Kaip išspręsti sudėties ir atimties trupmenas. Algebrinių trupmenų su skirtingais vardikliais sudėjimas ir atėmimas (pagrindinės taisyklės, paprasčiausi atvejai)

Pastaba! Prieš rašydami galutinį atsakymą, pažiūrėkite, ar galite sumažinti gautą trupmeną.

Trupmenų su tuo pačiu vardikliu atėmimas, pavyzdžiai:

,

,

Teisingos trupmenos atėmimas iš vieneto.

Jei reikia iš teisingos vieneto atimti trupmeną, vienetas perkeliamas į neteisingos trupmenos formą, jo vardiklis lygus atimamos trupmenos vardikliui.

Pavyzdys, kaip atimti teisingą trupmeną iš vieneto:

Atimtosios trupmenos vardiklis = 7 , t.y., vienetą pavaizduojame kaip netaisyklingą trupmeną 7/7 ir atimame pagal trupmenų su tais pačiais vardikliais atėmimo taisyklę.

Dešiniosios trupmenos atėmimas iš sveikojo skaičiaus.

Trupmenų atimties taisyklės - taisyti iš sveikojo skaičiaus (natūralus numeris):

• Duotas trupmenas, kuriose yra sveikoji dalis, verčiame į neteisingas. Gauname normalius terminus (nesvarbu, ar jie turi skirtingus vardiklius), kuriuos skaičiuojame pagal aukščiau pateiktas taisykles;
• Toliau apskaičiuojame gautų trupmenų skirtumą. Dėl to mes beveik rasime atsakymą;
• Atliekame atvirkštinę transformaciją, tai yra, atsikratome neteisingos trupmenos – parenkame visą trupmenos dalį.

Iš sveikojo skaičiaus atimkite teisingą trupmeną: pavaizduokite natūralųjį skaičių kaip mišrų skaičių. Tie. vienetą užimame natūraliuoju skaičiumi ir paverčiame jį netaisyklingosios trupmenos forma, vardiklis yra toks pat kaip ir atimtosios trupmenos.

Trupmenų atėmimo pavyzdys:

Pavyzdyje vienetą pakeitėme neteisinga trupmena 7/7 ir vietoj 3 užrašėme mišrų skaičių ir trupmeną atėmėme iš trupmeninės dalies.

Trupmenų su skirtingais vardikliais atėmimas.

Arba, kitaip tariant, skirtingų trupmenų atėmimas.

Trupmenų su skirtingais vardikliais atėmimo taisyklė. Norint atimti trupmenas su skirtingais vardikliais, pirmiausia reikia šias trupmenas suvesti iki mažiausio bendro vardiklio (LCN), o tik po to atimti, kaip ir su trupmenomis su tuo pačiu vardikliu.

Bendras kelių trupmenų vardiklis yra LCM (mažiausias bendras kartotinis) natūraliuosius skaičius, kurie yra šių trupmenų vardikliai.

Dėmesio! Jei skaitiklis ir vardiklis turi bendrų faktorių galutinėje trupmenoje, tada trupmeną reikia atšaukti. Blogoji trupmena geriausiai vaizduojama kaip mišri trupmena. Atimties rezultato palikimas neatšaukiant trupmenos, jei įmanoma, yra nebaigtas pavyzdžio sprendimas!

Trupmenų su skirtingais vardikliais atėmimo tvarka.

• rasti visų vardiklių LCM;
• įdėti papildomų koeficientų visoms trupmenoms;
• padauginkite visus skaitiklius iš papildomo koeficiento;
• gautus sandaugus įrašome į skaitiklį, po visomis trupmenomis pasirašydami bendrą vardiklį;
• atimkite trupmenų skaitiklius, bendrąjį vardiklį pažymėdami po skirtumu.

Tuo pačiu būdu trupmenos pridedamos ir atimamos, jei skaitiklyje yra raidžių.

Trupmenų atėmimas, pavyzdžiai:

Mišrių trupmenų atėmimas.

At mišrių trupmenų (skaičių) atėmimas atskirai nuo visos dalies, atimkite visą dalį, o iš trupmeninės dalies atimkite trupmeninę dalį.

Pirmasis variantas yra atimti mišrias trupmenas.

Jei trupmeninės dalys tas pats atimtosios trupmeninės dalies vardikliai ir skaitiklis (atimti iš jos) ≥ atimtosios trupmeninės dalies skaitiklis (atimti jį).

Pavyzdžiui:

Antrasis variantas yra atimti mišrias trupmenas.

Kai trupmeninės dalys turi skirtinga vardikliai. Pirmiausia trupmenines dalis suvedame į bendrą vardiklį, o po to iš visumos atimame visą dalį, o iš trupmeninės dalies – trupmeninę.

Pavyzdžiui:

Trečias variantas mišrioms trupmenoms atimti.

Trupmeninė redukcijos dalis yra mažesnė už trupmeninę atimtojo dalį.

Pavyzdys:

Nes trupmenos dalys turi skirtingus vardiklius, o tai reiškia, kaip ir antrajame variante, įprastąsias trupmenas pirmiausia sujungiame į bendrą vardiklį.

Atimtosios trupmeninės dalies skaitiklis yra mažesnis už atimtosios trupmeninės dalies skaitiklį.3 < 14. Taigi iš visos dalies paimame vienetą ir paverčiame jį netaisyklingos trupmenos forma su tuo pačiu vardikliu ir skaitikliu = 18.

Skaitiklyje iš dešinės pusės rašome skaitiklių sumą, tada skaitiklyje iš dešinės atveriame skliaustus, tai yra viską padauginame ir pateikiame panašius. Neatidarykite skliaustų vardiklyje. Įprasta darbą palikti vardikliuose. Mes gauname:

Mišriąsias trupmenas galima atimti taip pat, kaip paprastas trupmenas. Norėdami atimti mišrius trupmenų skaičius, turite žinoti keletą atimties taisyklių. Išnagrinėkime šias taisykles su pavyzdžiais.

Mišrių trupmenų su tuo pačiu vardikliu atėmimas.

Apsvarstykite pavyzdį su sąlyga, kad sumažintos sveikosios ir trupmeninės dalys yra didesnės nei atitinkamai atimtos sveikosios ir trupmeninės dalys. Esant tokioms sąlygoms, išskaitymas atliekamas atskirai. Iš visos dalies atimkite visą dalį, o iš trupmeninės dalies – trupmeninę.

Panagrinėkime pavyzdį:

Atimkite mišrias trupmenas \ (5 \ frac (3) (7) \) ir \ (1 \ frac (1) (7) \).

\ (5 \ frac (3) (7) -1 \ frac (1) (7) = (5-1) + (\ frac (3) (7) - \ frac (1) (7)) = 4 \ frac (2) (7) \)

Atimties teisingumas tikrinamas sudėjus. Patikrinkime atimtį:

\ (4 \ frac (2) (7) +1 \ frac (1) (7) = (4 + 1) + (\ frac (2) (7) + \ frac (1) (7)) = 5 \ Frac (3) (7) \)

Apsvarstykite pavyzdį su sąlyga, kai trupmeninė redukcijos dalis yra mažesnė, atitinkamai, trupmeninė atimties dalis. Šiuo atveju mes skolinamės vieną iš mažėjančios visumos.

