किसी फ़ंक्शन का सबसे छोटा मान कैसे प्राप्त करें। किस बिंदु पर व्युत्पन्न का मूल्य सबसे बड़ा है

"एक अंतराल पर एक निरंतर फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मूल्यों को खोजने के लिए व्युत्पन्न का उपयोग करना" विषय पर पाठ, व्युत्पन्न का उपयोग करके किसी दिए गए अंतराल पर फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मूल्यों को खोजने की अपेक्षाकृत सरल समस्याओं पर विचार करेगा। .

थीम: व्युत्पन्न

पाठ: एक अंतराल पर एक सतत फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मूल्यों को खोजने के लिए व्युत्पन्न का उपयोग करना

इस पाठ में, हम एक सरल समस्या पर विचार करेंगे, अर्थात् एक अंतराल निर्दिष्ट किया जाएगा, इस अंतराल पर एक सतत फलन निर्दिष्ट किया जाएगा। दिए गए का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान ज्ञात करना आवश्यक है कार्योंकिसी दिए गए पर अंतराल.

संख्या 32.1 (बी)। दिया गया:,। आइए फ़ंक्शन का एक ग्राफ़ बनाएं (चित्र 1 देखें)।

चावल। 1. एक फ़ंक्शन का ग्राफ़।

यह ज्ञात है कि यह फ़ंक्शन अंतराल में बढ़ता है, जिसका अर्थ है कि यह अंतराल में भी बढ़ता है। इसलिए, यदि आप बिंदुओं पर फ़ंक्शन का मान पाते हैं और, तो इस फ़ंक्शन के परिवर्तन की सीमा, इसका सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान, ज्ञात हो जाएगा।

जब तर्क 8 से बढ़कर 8 हो जाता है, तो फलन इससे बढ़ जाता है।

उत्तर: ; .

32.2 (ए) दिया गया है: दिए गए अंतराल पर फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मान खोजें।

आइए इस फ़ंक्शन का एक ग्राफ बनाएं (चित्र 2 देखें)।

यदि अंतराल में तर्क बदलता है, तो फ़ंक्शन -2 से 2 तक बढ़ जाता है। यदि तर्क से बढ़ता है, तो फ़ंक्शन 2 से घटकर 0 हो जाता है।

चावल। 2. फंक्शन ग्राफ।

आइए व्युत्पन्न खोजें।

, ... यदि, तो यह मान भी निर्दिष्ट खंड से संबंधित है। तो अगर। यह जांचना आसान है कि क्या यह अन्य मान लेता है, संबंधित स्थिर बिंदु निर्दिष्ट खंड से आगे जाते हैं। आइए हम खंड के सिरों पर फ़ंक्शन के मानों की तुलना करें और उन चयनित बिंदुओं पर जहां व्युत्पन्न शून्य के बराबर है। पाना

;

उत्तर: ;.

तो उत्तर प्राप्त होता है। इस मामले में व्युत्पन्न का उपयोग किया जा सकता है, आप इसका उपयोग नहीं कर सकते हैं, पहले अध्ययन किए गए फ़ंक्शन के गुणों को लागू करें। यह हमेशा मामला नहीं होता है, कभी-कभी व्युत्पन्न का उपयोग ही एकमात्र तरीका है जो आपको ऐसी समस्याओं को हल करने की अनुमति देता है।

दिया गया:,। किसी दिए गए खंड पर फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान ज्ञात कीजिए।

यदि पिछले मामले में व्युत्पन्न के बिना करना संभव था - हम जानते थे कि फ़ंक्शन कैसे व्यवहार करता है, तो इस मामले में फ़ंक्शन काफी जटिल है। इसलिए, हमने पिछले कार्य में जिस तकनीक का उल्लेख किया है वह पूरी तरह से लागू है।

1. व्युत्पन्न खोजें। आइए महत्वपूर्ण बिंदुओं को खोजें, इसलिए महत्वपूर्ण बिंदु। उनमें से हम उन लोगों का चयन करते हैं जो दिए गए खंड से संबंधित हैं:। आइए बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मान की तुलना करें,। इसके लिए हम पाते हैं

आइए हम चित्र में परिणाम को स्पष्ट करें (चित्र 3 देखें)।

चावल। 3. फलन मानों के परिवर्तन की सीमा

हम देखते हैं कि यदि तर्क 0 से 2 में बदल जाता है, तो फ़ंक्शन -3 से 4 में बदल जाता है। फ़ंक्शन नीरस रूप से नहीं बदलता है: यह या तो बढ़ता है या घटता है।

उत्तर: ;.

इसलिए, एक अंतराल पर किसी फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मूल्यों को खोजने के लिए एक सामान्य तकनीक को प्रदर्शित करने के लिए तीन उदाहरणों का उपयोग किया गया था, इस मामले में, एक खंड पर।

किसी फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मूल्यों को खोजने की समस्या को हल करने के लिए एल्गोरिदम:

1. फलन का अवकलज ज्ञात कीजिए।

2. फ़ंक्शन के महत्वपूर्ण बिंदु खोजें और उन बिंदुओं का चयन करें जो किसी दिए गए खंड पर हैं।

3. खंड के सिरों पर और चयनित बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मान ज्ञात करें।

4. इन मानों की तुलना करें, और सबसे बड़ा और सबसे छोटा चुनें।

आइए एक और उदाहरण लेते हैं।

फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान ज्ञात कीजिए।

पहले, इस फ़ंक्शन के ग्राफ पर विचार किया गया था (चित्र 4 देखें)।

चावल। 4. फंक्शन ग्राफ।

अंतराल में, इस फ़ंक्शन की सीमा है ... बिंदु अधिकतम बिंदु है। पर - फलन बढ़ता है, पर - फलन घटता है। चित्र से यह देखा जा सकता है कि, - अस्तित्व में नहीं है।

इसलिए, पाठ में, हमने सबसे बड़े और सबसे छोटे फ़ंक्शन मान की समस्या पर विचार किया, जब दिया गया अंतराल एक खंड है; ऐसी समस्याओं को हल करने के लिए एक एल्गोरिथम तैयार किया।

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अतिरिक्त वेब संसाधन

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घर पर बनाएं

संख्या 46.16, 46.17 (सी) (बीजगणित और विश्लेषण की शुरुआत, ग्रेड 10 (दो भागों में)। शैक्षिक संस्थानों के लिए समस्या पुस्तक (प्रोफाइल स्तर) एजी मोर्दकोविच द्वारा संपादित। -एम।: मेमोज़िना, 2007।)

व्यवहार में, किसी फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मान की गणना करने के लिए व्युत्पन्न का उपयोग करना काफी सामान्य है। हम यह क्रिया तब करते हैं जब हम यह पता लगाते हैं कि लागत को कैसे कम किया जाए, लाभ बढ़ाया जाए, उत्पादन पर इष्टतम भार की गणना की जाए, आदि, यानी उन मामलों में जब किसी भी पैरामीटर का इष्टतम मूल्य निर्धारित करना आवश्यक हो। ऐसी समस्याओं को सही ढंग से हल करने के लिए, आपको यह अच्छी तरह से समझने की आवश्यकता है कि किसी फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मान क्या हैं।

यांडेक्स.आरटीबी आर-ए-339285-1

हम आमतौर पर इन मानों को एक निश्चित अंतराल x के भीतर परिभाषित करते हैं, जो बदले में फ़ंक्शन के पूरे डोमेन या उसके हिस्से के अनुरूप हो सकते हैं। यह एक खंड की तरह हो सकता है [ए; बी] और एक खुला अंतराल (ए; बी), (ए; बी], [ए; बी), एक अनंत अंतराल (ए; बी), (ए; बी], [ए; बी) या एक अनंत अंतराल - ∞ ; ए, (- ; ए], [ए; + ∞), (- ∞; + ∞)।

इस लेख में हम आपको बताएंगे कि एक चर y = f (x) y = f (x) के साथ स्पष्ट रूप से दिए गए फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मान की गणना कैसे की जाती है।

मूल परिभाषाएं

आइए, हमेशा की तरह, बुनियादी परिभाषाओं के निर्माण के साथ शुरू करें।

परिभाषा 1

किसी अंतराल x पर फलन y = f (x) का सबसे बड़ा मान अधिकतम = f (x 0) x X है, जो किसी भी मान xx X, x ≠ x 0 के लिए असमानता f (x) बनाता है। एफ (एक्स 0)।

