където Кор и той е височина и в същото време медианите на ISCED триъгълниците док и Аос. Тогава

Според теоремата на Питагор.

"Описан кръг" Видяхме, че около всеки триъгълник може да бъде описан. Това означава, че за всеки триъгълник има такъв кръг, че всичките три върха на триъгълника "седят" върху него. Като този:

Въпрос: Възможно ли е да се каже същото за четириъгълника? Вярно ли е, че винаги ще има кръг, върху който всичките четири върха на четириъгълника ще "седят"?

Оказва се, че това не е вярно! Не винаги четириъгълник може да бъде въведен в кръг.. Има много важно условие:

В нашия чертеж:

.

Виж, ъглите и лежат един срещу друг, това означава, че те са противоположни. И какво тогава с ъглите и? Те също изглеждат противоположни? Възможно ли е да се вземат ъгли вместо ъгли и?

Сигурно сте! Най-важното е, че четириъгълникът може да има около два противоположни ъгли, чийто сума ще бъде. Останалите два ъгъл след това ще се отдават общо. Не се доверявай? Нека се уверим. Виж:

Да бъде. Спомняте ли си каква е сумата от четирите ъгъла на всеки четириъгълник? Сигурен, . Това е - винаги! . Но, →.

Магически!

Така че помнете твърдо фиксирайте:

Ако четириъгълникът се въведе в кръг, тогава сумата от всеки два противоположни ъгли е равна на

и обратно:

Ако четириъгълникът има два противоположни ъгъла, сумата от която е равна на, тогава е вписан такъв четириъгълник.

Няма да докажем всичко това тук (ако се интересувате, погледнете в следващите нива на теорията). Но нека да видим какво води този прекрасен факт, за да може да бъде изписан четириъгълник.

Например, става въпрос за въпрос и е възможно да се опише кръгът около паралелограмата? Нека да опитаме първи "настоящ метод".

Така това не работи.

Сега прилагайте знания:

да предположим, че по някакъв начин успяхме да засадим кръг върху паралеларите. Тогава със сигурност трябва да бъде:, т.е.

И сега нека си спомним свойствата на паралелограмата:

при всеки паралелограма противоположни ъгли са равни.

Успяхме

Какви ъгъл и? Е, същото е същото.

В допълнение към → →

Pollogram → →.

Страхотно, нали?

Оказа се, че ако паралелограмата е влязла в кръг, тогава всичките му ъгли са равни, т.е. това е правоъгълник!

И все пак - Центърът на кръга съвпада с точката на пресичане на диагоналите на този правоъгълник. Това, така да се каже, като бонус е прикрепен.

Е, това означава, че са открили, че паралеларът, вписан в кръга - правоъгълник.

Сега нека поговорим за трапеза. Какво ще се случи, ако трапеза да влезе в кръг? И се оказва, ще равен трапец. Защо?

Така че оставете трапецът да влезе в кръга. След това отново, но поради паралелизма на директна и.

Така че, имаме: → → трапецът е еднакво.

Дори по-лесно, отколкото с правоъгълник, нали? Но трябва да бъдете запомнени - полезни:

Нека да изброим най-много основни изявленияОтносно четириъгълника, вписани в кръг:

1. Четвъртоъгълник влезе в кръга тогава и само ако сумата от двата противоположни ъгли е равна на
2. Паралелограма, вписана в кръг - със сигурност правоъгълник и центърът на кръга съвпада с точката на пресичане на диагонали
3. Трапецът, вписан в кръга, е равен.

Вписаните четириъгълници. Средно ниво

Известно е, че за всеки триъгълник има описан кръг (сме доказани в темата "проектиран кръг"). Какво може да се каже за четирима? Тук се оказва това Не всеки четириъгълник може да влезе в кръги има такава теорема:

Квълидът се вмъква в кръг, ако и само ако сумата от противоположните ъгли е равна на.

В нашия рисун -

Нека се опитаме да разберем защо така? С други думи, сега доказваме тази теорема. Но преди доказване е необходимо да се разбере как е подредено одобрението. Забелязахте ли при одобрение на думата "тогава и само тогава"? Такива думи означават, че вредната математика разтърси две изявления в едно.

