Šaknų išgavimas: metodai, pavyzdžiai, sprendimai. Kaip rasti kvadratinę šaknį? Savybės, šaknų ištraukimo pavyzdžiai

Atėjo laikas tai sutvarkyti šaknų ištraukimo metodai. Jie pagrįsti šaknų savybėmis, visų pirma lygybe, kuri galioja bet kuriai neigiamas skaičius b.

Žemiau apžvelgsime pagrindinius šaknų išgavimo būdus po vieną.

Pradėkime nuo paprasčiausio atvejo – šaknų ištraukimas iš natūraliųjų skaičių naudojant kvadratų lentelę, kubelių lentelę ir kt.

Jei lentelės iš kvadratų, kubelių ir kt. Jei jo neturite po ranka, logiška naudoti šaknies ištraukimo metodą, kuris apima radikalaus skaičiaus skaidymą į pirminius veiksnius.

Atskirai verta paminėti, kas įmanoma šaknims su nelyginiais rodikliais.

Galiausiai apsvarstykime metodą, leidžiantį nuosekliai rasti šaknies reikšmės skaitmenis.

Pradėkime.

Naudojant kvadratų lentelę, kubelių lentelę ir kt.

Daugumoje paprasti atvejai kvadratų, kubelių ir tt lentelės leidžia išgauti šaknis. Kas yra šios lentelės?

Sveikųjų skaičių nuo 0 iki 99 imtinai kvadratų lentelė (parodyta toliau) susideda iš dviejų zonų. Pirmoji lentelės zona yra pilkame fone, pasirinkus konkrečią eilutę ir stulpelį, galima sudaryti skaičių nuo 0 iki 99. Pavyzdžiui, pasirinkime 8 dešimčių eilutę ir 3 vienetų stulpelį, taip pataisydami skaičių 83. Antroji zona užima likusią stalo dalį. Kiekvienas langelis yra tam tikros eilutės ir tam tikro stulpelio sankirtoje ir yra atitinkamo skaičiaus kvadratas nuo 0 iki 99. Mūsų pasirinktos 8 dešimčių eilutės ir 3 vienetų stulpelio sankirtoje yra langelis su skaičiumi 6889, kuris yra skaičiaus 83 kvadratas.

Kubų lentelės, skaičių nuo 0 iki 99 ketvirtųjų laipsnių lentelės ir pan., panašios į kvadratų lentelę, tik jose antroje zonoje yra kubelių, ketvirtųjų laipsnių ir pan. atitinkamus skaičius.

Kvadratų, kubelių, ketvirtųjų laipsnių lentelės ir kt. leidžia išgauti kvadratines šaknis, kubines šaknis, ketvirtąsias šaknis ir kt. atitinkamai iš šiose lentelėse pateiktų skaičių. Paaiškinkime jų naudojimo principą išgaunant šaknis.

Tarkime, kad reikia išgauti n-ąją skaičiaus a šaknį, o skaičius a yra n-ųjų laipsnių lentelėje. Naudodami šią lentelę randame skaičių b, kad a=b n. Tada , todėl skaičius b bus norima n-ojo laipsnio šaknis.

Kaip pavyzdį parodykime, kaip naudoti kubo lentelę, norint išgauti 19 683 kubo šaknį. Kubų lentelėje randame skaičių 19 683, iš jo randame, kad šis skaičius yra skaičiaus 27 kubas, todėl .

Aišku, kad n-ųjų laipsnių lentelės labai patogios šaknims išgauti. Tačiau jų dažnai nėra po ranka, o jų sudarymas reikalauja šiek tiek laiko. Be to, dažnai reikia išgauti šaknis iš skaičių, kurių nėra atitinkamose lentelėse. Tokiais atvejais turite naudoti kitus šaknų ištraukimo būdus.

Radikalaus skaičiaus faktorinavimas į pirminius veiksnius

Užteks patogiu būdu, leidžiantis išskirti šaknį iš natūraliojo skaičiaus (jei, žinoma, šaknis išskirta), yra radikalinio skaičiaus išskaidymas į pirminius veiksnius. Jo esmė tokia: po to gana paprasta jį pavaizduoti kaip laipsnį su norimu laipsniu, kuris leidžia gauti šaknies reikšmę. Paaiškinkime šį dalyką.

Tegu paimama n-oji natūraliojo skaičiaus a šaknis ir jos reikšmė lygi b. Šiuo atveju lygybė a=b n yra teisinga. Skaičius b, kaip ir bet kuris natūralusis skaičius, gali būti pavaizduotas kaip visų jo pirminių faktorių p 1 , p 2 , …, p m sandauga forma p 1 ·p 2 ·…·p m , o radikalinis skaičius a šiuo atveju vaizduojamas kaip (p 1 · p 2 ·… · p m) n . Kadangi skaičiaus išskaidymas į pirminius veiksnius yra unikalus, radikalinio skaičiaus a išskaidymas į pirminius veiksnius turės formą (p 1 ·p 2 ·…·p m) n, todėl bus galima apskaičiuoti šaknies reikšmę. kaip .

