Kūgio formulės bazinis plotas. Kūgio šoninio ir viso paviršiaus plotas

Mes žinome, kas yra kūgis, pabandykime surasti jo paviršiaus plotą. Kodėl reikia spręsti tokią problemą? Pavyzdžiui, reikia suprasti, kiek tešlos reikės vafliniam kūgiui pagaminti? Arba kiek plytų reikia norint pakloti mūrinį pilies stogą?

Išmatuoti kūgio šoninio paviršiaus plotą nėra lengva. Bet įsivaizduokime tą patį ragą, apvyniotą audeklu. Norėdami rasti audinio gabalo plotą, turite jį iškirpti ir paskleisti ant stalo. Gausime plokščią figūrą, galėsime rasti jos plotą.

Ryžiai. 1. Kūgio pjūvis išilgai generatrix

Tą patį padarykime su kūgiu. „Nukirpkime“ jo šoninį paviršių išilgai, pavyzdžiui, bet kurios generatoriaus (žr. 1 pav.).

Dabar „išvyniosime“ šoninį paviršių į plokštumą. Mes gauname sektorių. Šio sektoriaus centras yra kūgio viršūnė, sektoriaus spindulys lygus kūgio generatrix, o jo lanko ilgis sutampa su kūgio pagrindo perimetru. Toks sektorius vadinamas kūgio šoninio paviršiaus braukimu (žr. 2 pav.).

Ryžiai. 2. Šoninio paviršiaus vystymasis

Ryžiai. 3. Kampo matavimas radianais

Pabandykime pagal turimus duomenis surasti sektoriaus plotą. Pirmiausia įveskime žymėjimą: tegul kampas ties sektoriaus viršūne yra radianais (žr. 3 pav.).

Dažnai turėsime susidoroti su kampu, esančiu užduočių šlavimo viršuje. Kol kas pabandykime atsakyti į klausimą: ar šis kampas negali būti didesnis nei 360 laipsnių? Tai yra, ar nepasirodys, kad nuskaitymas užsidės ant savęs? Žinoma ne. Įrodykime tai matematiškai. Tegul nuskaitymas „persidengia“ pats. Tai reiškia, kad šlavimo lanko ilgis yra didesnis nei spindulio perimetras. Bet, kaip jau minėta, braukimo lanko ilgis yra apskritimo ilgis su spinduliu. Ir kūgio pagrindo spindulys, žinoma, yra mažesnis nei generatrix, pavyzdžiui, nes stačiakampio trikampio kojelė yra mažesnė už hipotenuzą

Tada prisiminkime dvi formules iš planimetrijos kurso: lanko ilgis. Sektoriaus sritis:.

Mūsų atveju vaidmenį atlieka generatorius , o lanko ilgis lygus kūgio pagrindo perimetrui, tai yra. Mes turime:

Pagaliau gauname:.

Kartu su šoniniu paviršiaus plotu galima rasti ir bendrą paviršiaus plotą. Norėdami tai padaryti, pridėkite pagrindinį plotą prie šoninio paviršiaus ploto. Bet pagrindas yra spindulio apskritimas, kurio plotas lygus.

Galiausiai turime: , kur yra cilindro pagrindo spindulys, yra generatrix.

Išspręskime porą uždavinių naudodami pateiktas formules.

Ryžiai. 4. Norimas kampas

1 pavyzdys... Išlyginta kūgio pusė yra sektorius su viršūnės kampu. Raskite šį kampą, jei kūgio aukštis yra 4 cm, o pagrindo spindulys yra 3 cm (žr. 4 pav.).

Ryžiai. 5. Stačiakampis trikampis, formuojantis kūgį

Pirmuoju veiksmu pagal Pitagoro teoremą randame generatorių: 5 cm (žr. 5 pav.). Be to, mes tai žinome .

2 pavyzdys... Kūgio ašinės dalies plotas lygus, aukštis lygus. Raskite bendrą paviršiaus plotą (žr. 6 pav.).

Mokykloje tiriami revoliucijos kūnai yra cilindras, kūgis ir rutulys.

Jei matematikos egzamino užduotyje turite apskaičiuoti kūgio tūrį arba sferos plotą - laikykite save laimingu.

Taikykite cilindro, kūgio ir rutulio tūrio ir paviršiaus ploto formules. Jie visi yra mūsų lentelėje. Išmokti atmintinai. Čia ir prasideda stereometrijos žinios.

Kartais pravartu nupiešti vaizdą iš viršaus. Arba, kaip šioje problemoje, iš apačios.

2. Kiek kartų apie taisyklingą keturkampę piramidę aprašyto kūgio tūris yra didesnis už įbrėžto į šią piramidę kūgio tūrį?

Tai paprasta – nupieškite vaizdą iš apačios. Matome, kad didesnio apskritimo spindulys yra kartus didesnis nei mažesnio. Abiejų kūgių aukščiai vienodi. Vadinasi, didesnio kūgio tūris bus dvigubai didesnis.