Декриптиране:

1. "Тогава" означава: Ако четириъгълникът е влязъл в кръг, тогава сумата на всеки два противоположни ъгли е равна на.
2. "Само тогава" означава: ако един квадрат има два противоположни ъгъла, сумата от която е равна на, тогава такъв четириъгълник може да бъде въведен в кръг.

Точно като Алис: "Мисля, че казвам" и "казвам, че мисля."

И сега разбираме, защо е вярно и 1 и 2?

Първо 1.

Нека четириъгълникът влезе в кръга. Отбелязваме центъра му и правим радиуси и. Какво ще се случи? Спомняте ли си, че вписаният ъгъл е два пъти по-висок от централен? Ако си спомняте - сега е приложимо и ако не наистина - погледнете в тема - Кръг. Вписан ъгъл.

Изписан

Изписан

Но виж:.

Получаваме това, ако - вписано, тогава

Е, ясно е, че и в сумата. (Вие също трябва да го разгледате.

Сега и "напротив", т.е.

Нека се окаже, че четириъгълникът е част от двата противоположни ъгли. Да речем, да нека

Все още не знаем дали кръгът може да опише около него. Но ние знаем със сигурност, че около триъгълника сме гарантирани да опишем кръга. Така че, го направи.

Ако точката не е "седна" в кръга, тя се оказа неизбежно или извън или вътре.

Разгледа и двата случая.

Нека първата точка - отвън. Тогава сегментът пресича кръга в някакъв момент. Свържете и. Оказа се, че е изписан (!) Четириъгълник.

Вече знаем за това, че сумата от противоположните ъгли е еднаква, т.е., но чрез състоянието на нас.

Оказва се, че трябва да е така.

Но това не може да бъде така, защото - външен ъгъл и това означава.

И вътре? Ние правим подобни действия. Нека посочете вътрешността.

След това продължаването на сегмента пресича кръга в точката. Отново - вписаните четиристранни и при условие, че трябва да се извърши, но външният ъгъл за и това означава, че това е, че отново не може да има начин.

Това означава, че точката не може да бъде или отвън, нито вътре в кръга означава, че е в кръга!

Доказаха всички цели теореми!

Сега да видим какви добри разследвания дават тази теорема.

Следствие 1.

Паралелограмата, вписана в кръга, може да бъде само правоъгълник.

Нека разберем защо така. Нека паралеларът да бъде въведен в кръг. След това трябва да се извърши.

Но от свойствата на паралелограмата, ние знаем това.

И същото, естествено, по отношение на ъглите и.

Така че се оказа правоъгълник - всички краища на софтуера.

Но освен това има допълнителен приятен факт: центърът на кръга, описан близо до правоъгълника, съвпада с точката на пресичане на диагоналите.

Нека разберем защо. Надявам се да помните перфектно, че ъгълът на базата на диаметъра е прав.

Диаметър,

Диаметър

така че, центърът. Това е всичко.

Следствие 2.

Трапезият, вписан в кръга, е равновесие.

Нека трапецът влезе в кръга. Тогава.

И също.

Обсъдихме ли всичко? Не точно. Всъщност има и друг, "таен" начин, как да разпознаем вписания четириъгълник. Ние ще формираме този метод не много стриктно (но ясно), но ще докажем само на последното ниво на теорията.

Ако в четиринатор можете да наблюдавате такава снимка, както тук, във фигурата (има ъгъл, "гледане" към страната на точките и са равни), тогава такъв четириъгълник е вписан.

Това е много важен чертеж - по задачи често е по-лесно да се намерят равни ъгли от количеството ъгли и.

Въпреки перфектната липса на строгост в нашата формулировка, това е вярно и освен това винаги се приема чрез изследване на изпита. Трябва да напишете нещо подобно:

"- вписан" - и всичко ще бъде добре!

Не забравяйте тази важна характеристика - помнете картината и, може би, тя ще бъде доведена в очите ви във времето, когато задачата е решена.

Вписаните четириъгълници. Кратко описание и основни формули

Ако четириъгълникът се въведе в кръг, тогава сумата от всеки два противоположни ъгли е равна на

и обратно:

Ако четириъгълникът има два противоположни ъгъла, сумата от която е равна на, тогава е вписан такъв четириъгълник.

Четвъртото влезе в кръга тогава и само ако сумата от двата противоположни ъгли е равна на.

