Kaip rasti geometrinių formų plotą? Kaip apskaičiuoti figūros plotą

Geometrinių figūrų plotai yra skaitinės reikšmės, apibūdinančios jų dydį dvimatėje erdvėje. Šią vertę galima išmatuoti sisteminiais ir nesisteminiais vienetais. Taigi, pavyzdžiui, nesisteminis ploto vienetas yra šimtoji dalis, hektaras. Taip yra, jei matuojamas paviršius yra žemės sklypas. Sistemos ploto vienetas yra ilgio kvadratas. SI sistemoje visuotinai pripažįstama, kad plokščio paviršiaus ploto vienetas yra kvadratinis metras. GHS ploto vienetas išreiškiamas kvadratiniu centimetru.

Geometrija ir ploto formulės yra neatsiejamai susijusios. Šis ryšys slypi tame, kad plokštumos figūrų plotai apskaičiuojami būtent pagal jų taikymą. Daugeliui figūrų išvedami keli variantai, pagal kuriuos apskaičiuojami jų kvadratiniai matmenys. Remdamiesi problemos teiginio duomenimis, galime nustatyti paprasčiausią įmanomą sprendimą. Tai palengvins skaičiavimą ir sumažins skaičiavimo klaidų tikimybę iki minimumo. Norėdami tai padaryti, apsvarstykite pagrindines geometrijos figūrų sritis.

Formulės, kaip rasti bet kurio trikampio plotą, pateikiamos keliomis parinktimis:

1) Trikampio plotas apskaičiuojamas nuo pagrindo a ir aukščio h. Pagrindas laikoma figūros pusė, ant kurios nuleistas aukštis. Tada trikampio plotas yra:

2) Stačiakampio trikampio plotas apskaičiuojamas taip pat, jei hipotenuzė laikoma pagrindu. Jei koją imsime kaip pagrindą, tada stačiojo trikampio plotas bus lygus perpus perpjautų kojų sandaugai.

Bet kurio trikampio ploto apskaičiavimo formulės tuo nesibaigia. Kitoje išraiškoje yra pusės a,b ir kampo γ tarp a ir b sinusoidinė funkcija. Sinuso reikšmė pateikiama lentelėse. Taip pat galite tai sužinoti naudodami skaičiuotuvą. Tada trikampio plotas yra:

Naudodami šią lygybę taip pat galite patikrinti, ar stačiojo trikampio plotas nustatomas pagal kojų ilgį. Nes kampas γ yra stačiakampis, todėl stačiojo trikampio plotas apskaičiuojamas nedauginant iš sinuso funkcijos.

3) Apsvarstykite ypatingą atvejį - taisyklingas trikampis, kurios kraštinė a žinoma pagal sąlygą arba kurios ilgį galima rasti sprendime. Apie figūrą geometrijos uždavinyje daugiau nieko nežinoma. Tada kaip rasti šią zoną? Šiuo atveju taikoma taisyklingo trikampio ploto formulė:

Stačiakampis

Kaip rasti stačiakampio plotą ir naudoti kraštinių, turinčių bendrą viršūnę, matmenis? Skaičiavimo išraiška yra tokia:

Jei stačiakampio plotui apskaičiuoti reikia naudoti įstrižainių ilgius, tada jums reikės kampo, susidarančio joms susikerta, sinuso funkcijos. Ši stačiakampio ploto formulė yra tokia:

Kvadratas

Kvadrato plotas nustatomas kaip antrasis kraštinės ilgio laipsnis:

Įrodymas išplaukia iš apibrėžimo, kad kvadratas yra stačiakampis. Visos kraštinės, sudarančios kvadratą, turi vienodus matmenis. Todėl apskaičiuojant tokio stačiakampio plotą reikia padauginti vieną iš kito, t.y. iš antrosios pusės laipsnio. Ir kvadrato ploto apskaičiavimo formulė įgis norimą formą.