Panagrinėkime pavyzdį:

Atlikite mišrios trupmenos atimtį \ (6 \ frac (1) (4) \) ir \ (3 \ frac (3) (4) \).

Sumažinta \ (6 \ frac (1) (4) \) turi trupmeninę dalį, mažesnę nei atimtojo \ (3 \ frac (3) (4) \) trupmeninė dalis. Tai yra, \ (\ frac (1) (4)< \frac{1}{3}\), поэтому сразу отнять мы не сможем. Займем у целой части у 6 единицу, а потом выполним вычитание. Единицу мы запишем как \(\frac{4}{4} = 1\)

\ (\ pradėti (lygiuoti) & 6 \ frac (1) (4) -3 \ frac (3) (4) = (6 + \ frac (1) (4)) - 3 \ frac (3) (4) = (5 + \ spalva (raudona) (1) + \ Frac (1) (4)) - 3 \ Frac (3) (4) = (5 + \ spalva (raudona) (\ Frac (4) (4) ) + \ Frac (1) (4)) - 3 \ Frac (3) (4) = (5 + \ Frac (5) (4)) - 3 \ Frac (3) (4) = \\\\ & = 5 \ frac (5) (4) -3 \ frac (3) (4) = 2 \ frac (2) (4) = 2 \ frac (1) (4) \\\\ \ pabaiga (lygiuoti) \ )

Kitas pavyzdys:

\ (7 \ Frac (8) (19) -3 = 4 \ Frac (8) (19) \)

Mišriosios trupmenos atėmimas iš sveikojo skaičiaus.

Pavyzdys: \ (3-1 \ frac (2) (5) \)

Sumažintas 3 neturi trupmeninės dalies, todėl negalime jos iš karto atimti. Pasiskolinkite vieną iš sveikosios 3 dalies, tada atliksime atimtį. Vienetą parašysime kaip \ (3 = 2 + 1 = 2 + \ frac (5) (5) = 2 \ frac (5) (5) \)

\ (3-1 \ frac (2) (5) = (2 + \ spalva (raudona) (1)) - 1 \ frac (2) (5) = (2 + \ spalva (raudona) (\ frac (5) ) (5))) - 1 \ frak (2) (5) = 2 \ frak (5) (5) -1 \ frak (2) (5) = 1 \ frak (3) (5) \)

Mišrių trupmenų su skirtingais vardikliais atėmimas.

Apsvarstykite pavyzdį su sąlyga, jei sumažintos ir atimtos trupmeninės dalys su skirtingais vardikliais. Turite rasti bendrą vardiklį ir tada atlikti atimtį.

Atimkite dvi mišrias trupmenas su skirtingais vardikliais \ (2 \ frac (2) (3) \) ir \ (1 \ frac (1) (4) \).

Bendras vardiklis yra 12.

\ (2 \ frac (2) (3) -1 \ frac (1) (4) = 2 \ frac (2 \ kartus \ spalva (raudona) (4)) (3 \ kartus \ spalva (raudona) (4) ) -1 \ frac (1 \ kartus \ spalva (raudona) (3)) (4 \ kartus \ spalva (raudona) (3)) = 2 \ frac (8) (12) -1 \ frac (3) (12) ) = 1 \ frac (5) (12) \)

Klausimai tema:
Kaip atimti mišrias trupmenas? Kaip išspręsti mišrias frakcijas?
Atsakymas: turite nuspręsti, kokiam tipui priklauso išraiška, ir pagal išraiškos tipą taikyti sprendimo algoritmą. Iš visos dalies atimkite visumą, iš trupmeninės atimkite trupmeninę dalį.

Kaip iš sveikojo skaičiaus atimti trupmeną? Kaip iš sveikojo skaičiaus atimti trupmeną?
Atsakymas: reikia paimti vienetą iš sveikojo skaičiaus ir parašyti šį vienetą kaip trupmeną

\ (4 = 3 + 1 = 3 + \ Frac (7) (7) = 3 \ Frac (7) (7) \,

o tada iš visumos atimti visumą, iš trupmeninės dalies atimti trupmeninę dalį. Pavyzdys:

\ (4-2 \ frac (3) (7) = (3 + \ spalva (raudona) (1)) - 2 \ frac (3) (7) = (3 + \ spalva (raudona) (\ frac (7) ) (7))) - 2 \ frak (3) (7) = 3 \ frak (7) (7) -2 \ frak (3) (7) = 1 \ frak (4) (7) \)

1 pavyzdys:
Atimkite teisingą trupmeną iš vieneto: a) \ (1- \ frac (8) (33) \) b) \ (1- \ frac (6) (7) \)

Sprendimas:
a) Vienetą pavaizduojame kaip trupmeną su vardikliu 33. Gauname \ (1 = \ frac (33) (33) \)

\ (1- \ frac (8) (33) = \ frac (33) (33) - \ frac (8) (33) = \ frac (25) (33) \)

b) Vienetą pavaizduojame kaip trupmeną su vardikliu 7. Gauname \ (1 = \ frac (7) (7) \)

\ (1- \ frac (6) (7) = \ frac (7) (7) - \ frac (6) (7) = \ frac (7-6) (7) = \ frac (1) (7) \)

2 pavyzdys:
Atimkite mišrią trupmeną iš sveikojo skaičiaus: a) \ (21-10 \ frac (4) (5) \) b) \ (2-1 \ frac (1) (3) \)

Sprendimas:
a) Pasiskoliname 21 vienetą iš sveikojo skaičiaus ir užrašome taip \ (21 = 20 + 1 = 20 + \ frac (5) (5) = 20 \ frac (5) (5) \)

\ (21-10 \ frac (4) (5) = (20 + 1) -10 \ frac (4) (5) = (20 + \ frac (5) (5)) - 10 \ frac (4) ( 5) = 20 \ Frac (5) (5) -10 \ Frac (4) (5) = 10 \ Frac (1) (5) \\\\\)

b) Pasiskolinkime vienetą iš sveikojo skaičiaus 2 ir parašykime taip \ (2 = 1 + 1 = 1 + \ frac (3) (3) = 1 \ frac (3) (3) \)

\ (2-1 \ frac (1) (3) = (1 + 1) -1 \ frac (1) (3) = (1 + \ frac (3) (3)) - 1 \ frac (1) ( 3) = 1 \ Frac (3) (3) -1 \ Frac (1) (3) = \ Frac (2) (3) \\\\\)

3 pavyzdys:
Iš mišrios trupmenos atimkite sveikąjį skaičių: a) \ (15 \ frac (6) (17) -4 \) b) \ (23 \ frac (1) (2) -12 \)

a) \ (15 \ Frac (6) (17) -4 = 11 \ Frac (6) (17) \)

b) \ (23 \ Frac (1) (2) -12 = 11 \ Frac (1) (2) \)

