Kvadratinės lygtys intervalų metodu. Intervalų metodas, pavyzdžiai, sprendimai

Šioje pamokoje mes ir toliau spręsime racionalias nelygybes naudodami intervalų metodą sudėtingesnėms nelygybėms. Apsvarstykite tiesinių trupmeninių ir kvadratinių trupmeninių nelygybių ir susijusių problemų sprendimą.

Dabar grįžkime prie nelygybės

Panagrinėkime kai kurias susijusias užduotis.

Raskite mažiausią nelygybės sprendimą.

Raskite natūralių nelygybės sprendimų skaičių

Raskite intervalų, sudarančių nelygybės sprendinių aibę, ilgį.

2. Gamtos mokslų portalas ().

3. Elektroninis edukacinis ir metodinis kompleksas 10-11 klasių rengimui informatikos, matematikos, rusų kalbos stojamiesiems egzaminams ().

5. Švietimo centras „Ugdymo technologija“ ().

6. College.ru skyrius apie matematiką ().

1. Mordkovichas A.G. ir kt.Algebra 9 klasė: Užduočių sąsiuvinis ugdymo įstaigų mokiniams / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina et al.- 4th ed. - M .: Mnemosyne, 2002.-143 p.: iliustr. 28 (b, c); 29(b,c); 35(a,b); 37(b,c); 38(a).

Nuo seniausių laikų sprendžiant praktines problemas reikėjo lyginti reikšmes ir kiekius. Kartu atsirado ir tokie vienarūšių dydžių palyginimo rezultatus žymintys žodžiai kaip daugiau ir mažiau, aukščiau ir žemiau, lengvesnis ir sunkesnis, tyliau ir garsiau, pigiau ir brangiau ir kt.

Sąvokos „daugiau ir mažiau“ atsirado siejant su objektų skaičiavimu, dydžių matavimu ir palyginimu. Pavyzdžiui, senovės Graikijos matematikai žinojo, kad bet kurio trikampio kraštinė yra mažesnė už kitų dviejų kraštinių sumą ir kad didesnė trikampio kraštinė yra priešais didesnį kampą. Archimedas, skaičiuodamas apskritimo perimetrą, nustatė, kad bet kurio apskritimo perimetras yra lygus tris kartus skersmeniui, o perteklius yra mažesnis nei septintoji skersmens, bet daugiau nei dešimt septyniasdešimt pirmųjų skersmens.

Simboliškai parašykite ryšius tarp skaičių ir dydžių naudodami > ir b ženklus. Įrašai, kuriuose du skaičiai yra sujungti vienu iš ženklų: > (didesnis nei), Jūs taip pat susidūrėte su skaitinėmis nelygybėmis pradinėse klasėse. Jūs žinote, kad nelygybė gali būti tiesa arba ne. Pavyzdžiui, \(\frac(1)(2) > \frac(1)(3) \) yra tinkama skaitinė nelygybė, 0,23 > 0,235 yra neteisinga skaitinė nelygybė.

Nelygybės, apimančios nežinomus dalykus, gali būti teisingos kai kurioms nežinomųjų vertybėms ir klaidingos kitoms. Pavyzdžiui, nelygybė 2x+1>5 yra teisinga, kai x = 3, bet klaidinga, kai x = -3. Nelygybei su vienu nežinomuoju galite nustatyti užduotį: išspręskite nelygybę. Nelygybių sprendimo problemos praktikoje keliamos ir sprendžiamos ne rečiau nei lygčių sprendimo problemos. Pavyzdžiui, daugelis ekonominių problemų yra redukuojamos iki tiesinių nelygybių sistemų tyrimo ir sprendimo. Daugelyje matematikos šakų nelygybės yra labiau paplitusios nei lygtys.

Kai kurios nelygybės yra vienintelė pagalbinė priemonė įrodyti arba paneigti tam tikro objekto egzistavimą, pavyzdžiui, lygties šaknį.

Skaitmeninės nelygybės

Galite palyginti sveikuosius ir dešimtainius skaičius. Žinoti paprastųjų trupmenų su tais pačiais vardikliais, bet skirtingais skaitikliais lyginimo taisykles; su tais pačiais skaitikliais, bet skirtingais vardikliais. Čia sužinosite, kaip palyginti bet kuriuos du skaičius, surasdami jų skirtumo ženklą.

Praktikoje plačiai naudojamas skaičių palyginimas. Pavyzdžiui, ekonomistas lygina suplanuotus rodiklius su faktiniais, gydytojas – paciento temperatūrą su normalia, tekintojas – apdirbtos detalės matmenis su standartu. Visais tokiais atvejais lyginami kai kurie skaičiai. Dėl skaičių palyginimo susidaro skaitinės nelygybės.

Apibrėžimas. Skaičius a yra didesnis už skaičių b, jei skirtumas a-b yra teigiamas. Skaičius a yra mažesnis už skaičių b, jei skirtumas a-b yra neigiamas.

Jei a yra didesnis už b, tada jie rašo: a > b; jei a yra mažesnis už b, tai jie rašo: a Taigi nelygybė a > b reiškia, kad skirtumas a - b yra teigiamas, t.y. a - b > 0. Nelygybė a Bet kokiems dviem skaičiams a ir b iš šių trijų santykių a > b, a = b, a Teorema. Jei a > b ir b > c, tai a > c.

Teorema. Jei prie abiejų nelygybės pusių pridedamas tas pats skaičius, tai nelygybės ženklas nekinta.
Pasekmė. Bet kuris terminas gali būti perkeltas iš vienos nelygybės dalies į kitą, pakeitus šio termino ženklą į priešingą.

Teorema. Jei abi nelygybės pusės padauginamos iš to paties teigiamo skaičiaus, tai nelygybės ženklas nekinta. Jei abi nelygybės pusės bus padaugintos iš to paties neigiamo skaičiaus, tada nelygybės ženklas pasikeis į priešingą.
Pasekmė. Jei abi nelygybės dalys dalijamos iš to paties teigiamo skaičiaus, tai nelygybės ženklas nekinta. Jei abi nelygybės dalys padalytos iš to paties neigiamo skaičiaus, tai nelygybės ženklas pasikeis į priešingą.

Jūs žinote, kad skaitines lygybes galima sudėti ir padauginti iš termino. Toliau sužinosite, kaip atlikti panašius veiksmus su nelygybėmis. Praktikoje dažnai naudojama galimybė sudėti ir dauginti nelygybes. Šie veiksmai padeda išspręsti išraiškų verčių vertinimo ir palyginimo problemas.

Sprendžiant įvairius uždavinius, dažnai reikia sudėti arba dauginti iš termino kairiąją ir dešiniąją nelygybių dalis. Kartais sakoma, kad nelygybės pridedamos arba dauginamos. Pavyzdžiui, jei pirmą dieną turistas nuėjo daugiau nei 20 km, o antrą – daugiau nei 25 km, tuomet galima teigti, kad per dvi dienas jis nuėjo daugiau nei 45 km. Panašiai, jei stačiakampio ilgis yra mažesnis nei 13 cm, o plotis yra mažesnis nei 5 cm, tada galima teigti, kad šio stačiakampio plotas yra mažesnis nei 65 cm2.

Nagrinėjant šiuos pavyzdžius, toliau nelygybių sudėties ir daugybos teoremos:

Teorema. Sudėjus to paties ženklo nelygybes, gauname to paties ženklo nelygybę: jei a > b ir c > d, tai a + c > b + d.

Teorema. Dauginant to paties ženklo nelygybes, kurių kairioji ir dešinioji dalys yra teigiamos, gaunama to paties ženklo nelygybė: jei a > b, c > d ir a, b, c, d yra teigiami skaičiai, tai ac > bd.

Nelygybės su ženklu > (didesnis nei) ir 1/2, 3/4 b, c Kartu su griežtais nelygybės ženklais > ir Lygiai taip pat nelygybė \(a \geq b \) reiškia, kad skaičius a yra didesnis kaip arba lygus b, ty ir ne mažesnis kaip b.

