Kur grafike išvestinė yra neigiama. Manekenų išvestinės sprendimas: apibrėžimas, kaip rasti, sprendimų pavyzdžiai

Kas yra darinys?
Išvestinės funkcijos apibrėžimas ir reikšmė

Daugelį nustebins netikėta šio straipsnio vieta mano autoriaus kurse apie vieno kintamojo funkcijos išvestinę ir jos taikymą. Juk kaip nuo mokyklos laikų: standartiniame vadovėlyje pirmiausia pateikiamas vedinio apibrėžimas, jo geometrinė, mechaninė reikšmė. Tada studentai randa funkcijų išvestinius pagal apibrėžimą ir, tiesą sakant, tik tada tobulina diferenciacijos techniką naudodami išvestinių lentelių.

Bet mano požiūriu, toks požiūris yra pragmatiškesnis: visų pirma, patartina GERAI SUPRASTAI funkcijos riba, ir ypač be galo maži kiekiai. Faktas yra tas išvestinės apibrėžimas grindžiamas ribos sąvoka, kuris yra prastai įvertintas mokyklos kursas. Štai kodėl nemaža dalis jaunųjų žinių granito vartotojų nesuvokia pačios darinio esmės. Taigi, jei esate prastai orientuotas diferencialinis skaičiavimas ar išmintingos smegenys per daugelį metų sėkmingai atsikratė šio bagažo, pradėkite nuo to funkcijų ribos. Tuo pačiu metu įvaldykite / prisiminkite jų sprendimą.

Tas pats praktinis pojūtis rodo, kad tai pirmiausia naudinga išmokti rasti išvestinius, įskaitant sudėtingų funkcijų dariniai. Teorija yra teorija, bet, kaip sakoma, visada norisi atskirti. Šiuo atžvilgiu geriau atlikti išvardytas pagrindines pamokas, o gal ir diferenciacijos meistras net nesuvokdami savo veiksmų esmės.

Perskaičius straipsnį rekomenduoju pradėti nuo šio puslapio medžiagos. Paprasčiausios problemos su išvestinėmis priemonėmis, kur visų pirma nagrinėjama funkcijos grafiko liestinės problema. Bet tu gali palaukti. Faktas yra tas, kad daugeliui išvestinės taikymų nereikia jos suprasti, ir nenuostabu, kad teorinė pamoka pasirodė gana vėlai - kai reikėjo paaiškinti didėjančių/mažėjančių intervalų ir ekstremalų radimas funkcijas. Be to, jis gana ilgą laiką buvo šioje temoje. Funkcijos ir grafikai“, kol galiausiai nusprendžiau įdėti anksčiau.

Todėl, mieli arbatinukai, neskubėkite kaip alkani gyvūnai įsisavinti darinio esmės, nes sodrumas bus neskanus ir nepilnas.

Funkcijos didėjimo, mažėjimo, maksimumo, minimumo sąvoka

Daug mokymo priemonės veda prie išvestinės sąvokos naudojant kai kurias praktines problemas, ir aš taip pat sugalvojau įdomus pavyzdys. Įsivaizduokite, kad ruošiamės keliauti į miestą, kurį galima pasiekti įvairiais būdais. Iškart atmeskime vingiuotus kelius ir svarstykime tik tiesius greitkelius. Tačiau tiesiosios kryptys taip pat skiriasi: į miestą galite patekti lygiu greitkeliu. Arba kalvotu greitkeliu – aukštyn ir žemyn, aukštyn ir žemyn. Kitas kelias eina tik įkalnėn, o kitas visą laiką leidžiasi žemyn. Ekstremalūs entuziastai rinksis maršrutą per tarpeklį su stačiu skardžiu ir stačiu kopimu.