Atkreipkite dėmesį, kad jei radikalinio skaičiaus a išskaidymas į pirminius veiksnius negali būti pavaizduotas forma (p 1 ·p 2 ·…·p m) n, tada tokio skaičiaus a n-oji šaknis nėra visiškai išskirta.

Išsiaiškinkime tai spręsdami pavyzdžius.

Pavyzdys.

Paimkite kvadratinę šaknį iš 144.

Sprendimas.

Jei pažvelgsite į ankstesnėje pastraipoje pateiktą kvadratų lentelę, aiškiai pamatysite, kad 144 = 12 2, iš kurios aišku, kad 144 kvadratinė šaknis yra lygi 12.

Tačiau atsižvelgiant į tai, mus domina, kaip šaknis išgaunama išskaidžius radikalųjį skaičių 144 į pirminius veiksnius. Pažvelkime į šį sprendimą.

Išskaidykime 144 prie pagrindinių veiksnių:

Tai yra, 144=2·2·2·2·3·3. Remiantis gautu skaidymu, gali būti atliekamos šios transformacijos: 144 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 = (2 · 2) 2 · 3 2 = (2 · 2 · 3) 2 = 12 2. Vadinasi, .

Naudojant laipsnio savybes ir šaknų savybes, tirpalą būtų galima suformuluoti kiek kitaip: .

Atsakymas:

Norėdami konsoliduoti medžiagą, apsvarstykite dar dviejų pavyzdžių sprendimus.

Pavyzdys.

Apskaičiuokite šaknies vertę.

Sprendimas.

Radikalio skaičiaus 243 pirminis faktorius turi formą 243=3 5 . Taigi, .

Atsakymas:

Pavyzdys.

Ar šaknies reikšmė yra sveikasis skaičius?

Sprendimas.

Norėdami atsakyti į šį klausimą, suskirstykime radikalųjį skaičių į pirminius veiksnius ir pažiūrėkime, ar jį galima pavaizduoti kaip sveikojo skaičiaus kubą.

Turime 285 768 = 2 3 · 3 6 · 7 2. Gauta plėtra negali būti pavaizduota kaip sveikojo skaičiaus kubas, nes pirminio koeficiento 7 laipsnis nėra trijų kartotinis. Todėl negalima visiškai išgauti 285 768 kubo šaknies.

Atsakymas:

Nr.

Šaknų ištraukimas iš trupmeninių skaičių

Atėjo laikas išsiaiškinti, kaip išgauti šaknį trupmeninis skaičius. Tegul trupmeninis radikalinis skaičius užrašomas kaip p/q. Pagal koeficiento šaknies savybę teisinga tokia lygybė. Iš šios lygybės išplaukia trupmenos šaknies ištraukimo taisyklė: trupmenos šaknis yra lygi skaitiklio šaknies daliniui, padalytam iš vardiklio šaknies.

Pažvelkime į šaknies ištraukimo iš trupmenos pavyzdį.

Pavyzdys.

Kas yra kvadratinė šaknis bendroji trupmena 25/169 .

Sprendimas.

Naudodamiesi kvadratų lentele, nustatome, kad pradinės trupmenos skaitiklio kvadratinė šaknis yra lygi 5, o vardiklio kvadratinė šaknis lygi 13. Tada . Tai užbaigia paprastosios frakcijos 25/169 šaknies išgavimą.

Atsakymas:

Dešimtainės trupmenos arba mišraus skaičiaus šaknis išgaunama radikalius skaičius pakeitus paprastosiomis trupmenomis.

Pavyzdys.

Paimkite dešimtainės trupmenos 474.552 kubinę šaknį.

Sprendimas.

Įsivaizduokime originalą dešimtainis kaip bendroji trupmena: 474,552=474552/1000. Tada . Belieka išskirti kubo šaknis, kurios yra gautos trupmenos skaitiklyje ir vardiklyje. Nes 474 552=2·2·2·3·3·3·13·13·13=(2 3 13) 3 = 78 3 ir 1 000 = 10 3, tada Ir . Belieka tik užbaigti skaičiavimus .

Atsakymas:

.

Neigiamojo skaičiaus šaknies paėmimas

Verta pasilikti ties šaknų ištraukimu iš neigiamų skaičių. Tirdami šaknis sakėme, kad kai šaknies rodiklis yra nelyginis skaičius, tada po šaknies ženklu gali būti neigiamas skaičius. Šiems įrašams suteikėme tokią reikšmę: neigiamam skaičiui −a ir nelyginiam šaknies 2 n−1 rodikliui, . Ši lygybė suteikia nelyginių šaknų ištraukimo iš neigiamų skaičių taisyklė: norėdami išgauti neigiamo skaičiaus šaknį, turite paimti priešingo teigiamo skaičiaus šaknį ir prieš rezultatą įdėti minuso ženklą.