Nelygybės, turinčios ženklą \(\geq \) arba ženklą \(\leq \), vadinamos negriežtomis. Pavyzdžiui, \(18 \geq 12 , \; 11 \leq 12 \) nėra griežtos nelygybės.

Visos griežtųjų nelygybių savybės galioja ir negriežtoms nelygybėms. Be to, jei griežtoms nelygybėms ženklai > buvo laikomi priešingais ir žinote, kad norėdami išspręsti daugybę taikomų uždavinių, turite sudaryti matematinį modelį lygties arba lygčių sistemos pavidalu. Be to, sužinosite, kad daugelio problemų sprendimo matematiniai modeliai yra nelygybė su nežinomaisiais. Supažindinsime su nelygybės sprendimo samprata ir parodysime, kaip patikrinti, ar duotas skaičius yra konkrečios nelygybės sprendimas.

Formos nelygybės
\(ax > b, \quad ax kur a ir b yra pateikti skaičiai, o x nežinomas, vadinamas tiesinės nelygybės su vienu nežinomuoju.

Apibrėžimas. Nelygybės su vienu nežinomuoju sprendimas yra nežinomojo reikšmė, kuriai ši nelygybė virsta tikra skaitine nelygybe. Išspręsti nelygybę reiškia rasti visus jos sprendimus arba nustatyti, kad jų nėra.

Jūs išsprendėte lygtis, sumažindami jas iki paprasčiausių lygčių. Panašiai, sprendžiant nelygybes, linkstama jas savybių pagalba redukuoti į paprasčiausių nelygybių formą.

Antrojo laipsnio nelygybių su vienu kintamuoju sprendimas

Formos nelygybės
\(ax^2+bx+c >0 \) ir \(ax^2+bx+c kur x yra kintamasis, a, b ir c yra kai kurie skaičiai ir \(a \neq 0 \) vadinami antrojo laipsnio nelygybės su vienu kintamuoju.

Nelygybės sprendimas
\(ax^2+bx+c >0 \) arba \(ax^2+bx+c \) galima suprasti kaip spragų radimą, kur funkcija \(y= ax^2+bx+c \) yra teigiama arba neigiamos reikšmės Tam pakanka išanalizuoti, kaip funkcijos \ (y = ax ^ 2 + bx + c \) grafikas yra koordinačių plokštumoje: kur nukreiptos parabolės šakos - aukštyn ar žemyn , ar parabolė kerta x ašį ir jei kerta, tai kokiuose taškuose.

Antrojo laipsnio nelygybių su vienu kintamuoju sprendimo algoritmas:
1) suraskite kvadratinio trinalio \(ax^2+bx+c\) diskriminantą ir išsiaiškinkite, ar trinaris turi šaknis;
2) jei trinaris turi šaknis, tada pažymėkite jas x ašyje ir per pažymėtus taškus schematiškai nubrėžkite parabolę, kurios šakos nukreiptos aukštyn ties a > 0 arba žemyn ties a 0 arba apačioje ties a 3) raskite tarpai x ašyje, kurių taškų parabolės yra virš x ašies (jei jos išsprendžia nelygybę \(ax^2+bx+c >0 \)) arba žemiau x ašies (jei išsprendžia nelygybę
\(ax^2+bx+c Nelygybių sprendimas intervalų metodu

Apsvarstykite funkciją
f(x) = (x + 2) (x - 3) (x - 5)

Šios funkcijos sritis yra visų skaičių rinkinys. Funkcijos nuliai yra skaičiai -2, 3, 5. Jie padalina funkcijos sritį į intervalus \((-\infty; -2), \; (-2; 3), \; (3; 5 ) \) ir \( (5; +\infty)\)

Išsiaiškinkime, kokie yra šios funkcijos ženklai kiekviename iš nurodytų intervalų.

Išraiška (x + 2)(x - 3)(x - 5) yra trijų veiksnių sandauga. Kiekvieno iš šių veiksnių ženklas nagrinėjamais intervalais nurodytas lentelėje:

Apibendrinant, funkciją tegul pateikia formulė
f(x) = (x-x 1) (x-x 2) ... (x-x n),
kur x yra kintamasis, o x 1 , x 2 , ..., x n nėra lygūs skaičiai. Skaičiai x 1 , x 2 , ..., x n yra funkcijos nuliai. Kiekviename iš intervalų, į kuriuos apibrėžimo sritis padalinta iš funkcijos nulių, funkcijos ženklas išsaugomas, o einant per nulį, jos ženklas keičiasi.

Ši savybė naudojama formos nelygybėms spręsti
(x-x 1) (x-x 2) ... (x-x n) > 0,
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) kur x 1 , x 2 , ..., x n nėra lygūs skaičiai

Apsvarstytas metodas nelygybių sprendimas vadinamas intervalų metodu.

Pateiksime nelygybių sprendimo intervalų metodu pavyzdžių.

Išspręskite nelygybę:

\(x(0.5-x)(x+4) Akivaizdu, kad funkcijos f(x) = x(0.5-x)(x+4) nuliai yra taškai \frac(1)(2) , \; x=-4 \)

Funkcijos nulius nubraižome ant realios ašies ir apskaičiuojame kiekvieno intervalo ženklą:

Parenkame tuos intervalus, kuriuose funkcija yra mažesnė arba lygi nuliui ir užrašome atsakymą.

Atsakymas:
\(x \in \left(-\infty; \; 1 \right) \cup \left[ 4; \; +\infty \right) \)

Intervalų metodas laikomas universaliu nelygybėms spręsti. Kartais šis metodas dar vadinamas tarpo metodu. Jis gali būti naudojamas tiek sprendžiant racionalias nelygybes su vienu kintamuoju, tiek sprendžiant kitų tipų nelygybes. Savo medžiagoje stengėmės atkreipti dėmesį į visus problemos aspektus.

Kas tavęs laukia šioje rubrikoje? Išanalizuosime spragų metodą ir apsvarstysime jį naudojant nelygybių sprendimo algoritmus. Palieskime teorinius aspektus, kuriais grindžiamas metodo taikymas.

Ypatingą dėmesį skiriame temos niuansams, kurie dažniausiai nėra aptariami mokyklos programoje. Pavyzdžiui, panagrinėkime ženklų dėjimo ant intervalų taisykles ir patį intervalų metodą bendra forma be nuorodos į racionalias nelygybes.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Algoritmas

Kas prisimena, kaip mokykliniame algebros kurse įvedamas spragų metodas? Paprastai viskas prasideda nuo f (x) formos nelygybių sprendimo< 0 (знак неравенства может быть использован любой другой, например, ≤ , >arba ≥). Čia f(x) gali būti daugianario arba daugianario santykis. Savo ruožtu daugianomas gali būti pavaizduotas taip:

• tiesinių dvinarių sandauga su kintamojo x koeficientu 1;
• kvadratinių trinarių sandauga su pirmaujančiu koeficientu 1 ir su neigiamu jų šaknų diskriminantu.

Štai keletas tokių nelygybių pavyzdžių:

(x + 3) (x 2 - x + 1) (x + 2) 3 ≥ 0,

(x - 2) (x + 5) x + 3 > 0,

(x – 5) (x + 5) ≤ 0,

(x 2 + 2 x + 7) (x - 1) 2 (x 2 - 7) 5 (x - 1) (x - 3) 7 ≤ 0 .

Surašome algoritmą tokio pobūdžio nelygybių sprendimui, kaip pateikėme pavyzdžiuose, naudodami intervalų metodą:

• randame skaitiklio ir vardiklio nulius, tam kairėje nelygybės pusėje esančios išraiškos skaitiklį ir vardiklį prilyginame nuliui ir išsprendžiame gautas lygtis;
• nustatyti taškus, atitinkančius rastus nulius, ir pažymėti juos brūkšneliais koordinačių ašyje;
• apibrėžti išraiškos ženklus f(x) iš kairės išspręstos nelygybės kiekviename intervale ir padėkite jas į grafiką;
• Užtamsiname reikiamas grafiko dalis, vadovaudamiesi tokia taisykle: jei nelygybė turi ženklų< или ≤ изображается, штрихуются «минусовые» промежутки, если же мы работаем с неравенством, имеющим знаки >arba ≥ , tada su šešėliavimu pasirenkame „+“ ženklu pažymėtas sritis.