परिभाषा 2

किसी अंतराल x पर फलन y = f (x) का सबसे छोटा मान minx X y = f (x 0) है, जो किसी भी मान x X, x ≠ x 0 के लिए असमानता f (X f ( एक्स) एफ (एक्स 0)।

ये परिभाषाएँ काफी स्पष्ट हैं। यह कहना और भी आसान है: किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मान एब्सिसा x 0 पर ज्ञात अंतराल पर इसका सबसे बड़ा मान है, और सबसे छोटा मान x 0 पर समान अंतराल पर सबसे छोटा स्वीकृत मान है।

परिभाषा 3

स्थिर बिंदु किसी फ़ंक्शन के तर्क के वे मान हैं जिन पर इसका व्युत्पन्न गायब हो जाता है।

हमें यह जानने की आवश्यकता क्यों है कि स्थिर बिंदु क्या हैं? इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए, किसी को फर्मेट के प्रमेय को याद करना चाहिए। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि एक स्थिर बिंदु वह बिंदु है जिस पर अवकलनीय फलन का चरम स्थित होता है (अर्थात इसका स्थानीय न्यूनतम या अधिकतम)। नतीजतन, फ़ंक्शन एक निश्चित अंतराल पर बिल्कुल स्थिर बिंदुओं में से सबसे छोटा या सबसे बड़ा मान लेगा।

एक अन्य फ़ंक्शन उन बिंदुओं पर सबसे बड़ा या सबसे छोटा मान ले सकता है जहां फ़ंक्शन स्वयं निश्चित है, और इसका पहला व्युत्पन्न मौजूद नहीं है।

इस विषय का अध्ययन करते समय पहला प्रश्न उठता है: सभी मामलों में, क्या हम किसी दिए गए खंड पर किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा या सबसे छोटा मान निर्धारित कर सकते हैं? नहीं, हम ऐसा तब नहीं कर सकते जब किसी दिए गए अंतराल की सीमाएं परिभाषा के क्षेत्र की सीमाओं के साथ मेल खाती हैं, या यदि हम एक अनंत अंतराल के साथ काम कर रहे हैं। ऐसा भी होता है कि किसी दिए गए खंड में या अनंत पर एक फ़ंक्शन असीम रूप से छोटा या असीम रूप से बड़ा मान लेगा। इन मामलों में, उच्चतम और / या निम्नतम मूल्य निर्धारित करना संभव नहीं है।

रेखांकन पर दिखाए जाने के बाद ये बिंदु स्पष्ट हो जाएंगे:

पहला आंकड़ा हमें एक फ़ंक्शन दिखाता है जो खंड पर स्थित स्थिर बिंदुओं पर सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान (m a x y और m i n y) लेता है [- 6; 6].

आइए दूसरे ग्राफ में दर्शाए गए मामले की विस्तार से जांच करें। आइए खंड के मान को [1; में बदलें; 6] और हम प्राप्त करते हैं कि फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मूल्य अंतराल की दाहिनी सीमा में एक एब्सिसा के साथ एक बिंदु पर प्राप्त किया जाएगा, और सबसे छोटा - एक स्थिर बिंदु पर।

तीसरे आंकड़े में, बिंदुओं के भुज खंड के सीमा बिंदुओं का प्रतिनिधित्व करते हैं [- 3; 2]. वे दिए गए फ़ंक्शन के उच्चतम और निम्नतम मानों के अनुरूप हैं।

अब चौथे अंक पर नजर डालते हैं। इसमें फलन खुले अंतराल (- 6; 6) पर स्थिर बिंदुओं पर m a x y (सबसे बड़ा मान) और m i n y (सबसे छोटा मान) लेता है।

यदि हम अंतराल लेते हैं [1; 6), तो हम कह सकते हैं कि इस पर फ़ंक्शन का सबसे छोटा मान एक स्थिर बिंदु पर प्राप्त किया जाएगा। सबसे बड़ा मूल्य हमारे लिए अज्ञात होगा। यदि x = 6 अंतराल से संबंधित है, तो फ़ंक्शन अपना सबसे बड़ा मान x के बराबर 6 ले सकता है। यह वह मामला है जिसे ग्राफ 5 में दर्शाया गया है।

ग्राफ़ 6 पर, यह फ़ंक्शन अंतराल की दाहिनी सीमा पर सबसे छोटा मान प्राप्त करता है (- 3; 2], और हम सबसे बड़े मान के बारे में निश्चित निष्कर्ष नहीं निकाल सकते हैं।

चित्र 7 में, हम देखते हैं कि फलन में एक स्थिर बिंदु पर m a x y होगा, जिसका भुज 1 के बराबर होगा। फ़ंक्शन दाईं ओर के अंतराल की सीमा पर अपने सबसे छोटे मान तक पहुंच जाएगा। माइनस इनफिनिटी पर, फ़ंक्शन के मान स्पर्शोन्मुख रूप से y = 3 के करीब पहुंचेंगे।

यदि हम अंतराल x ∈ 2 लें; + , तब हम देखेंगे कि दिया गया फलन न तो सबसे छोटा मान लेगा और न ही सबसे बड़ा मान। यदि x 2 की ओर जाता है, तो फ़ंक्शन के मान माइनस इनफिनिटी की ओर प्रवृत्त होंगे, क्योंकि सीधी रेखा x = 2 लंबवत स्पर्शोन्मुख है। यदि एब्सिस्सा प्लस इन्फिनिटी की ओर जाता है, तो फ़ंक्शन के मान स्पर्शोन्मुख रूप से y = 3 तक पहुंचेंगे। यह वह मामला है जिसे चित्र 8 में दर्शाया गया है।

इस उपधारा में, हम क्रियाओं का एक क्रम प्रस्तुत करते हैं जो किसी निश्चित खंड पर किसी फ़ंक्शन के सबसे बड़े या सबसे छोटे मान को खोजने के लिए किया जाना चाहिए।

1. सबसे पहले, आइए फ़ंक्शन का डोमेन ढूंढें। आइए देखें कि क्या शर्त में निर्दिष्ट खंड इसमें शामिल है।
2. अब आइए इस खंड में निहित बिंदुओं की गणना करें, जहां पहला व्युत्पन्न मौजूद नहीं है। सबसे अधिक बार वे कार्यों में पाए जा सकते हैं, जिसका तर्क मापांक चिह्न के तहत या शक्ति कार्यों में लिखा जाता है, जिसका घातांक एक भिन्नात्मक परिमेय संख्या है।
3. इसके बाद, आइए जानें कि कौन से स्थिर बिंदु दिए गए खंड में आते हैं। ऐसा करने के लिए, आपको फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की गणना करने की आवश्यकता है, फिर इसे 0 के बराबर करें और परिणामी समीकरण को हल करें, और फिर उपयुक्त जड़ों का चयन करें। यदि हमें कोई स्थिर बिंदु नहीं मिलता है या वे दिए गए खंड में नहीं आते हैं, तो हम अगले चरण पर आगे बढ़ते हैं।
4. हम निर्धारित करते हैं कि दिए गए स्थिर बिंदुओं (यदि कोई हो) पर फ़ंक्शन क्या मान लेगा, या उन बिंदुओं पर जहां पहला व्युत्पन्न मौजूद नहीं है (यदि कोई हो), या हम x = a और x = के लिए मानों की गणना करते हैं बी।
5. 5. हमें फ़ंक्शन मानों की एक श्रृंखला मिली है, जिसमें से अब हमें सबसे बड़े और सबसे छोटे का चयन करने की आवश्यकता है। ये फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मान होंगे जिन्हें हमें खोजने की आवश्यकता है।

आइए देखें कि समस्याओं को हल करते समय इस एल्गोरिथ्म को सही तरीके से कैसे लागू किया जाए।

उदाहरण 1

स्थिति:फलन y = x 3 + 4 x 2 दिया गया है। खंडों पर इसका सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान निर्धारित करें [1; 4] और [- 4; - एक ] ।

समाधान:

आइए इस फ़ंक्शन के डोमेन को ढूंढकर शुरू करें। इस स्थिति में, यह 0 को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय होगा। दूसरे शब्दों में, डी (वाई): एक्स (- ∞; 0) 0; + . शर्त में निर्दिष्ट दोनों खंड परिभाषा क्षेत्र के अंदर होंगे।