Pažvelkime į sprendimo pavyzdį.

Pavyzdys.

Raskite šaknies vertę.

Sprendimas.

Transformuokime pradinę išraišką taip, kad po šaknies ženklu būtų teigiamas skaičius: . Dabar pakeiskite mišrų skaičių paprastąja trupmena: . Taikome paprastosios trupmenos šaknies ištraukimo taisyklę: . Belieka apskaičiuoti gautos trupmenos skaitiklio ir vardiklio šaknis: .

Štai trumpa sprendimo santrauka: .

Atsakymas:

.

Šakninės vertės nustatymas bitais

Paprastai po šaknimi yra skaičius, kuris, naudojant aukščiau aptartus metodus, negali būti vaizduojamas kaip bet kurio skaičiaus n-asis laipsnis. Tačiau šiuo atveju reikia žinoti tam tikros šaknies reikšmę, bent jau iki tam tikro ženklo. Tokiu atveju, norėdami išgauti šaknį, galite naudoti algoritmą, leidžiantį nuosekliai gauti pakankamą norimo skaičiaus skaitmenų skaičių.

Pirmasis šio algoritmo žingsnis yra išsiaiškinti, koks yra svarbiausias šakninės reikšmės bitas. Tam skaičiai 0, 10, 100, ... paeiliui keliami iki laipsnio n, kol gaunamas momentas, kai skaičius viršija radikalųjį skaičių. Tada skaičius, kurį ankstesniame etape padidinome iki laipsnio n, parodys atitinkamą reikšmingiausią skaitmenį.

Pavyzdžiui, atsižvelkite į šį algoritmo veiksmą, kai išgaunate kvadratinė šaknis iš penkių. Paimkite skaičius 0, 10, 100, ... ir padėkite juos kvadratu, kol gausime skaičių, didesnį už 5. Turime 0 2 = 0<5 , 10 2 =100>5, o tai reiškia, kad svarbiausias skaitmuo bus vienas. Šio bito, kaip ir žemesniųjų, reikšmė bus rasta kituose šaknies ištraukimo algoritmo žingsniuose.

Visi tolesni algoritmo veiksmai yra skirti nuosekliai išsiaiškinti šaknies reikšmę, surandant norimos šaknies reikšmės kitų bitų reikšmes, pradedant nuo aukščiausios ir pereinant prie mažiausių. Pavyzdžiui, šaknies reikšmė pirmame žingsnyje pasirodo esanti 2, antrajame – 2,2, trečiame – 2,23 ir tt 2,236067977…. Apibūdinkime, kaip randamos skaitmenų reikšmės.

Skaičiai randami juos ieškant galimas vertes 0, 1, 2, …, 9. Tokiu atveju lygiagrečiai apskaičiuojamos atitinkamų skaičių n-osios laipsniai ir lyginami su radikaliuoju skaičiumi. Jei tam tikru etapu laipsnio reikšmė viršija radikalų skaičių, laikoma, kad skaitmens, atitinkančio ankstesnę reikšmę, reikšmė yra rasta ir pereinama prie kito šaknies išskyrimo algoritmo žingsnio; jei tai neįvyksta, tada šio skaitmens reikšmė yra 9.

Paaiškinkime šiuos taškus naudodami tą patį penkių kvadratinės šaknies ištraukimo pavyzdį.

Pirmiausia randame vienetų skaitmens reikšmę. Mes eisime per reikšmes 0, 1, 2, ..., 9, atitinkamai apskaičiuodami 0 2, 1 2, ..., 9 2, kol gausime reikšmę, didesnę už radikalų skaičių 5. Visus šiuos skaičiavimus patogu pateikti lentelės pavidalu:

Taigi vienetų skaitmens reikšmė yra 2 (nuo 2 2<5 , а 2 3 >5). Pereikime prie dešimtosios vietos vertės nustatymo. Tokiu atveju skaičius 2.0, 2.1, 2.2, ..., 2.9 padalinsime kvadratu, gautas reikšmes lygindami su radikaliu skaičiumi 5:

Nuo 2.2 2<5 , а 2,3 2 >5, tada dešimtosios vietos reikšmė yra 2. Galite pradėti ieškoti šimtosios vietos vertės:

Taip buvo rasta kita penkių šaknies reikšmė, ji lygi 2,23. Taigi galite ir toliau ieškoti vertybių: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

Norėdami konsoliduoti medžiagą, mes analizuosime šaknies ištraukimą šimtųjų dalių tikslumu, naudodami nagrinėjamą algoritmą.

