Trupmenų su skirtingais vardikliais dauginimo taisyklės. Frakcija. Paprastųjų, dešimtainių, mišrių trupmenų daugyba

Vidurinės ir vidurinės mokyklos kursuose studentai nagrinėjo temą „Trupmenos“. Tačiau ši sąvoka yra daug platesnė, nei pateikiama mokymosi procese. Šiandien su trupmenos sąvoka susiduriama gana dažnai, ir ne kiekvienas gali apskaičiuoti kokią nors išraišką, pavyzdžiui, padauginti trupmenas.

Kas yra trupmena?

Istoriškai trupmeniniai skaičiai atsirado dėl poreikio matuoti. Kaip rodo praktika, dažnai yra pavyzdžių, kaip nustatyti segmento ilgį ir stačiakampio stačiakampio tūrį.

Iš pradžių mokiniai supažindinami su akcijos sąvoka. Pavyzdžiui, jei padalysite arbūzą į 8 dalis, kiekvienas žmogus gaus vieną aštuntąją arbūzo. Ši viena aštuonių dalis vadinama akcija.

Dalis, lygi ½ bet kurios vertės, vadinama puse; ⅓ - trečia; ¼ - ketvirtadalis. 5/8, 4/5, 2/4 formos įrašai vadinami paprastosiomis trupmenomis. Paprastoji trupmena skirstoma į skaitiklį ir vardiklį. Tarp jų yra trupmenos juosta arba trupmenos juosta. Trupmeninė linija gali būti nubrėžta kaip horizontali arba įstriža linija. IN tokiu atveju tai reiškia padalijimo ženklą.

Vardiklis parodo, į kiek lygių dalių yra padalintas kiekis arba objektas; o skaitiklis – kiek paimama vienodų akcijų. Virš trupmenos linijos rašomas skaitiklis, po ja – vardiklis.

Patogiausia paprastąsias trupmenas rodyti koordinačių spindulyje. Jei vieneto segmentas yra padalintas į 4 lygias dalis, pažymėkite kiekvieną dalį Lotyniška raidė, tada rezultatas gali būti puikus vaizdinė medžiaga. Taigi taškas A rodo dalį, lygią 1/4 viso vieneto segmento, o taškas B žymi 2/8 tam tikros atkarpos.

Trupmenų rūšys

Trupmenos gali būti paprastieji, dešimtainiai ir mišrūs skaičiai. Be to, trupmenas galima suskirstyti į tinkamas ir netinkamas. Ši klasifikacija labiau tinka paprastosioms frakcijoms.

Tinkama trupmena yra skaičius, kurio skaitiklis yra mažesnis už jo vardiklį. Atitinkamai, neteisinga trupmena yra skaičius, kurio skaitiklis yra didesnis už jo vardiklį. Antrasis tipas paprastai rašomas kaip mišrus skaičius. Ši išraiška susideda iš sveikojo skaičiaus ir trupmeninės dalies. Pavyzdžiui, 1½. 1 - visa dalis, ½ - trupmena. Tačiau jei jums reikia atlikti kai kurias manipuliacijas su išraiška (dalinti ar dauginti trupmenas, jas sumažinti arba konvertuoti), mišrus skaičius paverčiamas netinkama trupmena.

Teisinga trupmeninė išraiška visada yra mažesnė už vieną, o neteisinga visada yra didesnė nei 1 arba lygi 1.

Kalbant apie šią išraišką, turime omenyje įrašą, kuriame pavaizduotas bet koks skaičius, kurio trupmeninės išraiškos vardiklis gali būti išreikštas vienetu su keliais nuliais. Jei trupmena yra tinkama, sveikoji dalis dešimtainėje žymėjime bus lygi nuliui.

Norėdami parašyti dešimtainę trupmeną, pirmiausia turite parašyti visą dalį, atskirti ją nuo trupmenos kableliu ir tada parašyti trupmenos išraišką. Reikia atsiminti, kad po kablelio skaitiklyje turi būti tiek pat skaitmeninių simbolių, kiek vardiklyje yra nulių.

Pavyzdys. Išreikškite trupmeną 7 21/1000 dešimtainiu žymėjimu.

Netinkamos trupmenos konvertavimo į mišrų skaičių ir atvirkščiai algoritmas

Neteisinga užduoties atsakyme rašyti netinkamą trupmeną, todėl ją reikia konvertuoti į mišrų skaičių:

• padalykite skaitiklį iš esamo vardiklio;
• V konkretus pavyzdys nepilnas koeficientas – visuma;
• o likusi dalis yra trupmeninės dalies skaitiklis, o vardiklis lieka nepakitęs.

Pavyzdys. Netinkamą trupmeną konvertuoti į mišrų skaičių: 47/5.

Sprendimas. 47: 5. Dalinis koeficientas yra 9, likusioji dalis = 2. Taigi, 47 / 5 = 9 2 / 5.

Kartais mišrų skaičių reikia pavaizduoti kaip netinkamą trupmeną. Tada turite naudoti šį algoritmą:

• sveikoji dalis dauginama iš trupmeninės išraiškos vardiklio;
• gautas produktas pridedamas prie skaitiklio;
• rezultatas rašomas skaitiklyje, vardiklis lieka nepakitęs.

Pavyzdys. Pateikite skaičių mišria forma kaip netinkamą trupmeną: 9 8 / 10.

Sprendimas. 9 x 10 + 8 = 90 + 8 = 98 yra skaitiklis.

Atsakymas: 98 / 10.

Trupmenų dauginimas

Su paprastosiomis trupmenomis galima atlikti įvairias algebrines operacijas. Norėdami padauginti du skaičius, turite padauginti skaitiklį iš skaitiklio, o vardiklį - iš vardiklio. Be to, dauginant trupmenas su skirtingus vardiklius niekuo nesiskiria nuo darbo trupmeniniai skaičiai su tais pačiais vardikliais.

Taip atsitinka, kad radus rezultatą reikia sumažinti frakciją. Būtina kiek įmanoma supaprastinti gautą išraišką. Žinoma, negalima sakyti, kad neteisinga trupmena atsakyme yra klaida, bet sunku ją pavadinti teisingu atsakymu.

Pavyzdys. Raskite dviejų paprastųjų trupmenų sandaugą: ½ ir 20/18.

Kaip matyti iš pavyzdžio, radus sandaugą gaunamas redukuojamas trupmeninis žymėjimas. Tiek skaitiklis, tiek vardiklis šiuo atveju dalijami iš 4, o rezultatas yra 5/9.

Dešimtainių trupmenų dauginimas

Dešimtainių trupmenų sandauga savo principu gerokai skiriasi nuo paprastųjų trupmenų sandaugos. Taigi, trupmenų dauginimas yra toks:

• dvi dešimtainės trupmenos turi būti rašomos viena po kita, kad dešiniausi skaitmenys būtų vienas po kito;
• reikia padauginti užrašytus skaičius, nepaisant kablelių, tai yra, kaip natūraliuosius skaičius;
• suskaičiuokite skaitmenų skaičių po kablelio kiekviename skaičiuje;
• rezultate, gautame po daugybos, reikia iš dešinės suskaičiuoti tiek skaitmeninių simbolių, kiek yra abiejų koeficientų sumoje po kablelio, ir įdėti skiriamąjį ženklą;
• jei gaminyje yra mažiau skaičių, tada prieš juos reikia parašyti tiek nulių, kad šis skaičius būtų padengtas, dėti kablelį ir pridėti visą nuliui lygią dalį.

Pavyzdys. Apskaičiuokite dviejų dešimtainių trupmenų sandaugą: 2,25 ir 3,6.

Sprendimas.

Mišrių trupmenų dauginimas

Norėdami apskaičiuoti dviejų mišrių frakcijų sandaugą, turite naudoti trupmenų dauginimo taisyklę:

• paversti mišrius skaičius į netinkamas trupmenas;
• rasti skaitiklių sandaugą;
• rasti vardiklių sandaugą;
• užrašykite rezultatą;
• kiek įmanoma supaprastinti išraišką.

Pavyzdys. Raskite sandaugą iš 4½ ir 6 2/5.

Skaičiaus padauginimas iš trupmenos (trupmenos iš skaičiaus)

Be dviejų trupmenų ir mišriųjų skaičių sandaugos radimo, yra užduočių, kuriose reikia padauginti iš trupmenos.