Brėžinys, su kuriuo dirbsime, gali turėti scheminį vaizdą. Per daug detalių gali perkrauti piešinį ir apsunkinti sprendimą. Mes mažai domėsimės mastu. Pakaks laikytis teisingos taškų vietos, nes didėja jų koordinačių reikšmės.

Dirbdami su griežtomis nelygybėmis, naudosime taško žymėjimą apskritimo su neužpildytu (tuščiu) centru. Negriežtų nelygybių atveju taškai, atitinkantys vardiklio nulius, bus rodomi kaip tušti, o visi kiti - kaip įprasti juodi.

Pažymėti taškai padalija koordinačių liniją į kelis skaitinius intervalus. Tai leidžia mums gauti geometrinį skaičių aibės vaizdą, kuris iš tikrųjų yra nurodytos nelygybės sprendimas.

Spragų metodo moksliniai pagrindai

Metodas, kuriuo grindžiamas intervalų metodas, pagrįstas tokia tolydžios funkcijos savybe: funkcija išlaiko pastovų ženklą intervale (a, b), kuriame ši funkcija yra tolydi, ir neišnyksta. Ta pati savybė būdinga skaičių spinduliams (− ∞ , a) ir (a , +∞).

Aukščiau nurodytą funkcijos savybę patvirtina Bolzano-Cauchy teorema, kuri pateikiama daugelyje vadovų, skirtų pasiruošti stojamiesiems egzaminams.

Taip pat galima pagrįsti ženklo pastovumą intervaluose remiantis skaitinių nelygybių savybėmis. Pavyzdžiui, paimkite nelygybę x - 5 x + 1 > 0 . Jei rasime skaitiklio ir vardiklio nulius ir patalpinsime juos į skaičių eilutę, gausime spragų seką: (− ∞ , − 1) , (− 1 , 5) ir (5 , + ∞) .

Paimkime bet kurį intervalą ir parodykime, kad visame intervale išraiška iš kairės nelygybės pusės turės pastovų ženklą. Tegul tai yra intervalas (− ∞ , − 1) . Paimkime bet kurį skaičių t iš šio intervalo. Jis tenkins sąlygas t< − 1 , и так как − 1 < 5 , то по свойству транзитивности, оно же будет удовлетворять и неравенству t < 5 .

Naudodami ir gautas nelygybes, ir skaitinių nelygybių savybę, galime daryti prielaidą, kad t + 1< 0 и t − 5 < 0 . Это значит, что t + 1 и t − 5 – это отрицательные числа независимо от значения t intervale (− ∞ , − 1) .

Naudodami neigiamų skaičių padalijimo taisyklę galime teigti, kad raiškos t - 5 t + 1 reikšmė bus teigiama. Tai reiškia, kad išraiškos x - 5 x + 1 reikšmė bus teigiama bet kuriai reikšmei x iš tarpo (− ∞ , − 1) . Visa tai leidžia teigti, kad intervale, paimtame kaip pavyzdys, išraiška turi pastovų ženklą. Mūsų atveju tai yra „+“ ženklas.

Skaitiklio ir vardiklio nulių radimas

Nulių radimo algoritmas paprastas: reiškinius nuo skaitiklio ir vardiklio prilyginame nuliui ir išsprendžiame gautas lygtis. Jei turite kokių nors sunkumų, galite kreiptis į temą „Lygčių sprendimas faktoringo būdu“. Šiame skyriuje apsiribojame pavyzdžiu.

Apsvarstykite trupmeną x · (x - 0, 6) x 7 · (x 2 + 2 · x + 7) 2 · (x + 5) 3 . Norėdami rasti skaitiklio ir vardiklio nulius, juos prilyginame nuliui, kad gautume ir išspręstume lygtis: x (x − 0, 6) = 0 ir x 7 (x 2 + 2 x + 7) 2 (x + 5) 3 = 0.

Pirmuoju atveju galime pereiti prie dviejų lygčių aibės x = 0 ir x − 0 , 6 = 0 , iš kurios gauname dvi šaknis 0 ir 0 , 6 . Tai yra skaitiklio nuliai.

Antroji lygtis yra lygi trijų lygčių rinkiniui x7 = 0, (x 2 + 2 x + 7) 2 = 0, (x + 5) 3 = 0 . Atliekame eilę transformacijų ir gauname x \u003d 0, x 2 + 2 x + 7 \u003d 0, x + 5 \u003d 0. Pirmosios lygties šaknis yra 0, antroji lygtis neturi šaknų, nes turi neigiamą diskriminantą, trečiosios lygties šaknis yra 5. Tai yra vardiklio nuliai.

0 šiuo atveju yra ir skaitiklio nulis, ir vardiklio nulis.

Apskritai, kai kairėje nelygybės pusėje yra trupmena, kuri nebūtinai yra racionali, skaitiklis ir vardiklis taip pat prilyginami nuliui, kad būtų gautos lygtys. Spręsdami lygtis, galite rasti skaitiklio ir vardiklio nulius.

Nustatyti intervalo ženklą paprasta. Norėdami tai padaryti, bet kurio savavališkai pasirinkto taško iš nurodyto intervalo nelygybės kairėje galite rasti išraiškos reikšmę. Gautas išraiškos reikšmės ženklas savavališkai pasirinktame intervalo taške sutaps su viso intervalo ženklu.

Pažvelkime į šį teiginį su pavyzdžiu.

Paimkite nelygybę x 2 - x + 4 x + 3 ≥ 0 . Kairėje nelygybės pusėje esančios išraiškos skaitiklyje nėra nulių. Nulinis vardiklis bus skaičius - 3 . Skaičių eilutėje gauname du tarpus (− ∞ , − 3) ir (- 3 , + ∞) .

Norėdami nustatyti intervalų požymius, apskaičiuojame išraiškos x 2 - x + 4 x + 3 reikšmę kiekviename intervale savavališkai paimtiems taškams.

Nuo pirmo intervalo (− ∞ , − 3) paimk - 4. At x = -4 mes turime (- 4) 2 - (- 4) + 4 (- 4) + 3 = - 24 . Gavome neigiamą reikšmę, o tai reiškia, kad visas intervalas bus su „-“ ženklu.

Dėl span (− 3 , + ∞) atlikime skaičiavimus su tašku, kurio koordinatė yra nulinė. Jei x = 0, turime 0 2 - 0 + 4 0 + 3 = 4 3 . Gavome teigiamą reikšmę, o tai reiškia, kad visas intervalas turės „+“ ženklą.

Galite naudoti kitą būdą ženklams apibrėžti. Norėdami tai padaryti, galime rasti ženklą viename iš intervalų ir jį išsaugoti arba pakeisti, kai einame per nulį. Norint viską padaryti teisingai, reikia laikytis taisyklės: eidami per vardiklio nulį, bet ne skaitiklį, arba skaitiklį, bet ne vardiklį, ženklą galime pakeisti į priešingą, jei vardiklio laipsnis išraiška, suteikianti šį nulį, yra nelyginė, ir mes negalime pakeisti ženklo, jei laipsnis yra lyginis. Jei gausime tašką, kuris yra ir skaitiklio, ir vardiklio nulis, tai pakeisti ženklą į priešingą galima tik tuo atveju, jei reiškinių, suteikiančių šį nulį, galių suma yra nelyginė.

Jei prisiminsime nelygybę, kurią svarstėme šios medžiagos pirmosios pastraipos pradžioje, tada dešiniajame intervale galime įdėti „+“ ženklą.