Pirmiausia nustatome reikšmingiausią skaitmenį. Norėdami tai padaryti, supjaustome skaičius 0, 10, 100 ir kt. kol gausime skaičių, didesnį už 2 151 186. Turime 0 3 = 0<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151 186 , todėl reikšmingiausias skaitmuo yra dešimties skaitmuo.

Nustatykime jo vertę.

Nuo 103<2 151,186 , а 20 3 >2 151,186, tada dešimties vietos reikšmė yra 1. Pereikime prie vienetų.

Taigi vienetų skaitmenų reikšmė yra 2. Pereikime prie dešimtųjų.

Kadangi net 12,9 3 yra mažesnis už radikalųjį skaičių 2 151,186, tai dešimtosios vietos reikšmė yra 9. Belieka atlikti paskutinį algoritmo žingsnį, kuris mums duos šaknies reikšmę reikiamu tikslumu.

Šiame etape šaknies reikšmė nustatoma šimtųjų dalių tikslumu: .

Baigdamas šį straipsnį norėčiau pasakyti, kad yra daug kitų būdų išgauti šaknis. Tačiau daugeliui užduočių pakanka aukščiau išnagrinėtų užduočių.

Bibliografija.

• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: vadovėlis 8 klasei. švietimo įstaigų.
• Kolmogorovas A.N., Abramovas A.M., Dudnicinas Yu.P. ir kt.. Algebra ir analizės pradžia: Vadovėlis bendrojo ugdymo įstaigų 10 - 11 klasėms.
• Gusevas V.A., Mordkovičius A.G. Matematika (vadovas stojantiems į technikos mokyklas).

Mokiniai visada klausia: „Kodėl matematikos egzamine negaliu naudoti skaičiuoklės? Kaip be skaičiuotuvo išgauti kvadratinę šaknį iš skaičiaus? Pabandykime atsakyti į šį klausimą.

Kaip išgauti kvadratinę šaknį iš skaičiaus be skaičiuoklės pagalbos?

Veiksmas kvadratinė šaknis atvirkštinis kvadratūros veiksmui.

√81= 9 9 2 =81

Jei paimsite teigiamo skaičiaus kvadratinę šaknį ir gaukite rezultatą kvadratu, gausite tą patį skaičių.

Iš mažų skaičių, kurie yra tikslūs natūraliųjų skaičių kvadratai, pavyzdžiui, 1, 4, 9, 16, 25, ..., 100, žodžiu galima išgauti kvadratines šaknis. Paprastai mokykloje mokoma natūraliųjų skaičių iki dvidešimties kvadratų lentelės. Žinant šią lentelę, nesunku iš skaičių 121,144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400 ištraukti kvadratines šaknis. Iš skaičių, didesnių nei 400, galite juos išgauti pasirinkdami pasirinkdami keletą patarimų. Pabandykime pažvelgti į šį metodą su pavyzdžiu.

Pavyzdys: Ištraukite skaičiaus 676 šaknį.

Pastebime, kad 20 2 = 400 ir 30 2 = 900, o tai reiškia 20< √676 < 900.

Natūraliųjų skaičių tikslūs kvadratai baigiasi 0; 1; 4; 5; 6; 9.
Skaičius 6 pateikiamas 4 2 ir 6 2.
Tai reiškia, kad jei šaknis paimta iš 676, tada ji yra arba 24, arba 26.

Belieka patikrinti: 24 2 = 576, 26 2 = 676.

Atsakymas: √676 = 26 .

Daugiau pavyzdys: √6889 .

Kadangi 80 2 = 6400 ir 90 2 = 8100, tada 80< √6889 < 90.
Skaičius 9 pateikiamas iš 3 2 ir 7 2, tada √6889 yra lygus 83 arba 87.

Patikrinkime: 83 2 = 6889.

Atsakymas: √6889 = 83 .

Jei jums sunku išspręsti taikant atrankos metodą, galite atsižvelgti į radikalią išraišką.

Pavyzdžiui, rasti √893025.

Suskaičiuokime skaičių 893025, atminkite, kad tai padarėte šeštoje klasėje.

Gauname: √893025 = √3 6∙5 2∙7 2 = 3 3 ∙5 ∙7 = 945.

Daugiau pavyzdys: √20736. Paskaičiuokime skaičių 20736:

Gauname √20736 = √2 8 ∙3 4 = 2 4 ∙3 2 = 144.

Žinoma, faktorizacijai reikia žinių apie dalijamumo ženklus ir faktorizavimo įgūdžius.

Ir pagaliau yra kvadratinių šaknų ištraukimo taisyklė. Susipažinkime su šia taisykle pavyzdžiais.

Apskaičiuokite √279841.