Bet kad ir kokie būtų jūsų pageidavimai, patartina žinoti vietovę arba bent jau ją rasti topografinis žemėlapis. O jeigu tokios informacijos trūksta? Juk galima rinktis, pavyzdžiui, lygų taką, bet dėl ​​to užklysti į slidinėjimo trasą su linksmais suomiais. Netiesa, kad navigatorius ar net palydovinė nuotrauka pateiks patikimus duomenis. Todėl būtų malonu įforminti tako reljefą naudojant matematiką.

Pažiūrėkime į kelią (vaizdas iš šono):

Bet kokiu atveju primenu elementarų faktą: kelionių būna iš kairės į dešinę. Paprastumo dėlei darome prielaidą, kad funkcija tęstinis nagrinėjamoje teritorijoje.

Kokios yra šio grafiko ypatybės?

Protarpiais funkcija dideja, tai yra, kiekviena kita jo reikšmė daugiau ankstesnis. Grubiai tariant, tvarkaraštis yra žemyn aukštyn(lipame į kalną). O intervale funkcija mažėja– kiekviena kita reikšmė mažiau ankstesnis, o mūsų tvarkaraštis yra iš viršaus žemyn(leidžiame šlaitu žemyn).

Taip pat atkreipkime dėmesį į specialius dalykus. Taške, kurį pasiekiame maksimalus, tai yra egzistuoja tokia kelio atkarpa, kurioje reikšmė bus didžiausia (didžiausia). Tuo pačiu metu tai pasiekiama minimumas, Ir egzistuoja jos kaimynystėje, kurioje vertė yra mažiausia (mažiausia).

Klasėje pažvelgsime į griežtesnę terminologiją ir apibrėžimus. apie funkcijos kraštutinumą, bet kol kas panagrinėkime dar vieną svarbi savybė: intervalais funkcija didėja, bet didėja skirtingu greičiu. Ir pirmas dalykas, kuris patraukia jūsų dėmesį, yra tai, kad grafikas pakyla per intervalą daug šaunesnis, nei intervale . Ar įmanoma matematiniais įrankiais išmatuoti kelio statumą?

Funkcijos kitimo greitis

Idėja tokia: paimkime tam tikrą vertę (skaitykite "delta x"), kurį paskambinsime argumentų prieaugis, ir pradėkime „išbandyti“ įvairiuose mūsų kelio taškuose:

1) Pažiūrėkime į kairiausią tašką: pravažiuodami atstumą, lipame šlaitu į aukštį (žalia linija). Kiekis vadinamas funkcijos padidėjimas, ir į tokiu atvejušis padidėjimas yra teigiamas (reikšmių skirtumas išilgai ašies yra didesnis nei nulis). Sukurkime santykį, kuris bus mūsų kelio statumo matas. Akivaizdu, kad tai yra labai konkretus skaičius, ir kadangi abu žingsniai yra teigiami, tada .

Dėmesio! Pavadinimai yra VIENA simbolis, tai yra, negalite „nuplėšti“ „deltos“ nuo „X“ ir atsižvelgti į šias raides atskirai. Žinoma, komentaras taip pat susijęs su funkcijos prieaugio simboliu.

Ištirkime gautos trupmenos prigimtį prasmingiau. Iš pradžių būkime 20 metrų aukštyje (kairiame juodajame taške). Įveikę metrų atstumą (kairė raudona linija), atsidursime 60 metrų aukštyje. Tada funkcijos padidėjimas bus metrų (žalia linija) ir: . Taigi, ant kiekvieno metrošioje kelio atkarpoje ūgis didėja vidutinis 4 metrais...pamiršote laipiojimo įrangą? =) Kitaip tariant, sukonstruotas ryšys apibūdina funkcijos VIDUTINIĄ POKYČIŲ (šiuo atveju augimą) GRĄ.

Pastaba : skaitines reikšmes Nagrinėjamas pavyzdys tik apytiksliai atitinka brėžinio proporcijas.