Dabar pereikime prie pavyzdžių.

Paimkite nelygybę (x - 2) (x - 3) 3 (x - 4) 2 (x - 1) 4 (x - 3) 5 (x - 4) ≥ 0 ir išspręskite ją intervalų metodu. Norėdami tai padaryti, turime rasti skaitiklio ir vardiklio nulius ir pažymėti juos koordinačių eilutėje. Skaitiklio nuliai bus taškai 2 , 3 , 4 , taško vardiklis 1 , 3 , 4 . Juos koordinačių ašyje pažymime brūkšneliais.

Vardiklio nuliai pažymėti tuščiais taškais.

Kadangi susiduriame su ne griežta nelygybe, likusius brūkšnelius pakeičiame įprastais taškais.

Dabar padėkime taškus ant intervalų. Dešinysis intervalas (4, +∞) bus + ženklas.

Judėdami iš dešinės į kairę, pažymėsime likusius tarpus. Pravažiuojame tašką, kurio koordinatė 4 . Tai yra ir skaitiklio, ir vardiklio nulis. Apibendrinant, šie nuliai suteikia išraiškas (x – 4) 2 ir x - 4. Sudedame jų laipsnius 2 + 1 = 3 ir gauname nelyginį skaičių. Tai reiškia, kad perėjimo ženklas šiuo atveju pasikeičia į priešingą. Intervale (3, 4) bus minuso ženklas.

Per tašką, kurio koordinatė 3, pereiname į intervalą (2, 3). Tai taip pat yra nulis tiek skaitikliui, tiek vardikliui. Gavome tai dėka dviejų išraiškų (x − 3) 3 ir (x – 3) 5, kurio laipsnių suma yra 3 + 5 = 8 . Gavus lyginį skaičių, intervalo ženklą galime palikti nepakeistą.

Taškas, kurio koordinatė 2, yra skaitiklio nulis. Išraiškos laipsnis x - 2 yra lygus 1 (nelyginis). Tai reiškia, kad važiuojant per šį tašką ženklas turi būti apverstas.

Likome su paskutiniu intervalu (− ∞ , 1) . Taškas, kurio koordinatė 1, yra nulinis vardiklis. Jis buvo gautas iš išraiškos (x – 1) 4, su lygiu laipsniu 4 . Todėl ženklas išlieka tas pats. Galutinis piešinys atrodys taip:

Intervallinio metodo naudojimas ypač efektyvus tais atvejais, kai išraiškos reikšmės apskaičiavimas yra susijęs su dideliu darbo kiekiu. Pavyzdys galėtų būti poreikis įvertinti išraiškos vertę

x + 3 - 3 4 3 x 2 + 6 x + 11 2 x + 2 - 3 4 (x - 1) 2 x - 2 3 5 (x - 12)

bet kuriame intervalo 3–3 4, 3–2 4 taške.

Dabar įgytas žinias ir įgūdžius pritaikykime praktiškai.

1 pavyzdys

Išspręskite nelygybę (x - 1) (x + 5) 2 (x - 7) (x - 1) 3 ≤ 0 .

Sprendimas

Nelygybei išspręsti patartina taikyti intervalų metodą. Raskite skaitiklio ir vardiklio nulius. Skaitiklio nuliai yra 1 ir - 5 , vardiklio nuliai yra 7 ir 1 . Pažymėkime juos skaičių eilutėje. Turime reikalą su negriežta nelygybe, todėl vardiklio nulius pažymėsime tuščiais taškais, skaitiklio nulis - 5 bus pažymėtas įprastu užpildytu tašku.

Tarpų ženklus užrašome vadovaudamiesi ženklo keitimo taisyklėmis, kai pravažiuojame per nulį. Pradėkime nuo labiausiai dešiniojo intervalo, kuriam apskaičiuojame išraiškos reikšmę iš kairės nelygybės pusės taške, savavališkai paimtame iš intervalo. Gauname „+“ ženklą. Iš eilės pereikime per visus koordinačių linijos taškus, padėdami ženklus ir gaukime:

Dirbame su negriežta nelygybe, kurios ženklas ≤ . Tai reiškia, kad tarpelius, pažymėtus „-“ ženklu, turime pažymėti atspalviu.

Atsakymas: (- ∞ , 1) ∪ (1 , 7) .

Racionaliųjų nelygybių sprendimas daugeliu atvejų reikalauja išankstinio jų transformavimo į norimą formą. Tik tada atsiranda galimybė naudoti intervalų metodą. Tokių transformacijų atlikimo algoritmai nagrinėjami medžiagoje „Racionaliųjų nelygybių sprendimas“.

Apsvarstykite kvadratinių trinalių konvertavimo į nelygybes pavyzdį.

2 pavyzdys

Raskite nelygybės (x 2 + 3 x + 3) (x + 3) x 2 + 2 x - 8 > 0 sprendimą.

Sprendimas

Pažiūrėkime, ar kvadratinių trinalių diskriminantai nelygybės įraše yra tikrai neigiami. Tai leis mums nustatyti, ar šios nelygybės forma leidžia sprendiniui taikyti intervalo metodą.

Apskaičiuokite trinario diskriminantą x 2 + 3 x + 3: D = 3 2 - 4 1 3 = - 3< 0 . Dabar apskaičiuokime trinalio x 2 + 2 x - 8 diskriminantą: D ' = 1 2 - 1 (- 8) = 9 > 0 . Kaip matote, nelygybė reikalauja išankstinės transformacijos. Norėdami tai padaryti, pavaizduojame trinarį x 2 + 2 x − 8 kaip (x + 4) (x - 2), o tada taikykite intervalo metodą, kad išspręstumėte nelygybę (x 2 + 3 x + 3) (x + 3) (x + 4) (x - 2) > 0 .

Atsakymas: (- 4 , - 3) ∪ (2 , + ∞) .

Apibendrinto tarpo metodas naudojamas f (x) formos nelygybėms išspręsti.< 0 (≤ , >, ≥) , kur f (x) yra savavališka išraiška su vienu kintamuoju x.

Visi veiksmai atliekami pagal tam tikrą algoritmą. Tokiu atveju nelygybių sprendimo apibendrinto intervalo metodu algoritmas šiek tiek skirsis nuo to, ką analizavome anksčiau:

• rasti funkcijos f sritį ir šios funkcijos nulius;
• pažymėti ribinius taškus koordinačių ašyje;
• nubrėžkite funkcijos nulius skaičių tiesėje;
• nustatyti intervalų požymius;
• taikome perinti;
• užrašykite atsakymą.

Skaičių eilutėje taip pat būtina pažymėti atskirus apibrėžimo srities taškus. Pavyzdžiui, funkcijos sritis yra aibė (− 5 , 1 ] ∪ ( 3 ) ∪ [ 4 , 7) ∪ ( 10 ) . Tai reiškia, kad turime pažymėti taškus koordinatėmis − 5 , 1 , 3 , 4 , 7 ir 10 . taškų − 5 ir 7 rodomi kaip tušti, likusius galima paryškinti spalvotu pieštuku, kad būtų atskirti nuo funkcijos nulių.

Funkcijos nuliai negriežtųjų nelygybių atveju žymimi įprastais (tamsuotais) taškais, o griežtoms nelygybėms – tuščiais taškais. Jei nuliai sutampa su ribiniais taškais arba atskirais apibrėžimo srities taškais, tada jie gali būti perspalvinti juoda spalva, kad jie būtų tušti arba užpildyti, priklausomai nuo nelygybės tipo.

Atsakymo įrašas yra skaitmeninis rinkinys, kurį sudaro:

• nubrozdinti tarpai;
• atskirkite domeno taškus pliuso ženklu, jei kalbame su nelygybe, kurios ženklas yra > arba ≥ arba minuso ženklu, jei nelygybėje yra ženklų< или ≤ .

Dabar tapo aišku, kad algoritmas, kurį pateikėme pačioje temos pradžioje, yra ypatingas apibendrinto intervalo metodo taikymo algoritmo atvejis.