अब हम भिन्न के विभेदन के नियम के अनुसार फलन के अवकलज की गणना करते हैं:

y "= x 3 + 4 x 2" = x 3 + 4 "x 2 - x 3 + 4 x 2" x 4 = = 3 x 2 x 2 - (x 3 - 4) 2 xx 4 = x 3 - 8 एक्स 3

हमने सीखा कि फलन का अवकलज खंडों के सभी बिंदुओं पर मौजूद होगा [1; 4] और [- 4; - एक ] ।

अब हमें फ़ंक्शन के स्थिर बिंदुओं को परिभाषित करने की आवश्यकता है। हम इसे समीकरण x 3 - 8 x 3 = 0 का उपयोग करके करते हैं। इसकी केवल एक वैध जड़ है, जो 2 है। यह फ़ंक्शन का एक स्थिर बिंदु होगा और पहले खंड [1; 4]।

हम पहले खंड के अंत में और दिए गए बिंदु पर फ़ंक्शन के मूल्यों की गणना करते हैं, अर्थात। x = 1, x = 2 और x = 4 के लिए:

वाई (1) = 1 3 + 4 1 2 = 5 वाई (2) = 2 3 + 4 2 2 = 3 वाई (4) = 4 3 + 4 4 2 = 4 1 4

हमने प्राप्त किया है कि फलन का सबसे बड़ा मान m a x y x [1; 4] = y (2) = 3 x = 1 पर प्राप्त किया जाएगा, और सबसे छोटा m i n y x ∈ [1; 4] = y (2) = 3 - x = 2 के लिए।

दूसरे खंड में कोई स्थिर बिंदु शामिल नहीं है, इसलिए हमें केवल दिए गए खंड के सिरों पर फ़ंक्शन के मूल्यों की गणना करने की आवश्यकता है:

y (- 1) = (- 1) 3 + 4 (- 1) 2 = 3

अत: m a x y x ∈ [- 4; - 1] = y (- 1) = 3, m i n y x [- 4; - 1] = y (- 4) = - 3 3 4.

उत्तर:खंड के लिए [1; 4] - एम ए एक्स वाई एक्स ∈ [1; 4] = वाई (2) = 3, एम आई एन वाई एक्स ∈ [1; 4] = y (2) = 3, खंड के लिए [- 4; - 1] - एम ए एक्स वाई एक्स ∈ [- 4; - 1] = y (- 1) = 3, m i n y x [- 4; - 1] = y (- 4) = - 3 3 4.

चित्र को देखें:

इस पद्धति का अध्ययन करने से पहले, हम आपको सलाह देते हैं कि एकतरफा सीमा और अनंत पर सीमा की सही गणना कैसे करें, साथ ही उन्हें खोजने के लिए बुनियादी तरीके सीखें। एक खुले या अनंत अंतराल पर किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और / या सबसे छोटा मान खोजने के लिए, निम्नलिखित चरणों को क्रम में करें।

1. सबसे पहले, आपको यह जांचना होगा कि निर्दिष्ट अंतराल इस फ़ंक्शन के दायरे का सबसेट होगा या नहीं।
2. आइए हम उन सभी बिंदुओं को निर्धारित करें जो आवश्यक अंतराल में निहित हैं और जिनमें पहला व्युत्पन्न मौजूद नहीं है। वे आमतौर पर उन कार्यों में पाए जाते हैं जहां तर्क मापांक चिह्न में संलग्न होता है, और आंशिक रूप से तर्कसंगत घातांक के साथ शक्ति कार्यों में होता है। यदि ये बिंदु अनुपस्थित हैं, तो आप अगले चरण पर आगे बढ़ सकते हैं।
3. अब हम निर्धारित करेंगे कि कौन-से स्थिर बिंदु दिए गए अंतराल में आते हैं। सबसे पहले, हम व्युत्पन्न को 0 के बराबर करते हैं, समीकरण को हल करते हैं, और उपयुक्त मूल पाते हैं। यदि हमारे पास एक भी स्थिर बिंदु नहीं है या वे निर्दिष्ट अंतराल के भीतर नहीं आते हैं, तो हम तुरंत आगे की कार्रवाई के लिए आगे बढ़ते हैं। वे अंतराल के प्रकार से निर्धारित होते हैं।

• यदि अंतराल फॉर्म का है [ए; बी), तो हमें बिंदु x = a और एक तरफा सीमा lim x → b - 0 f (x) पर फ़ंक्शन के मान की गणना करने की आवश्यकता है।
• यदि अंतराल का रूप (ए; बी] है, तो हमें बिंदु x = b और एक तरफा सीमा lim x → a + 0 f (x) पर फ़ंक्शन के मान की गणना करने की आवश्यकता है।
• यदि अंतराल का रूप (ए; बी) है, तो हमें एक तरफा सीमा लिम एक्स → बी - 0 एफ (एक्स), लिम एक्स → ए + 0 एफ (एक्स) की गणना करने की आवश्यकता है।
• यदि अंतराल फॉर्म का है [ए; + ), तो बिंदु x = a पर मान की गणना करना और प्लस अनंत सीमा x → + f (x) पर सीमा की गणना करना आवश्यक है।
• यदि अंतराल (- ; b] जैसा दिखता है, तो बिंदु x = b पर मान की गणना करें और माइनस इनफिनिटी lim x → - ∞ f (x) पर सीमा की गणना करें।
• अगर - ; बी, तो हम एक तरफा सीमा lim x → b - 0 f (x) और माइनस इनफिनिटी lim x → - ∞ f (x) पर सीमा मान लेते हैं।
• अगर - ; + , फिर हम ऋण और प्लस अनंत सीमा x → + f (x), lim x → - ∞ f (x) पर सीमाओं पर विचार करते हैं।

1. अंत में, आपको प्राप्त फ़ंक्शन मानों और सीमाओं के आधार पर एक निष्कर्ष निकालना होगा। यहां कई संभावनाएं हैं। इसलिए, यदि एकतरफा सीमा ऋण अनंत या प्लस अनंत के बराबर है, तो यह तुरंत स्पष्ट है कि फ़ंक्शन के सबसे छोटे और सबसे बड़े मूल्य के बारे में कुछ भी नहीं कहा जा सकता है। नीचे हम एक विशिष्ट उदाहरण का विश्लेषण करेंगे। विस्तृत विवरण आपको यह समझने में मदद करेंगे कि क्या है। यदि आवश्यक हो, तो आप सामग्री के पहले भाग में चित्र 4 - 8 पर लौट सकते हैं।

उदाहरण 2

शर्त: एक फलन y = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 दिया गया है। अंतराल में इसके उच्चतम और निम्नतम मूल्यों की गणना करें - ; - 4, - ; - 3, (- 3; 1], (- 3; 2), [1; 2), 2; + , [4; + ).

समाधान

फ़ंक्शन के डोमेन को खोजने के लिए पहला कदम है। भिन्न के हर में एक वर्ग त्रिपद होता है, जो लुप्त नहीं होना चाहिए:

x 2 + x - 6 = 0 D = 1 2 - 4 1 (- 6) = 25 x 1 = - 1 - 5 2 = - 3 x 2 = - 1 + 5 2 = 2 D (y): x (- ; - 3) (- 3; 2) (2; + )

हमें फ़ंक्शन का डोमेन मिला है जिसमें शर्त में निर्दिष्ट सभी अंतराल हैं।

अब फ़ंक्शन को अलग करते हैं और प्राप्त करते हैं:

वाई "= 3 ई 1 एक्स 2 + एक्स - 6 - 4" = 3 ई 1 एक्स 2 + एक्स - 6 "= 3 ई 1 एक्स 2 + एक्स - 6 1 एक्स 2 + एक्स - 6" = 3 · ई 1 x 2 + x - 6 · 1 "· x 2 + x - 6 - 1 · x 2 + x - 6" (x 2 + x - 6) 2 = - 3 · (2 ​​x + 1) · e 1 एक्स 2 + एक्स - 6 एक्स 2 + एक्स - 6 2

नतीजतन, फ़ंक्शन के डेरिवेटिव इसकी परिभाषा के पूरे डोमेन पर मौजूद हैं।

आइए स्थिर बिंदुओं को खोजने के लिए आगे बढ़ें। फलन का अवकलज x = - 1 2 पर लुप्त हो जाता है। यह अंतराल (- 3; 1] और (- 3; 2) में स्थित एक स्थिर बिंदु है।