4 pavyzdys:
Iš mišrios trupmenos atimkite teisingą trupmeną: a) \ (1 \ frac (4) (5) - \ frac (4) (5) \)

\ (1 \ Frac (4) (5) - \ Frac (4) (5) = 1 \\\\\)

5 pavyzdys:
Apskaičiuokite \ (5 \ Frac (5) (16) -3 \ Frac (3) (8) \)

\ (\ pradėti (lygiuoti) & 5 \ frac (5) (16) -3 \ frac (3) (8) = 5 \ frac (5) (16) -3 \ frac (3 \ kartus \ spalva (raudona) (2)) (8 \ kartus \ spalva (raudona) (2)) = 5 \ frac (5) (16) -3 \ frac (6) (16) = (5 + \ frac (5) (16)) - 3 \ frac (6) (16) = (4 + \ spalva (raudona) (1) + \ frac (5) (16)) - 3 \ frac (6) (16) = \\\\ & = ( 4 + \ spalva (raudona) (\ frac (16) (16)) + \ frac (5) (16)) - 3 \ frac (6) (16) = (4 + \ spalva (raudona) (\ frac () 21 ) (16))) - 3 \ frak (3) (8) = 4 \ frak (21) (16) -3 \ frak (6) (16) = 1 \ frak (15) (16) \\\ \ \ pabaiga (lygiuoti) \)

Ši pamoka apims algebrinių trupmenų su tais pačiais vardikliais sudėjimą ir atėmimą. Mes jau žinome, kaip pridėti ir atimti bendrąsias trupmenas su tuo pačiu vardikliu. Pasirodo, algebrinės trupmenos paklūsta toms pačioms taisyklėms. Gebėjimas dirbti su trupmenomis, turinčiomis tą patį vardiklį, yra vienas iš kertinių akmenų mokantis darbo su algebrinėmis trupmenomis taisyklių. Visų pirma, supratus šią temą, bus lengviau įsisavinti sudėtingesnę temą - trupmenų su skirtingais vardikliais pridėjimą ir atėmimą. Pamokos metu išnagrinėsime algebrinių trupmenų su tais pačiais vardikliais sudėjimo ir atėmimo taisykles, taip pat analizuosime keletą tipiškų pavyzdžių.

Algebrinių trupmenų su tuo pačiu vardikliu pridėjimo ir atėmimo taisyklė

Form-moo-li-ru-em right-vi-lo iš al-geb-ra-i-che-dro-bey lapijos (you-chi-ta-nia) su odi-na-co-vy -mi zn-me-na-te-la-mi (tai yra sov-pa-da-em su ana-lo-gic-ny right-vi-lom paprastiems-ven-dro-beys): tai yra sluoksniavimui arba vy -chi-ta-niya al-geb-ra-i-che-dro-bey su vienas su tu žinai-na-te-la-mi yra būtinas -ho-di-mo so-to- padėkite su-the-ve-yu-yu-al-geb-ra-i-che-sum skaičių-li-te-lei, o zn-me-na-tel palikite be me-nots.

Paimsime šį dešinį-ha-lo ir įprastų traukimų pavyzdį bei al-geb-ra-i-che-dro-bei hitą.

Paprastųjų trupmenų taisyklės taikymo pavyzdžiai

1 pavyzdys. Norėdami pridėti trupmeną:.

Sprendimas

Sudedame skaičių-ar-te-ar lygiai-muš, ir sign-me-na-tel liks toks pat. Po to skaičių ir vardiklį padalijame į paprastus kartotinius ir so-kra-tim. By-lo-chim: .

Pastaba: standartinė klaida, kurią leidžiu priimdamas sprendimą, pavyzdžiui, tokius pavyzdžius, -klyu-cha-it-Xia tokiu būdu-su-sprendimu: ... Tai grubi klaida, nes žinios-na-tel išlieka toks pat, koks buvo pradiniuose burtuose.

2 pavyzdys. Norėdami pridėti trupmeną:.

Sprendimas

Dan-naya za-da-cha niekuo nesiskiria nuo ankstesnio:.

Taisyklės algebrinėms trupmenoms taikymo pavyzdžiai

Nuo common-but-ven-dro-beat pe-rei-dyom iki al-geb-ra-i-che-skim.

3 pavyzdys. Norėdami pridėti trupmeną:.

Sprendimas: kaip jau buvo sakyta aukščiau, al-geb-ra-i-che-dro-bei sluoksniavimas niekuo nesiskiria nuo žodžio same-niya-but-ven-nyh draw-beat. Todėl sprendimo būdas yra tas pats:.

4 pavyzdys. Jūs esate trupmenos garbė:.

Sprendimas

You-chi-ta-ti al-geb-ra-i-che-dro-bei iš-cha-tai-iš žodžio tik su tais, kurių skaičius skiriasi pi-sy-va-et-sya li-te-lei pradinio piešimo-bei. Taigi.

5 pavyzdys. Jūs esate trupmenos garbė:.

Sprendimas:.

6 pavyzdys. Supaprastinti:.

Sprendimas:.

Taisyklės taikymo pavyzdžiai ir sumažinimas

Trupmenoje kas-tas-rojus-lo-cha-is-sya re-zul-ta-tais žodžiais arba vy-chi-ta-nia, galima kartu gražioji niya. Be to, neturėtumėte pamiršti apie al-geb-ra-i-che-dro-bey ODZ.

7 pavyzdys. Supaprastinti:.

Sprendimas:.

Kuriame. Apskritai, jei pradinio traukimo ODZ sumuša cov-pa-yes-et su ODZ ito-howl, tada jį galima praleisti (galų gale, trupmena, kurią sudaro naya ot-ve-tuose, taip pat bus neegzistuoja su co-ot-ot-otv-yu-si-ni-ni-n-re-men-ny). Bet jei pradinio lygiojo smūgio ODZ ir atsakymas nėra co-pa-da-et, tada reikia nurodyti ODZ.

8 pavyzdys. Supaprastinkite:.

Sprendimas:. Šiuo atveju y (pradinio traukimo takto ODZ nesuderina su ODZ re-zul-ta-ta).

Trupmenų su skirtingais vardikliais sudėjimas ir atėmimas

Sulenkti-kvėpuoti ir skaityti al-geb-ra-and-che-frakcijas su skirtingais ženklais-me-na-te-la-mi, pro-ve-dem ana-lo -gyu su įprastais-no-ven-mi- dro-by-mi ir pe-re-not-sem ją į al-geb-ra-i-tąsias trupmenas.

Ras-smot-rim yra paprasčiausias įprastų tempų pavyzdys.

1 pavyzdys. Gyvos frakcijos:.

Sprendimas:

Prisiminkite žodžio draw-beat teisingą-ha-lo. Na-cha-la trupmenai reikia-ho-di-mo ateiti į bendrą zn-me-na-te-lyu. Įprasto know-me-na-te-la vaidmenyje paprastam-ven-dro-beat, you-stu-pa-et mažiausias bendras kartotinis(NOC) pradinių ženklų-me-na-te-lei.