Apsvarstykite apibendrinto intervalo metodo taikymo pavyzdį.

3 pavyzdys

Išspręskite nelygybę x 2 + 2 x - 24 - 3 4 x - 3 x - 7< 0 .

Sprendimas

Pateikiame tokią funkciją f, kad f (x) = x 2 + 2 x - 24 - 3 4 x - 3 x - 7 . Raskite funkcijos domeną f:

x 2 + 2 x - 24 ≥ 0 x ≠ 7 D (f) = (- ∞ , - 6 ] ∪ [ 4 , 7) ∪ (7 , + ∞).

Dabar suraskime funkcijos nulius. Norėdami tai padaryti, išspręsime neracionalią lygtį:

x 2 + 2 x - 24 - 3 4 x - 3 = 0

Gauname šaknį x = 12 .

Norėdami pažymėti ribos taškus koordinačių ašyje, naudokite oranžinę spalvą. Taškai - 6, 4 bus užpildyti, o 7 liks tušti. Mes gauname:

Funkcijos nulį pažymime tuščiu juodu tašku, nes dirbame su griežta nelygybe.

Ženklus nustatome atskirais intervalais. Norėdami tai padaryti, paimkite vieną tašką iš kiekvieno intervalo, pavyzdžiui, 16 , 8 , 6 ir − 8 , ir apskaičiuokite juose esančios funkcijos reikšmę f:

f (16) = 16 2 + 2 16 - 24 - 3 4 16 - 3 16 - 7 = 264 - 15 9 > 0 f (8) = 8 2 + 2 8 - 24 - 3 4 8 - 3 8 - 7 = 56-9< 0 f (6) = 6 2 + 2 · 6 - 24 - 3 4 · 6 - 3 6 - 7 = 24 - 15 2 - 1 = = 15 - 2 · 24 2 = 225 - 96 2 >0 f (- 8) \u003d - 8 2 + 2 (- 8) - 24 - 3 4 (- 8) - 3 - 8 - 7 \u003d 24 + 3 - 15< 0

Dedame ką tik apibrėžtus ženklus, o ant tarpų su minuso ženklu pritaikome perėjimą:

Atsakymas bus dviejų intervalų junginys su ženklu "-": (− ∞ , − 6 ] ∪ (7 , 12) .

Atsakydami įtraukėme tašką su koordinate - 6 . Tai ne funkcijos nulis, kurio, spręsdami griežtą nelygybę, neįtrauktume į atsakymą, o apibrėžimo srities ribinis taškas, kuris įtraukiamas į apibrėžimo sritį. Funkcijos reikšmė šiame taške yra neigiama, o tai reiškia, kad ji tenkina nelygybę.

Į atsakymą neįtraukėme 4 punkto, kaip ir viso intervalo [4, 7) . Šiuo metu, kaip ir visame nurodytame intervale, funkcijos reikšmė yra teigiama, o tai netenkina sprendžiamos nelygybės.

Užsirašykime dar kartą, kad būtų aiškiau suprasti: spalvoti taškai turi būti įtraukti į atsakymą šiais atvejais:

• šie taškai yra išbrokuoto tarpo dalis,
• šie taškai yra atskiri funkcijos srities taškai, kurių funkcijos reikšmės tenkina sprendžiamą nelygybę.

Atsakymas: (− ∞ , − 6 ] ∪ (7 , 12) .

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter

Tarpų nustatymo metodas yra paprastas būdas išspręsti trupmenines racionaliąsias nelygybes. Tai nelygybių, turinčių racionalias (arba trupmenines-racionalias) išraiškas, kurios priklauso nuo kintamojo, pavadinimas.

1. Apsvarstykite, pavyzdžiui, tokią nelygybę

Intervalų metodas leidžia jį išspręsti per porą minučių.

Kairėje šios nelygybės pusėje yra trupmeninė racionali funkcija. Racionalus, nes jame nėra nei šaknų, nei sinusų, nei logaritmų – tik racionalios išraiškos. Dešinėje yra nulis.

Intervalų metodas pagrįstas šia trupmeninės racionalios funkcijos savybe.

Trupmeninė racionali funkcija gali pakeisti ženklą tik tuose taškuose, kur ji lygi nuliui arba neegzistuoja.

Prisiminkite, kaip įskaičiuojamas kvadratinis trinaris, tai yra formos išraiška.

Kur ir yra kvadratinės lygties šaknys.

Nubrėžiame ašį ir išdėstome taškus, kuriuose skaitiklis ir vardiklis išnyksta.

Vardiklio ir nuliai yra punkcuoti taškai, nes šiuose taškuose funkcija kairėje nelygybės pusėje nėra apibrėžta (negalite padalinti iš nulio). Skaitiklio ir - nuliai yra nuspalvinti, nes nelygybė nėra griežta. Už ir mūsų nelygybė tenkinama, nes abi jos dalys lygios nuliui.

Šie taškai suskaido ašį į intervalus.

Kiekviename iš šių intervalų nustatykime trupmeninės-racionalios funkcijos ženklą kairėje mūsų nelygybės pusėje. Prisimename, kad trupmeninė racionali funkcija gali pakeisti ženklą tik tuose taškuose, kur ji lygi nuliui arba neegzistuoja. Tai reiškia, kad kiekviename intervale tarp taškų, kur skaitiklis arba vardiklis išnyksta, išraiškos ženklas kairėje nelygybės pusėje bus pastovus – arba „pliusas“, arba „minusas“.

Todėl, norėdami nustatyti funkcijos ženklą kiekviename tokiame intervale, imame bet kurį šiam intervalui priklausantį tašką. Tas, kuris mums tinka.
. Paimkite, pavyzdžiui, ir patikrinkite išraiškos ženklą kairėje nelygybės pusėje. Kiekvienas iš „skliaustelių“ yra neigiamas. Kairėje pusėje yra ženklas.

Kitas intervalas: . Patikrinkime ženklą. Gauname, kad kairioji pusė pakeitė ženklą į .

Paimkime . Kai išraiška yra teigiama, todėl ji yra teigiama visame intervale nuo iki .

Kairė nelygybės pusė yra neigiama.

Ir galiausiai class="tex" alt="(!LANG:x>7"> . Подставим и проверим знак выражения в левой части неравенства. Каждая "скобочка" положительна. Следовательно, левая часть имеет знак .!}

Mes nustatėme, kokiais intervalais išraiška yra teigiama. Belieka parašyti atsakymą:

Atsakymas:.

Atkreipkite dėmesį: ženklai ant intervalų kinta. Taip atsitiko todėl, kad einant per kiekvieną tašką, lygiai vienas iš tiesinių faktorių pakeitė ženklą, o likusieji nepakito.

Matome, kad intervalų metodas yra labai paprastas. Norėdami išspręsti trupmeninę-racionaliąją nelygybę intervalų metodu, pateikiame ją į formą:

Arba class="tex" alt="(!LANG:\genfrac()()()(0)(\displaystyle P\left(x \right))(\displaystyle Q\left(x \right)) > 0"> !}, arba arba .

(kairėje pusėje - trupmeninė-racionali funkcija, dešinėje - nulis).

Tada - skaičių eilutėje pažymime taškus, kuriuose skaitiklis arba vardiklis išnyksta.
Šie taškai padalija visą skaičių tiesę į intervalus, kurių kiekviename trupmeninė-racionali funkcija išlaiko savo ženklą.
Belieka tik sužinoti jo ženklą kiekviename intervale.
Tai darome patikrindami išraiškos ženklą bet kuriame nurodyto intervalo taške. Po to užrašome atsakymą. Tai viskas.

Tačiau kyla klausimas: ar ženklai visada keičiasi? Ne ne visada! Turime būti atsargūs ir nestatyti ženklų mechaniškai ir neapgalvotai.