Taigi, norėdami rasti produktą dešimtainis ir natūralusis skaičius, jums reikia:

• parašykite skaičių po trupmena taip, kad dešiniausi skaitmenys būtų vienas virš kito;
• rasti produktą nepaisant kablelio;
• gautame rezultate kableliu atskirkite sveikąją dalį nuo trupmeninės dalies, skaičiuodami iš dešinės skaitmenų, esančių po trupmenos kablelio, skaičių.

Norėdami padauginti bendrąją trupmeną iš skaičiaus, turite rasti skaitiklio ir natūraliojo koeficiento sandaugą. Jei atsakymas sukuria trupmeną, kurią galima sumažinti, ją reikia konvertuoti.

Pavyzdys. Apskaičiuokite sandaugą iš 5/8 ir 12.

Sprendimas. 5 / 8 * 12 = (5*12) / 8 = 60 / 8 = 30 / 4 = 15 / 2 = 7 1 / 2.

Atsakymas: 7 1 / 2.

Kaip matote iš ankstesnio pavyzdžio, gautą rezultatą reikėjo sumažinti ir neteisingą trupmeninę išraišką paversti mišriu skaičiumi.

Trupmenų dauginimas taip pat susijęs su mišrios formos skaičiaus ir natūralaus koeficiento sandauga. Norėdami padauginti šiuos du skaičius, visą mišraus koeficiento dalį turėtumėte padauginti iš skaičiaus, skaitiklį padauginti iš tos pačios reikšmės ir vardiklį palikti nepakeistą. Jei reikia, turite kiek įmanoma supaprastinti gautą rezultatą.

Pavyzdys. Raskite 9 5/6 ir 9 sandaugą.

Sprendimas. 9 5 / 6 x 9 = 9 x 9 + (5 x 9) / 6 = 81 + 45 / 6 = 81 + 7 3 / 6 = 88 1 / 2.

Atsakymas: 88 1 / 2.

Padauginimas iš koeficientų 10, 100, 1000 arba 0,1; 0,01; 0,001

Tai išplaukia iš ankstesnės pastraipos kita taisyklė. Norėdami padauginti dešimtainę trupmeną iš 10, 100, 1000, 10 000 ir t. t., dešimtainį tašką reikia perkelti į dešinę tiek skaitmenų, kiek koeficiente po vieneto yra nulių.

1 pavyzdys. Raskite sandaugą iš 0,065 ir 1000.

Sprendimas. 0,065 x 1000 = 0065 = 65.

Atsakymas: 65.

2 pavyzdys. Raskite sandaugą iš 3,9 ir 1000.

Sprendimas. 3,9 x 1 000 = 3 900 x 1 000 = 3 900.

Atsakymas: 3900.

Jei reikia padauginti natūralųjį skaičių ir 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001 ir tt, gautame sandaugoje kablelį turėtumėte perkelti į kairę tiek skaitmenų simbolių, kiek nulių yra prieš vieną. Jei reikia, prieš natūralųjį skaičių rašomas pakankamas nulių skaičius.

1 pavyzdys. Raskite sandaugą iš 56 ir 0,01.

Sprendimas. 56 x 0,01 = 0056 = 0,56.

Atsakymas: 0,56.

2 pavyzdys. Raskite sandaugą iš 4 ir 0,001.

Sprendimas. 4 x 0,001 = 0004 = 0,004.

Atsakymas: 0,004.

Taigi, ieškant skirtingų trupmenų sandaugos neturėtų kilti jokių sunkumų, išskyrus galbūt rezultato apskaičiavimą; šiuo atveju tiesiog neapsieisite be skaičiuotuvo.

§ 87. Trupmenų sudėjimas.

Trupmenų pridėjimas turi daug panašumų su sveikųjų skaičių pridėjimu. Trupmenų sudėjimas yra veiksmas, susidedantis iš to, kad keli nurodyti skaičiai (dėmenys) sujungiami į vieną skaičių (sumą), kuriame yra visi terminų vienetų vienetai ir trupmenos.

Mes nagrinėsime tris atvejus iš eilės:

1. Trupmenų su panašiais vardikliais sudėjimas.
2. Trupmenų su skirtingais vardikliais sudėjimas.
3. Mišrių skaičių pridėjimas.

1. Trupmenų su panašiais vardikliais sudėjimas.

Apsvarstykite pavyzdį: 1/5 + 2/5.

Paimkime atkarpą AB (17 pav.), paimkime kaip vieną ir padalinkime iš 5 lygiomis dalimis, tada šio segmento dalis AC bus lygi 1/5 segmento AB, o dalis to paties segmento CD bus lygi 2/5 AB.

Iš brėžinio aišku, kad jei imsime atkarpą AD, ji bus lygi 3/5 AB; bet segmentas AD yra būtent atkarpų AC ir CD suma. Taigi galime parašyti:

1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5

Atsižvelgdami į šiuos terminus ir gautą sumą, matome, kad sumos skaitiklis gautas sudėjus terminų skaitiklius, o vardiklis liko nepakitęs.

Iš to gauname tokią taisyklę: Norėdami pridėti trupmenas su tais pačiais vardikliais, turite pridėti jų skaitiklius ir palikti tą patį vardiklį.

Pažiūrėkime į pavyzdį:

2. Trupmenų su skirtingais vardikliais sudėjimas.

Sudėkime trupmenas: 3 / 4 + 3 / 8 Pirmiausia jas reikia sumažinti iki mažiausio bendro vardiklio:

Neįmanoma įrašyti tarpinės nuorodos 6/8 + 3/8; aiškumo dėlei tai parašėme čia.

Taigi, norėdami pridėti trupmenas su skirtingais vardikliais, pirmiausia turite jas sumažinti iki mažiausio bendro vardiklio, pridėti jų skaitiklius ir pasirašyti Bendras vardiklis.

Panagrinėkime pavyzdį (virš atitinkamų trupmenų parašysime papildomus veiksnius):

3. Mišrių skaičių pridėjimas.

Sudėkime skaičius: 2 3/8 + 3 5/6.

Pirmiausia suveskime savo skaičių trupmenines dalis į bendrą vardiklį ir dar kartą perrašykime:

Dabar iš eilės pridedame sveikąsias ir trupmenines dalis:

§ 88. Trupmenų atėmimas.

Trupmenų atėmimas apibrėžiamas taip pat, kaip ir sveikųjų skaičių atėmimas. Tai veiksmas, kurio pagalba, atsižvelgiant į dviejų ir vieno iš jų sumą, randamas kitas terminas. Panagrinėkime tris atvejus iš eilės:

1. Trupmenų su panašiais vardikliais atėmimas.
2. Trupmenų su skirtingais vardikliais atėmimas.
3. Mišriųjų skaičių atėmimas.

1. Trupmenų su panašiais vardikliais atėmimas.

Pažiūrėkime į pavyzdį:

13 / 15 - 4 / 15

Paimkime atkarpą AB (18 pav.), imkime kaip vienetą ir padalinkime į 15 lygių dalių; tada šio segmento dalis AC sudarys 1/15 AB, o to paties segmento dalis AD atitiks 13/15 AB. Atidėkime kitą atkarpą ED, lygią 4/15 AB.

Turime atimti trupmeną 4/15 iš 13/15. Brėžinyje tai reiškia, kad atkarpa ED turi būti atimta iš segmento AD. Dėl to išliks segmentas AE, kuris sudaro 9/15 segmento AB. Taigi galime parašyti:

Mūsų pateiktame pavyzdyje matyti, kad skirtumo skaitiklis gautas atėmus skaitiklius, tačiau vardiklis liko toks pat.

Todėl, norėdami atimti trupmenas su panašiais vardikliais, turite atimti mažmeninės dalies skaitiklį iš mažosios dalies skaitiklio ir palikti tą patį vardiklį.

2. Trupmenų su skirtingais vardikliais atėmimas.

Pavyzdys. 3/4 - 5/8

Pirmiausia sumažinkime šias trupmenas iki mažiausio bendro vardiklio:

Aiškumo dėlei čia parašyta tarpinė 6 / 8 - 5 / 8, tačiau vėliau ją galima praleisti.

Taigi, norėdami atimti trupmeną iš trupmenos, pirmiausia turite jas sumažinti iki mažiausio bendro vardiklio, tada atimti minuendo skaitiklį iš mažumos skaitiklio ir pasirašyti bendrą vardiklį pagal jų skirtumą.

Pažiūrėkime į pavyzdį:

3. Mišriųjų skaičių atėmimas.

Pavyzdys. 10 3/4 - 7 2/3.