Apibrėžimas

Mažiausias skaičius yra ant to paties skaičiaus, kuris yra padalintas vieną kartą, bet iš skaičiaus ir.

Norint rasti NOC, reikia suskirstyti know-me-na-te-ar į paprastus rinkinius, o tada pasirinkti visus produktus, kurie yra daug, kurie - rugiai yra įtraukti į skirtumą tarp abiejų ženklų-man-na-te- lei.

; ... Tada skaičių LCM turėtų apimti du du ir du trigubus:.

Suradę bendrą žinojimą-me-na-te-la, kiekvienas iš prižiūrėtojų turi rasti iki pusės gyventojo (fact-ti-che-ski, išliedamas bendrą vardiklį į vardiklis su-nuo-vet-tstvu-uu-si-tel).

Tada kiekviena frakcija sumaniai tampa pusiau šulinio ir pusiau pilno daugikliu. „On-ray-cha-it-Xia“ trupmenos su „one-to-you-know-me-on-te-la-mi“, „put-to-d-vat“ ir „tu-perskaitykite“ kai kurias mes. Pažiūrėkite praeities pamokas.

By-lo-cha-eat: .

Atsakymas:.

Dabar apsvarstykite al-geb-ra-i-che-dro-bey sluoksnį su skirtingais ženklais-me-na-te-la-mi. Sna-cha-la ras-smot-rim trupmenos, know-me-na-te-if ko-that-ryh yra num-la-mi.

Algebrinių trupmenų su skirtingais vardikliais sudėjimas ir atėmimas

2 pavyzdys. Gyvos frakcijos:.

Sprendimas:

Al-go-ritmas sprendimo ab-so-lut-no ana-lo-gi-chen prieš-do-shu-mu-me-ru. Nesunku rasti bendrą šių traukinių vardiklį: ir kiekvienam iš jų iki pusantro įkandimų.

.

Atsakymas:.

Taigi, for-moo-li-ru-em al-go-ritmas al-geb-ra-i-che-dro-bey sluoksniavimo ir you-chi-ta-nia su skirtingais zn-me-na-te-la-mi:

1. Raskite mažiausią bendrą vardiklį.

2. Raskite kiekvienos traukos-bei trupmenos aukštyn ir žemyn rinkinius).

3. Ar-daug-gyvenkite skaičių-ar-te-ar bendrai atsakydami į-u-th-u-th-o-n-t-n-t-t-t-t-l.

4. Lay-live arba you-garbink trupmeną, naudokite dešinį-vi-la-mi gulėjimą ir you-chi-ta-nia draw-beat su tomis pačiomis žiniomis -me-na-te-la-mi.

Ras-smot-rim dabar pavyzdys su dro-by-mi, ženkle-me-on-te-le to-that-ryh come-to-be-venin you-ra-to pati -niya.

Pamokos turinys

Sudėjus trupmenas su tuo pačiu vardikliu

Yra du trupmenų pridėjimo tipai:

1. Sudėjus trupmenas su tuo pačiu vardikliu
2. Sudėjus trupmenas su skirtingais vardikliais

Pirmiausia išnagrinėkime trupmenų su tais pačiais vardikliais sudėjimą. Čia viskas paprasta. Norėdami pridėti trupmenas su tuo pačiu vardikliu, pridėkite jų skaitiklius ir palikite vardiklį nepakeistą. Pavyzdžiui, pridėkite trupmenas ir. Pridėkite skaitiklius ir palikite vardiklį nepakeistą:

Šį pavyzdį galima nesunkiai suprasti, jei galvojate apie picą, kuri yra padalinta į keturias dalis. Jei į picą dedate picas, gausite picas:

2 pavyzdys. Sudėkite frakcijas ir.

Atsakymas yra neteisinga trupmena. Jei problemos pabaiga ateina, tada įprasta atsikratyti neteisingų trupmenų. Norėdami atsikratyti neteisingos trupmenos, turite pasirinkti visą jos dalį. Mūsų atveju visa dalis yra lengvai atskiriama - du padalinti iš dviejų yra lygūs vienam:

Šį pavyzdį galima nesunkiai suprasti, jei galvojate apie picą, kuri yra padalinta į dvi dalis. Jei į picą pridėsite picą, gausite vieną visą picą:

3 pavyzdys... Sudėkite frakcijas ir.

Dar kartą sudėkite skaitiklius ir palikite vardiklį nepakeistą:

Šį pavyzdį galima nesunkiai suprasti, jei galvojate apie picą, kuri yra padalinta į tris dalis. Jei į picą dedate picą, gausite picą:

4 pavyzdys. Raskite išraiškos reikšmę

Šis pavyzdys išspręstas taip pat, kaip ir ankstesni. Skaitikliai turi būti pridedami, o vardiklis paliekamas nepakeistas:

Pabandykime pavaizduoti savo sprendimą naudodami paveikslėlį. Jei į picą dedate picas ir į picą dedate picas, gausite 1 visą ir daugiau.

Kaip matote, nėra nieko sudėtingo pridėti trupmenas su tais pačiais vardikliais. Pakanka suprasti šias taisykles:

1. Norėdami pridėti trupmenas su tuo pačiu vardikliu, turite pridėti jų skaitiklius, o vardiklį palikti nepakeistą;

Sudėjus trupmenas su skirtingais vardikliais

Dabar išmokime pridėti trupmenas su skirtingais vardikliais. Sumuojant trupmenas, tų trupmenų vardikliai turi būti vienodi. Tačiau jie ne visada yra vienodi.

Pavyzdžiui, galite pridėti ir trupmenas, nes jos turi tuos pačius vardiklius.

Tačiau trupmenų negalima pridėti iš karto, nes šios trupmenos turi skirtingus vardiklius. Tokiais atvejais trupmenos turi būti sumažintos iki to paties (bendro) vardiklio.

Yra keletas būdų, kaip suvesti trupmenas į tą patį vardiklį. Šiandien mes apsvarstysime tik vieną iš jų, nes likusieji metodai pradedančiajam gali atrodyti sunkūs.

Šio metodo esmė ta, kad pirmiausia ieškoma (LCM) abiejų trupmenų vardiklius. Tada LCM padalijamas iš pirmosios trupmenos vardiklio ir gaunamas pirmasis papildomas koeficientas. Tą patį padarykite su antrąja trupmena – LCM padalinamas iš antrosios trupmenos vardiklio ir gaunamas antras papildomas koeficientas.

Tada trupmenų skaitikliai ir vardikliai dauginami iš jų papildomų koeficientų. Dėl šių veiksmų trupmenos su skirtingais vardikliais paverčiamos trupmenomis su tuo pačiu vardikliu. Ir mes jau žinome, kaip pridėti tokias trupmenas.