Паралелограма, включена в кръга - Разбира се, правоъгълник, а центърът на кръга съвпада с точката на пресичане на диагонали.

Трапецът, вписан в кръга, е равен.

Примери за описаните четириколки могат да сервират Delto, които включват диаманти, които от своя страна включват квадрати. Deltaida е точно онези описани квадратници, които също са ортехоъгълни. Ако квадрилатерът е описан и вписан от четиристал, той се нарича бендрал.

Имоти

В четирима-бульон четири бесектор се пресичат в центъра на обиколката. Обратно, изпъкнал квадрил, в който трябва да се опише четири бисектор в една точка, а точката на пресичане на бисектор е центърът на вписания кръг.

Ако противоположните страни в изпъкналия квадрат ABCD. (не трапец) се пресича в точките Д. и Е.след това те са допирателни до обиколката и само когато

B e + b f \u003d d e + d f (DisplaySley DisplaySyle е + bf \u003d de + df) E - e c \u003d a f - f в. (DisplaySley DisplaySyle AE-EC \u003d AF-FC.)

Второто равенство е почти същото като равенството в теорем Урхарта. Разликата е само в знаците - в теоремата на урхарт на сумата, и тук разликата (виж чертежа вдясно).

Друго необходимо и достатъчно състояние е изпъкнал четирикол ABCD. е описан в това и само когато е вписан в триъгълници АВС и ADC. Кръг се занимава помежду си.

Описание на ъглите, образувани от диагонал BD. Със страните на четиристача ABCD.принадлежи към Iosifescu (Iosifescu). През 1954 г. той доказа, че изпъкнал квадролон има вписан кръг тогава и само когато

tan \u2061 ∠ a b d 2 ⋅ тен \u2061 ∠ b d c 2 \u003d тен \u2061 ∠ a d b 2 ⋅ тен \u2061 ∠ d b c 2. (DisplaySley Tan (Frac (Angd ABD) (2)) CCOT TAN (FRAC (angle BDC) (2)) \u003d tan (frac (ъгъл adb) (2)) (FRAC (Ъгъл DBC) (2)).) R a r c \u003d r b r d (displessSyle r_ (a) r_ (c) \u003d r_ (b) r_ (d)),

където R. а. , R. б. , R. ° С. , R. д. са радиус на кръгове, външно към допирателните а., б., ° С., д. Съответно продължаващите страни от всяка страна.

Някои други описания са известни с четири триъгълника, образувани от диагонали.

Специални сегменти

Осем сегменти допирателни Описаният квадрис е сегменти между върховете и докосването на точките от двете страни. Всеки връх има два равни тангентни сегмента.

Точките се формират от вписания квадрис.

■ площ

Неонометрични формули

K \u003d 1 2 P 2 Q2 - (AC - BD) 2 (DisplaySyle K \u003d (TFRAC (1) (2)) (sqrt (p ^ (2) q ^ (2) - (AC-BD) \\ t ^ (2)))),

даване на площ по диагонали пс., q. и странична а., б., ° С., д. допустимо количество.

Районът може да бъде представен и по отношение на допустимите сегменти (виж по-горе). Ако ги определят д., е., г., х., допирателният квадрис има района

K \u003d (e + f + g + h) (e f g + f gH + gH e + h e f). (displessstyle k \u003d (sqrt ((e + f + g + h) (EFG + FGH + GHE + HEF))).)

Освен това, площта на допирателния квадрис може да бъде изразена по отношение на страните. a, B, C, D и съответните дължини на допирателни сегменти e, f, g, h

K \u003d A BC D - (E G - FH) 2. (Displessstyle k \u003d (sqrt (ABCD- (EG-FH) ^ (2))).)

Дотолкова доколкото напр = fh. В това и само в случая, когато е вписан, ние получаваме максималната площ A b c d (dispresstyle (sqrt (abcd))) Тя може да бъде постигната само на квадратчета, които също са описани и вписани едновременно.

Тригонометрични формули

K \u003d A B C D SIN \u2061 A + C 2 \u003d A B C D SIN \u2061 B + D2. (DisplaySyle k \u003d (SQRT (ABCD)) SIN (FRAC (A + C) (2)) \u003d (SQRT (ABCD)) SIN (FRAC (B + D) (2)).).