Sumažinkime trupmenines minuend ir atimties dalis iki mažiausio bendro vardiklio:

Iš visumos atėmėme visumą, o iš trupmenos – trupmeną. Tačiau yra atvejų, kai trupmeninė poskyrio dalis yra didesnė už trupmeninę minuend dalį. Tokiais atvejais reikia paimti vieną vienetą iš visos minuend dalies, padalyti į tas dalis, kuriose išreikšta trupmeninė dalis, ir pridėti prie trupmeninės minutės dalies. Tada atimimas bus atliktas taip pat, kaip ir ankstesniame pavyzdyje:

§ 89. Trupmenų daugyba.

Tirdami trupmenų daugybą, mes atsižvelgsime tolesni klausimai:

1. Trupmenos padauginimas iš sveikojo skaičiaus.
2. Duoto skaičiaus trupmenos radimas.
3. Sveikojo skaičiaus padauginimas iš trupmenos.
4. Trupmenos dauginimas iš trupmenos.
5. Mišrių skaičių daugyba.
6. Susidomėjimo samprata.
7. Duoto skaičiaus procentinės dalies radimas. Panagrinėkime juos paeiliui.

1. Trupmenos padauginimas iš sveikojo skaičiaus.

Trupmenos padauginimas iš sveikojo skaičiaus turi tą pačią reikšmę kaip sveikojo skaičiaus padauginimas iš sveikojo skaičiaus. Padauginti trupmeną (daugiklį) iš sveikojo skaičiaus (koeficiento) reiškia sukurti identiškų narių sumą, kurioje kiekvienas narys yra lygus dauginimui, o narių skaičius lygus daugikliui.

Tai reiškia, kad jei jums reikia padauginti 1/9 iš 7, tai galima padaryti taip:

Rezultatą gavome nesunkiai, nes veiksmas buvo sumažintas iki trupmenų su tais pačiais vardikliais pridėjimo. Vadinasi,

Atsižvelgus į šį veiksmą, matyti, kad trupmenos padauginimas iš sveikojo skaičiaus prilygsta šios trupmenos padidinimui tiek kartų, kiek vienetų yra sveikame skaičiuje. Ir kadangi trupmenos didinimas pasiekiamas arba padidinus jos skaitiklį

arba sumažinant jo vardiklį , tada skaitiklį galime padauginti iš sveikojo skaičiaus arba padalyti iš jo vardiklį, jei toks padalijimas yra įmanomas.

Iš čia gauname taisyklę:

Norėdami padauginti trupmeną iš sveikojo skaičiaus, padauginkite skaitiklį iš viso skaičiaus ir palikite vardiklį tokį pat arba, jei įmanoma, padalykite vardiklį iš to skaičiaus, palikdami skaitiklį nepakeistą.

Dauginant galimos santrumpos, pavyzdžiui:

2. Duoto skaičiaus trupmenos radimas. Yra daug problemų, dėl kurių turite rasti arba apskaičiuoti tam tikro skaičiaus dalį. Skirtumas tarp šių problemų nuo kitų yra tas, kad jose nurodomas kai kurių objektų skaičius arba matavimo vienetai ir reikia rasti šio skaičiaus dalį, kuri čia taip pat nurodoma tam tikra trupmena. Kad būtų lengviau suprasti, pirmiausia pateiksime tokių problemų pavyzdžių, o tada pristatysime jų sprendimo būdą.

1 užduotis. Aš turėjau 60 rublių; 1/3 šių pinigų išleidau knygoms pirkti. Kiek kainavo knygos?

2 užduotis. Traukinys turi nuvažiuoti atstumą tarp miestų A ir B, lygų 300 km. Jis jau įveikė 2/3 šio atstumo. Kiek tai kilometrų?

3 užduotis. Kaime yra 400 namų, 3/4 jų mūriniai, likusieji mediniai. Kiek iš viso yra mūrinių namų?

Tai yra keletas iš daugelio problemų, su kuriomis susiduriame norėdami rasti tam tikro skaičiaus dalį. Paprastai jie vadinami problemomis, siekiant rasti tam tikro skaičiaus trupmeną.

1 problemos sprendimas. Nuo 60 rub. 1/3 išleidau knygoms; Tai reiškia, kad norėdami sužinoti knygų kainą, skaičių 60 turite padalyti iš 3:

2 problemos sprendimas. Problemos esmė ta, kad reikia rasti 2/3 iš 300 km. Pirmiausia apskaičiuokime 1/3 iš 300; tai pasiekiama 300 km padalijus iš 3:

300: 3 = 100 (tai yra 1/3 iš 300).

Norėdami rasti du trečdalius iš 300, turite padvigubinti gautą koeficientą, t. y. padauginti iš 2:

100 x 2 = 200 (tai yra 2/3 iš 300).

3 problemos sprendimas.Čia reikia nustatyti mūrinių namų, kurie sudaro 3/4 iš 400, skaičių. Pirmiausia suraskime 1/4 iš 400,

400: 4 = 100 (tai yra 1/4 iš 400).

Norint apskaičiuoti tris ketvirčius iš 400, gautą koeficientą reikia patrigubinti, ty padauginti iš 3:

100 x 3 = 300 (tai yra 3/4 iš 400).

Remdamiesi šių problemų sprendimu, galime išvesti tokią taisyklę:

Norėdami rasti trupmenos vertę iš nurodyto skaičiaus, turite padalyti šį skaičių iš trupmenos vardiklio ir padauginti gautą koeficientą iš jo skaitiklio.

3. Sveikojo skaičiaus padauginimas iš trupmenos.

Anksčiau (§ 26) buvo nustatyta, kad sveikųjų skaičių daugyba turėtų būti suprantama kaip identiškų narių sudėjimas (5 x 4 = 5+5 +5+5 = 20). Šioje pastraipoje (1 punktas) nustatyta, kad trupmenos padauginimas iš sveikojo skaičiaus reiškia, kad reikia rasti identiškų narių sumą, lygią šiai trupmenai.

Abiem atvejais dauginimas susideda iš identiškų terminų sumos radimo.

Dabar pereiname prie sveikojo skaičiaus padauginimo iš trupmenos. Čia, pavyzdžiui, susidursime su daugyba: 9 2/3. Akivaizdu, kad ankstesnis daugybos apibrėžimas šiuo atveju negalioja. Tai akivaizdu iš to, kad tokio daugybos negalime pakeisti pridėdami vienodus skaičius.

Dėl to turėsime pateikti naują daugybos apibrėžimą, t.y., kitaip tariant, atsakyti į klausimą, ką reikėtų suprasti dauginant iš trupmenos, kaip suprasti šį veiksmą.

Sveikojo skaičiaus padauginimo iš trupmenos prasmė yra aiški iš šio apibrėžimo: sveikojo skaičiaus (daugiklio) padauginimas iš trupmenos (daugiklis) reiškia, kad reikia rasti šią daugiklio trupmeną.

Būtent, padauginti 9 iš 2/3 reiškia rasti 2/3 iš devynių vienetų. Ankstesnėje pastraipoje tokios problemos buvo išspręstos; todėl nesunku suprasti, kad baigsime 6.

Tačiau dabar yra įdomus ir svarbus klausimas: kodėl jie tokie iš pirmo žvilgsnio? įvairių veiksmų Kaip aritmetikoje rasti vienodų skaičių sumą ir skaičiaus trupmeną vadinama tuo pačiu žodžiu „daugyba“?

Taip atsitinka todėl, kad ankstesnis veiksmas (skaičiaus su terminais kartojimas kelis kartus) ir naujas veiksmas (skaičiaus trupmenos radimas) duoda atsakymus į vienarūšius klausimus. Tai reiškia, kad čia mes vadovaujamės samprotavimais, kad vienarūšiai klausimai ar užduotys išsprendžiami tuo pačiu veiksmu.

Norėdami tai suprasti, apsvarstykite šią problemą: „1 m audinio kainuoja 50 rublių. Kiek kainuos 4 m tokio audinio?

Ši problema išspręsta padauginus rublių skaičių (50) iš metrų (4), ty 50 x 4 = 200 (rublių).

Paimkime tą pačią problemą, bet joje audinio kiekis bus išreikštas trupmena: „1 m audinio kainuoja 50 rublių. Kiek kainuos 3/4 m tokio audinio?“

Šią problemą taip pat reikia išspręsti padauginus rublių skaičių (50) iš metrų (3/4).

Jame esančius skaičius galite keisti dar kelis kartus, nekeisdami uždavinio reikšmės, pavyzdžiui, paimkite 9/10 m arba 2 3/10 m ir pan.