1 pavyzdys... Sudėkite frakcijas ir

Pirmiausia randame mažiausią bendrą abiejų trupmenų vardikų kartotinį. Pirmosios trupmenos vardiklis yra 3, o antrosios trupmenos vardiklis yra 2. Mažiausias bendras šių skaičių kartotinis yra 6

LCM (2 ir 3) = 6

Dabar grįžtame prie trupmenų ir. Pirmiausia padalykite LCM iš pirmosios trupmenos vardiklio ir gaukite pirmąjį papildomą koeficientą. LCM yra skaičius 6, o pirmosios trupmenos vardiklis yra skaičius 3. Padalinkite 6 iš 3, gausime 2.

Gautas skaičius 2 yra pirmasis papildomas veiksnys. Užrašome iki pirmosios trupmenos. Norėdami tai padaryti, padarykite nedidelę įstrižą liniją virš trupmenos ir parašykite papildomą koeficientą, esantį virš jos:

Tą patį darome su antrąja trupmena. LCM padalijame iš antrosios trupmenos vardiklio ir gauname antrą papildomą koeficientą. LCM yra skaičius 6, o antrosios trupmenos vardiklis yra skaičius 2. Padalinkite 6 iš 2, gausime 3.

Gautas skaičius 3 yra antrasis papildomas veiksnys. Užrašome iki antros trupmenos. Vėlgi, virš antrosios trupmenos nubrėžiame nedidelę įstrižą liniją ir virš jos užrašome papildomą koeficientą:

Dabar esame pasirengę pridėti. Belieka padauginti trupmenų skaitiklius ir vardiklius iš papildomų veiksnių:

Atidžiai pažiūrėkite, prie ko mes priėjome. Priėjome išvados, kad trupmenos su skirtingais vardikliais virto trupmenomis su vienodais vardikliais. Ir mes jau žinome, kaip pridėti tokias trupmenas. Užbaikime šį pavyzdį iki galo:

Taigi pavyzdys baigiasi. Pasirodo pridėti.

Pabandykime pavaizduoti savo sprendimą naudodami paveikslėlį. Jei pridėsite picą prie picos, gausite vieną visą picą ir kitą šeštą picą:

Trupmenų sumažinimas iki to paties (bendro) vardiklio taip pat gali būti pavaizduotas naudojant paveikslėlį. Sumažinę trupmenas ir į bendrą vardiklį, gavome trupmenas ir. Šios dvi frakcijos bus atstovaujamos tomis pačiomis picos riekelėmis. Skirtumas tik tas, kad šį kartą jie bus padalinti į lygias dalis (sumažinus iki to paties vardiklio).

Pirmajame paveikslėlyje pavaizduota trupmena (keturi iš šešių gabalų), o antrajame paveikslėlyje pavaizduota trupmena (trys iš šešių gabalų). Sudėjus šias dalis gauname (septynios dalys iš šešių). Ši trupmena neteisinga, todėl joje pasirinkome visą dalį. Rezultate gavome (vieną visą picą ir kitą šeštą picą).

Atminkite, kad šį pavyzdį aprašėme per daug išsamiai. Švietimo įstaigose taip detaliai rašyti nėra įprasta. Turite mokėti greitai rasti abiejų vardiklių ir papildomų veiksnių LCM, taip pat greitai padauginti rastus papildomus veiksnius iš skaitiklių ir vardklių. Būdami mokykloje turėtume parašyti šį pavyzdį taip:

Tačiau moneta turi ir neigiamą pusę. Jei pirmaisiais matematikos studijų etapais nedarote išsamių pastabų, tada pradeda kilti tokių klausimų „Iš kur ta figūra?“ „Kodėl trupmenos staiga virsta visiškai skirtingomis trupmenomis? «.

Kad būtų lengviau pridėti trupmenas su skirtingais vardikliais, galite naudoti šias nuoseklias instrukcijas:

1. Raskite trupmenų vardiklių LCM;
2. Padalinkite LCM iš kiekvienos trupmenos vardiklio ir gaukite papildomą kiekvienos trupmenos koeficientą;
3. Padauginkite trupmenų skaitiklius ir vardiklius iš papildomų koeficientų;
4. Pridėkite trupmenas, turinčias tą patį vardiklį;
5. Jei atsakymas yra neteisinga trupmena, pasirinkite visą jo dalį;

2 pavyzdys. Raskite išraiškos reikšmę .

Pasinaudokime aukščiau pateiktomis instrukcijomis.

1 veiksmas. Raskite trupmenų vardiklių LCM

Raskite abiejų trupmenų vardiklių LCM. Trupmenų vardikliai yra skaičiai 2, 3 ir 4.

2 veiksmas. Padalinkite LCM iš kiekvienos trupmenos vardiklio ir gaukite papildomą kiekvienos trupmenos koeficientą

LCM padalijame iš pirmosios trupmenos vardiklio. LCM yra skaičius 12, o pirmosios trupmenos vardiklis yra skaičius 2. Padalinkite 12 iš 2, gausime 6. Gavome pirmąjį papildomą koeficientą 6. Jį užrašome ant pirmosios trupmenos:

Dabar LCM padalijame iš antrosios trupmenos vardiklio. LCM yra skaičius 12, o antrosios trupmenos vardiklis yra skaičius 3. Padalinkite 12 iš 3, gausime 4. Gavome antrą papildomą koeficientą 4. Užrašome ant antrosios trupmenos:

Dabar LCM padaliname iš trečiosios trupmenos vardiklio. LCM yra skaičius 12, o trečiosios trupmenos vardiklis yra skaičius 4. Padalinkite 12 iš 4, gausime 3. Gavome trečią papildomą koeficientą 3. Užrašome ant trečiosios trupmenos:

3 veiksmas. Trupmenų skaitiklius ir vardiklius padauginkite iš papildomų koeficientų

Skaitiklius ir vardiklius padauginame iš papildomų faktorių:

4 veiksmas. Sudėkite trupmenas su tais pačiais vardikliais

Priėjome išvados, kad trupmenos su skirtingais vardikliais virto trupmenomis su vienodais (bendraisiais) vardikliais. Belieka pridėti šias frakcijas. Pridedame:

Papildymas netilpo vienoje eilutėje, todėl likusią išraišką perkėlėme į kitą eilutę. Tai leidžiama matematikoje. Kai išraiška netelpa vienoje eilutėje, ji perkeliama į kitą eilutę, o pirmosios eilutės pabaigoje ir naujos eilutės pradžioje visada turite dėti lygybės ženklą (=). Lygybės ženklas antroje eilutėje rodo, kad tai yra pirmoje eilutėje buvusios išraiškos tęsinys.

5 veiksmas. Jei atsakymas yra neteisinga trupmena, pasirinkite visą dalį

Atsakydami gavome neteisingą trupmeną. Turime iš jo pasirinkti visą dalį. Paryškinti:

Gavo atsakymą

Trupmenų su tuo pačiu vardikliu atėmimas

Yra du trupmenų atėmimo tipai:

1. Trupmenų su tuo pačiu vardikliu atėmimas
2. Trupmenų su skirtingais vardikliais atėmimas

Pirmiausia išnagrinėkime trupmenų, turinčių tą patį vardiklį, atimtį. Čia viskas paprasta. Norėdami iš vienos trupmenos atimti kitą, iš pirmosios trupmenos skaitiklio turite atimti antrosios trupmenos skaitiklį, o vardiklį palikti tą patį.