Kitas svarbus momentas. Atminkite, kad matematikos USE versijų B dalies uždaviniuose atsakymas rašomas sveikojo skaičiaus arba galutinės dešimtainės trupmenos forma. Todėl jūsų atsakyme B dalyje neturėtų būti jokių žodžių. Taip pat nereikia keisti apytikslės skaičiaus reikšmės! Jis turi būti sumažintas visomis priemonėmis!. Tam kai kuriose problemose užduotis suformuluota, pavyzdžiui, taip: „Rasti cilindro šoninio paviršiaus plotą, padalytą iš“.

O kur dar taikomos sukimosi kūnų tūrio ir paviršiaus ploto formulės? Žinoma, užduotyje C2 (16). Mes taip pat jums apie tai papasakosime.

Kūgio paviršiaus plotas (arba tiesiog kūgio paviršius) yra lygus pagrindo ir šoninio paviršiaus plotų sumai.

Kūgio šoninio paviršiaus plotas apskaičiuojamas pagal formulę: S = πR l, kur R yra kūgio pagrindo spindulys ir l- kūgio generatorius.

Kadangi kūgio pagrindo plotas yra lygus πR 2 (kaip apskritimo plotas), viso kūgio paviršiaus plotas bus lygus: πR 2 + πR l= πR (R + l).

Kūgio šoninio paviršiaus ploto formulės išvedimą galima paaiškinti šiais argumentais. Tegul brėžinys parodo kūgio šoninio paviršiaus raidą. Lanką AB padalijame į kuo daugiau lygių dalių ir visus padalijimo taškus sujungiame su lanko centru, o gretimus – vieną su kitu styga.

Gauname lygių trikampių seriją. Kiekvieno trikampio plotas yra ai / 2, kur a yra trikampio pagrindo ilgis, a h- jo aukštas.

Visų trikampių plotų suma bus tokia: ai / 2 n = anh / 2, kur n yra trikampių skaičius.

Esant dideliam padalijimų skaičiui, trikampių plotų suma tampa labai artima šlavimo plotui, tai yra kūgio šoninio paviršiaus plotui. Trikampių pagrindų suma, t.y. an, tampa labai artimas lanko AB ilgiui, t.y., kūgio pagrindo perimetrui. Kiekvieno trikampio aukštis tampa labai artimas lanko spinduliui, tai yra, kūgio generatoriui.

Nepaisydami nereikšmingų šių kiekių dydžių skirtumų, gauname kūgio šoninio paviršiaus ploto (S) formulę:

S = C l / 2, kur C yra kūgio pagrindo perimetras, l- kūgio generatorius.

Žinodami, kad С = 2πR, kur R yra kūgio pagrindo perimetro spindulys, gauname: S = πR l.

Pastaba. Formulėje S = C l / 2, nustatytas tikslios, o ne apytikslės lygybės ženklas, nors remiantis minėtu samprotavimu, šią lygybę galėtume laikyti apytiksle. Tačiau vidurinėje mokykloje ta lygybė įrodyta

S = C l / 2 tikslūs, ne apytiksliai.

Teorema. Šoninis kūgio paviršius yra lygus pagrindo ir pusės generatrix perimetro sandaugai.

Įtraukime į kūgį kokią nors taisyklingą piramidę (pav.) Ir pažymime raidėmis R ir l skaičiai, išreiškiantys šios piramidės pagrindo ir apotemos perimetro ilgius.

Tada jo šoninis paviršius bus išreikštas gaminiu 1/2 R l .

Tarkime, kad į pagrindą įrašyto daugiakampio kraštinių skaičius didėja neribotai. Tada perimetras R bus linkęs į ribą, imamą kaip pagrindo apskritimo ilgį C, ir apotemą l kaip ribą turės kūgio generatrix (kadangi iš ΔSAK išplaukia, kad SA - SK
1 / 2 R l, bus linkusi iki 1/2 C ribos L. Ši riba laikoma kūgio šoninio paviršiaus reikšme. Pažymėję šoninį kūgio paviršių raide S, galime parašyti:

S = 1/2 C L = C 1/2 l

Pasekmės.
1) Kadangi C = 2 π R, tada šoninis kūgio paviršius išreiškiamas formule:

S = 1/2 2π R L = π RL

2) Gauname visą kūgio paviršių, jei prie pagrindo ploto pridedame šoninį paviršių; todėl visą paviršių pažymėdami T, turėsime:

T = π RL + π R 2 = π R (L + R)

Teorema. Nupjauto kūgio šoninis paviršius lygus pagrindų ir generatoriaus apskritimų ilgių pusės sumos sandaugai.

Į nupjautinį kūgį įrašykime kokią nors taisyklingą nupjautinę piramidę (pav.) Ir pažymėkime raidėmis p, p 1 ir l skaičiai, lygiais tiesiniais vienetais išreiškiantys šios piramidės apatinio ir viršutinio pagrindo perimetrų ilgį ir apotemą.