Kadangi šios problemos yra vienodo turinio ir skiriasi tik skaičiais, jas sprendžiant naudojamus veiksmus vadiname tuo pačiu žodžiu – daugyba.

Kaip sveikąjį skaičių padauginti iš trupmenos?

Paimkime skaičius, su kuriais susiduriama paskutinėje užduotyje:

Pagal apibrėžimą turime rasti 3/4 iš 50. Pirmiausia suraskime 1/4 iš 50, o tada 3/4.

1/4 iš 50 yra 50/4;

3/4 skaičiaus 50 yra .

Vadinasi.

Panagrinėkime kitą pavyzdį: 12 5 / 8 =?

1/8 skaičiaus 12 yra 12/8,

5/8 skaičiaus 12 yra .

Vadinasi,

Iš čia gauname taisyklę:

Norėdami padauginti sveiką skaičių iš trupmenos, turite padauginti sveiką skaičių iš trupmenos skaitiklio ir padaryti šį sandaugą skaitikliu, o vardikliu pažymėti šios trupmenos vardiklį.

Parašykime šią taisyklę raidėmis:

Kad ši taisyklė būtų visiškai aiški, reikia atsiminti, kad trupmeną galima laikyti koeficientu. Todėl naudinga rastą taisyklę palyginti su skaičiaus dauginimo iš koeficiento taisykle, kuri buvo išdėstyta § 38

Svarbu atsiminti, kad prieš atlikdami daugybą, turėtumėte atlikti (jei įmanoma) sumažinimai, Pavyzdžiui:

4. Trupmenos dauginimas iš trupmenos. Trupmenos dauginimas iš trupmenos turi tą pačią reikšmę kaip sveikojo skaičiaus padauginimas iš trupmenos, t.

Būtent, padauginti 3/4 iš 1/2 (pusės), reiškia rasti pusę 3/4.

Kaip padauginti trupmeną iš trupmenos?

Paimkime pavyzdį: 3/4 padauginta iš 5/7. Tai reiškia, kad reikia rasti 5/7 iš 3/4. Pirmiausia suraskime 1/7 iš 3/4, o tada 5/7

1/7 skaičiaus 3/4 bus išreikšta taip:

5/7 skaičiai 3/4 bus išreikšti taip:

Taigi,

Kitas pavyzdys: 5/8 padauginta iš 4/9.

1/9 iš 5/8 yra ,

4/9 skaičiaus 5/8 yra .

Taigi,

Iš šių pavyzdžių galima padaryti tokią taisyklę:

Norėdami padauginti trupmeną iš trupmenos, turite padauginti skaitiklį iš skaitiklio, o vardiklį - iš vardiklio ir padaryti pirmąjį sandaugą skaitikliu, o antrąjį sandaugą - sandaugos vardikliu.

Tai yra taisyklė bendras vaizdas galima parašyti taip:

Dauginant, būtina (jei įmanoma) sumažinti. Pažiūrėkime į pavyzdžius:

5. Mišrių skaičių daugyba. Kadangi mišrūs skaičiai gali būti lengvai pakeisti netinkamomis trupmenomis, ši aplinkybė dažniausiai naudojama dauginant mišrius skaičius. Tai reiškia, kad tais atvejais, kai daugiklis, daugiklis arba abu veiksniai išreiškiami mišriais skaičiais, jie pakeičiami netinkamomis trupmenomis. Padauginkime, pavyzdžiui, mišrius skaičius: 2 1/2 ir 3 1/5. Kiekvieną iš jų paverskime netinkama trupmena ir gautas trupmenas padauginkime pagal trupmenos dauginimo iš trupmenos taisyklę:

Taisyklė. Norėdami padauginti mišrius skaičius, pirmiausia turite juos paversti netinkamomis trupmenomis, o tada padauginti pagal trupmenų dauginimo iš trupmenų taisyklę.

Pastaba. Jei vienas iš veiksnių yra sveikasis skaičius, tada daugyba gali būti atliekama pagal paskirstymo dėsnį taip:

6. Susidomėjimo samprata. Spręsdami uždavinius ir atlikdami įvairius praktinius skaičiavimus, naudojame visokias trupmenas. Tačiau reikia turėti omenyje, kad daugelis kiekių leidžia jiems skirstyti ne bet kokius, o natūralius. Pavyzdžiui, galite paimti vieną šimtąją (1/100) rublio dalį, tai bus kapeika, dvi šimtosios yra 2 kapeikos, trys šimtosios yra 3 kapeikos. Galite paimti 1/10 rublio, tai bus "10 kapeikų, arba dešimties kapeikų gabalas. Galite paimti ketvirtadalį rublio, t.y 25 kapeikų, pusę rublio, t.y. 50 kapeikų (penkiasdešimt kapeikų). Bet jie praktiškai neima, pavyzdžiui, 2/7 rublio, nes rublis neskirstomas į septintąsias dalis.

Svorio vienetas, t.y. kilogramas, pirmiausia leidžia padalyti po kablelio, pavyzdžiui, 1/10 kg arba 100 g. O tokios kilogramo trupmenos kaip 1/6, 1/11, 1/13 nėra dažnos.

Paprastai mūsų (metriniai) matai yra dešimtainiai ir leidžia padalyti po kablelio.

Tačiau reikia pastebėti, kad itin naudinga ir patogu pačiais įvairiausiais atvejais naudoti tą patį (vienodą) kiekių padalijimo būdą. Ilgametė patirtis parodė, kad toks gerai pagrįstas padalijimas yra „šimtasis“ padalijimas. Panagrinėkime keletą pavyzdžių, susijusių su pačiomis įvairiausiomis žmogaus praktikos sritimis.

1. Knygų kaina sumažėjo 12/100 ankstesnės kainos.

Pavyzdys. Ankstesnė knygos kaina buvo 10 rublių. Sumažėjo 1 rubliu. 20 kapeikų

2. Taupomosios kasos indėlininkams per metus išmoka 2/100 santaupoms įneštos sumos.

Pavyzdys. Į kasą įnešama 500 rublių, pajamos iš šios sumos per metus – 10 rublių.

3. Vieną mokyklą baigė 5/100 visų mokinių.

PAVYZDYS Mokykloje mokėsi tik 1200 mokinių, iš kurių 60 baigė.

Šimtoji skaičiaus dalis vadinama procentais.

Žodis „procentas“ yra pasiskolintas iš lotynų kalba o jo šaknis „centas“ reiškia šimtą. Kartu su prielinksniu (pro centum) šis žodis reiškia „už šimtą“. Tokio posakio prasmė išplaukia iš to, kad iš pradžių in senovės Roma palūkanos buvo pinigai, kuriuos skolininkas mokėjo skolintojui „už kiekvieną šimtą“. Žodis „centas“ girdimas tokiais pažįstamais žodžiais: centneris (šimtas kilogramų), centimetras (tarkim, centimetras).

Pavyzdžiui, užuot sakę, kad per pastarąjį mėnesį gamykla pagamino 1/100 visos jos gaminamos produkcijos buvo brokuotos, pasakysime taip: per pastarąjį mėnesį gamykla pagamino vieną procentą defektų. Užuot sakę: gamykla pagamino 4/100 produkcijos daugiau nei numatytas planas, sakysime: gamykla planą viršijo 4 procentais.

Aukščiau pateikti pavyzdžiai gali būti išreikšti skirtingai:

1. Knygų kaina sumažėjo 12 procentų nuo ankstesnės kainos.

2. Taupomosios kasos indėlininkams moka 2 procentus per metus nuo į santaupų įneštos sumos.

3. Vieną mokyklą baigė 5 procentai visų mokyklos mokinių.

Norint sutrumpinti raidę, vietoj žodžio „procentai“ įprasta rašyti simbolį %.

Tačiau reikia atsiminti, kad skaičiuojant % ženklas paprastai nerašomas, jis gali būti rašomas problemos teiginyje ir galutiniame rezultate. Atliekant skaičiavimus, šiuo simboliu reikia parašyti trupmeną, kurios vardiklis yra 100, o ne sveikasis skaičius.

Turite turėti galimybę pakeisti sveikąjį skaičių nurodyta piktograma trupmena, kurios vardiklis yra 100:

Ir atvirkščiai, reikia priprasti prie sveikojo skaičiaus rašymo su nurodytu simboliu, o ne trupmena, kurios vardiklis yra 100:

7. Duoto skaičiaus procentinės dalies radimas.

1 užduotis. Mokykla gavo 200 kub. m malkų, beržinėms malkoms tenka 30 proc. Kiek ten buvo beržinių malkų?