हम अंतराल के लिए x = - 4 पर फ़ंक्शन के मान की गणना करते हैं (- ; - 4], साथ ही माइनस इनफिनिटी की सीमा:

वाई (- 4) = 3 ई 1 (- 4) 2 + (- 4) - 6 - 4 = 3 ई 1 6 - 4 ≈ - 0। 456 लिम एक्स → - 3 ई 1 एक्स 2 + एक्स - 6 = 3 ई 0 - 4 = - 1

चूंकि 3 ई 1 6 - 4> - 1, इसका मतलब है कि मैक्सीक्स ∈ (- ∞; - 4] = y (- 4) = 3 ई 1 6 - 4। यह हमें स्पष्ट रूप से सबसे छोटा मान निर्धारित करने की अनुमति नहीं देता है फ़ंक्शन। हम केवल यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि एक सीमा है - 1 तल पर, क्योंकि यह इस मान के लिए है कि फ़ंक्शन माइनस इनफिनिटी पर स्पर्शोन्मुख रूप से पहुंचता है।

दूसरे अंतराल की ख़ासियत यह है कि इसमें एक भी स्थिर बिंदु नहीं है और एक भी सख्त सीमा नहीं है। इसलिए, हम फ़ंक्शन के सबसे बड़े या सबसे छोटे मान की गणना नहीं कर सकते हैं। माइनस इनफिनिटी पर सीमा निर्धारित करने के बाद और जैसा कि तर्क बाईं ओर -3 की ओर जाता है, हमें केवल मानों की सीमा प्राप्त होगी:

लिम एक्स → - 3 - 0 3 ई 1 एक्स 2 + एक्स - 6 - 4 = लिम एक्स → - 3 - 0 3 ई 1 (एक्स + 3) (एक्स - 3) - 4 = 3 ई 1 (- 3 - 0 + 3) (- 3 - 0 - 2) - 4 = = 3 ई 1 (+ 0) - 4 = 3 ई + ∞ - 4 = + लिम एक्स → - ∞ 3 ई 1 एक्स 2 + एक्स - 6 - 4 = 3 ई 0 - 4 = - 1

इसका मतलब है कि फ़ंक्शन के मान अंतराल में स्थित होंगे - 1; +

तीसरे अंतराल में फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मान ज्ञात करने के लिए, हम स्थिर बिंदु x = - 1 2 पर इसका मान निर्धारित करते हैं, यदि x = 1 है। हमें उस मामले के लिए एकतरफा सीमा जानने की भी आवश्यकता है जब तर्क दाईं ओर -3 की ओर जाता है:

वाई - 1 2 = 3 ई 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 ई 4 25 - 4 ≈ - 1. 444 y (1) = 3 ई 1 1 2 + 1 - 6 - 4 - 1। 644 लिम x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 - 3 + 0 + 3 (- 3 + 0 - 2) - 4 = = 3 ई 1 (- 0) - 4 = 3 ई - ∞ - 4 = 3 0 - 4 = - 4

हमने पाया है कि फलन स्थिर बिंदु मैक्सीक्स (3; 1] = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4 पर अपना सबसे बड़ा मान लेगा। सबसे छोटे मान के लिए, हम इसे निर्धारित नहीं कर सकते हैं। , है नीचे से - 4 तक के प्रतिबंध की उपस्थिति।

अंतराल (- 3; 2) के लिए, हम पिछली गणना के परिणाम लेते हैं और एक बार फिर से गणना करते हैं कि बाईं ओर 2 की ओर झुकाव होने पर एकतरफा सीमा क्या है:

वाई - 1 2 = 3 ई 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 ई - 4 25 - 4 ≈ - 1. 444 लिम x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = - 4 lim x → 2 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (एक्स + 3) (एक्स - 2) - 4 = 3 ई 1 (2 - 0 + 3) (2 - 0 - 2) - 4 = 3 ई 1 - 0 - 4 = 3 ई - ∞ - 4 = 3 0 - 4 = - 4

इसलिए, m a x y x (- 3; 2) = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4, और सबसे छोटा मान निर्धारित नहीं किया जा सकता है, और फ़ंक्शन के मान नीचे से संख्या - 4 से बंधे हैं।

पिछली दो गणनाओं में हमें जो मिला है, उसके आधार पर हम कह सकते हैं कि अंतराल पर [1; 2) फ़ंक्शन x = 1 पर सबसे बड़ा मान लेगा और सबसे छोटा मान खोजना असंभव है।

अंतराल (2; + ) पर, फलन न तो सबसे बड़े और न ही सबसे छोटे मान तक पहुंचेगा, अर्थात। यह अंतराल से मान लेगा - 1; + .

लिम एक्स → 2 + 0 3 ई 1 एक्स 2 + एक्स - 6 - 4 = लिम एक्स → - 3 + 0 3 ई 1 (एक्स + 3) (एक्स - 2) - 4 = 3 ई 1 (2 + 0 + 3 ) (2 + 0 - 2) - 4 = = 3 ई 1 (+ 0) - 4 = 3 ई + ∞ - 4 = + लिम एक्स → + ∞ 3 ई 1 एक्स 2 + एक्स - 6 - 4 = 3 ई 0 - 4 = - 1

गणना करने के बाद कि x = 4 के लिए फलन का मान क्या होगा, हम पाते हैं कि m a x y x ∈ [4; + ∞) = y (4) = 3 e 1 14 - 4, और प्लस अनंत पर दिया गया फ़ंक्शन स्पर्शोन्मुख रूप से रेखा y = - 1 पर पहुंचेगा।

आइए तुलना करें कि हमें प्रत्येक गणना में दिए गए फ़ंक्शन के ग्राफ़ के साथ क्या मिला है। चित्र में, स्पर्शोन्मुख को एक बिंदीदार रेखा के साथ दिखाया गया है।

सबसे बड़ा और सबसे छोटा फंक्शन वैल्यू खोजने के बारे में हम आपको बस इतना ही बताना चाहते हैं। हमारे द्वारा दी गई क्रियाओं के क्रम आपको आवश्यक गणनाओं को यथासंभव जल्दी और आसानी से करने में मदद करेंगे। लेकिन याद रखें कि अक्सर यह पता लगाना उपयोगी होता है कि किस अंतराल पर फ़ंक्शन कम होगा और किस अंतराल पर यह बढ़ेगा, जिसके बाद आप आगे निष्कर्ष निकाल सकते हैं। इस तरह आप फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मान को अधिक सटीक रूप से निर्धारित कर सकते हैं और प्राप्त परिणामों को सही ठहरा सकते हैं।

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कभी-कभी समस्याएं B14 "खराब" कार्यों में आती हैं जिनके लिए व्युत्पन्न खोजना मुश्किल होता है। पहले, यह केवल जांच पर था, लेकिन अब ये कार्य इतने सामान्य हैं कि वास्तविक परीक्षा की तैयारी में अब इन्हें नजरअंदाज नहीं किया जा सकता है। इस मामले में, अन्य तकनीकें काम करती हैं, जिनमें से एक एकरसता है। परिभाषा एक फलन f (x) को एक खंड पर एकरसता से बढ़ने वाला कहा जाता है यदि इस खंड के किसी भी बिंदु x 1 और x 2 के लिए निम्नलिखित सत्य है: x 1

परिभाषा। एक फलन f (x) को एक खंड पर एकरस रूप से घटते हुए कहा जाता है यदि इस खंड के किसी भी बिंदु x 1 और x 2 के लिए निम्नलिखित सत्य है: x 1 f (x 2)। दूसरे शब्दों में, बढ़ते फलन के लिए, x जितना बड़ा होगा, f (x) उतना ही बड़ा होगा। घटते फलन के लिए, विपरीत सत्य है: बड़ा x, छोटा f (x)।

उदाहरण। यदि आधार a> 1 है, तो लघुगणक नीरस रूप से बढ़ता है और यदि 0 0.f (x) = log a x (a> 0; a 1; x> 0) हो तो नीरस रूप से घटता है। 1 है, और यदि 0 0.f (x) = लघुगणक कुल्हाड़ी (a> 0; a 1; x> 0) "> 1 है, तो नीरस रूप से घट जाती है, और यदि 0 0 हो तो नीरस रूप से घट जाती है। f (x) = log ax (a> 0 ; a 1; x> 0) "> 1, और नीरस रूप से घट जाती है यदि 0 0। f (x) = log ax (a> 0; a 1; x> 0)" शीर्षक = "(! LANG: उदाहरण। लघुगणक आधार a> 1 होने पर नीरस रूप से बढ़ता है, और यदि 0 0.f (x) = log ax (a> 0; a 1; x> 0) तो नीरस रूप से घटता है।"> title="उदाहरण। यदि आधार a> 1 है, तो लघुगणक नीरस रूप से बढ़ता है और यदि 0 0.f (x) = log a x (a> 0; a 1; x> 0) हो तो नीरस रूप से घटता है।"> !}