2. Pažvelkime į kitą nelygybę.

Class="tex" alt="(!LANG:\genfrac()()()(0)(\displaystyle \left(x-2 \right)^2)(\displaystyle \left(x-1 \right) \left(x-3\right))>0"> !}

Vėl dedame taškus ant ašies. Taškai ir yra punktyriniai, nes jie yra vardiklio nuliai. Taškas taip pat pradurtas, nes nelygybė yra griežta.

Kai skaitiklis yra teigiamas, abu vardiklio veiksniai yra neigiami. Tai lengva patikrinti paimant bet kurį skaičių iš tam tikro intervalo, pavyzdžiui, . Kairėje pusėje yra ženklas:

Kai skaitiklis yra teigiamas; pirmasis vardiklio veiksnys yra teigiamas, antrasis veiksnys yra neigiamas. Kairėje pusėje yra ženklas:

Kai situacija ta pati! Skaitiklis yra teigiamas, pirmasis vardiklio veiksnys yra teigiamas, antrasis yra neigiamas. Kairėje pusėje yra ženklas:

Galiausiai su class="tex" alt="(!LANG:x>3"> все множители положительны, и левая часть имеет знак :!}

Atsakymas:.

Kodėl nutrūko veikėjų kaita? Nes einant per tašką už jį „atsako“ daugiklis ženklo nepakeitė. Vadinasi, ir visa mūsų nelygybės kairioji pusė ženklo nepakeitė.

Išvada: jei tiesinis koeficientas yra lyginiame laipsnyje (pavyzdžiui, kvadrate), tai einant per tašką, kairėje pusėje esančios išraiškos ženklas nesikeičia. Nelyginio laipsnio atveju ženklas, žinoma, pasikeičia.

3. Panagrinėkime sudėtingesnį atvejį. Jis skiriasi nuo ankstesnio, nes nelygybė nėra griežta:

Kairė pusė yra tokia pati kaip ir ankstesnėje užduotyje. Ženklų vaizdas bus toks pat:

Gal atsakymas bus tas pats? Ne! Sprendimas pridedamas Taip yra todėl, kad , tiek kairioji, tiek dešinė nelygybės pusės yra lygios nuliui, todėl šis taškas yra sprendimas.

Atsakymas:.

Su tokia situacija dažnai susiduriama matematikos egzamino uždavinyje. Čia pretendentai patenka į spąstus ir praranda taškus. Būk atsargus!

4. Ką daryti, jei skaitiklio arba vardiklio negalima įtraukti į tiesinius veiksnius? Apsvarstykite šią nelygybę:

Kvadratinis trinaris negali būti koeficientas: diskriminantas yra neigiamas, nėra šaknų. Bet tai yra gerai! Tai reiškia, kad išraiškos ženklas yra visiems vienodas, o konkrečiai – teigiamas. Daugiau apie tai galite perskaityti straipsnyje apie kvadratinės funkcijos savybes.

Ir dabar mes galime padalyti abi mūsų nelygybės puses iš vertės, kuri yra teigiama visiems. Gauname lygiavertę nelygybę:

Kuris lengvai išsprendžiamas intervalo metodu.

Atkreipkite dėmesį – abi nelygybės puses padalinome iš vertės, kurią tikrai žinojome, kad ji teigiama. Žinoma, bendruoju atveju nereikėtų nelygybės dauginti ar dalyti iš kintamojo, kurio ženklas nežinomas.

5 . Apsvarstykite kitą nelygybę, kuri atrodo gana paprasta:

Taigi noriu padauginti iš . Bet mes jau esame protingi ir to nedarysime. Juk tai gali būti ir teigiama, ir neigiama. Ir žinome, kad abi nelygybės dalis padauginus iš neigiamos reikšmės, nelygybės ženklas pasikeičia.

Elgsimės kitaip – ​​viską surinksime į vieną dalį ir sujungsime į bendrą vardiklį. Nulis liks dešinėje pusėje:

Class="tex" alt="(!LANG:\genfrac()()()(0)(\displaystyle x-2)(\displaystyle x)>0"> !}

O po to – taikytina intervalo metodas.

Tarpų nustatymo metodas(arba kaip kartais vadinamas spragų metodu) yra universalus nelygybių sprendimo metodas. Ji tinka įvairioms nelygybėms spręsti, bet patogiausia sprendžiant racionalios nelygybės su vienu kintamuoju. Todėl mokykliniame algebros kurse intervalų metodas yra glaudžiai susietas būtent su racionaliosiomis nelygybėmis, o kitų nelygybių sprendimui jo pagalba praktiškai nekreipiama dėmesio.

Šiame straipsnyje detaliai išanalizuosime intervalų metodą ir paliesime visas nelygybių su vienu kintamuoju jį naudojant sprendimo subtilybes. Pradėkime nuo nelygybių sprendimo intervalo metodo algoritmo pateikimo. Toliau paaiškinsime, kokiais teoriniais aspektais jis grindžiamas, ir išanalizuosime algoritmo žingsnius, ypač apsistosime ties intervalų ženklų nustatymu. Po to pereisime prie praktikos ir parodysime kelių tipiškų pavyzdžių sprendimus. Apibendrinant, mes laikome intervalų metodą bendra forma (tai yra, neatsižvelgdami į racionalias nelygybes), kitaip tariant, apibendrintą intervalų metodą.

Puslapio naršymas.

Algoritmas

Pažintis su intervalų metodu mokykloje prasideda sprendžiant formos f(x) nelygybes.<0 (знак неравенства может быть и другим ≤, >arba ≥), kur f(x) yra arba , vaizduojamas kaip produktas tiesiniai dvinariai su 1 kintamajam x ir/arba kvadratiniai trinariai su pirmaujančiu koeficientu 1 ir su neigiamu diskriminantu ir jų laipsniais arba tokių daugianarių santykiu. Aiškumo dėlei pateikiame tokių nelygybių pavyzdžius: (x−5) (x+5)≤0 , (x+3) (x 2 −x+1) (x+2) 3 ≥0, .

Kad tolesnis aptarimas būtų esminis, iš karto surašome algoritmą, kaip išspręsti minėto tipo nelygybes naudojant intervalų metodą, o tada išsiaiškinsime, kas, kaip ir kodėl. Taigi, pagal intervalo metodą:

• Pirmiausia randami skaitiklio nuliai ir vardiklio nuliai. Tam kairėje nelygybės pusėje esančios išraiškos skaitiklis ir vardiklis prilyginami nuliui, o gautos lygtys išsprendžiamos.
• Po to rastus nulius atitinkantys taškai pažymimi brūkšneliais ant . Užtenka scheminio brėžinio, kuriame nebūtina stebėti mastelio, svarbiausia laikytis taškų išsidėstymo vienas kito atžvilgiu: taškas su mažesne koordinate yra kairėje nuo taško su tašku. didesnė koordinatė. Po to paaiškėja, kaip jie turėtų būti vaizduojami: įprasti ar iškalti (su tuščiu centru). Sprendžiant griežtą nelygybę (su ženklu< или >) visi taškai rodomi kaip pradurti. Sprendžiant negriežtą nelygybę (su ženklu ≤ arba ≥), taškai, atitinkantys vardiklio nulius, daromi punktyriniais, o likę brūkšneliais pažymėti taškai yra įprasti. Šie taškai padalija koordinačių liniją į kelis skaitinius intervalus.
• Toliau raiškos f(x) ženklai nustatomi iš kairės sprendžiamos nelygybės kiekviename intervale (kaip tai daroma, išsamiai aprašysime vienoje iš pastraipų), ir įdedami + arba − virš jų pagal juose apibrėžtus ženklus.
• Galiausiai, sprendžiant pasirašytą nelygybę< или ≤ изображается штриховка над промежутками, отмеченными знаком −, а при решении неравенства со знаком >arba ≥ - virš intervalų, pažymėtų + ženklu. Rezultatas yra , kuris yra norimas nelygybės sprendimas.

Atkreipkite dėmesį, kad aukščiau pateiktas algoritmas atitinka intervalų metodo aprašymą mokykliniuose vadovėliuose.