Šios problemos prasmė ta, kad beržinės malkos sudarė tik dalį malkų, kurios buvo pristatytos į mokyklą, ir ši dalis išreiškiama trupmena 30/100. Tai reiškia, kad turime užduotį surasti skaičiaus trupmeną. Norėdami ją išspręsti, turime 200 padauginti iš 30/100 (skaičiaus trupmenos radimo problemos išsprendžiamos skaičių padauginus iš trupmenos.).

Tai reiškia, kad 30% iš 200 yra lygus 60.

Dalis 30/100, su kuria susiduria ši problema, gali būti sumažinta 10. Šį sumažinimą būtų galima padaryti nuo pat pradžių; problemos sprendimas nebūtų pasikeitęs.

2 užduotis. Stovykloje buvo 300 įvairaus amžiaus vaikų. 11 metų vaikai sudarė 21%, 12 metų vaikai – 61%, galiausiai 13 metų vaikai – 18%. Kiek kiekvieno amžiaus vaikų buvo stovykloje?

Šioje užduotyje reikia atlikti tris skaičiavimus, t. y. paeiliui rasti 11 metų, tada 12 metų ir galiausiai 13 metų vaikų skaičių.

Tai reiškia, kad čia jums reikės tris kartus rasti skaičiaus trupmeną. Padarykime tai:

1) Kiek buvo 11 metų vaikų?

2) Kiek ten buvo 12 metų vaikų?

3) Kiek buvo 13 metų vaikų?

Išsprendus uždavinį, pravartu sudėti rastus skaičius; jų suma turėtų būti 300:

63 + 183 + 54 = 300

Taip pat reikia pažymėti, kad problemos teiginyje nurodytų procentų suma yra 100:

21% + 61% + 18% = 100%

Tai rodo, kad iš viso vaikų stovykloje buvo paimti kaip 100 proc.

3 ir d a h a 3. Darbininkas gaudavo 1200 rublių per mėnesį. Iš jų 65% jis išleido maistui, 6% butams ir šildymui, 4% dujoms, elektrai ir radijui, 10% kultūros reikmėms ir 15% taupė. Kiek pinigų buvo išleista užduotyje nurodytiems poreikiams?

Norėdami išspręsti šią problemą, turite rasti 5 kartų trupmeną iš 1200. Padarykime tai.

1) Kiek pinigų išleido maistui? Problema sako, kad šios išlaidos sudaro 65% viso uždarbio, t. y. 65/100 skaičiaus 1200. Paskaičiuokime:

2) Kiek sumokėjote pinigų už butą su šildymu? Motyvuodami panašiai kaip ir ankstesniame, gauname tokį skaičiavimą:

3) Kiek pinigų sumokėjote už dujas, elektrą ir radiją?

4) Kiek pinigų buvo išleista kultūros reikmėms?

5) Kiek pinigų darbuotojas sutaupė?

Norėdami patikrinti, pravartu susumuoti šiuose 5 klausimuose rastus skaičius. Suma turėtų būti 1200 rublių. Visas uždarbis imamas kaip 100%, o tai lengva patikrinti sudėjus problemos teiginyje pateiktus procentus.

Išsprendėme tris problemas. Nepaisant to, kad šios problemos buvo susijusios su skirtingais dalykais (malkų pristatymas mokyklai, įvairaus amžiaus vaikų skaičius, darbuotojų išlaidos), jos buvo sprendžiamos vienodai. Taip atsitiko todėl, kad visuose uždaviniuose reikėjo rasti kelis procentus pateiktų skaičių.

§ 90. Trupmenų skirstymas.

Tirdami trupmenų padalijimą, apsvarstysime šiuos klausimus:

1. Padalinkite sveikąjį skaičių iš sveikojo skaičiaus.
2. Trupmenos dalijimas iš sveikojo skaičiaus
3. Sveikojo skaičiaus dalijimas iš trupmenos.
4. Trupmenos dalijimas iš trupmenos.
5. Mišriųjų skaičių dalyba.
6. Skaičiaus iš duotosios trupmenos radimas.
7. Skaičiaus radimas procentais.

Panagrinėkime juos paeiliui.

1. Padalinkite sveikąjį skaičių iš sveikojo skaičiaus.

Kaip buvo nurodyta sveikųjų skaičių skyriuje, padalijimas yra veiksmas, kurį sudaro tai, kad, atsižvelgiant į dviejų veiksnių sandaugą (dividendą) ir vieną iš šių veiksnių (daliklį), randamas kitas veiksnys.

Skiltyje apie sveikuosius skaičius pažvelgėme į sveikojo skaičiaus padalijimą iš sveikojo skaičiaus. Ten susidūrėme su dviem padalijimo atvejais: padalijimas be likučio arba „visiškai“ (150: 10 = 15) ir padalijimas su liekana (100: 9 = 11 ir 1 likutis). Todėl galime sakyti, kad sveikųjų skaičių srityje tikslus padalijimas ne visada įmanomas, nes dividendas ne visada yra daliklio sandauga iš sveikojo skaičiaus. Įvedę daugybą iš trupmenos, galime laikyti galimu bet kokį sveikųjų skaičių dalijimo atvejį (neįtraukiama tik dalybos iš nulio).

Pavyzdžiui, 7 dalijimas iš 12 reiškia, kad reikia rasti skaičių, kurio sandauga iš 12 būtų lygi 7. Toks skaičius yra trupmena 7 / 12, nes 7 / 12 12 = 7. Kitas pavyzdys: 14: 25 = 14 / 25, nes 14 / 25 25 = 14.

Taigi, norint padalyti sveikąjį skaičių iš sveikojo skaičiaus, reikia sukurti trupmeną, kurios skaitiklis lygus dividendui, o vardiklis – dalikliui.

2. Trupmenos dalijimas iš sveikojo skaičiaus.

Padalinkite trupmeną 6/7 iš 3. Pagal aukščiau pateiktą padalijimo apibrėžimą, čia gauname sandaugą (6/7) ir vieną iš faktorių (3); reikia rasti antrą koeficientą, kurį padauginus iš 3 gautas sandaugas gautų 6/7. Akivaizdu, kad jis turėtų būti tris kartus mažesnis nei šis produktas. Tai reiškia, kad mūsų užduotis buvo sumažinti trupmeną 6/7 3 kartus.

Jau žinome, kad trupmeną galima sumažinti sumažinant jos skaitiklį arba padidinant vardiklį. Todėl galite rašyti:

Šiuo atveju skaitiklis 6 dalijasi iš 3, todėl skaitiklis turėtų būti sumažintas 3 kartus.

Paimkime kitą pavyzdį: 5 / 8 padalintas iš 2. Čia skaitiklis 5 nesidalija iš 2, tai reiškia, kad vardiklį reikės padauginti iš šio skaičiaus:

Remiantis tuo, galima sudaryti taisyklę: Norėdami padalyti trupmeną iš sveikojo skaičiaus, trupmenos skaitiklį turite padalyti iš sveikojo skaičiaus.(jei įmanoma), paliekant tą patį vardiklį, arba padauginkite trupmenos vardiklį iš šio skaičiaus, palikdami tą patį skaitiklį.

3. Sveikojo skaičiaus dalijimas iš trupmenos.

Tegu reikia padalyti 5 iš 1/2, t.y. rasti skaičių, kurį padauginus iš 1/2 gautų sandaugą 5. Akivaizdu, kad šis skaičius turi būti didesnis nei 5, nes 1/2 yra tinkama trupmena , o dauginant skaičių tinkamos trupmenos sandauga turi būti mažesnė už dauginamą sandaugą. Kad tai būtų aiškiau, parašykime savo veiksmus taip: 5: 1 / 2 = X , o tai reiškia x 1/2 = 5.

Turime rasti tokį skaičių X , kurį padauginus iš 1/2 gautume 5. Kadangi padauginus tam tikrą skaičių iš 1/2 reiškia rasti 1/2 šio skaičiaus, vadinasi, 1/2 nežinomo skaičiaus X yra lygus 5, ir visas skaičius X dvigubai daugiau, t. y. 5 2 = 10.

Taigi 5: 1/2 = 5 2 = 10

Patikrinkime:

Pažvelkime į kitą pavyzdį. Tarkime, kad norite padalyti 6 iš 2/3. Pirmiausia pabandykime rasti norimą rezultatą, naudodami piešinį (19 pav.).