Norėdami išgauti kelių skaitmenų sveikojo skaičiaus šaknį, padalijame jį iš dešinės į kairę į veidus, turinčius 2 skaitmenis (kraštinėje kairiajame krašte gali būti vienas skaitmuo). Rašome taip: 27'98'41

Norėdami gauti pirmąjį šaknies skaitmenį (5), paimame kvadratinę šaknį iš didžiausio tobulo kvadrato, esančio pirmame kairėje pusėje (27).
Tada šaknies pirmojo skaitmens kvadratas (25) atimamas iš pirmojo paviršiaus, o kitas veidas (98) pridedamas prie skirtumo (atimamas).
Į kairę nuo gauto skaičiaus 298 parašykite šaknies dviženklį skaitmenį (10), padalykite iš jo visų anksčiau gauto skaičiaus dešimčių skaičių (29/2 ≈ 2), patikrinkite koeficientą (102 ∙ 2 = 204). turėtų būti ne daugiau kaip 298) ir po pirmojo šaknies skaitmens parašykite (2).
Tada gautas koeficientas 204 atimamas iš 298 ir prie skirtumo (94) pridedama kita briauna (41).
Į kairę nuo gauto skaičiaus 9441 parašykite dvigubą šaknies skaitmenų sandaugą (52 ∙2 = 104), padalykite visų skaičiaus 9441 dešimčių skaičių (944/104 ≈ 9) iš šio sandaugos, išbandykite koeficientas (1049 ∙9 = 9441) turi būti 9441 ir užrašykite jį (9) po antrojo šaknies skaitmens.

Gavome atsakymą √279841 = 529.

Ištraukite panašiai dešimtainių trupmenų šaknys. Tik radikalus skaičius turi būti padalintas į veidus, kad kablelis būtų tarp veidų.

Pavyzdys. Raskite reikšmę √0,00956484.

Tiesiog atminkite, kad jei dešimtainėje trupmenoje yra nelyginis skaičius po kablelio, kvadratinės šaknies iš jos negalima išskirti.

Taigi dabar matėte tris būdus, kaip išgauti šaknį. Pasirinkite sau tinkamiausią ir praktikuokite. Norint išmokti spręsti problemas, reikia jas spręsti. Ir jei turite klausimų, registruokitės į mano pamokas.

svetainėje, kopijuojant visą medžiagą ar jos dalį, būtina nuoroda į šaltinį.

Kvadratinio žemės sklypo plotas 81 dm². Surask jo pusę. Tarkime, kvadrato kraštinės ilgis yra X decimetrų. Tada sklypo plotas yra X² kvadratinių decimetrų. Kadangi pagal būklę šis plotas lygus 81 dm², tai X² = 81. Kvadrato kraštinės ilgis yra teigiamas skaičius. Teigiamas skaičius, kurio kvadratas lygus 81, yra skaičius 9. Sprendžiant uždavinį reikėjo rasti skaičių x, kurio kvadratas lygus 81, t.y išspręsti lygtį X² = 81. Ši lygtis turi dvi šaknis: x 1 = 9 ir x 2 = - 9, nes 9² = 81 ir (- 9)² = 81. Abu skaičiai 9 ir - 9 vadinami 81 kvadratinėmis šaknimis.

Atkreipkite dėmesį, kad viena iš kvadratinių šaknų X= 9 yra teigiamas skaičius. Jis vadinamas aritmetine kvadratine šaknimi iš 81 ir žymima √81, taigi √81 = 9.

Aritmetinė skaičiaus kvadratinė šaknis A yra neneigiamas skaičius, kurio kvadratas lygus A.

Pavyzdžiui, skaičiai 6 ir - 6 yra skaičiaus 36 kvadratinės šaknys. Tačiau skaičius 6 yra aritmetinė kvadratinė šaknis iš 36, nes 6 yra neneigiamas skaičius, o 6² = 36. Skaičius - 6 nėra aritmetinė šaknis.

Aritmetinė skaičiaus kvadratinė šaknis Ažymimas taip: √ A.

Ženklas vadinamas aritmetiniu kvadratinės šaknies ženklu; A- vadinama radikalia išraiška. Išraiška √ A skaityti kaip šitaip: aritmetinė skaičiaus kvadratinė šaknis A. Pavyzdžiui, √36 = 6, √0 = 0, √0,49 = 0,7. Tais atvejais, kai aišku, kad kalbame apie aritmetinę šaknį, jie trumpai sako: „kvadratinė šaknis A«.

Skaičiaus kvadratinės šaknies radimo veiksmas vadinamas kvadratine šaknimi. Šis veiksmas yra atvirkštinis kvadratui.

Galite kvadratuoti bet kurį skaičių, bet negalite ištraukti kvadratinės šaknies iš bet kurio skaičiaus. Pavyzdžiui, neįmanoma išgauti kvadratinės šaknies iš skaičiaus - 4. Jei tokia šaknis egzistavo, tai pažymint ją raide X, gautume neteisingą lygybę x² = - 4, nes kairėje yra neneigiamas skaičius, o dešinėje - neigiamas skaičius.