उदाहरण। घातांकीय फलन लघुगणक के समान व्यवहार करता है: यह a> 1 के लिए बढ़ता है और 0 0 के लिए घटता है: 1 और 0 0 पर घटता है: "> 1 और 0 0:"> 1 पर घटता है और 0 0 पर घटता है: "शीर्षक =" (! LANG: उदाहरण। घातीय कार्य लॉगरिदम के समान व्यवहार करता है: a> 1 पर बढ़ता है और 0 0 पर घटता है:"> title="उदाहरण। घातांकीय फलन लघुगणक के समान व्यवहार करता है: यह a> 1 के लिए बढ़ता है और 0 0 के लिए घटता है:"> !}

0) या नीचे (a 0) या नीचे (a 9 .) Parabola vertex निर्देशांक अक्सर, फ़ंक्शन तर्क को रूप के एक वर्ग ट्रिनोमियल द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है इसका ग्राफ एक मानक परवलय है जिसमें हम शाखाओं में रुचि रखते हैं: Parabola शाखाएं ऊपर जा सकती हैं (a> 0) या नीचे (a 0) या सबसे बड़ा (a 0) या नीचे (a 0) या नीचे (a 0) या सबसे बड़ा (a 0) या नीचे (a 0) या नीचे (एक शीर्षक = "(! LANG: परवलय के शीर्ष के निर्देशांक) अक्सर, फ़ंक्शन तर्क को रूप के एक वर्ग ट्रिनोमियल द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है इसका ग्राफ एक मानक परवलय है, जिसमें हम शाखाओं में रुचि रखते हैं: एक परवलय की शाखाएं ऊपर (एक> 0) या नीचे (ए के लिए) जा सकती हैं

समस्या कथन में कोई खंड नहीं है। इसलिए, f (a) और f (b) की गणना करने की कोई आवश्यकता नहीं है। यह केवल चरम बिंदुओं पर विचार करने के लिए बनी हुई है; लेकिन केवल एक ही ऐसा बिंदु है, यह परवलय x 0 का शीर्ष है, जिसके निर्देशांक की गणना मौखिक रूप से और बिना किसी व्युत्पन्न के की जाती है।

इस प्रकार, समस्या का समाधान बहुत सरल है और केवल दो चरणों में आता है: परवलय के समीकरण को लिखें और सूत्र द्वारा इसके शीर्ष का पता लगाएं: इस बिंदु पर मूल फ़ंक्शन का मान ज्ञात करें: f (x 0)। यदि कोई अतिरिक्त शर्तें नहीं हैं, तो यह उत्तर होगा।

0. परवलय का शीर्ष: x 0 = b / (2a) = 6 / (2 1) = 6/2 = 3 "शीर्षक =" (! LANG: फ़ंक्शन का सबसे छोटा मान ज्ञात करें: समाधान: एक है जड़ के नीचे द्विघात कार्य। गुणांक a = 1> 0 के बाद से शाखाओं के साथ इस फ़ंक्शन परवलय का ग्राफ। परवलय का शीर्ष: x 0 = b / (2a) = 6 / (2 · 1) = 6/2 = 3" class="link_thumb"> 18 !}फलन का सबसे छोटा मान ज्ञात कीजिए: हल: मूल के नीचे एक द्विघात फलन है। इस फलन का ग्राफ एक परवलय है जिसकी शाखाएँ ऊपर हैं, क्योंकि गुणांक a = 1> 0 है। परवलय का शीर्ष: x 0 = b / ( 2ए) = 6 / (2 1) = 6/2 = 3 0. परवलय का शीर्ष: x 0 = b / (2a) = 6 / (2 1) = 6/2 = 3 "> 0. परवलय का शीर्ष: x 0 = b / (2a) = 6 / (2 1) = 6/2 = 3 "> 0। परवलय का शीर्ष: x 0 = बी / (2ए) = 6 / (2 · 1) = 6/2 = 3" शीर्षक = "(! लैंग: खोजें फ़ंक्शन का सबसे छोटा मान: समाधान: द्विघात फ़ंक्शन रूट के नीचे है। इस फ़ंक्शन का ग्राफ़ एक परवलय है जिसकी शाखाएँ ऊपर हैं, क्योंकि गुणांक a = 1> 0. परवलय का शीर्ष: x 0 = b / ( 2ए) = 6 / (2 · 1) = 6/2 = 3"> title="फलन का सबसे छोटा मान ज्ञात कीजिए: हल: मूल के नीचे एक द्विघात फलन है। इस फलन का ग्राफ एक परवलय है जिसकी शाखाएँ ऊपर हैं, क्योंकि गुणांक a = 1> 0 है। परवलय का शीर्ष: x 0 = b / ( 2ए) = 6 / (2 1) = 6/2 = 3"> !}

फलन का सबसे छोटा मान ज्ञात कीजिए: हल लघुगणक के अंतर्गत द्विघात फलन पुन: होता है। a = 1> 0. परवलय का शीर्ष: x 0 = b / (2a) = 2 / (2 1) = 2/2 = 1 0. परवलय का शीर्ष: x 0 = b / (2a) = 2 / (2 1) = 2/2 = 1 "> 0. परवलय का शीर्ष: x 0 = b / (2a) = 2 / (2 1) = 2/2 = 1 "> 0. परवलय का शीर्ष: x 0 = b / (2a) = 2 / (2 1) = 2/2 = 1" शीर्षक = "(! LANG: खोजें फ़ंक्शन का सबसे छोटा मान: लॉगरिदम के तहत समाधान फिर से एक द्विघात फ़ंक्शन है। परवलय को शाखाओं के साथ ग्राफ़ करें, क्योंकि a = 1> 0. परवलय का शीर्ष: x 0 = b / (2a) = 2 / (2 1 ) = 2/2 = 1"> title="फलन का सबसे छोटा मान ज्ञात कीजिए: हल लघुगणक के अंतर्गत द्विघात फलन पुन: होता है। a = 1> 0. परवलय का शीर्ष: x 0 = b / (2a) = 2 / (2 1) = 2/2 = 1"> !}

फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मान ज्ञात करें: समाधान: घातांक में एक द्विघात फ़ंक्शन होता है आइए इसे इसके सामान्य रूप में फिर से लिखें: जाहिर है, इस फ़ंक्शन का ग्राफ़ एक परवलय है, नीचे की ओर शाखाएं (a = 1

किसी फलन के क्षेत्र से परिणाम कभी-कभी, समस्या B14 को हल करने के लिए, केवल परवलय का शीर्ष ज्ञात करना ही पर्याप्त नहीं होता है। वांछित मूल्य खंड के अंत में हो सकता है, और चरम बिंदु पर बिल्कुल नहीं। यदि समस्या एक खंड को बिल्कुल भी निर्दिष्ट नहीं करती है, तो हम मूल फ़ंक्शन के स्वीकार्य मानों की सीमा को देखते हैं। अर्थात्:

0 2. अंकगणितीय वर्गमूल केवल गैर-ऋणात्मक संख्याओं का मौजूद होता है: 3. भिन्न का हर शून्य नहीं होना चाहिए: "शीर्षक =" (! LANG: 1. लघुगणक तर्क सकारात्मक होना चाहिए: y = log af (x) ) f (x)> 0 2. अंकगणितीय वर्गमूल केवल गैर-ऋणात्मक संख्याओं का होता है: 3. भिन्न का हर शून्य नहीं होना चाहिए:" class="link_thumb"> 26 !} 1. लघुगणक का तर्क सकारात्मक होना चाहिए: y = log a f (x) f (x)> 0 2. अंकगणितीय वर्गमूल केवल गैर-ऋणात्मक संख्याओं का मौजूद होता है: 3. भिन्न का हर शून्य नहीं होना चाहिए: 0 2. अंकगणितीय वर्गमूल केवल गैर-ऋणात्मक संख्याओं से मौजूद होता है: 3. एक भिन्न का हर शून्य नहीं होना चाहिए: "> 0 2. अंकगणितीय वर्गमूल केवल गैर-ऋणात्मक संख्याओं से मौजूद है: 3. एक का हर भिन्न शून्य के बराबर नहीं होना चाहिए:"> 0 2. अंकगणित वर्गमूल केवल गैर-ऋणात्मक संख्याओं का मौजूद है: 3. भिन्न का हर शून्य नहीं होना चाहिए: "शीर्षक =" (! LANG: 1. लघुगणक का तर्क होना चाहिए सकारात्मक रहें: y = log af (x) f (x)> 0 2. अंकगणित वर्ग मूल केवल गैर-ऋणात्मक संख्याओं का होता है: 3. भिन्न का हर शून्य नहीं होना चाहिए:"> title="1. लघुगणक का तर्क सकारात्मक होना चाहिए: y = log a f (x) f (x)> 0 2. अंकगणितीय वर्गमूल केवल गैर-ऋणात्मक संख्याओं का मौजूद होता है: 3. भिन्न का हर शून्य नहीं होना चाहिए:"> !}

हल मूल के नीचे फिर से एक द्विघात फलन है। इसका ग्राफ परवलय है, लेकिन शाखाएं नीचे की ओर निर्देशित हैं, क्योंकि a = 1
अब हम परवलय का शीर्ष ज्ञात करते हैं: x 0 = b / (2a) = (2) / (2 .) अब हम बिंदु x 0 के साथ-साथ ODZ के सिरों पर फ़ंक्शन के मान की गणना करते हैं: y (3) = y (1) = 0 तो, हमें संख्याएँ 2 और 0 मिलीं। हमें खोजने के लिए कहा जाता है सबसे बड़ी संख्या 2. उत्तर: 2

कृपया ध्यान दें: असमानता सख्त है, इसलिए छोर ODZ से संबंधित नहीं हैं। इस प्रकार लघुगणक जड़ से भिन्न होता है, जहां खंड के सिरे हमारे लिए काफी उपयुक्त होते हैं। हम परवलय के शीर्ष की तलाश कर रहे हैं: x 0 = b / (2a) = 6 / (2 .) लेकिन चूंकि हम खंड के सिरों में रुचि नहीं रखते हैं, हम केवल बिंदु x 0 पर फ़ंक्शन के मान पर विचार करते हैं:

वाई मिनट = वाई (3) = लॉग 0.5 (6) = = लॉग 0.5 (18 9 5) = लॉग 0.5 4 = 2 उत्तर: -2

कभी-कभी समस्याएं B15 "खराब" कार्यों में आती हैं जिनके लिए व्युत्पन्न खोजना मुश्किल होता है। पहले, यह केवल जांच पर था, लेकिन अब ये कार्य इतने सामान्य हैं कि वास्तविक परीक्षा की तैयारी में अब इन्हें नजरअंदाज नहीं किया जा सकता है।

ऐसे में अन्य तरकीबें काम आती हैं, जिनमें से एक है - एक लय.

एक फलन f (x) को एक खंड पर एकरसता से बढ़ते हुए कहा जाता है यदि इस खंड के किसी भी बिंदु x 1 और x 2 के लिए निम्नलिखित सत्य है:

एक्स 1< x 2 ⇒ f (एक्स 1) < f (एक्स 2).

एक फलन f (x) को एक खंड पर एकरस रूप से घटते हुए कहा जाता है यदि इस खंड के किसी भी बिंदु x 1 और x 2 के लिए निम्नलिखित सत्य है:

एक्स 1< x 2 ⇒ f (एक्स 1)> एफ ( एक्स 2).

दूसरे शब्दों में, बढ़ते फलन के लिए, x जितना बड़ा होगा, f (x) उतना ही बड़ा होगा। घटते फलन के लिए, विपरीत सत्य है: बड़ा x, the कमएफ (एक्स)।

उदाहरण के लिए, यदि आधार a> 1 है, तो लघुगणक नीरस रूप से बढ़ता है, और यदि 0 . हो तो नीरस रूप से घटता है< a < 1. Не забывайте про область допустимых значений логарифма: x > 0.

f (x) = लॉग a x (a> 0; a 1; x> 0)

परिभाषा के पूरे क्षेत्र में अंकगणितीय वर्ग (और न केवल वर्ग) की जड़ एकरस रूप से बढ़ती है:

घातांकीय फलन लघुगणक के समान व्यवहार करता है: यह a> 1 के लिए बढ़ता है और 0 . के लिए घटता है< a < 1. Но в отличие от логарифма, показательная функция определена для всех чисел, а не только для x > 0:

एफ (एक्स) = एक एक्स (ए> 0)

अंत में, एक नकारात्मक घातांक के साथ डिग्री। आप इन्हें भिन्न के रूप में लिख सकते हैं। एक असंततता बिंदु है जिस पर एकरसता टूट जाती है।

ये सभी कार्य अपने शुद्ध रूप में कभी नहीं पाए जाते हैं। वे बहुपद, भिन्न और अन्य बकवास जोड़ते हैं, जिसके कारण व्युत्पन्न की गणना करना मुश्किल हो जाता है। इस मामले में क्या होता है - अब हम विश्लेषण करेंगे।

परवलय शीर्ष निर्देशांक

अक्सर, फ़ंक्शन तर्क को इसके साथ बदल दिया जाता है वर्ग त्रिपद y = ax 2 + bx + c के रूप का। उनका ग्राफ एक मानक परवलय है जिसमें हम रुचि रखते हैं:

1. परवलय शाखाएँ - ऊपर जा सकती हैं (a> 0) या नीचे (a . के लिए)< 0). Задают направление, в котором функция может принимать бесконечные значения;
2. एक परवलय का शीर्ष एक द्विघात फलन का चरम बिंदु होता है जिस पर यह फलन अपना सबसे छोटा (a> 0) या सबसे बड़ा (a) लेता है।< 0) значение.

सबसे बड़ी दिलचस्पी ठीक है एक परवलय का शीर्ष, जिसका भुज सूत्र द्वारा परिकलित किया जाता है:

तो, हमने द्विघात फलन का चरम बिंदु पाया है। लेकिन यदि मूल फलन मोनोटोनिक है, तो इसके लिए बिंदु x 0 भी एक चरम बिंदु होगा। इस प्रकार, हम मुख्य नियम तैयार करेंगे:

द्विघात ट्रिनोमियल के चरम बिंदु और इसके जटिल कार्य संयोग में प्रवेश करते हैं। इसलिए, आप वर्ग ट्रिनोमियल के लिए x 0 खोज सकते हैं, और फ़ंक्शन पर स्कोर कर सकते हैं।

उपरोक्त तर्क से, यह स्पष्ट नहीं है कि हमें कौन सा बिंदु मिलता है: अधिकतम या न्यूनतम। हालाँकि, कार्यों को विशेष रूप से डिज़ाइन किया गया है ताकि इससे कोई फर्क न पड़े। अपने लिए न्यायाधीश:

1. समस्या कथन में कोई खंड नहीं है। इसलिए, f (a) और f (b) की गणना करने की कोई आवश्यकता नहीं है। यह केवल चरम बिंदुओं पर विचार करने के लिए बनी हुई है;
2. लेकिन ऐसा केवल एक ही बिंदु है - यह परवलय x 0 का शीर्ष है, जिसके निर्देशांक की गणना मौखिक रूप से और बिना किसी व्युत्पन्न के की जाती है।

इस प्रकार, समस्या का समाधान बहुत सरल है और केवल दो चरणों में आता है:

1. परवलय y = ax 2 + bx + c का समीकरण लिखिए और सूत्र द्वारा उसका शीर्ष ज्ञात कीजिए: x 0 = −b / 2a;
2. इस बिंदु पर मूल फलन का मान ज्ञात कीजिए: f (x 0)। यदि कोई अतिरिक्त शर्तें नहीं हैं, तो यह उत्तर होगा।

पहली नज़र में, यह एल्गोरिथम और इसका औचित्य कठिन लग सकता है। मैं जानबूझकर "नंगे" समाधान योजना नहीं तैयार करता, क्योंकि ऐसे नियमों का विचारहीन अनुप्रयोग त्रुटियों से भरा है।