За даден продукт на страните, площта ще бъде максимална, когато е вписан квадрис. В такъв случай K \u003d a b c d (displessstyle k \u003d (sqrt (abcd)))Тъй като противоположните ъгли са по избор. Това може да се докаже по друг начин, използвайки математически анализ.

Друга формула на квадрата на описания четириколка ABCD.Използване на два противоположни ъгли

K \u003d (OA ⋅ OC + OB ⋅ OD) SIN \u2061 A + C 2 (DisplaySyle K \u003d лява (OA CDOT OC + OB CDOT OD право) SIN (FRAC (A + C) (2) \\ t ),

където О. Това е центърът на вписания кръг.

В действителност, площта може да бъде изразена само на две съседни страни и два противоположни ъгли.

K \u003d A B SIN \u2061 B 2 CSC \u2061 D 2 SIN \u2061 B + D2. (DisplessSley K \u003d AB SIN (FRAC (B) (2)) CSC (FRAC (D) (2)) SIN (FRAC (B + D) (2)).) K \u003d 1 2 | (A c - b d) tan \u2061 θ | (DisplaySyle K \u003d (TFRAC (1) (2)) | (AC-BD) Tan (тета) |,)

където θ Ъгъл (всички) между диагонали. Формулата не е приложима за случая на DeLptoids, защото в този случай θ Той е 90 ° и не е дефиниран допирател.

Неравенство

Както беше споменато, беше случайно над, площта на допирателния многоъгълник със страните а., б., ° С., д. Удовлетворява неравенството

K ≤ a b c d (displaySyle k leq (sqrt (ABCD)))

и равенството се постига, ако и само когато евентът е бендрал.

Според Т. А. Иванова (1976), полуметър с. Описаният четирикрак удовлетворява неравенството

S ≥ 4 r (displaySyle s geq 4r),

където r. - Радиус е вписан кръг. Неравенството се превръща в равенство, ако и само ако квадрис е квадрат. Това означава, че за района К. = rs.Извършва се неравенството

K ≥ 4 r 2 (displessstyle k geq 4r ^ (2))

с прехода към равенство в това и само в случая, когато квадролонът е квадрат.

Свойствата на парчетата от четирима

Четири сегмента на линиите между центъра на записания кръг и докосването на точките са разделени на четирикратно правоъгълна делтаида.

Ако директно разделя описания четириъгълник в два полигона с равни области и равни периметри, тогава тази линия преминава през стимул.

Радиус е вписан кръг

Радиусът на вписания кръг от описания четириколсист със страните а., б., ° С., д. Задайте формула

R \u003d k s \u003d k a + c \u003d k b + d (displaySyle r \u003d (frac (k) (s)) \u003d (frac (k) (A + с)) \u003d (FRAC (K) (B + D)) \\ t ))),

където К. - площта на четиристал и с. - полумер. За описаните квадратници с дадено полумерно измерване радиусът на вписания кръг е максимален, когато квадратлят е едновременно вписан.

По отношение на сегментите на допирателния радиус, вписан кръг.

R \u003d E F G + F GH + G H E + H E F E + F + G + H. (DisplaySley DisplaySyle R \u003d (SQRT (EFG + FGH + GHE + HEF) (E + F + G + H))).)

Радиусът на вписаната обиколка също е модерен да изразява и по отношение на разстоянието от Insentr О. на върховете на описания квартал ABCD.. Ако u \u003d ao., v \u003d Bo., x \u003d Co. и y \u003d do.T.

R \u003d 2 (σ - UVX) (Σ - VXY) (Σ - XYU) (Σ - YUV) UVXY (UV + XY) (UX + VY) (UX + VY) (Displays R \u003d 2 (sqrrt (\\ t FRAC (Sigma -uvx) (Sigma -Vxy) (Sigma -XYU) (Sigma -YUV)) (UVXY (UV + XY) (UX + VY) (UY + VX)))))),

където σ \u003d 1 2 (u v x + v x y + x y u + y u v) (displaystyle sigma \u003d (tfrac (1) (2)) (UVX + vxy + xyu + yuv)) .

Ъглов формула.