Kvadrato plotą galima rasti kitu būdu, pavyzdžiui, jei naudojate įstrižainę:

Kaip apskaičiuoti figūros plotą, kurį sudaro plokštumos dalis, kurią riboja apskritimas? Norėdami apskaičiuoti plotą, naudojamos šios formulės:

Lygiagretainis

Lygiagretainio formulėje yra tiesiniai kraštinės matmenys, aukštis ir matematinė operacija – daugyba. Jei aukštis nežinomas, kaip rasti lygiagretainio plotą? Yra ir kitas skaičiavimo būdas. Reikės tam tikros vertės, kuri užtruks trigonometrinė funkcija gretimų kraštinių suformuotas kampas, taip pat jų ilgis.

Lygiagretainio ploto formulės yra šios:

Rombas

Kaip rasti keturkampio, vadinamo rombu, plotą? Rombo plotas nustatomas naudojant paprastą matematiką su įstrižainėmis. Įrodymas pagrįstas tuo, kad d1 ir d2 įstrižainės atkarpos susikerta stačiu kampu. Iš sinusų lentelės matyti, kad už stačiu kampu šią funkciją lygus vienam. Todėl rombo plotas apskaičiuojamas taip:

Rombo plotą galima rasti ir kitu būdu. Tai taip pat nesunku įrodyti, atsižvelgiant į tai, kad jo kraštinės yra vienodo ilgio. Tada pakeiskite jų sandaugą panašia lygiagretainio išraiška. Juk ypatingas šios figūros atvejis yra rombas. Čia γ yra vidinis rombo kampas. Rombo plotas nustatomas taip:

Trapecija

Kaip rasti trapecijos plotą per pagrindus (a ir b), jei problema rodo jų ilgį? Čia be žinoma vertė aukščio h ilgio, nebus įmanoma apskaičiuoti tokios trapecijos ploto. Nes šioje reikšmėje yra skaičiavimo išraiška:

Taip pat galima apskaičiuoti ir stačiakampės trapecijos kvadrato dydį. Atsižvelgiama į tai, kad stačiakampėje trapecijoje yra sujungtos aukščio ir kraštinės sąvokos. Todėl stačiakampei trapecijai reikia nurodyti šoninės pusės ilgį, o ne aukštį.

Cilindras ir gretasienis

Apsvarstykime, ko reikia norint apskaičiuoti viso cilindro paviršių. Nurodytos figūros plotas yra apskritimų pora, vadinama bazėmis ir šoninis paviršius. Apskritimų, sudarančių apskritimus, spindulio ilgis lygus r. Cilindro plotui apskaičiuojamas toks:

Kaip rasti gretasienio plotą, kurį sudaro trys veidų poros? Jo išmatavimai atitinka konkrečią porą. Priešingi veidai turi tuos pačius parametrus. Pirmiausia suraskite S(1), S(2), S(3) – nelygių paviršių kvadratinius matmenis. Tada gretasienio paviršiaus plotas yra:

Žiedas

Du apskritimai su bendru centru sudaro žiedą. Jie taip pat riboja žiedo plotą. Šiuo atveju abiejose skaičiavimo formulėse atsižvelgiama į kiekvieno apskritimo matmenis. Pirmajame iš jų, skaičiuojant žiedo plotą, yra didesni R ir mažesni r spinduliai. Dažniau jie vadinami išoriniais ir vidiniais. Antroje išraiškoje žiedo plotas apskaičiuojamas naudojant didesnį D ir mažesnį d skersmenį. Taigi, žiedo plotas pagal žinomus spindulius apskaičiuojamas taip:

Žiedo plotas, naudojant skersmenų ilgius, nustatomas taip:

Poligonas

Kaip rasti daugiakampio, kurio forma nėra taisyklinga, plotą? Nėra bendros tokių figūrų ploto formulės. Bet jei jis pavaizduotas koordinačių plokštumoje, pavyzdžiui, tai gali būti languotas popierius, tai kaip šiuo atveju rasti paviršiaus plotą? Čia jie naudoja metodą, kuriam nereikia apytiksliai išmatuoti figūrą. Jie daro tai: jei randa taškus, kurie patenka į langelio kampą arba turi visas koordinates, atsižvelgiama tik į juos. Norėdami sužinoti, kokia yra sritis, naudokite Peake įrodytą formulę. Būtina pridėti taškų, esančių trūkinės linijos viduje, kai pusė taškų yra ant jos, skaičių ir atimti vieną, t. y. jis apskaičiuojamas taip:

kur B, G - taškų, esančių atitinkamai trūkinės linijos viduje ir joje, skaičius.