19 pav

Nubraižykime atkarpą AB, lygią 6 vienetams, ir kiekvieną vienetą padalinkime į 3 lygias dalis. Kiekviename vienete trys trečdaliai (3/3) viso segmento AB yra 6 kartus didesnis, t.y. e. 18/3. Naudodami mažus skliaustus, sujungiame 18 gautų segmentų iš 2; Bus tik 9 segmentai. Tai reiškia, kad frakcija 2/3 yra 6 vienetuose 9 kartus, arba, kitaip tariant, frakcija 2/3 yra 9 kartus mažesnė nei 6 sveiki vienetai. Vadinasi,

Kaip gauti šį rezultatą be brėžinio naudojant vien skaičiavimus? Samprotuokime taip: reikia padalyti 6 iš 2/3, t.y. reikia atsakyti į klausimą, kiek kartų 2/3 yra 6. Iš pradžių išsiaiškinkime: kiek kartų 1/3 yra 6? Visame vienete yra 3 trečdaliai, o 6 vienetuose - 6 kartus daugiau, t.y. 18 trečdalių; Norėdami rasti šį skaičių, turime padauginti 6 iš 3. Tai reiškia, kad 1/3 yra b vienetuose 18 kartų, o 2/3 yra b vienetuose ne 18 kartų, o perpus tiek kartų, ty 18: 2 = 9 . Todėl dalydami 6 iš 2/3 padarėme taip:

Iš čia gauname sveikojo skaičiaus dalijimo iš trupmenos taisyklę. Norėdami padalyti sveikąjį skaičių iš trupmenos, turite padauginti šį sveiką skaičių iš duotosios trupmenos vardiklio ir, padarę šį sandaugą skaitikliu, padalykite jį iš duotosios trupmenos skaitiklio.

Parašykime taisyklę raidėmis:

Kad ši taisyklė būtų visiškai aiški, reikia atsiminti, kad trupmeną galima laikyti koeficientu. Todėl naudinga rastą taisyklę palyginti su skaičiaus padalijimo iš koeficiento taisykle, kuri buvo išdėstyta § 38. Atkreipkite dėmesį, kad ten buvo gauta ta pati formulė.

Skirstant galimos santrumpos, pavyzdžiui:

4. Trupmenos dalijimas iš trupmenos.

Tarkime, kad reikia padalyti 3/4 iš 3/8. Ką reikš skaičius, gautas padalijus? Jis atsakys į klausimą, kiek kartų trupmena 3/8 yra trupmenoje 3/4. Norėdami suprasti šią problemą, padarykite brėžinį (20 pav.).

Paimkime atkarpą AB, paimkime kaip vieną, padalinkime į 4 lygias dalis ir pažymime 3 tokias dalis. Segmentas AC bus lygus 3/4 segmento AB. Dabar kiekvieną iš keturių pradinių atkarpų padalinkime per pusę, tada atkarpa AB bus padalinta į 8 lygias dalis ir kiekviena tokia dalis bus lygi 1/8 atkarpos AB. Sujungkime 3 tokias atkarpas lankais, tada kiekvienas atkarpas AD ir DC bus lygus 3/8 atkarpos AB. Brėžinyje parodyta, kad segmentas, lygus 3/8, yra segmente, lygus 3/4 lygiai 2 kartus; Tai reiškia, kad padalijimo rezultatas gali būti parašytas taip:

3 / 4: 3 / 8 = 2

Pažvelkime į kitą pavyzdį. Tarkime, kad reikia padalyti 15/16 iš 3/32:

Galime samprotauti taip: reikia rasti skaičių, kurį padauginus iš 3/32 gautume sandaugą, lygią 15/16. Parašykime skaičiavimus taip:

15 / 16: 3 / 32 = X

3 / 32 X = 15 / 16

3/32 nežinomas numeris X yra 15/16

1/32 nežinomo skaičiaus X yra ,

32/32 skaičiai X makiažas .

Vadinasi,

Taigi, norėdami padalyti trupmeną iš trupmenos, turite padauginti pirmosios trupmenos skaitiklį iš antrosios vardiklio, o pirmosios trupmenos vardiklį padauginti iš antrosios skaitiklio, o pirmąjį sandaugą padaryti skaitikliu, o antrasis vardiklis.

Parašykime taisyklę raidėmis:

Skirstant galimos santrumpos, pavyzdžiui:

5. Mišriųjų skaičių dalyba.

Dalijant mišrius skaičius pirmiausia juos reikia paversti netinkamosiomis trupmenomis, o po to gautas trupmenas padalinti pagal trupmenų padalijimo taisykles. Pažiūrėkime į pavyzdį:

Paverskime mišrius skaičius į netinkamas trupmenas:

Dabar padalinkime:

Taigi, norėdami padalyti mišrius skaičius, turite juos paversti netinkamomis trupmenomis ir tada padalyti pagal trupmenų padalijimo taisyklę.

6. Skaičiaus iš duotosios trupmenos radimas.

Tarp įvairių trupmeninių uždavinių kartais pasitaiko tokių, kuriose nurodoma kokios nors nežinomo skaičiaus trupmenos reikšmė ir reikia šį skaičių rasti. Šio tipo uždaviniai bus atvirkštiniai duoto skaičiaus trupmenos radimo uždaviniui; ten buvo duotas skaičius ir reikėjo rasti tam tikrą šio skaičiaus trupmeną, čia buvo pateikta skaičiaus trupmena ir reikėjo rasti patį šį skaičių. Ši mintis taps dar aiškesnė, jei imsimės tokio pobūdžio problemų sprendimo.

1 užduotis. Pirmą dieną stiklintojai įstiklino 50 langų, tai yra 1/3 visų pastatyto namo langų. Kiek langų yra šiame name?

Sprendimas. Problema sako, kad 50 įstiklintų langų sudaro 1/3 visų namo langų, vadinasi, iš viso yra 3 kartus daugiau langų, t.y.

Namas turėjo 150 langų.

2 užduotis. Parduotuvėje buvo parduota 1500 kg miltų, o tai sudaro 3/8 visų parduotuvės miltų atsargų. Koks buvo pradinis miltų tiekimas parduotuvėje?

Sprendimas. Iš problemos sąlygų aišku, kad 1500 kg parduotų miltų sudaro 3/8 visų atsargų; Tai reiškia, kad 1/8 šio rezervo bus 3 kartus mažiau, t.y. norint jį apskaičiuoti reikia 1500 sumažinti 3 kartus:

1500: 3 = 500 (tai yra 1/8 rezervo).

Akivaizdu, kad visa pasiūla bus 8 kartus didesnė. Vadinasi,

500 8 = 4000 (kg).

Pradinės miltų atsargos parduotuvėje buvo 4000 kg.

Išnagrinėjus šią problemą, galima išvesti tokią taisyklę.

Norint rasti skaičių iš nurodytos trupmenos reikšmės, pakanka šią reikšmę padalyti iš trupmenos skaitiklio ir rezultatą padauginti iš trupmenos vardiklio.

Išsprendėme dvi problemas, kaip rasti skaičių, atsižvelgiant į jo trupmeną. Tokios problemos, kaip ypač aiškiai matyti iš paskutiniojo, sprendžiamos dviem veiksmais: dalyba (kai randama viena dalis) ir daugyba (kai randamas visas skaičius).

Tačiau po to, kai išmokome dalyti trupmenas, aukščiau išvardintos problemos gali būti išspręstos vienu veiksmu, būtent: padalijimas iš trupmenos.

Pavyzdžiui, paskutinę užduotį galima išspręsti vienu tokiu veiksmu:

Ateityje skaičiaus iš jo trupmenos radimo problemas spręsime vienu veiksmu – padalijimu.

7. Skaičiaus radimas procentais.

Šiose problemose turėsite rasti skaičių, žinodami kelis procentus to skaičiaus.

1 užduotis.Šių metų pradžioje iš taupyklos gavau 60 rublių. pajamų iš sumos, kurią prieš metus įdėjau į santaupas. Kiek pinigų įdėjau į taupomąjį kasą? (Kasos kasos suteikia indėlininkams 2% grąžą per metus.)

Problemos esmė ta, kad tam tikrą pinigų sumą įdėjau į taupyklę ir išbuvau ten metus. Po metų iš jos gavau 60 rublių. pajamų, tai yra 2/100 mano įneštų pinigų. Kiek pinigų įdėjau?

Vadinasi, žinant dalį šių pinigų, išreikštų dviem būdais (rubliais ir trupmenomis), turime rasti visą, dar nežinomą, sumą. Tai įprasta skaičiaus, atsižvelgiant į jo trupmeną, radimo problema. Šios problemos išsprendžiamos dalijant:

Tai reiškia, kad į taupyklę buvo įnešta 3000 rublių.