2) Dabar eikime tuo pačiu atstumu nuo dešiniojo juodojo taško. Čia kilimas yra laipsniškesnis, todėl prieaugis (raudonoji linija) yra palyginti mažas, o santykis, palyginti su ankstesniu atveju, bus labai kuklus. Santykinai kalbant, metrų ir funkcijos augimo greitis yra . Tai yra, čia yra kiekvienam kelio metrui vidutinis pusės metro aukščio.

3) Šiek tiek nuotykių kalno šlaite. Pažiūrėkime į viršų juodas taškas, esantis ordinačių ašyje. Tarkime, kad tai yra 50 metrų žyma. Vėl įveikiame distanciją, ko pasekoje atsiduriame žemiau – 30 metrų lygyje. Kadangi judėjimas atliekamas iš viršaus žemyn(ašies „priešinga“ kryptimi), tada galutinis funkcijos prieaugis (aukštis) bus neigiamas: metrų (rudas segmentas brėžinyje). Ir šiuo atveju mes jau kalbame apie mažėjimo greitis Funkcijos: , tai yra, kiekvienam šios atkarpos tako metrui aukštis mažėja vidutinis 2 metrais. Penktame taške pasirūpinkite savo drabužiais.

Dabar užduokime sau klausimą: kokią „matavimo etalono“ reikšmę geriausia naudoti? Tai visiškai suprantama, 10 metrų yra labai grubus. Ant jų nesunkiai telpa keliolika kauburėlių. Kad ir iškiltų nelygumai, apačioje gali būti gilus tarpeklis, o po kelių metrų – kita jo pusė su dar stačiu pakilimu. Taigi, su dešimties metrų negausime suprantamo tokių kelio atkarpų aprašymo per santykį .

Iš aukščiau pateiktos diskusijos daroma tokia išvada: kaip mažesnė vertė , tuo tiksliau aprašome kelio topografiją. Be to, teisingi šie faktai:

– Bet kam kėlimo taškai galite pasirinkti vertę (net jei labai maža), kuri atitinka tam tikro padidėjimo ribas. Tai reiškia, kad atitinkamas aukščio prieaugis bus garantuotas teigiamas, o nelygybė teisingai parodys funkcijos augimą kiekviename šių intervalų taške.

- Taip pat, bet kuriam nuolydžio taškas yra vertė, kuri visiškai tilps šiame šlaite. Vadinasi, atitinkamas aukščio padidėjimas yra aiškiai neigiamas, o nelygybė teisingai parodys funkcijos sumažėjimą kiekviename nurodyto intervalo taške.

– Ypač įdomus atvejis, kai funkcijos kitimo greitis lygus nuliui: . Pirma, nulinis aukščio padidėjimas () yra lygaus kelio ženklas. Antra, yra ir kitų įdomių situacijų, kurių pavyzdžius matote paveikslėlyje. Įsivaizduokite, kad likimas atvedė mus į pačią kalvos viršūnę su sklandančiais ereliais arba į daubos dugną su kurkiančiomis varlėmis. Jei žengsite nedidelį žingsnį bet kuria kryptimi, aukščio pokytis bus nereikšmingas, ir galime pasakyti, kad funkcijos kitimo greitis iš tikrųjų yra lygus nuliui. Būtent toks vaizdas matomas taškuose.

Taigi, mes pasiekėme nuostabią galimybę puikiai tiksliai apibūdinti funkcijos kitimo greitį. Mat matematinė analizė leidžia nukreipti argumento prieaugį į nulį: , tai yra padaryti jį be galo mažas.

Dėl to kyla kitas logiškas klausimas: ar įmanoma rasti kelią ir jo tvarkaraštį kita funkcija, kuris mums praneštų apie visas plokščias atkarpas, pakilimus, nusileidimus, viršūnes, slėnius, taip pat augimo/mažėjimo greitį kiekviename taške pakeliui?