Norėdami išspręsti geometrijos problemas, turite žinoti formules, tokias kaip trikampio plotas arba lygiagretainio plotas, taip pat paprastus metodus, kuriuos apžvelgsime.

Pirmiausia išmokime figūrų sričių formules. Specialiai juos surinkome į patogią lentelę. Spausdinkite, mokykitės ir taikykite!

Žinoma, ne visos geometrijos formulės yra mūsų lentelėje. Pavyzdžiui, antroje dalyje išspręsti geometrijos ir stereometrijos uždavinius profilis Vieningas valstybinis egzaminas Matematikoje taip pat naudojamos kitos trikampio ploto formulės. Apie juos būtinai papasakosime.

O kas, jei reikia rasti ne trapecijos ar trikampio plotą, o kokios nors sudėtingos figūros plotą? Yra universalių būdų! Mes juos parodysime naudodami FIPI užduočių banko pavyzdžius.

1. Kaip rasti nestandartinės figūros plotą? Pavyzdžiui, savavališkas keturkampis? Paprasta technika – padalinkime šią figūrą į tas, apie kurias viską žinome, ir suraskime jos plotą – kaip šių figūrų plotų sumą.

Padalinkite šį keturkampį su horizontalia linija į du trikampius, kurių bendras pagrindas lygus . Šių trikampių aukščiai yra lygūs ir . Tada keturkampio plotas lygus dviejų trikampių plotų sumai: .

Atsakymas:.

2. Kai kuriais atvejais figūros plotas gali būti pavaizduotas kaip kai kurių sričių skirtumas.

Ne taip paprasta suskaičiuoti, kam lygus šio trikampio pagrindas ir aukštis! Bet galime sakyti, kad jo plotas lygus kvadrato su kraštine ir trijų stačiųjų trikampių plotų skirtumui. Ar matote juos paveikslėlyje? Mes gauname: .

Atsakymas:.

3. Kartais užduotyje reikia rasti ne visos figūros plotą, o jos dalį. Paprastai kalbame apie sektoriaus plotą – apskritimo dalį Raskite apskritimo, kurio spindulys yra lygus lanko ilgiui, sektoriaus plotą.

Šiame paveikslėlyje matome apskritimo dalį. Viso apskritimo plotas lygus . Belieka išsiaiškinti, kuri apskritimo dalis pavaizduota. Kadangi viso apskritimo ilgis yra lygus (nuo), o tam tikro sektoriaus lanko ilgis yra lygus, todėl lanko ilgis yra mažesnis už viso apskritimo ilgį. Kampas, kuriuo remiasi šis lankas, taip pat yra mažesnis už visą apskritimą (ty laipsniais). Tai reiškia, kad sektoriaus plotas bus kelis kartus mažesnis už viso apskritimo plotą.

Visos plokštumos figūrų ploto formulės

Lygiašonės trapecijos plotas

1. Lygiašonės trapecijos ploto formulė naudojant kraštines ir kampus

a - apatinė bazė

b - viršutinė bazė

c – lygus pusės

α - kampas prie apatinio pagrindo

Lygiašonės trapecijos per šonus ploto formulė (S):

Lygiašonės trapecijos ploto formulė naudojant kraštines ir kampus, (S):

2. Lygiašonės trapecijos ploto formulė pagal įbrėžto apskritimo spindulį

R - įbrėžto apskritimo spindulys

D - įrašyto apskritimo skersmuo

O – įbrėžto apskritimo centras

H - trapecijos aukštis

α, β - trapecijos kampai

Lygiašonės trapecijos ploto formulė pagal įbrėžto apskritimo spindulį (S):