Pavyzdžiui, suraskime išraiškos reikšmę. Norėdami išspręsti šį pavyzdį, iš pirmosios trupmenos skaitiklio atimkite antrosios trupmenos skaitiklį ir palikite vardiklį nepakeistą. Taigi padarykime tai:

Šį pavyzdį galima nesunkiai suprasti, jei galvojate apie picą, kuri yra padalinta į keturias dalis. Jei pjaustysite picas iš picos, gausite picas:

2 pavyzdys. Raskite išraiškos reikšmę.

Vėlgi, atimkite antrosios trupmenos skaitiklį iš pirmosios trupmenos skaitiklio ir palikite vardiklį nepakeistą:

Šį pavyzdį galima nesunkiai suprasti, jei galvojate apie picą, kuri yra padalinta į tris dalis. Jei pjaustysite picas iš picos, gausite picas:

3 pavyzdys. Raskite išraiškos reikšmę

Šis pavyzdys išspręstas taip pat, kaip ir ankstesni. Iš pirmosios trupmenos skaitiklio reikia atimti likusių trupmenų skaitiklius:

Kaip matote, nėra nieko sudėtingo atimti trupmenas su tais pačiais vardikliais. Pakanka suprasti šias taisykles:

1. Norėdami iš vienos trupmenos atimti kitą, iš pirmosios trupmenos skaitiklio turite atimti antrosios trupmenos skaitiklį, o vardiklį palikti nepakeistą;
2. Jei atsakymas yra neteisinga trupmena, turite pasirinkti visą dalį.

Trupmenų su skirtingais vardikliais atėmimas

Pavyzdžiui, iš trupmenos galite atimti trupmeną, nes šios trupmenos turi tą patį vardiklį. Bet jūs negalite atimti trupmenos iš trupmenos, nes šios trupmenos turi skirtingus vardiklius. Tokiais atvejais trupmenos turi būti sumažintos iki to paties (bendro) vardiklio.

Bendras vardiklis randamas pagal tą patį principą, kurį naudojome pridėdami trupmenas su skirtingais vardikliais. Pirmiausia suraskite abiejų trupmenų vardklių LCM. Tada LCM padalijamas iš pirmosios trupmenos vardiklio ir gaunamas pirmasis papildomas koeficientas, kuris užrašomas ant pirmosios trupmenos. Panašiai LCM padalijamas iš antrosios trupmenos vardiklio ir gaunamas antrasis papildomas koeficientas, kuris užrašomas ant antrosios trupmenos.

Tada trupmenos dauginamos iš papildomų koeficientų. Dėl šių operacijų trupmenos su skirtingais vardikliais paverčiamos trupmenomis su tuo pačiu vardikliu. Mes jau žinome, kaip atimti tokias trupmenas.

1 pavyzdys. Raskite išraiškos reikšmę:

Šios trupmenos turi skirtingus vardiklius, todėl jas reikia suvesti į tą patį (bendrą) vardiklį.

Pirmiausia randame abiejų trupmenų vardiklių LCM. Pirmosios trupmenos vardiklis yra 3, o antrosios trupmenos vardiklis yra 4. Mažiausias bendras šių skaičių kartotinis yra 12

LCM (3 ir 4) = 12

Dabar grįžkime prie trupmenų ir

Raskime papildomą pirmosios trupmenos koeficientą. Norėdami tai padaryti, padalijame LCM iš pirmosios trupmenos vardiklio. LCM yra skaičius 12, o pirmosios trupmenos vardiklis yra skaičius 3. Padalinkite 12 iš 3, gausime 4. Ant pirmosios trupmenos parašykite keturis:

Tą patį darome su antrąja trupmena. LCM padalijame iš antrosios trupmenos vardiklio. LCM yra skaičius 12, o antrosios trupmenos vardiklis yra skaičius 4. Padalinkite 12 iš 4, gausime 3. Ant antrosios trupmenos parašykite tris:

Dabar esame pasirengę atimti. Belieka padauginti trupmenas iš jų papildomų veiksnių:

Priėjome išvados, kad trupmenos su skirtingais vardikliais virto trupmenomis su vienodais vardikliais. Mes jau žinome, kaip atimti tokias trupmenas. Užbaikime šį pavyzdį iki galo:

Gavo atsakymą

Pabandykime pavaizduoti savo sprendimą naudodami paveikslėlį. Jei iš picos pjaustysite picas, gausite picą

Tai yra išsami sprendimo versija. Mokykloje šį pavyzdį turėtume išspręsti trumpiau. Toks sprendimas atrodytų taip:

Trupmenų sumažinimas iki bendro vardiklio taip pat gali būti pavaizduotas naudojant paveikslą. Suvedę šias trupmenas į bendrą vardiklį, gavome trupmenas ir. Šios trupmenos bus pavaizduotos tomis pačiomis picos riekelėmis, tačiau šį kartą jos bus padalintos į lygias dalis (sumažintos iki to paties vardiklio):

Pirmame piešinyje pavaizduota trupmena (aštuoni iš dvylikos gabalų), o antrajame – trupmena (trys iš dvylikos gabalų). Iš aštuonių dalių nupjaudami tris dalis, iš dvylikos gauname penkis gabalus. Trupmena ir apibūdina šiuos penkis gabalus.

2 pavyzdys. Raskite išraiškos reikšmę

Šios trupmenos turi skirtingus vardiklius, todėl pirmiausia turite jas suvesti į tą patį (bendrą) vardiklį.

Raskime šių trupmenų vardklių LCM.

Trupmenų vardikliai yra 10, 3 ir 5. Mažiausias bendras šių skaičių kartotinis yra 30

LCM (10, 3, 5) = 30

Dabar kiekvienai frakcijai randame papildomų faktorių. Norėdami tai padaryti, padalijame LCM iš kiekvienos trupmenos vardiklio.

Raskime papildomą pirmosios trupmenos koeficientą. LCM yra skaičius 30, o pirmosios trupmenos vardiklis yra 10. Padalinkite 30 iš 10, gausime pirmąjį papildomą koeficientą 3. Jį užrašome ant pirmosios trupmenos:

Dabar randame papildomą antrosios trupmenos koeficientą. Padalinkite LCM iš antrosios trupmenos vardiklio. LCM yra skaičius 30, o antrosios trupmenos vardiklis yra skaičius 3. Padalinkite 30 iš 3, gausime antrą papildomą koeficientą 10. Jį užrašome ant antrosios trupmenos:

Dabar randame papildomą trečiosios trupmenos koeficientą. Padalinkite LCM iš trečiosios trupmenos vardiklio. LCM yra skaičius 30, o trečiosios trupmenos vardiklis yra 5. Padalinkite 30 iš 5, gausime trečią papildomą koeficientą 6. Užrašome ant trečiosios trupmenos:

Dabar viskas paruošta atimti. Belieka padauginti trupmenas iš jų papildomų veiksnių:

Priėjome išvados, kad trupmenos su skirtingais vardikliais virto trupmenomis su vienodais (bendraisiais) vardikliais. Mes jau žinome, kaip atimti tokias trupmenas. Užbaikime šį pavyzdį.