Kas yra darinys? Išvestinės apibrėžimas.
Išvestinės ir diferencialo geometrinė reikšmė

Perskaitykite atidžiai ir ne per greitai – medžiaga paprasta ir visiems prieinama! Gerai, jei kai kuriose vietose kažkas neatrodo labai aišku, visada galite grįžti prie straipsnio vėliau. Pasakysiu daugiau, pravartu kelis kartus perstudijuoti teoriją, kad būtų nuodugniai perprasti visi punktai (patarimas ypač aktualus „technikos“ studentams, kuriems aukštoji matematika vaidina reikšmingą vaidmenį ugdymo procese).

Natūralu, kad pačiame išvestinės apibrėžime tam tikru momentu jį pakeičiame taip:

Prie ko priėjome? Ir padarėme išvadą, kad funkcijai pagal įstatymą yra suderintas kita funkcija, kuris vadinamas išvestinė funkcija(arba tiesiog išvestinė).

Išvestinė charakterizuoja kitimo greitis funkcijas Kaip? Idėja eina kaip raudona gija nuo pat straipsnio pradžios. Apsvarstykime kai kuriuos dalykus apibrėžimo sritis funkcijas Tegul funkcija yra diferencijuojama tam tikrame taške. Tada:

1) Jei , tada funkcija didėja taške . Ir akivaizdu, kad yra intervalas(net ir labai mažas), kuriame yra taškas, kuriame funkcija auga, o jos grafikas eina „iš apačios į viršų“.

2) Jei , tada funkcija mažėja taške . Ir yra intervalas, kuriame yra taškas, kuriame funkcija mažėja (grafikas eina „iš viršaus į apačią“).

3) Jei , tada be galo artišalia taško funkcija palaiko pastovų greitį. Tai atsitinka, kaip pažymėta, esant nuolatinei funkcijai ir kritiniuose funkcijos taškuose, ypač minimaliais ir maksimaliais taškais.

Šiek tiek semantikos. Ką plačiąja prasme reiškia veiksmažodis „diferencijuoti“? Atskirti reiškia pabrėžti bruožą. Išskirdami funkciją, jos kitimo greitį „išskiriame“ funkcijos išvestinės formos pavidalu. Ką, beje, reiškia žodis „darinys“? Funkcija įvyko nuo funkcijos.

Sąvokas labai sėkmingai interpretuoja mechaninė vedinio reikšmė :
Panagrinėkime kūno koordinačių kitimo dėsnį, priklausantį nuo laiko, ir tam tikro kūno judėjimo greičio funkciją. Funkcija apibūdina kūno koordinačių kitimo greitį, todėl yra pirmoji funkcijos išvestinė laiko atžvilgiu: . Jei „kūno judėjimo“ sąvoka gamtoje neegzistuotų, tada jos nebūtų išvestinė„kūno greičio“ sąvoka.

Kūno pagreitis yra greičio kitimo greitis, todėl: . Jei pradinės sąvokos „kūno judėjimas“ ir „kūno greitis“ gamtoje neegzistuotų, tada jų nebūtų išvestinė„kūno pagreičio“ sąvoka.

Jei laikotės apibrėžimo, tada funkcijos išvestinė taške yra funkcijos Δ prieaugio santykio riba. y prie argumento prieaugio Δ x:

Viskas lyg ir aišku. Bet pabandykite naudoti šią formulę, kad apskaičiuotumėte, tarkime, funkcijos išvestinę f(x) = x 2 + (2x+3) · e x nuodėmė x. Jei viską darysite pagal apibrėžimą, po poros puslapių skaičiavimų jūs tiesiog užmigsite. Todėl yra paprastesnių ir efektyvesnių būdų.

Pirmiausia pažymime, kad iš visos funkcijų įvairovės galime išskirti vadinamąsias elementarias funkcijas. Tai gana paprasti posakiai, kurių išvestinės jau seniai skaičiuojamos ir pateikiamos lentelėse. Tokias funkcijas gana lengva įsiminti – kartu su jų išvestinėmis.

Elementariųjų funkcijų dariniai

Visos toliau išvardytos pagrindinės funkcijos. Šių funkcijų išvestinius reikia žinoti mintinai. Be to, juos įsiminti visai nesunku – štai kodėl jie elementarūs.