FAIR, įbrėžtam apskritimui lygiašone trapecija:

3. Formulė lygiašonės trapecijos plotui per įstrižaines ir kampą tarp jų

d- trapecijos įstrižainė

α,β- kampai tarp įstrižainių

Lygiašonės trapecijos ploto per įstrižaines ir kampo tarp jų formulė (S):

4. Lygiašonės trapecijos ploto formulė vidurio linija, šonas ir kampas prie pagrindo

c- pusė

m - trapecijos vidurio linija

α, β - kampai prie pagrindo

Lygiašonės trapecijos ploto formulė naudojant vidurinę liniją, šoninę kraštinę ir pagrindo kampą,

(S):

5. Lygiašonės trapecijos ploto formulė naudojant pagrindus ir aukštį

a - apatinė bazė

b - viršutinė bazė

h - trapecijos aukštis

Lygiašonės trapecijos ploto formulė naudojant pagrindus ir aukštį, (S):

Trikampio plotas, pagrįstas kraštine ir dviem kampais, formulė.

a, b, c - trikampio kraštinės

α, β, γ – priešingi kampai

Trikampio plotas per kraštinę ir du kampus (S):

Taisyklingo daugiakampio ploto formulė

a – daugiakampio kraštinė

n - kraštinių skaičius

Taisyklingo daugiakampio plotas (S):

Formulė (Heron) trikampio plotui per pusperimetrą (S):

Lygiakraščio trikampio plotas yra:

Formulės lygiakraščio trikampio plotui apskaičiuoti.

a - trikampio kraštinė

h – aukštis

Kaip apskaičiuoti lygiašonio trikampio plotą?

b - trikampio pagrindas

a – lygios pusės

h – aukštis

3. Trapecijos ploto formulė naudojant keturias kraštines

a - apatinė bazė

b - viršutinė bazė

c, d - šonai

Trapecijos apibrėžtojo apskritimo spindulys išilgai kraštinių ir įstrižainių

a – šoninės trapecijos pusės

c - apatinė bazė

b - viršutinė bazė

d - įstrižainė

h - aukštis

Trapecijos apskritimo spindulio formulė, (R)

Raskite lygiašonio trikampio apskritimo spindulį naudodami kraštines

Žinodami lygiašonio trikampio kraštines, galite naudoti formulę norėdami rasti apibrėžto apskritimo spindulį aplink šį trikampį.

a, b - trikampio kraštinės

Lygiašonio trikampio apskritimo spindulys (R):

Įbrėžto apskritimo spindulys šešiakampyje

a - šešiakampio pusė

Įbrėžto apskritimo spindulys šešiakampyje (r):

Įbrėžto apskritimo spindulys rombe

r - įbrėžto apskritimo spindulys

a - rombo pusė

D, d - įstrižainės

h - rombo aukštis

Įbrėžto apskritimo spindulys lygiakraštėje trapecijoje

c - apatinė bazė

b - viršutinė bazė

a - šonai

h - aukštis

Įbrėžto apskritimo spindulys stačiakampiame trikampyje

a, b - trikampio kojos

c - hipotenuzė

Įbrėžto apskritimo spindulys lygiašoniame trikampyje

a, b - trikampio kraštinės

Įrodykite, kad įbrėžto keturkampio plotas yra

\/(р - а) (р - b) (р - с) (р - d),

čia p yra pusperimetras, o a, b, c ir d yra keturkampio kraštinės.

Įrodykite, kad į apskritimą įbrėžto keturkampio plotas lygus

1/2 (ab + cb) · sin α, kur a, b, c ir d yra keturkampio kraštinės, o α yra kampas tarp kraštinių a ir b.

S = √[ a ƀ c d] sin ½ (α + β). - Skaitykite daugiau FB.ru:

Savavališko keturkampio plotas (1.13 pav.) gali būti išreikštas jo kraštinėmis a, b, c ir priešingų kampų poros suma:

čia p yra keturkampio pusperimetras.