Pavyzdžio tęsinys netilps vienoje eilutėje, todėl tęsinį perkeliame į kitą eilutę. Nepamirškite apie lygybės ženklą (=) naujoje eilutėje:

Atsakyme mes gavome teisingą trupmeną ir atrodo, kad viskas mums tinka, bet tai per sudėtinga ir negražu. Turėjome tai padaryti lengviau. Ką galima padaryti? Galite sutrumpinti šią dalį.

Norėdami sumažinti trupmeną, jos skaitiklį ir vardiklį turite padalyti iš (GCD) skaičių 20 ir 30.

Taigi, randame skaičių 20 ir 30 GCD:

Dabar grįžtame prie savo pavyzdžio ir trupmenos skaitiklį ir vardiklį padaliname iš rasto GCD, ty iš 10

Gavo atsakymą

Trupmenos padauginimas iš skaičiaus

Norėdami padauginti trupmeną iš skaičiaus, turite padauginti šios trupmenos skaitiklį iš šio skaičiaus, o vardiklį palikti tą patį.

1 pavyzdys... Padauginkite trupmeną iš 1.

Trupmenos skaitiklį padauginkite iš 1

Įrašymą galima suprasti kaip pusę 1 karto. Pavyzdžiui, jei picas imate 1 kartą, gausite picas

Iš daugybos dėsnių žinome, kad jei daugiklis ir koeficientas yra atvirkščiai, sandauga nepasikeis. Jei išraiška parašyta kaip, sandauga vis tiek bus lygi. Vėlgi, sveikojo skaičiaus ir trupmenos dauginimo taisyklė veikia:

Šį rekordą galima suprasti kaip pusę vieno. Pavyzdžiui, jei yra 1 visa pica ir paimame pusę jos, tai turėsime picą:

2 pavyzdys... Raskite išraiškos reikšmę

Padauginkite savo trupmenos skaitiklį iš 4

Atsakymas yra neteisinga trupmena. Pasirinkime visą jos dalį:

Išraiška gali būti suprantama kaip apimanti du ketvirčius 4 kartus. Pavyzdžiui, jei valgysite picas 4 kartus, gausite dvi visas picas.

Ir jei sukeisime daugiklį ir daugiklį vietomis, gausime išraišką. Jis taip pat bus lygus 2. Ši išraiška gali būti suprantama kaip dvi picos iš keturių ištisų picų:

Trupmenų daugyba

Norėdami padauginti trupmenas, turite padauginti jų skaitiklius ir vardiklius. Jei atsakymas yra neteisinga trupmena, turite pasirinkti visą dalį.

1 pavyzdys. Raskite išraiškos reikšmę.

Gavome atsakymą. Pageidautina šią frakciją sutrumpinti. Trupmeną galima sumažinti 2. Tada galutinis sprendimas bus tokia forma:

Posakį galima suprasti kaip picos paėmimą iš pusės picos. Tarkime, kad turime pusę picos:

Kaip gauti du trečdalius šios pusės? Pirmiausia turite padalyti šią pusę į tris lygias dalis:

Ir paimkite du iš šių trijų dalių:

Gaminsime picą. Prisiminkite, kaip atrodo pica, padalyta į tris dalis:

Vienas gabalas iš šios picos ir dvi griežinėliai, kuriuos paėmėme, bus vienodo dydžio:

Kitaip tariant, mes kalbame apie tą patį picos dydį. Todėl išraiškos reikšmė yra

2 pavyzdys... Raskite išraiškos reikšmę

Pirmosios trupmenos skaitiklį padauginame iš antrosios trupmenos skaitiklio, o pirmosios trupmenos vardiklį iš antrosios trupmenos vardiklio:

Atsakymas yra neteisinga trupmena. Pasirinkime visą jos dalį:

3 pavyzdys. Raskite išraiškos reikšmę

Pirmosios trupmenos skaitiklį padauginame iš antrosios trupmenos skaitiklio, o pirmosios trupmenos vardiklį iš antrosios trupmenos vardiklio:

Atsakymas yra teisinga trupmena, bet bus gerai, jei ją sumažinsite. Norėdami sumažinti šią trupmeną, šios trupmenos skaitiklį ir vardiklį turite padalyti iš didžiausio bendrojo daliklio (GCD) iš 105 ir 450.

Taigi, suraskime skaičių 105 ir 450 GCD:

Dabar mes padalijame mūsų atsakymo į GCD, kurį dabar radome, skaitiklį ir vardiklį, tai yra, iš 15

Sveikojo skaičiaus trupmenos vaizdavimas

Bet koks sveikasis skaičius gali būti pavaizduotas kaip trupmena. Pavyzdžiui, skaičius 5 gali būti pavaizduotas kaip. Nuo to penki nepakeis savo vertės, nes išraiška reiškia „skaičius penkis padalytas iš vieno“, o tai, kaip žinote, yra lygi penkiems:

Atvirkštiniai skaičiai

Dabar susipažinsime su labai įdomia matematikos tema. Tai vadinama „atgaliniais numeriais“.

Apibrėžimas. Skaičiaus atvirkštinėa yra skaičius, kurį padauginus iša duoda vieną.

Pakeiskime šį apibrėžimą vietoj kintamojo a skaičių 5 ir pabandykite perskaityti apibrėžimą:

Skaičiaus atvirkštinė 5 yra skaičius, kurį padauginus iš 5 duoda vieną.

Ar galite rasti skaičių, kurį padauginus iš 5 gaunamas vienas? Pasirodo, gali. Pavaizduokime penkis kaip trupmeną:

Tada padauginkite šią trupmeną iš savęs, tiesiog pakeiskite skaitiklio ir vardiklio vietas. Kitaip tariant, trupmeną padauginame iš pačios, tik apverstą:

Koks bus to rezultatas? Jei ir toliau spręsime šį pavyzdį, gausime vieną:

Tai reiškia, kad atvirkštinis 5 yra skaičius, nes 5 padauginus iš gaunamas vienas.

Abipusį skaičių taip pat galima rasti bet kuriam kitam sveikajam skaičiui.

Taip pat galite rasti bet kurios kitos trupmenos atvirkštinį koeficientą. Norėdami tai padaryti, tiesiog apverskite.

Trupmenos dalijimas iš skaičiaus

Tarkime, kad turime pusę picos:

Padalinkime jį po lygiai į dvi dalis. Kiek picos gaus kiekvienas?

Matyti, kad padalijus pusę picos, susidaro dvi vienodos griežinėliai, kurių kiekviena sudaro picą. Taigi visi gauna picą.

Trupmenų padalijimas atliekamas naudojant grįžtamuosius skaičius. Atvirkštiniai skaičiai leidžia dalybas pakeisti daugyba.