Išraiška √ A prasminga tik tada, kai a ≥ 0. Kvadratinės šaknies apibrėžimą galima trumpai parašyti taip: √ a ≥ 0, (√A)² = A. Lygybė (√ A)² = A galioja iki a ≥ 0. Taigi, norint užtikrinti, kad neneigiamo skaičiaus kvadratinė šaknis A lygus b, ty tuo, kad √ A =b, turite patikrinti, ar tenkinamos šios dvi sąlygos: b ≥ 0, b² = A.

Kvadratinė trupmenos šaknis

Paskaičiuokime. Atkreipkite dėmesį, kad √25 = 5, √36 = 6, ir patikrinkime, ar galioja lygybė.

Nes ir , tada lygybė yra tiesa. Taigi, .

Teorema: Jeigu A≥ 0 ir b> 0, tai yra, trupmenos šaknis yra lygi skaitiklio šaknei, padalytai iš vardiklio šaknies. Būtina įrodyti, kad: ir .

Nuo √ A≥0 ir √ b> 0, tada .

Apie trupmenos pakėlimo laipsnį savybę ir kvadratinės šaknies apibrėžimą teorema įrodyta. Pažvelkime į kelis pavyzdžius.

Apskaičiuokite naudodami įrodytą teoremą .

Antras pavyzdys: įrodykite tai , Jei A ≤ 0, b < 0. .

Kitas pavyzdys: Apskaičiuokite .

.

Kvadratinės šaknies konversija

Daugiklio pašalinimas iš po šaknies ženklo. Tegul išraiška pateikiama. Jeigu A≥ 0 ir b≥ 0, tada naudodamiesi sandaugos šaknies teorema galime parašyti:

Ši transformacija vadinama faktoriaus pašalinimu iš šaknies ženklo. Pažiūrėkime į pavyzdį;

Apskaičiuokite ties X= 2. Tiesioginis pakeitimas X= 2 radikalioje išraiškoje lemia sudėtingus skaičiavimus. Šiuos skaičiavimus galima supaprastinti, jei pirmiausia pašalinsite veiksnius iš po šaknies ženklo: . Dabar pakeitę x = 2, gauname:.

Taigi, pašalinus veiksnį iš po šaknies ženklo, radikali išraiška pavaizduojama sandaugos forma, kurioje vienas ar keli veiksniai yra neneigiamų skaičių kvadratai. Tada pritaikykite sandaugos šaknies teoremą ir paimkite kiekvieno veiksnio šaknį. Panagrinėkime pavyzdį: Supaprastinkite išraišką A = √8 + √18 - 4√2, iš po šaknies ženklo išimdami veiksnius iš pirmųjų dviejų terminų, gausime:. Pabrėžkime tą lygybę galioja tik tada, kai A≥ 0 ir b≥ 0. jei A < 0, то .

Mums svarbu išlaikyti jūsų privatumą. Dėl šios priežasties sukūrėme Privatumo politiką, kurioje aprašoma, kaip naudojame ir saugome jūsų informaciją. Peržiūrėkite mūsų privatumo praktiką ir praneškite mums, jei turite klausimų.

Asmeninės informacijos rinkimas ir naudojimas

Asmeninė informacija reiškia duomenis, kurie gali būti naudojami konkretaus asmens tapatybei nustatyti arba susisiekti su juo.

Jūsų gali būti paprašyta pateikti savo asmeninę informaciją bet kuriuo metu, kai susisiekiate su mumis.

Toliau pateikiami keli pavyzdžiai, kokios rūšies asmeninės informacijos galime rinkti ir kaip galime tokią informaciją naudoti.

Kokią asmeninę informaciją renkame:

• Kai svetainėje pateikiate užklausą, galime surinkti įvairios informacijos, įskaitant jūsų vardą, telefono numerį, adresą El. paštas ir tt

Kaip naudojame jūsų asmeninę informaciją:

• Mūsų renkama asmeninė informacija leidžia mums susisiekti su jumis ir informuoti apie unikalių pasiūlymų, akcijos ir kiti renginiai bei būsimi renginiai.
• Retkarčiais galime naudoti jūsų asmeninę informaciją svarbiems pranešimams ir pranešimams siųsti.
• Mes taip pat galime naudoti asmeninę informaciją vidiniais tikslais, tokiais kaip auditas, duomenų analizė ir įvairūs tyrimai siekdami pagerinti mūsų teikiamas paslaugas ir teikti rekomendacijas dėl mūsų paslaugų.
• Jei dalyvaujate prizų traukime, konkurse ar panašioje akcijoje, mes galime naudoti jūsų pateiktą informaciją tokioms programoms administruoti.

Informacijos atskleidimas trečiosioms šalims

Mes neatskleidžiame iš jūsų gautos informacijos trečiosioms šalims.