गणित में परीक्षण परीक्षा से वास्तविक समस्याओं पर विचार करें - यह वह जगह है जहाँ यह तकनीक सबसे अधिक बार सामने आती है। साथ ही हम यह सुनिश्चित करेंगे कि इस तरह से कई B15 समस्याएं लगभग मौखिक हो जाएं।

मूल के नीचे द्विघात फलन y = x 2 + 6x + 13 है। इस फलन का ग्राफ शाखाओं के साथ एक परवलय है, क्योंकि गुणांक a = 1> 0 है।

परवलय का शीर्ष:

x 0 = −b / (2a) = −6 / (2 1) = −6/2 = −3

चूँकि परवलय की शाखाएँ ऊपर की ओर निर्देशित होती हैं, बिंदु x 0 = -3 पर फलन y = x 2 + 6x + 13 सबसे छोटा मान लेता है।

जड़ नीरस रूप से बढ़ता है, इसलिए x 0 पूरे फ़ंक्शन का न्यूनतम बिंदु है। हमारे पास है:

कार्य। फ़ंक्शन का सबसे छोटा मान ज्ञात करें:

y = लघुगणक 2 (x 2 + 2x + 9)

लघुगणक के तहत, फिर से एक द्विघात फलन होता है: y = x 2 + 2x + 9. ग्राफ एक परवलय है जिसकी शाखाएं ऊपर की ओर होती हैं, क्योंकि ए = 1> 0।

परवलय का शीर्ष:

x 0 = −b / (2a) = −2 / (2 1) = −2/2 = −1

तो, बिंदु x 0 = -1 पर, द्विघात फलन सबसे छोटा मान लेता है। लेकिन फलन y = log 2 x मोनोटोनिक है, इसलिए:

y मिनट = y (−1) = लघुगणक 2 ((−1) 2 + 2 (−1) + 9) = ... = लघुगणक 2 8 = 3

घातांक में द्विघात फलन y = 1 - 4x - x 2 होता है। आइए इसे इसके सामान्य रूप में फिर से लिखें: y = −x 2 - 4x + 1।

जाहिर है, इस फ़ंक्शन का ग्राफ एक परवलय है, नीचे की ओर शाखाएं (a = -1 .)< 0). Поэтому вершина будет точкой максимума:

x 0 = −b / (2a) = - (- 4) / (2 (−1)) = 4 / (- 2) = -2

मूल फलन घातांक है, यह मोनोटोनिक है, इसलिए सबसे बड़ा मान पाए गए बिंदु x 0 = −2 पर होगा:

चौकस पाठक शायद ध्यान देगा कि हमने रूट और लॉगरिदम के स्वीकार्य मूल्यों की सीमा नहीं लिखी है। लेकिन इसकी आवश्यकता नहीं थी: अंदर ऐसे कार्य होते हैं जिनके मूल्य हमेशा सकारात्मक होते हैं।

किसी फ़ंक्शन के डोमेन से परिणाम

कभी-कभी परवलय का शीर्ष ज्ञात करना समस्या B15 को हल करने के लिए पर्याप्त नहीं होता है। वांछित मूल्य झूठ हो सकता है खंड के अंत में, लेकिन चरम बिंदु पर नहीं। यदि समस्या में कोई खंड निर्दिष्ट नहीं है, तो हम देखते हैं मान्य मानों की सीमामूल समारोह। अर्थात्:

फिर से ध्यान दें: शून्य मूल के नीचे हो सकता है, लेकिन किसी भिन्न के लघुगणक या हर में कभी नहीं। आइए देखें कि यह विशिष्ट उदाहरणों के साथ कैसे काम करता है:

कार्य। फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मान ज्ञात करें:

मूल के नीचे फिर से एक द्विघात फलन है: y = 3 - 2x - x 2। इसका ग्राफ एक परवलय है, लेकिन शाखाएं नीचे की ओर हैं, क्योंकि a = −1< 0. Значит, парабола уходит на минус бесконечность, что недопустимо, поскольку арифметический квадратный корень из отрицательного числа не существует.

हम अनुमेय मूल्यों (ODZ) की सीमा लिखते हैं:

3 - 2x - x 2 ≥ 0 ⇒ x 2 + 2x - 3 ≤ 0 (x + 3) (x - 1) ≤ 0 ⇒ x ∈ [−3; एक]

आइए अब परवलय का शीर्ष ज्ञात करें:

x 0 = −b / (2a) = - (- 2) / (2 (−1)) = 2 / (- 2) = -1

बिंदु x 0 = −1 ODZ खंड से संबंधित है - और यह अच्छा है। अब हम बिंदु x 0 पर और साथ ही ODZ के सिरों पर फ़ंक्शन के मान की गणना करते हैं:

y (−3) = y (1) = 0

तो, हमें संख्या 2 और 0 मिली। हमें सबसे बड़ा खोजने के लिए कहा जाता है - यह संख्या 2 है।

कार्य। फ़ंक्शन का सबसे छोटा मान ज्ञात करें:

y = लॉग 0.5 (6x - x 2 - 5)

लघुगणक के अंदर एक द्विघात फलन y = 6x - x 2 - 5 है। यह नीचे की शाखाओं वाला एक परवलय है, लेकिन लघुगणक में कोई ऋणात्मक संख्या नहीं हो सकती है, इसलिए हम ODZ लिखते हैं:

6x - x 2 - 5> 0 ⇒ x 2 - 6x + 5< 0 ⇒ (x − 1)(x − 5) < 0 ⇒ x ∈ (1; 5)

कृपया ध्यान दें: असमानता सख्त है, इसलिए छोर ODZ से संबंधित नहीं हैं। इस प्रकार लघुगणक जड़ से भिन्न होता है, जहां खंड के सिरे हमारे लिए काफी उपयुक्त होते हैं।

हम परवलय के शीर्ष की तलाश कर रहे हैं:

x 0 = −b / (2a) = −6 / (2 (−1)) = −6 / (- 2) = 3

परवलय का शीर्ष ODV के लिए उपयुक्त है: x 0 = 3 (1; 5)। लेकिन चूंकि हम खंड के सिरों में रुचि नहीं रखते हैं, हम केवल बिंदु x 0 पर फ़ंक्शन के मान पर विचार करते हैं:

y मिनट = y (3) = लघुगणक 0.5 (6 3 - 3 2 - 5) = लघुगणक 0.5 (18 - 9 - 5) = लघुगणक 0.5 4 = -2

प्रिय मित्रों! व्युत्पन्न से संबंधित कार्यों के समूह में कार्य शामिल हैं - स्थिति फ़ंक्शन का एक ग्राफ देती है, इस ग्राफ पर कई बिंदु और प्रश्न है:

व्युत्पन्न का मान किस बिंदु पर सबसे बड़ा (सबसे छोटा) होता है?

संक्षेप में संक्षेप में:

बिंदु पर व्युत्पन्न स्पर्शरेखा के ढलान के बराबर हैग्राफ पर यह बिंदु।

पास होनास्पर्शरेखा का वैश्विक गुणांक, बदले में, इस स्पर्शरेखा के झुकाव कोण के स्पर्शरेखा के बराबर होता है।

* यह स्पर्शरेखा और भुज के बीच के कोण को दर्शाता है।

1. फलन को बढ़ाने के अंतराल पर, अवकलज का एक धनात्मक मान होता है।

2. इसके घटने के अंतराल पर, व्युत्पन्न का ऋणात्मक मान होता है।

निम्नलिखित स्केच पर विचार करें:

1,2,4 बिंदुओं पर, फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का ऋणात्मक मान होता है, क्योंकि ये बिंदु घटते अंतराल से संबंधित होते हैं।

3,5,6 बिंदुओं पर, फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का सकारात्मक मान होता है, क्योंकि ये बिंदु बढ़ते अंतराल से संबंधित होते हैं।

जैसा कि आप देख सकते हैं, व्युत्पन्न के मूल्य के साथ सब कुछ स्पष्ट है, अर्थात, यह निर्धारित करना मुश्किल नहीं है कि ग्राफ़ पर एक निश्चित बिंदु पर इसका क्या चिह्न (सकारात्मक या नकारात्मक) है।

इसके अलावा, यदि हम मानसिक रूप से इन बिंदुओं पर स्पर्शरेखा बनाते हैं, तो हम देखेंगे कि बिंदु 3, 5 और 6 से गुजरने वाली सीधी रेखाएं oX अक्ष के साथ कोण बनाती हैं जो 0 से 90 o की सीमा में होती हैं, और सीधी रेखाएं बिंदु 1 से होकर गुजरती हैं। , 2 और 4 अक्ष कोणों के साथ 90 о से 180 о की सीमा में बनते हैं।

* संबंध स्पष्ट है: बढ़ते फलन के अंतराल से संबंधित बिंदुओं से गुजरने वाली स्पर्श रेखाएं oX अक्ष के साथ न्यून कोण बनाती हैं, घटते फलन के अंतराल से संबंधित बिंदुओं से गुजरने वाली स्पर्शरेखा oX अक्ष के साथ अधिक कोण बनाती हैं।

अब एक महत्वपूर्ण प्रश्न के लिए!