Tada įbrėžtos piramidės šoninis paviršius lygus 1/2 ( p + p 1) l

Neribotai padidėjus įbrėžtos piramidės šoninių paviršių skaičiui, perimetrai R ir R 1 yra linkęs į ribas, paimtas kaip bazinių apskritimų ilgiai C ir C 1 ir apotemas l turi nupjauto kūgio ribinę generatrix L. Vadinasi, įbrėžtos piramidės šoninio paviršiaus reikšmė linkusi į ribą, lygią (С + С 1) L. Ši riba laikoma nupjauto kūgio šoninio paviršiaus reikšme. Žymėdami nupjauto kūgio šoninį paviršių raide S, turėsime:

S = 1/2 (C + C 1) L

Pasekmės.
1) Jei R ir R 1 reiškia apatinio ir viršutinio pagrindo apskritimų spindulius, tada nupjauto kūgio šoninis paviršius bus:

S = 1/2 (2 π R + 2 π R 1) L = π (R + R 1) L.

2) Jei trapecijoje OO 1 A 1 A (pav.), Iš kurios sukimosi gaunamas nupjautas kūgis, brėžiame vidurinę liniją BC, tada gauname:

BC = 1/2 (OA + O 1 A 1) = 1/2 (R + R 1),

R + R 1 = 2BC.

Vadinasi,

S = 2 π BC L,

t.y. nupjauto kūgio šoninis paviršius lygus generatrix vidurinio pjūvio apskritimo sandaugai.

3) Visas nupjauto kūgio paviršius T išreiškiamas taip:

T = π (R 2 + R 1 2 + RL + R 1 L)

Mes žinome, kas yra kūgis, pabandykime surasti jo paviršiaus plotą. Kodėl reikia spręsti tokią problemą? Pavyzdžiui, reikia suprasti, kiek tešlos reikės vafliniam kūgiui pagaminti? Arba kiek plytų reikia norint pakloti mūrinį pilies stogą?

Išmatuoti kūgio šoninio paviršiaus plotą nėra lengva. Bet įsivaizduokime tą patį ragą, apvyniotą audeklu. Norėdami rasti audinio gabalo plotą, turite jį iškirpti ir paskleisti ant stalo. Gausime plokščią figūrą, galėsime rasti jos plotą.

Ryžiai. 1. Kūgio pjūvis išilgai generatrix

Tą patį padarykime su kūgiu. „Nukirpkime“ jo šoninį paviršių išilgai, pavyzdžiui, bet kurios generatoriaus (žr. 1 pav.).

Dabar „išvyniosime“ šoninį paviršių į plokštumą. Mes gauname sektorių. Šio sektoriaus centras yra kūgio viršūnė, sektoriaus spindulys lygus kūgio generatrix, o jo lanko ilgis sutampa su kūgio pagrindo perimetru. Toks sektorius vadinamas kūgio šoninio paviršiaus braukimu (žr. 2 pav.).

Ryžiai. 2. Šoninio paviršiaus vystymasis

Ryžiai. 3. Kampo matavimas radianais

Pabandykime pagal turimus duomenis surasti sektoriaus plotą. Pirmiausia įveskime žymėjimą: tegul kampas ties sektoriaus viršūne yra radianais (žr. 3 pav.).

Dažnai turėsime susidoroti su kampu, esančiu užduočių šlavimo viršuje. Kol kas pabandykime atsakyti į klausimą: ar šis kampas negali būti didesnis nei 360 laipsnių? Tai yra, ar nepasirodys, kad nuskaitymas užsidės ant savęs? Žinoma ne. Įrodykime tai matematiškai. Tegul nuskaitymas „persidengia“ pats. Tai reiškia, kad šlavimo lanko ilgis yra didesnis nei spindulio perimetras. Bet, kaip jau minėta, braukimo lanko ilgis yra apskritimo ilgis su spinduliu. Ir kūgio pagrindo spindulys, žinoma, yra mažesnis nei generatrix, pavyzdžiui, nes stačiakampio trikampio kojelė yra mažesnė už hipotenuzą

Tada prisiminkime dvi formules iš planimetrijos kurso: lanko ilgis. Sektoriaus sritis:.

Mūsų atveju vaidmenį atlieka generatorius , o lanko ilgis lygus kūgio pagrindo perimetrui, tai yra. Mes turime:

Pagaliau gauname:.

Kartu su šoniniu paviršiaus plotu galima rasti ir bendrą paviršiaus plotą. Norėdami tai padaryti, pridėkite pagrindinį plotą prie šoninio paviršiaus ploto. Bet pagrindas yra spindulio apskritimas, kurio plotas lygus.

Galiausiai turime: , kur yra cilindro pagrindo spindulys, yra generatrix.

Išspręskime porą uždavinių naudodami pateiktas formules.

Ryžiai. 4. Norimas kampas

1 pavyzdys... Išlyginta kūgio pusė yra sektorius su viršūnės kampu. Raskite šį kampą, jei kūgio aukštis yra 4 cm, o pagrindo spindulys yra 3 cm (žr. 4 pav.).

Ryžiai. 5. Stačiakampis trikampis, formuojantis kūgį

Pirmuoju veiksmu pagal Pitagoro teoremą randame generatorių: 5 cm (žr. 5 pav.). Be to, mes tai žinome .

2 pavyzdys... Kūgio ašinės dalies plotas lygus, aukštis lygus. Raskite bendrą paviršiaus plotą (žr. 6 pav.).