2 užduotis.Žvejai per dvi savaites mėnesio planą įvykdė 64 proc., išgaudami 512 tonų žuvies. Koks buvo jų planas?

Iš problemos sąlygų žinoma, kad dalį plano žvejai įvykdė. Ši dalis lygi 512 tonų, tai yra 64% plano. Nežinome, kiek tonų žuvies reikia paruošti pagal planą. Šio skaičiaus radimas bus problemos sprendimas.

Tokios problemos išsprendžiamos dalijant:

Tai reiškia, kad pagal planą reikia paruošti 800 tonų žuvies.

3 užduotis. Traukinys išvyko iš Rygos į Maskvą. Kai pravažiavo 276-ąjį kilometrą, vienas iš keleivių pasiteiravo pro šalį ėjusio konduktoriaus, kiek kelionės jie jau įveikė. Į tai dirigentas atsakė: „Mes jau įveikėme 30% visos kelionės“. Koks atstumas nuo Rygos iki Maskvos?

Iš probleminių sąlygų aišku, kad 30% maršruto iš Rygos į Maskvą yra 276 km. Turime rasti visą atstumą tarp šių miestų, t. y. šiai daliai rasti visumą:

§ 91. Abipusiai skaičiai. Dalybos pakeitimas daugyba.

Paimkime trupmeną 2/3 ir vietoj vardiklio pakeiskime skaitiklį, gausime 3/2. Gavome atvirkštinę šios trupmenos vertę.

Norėdami gauti trupmeną, kuri yra atvirkštinė duotajai trupmenai, vietoj vardiklio turite įdėti jos skaitiklį, o vietoj skaitiklio - vardiklį. Tokiu būdu galime gauti bet kurios trupmenos atvirkštinį koeficientą. Pavyzdžiui:

3/4, atvirkštinis 4/3; 5/6, atvirkštinis 6/5

Dvi trupmenos, turinčios savybę, kad pirmosios skaitiklis yra antrojo vardiklis, o pirmosios vardiklis yra antrojo vardiklis, vadinamos abipusiai atvirkštinis.

Dabar pagalvokime, kokia trupmena bus 1/2 atvirkštinė vertė. Akivaizdu, kad tai bus 2/1 arba tik 2. Ieškodami atvirkštinės duotosios trupmenos, gavome sveikąjį skaičių. Ir šis atvejis nėra pavienis; priešingai, visų trupmenų, kurių skaitiklis yra 1 (vienas), atvirkštiniai skaičiai bus sveikieji skaičiai, pavyzdžiui:

1/3, atvirkštinis 3; 1/5, atvirkštinis 5

Kadangi ieškant atvirkštinių trupmenų susidūrėme ir su sveikaisiais skaičiais, toliau kalbėsime ne apie atvirkštines trupmenas, o apie abipusiai skaičiai.

Išsiaiškinkime, kaip parašyti atvirkštinį sveikąjį skaičių. Dėl trupmenų tai galima išspręsti paprastai: vietoj skaitiklio reikia įdėti vardiklį. Lygiai taip pat galite gauti atvirkštinį sveikąjį skaičių, nes bet kurio sveikojo skaičiaus vardiklis gali būti 1. Tai reiškia, kad atvirkštinis skaičius 7 bus 1/7, nes 7 = 7/1; skaičiui 10 atvirkštinė vertė bus 1/10, nes 10 = 10/1

Ši idėja gali būti išreikšta skirtingai: duoto skaičiaus atvirkštinė vertė gaunama padalijus vieną iš nurodyto skaičiaus. Šis teiginys galioja ne tik sveikiesiems skaičiams, bet ir trupmenoms. Tiesą sakant, jei reikia parašyti atvirkštinę trupmenos 5/9, tai galime paimti 1 ir padalyti iš 5/9, t.y.

Dabar atkreipkime dėmesį į vieną dalyką nuosavybė abipusiai skaičiai, kurie mums bus naudingi: grįžtamųjų skaičių sandauga lygi vienetui. Iš tikrųjų:

Naudodamiesi šia savybe, galime rasti abipusius skaičius tokiu būdu. Tarkime, kad turime rasti atvirkštinį skaičių 8.

Pažymėkime tai raide X , tada 8 X = 1, vadinasi X = 1/8. Raskime kitą skaičių, kuris yra atvirkštinis 7/12, ir pažymime jį raide X , tada 7/12 X = 1, vadinasi X = 1: 7/12 arba X = 12 / 7 .

Siekdami šiek tiek papildyti informaciją apie trupmenų padalijimą, čia pristatėme abipusių skaičių sąvoką.

Padalinę skaičių 6 iš 3/5, darome taip:

Ypatingą dėmesį atkreipkite į posakį ir palyginkite su duotuoju: .

Jei paimtume išraišką atskirai, be ryšio su ankstesne, tai neįmanoma išspręsti klausimo, iš kur ji atsirado: padalijus 6 iš 3/5 arba padauginus 6 iš 5/3. Abiem atvejais nutinka tas pats. Todėl galime pasakyti kad vieno skaičiaus dalijimas iš kito gali būti pakeistas dividendą padauginus iš daliklio atvirkštinės vertės.

Žemiau pateikti pavyzdžiai visiškai patvirtina šią išvadą.

Trupmenų dauginimas ir dalijimas.

Dėmesio!
Yra papildomų
Specialiajame 555 skyriuje nurodytos medžiagos.
Tiems, kurie labai „nelabai...“
Ir tiems, kurie „labai...“)

Ši operacija yra daug malonesnė nei sudėjimas-atimtis! Nes taip lengviau. Primename, kad norint padauginti trupmeną iš trupmenos, reikia padauginti skaitiklius (tai bus rezultato skaitiklis) ir vardiklius (tai bus vardiklis). Tai yra:

Pavyzdžiui:

Viskas nepaprastai paprasta. Ir prašau neieškoti bendro vardiklio! Nereikia čia jo...

Norėdami padalyti trupmeną iš trupmenos, turite apversti antra(tai svarbu!) trupmeną ir jas padauginkite, t.y.:

Pavyzdžiui:

Jei susiduriate su daugyba ar padalijimu su sveikaisiais skaičiais ir trupmenomis, viskas gerai. Kaip ir sudėjus, iš sveikojo skaičiaus sudarome trupmeną, kurios vardiklyje yra vienas – ir pirmyn! Pavyzdžiui:

Vidurinėje mokykloje dažnai tenka susidurti su triaukštėmis (ar net keturaukštėmis!) trupmenomis. Pavyzdžiui:

Kaip padaryti, kad ši frakcija atrodytų tinkamai? Taip, labai paprasta! Naudokite dviejų taškų padalijimą:

Tačiau nepamirškite apie padalijimo tvarką! Skirtingai nuo daugybos, tai čia labai svarbu! Žinoma, nepainiosime nei 4:2, nei 2:4. Tačiau trijų aukštų trupmenoje suklysti lengva. Atkreipkite dėmesį, pavyzdžiui:

Pirmuoju atveju (išraiška kairėje):

Antroje (išraiška dešinėje):

Ar jaučiate skirtumą? 4 ir 1/9!

Kas lemia padalijimo tvarką? Arba su skliaustais, arba (kaip čia) su horizontalių linijų ilgiu. Lavink akis. O jei nėra skliaustų ar brūkšnių, pvz.:

tada padalinti ir dauginti eilės tvarka, iš kairės į dešinę!

Ir dar viena labai paprasta ir svarbi technika. Veiksmuose su laipsniais tai bus jums labai naudinga! Padalinkime vieną iš bet kurios trupmenos, pavyzdžiui, iš 13/15:

Kadras apsivertė! Ir tai visada atsitinka. Padalijus 1 iš bet kurios trupmenos, gaunama ta pati trupmena, tik apversta.

Štai tiek operacijoms su trupmenomis. Dalykas yra gana paprastas, tačiau jis suteikia daugiau nei pakankamai klaidų. Pastaba praktinių patarimų, ir jų (klaidų) bus mažiau!

Praktiniai patarimai:

1. Svarbiausia dirbant su trupmeninėmis išraiškomis – tikslumas ir atidumas! Tai ne bendri žodžiai, ne geri linkėjimai! Tai labai reikalinga! Atlikite visus vieningo valstybinio egzamino skaičiavimus kaip visavertę užduotį, sutelktą ir aiškią. Geriau juodraštyje parašyti dvi papildomas eilutes, nei suktis atliekant mintis skaičiavimus.