Išimtys:

• Esant poreikiui – įstatymų nustatyta tvarka, teismine tvarka, teismine tvarka ir (arba) remiantis viešais prašymais ar prašymais iš vyriausybines agentūras Rusijos Federacijos teritorijoje – atskleiskite savo asmeninę informaciją. Taip pat galime atskleisti informaciją apie jus, jei nuspręsime, kad toks atskleidimas yra būtinas arba tinkamas saugumo, teisėsaugos ar kitais visuomenei svarbiais tikslais.
• Reorganizavimo, susijungimo ar pardavimo atveju surinktą asmeninę informaciją galime perduoti atitinkamai trečiajai šaliai.

Asmeninės informacijos apsauga

Mes imamės atsargumo priemonių, įskaitant administracines, technines ir fizines, siekdami apsaugoti jūsų asmeninę informaciją nuo praradimo, vagystės ir netinkamo naudojimo, taip pat nuo neteisėtos prieigos, atskleidimo, pakeitimo ir sunaikinimo.

Jūsų privatumo gerbimas įmonės lygiu

Siekdami užtikrinti, kad jūsų asmeninė informacija būtų saugi, savo darbuotojams pranešame apie privatumo ir saugumo standartus ir griežtai vykdome privatumo praktiką.

Matematika atsirado tada, kai žmogus suvokė save ir pradėjo save laikyti savarankišku pasaulio vienetu. Noras matuoti, lyginti, skaičiuoti tai, kas tave supa – štai kas slypi vienas iš pagrindinių baziniai mokslai mūsų dienos. Iš pradžių tai buvo elementarios matematikos dalelės, kurios leido susieti skaičius su jų fizinėmis išraiškomis, vėliau išvados pradėtos pateikti tik teoriškai (dėl jų abstrakcijos), tačiau po kurio laiko, kaip teigė vienas mokslininkas, „ matematika pasiekė sudėtingumo lubas, kai iš jos dingo.“ visi skaičiai“. „Kvadratinės šaknies“ sąvoka atsirado tuo metu, kai ją buvo galima lengvai paremti empiriniais duomenimis, peržengiančiais skaičiavimų plokštumą.

Kur viskas prasidėjo

Pirmasis šaknies, kuri šiuo metu žymima √, paminėjimas buvo užfiksuotas Babilono matematikų darbuose, kurie padėjo pagrindą šiuolaikinei aritmetikai. Žinoma, jos mažai kuo panašios į dabartinę formą – tų metų mokslininkai pirmą kartą panaudojo stambias tabletes. Tačiau antrajame tūkstantmetyje pr. e. Jie išvedė apytikslę skaičiavimo formulę, kuri parodė, kaip išgauti kvadratinę šaknį. Žemiau esančioje nuotraukoje pavaizduotas akmuo, ant kurio Babilono mokslininkai išraižė √2 išvedimo procesą, ir jis pasirodė toks teisingas, kad neatitikimas atsakyme buvo rastas tik dešimtosiose dešimtosiose skaitmenų.

Be to, šaknis buvo naudojama, jei reikėjo rasti trikampio kraštinę, jei žinomos kitos dvi. Na, o sprendžiant kvadratines lygtis nepabėgsi nuo šaknies ištraukimo.

Kartu su babiloniečių darbais straipsnio objektas buvo tiriamas ir kinų veikale „Matematika devyniose knygose“, o senovės graikai priėjo prie išvados, kad bet koks skaičius, iš kurio negalima ištraukti šaknies be likučio, duoda neracionalų rezultatą. .

Kilmė Šis terminas siejamas su arabišku skaičiaus vaizdavimu: senovės mokslininkai tikėjo, kad savavališko skaičiaus kvadratas išauga iš šaknies, kaip ir augalas. Lotyniškai šis žodis skamba kaip radix (galite atsekti modelį - viskas, kas turi „šaknį“, yra priebalsė, nesvarbu, ar tai ridikas, ar radikulitas).

Vėlesnių kartų mokslininkai pasirinko šią idėją ir pavadino ją Rx. Pavyzdžiui, XV amžiuje, norėdami nurodyti, kad buvo paimta savavališko skaičiaus a kvadratinė šaknis, jie parašė R 2 a. Įprasta modernus vaizdas„erkė“ √ atsirado tik XVII amžiuje Renė Dekarto dėka.

Mūsų dienos

Matematine prasme skaičiaus y kvadratinė šaknis yra skaičius z, kurio kvadratas lygus y. Kitaip tariant, z 2 =y yra lygiavertis √y=z. Tačiau šis apibrėžimas aktualus tik aritmetinei šaknei, nes reiškia neneigiamą išraiškos reikšmę. Kitaip tariant, √y=z, kur z yra didesnis arba lygus 0.

Apskritai, kas taikoma nustatant algebrinę šaknį, išraiškos reikšmė gali būti teigiama arba neigiama. Taigi, dėl to, kad z 2 =y ir (-z) 2 =y, gauname: √y=±z arba √y=|z|.