Kuo pagrįstas metodas?

Intervalų metodu grindžiamas požiūris atsiranda dėl šios tolydžios funkcijos savybės: jei intervale (a, b) funkcija f yra tolydi ir neišnyksta, tai šiame intervale ji išlaiko pastovų ženklą (priduriame, kad panaši savybė galioja ir skaičių spinduliams (−∞, a) ir (a, +∞) ). O ši savybė, savo ruožtu, išplaukia iš Bolzano-Cauchy teoremos (jos svarstymas nepatenka į mokyklos mokymo programą), kurios formuluotę ir įrodymą, jei reikia, galima rasti, pavyzdžiui, knygoje.

Išraiškų f(x), kurios turi ankstesnėje pastraipoje nurodytą formą, ženklo pastovumas intervaluose gali būti pagrįstas skirtingai, pradedant nuo skaitinių nelygybių savybių ir atsižvelgiant į skaičių dauginimo ir padalijimo iš tos pačios taisyklės. ženklai ir skirtingi ženklai.

Kaip pavyzdį apsvarstykite nelygybę. Jo skaitiklio ir vardiklio nuliai padalija skaičių eilutę į tris intervalus (−∞, −1) , (−1, 5) ir (5, +∞) . Parodykime, kad intervale (−∞, −1) išraiška iš kairės nelygybės pusės turi pastovų ženklą (galime paimti kitą intervalą, argumentai bus panašūs). Paimkime bet kurį skaičių t iš šio intervalo. Tai akivaizdžiai patenkins nelygybę t<−1 , и так как −1<5 , то по свойству транзитивности, оно же будет удовлетворять и неравенству t<5 . Из этих неравенств в силу свойств числовых неравенств следует, что t+1<0 и t−5<0. То есть, t+1 и t−5 – отрицательные числа, не зависимо от того, какое конкретно число t мы возьмем из промежутка (−∞, −1) . Тогда позволяет констатировать, что значение выражения будет положительным, откуда следует, что значение выражения будет положительным при любом значении x из промежутка (−∞, −1) . Итак, на указанном промежутке выражение имеет постоянный знак, причем, это знак +.

Taigi sklandžiai priartėjome prie intervalų ženklų nustatymo, tačiau neperšoksime pirmojo intervalo metodo žingsnio, kurio metu reikia rasti skaitiklio ir vardiklio nulius.

Kaip rasti skaitiklio ir vardiklio nulius?

Paprastai nekyla problemų ieškant pirmoje formos pastraipoje nurodytos trupmenos skaitiklio ir vardiklio nulių. Tam skaitiklio ir vardiklio išraiškos prilyginamos nuliui, o gautos lygtys išsprendžiamos. Šio tipo lygčių sprendimo principas yra išsamiai aprašytas straipsnyje lygčių sprendimas faktoringo būdu. Čia apsiribosime tik pavyzdžiu.

Apsvarstykite trupmeną ir raskite jo skaitiklio ir vardiklio nulius. Pradėkime nuo skaitiklio nulių. Skaitiklį prilyginame nuliui, gauname lygtį x (x−0.6)=0, iš kurios pereiname į dviejų lygčių aibę x=0 ir x−0.6=0, iš kurios randame dvi šaknis 0 ir 0.6. Tai yra norimi skaitiklio nuliai. Dabar randame vardiklio nulius. Sudarome lygtį x 7 (x 2 + 2 x + 7) 2 (x + 5) 3 \u003d 0, jis atitinka trijų lygčių x 7 =0, (x 2 +2 x+7) 2 =0, (x+5) 3 =0, o tada x=0, x 2 +2 x+7 =0, x+5=0. Pirmosios iš šių lygčių šaknis yra akivaizdi, ji yra 0, antroji lygtis neturi šaknų, nes jos diskriminantas yra neigiamas, o trečiosios lygties šaknis yra −5. Taigi, mes radome vardiklio nulius, jų buvo du: 0 ir −5. Atkreipkite dėmesį, kad 0 pasirodė esąs ir skaitiklio nulis, ir vardiklio nulis.

Norint rasti skaitiklio ir vardiklio nulius bendruoju atveju, kai kairėje nelygybės pusėje yra trupmena, bet nebūtinai racionali, skaitiklis ir vardiklis taip pat prilyginami nuliui ir sprendžiamos atitinkamos lygtys. .

Kaip nustatyti intervalų ženklus?

Patikimiausias būdas nustatyti išraiškos ženklą iš kairės nelygybės kiekviename intervale yra apskaičiuoti šios išraiškos reikšmę bet kuriame kiekvieno intervalo taške. Šiuo atveju norimas ženklas intervale sutampa su išraiškos reikšmės ženklu bet kuriame šio intervalo taške. Paaiškinkime tai pavyzdžiu.

Paimkite nelygybę . Kairėje pusėje esančios išraiškos skaitiklyje nėra nulių, o vardiklio nulis yra skaičius −3. Jis padalija skaičių eilutę į du intervalus (−∞, −3) ir (−3, +∞) . Apibrėžkime ant jų ženklus. Norėdami tai padaryti, paimkite vieną tašką iš šių intervalų ir apskaičiuokite juose esančios išraiškos reikšmes. Iš karto pastebime, kad tokius taškus patartina paimti, kad būtų lengva atlikti skaičiavimus. Pavyzdžiui, iš pirmojo intervalo (−∞, −3) galima paimti −4 . Jei x=−4 turime , gavo reikšmę su minuso ženklu (neigiama), todėl šiame intervale bus minuso ženklas. Pereikime prie antrojo intervalo ženklo nustatymo (−3, +∞) . Patogu iš jo imti 0 (jei į intervalą įtrauktas 0, tai patartina jį imti visada, nes esant x=0 skaičiavimai pasirodo patys paprasčiausi). Jei x=0 turime . Tai yra pliuso (teigiama) reikšmė, todėl šiame intervale bus pliuso ženklas.

Yra ir kitas ženklų nustatymo būdas, kurį sudaro ženklo radimas viename iš intervalų ir jo išlaikymas arba keitimas pereinant į gretimą intervalą per nulį. Turite laikytis šios taisyklės. Einant per skaitiklio nulį, bet ne vardiklį, arba per vardiklio nulį, bet ne skaitiklį, ženklas pasikeičia, jei šį nulį suteikiančios išraiškos laipsnis yra nelyginis, ir nesikeičia, jei jis lyginis. O einant per tašką, kuris yra ir skaitiklio nulis, ir vardiklio nulis, ženklas pasikeičia, jei reiškinių, duodančių šį nulį, laipsnių suma yra nelyginė, ir nesikeičia, jei ji yra lyginė.

Beje, jei išraiška dešinėje nelygybės pusėje turi formą, nurodytą šio straipsnio pirmos pastraipos pradžioje, tada dešiniajame intervale bus pliuso ženklas.

Kad viskas būtų aišku, pažvelkime į pavyzdį.