Taigi, elementariųjų funkcijų išvestiniai:

vardas	Funkcija	Darinys
Pastovus	f(x) = C, C ∈ R	0 (taip, nulis!)
Galia su racionaliuoju rodikliu	f(x) = x n	n · x n − 1
Sinusas	f(x) = nuodėmė x	cos x
Kosinusas	f(x) = cos x	− nuodėmė x(minus sinusas)
Tangentas	f(x) = tg x	1/cos 2 x
Kotangentas	f(x) = ctg x	– 1 / nuodėmė 2 x
Natūralus logaritmas	f(x) = žurnalas x	1/x
Savavališkas logaritmas	f(x) = žurnalas a x	1/(x ln a)
Eksponentinė funkcija	f(x) = e x	e x(Niekas nepasikeitė)

Jei elementari funkcija padauginama iš savavališkos konstantos, tada naujos funkcijos išvestinė taip pat lengvai apskaičiuojama:

(C · f)’ = C · f ’.

Apskritai konstantas galima išimti iš išvestinės ženklo. Pavyzdžiui:

(2x 3)' = 2 · ( x 3)' = 2 3 x 2 = 6x 2 .

Akivaizdu, kad elementarias funkcijas galima sudėti viena į kitą, dauginti, padalinti – ir dar daugiau. Taip atsiras naujos funkcijos, nebe itin elementarios, bet ir diferencijuotos pagal tam tikras taisykles. Šios taisyklės aptariamos toliau.

Sumos ir skirtumo išvestinė

Tegul funkcijos pateikiamos f(x) Ir g(x), kurių vediniai mums žinomi. Pavyzdžiui, galite paimti pirmiau aptartas elementarias funkcijas. Tada galite rasti šių funkcijų sumos ir skirtumo išvestinę:

1. (f + g)’ = f ’ + g ’
2. (f − g)’ = f ’ − g ’

Taigi dviejų funkcijų sumos (skirtumo) išvestinė yra lygi išvestinių sumai (skirtumui). Gali būti ir daugiau terminų. Pavyzdžiui, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.

Griežtai kalbant, algebroje nėra „atimties“ sąvokos. Yra sąvoka „neigiamas elementas“. Todėl skirtumas f − g galima perrašyti į sumą f+ (-1) g, o tada lieka tik viena formulė – sumos išvestinė.

f(x) = x 2 + sin x; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

Funkcija f(x) yra dviejų elementariųjų funkcijų suma, todėl:

f ’(x) = (x 2 + nuodėmė x)’ = (x 2)' + (nuodėmė x)’ = 2x+ cos x;

Panašiai motyvuojame ir dėl funkcijos g(x). Tik jau yra trys terminai (algebros požiūriu):

g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

Atsakymas:
f ’(x) = 2x+ cos x;
g ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

Produkto darinys

Matematika yra loginis mokslas, todėl daugelis žmonių mano, kad jei sumos išvestinė yra lygi išvestinių sumai, tai sandaugos išvestinė streikuoti">lygus išvestinių sandaugai. Bet sukiškite! Produkto išvestinė apskaičiuojama naudojant visiškai kitą formulę. Būtent:

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

Formulė paprasta, bet dažnai pamirštama. Ir ne tik moksleiviai, bet ir studentai. Rezultatas – neteisingai išspręstos problemos.

Užduotis. Raskite funkcijų išvestinius: f(x) = x 3 cos x; g(x) = (x 2 + 7x− 7) · e x .