Dėl to, kad meilė matematikai tik stiprėjo tobulėjant mokslui, atsiranda įvairių meilės jai apraiškų, kurios neišreiškiamos sausais skaičiavimais. Pavyzdžiui, kartu su tokiais įdomiais reiškiniais kaip Pi diena, švenčiamos ir kvadratinės šaknies šventės. Jos švenčiamos devynis kartus per šimtą metų ir nustatomos tokiu principu: dieną ir mėnesį nurodantys skaičiai turi būti metų kvadratinė šaknis. Taigi, kitą kartą šią šventę švęsime 2016 m. balandžio 4 d.

Kvadratinės šaknies savybės lauke R

Beveik visos matematinės išraiškos turi geometrinį pagrindą, o √y, kuris apibrėžiamas kaip kvadrato, kurio plotas y, kraštinė neišvengė šio likimo.

Kaip rasti skaičiaus šaknį?

Yra keli skaičiavimo algoritmai. Paprasčiausias, bet tuo pat metu gana sudėtingas yra įprastas aritmetinis skaičiavimas, kuris yra toks:

1) iš skaičiaus, kurio šaknies mums reikia, paeiliui atimami nelyginiai skaičiai - kol išvesties liekana yra mažesnė už atimtą vienetą arba net lygi nuliui. Judėjimų skaičius galiausiai taps norimu skaičiumi. Pavyzdžiui, apskaičiuojant kvadratinę šaknį iš 25:

Kitas nelyginis skaičius yra 11, o likusi dalis yra: 1<11. Количество ходов - 5, так что корень из 25 равен 5. Вроде все легко и просто, но представьте, что придется вычислять из 18769?

Tokiais atvejais yra Taylor serijos išplėtimas:

√(1+y)=∑((-1) n (2n)!/(1-2n)(n!) 2 (4 n))y n , kur n įgauna reikšmes nuo 0 iki

+∞ ir |y|≤1.

Grafinis funkcijos z=√y pavaizdavimas

Panagrinėkime elementariąją funkciją z=√y realiųjų skaičių R lauke, kur y yra didesnis arba lygus nuliui. Jo tvarkaraštis atrodo taip:

Kreivė auga nuo pradžios ir būtinai kerta tašką (1; 1).

Funkcijos z=√y savybės realiųjų skaičių R lauke

1. Nagrinėjamos funkcijos apibrėžimo sritis yra intervalas nuo nulio iki plius begalybės (nulis įtraukiamas).

2. Nagrinėjamos funkcijos reikšmių diapazonas yra intervalas nuo nulio iki plius begalybės (vėl įtraukiamas nulis).

3. Funkcija įgauna mažiausią reikšmę (0) tik taške (0; 0). Maksimalios vertės nėra.

4. Funkcija z=√y nėra nei lyginė, nei nelyginė.

5. Funkcija z=√y nėra periodinė.

6. Yra tik vienas funkcijos z=√y grafiko susikirtimo taškas su koordinačių ašimis: (0; 0).

7. Funkcijos z=√y grafiko susikirtimo taškas yra ir šios funkcijos nulis.

8. Funkcija z=√y nuolat auga.

9. Funkcija z=√y turi tik teigiamas reikšmes, todėl jos grafikas užima pirmąjį koordinačių kampą.

Funkcijos z=√y rodymo parinktys

Matematikoje, siekiant palengvinti sudėtingų išraiškų skaičiavimą, kartais naudojama kvadratinės šaknies rašymo galios forma: √y=y 1/2. Ši parinktis yra patogi, pavyzdžiui, pakeliant funkciją į laipsnį: (√y) 4 =(y 1/2) 4 =y 2. Šis metodas taip pat yra geras diferencijavimo su integravimu atvaizdas, nes jo dėka kvadratinė šaknis vaizduojama kaip įprasta galios funkcija.

O programuojant simbolio √ pakeitimas yra raidžių sqrt derinys.

Verta paminėti, kad šioje srityje kvadratinė šaknis yra labai paklausi, nes ji yra daugelio skaičiavimams reikalingų geometrinių formulių dalis. Pats skaičiavimo algoritmas yra gana sudėtingas ir pagrįstas rekursija (funkcija, kuri iškviečia save).

Kvadratinė šaknis kompleksiniame lauke C

Apskritai, šio straipsnio tema paskatino atrasti kompleksinių skaičių C lauką, nes matematikus persekiojo klausimas, kaip gauti lyginę neigiamo skaičiaus šaknį. Taip atsirado įsivaizduojamas vienetas i, kuriam būdinga labai įdomi savybė: jo kvadratas yra -1. Dėl šios priežasties kvadratinės lygtys buvo išspręstos net su neigiamu diskriminantu. C kalboje kvadratinei šakniai svarbios tos pačios savybės kaip ir R, tik pašalinami radikalinės išraiškos apribojimai.