Į apskritimą () įbrėžto keturkampio plotas (1.14 pav., a) apskaičiuojamas pagal Brahmaguptos formulę

ir aprašyta (1.14 pav., b) () - pagal formulę

Jei keturkampis įrašomas ir aprašomas vienu metu (1.14 pav., c), tai formulė tampa labai paprasta:

Pasirinkite formulę

Norint įvertinti daugiakampio plotą languotame popieriuje, pakanka suskaičiuoti, kiek langelių apima šis daugiakampis (ląstelės plotą imame kaip vieną). Tiksliau, jei S yra daugiakampio plotas, yra ląstelių, kurios yra visiškai daugiakampio viduje, skaičius ir yra ląstelių, turinčių bent vieną bendrą tašką su daugiakampio vidumi, skaičius.

Žemiau nagrinėsime tik tokius daugiakampius, kurių visos viršūnės yra mazguose languotas popierius– tose, kur tinklelio linijos susikerta. Pasirodo, tokiems daugiakampiams galima nurodyti tokią formulę:

kur yra plotas, r yra mazgų, esančių griežtai daugiakampio viduje, skaičius.

Ši formulė vadinama „Pasirinkimo formule“ – matematiko, atradusio ją 1899 m., vardu.

Kas yra plotas?

Plotas yra uždaros geometrinės figūros (apskritimo, kvadrato, trikampio ir kt.) charakteristika, parodanti jos dydį. Plotas matuojamas kvadratiniais centimetrais, metrais ir kt. Žymi raide S(kvadratas).

Kaip rasti trikampio plotą?

S = a h

Kur a- pagrindo ilgis, h– prie pagrindo nubrėžto trikampio aukštis.

Be to, pagrindas nebūtinai turi būti apačioje. Tai taip pat tiks.

Jei trikampis bukas, tada aukštis nuleidžiamas iki pagrindo tęsinio:

Jei trikampis stačiakampio formos, tada pagrindas ir aukštis yra jo kojos:

2. Dar viena formulė, kuri ne mažiau naudinga, bet kuri kažkodėl vis pamirštama:

S = a b sinα

Kur a Ir b- dvi trikampio kraštinės, sinα yra kampo tarp šių kraštinių sinusas.

Pagrindinė sąlyga – kampas paimtas tarp dviejų žinomų kraštinių.

3. Trijų pusių ploto formulė (Gerono formulė):

S =

Kur a, b Ir Su yra trikampio kraštinės ir R - pusiau perimetras p = (a+b+c)/2.

4. Trikampio ploto formulė pagal apskritimo spindulį:

S =

Kur a, b Ir Su yra trikampio kraštinės ir R – apibrėžtojo apskritimo spindulys.

5. Trikampio ploto formulė pagal įbrėžto apskritimo spindulį:

S = p · r

Kur R - trikampio pusperimetras ir r –įbrėžto apskritimo spindulys.

Kaip rasti stačiakampio plotą?

1. Stačiakampio plotas randamas gana paprastai:

S =a b

Jokių gudrybių.

Kaip rasti kvadrato plotą?

1. Kadangi kvadratas yra stačiakampis, kurio visos kraštinės lygios, jam taikoma ta pati formulė:

S =a · a = a 2

2. Taip pat kvadrato plotą galima rasti per jo įstrižainę:

S = d 2

Kaip rasti lygiagretainio plotą?

1. Lygiagretainio plotas randamas pagal formulę:

S =a h

Taip yra dėl to, kad jei iš jo iškirpsite stačiakampį trikampį dešinėje ir padėsite į kairę, gausite stačiakampį:

2. Taip pat lygiagretainio plotą galima rasti per kampą tarp dviejų kraštinių:

S =a · b · sinα

Kaip rasti rombo plotą?

Rombas iš esmės yra lygiagretainis, kurio visos kraštinės yra lygios. Todėl jai taikomos tos pačios ploto formulės.

1. Rombo plotas per aukštį:

S =a h