Funkcija f(x) yra dviejų elementarių funkcijų sandauga, todėl viskas paprasta:

f ’(x) = (x 3 cos x)’ = (x 3)“ cos x + x 3 (kai x)’ = 3x 2 cos x + x 3 (− nuod x) = x 2 (3 cos x − x nuodėmė x)

Funkcija g(x) pirmasis daugiklis yra šiek tiek sudėtingesnis, tačiau bendra schema nesikeičia. Akivaizdu, kad pirmasis funkcijos veiksnys g(x) yra daugianario, o jo išvestinė yra sumos išvestinė. Mes turime:

g ’(x) = ((x 2 + 7x− 7) · e x)’ = (x 2 + 7x− 7)“ · e x + (x 2 + 7x− 7) · ( e x)’ = (2x+ 7) · e x + (x 2 + 7x− 7) · e x = e x· (2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · e x = x(x+ 9) · e x .

Atsakymas:
f ’(x) = x 2 (3 cos x − x nuodėmė x);
g ’(x) = x(x+ 9) · e x .

Atkreipkite dėmesį, kad paskutiniame etape išvestinė yra faktorizuojama. Formaliai to daryti nereikia, tačiau dauguma išvestinių skaičiuojamos ne pačios, o funkcijai ištirti. Tai reiškia, kad toliau išvestinė bus prilyginama nuliui, nustatomi jos ženklai ir pan. Tokiam atvejui išraišką geriau naudoti faktoriais.

Jei yra dvi funkcijos f(x) Ir g(x), ir g(x) ≠ 0 mus dominančioje aibėje, galime apibrėžti naują funkciją h(x) = f(x)/g(x). Tokiai funkcijai taip pat galite rasti išvestinę:

Ne silpna, tiesa? Iš kur atsirado minusas? Kodėl g 2? Ir taip! Tai viena iš sudėtingiausių formulių – be butelio to nesuprasi. Todėl geriau jį studijuoti konkrečių pavyzdžių.

Užduotis. Raskite funkcijų išvestinius:

Kiekvienos trupmenos skaitiklyje ir vardiklyje yra elementarios funkcijos, todėl mums tereikia koeficiento išvestinės formulės:

Pagal tradiciją, skaitiklį suskaidykime faktoriais – tai labai supaprastins atsakymą:

Sudėtinga funkcija nebūtinai yra pusės kilometro ilgio formulė. Pavyzdžiui, užtenka paimti funkciją f(x) = nuodėmė x ir pakeiskite kintamąjį x, tarkim, įjungta x 2 + ln x. Tai pavyks f(x) = nuodėmė ( x 2 + ln x) – tai sudėtinga funkcija. Ji taip pat turi išvestinę, tačiau naudojant aukščiau aptartas taisykles jo rasti nepavyks.

Ką turėčiau daryti? Tokiais atvejais sudėtingos funkcijos išvestinės kintamojo ir formulės pakeitimas padeda:

f ’(x) = f ’(t) · t', jei x pakeičiamas t(x).

Paprastai situacija su šios formulės supratimu yra dar liūdnesnė nei su koeficiento išvestine. Todėl taip pat geriau tai paaiškinti konkrečiais pavyzdžiais, su Išsamus aprašymas kiekviename žingsnyje.

Užduotis. Raskite funkcijų išvestinius: f(x) = e 2x + 3 ; g(x) = nuodėmė ( x 2 + ln x)

Atkreipkite dėmesį, kad jei funkcijoje f(x) vietoj 2 išraiškos x+3 bus lengva x, tada gauname elementariąją funkciją f(x) = e x. Todėl pakeičiame: leiskite 2 x + 3 = t, f(x) = f(t) = e t. Sudėtingos funkcijos išvestinės ieškome naudodami formulę:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’

O dabar – dėmesio! Atliekame atvirkštinį keitimą: t = 2x+ 3. Gauname:

f ’(x) = e t · t ’ = e 2x+ 3 (2 x + 3)’ = e 2x+ 3 2 = 2 e 2x + 3

Dabar pažiūrėkime į funkciją g(x). Akivaizdu, kad jį reikia pakeisti x 2 + ln x = t. Mes turime:

g ’(x) = g ’(t) · t' = (nuodėmė t)’ · t' = cos t · t ’

Atvirkštinis pakeitimas: t = x 2 + ln x. Tada:

g ’(x) = cos ( x 2 + ln x) · ( x 2 + ln x)' = cos ( x 2 + ln x) · (2 x + 1/x).