2. Pavyzdžiuose su skirtingi tipai trupmenos - eikite į paprastas trupmenas.

3. Sumažiname visas trupmenas, kol jos sustos.

4. Daugiapakopes trupmenines išraiškas redukuojame į įprastas, naudodami padalijimą per du taškus (laikomės dalybos tvarkos!).

5. Padalinkite vienetą iš trupmenos savo galvoje, paprasčiausiai apversdami trupmeną.

Štai užduotys, kurias būtinai turite atlikti. Atsakymai pateikiami po visų užduočių. Pasinaudokite šia tema skirta medžiaga ir praktiniais patarimais. Įvertinkite, kiek pavyzdžių sugebėjote teisingai išspręsti. Pirmasis kartas! Be skaičiuoklės! Ir padaryti teisingas išvadas...

Atminkite – teisingas atsakymas yra gautas iš antro (ypač trečio) karto nesiskaito! Toks tas atšiaurus gyvenimas.

Taigi, išspręsti egzamino režimu ! Tai, beje, jau pasiruošimas vieningam valstybiniam egzaminui. Išsprendžiame pavyzdį, patikriname, išsprendžiame kitą. Viską nusprendėme – dar kartą patikrinome nuo pirmos iki paskutinės. Bet tik Tada pažiūrėk atsakymus.

Apskaičiuoti:

Ar apsisprendei?

Ieškome atsakymų, atitinkančių jūsų. Sąmoningai surašiau juos netvarkingai, atokiau nuo pagundos, taip sakant... Štai jie, atsakymai, parašyti kabliataškiais.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

Dabar darome išvadas. Jei viskas pavyko, aš džiaugiuosi už jus! Pagrindiniai skaičiavimai su trupmenomis nėra jūsų problema! Galite užsiimti rimtesniais dalykais. Jei ne...

Taigi jūs turite vieną iš dviejų problemų. Arba abu iš karto.) Žinių trūkumas ir (ar) neatidumas. Bet tai išsprendžiamas Problemos.

Jei jums patinka ši svetainė...

Beje, turiu jums dar keletą įdomių svetainių.)

Galite praktikuotis spręsdami pavyzdžius ir sužinoti savo lygį. Testavimas su momentiniu patvirtinimu. Mokykimės – su susidomėjimu!)

Galite susipažinti su funkcijomis ir išvestinėmis.

Sveikąjį skaičių padauginti iš trupmenos nėra sudėtinga užduotis. Tačiau yra subtilybių, kurias tikriausiai supratote mokykloje, bet vėliau pamiršote.

Kaip sveikąjį skaičių padauginti iš trupmenos – keli terminai

Jei prisimenate, kas yra skaitiklis ir vardiklis ir kuo tinkama trupmena skiriasi nuo netinkamos trupmenos, praleiskite šią pastraipą. Jis skirtas tiems, kurie visiškai pamiršo teoriją.

Skaitiklis yra viršutinė dalis trupmenomis dalijame. Vardiklis yra mažesnis. Tai iš ko skirstome.
Tinkama trupmena yra ta, kurios skaitiklis yra mažesnis už vardiklį. Netinkama trupmena yra ta, kurios skaitiklis yra didesnis už vardiklį arba jam lygus.

Kaip sveikąjį skaičių padauginti iš trupmenos

Sveikojo skaičiaus dauginimo iš trupmenos taisyklė labai paprasta – skaitiklį dauginame iš sveikojo skaičiaus, bet vardiklio neliečiame. Pavyzdžiui: du padauginus iš penktadalio – gauname du penktadalius. Keturi, padauginti iš trijų šešioliktųjų, yra lygūs dvylikai šešioliktųjų.

Sumažinimas

Antrame pavyzdyje gautą frakciją galima sumažinti.
Ką tai reiškia? Atkreipkite dėmesį, kad šios trupmenos skaitiklis ir vardiklis dalijasi iš keturių. Padalinkite abu skaičius iš bendras daliklis ir tai vadinama trupmenos mažinimu. Mes gauname tris ketvirtadalius.

Netinkamos trupmenos

Bet tarkime, kad padauginsime keturis iš dviejų penktadalių. Paaiškėjo, kad aštuoni penktadaliai. Tai netinkama trupmena.
Ją būtinai reikia atvesti tinkamos rūšies. Norėdami tai padaryti, turite iš jo pasirinkti visą dalį.
Čia reikia naudoti padalijimą su likusia dalimi. Mes gauname vieną ir tris kaip likutį.
Viena visuma ir trys penktadaliai yra mūsų tinkama trupmena.

Trisdešimt penkias aštuntąsias suvesti į teisingą formą yra šiek tiek sunkiau. Artimiausias skaičius trisdešimt septyni, kuris dalijasi iš aštuonių, yra trisdešimt du. Padalinus gauname keturis. Iš trisdešimt penkių atimkite trisdešimt du ir gausime tris. Rezultatas: keturios sveikos ir trys aštuntosios.

Skaitiklio ir vardiklio lygybė. O čia viskas labai paprasta ir gražu. Jei skaitiklis ir vardiklis yra lygūs, rezultatas yra tiesiog vienas.

) ir vardiklį pagal vardiklį (gauname sandaugos vardiklį).

Trupmenų dauginimo formulė:

Pavyzdžiui:

Prieš pradėdami dauginti skaitiklius ir vardiklius, turite patikrinti, ar trupmeną galima sumažinti. Jei galite sumažinti trupmeną, jums bus lengviau atlikti tolesnius skaičiavimus.

Paprastosios trupmenos dalijimas iš trupmenos.

Trupmenų, susijusių su natūraliaisiais skaičiais, dalyba.

Tai nėra taip baisu, kaip atrodo. Kaip ir sudėjimo atveju, sveikąjį skaičių paverčiame trupmena, kurios vardiklyje yra vienas. Pavyzdžiui:

Mišrių trupmenų dauginimas.

Trupmenų (mišrių) dauginimo taisyklės:

• mišrias frakcijas paversti netinkamomis frakcijomis;
• trupmenų skaitiklius ir vardiklius dauginant;
• sumažinti frakciją;
• Jei gausite netinkamą trupmeną, tada netinkamą trupmeną paverčiame mišriąja trupmena.

Pastaba! Norėdami padauginti mišrią trupmeną iš kitos mišrios trupmenos, pirmiausia turite jas konvertuoti į netinkamų trupmenų formą, o tada padauginti pagal paprastųjų trupmenų dauginimo taisyklę.

Antrasis būdas padauginti trupmeną iš natūraliojo skaičiaus.

Gali būti patogiau naudoti antrąjį daugybos metodą bendroji trupmena už skaičių.

Pastaba! Norėdami padauginti trupmeną iš natūraliojo skaičiaus, turite padalyti trupmenos vardiklį iš šio skaičiaus ir palikti skaitiklį nepakeistą.

Iš aukščiau pateikto pavyzdžio matyti, kad šią parinktį patogiau naudoti, kai trupmenos vardiklis be liekanos dalijamas iš natūraliojo skaičiaus.

Daugiaaukštės trupmenos.

Vidurinėje mokykloje dažnai susiduriama su trijų aukštų (ar daugiau) trupmenomis. Pavyzdys:

Kad tokia trupmena taptų įprasta forma, naudokite padalijimą iš 2 taškų:

Pastaba! Dalijant trupmenas labai svarbi dalybos tvarka. Būkite atsargūs, čia lengva susipainioti.

Pastaba, Pavyzdžiui:

Padalijus vieną iš bet kurios trupmenos, rezultatas bus ta pati trupmena, tik apversta:

Praktiniai patarimai, kaip dauginti ir dalyti trupmenas:

1. Svarbiausias dalykas dirbant su trupmeninėmis išraiškomis yra tikslumas ir atidumas. Atlikite visus skaičiavimus kruopščiai ir tiksliai, koncentruotai ir aiškiai. Geriau juodraštyje parašyk keletą papildomų eilučių, nei pasiklysti mintyse.

2. Užduotyse su skirtingų tipų trupmenomis pereikite prie paprastųjų trupmenų tipo.

3. Sumažiname visas trupmenas, kol mažinti nebeįmanoma.

4. Daugiapakopes trupmenines išraiškas paverčiame įprastinėmis, naudodami dalijimą per 2 taškus.

5. Padalinkite vienetą iš trupmenos savo galvoje, paprasčiausiai apversdami trupmeną.