Ако д., е., г. и х. Танър сегменти от върхове А., Б., ° С. и Д. съответно до точката на докосване на обиколката на четиристайството ABCD.ъглите на квадриума могат да бъдат изчислени по формули

SIN \u2061 A 2 \u003d EFG + FGH + GHE + HEF (e + F) (e + g) (e + h), (displaySley sin (frac (a) (2)) \u003d (sqrt (sqrt (sqrt (frac) \u003d (sqrt (frac) (EFG + FGH + GHE + HEF) ((E + F) (E + g) (E + H)))),) SIN \u2061 B 2 \u003d EFG + FGH + GHE + HEF (F + E) (F + G) (F + H), (DisplaySley Sin (Frac (B) (2)) \u003d (SQRT (FRAC) (EFG + FGH + GHE + HEF) ((F + E) (F + G) (F + H)))),) SIN \u2061 C 2 \u003d EFG + FGH + GHE + HEF (G + E) (G + F) (G + H), (DisplaySley Sin (Frac (C) (2)) \u003d (sqrt (sqrt (frac) \u003d (sqrt (frac) \u003d (sqrt (FRAC) \u003d (sqrt (frac) \u003d (sqrt (frac \\ t (EFG + FGH + GHE + HEF) ((g + e) \u200b\u200b(g + f) (g + h)))),) SIN \u2061 D2 \u003d E F G + F gH + gH E + HE F (Н + Е) (Н + F) (Н + G). (DisplessSley Sin (Frac (D) (2)) \u003d (SQRT (EFG + FGH + GHE + HEF) ((Н + Е) (Н + F) (Н + G))) .)

Ъгъл между Chordami. Км. и Ln. Указано по формулата (виж фигурата)

SIN \u2061 φ \u003d (E + F + G + H) (e F G + F gH + g HE + HE F) (E + F) (F + G) (g + Н) (Н + Е). (DisplaySyle Sin (varphi) \u003d (sqrt ((e + f + g + h) (EFG + FGH + GHE + HEF)) ((E + F) (F + G) (g + h) (h + e)))).)

Диагонал

Ако д., е., г. и х. са сегменти А., Б., ° С. и Д. до точките на вписания кръг от четирима ABCD., след това дължините на диагоналите p \u003d AC. и q \u003d BD. равен

P \u003d e + gf + h ((e + g) (f + h) + 4 fh), (displictyle displictyle p \u003d (sqrt ((e + g) (F + H)) (F + H)) (\\ t Голям () (e + g) (f + h) + 4fh (голям))))),) Q \u003d F + H e + g ((e + g) (F + h) + 4 б g). (DisplessSley DisplaySyle Q \u003d (SQRT ((FRAC (F + H) (e + g)) (голям () (e + g) (F + H) + 4EG (голям))).)

Touchpoint Chords.

Ако д., е., г. и х. са сегменти от върхове до точковите пунктове, след което дължината на акордът към противоположните тъчтупи са равни

K \u003d 2 (EFG + FGH + GHE + HEF) (E + F) (G + H) (e + g) (F + H), (DisplaySyle DisplaySyle K \u003d (FRAC (2 (EFG + FGH +) \\ t GHE + HEF)) (sqrt ((e + f) (g + h) (e + g) (f + h)))))),) L \u003d 2 (EFG + FGH + GHE + HEF) (E + H) (F + G) (E + g) (F + H), (DisplaySley DisplaySyle l \u003d (FRAC (2 (EFG + FGH +) \\ t GHE + HEF)) (SQRT ((E + H) (F + G) (E + g) (F + H)))))

където Chorda. к. свързва партиите с дължини а. = д. + е. и ° С. = г. + х.и хорда л. Свързва дължината на страните б. = е. + г. и д. = х. + д.. Квадратната връзка Horde удовлетворява съотношението

k2 l 2 \u003d b d a c. (DisplaySyle (Frac (K ^ (2)) (L ^ (2))) \u003d (FRAC (BD) (AC)).)

Две акорди

Акорд между страните AB. и CD. в описания кавгаж ABCD. по-дълго от акорд между страните Пр. Хр. и DA. След това и само когато средната линия между партиите AB. и CD. по-къса от средната линия между страните Пр. Хр. и DA. .