Norėdami padalyti trupmeną iš skaičiaus, šią trupmeną turite padauginti iš daliklio atvirkštinės vertės.

Naudodami šią taisyklę užrašykite mūsų pusės picos padalijimą į dvi dalis.

Taigi, jums reikia padalyti trupmeną iš skaičiaus 2. Čia dalijamoji yra trupmena, o daliklis yra skaičius 2.

Norėdami padalyti trupmeną iš 2, turite šią trupmeną padauginti iš daliklio 2 atvirkštinės vertės. Atvirkštinė 2 yra trupmena. Taigi reikia padauginti iš

Trupmenos yra įprasti skaičiai, kurias taip pat galima sudėti ir atimti. Tačiau dėl to, kad jie turi vardiklį, jiems reikalingos sudėtingesnės taisyklės nei sveikiesiems skaičiams.

Apsvarstykite paprasčiausią atvejį, kai yra dvi trupmenos, turinčios tą patį vardiklį. Tada:

Norėdami pridėti trupmenas su tuo pačiu vardikliu, pridėkite jų skaitiklius ir palikite vardiklį nepakeistą.

Norėdami atimti trupmenas su tuo pačiu vardikliu, iš pirmosios trupmenos skaitiklio atimkite antrosios dalies skaitiklį ir palikite vardiklį nepakeistą.

Kiekvienoje išraiškoje trupmenų vardikliai yra lygūs. Apibrėždami trupmenų sudėtį ir atėmimą, gauname:

Kaip matote, nieko sudėtingo: tiesiog pridėkite arba atimkite skaitiklius ir viskas.

Tačiau net ir atlikdami tokius paprastus veiksmus žmonės sugeba suklysti. Dažniausiai pamirštama, kad vardiklis nesikeičia. Pavyzdžiui, kai jie pridedami, jie taip pat pradeda pridėti, ir tai iš esmės neteisinga.

Gana lengva atsikratyti blogo įpročio pridėti vardiklius. Pabandykite tą patį padaryti atimdami. Dėl to vardiklis bus lygus nuliui, o trupmena (staiga!) neteks prasmės.

Todėl atminkite kartą ir visiems laikams: vardiklis nesikeičia sudėjus ir atimant!

Be to, daugelis klysta pridėdami kelias neigiamas trupmenas. Kyla painiavos su ženklais: kur dėti minusą, o kur pliusą.

Šią problemą taip pat labai lengva išspręsti. Pakanka prisiminti, kad minusas prieš trupmenos ženklą visada gali būti perkeltas į skaitiklį – ir atvirkščiai. Ir, žinoma, nepamirškite dviejų paprastų taisyklių:

1. Pliusas ir minusas duoda minusą;
2. Du neigiami dalykai daro teigiamą.

Išanalizuokime visa tai konkrečiais pavyzdžiais:

Užduotis. Raskite posakio prasmę:

Pirmuoju atveju viskas paprasta, bet antruoju prie trupmenų skaitiklių pridedame minusus:

Ką daryti, jei vardikliai skiriasi

Negalite tiesiogiai pridėti trupmenų su skirtingais vardikliais. Bent jau man šis metodas nežinomas. Tačiau pradines trupmenas visada galima perrašyti taip, kad vardikliai taptų vienodi.

Yra daug būdų konvertuoti trupmenas. Trys iš jų aptariami pamokoje „Trupmenų redukavimas į bendrą vardiklį“, todėl čia prie jų neapsistosime. Geriau pažvelkime į pavyzdžius:

Užduotis. Raskite posakio prasmę:

Pirmuoju atveju trupmenas suvedame į bendrą vardiklį naudodami „kryžminio“ metodą. Antrajame ieškosime LCM. Atkreipkite dėmesį, kad 6 = 2 · 3; 9 = 3 · 3. Paskutiniai šių išplėtimų faktoriai yra lygūs, o pirmieji yra koprime. Todėl LCM (6; 9) = 2 3 3 = 18.

Ką daryti, jei trupmena turi sveikąjį skaičių

Galiu jus pamaloninti: skirtingi trupmenų vardikliai dar nėra didžiausia blogybė. Daug daugiau klaidų pasitaiko, kai trupmenose pasirenkama visa dalis.

Žinoma, yra savo algoritmų tokių trupmenų sudėti ir atimti, tačiau jie yra gana sudėtingi ir reikalauja ilgo tyrimo. Geriau naudokite toliau pateiktą paprastą schemą:

1. Konvertuoti visas trupmenas, kuriose yra sveikoji dalis, į neteisingas. Gauname normalius terminus (net su skirtingais vardikliais), kurie skaičiuojami pagal aukščiau aptartas taisykles;
2. Tiesą sakant, apskaičiuokite gautų trupmenų sumą arba skirtumą. Dėl to mes praktiškai rasime atsakymą;
3. Jei užduotyje reikėjo tik to, atliekame atvirkštinę transformaciją, t.y. atsikratome neteisingos trupmenos, išryškindami joje visą dalį.

Perėjimo į netinkamąsias trupmenas ir visos dalies paryškinimo taisyklės išsamiai aprašytos pamokoje „Kas yra skaitinė trupmena“. Jei neprisimenate, būtinai pakartokite. Pavyzdžiai:

Užduotis. Raskite posakio prasmę:

Čia viskas paprasta. Kiekvienos išraiškos viduje esantys vardikliai yra lygūs, todėl belieka visas trupmenas paversti neteisingomis ir suskaičiuoti. Mes turime:

Kad viskas būtų paprasta, praleidau kai kuriuos akivaizdžius veiksmus paskutiniuose pavyzdžiuose.

Maža pastaba į paskutinius du pavyzdžius, kur atimamos trupmenos su paryškinta sveikojo skaičiaus dalimi. Minusas prieš antrąją trupmeną reiškia, kad atimama visa trupmena, o ne tik visa trupmena.

Dar kartą perskaitykite šį sakinį, pažiūrėkite į pavyzdžius – ir pagalvokite. Čia pradedantieji daro daugybę klaidų. Jie mėgsta tokias užduotis pateikti bandomuosiuose dokumentuose. Taip pat daugybę kartų su jais susidursite šios pamokos, kuri netrukus bus paskelbta, testuose.

Santrauka: bendra skaičiavimo schema

Baigdamas pateiksiu bendrą algoritmą, kuris padės rasti dviejų ar daugiau trupmenų sumą arba skirtumą:

1. Jei viena ar kelios trupmenos turi visą dalį, konvertuokite šias trupmenas į neteisingas;
2. Suveskite visas trupmenas į bendrą vardiklį bet kokiu jums patogiu būdu (nebent, žinoma, tai padarė problemos autoriai);
3. Sudėti arba atimti gautus skaičius pagal trupmenų su tais pačiais vardikliais sudėjimo ir atimties taisykles;
4. Jei įmanoma, sumažinkite rezultatą. Jei trupmena neteisinga, pasirinkite visą dalį.

Atminkite, kad geriau pasirinkti visą dalį pačioje problemos pabaigoje, prieš pat įrašant atsakymą.