व्युत्पन्न का मूल्य कैसे बदलता है? आखिरकार, एक सतत फ़ंक्शन के ग्राफ के विभिन्न बिंदुओं पर स्पर्शरेखा अलग-अलग कोण बनाती है, यह इस बात पर निर्भर करता है कि यह किस बिंदु से होकर गुजरता है।

* या, सरल शब्दों में, स्पर्शरेखा "क्षैतिज" या "ऊर्ध्वाधर" के रूप में स्थित है। नज़र रखना:

सीधी रेखाएँ 0 से 90 о . की सीमा में ОХ अक्ष के साथ कोण बनाती हैं

सीधी रेखाएँ 90 о से 180 о . की सीमा में अक्ष के साथ कोण बनाती हैं

इसलिए, यदि प्रश्न हैं:

- ग्राफ पर इनमें से किस बिंदु पर अवकलज का मान सबसे कम है?

- ग्राफ पर इनमें से किस बिंदु पर व्युत्पन्न का मूल्य सबसे महत्वपूर्ण है?

तो उत्तर के लिए यह समझना आवश्यक है कि स्पर्शरेखा कोण के स्पर्शरेखा का मान 0 से 180 о की सीमा में कैसे बदलता है।

* जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, किसी बिंदु पर फलन के अवकलज का मान oX अक्ष पर स्पर्शरेखा के झुकाव के कोण के स्पर्शरेखा के बराबर होता है।

स्पर्शरेखा मान निम्नानुसार बदलता है:

जब सीधी रेखा का झुकाव कोण 0 o से 90 o में बदल जाता है, तो स्पर्शरेखा का मान, और इसलिए व्युत्पन्न, क्रमशः 0 से + में बदल जाता है;

जब सीधी रेखा के झुकाव का कोण 90 ° से 180 ° तक बदलता है, तो स्पर्शरेखा का मान, और इसलिए व्युत्पन्न, तदनुसार -∞ से 0 में बदल जाता है।

इसे स्पर्शरेखा फलन के ग्राफ से स्पष्ट रूप से देखा जा सकता है:

आसान शब्दों में:

स्पर्शरेखा के झुकाव के कोण पर 0 o से 90 o . तक

यह 0 о के जितना करीब होगा, व्युत्पन्न का मूल्य उतना ही अधिक शून्य (सकारात्मक पक्ष पर) के करीब होगा।

कोण 90 ° के जितना करीब होगा, व्युत्पन्न का मान उतना ही + की ओर बढ़ेगा।

स्पर्शरेखा के झुकाव के कोण पर 90 o से 180 o . तक

यह 90 ° के जितना करीब होगा, व्युत्पन्न का मूल्य उतना ही कम होकर -∞ हो जाएगा।

कोण 180 ° के जितना करीब होगा, व्युत्पन्न का मान उतना ही अधिक शून्य (नकारात्मक पक्ष पर) के करीब होगा।

317543. यह आंकड़ा फंक्शन y = . का ग्राफ दिखाता है एफ(एक्स) और चिह्नित अंक-2, -1, 1, 2. इनमें से किस बिंदु पर व्युत्पन्न का मूल्य सबसे बड़ा है? इस बिंदु को अपने उत्तर में इंगित करें।

हमारे पास चार बिंदु हैं: उनमें से दो उस अंतराल से संबंधित हैं जिस पर फलन घटता है (ये बिंदु -1 और 1 हैं) और दो अंतराल जिस पर फलन बढ़ता है (ये बिंदु -2 और 2 हैं)।

हम तुरंत यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि बिंदु -1 और 1 पर व्युत्पन्न का ऋणात्मक मान होता है, बिंदु -2 और 2 पर इसका धनात्मक मान होता है। इसलिए, इस मामले में, बिंदु -2 और 2 का विश्लेषण करना और यह निर्धारित करना आवश्यक है कि उनमें से कौन सा मूल्य सबसे बड़ा होगा। आइए संकेतित बिंदुओं से गुजरने वाली स्पर्शरेखाओं का निर्माण करें:

सीधी रेखा a और भुज अक्ष के बीच के कोण की स्पर्श रेखा सीधी रेखा b और इस अक्ष के बीच के कोण की स्पर्श रेखा से अधिक होगी। इसका अर्थ है कि बिंदु -2 पर अवकलज का मान सबसे बड़ा होगा।

आइए हम निम्नलिखित प्रश्न का उत्तर दें: -2, -1, 1, या 2 में से किस बिंदु पर व्युत्पन्न का मान सबसे बड़ा ऋणात्मक है? इस बिंदु को अपने उत्तर में इंगित करें।

अवकलज का घटते हुए अंतरालों से संबंधित बिंदुओं पर ऋणात्मक मान होगा, इसलिए, बिंदु -2 और 1 पर विचार करें। उनसे गुजरने वाली स्पर्श रेखाओं की रचना कीजिए:

हम देखते हैं कि सीधी रेखा b और oX अक्ष के बीच का अधिक कोण 180 . के "करीब" हैहे इसलिए, इसकी स्पर्शरेखा सीधी रेखा a और oX अक्ष से बनने वाले कोण की स्पर्श रेखा से बड़ी होगी।

इस प्रकार, बिंदु x = 1 पर अवकलज का मान सबसे बड़ा ऋणात्मक होगा।

317544. यह आंकड़ा फंक्शन y = . का ग्राफ दिखाता है एफ(एक्स) और चिह्नित अंक-2, -1, 1, 4. इनमें से किस बिंदु पर व्युत्पन्न का मान सबसे छोटा है? इस बिंदु को अपने उत्तर में इंगित करें।

हमारे पास चार बिंदु हैं: उनमें से दो उस अंतराल से संबंधित हैं जिस पर फलन घटता है (ये बिंदु -1 और 4 हैं) और दो अंतराल जिस पर फलन बढ़ता है (ये बिंदु -2 और 1 हैं)।

हम तुरंत यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि बिंदु -1 और 4 पर व्युत्पन्न का ऋणात्मक मान होता है, बिंदु -2 और 1 पर इसका धनात्मक मान होता है। इसलिए, इस मामले में, बिंदु -1 और 4 का विश्लेषण करना और यह निर्धारित करना आवश्यक है कि उनमें से कौन सा मान सबसे छोटा होगा। आइए संकेतित बिंदुओं से गुजरने वाली स्पर्शरेखाओं का निर्माण करें:

सीधी रेखा a और भुज अक्ष के बीच के कोण की स्पर्श रेखा सीधी रेखा b और इस अक्ष के बीच के कोण की स्पर्श रेखा से अधिक होगी। इसका अर्थ है कि बिंदु x = 4 पर अवकलज का मान सबसे छोटा होगा।

उत्तर - 4

मुझे आशा है कि मैंने आपको लेखन की मात्रा से "अभिभूत" नहीं किया है। वास्तव में, सब कुछ बहुत सरल है, आपको बस व्युत्पन्न के गुणों को समझने की जरूरत है, इसका ज्यामितीय अर्थ और कोण के स्पर्शरेखा का मान 0 से 180 о तक कैसे बदलता है।

1. सबसे पहले, दिए गए बिंदुओं (+ या -) पर व्युत्पन्न के संकेत निर्धारित करें और आवश्यक बिंदुओं का चयन करें (प्रश्न के आधार पर)।

2. इन बिन्दुओं पर स्पर्श रेखाएँ खींचिए।

3. टेंजेसिड ग्राफ का उपयोग करके, कोणों को स्केच करें और प्रदर्शित करेंसिकंदर।

पुनश्च: यदि आप हमें सोशल नेटवर्क पर साइट के बारे में बता सकते हैं तो मैं आभारी रहूंगा।