Ако описаният квадригон е описан ABCD. Задръжте точките на докосване М. на AB. и Н. на CD. и Chorda. Mn. Преминаване на диагонал BD. В точка Пс., след това връзката между сегментите на допиранията B m d n (dispresstyle (tfrac (BM) (dn))) Равен на отношението B p d p (DisplaySyle (TFRAC (BP) (DP))) Сегменти на диагонал BD..

Колинеарни точки

Ако M 1. и M 2. са средата на диагоналите AC. и BD. съответно в описания четирима ABCD. О.и двойки от противоположни страни се пресичат в точките Д. и Е. и M 3. - средно изрязване EF., след това точки M 3., M 1., О., I. M 2. Лежането на една права линия, свързваща тези точки, се нарича пряк нютон.

Д. и Е.и продължаването на противоположните страни на четиристача, образуваните от точките, пресичащи се в точките T. и С.Тогава четири точки Д., Е., T. и С. лъжа на един прав

AB., Пр. Хр., CD., DA. В точки М., К., Н. и Л. Съответно и ако T m., T K., T n, Договор са изотомично конюгирани точки от тези точки (това е На М. = BM. и т.н.) точка на нагревател дефинирани като пресичане на директни T n m и T k t l. И двете директно разделят периметъра на квадратчето на две равни части. Колкото по-важно е, че точката е нагло Q., "Площад" CENTOID " Г. и Център е вписан кръг О. лежат на една права линия и в същото време QG. = 2Отивам.. Този директ се нарича директна марка Описания четирикол.

В описания кавгаж ABCD. с центъра на записания кръг О. Пс., нека бъде H M., H K., H N., H L. са орто центрове на триъгълници Aob., BOC., Треска. и Doa. съответно. Тогава точки Пс., H M., H K., H N. и H L. Лежи по една права линия.

Конкурентни и перпендикулярни права

Двата диагонала на четириъгълните и две акорди, свързващи противоположни точки (противоположни върхове на вписаните четириъгълници), конкурентни (т.е. пресичат в една точка). За да покажем това, можете да използвате специалния случай на теоремата на Briangon, която твърди, че шестоъгълникът, всички страни, които се отнасят до коничната част, има три диагонала, пресичащи се в една точка. От описания квадлон е лесно да се получи шестоъгълник с два ъгъла от 180 ° чрез вмъкване на два нови върха на противоположни точки на докосване. Всичките шест страни на шестоъгълника са допирателна част от вписания кръг, така че диагоналите се пресичат в една точка. Но двата диагонала на шестоъгълника съвпадат с диагоналите на четириъгълника, а третият диагонал преминава през противоположни точки. Повтаряйки същото разсъждение за две други точки на докосване, получаваме необходимия резултат.

Ако вписаният кръг се отнася до страните AB., Пр. Хр., CD. и DA. В точки М., К., Н., Л. съответно, след това директно Mk., Ln. и AC. Конкурентен.

Ако продължаването на противоположните страни на описания четиристранство се пресича в точките Д. и Е.и диагоналите се пресичат в точката Пс., после изправен EF. Перпендикулярно на продължаването ОП.където О. - Център е вписан кръг.

Свойства, вписани обиколка

Отношенията на двете противоположни страни на описания четирици могат да бъдат изразени на разстояния от центъра на вписания кръг О. на съответните страни

A b c d \u003d o ⋅ o b o c ⋅ o d, b c d a \u003d o b ⋅ o c o d ⋅ o A. (DisplaySyle (FRAC (AB) (CD)) \u003d (FRAC (OA CDOT OB) (OC CDOT OD))) Quad Quad (Frac (BC) (DA)) \u003d (FRAC) OB CCOT OC) (OD CDOT OA)).)

Продукта от две съседни страни на описания четиристалист ABCD. с центъра на записания кръг О. Отговарят на съотношението

A b ⋅ b c \u003d 0 b2 + О a ⋅ o b ⋅ o c o d. (DisplaySyle AB cdot bc \u003d ob ^ (2) + (frac (OA ccot ccot oc) (OD)).)

Ако О. - център на вписания кръг на квадрика ABCD.T.

O a ⋅ o c + o b ⋅ o d \u003d a b ⋅ b c ⋅ c d ⋅ d a. (DisplaySyle OA CDOT OC + OB CDOT OD \u003d (sqrt (ab cdot bc cdot cd cdot da)).)