Susidurkime su nelygybe , ir sprendžiame intervalo metodu. Norėdami tai padaryti, randame skaitiklio 2, 3, 4 nulius ir vardiklio 1, 3, 4 nulius, pirmiausia pažymime juos koordinačių eilutėje brūkšneliais

tada vardiklio nuliai pakeičiami išmuštų taškų vaizdais

o kadangi sprendžiame negriežtą nelygybę, likusius brūkšnelius pakeičiame įprastais taškais

Ir tada ateina momentas, kai nustatomi intervalų ženklai. Kaip pažymėjome prieš šį pavyzdį, dešiniajame intervale (4, +∞) bus + ženklas:

Mes apibrėžiame likusius ženklus, judėdami nuo tarpo iki tarpo iš dešinės į kairę. Pereidami į kitą intervalą (3, 4) , pereiname per tašką, kurio koordinatė 4 . Tai yra ir skaitiklio, ir vardiklio nulis, šie nuliai duoda išraiškas (x−4) 2 ir x−4, jų laipsnių suma yra 2+1=3, o tai yra nelyginis skaičius, o tai reiškia, kad einant per šį tašką, reikia pakeisti ženklą. Todėl intervale (3, 4) bus minuso ženklas:

Einame toliau iki intervalo (2, 3) , eidami per tašką, kurio koordinatė 3 . Tai taip pat yra ir skaitiklio, ir vardiklio nulis, jis gaunamas iš reiškinių (x−3) 3 ir (x−3) 5 , jų laipsnių suma yra 3+5=8 , o tai lyginis skaičius , todėl ženklas išliks nepakitęs:

Toliau pereiname prie intervalo (1, 2) . Kelią į jį blokuoja taškas, kurio koordinatė 2. Tai yra skaitiklio nulis, jis pateikiamas išraiška x−2, jo laipsnis yra 1, tai yra nelyginis, todėl, einant per šį tašką, ženklas pasikeis:

Galiausiai belieka nustatyti ženklą paskutiniame intervale (−∞, 1) . Norėdami jį pasiekti, turime įveikti tašką su koordinate 1 . Tai vardiklio nulis, jį suteikia išraiška (x−1) 4, jo laipsnis yra 4, tai yra lyginis, todėl einant per šį tašką ženklas nepasikeis. Taigi mes nustatėme visus ženklus, o paveikslėlis yra tokia:

Akivaizdu, kad nagrinėjamo metodo taikymas ypač pasiteisina, kai išraiškos reikšmės apskaičiavimas siejamas su dideliu darbo kiekiu. Pavyzdžiui, apskaičiuokite išraiškos reikšmę bet kuriame intervalo taške .

Nelygybių sprendimo intervalų metodu pavyzdžiai

Dabar galite sudėti visą pateiktą informaciją, kurios pakanka nelygybėms išspręsti naudojant intervalų metodą, ir analizuoti kelių pavyzdžių sprendimus.

Pavyzdys.

Išspręskite nelygybę .

Sprendimas.

Išspręskime šią nelygybę intervalų metodu. Akivaizdu, kad skaitiklio nuliai yra 1 ir –5, o vardiklio ir 1 – nuliai. Juos pažymime skaičių tiesėje, o taškai su koordinatėmis ir 1 yra perpjaunami kaip vardiklio nuliai, o likęs skaitiklio nulis −5 bus pavaizduotas paprastu tašku, nes sprendžiame negriežtą nelygybę:

Dabar ant intervalų dedame ženklus, laikydamiesi taisyklės išsaugoti arba pakeisti ženklą einant per nulius. Virš dešiniausio tarpo bus + ženklas (tai galima patikrinti apskaičiuojant kairėje nelygybės pusėje esančios išraiškos reikšmę tam tikrame šio tarpo taške, pavyzdžiui, ties x=3 ). Eidami pro ženklą keičiame, per 1 paliekame tą patį, o važiuodami per −5 vėl paliekame nepakeistą:

Kadangi nelygybę sprendžiame ženklu ≤, belieka nubrėžti išbrovę ant tarpų, pažymėtų − ženklu, ir parašyti atsakymą naudojant gautą vaizdą.

Taigi norimas sprendimas yra: .

Atsakymas:

.

Teisybės dėlei atkreipkime dėmesį į tai, kad didžiąja dauguma atvejų, sprendžiant racionaliąsias nelygybes, jas pirmiausia reikia transformuoti į norimą formą, kad būtų galima jas išspręsti intervalų metodu. Straipsnyje išsamiai aptarsime, kaip atlikti tokius pokyčius. racionaliųjų nelygybių sprendimas, o dabar pateiksime pavyzdį, iliustruojantį vieną svarbų dalyką, susijusį su kvadratiniais trinadžiais rašant nelygybes.

Pavyzdys.

Raskite nelygybės sprendimą .

Sprendimas.

Iš pirmo žvilgsnio ši nelygybė atrodo tinkama taikyti intervalo metodą. Tačiau nepakenks patikrinti, ar kvadratinių trinalių diskriminantai jo žymėjime yra neigiami. Kad būtų ramu, paskaičiuokime juos. Trinamariui x 2 +3 x+3 turime D = 3 2 −4 1 3 = −3<0 , а для трехчлена x 2 +2·x−8 получаем D’=1 2 −1·(−8)=9>0 . Tai reiškia, kad norint suteikti šiai nelygybei norimą formą, reikalingos transformacijos. Šiuo atveju pakanka trinarį x 2 +2 x−8 pavaizduoti kaip (x+4) (x−2) , o tada intervalo metodu išspręsti nelygybę. .

Atsakymas:

.

Apibendrintas intervalų metodas

Apibendrintas intervalų metodas leidžia išspręsti f(x) formos nelygybes<0 (≤, >, ≥), kur f(x) yra savavališkas su vienu kintamuoju x . Užsirašykime nelygybių sprendimo apibendrinto intervalo metodu algoritmas:

• Pirmiausia reikia f ir šios funkcijos nulių.
• Skaičių eilutėje pažymėti ribiniai taškai, įskaitant atskirus apibrėžimo srities taškus. Pavyzdžiui, jei funkcijos domenas yra rinkinys (−5, 1]∪(3)∪ (intervale (−6, 4) ženklas nenustatomas, nes jis nėra funkcijos srities dalis.) Norėdami tai padaryti, paimkite po vieną tašką iš kiekvieno intervalo , pavyzdžiui, 16 , 8 , 6 ir −8 , ir apskaičiuokite juose esančios funkcijos f reikšmę:
  
  

  Jei turite klausimų apie tai, kaip buvo sužinota, kokios yra apskaičiuotos funkcijos reikšmės, teigiamos ar neigiamos, išstudijuokite straipsnio medžiagą skaičių palyginimas.

  Dedame ką tik apibrėžtus ženklus, o ant tarpų su minuso ženklu pritaikome perėjimą:
  

  Atsakydami rašome dviejų tarpų sąjungą su ženklu −, turime (−∞, −6]∪(7, 12) . Atkreipkite dėmesį, kad −6 yra įtrauktas į atsakymą (atitinkamas taškas yra vientisas, nepunktūruotas) Esmė ta, kad tai ne funkcijos nulis (kurio, spręsdami griežtą nelygybę, neįtrauktume į atsakymą), o apibrėžimo srities ribinis taškas (jis spalvotas, o ne juodas), įvedant apibrėžimo sritis.Funkcijos reikšmė šiuo metu yra neigiama (tai rodo minuso ženklas virš atitinkamo intervalo), tai yra, ji tenkina nelygybę.Tačiau 4 nereikia įtraukti į atsakymą (taip pat kaip visas intervalas ∪(7, 12) .

  Bibliografija.

  1. Algebra: 9 klasė: vadovėlis. bendrajam lavinimui institucijos / [Yu. N. Makaryčiovas, N. G. Mindjukas, K. I. Neškovas, S. B. Suvorova]; red. S. A. Telakovskis. – 16 leidimas. - M. : Švietimas, 2009. - 271 p. : nesveikas. - ISBN 978-5-09-021134-5.
  2. Mordkovičius A. G. Algebra. 9 klasė 14 val. 1 dalis. Vadovėlis ugdymo įstaigų studentams / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 13 leid., Sr. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 p.: iliustr. ISBN 978-5-346-01752-3.
  3. Algebra ir analizės pradžia: Proc. 10-11 ląstelių. bendrojo išsilavinimo institucijos / A. N. Kolmogorovas, A. M. Abramovas, Yu. P. Dudnicynas ir kt.; Red. A. N. Kolmogorova.- 14 leid.- M.: Švietimas, 2004.- 384 p.: iliustr.- ISBN 5-09-013651-3.
  4. Kudrjavcevas L. D. Matematinės analizės kursas (dviejų tomų): Vadovėlis universitetų ir technikos kolegijų studentams. - M .: Aukštesnis. mokykla, 1981, t. 1. - 687 p., iliustr.