Център е вписан кръг О. съвпада с "централния елемент на върховете" на квадрата в това и само в случая, когато

O a ⋅ o c \u003d o b ⋅ o d. (DisplaySyle OA CDOT OC \u003d OB CDOT OD.)

Ако M 1. и M 2. са средата на диагоналите AC. и BD. Съответно

Om 1 om 2 \u003d oa ⋅ ocob ⋅ OD \u003d e + gf + h, (displaySyle (frac (OM_ (1)) (OM_ (2))) \u003d (frac (OA ccot oc) (OA ccot) OD)) \u003d (frac (e + g) (f + h)),)

където д., е., г. и х. - разрязва допирателни в върховете А., Б., ° С. и Д. съответно. Комбинирането на първото равенство с последните, ние получаваме, че "центроидът на върховете" на описания квадрикон съвпада със стойността на вписания кръг, ако и само ако центърът на вписания кръг се намира в средата между средните долатични точки.

1 R1 + 1R3 \u003d 1R2 + 1R4. (DisplaySyle (FRAC (1) (R_ (1))) + (FRAC (1) (R_ (3))) \u003d (FRAC (1) (R_ (2))) + (FRAC (1)) ) (R_ (4))).)

Този имот е доказал с пет години по-рано от Weinstein. При решаването на неговата задача, подобен имот беше даден на Василеев и Сандър. Ако имаш х. M, х. K, х. N I. х. Означавам височината на същите триъгълници (понижени от пресечната точка на диагоналите Пс.), тогава квадрисът е описан, ако и само когато

1Н М + 1Н N \u003d 1Н К + 1Н l. (displictyle (frac (1) (h_ (m))) + (frac (1) (h_ (n))) \u003d (frac (1) (h_ (k))) + (frac (1)) ) (H_ (L))).)

Друг подобен имот принадлежи към радиусите на невалидните кръгове. r. М. , r. К. , r. Н. и r. Л. За същите четири триъгълника (четири годишни кръга се отнасят всяка от страните на квадратлърите и продължаването на диагоналите). Четвъртъкът е описан в това и само когато

1 R m + 1 R N \u003d 1 R K + 1 RL L. (Dispresstyle (frac (1) (R_ (m))) + (FRAC (1) (N))) \u003d (FRAC (1) (R_ (K))) + (FRAC (1)) ) (R_ (L))).)

Ако R. M, R. K, R. N I. R. L - радиус на описаните кръгове на триъгълниците APB., BPC., CPD. и DPA. Съответно, триъгълник ABCD. след това се описва тогава и само когато

R m + R N \u003d R K + R L. (displessSyle r_ (m) + r_ (n) \u003d r_ (k) + r_ (l).)

През 1996 г. Винщайн, изглежда, е първият, който доказва друго прекрасно свойство на описаните квадрилети, което по-късно се появява в няколко списания и обекти. Имотът твърди, че ако изпъкналите четири-тригери са разделени на четири различни триъгълника с нейните диагонали, центровете, вписани кръгове на тези триъгълници, лежат на същия кръг, ако и само ако е описан кварталът. В действителност, центровете, вписани кръгове, образуват ортодиагонално хранене четири-копче. Тук, вписаните окръга могат да бъдат заменени с мостовете (свързани с страните и продължаване на диагоналите на четириъгълника). След това изпъкнал чертата е описан, ако и само когато центровете на годишните кръгове са върховете на вписания квадрис.

Изпъкнал квадрист ABCD.в които диагоналите се пресичат в точката Пс.е описан, ако и само ако четири центъра на годишните триъгълници на триъгълниците APB., BPC., CPD. и DPA. Те лежат на един кръг (тук годишните окръжници пресичат партиите на четириъгълника, за разлика от същото твърдение по-горе, където годишните кръгове са извън четириъгълника). Ако R M., R N., R K. и R L. - радиус на повишени кръгове APB., BPC., CPD. и DPA. съответно, противоположни върхове Б. и Д.след това друго необходимо и достатъчно условие, че е описан квадляс,

1 R m + 1 R N \u003d 1 R K + 1 RL L. (Dispresstyle (frac (1) (R_ (m))) + (FRAC (1) (N))) \u003d (FRAC (1) (R_ (K))) + (FRAC (1)) ) (R_ (L))).) M △ (APB) + N △ (CPD) \u003d K △ (BPC) + L △ (DPA) (DISPRATSYLE (FRAC (M) (триъгълник (APB)) + (FRAC (N) (триъгълник (триъгълник ( CPD))) \u003d (FRAC (K) (триъгълник (BPC))) + (FRAC (L) (триъгълник (DPA))))

тук m, k, n, l - дължините на страните AB, BC, CD и DA и δ ( APB.) - Област на триъгълник APB..

Означават сегментите, на които точката Пс. DOLIT DIAGONAL. AC. като АП. = пс. А I. НАСТОЛЕН КОМПЮТЪР. = пс. ° С. Същия начин Пс. Диагонал BD. на сегменти Bp. = пс. Б Г. Pd. = пс. д. След това квадристът е описан, ако и само ако се извърши една от равенствата:

(M + pa - pb) (n + pc - pd) (m - PA + pb) (n - pc + pd) \u003d (k + pc - pb) (l + pa - pd) (K - PC + PB) (L - PA + PD). (DisplaySyle (frac ((m + p_ (a) -p_ (b)) (n + p_ (с) -p_ (d))) ((m - p_ (а) + p_ (b)) (n) -p_ (c) + p_ (d)))) \u003d (frac ((k + p_ (с) -p_ (b)) (l + p_ (a) -p_ (d))) ((k-p_) (c) + p_ (b)) (l-p_ (а) + p_ (d)))).)

Условия за описания четириклета е друг вид квадризъм.

Описаният четиристал е бицел (т.е. описан и вписан едновременно), ако и само ако радиусът на включения кръг е най-големият сред всички описани квадратници, имащи една и съща последователност от дължините на страните в това и само Когато се извършва някое от следните условия:

• Квадратът е равен на половината от работата на диагоналите
• Диагонална перпендикулярна
• Два сегмента, свързващи противоположни точки, имат равни дължини.
• Един двойка противоположни сегменти от върха до сензорната точка имат еднакви дължини.
C.v. Дурел, А. Робсън. Разширена тригонометрия // Reprint. - 2003.
• Виктор Брайънт, Джон Дънкан. Колела в колела // Математически вестник. - 2010. - Vol. 94, ноември.
• Албрехт Хес. На кръг, съдържащ стимулите на тангенциални квадрилатори // Геометрикорум на форума. - 2014. - Т. 14.
• Wu Wei Chao, Пламен Симеонов. Когато четириъгълниците са вписали кръгове (решение на проблем 10698) // американски математически месечно. - 2000. - Т. 107, издаване. 7. - DOI: 10.2307 / 2589133.
• Mowaffaq hajja. Условие за ограничима четириъгълник, за да бъде цикличен // форум геометрикорум. - 2008. - Т. 8.

Лари Хохн. Нова формула относно диагоналите и страните на четириъгълника. - 2011. - Т. 11 Т. 10.

Мартин Хосефсон. Кога е тангенциален четиристранна кайт? // Форум Geometricorum. - 2011А. - Т. 11.

Мартин Хосефсон. Още характеризиране на тангенциални квадрилатери // Геометрикорум на форума. - 2011б. - Т. 11.

Мартин Хосефсон. Районът на бикентричен четиристранна // форум Geometricorum. - 2011C. - Т. 11.

Мартин Хосефсон. Подобни метрични характеристики на тангенциални и разположени четириъгълници // Геометрикорум на форума. - 2012. - Т. 12.

Мартин Хосефсон. Характеристики на ортодиагонални четириъгълници. - 2012b. - Т. 12.

Nicusor minculete. Характеристики на тангенциален четиристранни // форум Geometricorum. - 2009. - Т. 9.

Алексей Миакишев. На две забележителни линии, свързани с четиристранни // форум геометрикорум. - 2006. - Т. 6.

A.W. Siddons, R.t. Хюз. Тригонометрия. - Кеймбридж Унив. Натиснете, 1929.

И. Вайнища, Н. Василеев, В. Саддеров. (Решаване на проблеми) M1495 // KVANT. - 1995. - Vol. 6.

Майкъл де Вилие. Разкорежки циклични и равномерни ограничени полигони // Математически вестник. - 2011. - Vol. 95, март.