Tai viskas! Kaip matyti iš paskutinės išraiškos, visa problema buvo sumažinta iki išvestinės sumos apskaičiavimo.

Atsakymas:
f ’(x) = 2 · e 2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) cos ( x 2 + ln x).

Labai dažnai pamokose vietoj termino „išvestinė“ vartoju žodį „pirminis“. Pavyzdžiui, pirminis dydis nuo sumos lygi sumai potėpių. Ar taip aiškiau? Na, tai yra gerai.

Taigi, apskaičiuojant išvestinę sumą, reikia atsikratyti tų pačių smūgių pagal aukščiau aptartas taisykles. Kaip paskutinį pavyzdį, grįžkime prie išvestinės galios su racionaliuoju eksponentu:

(x n)’ = n · x n − 1

Nedaug žmonių tai žino vaidmenyje n gali veikti trupmeninis skaičius. Pavyzdžiui, šaknis yra x 0.5. Ką daryti, jei po šaknimi yra kažkas įmantraus? Vėlgi, rezultatas bus sudėtinga funkcija - tokias konstrukcijas jie mėgsta dovanoti bandymai ir egzaminus.

Užduotis. Raskite funkcijos išvestinę:

Pirmiausia perrašykime šaknį kaip laipsnį su racionaliuoju rodikliu:

f(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .

Dabar pakeičiame: tegul x 2 + 8x − 7 = t. Išvestinę randame naudodami formulę:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (t 0,5)“ · t' = 0,5 · t–0,5 · t ’.

Atlikime atvirkštinį pakeitimą: t = x 2 + 8x− 7. Mes turime:

f ’(x) = 0,5 · ( x 2 + 8x– 7) –0,5 · ( x 2 + 8x− 7)' = 0,5 · (2 x+ 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .

Galiausiai grįžkime prie šaknų:

Straipsnio turinys

IŠVEDINIMAS– funkcijos išvestinė y = f(x), duota tam tikru intervalu ( a, b) taške xŠis intervalas vadinamas riba, iki kurios linksta funkcijos prieaugio santykis fšiuo metu į atitinkamą argumento prieaugį, kai argumento padidėjimas linkęs į nulį.

Išvestinė paprastai žymima taip:

Kiti pavadinimai taip pat plačiai naudojami:

Momentinis greitis.

Tegul taškas M juda tiesia linija. Atstumas s judantis taškas, skaičiuojamas nuo tam tikros pradinės padėties M 0 , priklauso nuo laiko t, t.y. s yra laiko funkcija t: s= f(t). Leiskite tam tikru momentu t judantis taškas M buvo per atstumą s nuo pradinės padėties M 0, o kai kur kitą akimirką t+D t atsidūrė tokioje padėtyje M 1 - per atstumą s+D s iš pradinės padėties ( žr. pav.).

Taigi per tam tikrą laiką D t atstumas s pakeista suma D s. Šiuo atveju jie sako, kad per laiko intervalą D t dydžio s gavo priedą D s.

Vidutinis greitis negali visais atvejais tiksliai apibūdinti taško judėjimo greičio M tam tikru momentu t. Jei, pavyzdžiui, kūnas intervalo D pradžioje t judėjo labai greitai, o pabaigoje labai lėtai, tada vidutinis greitis negalės atspindėti nurodytų taško judėjimo ypatybių ir susidaryti supratimo apie tikrąjį jo judėjimo greitį šiuo metu t. Norint tiksliau išreikšti tikrąjį greitį naudojant vidutinį greitį, reikia skirti trumpesnį laiko tarpą D t. Labiausiai apibūdina taško judėjimo greitį šiuo metu t riba, iki kurios vidutinis greitis linkęs ties D t® 0. Ši riba vadinama dabartiniu greičiu:

Taigi judėjimo greitis tam tikru momentu vadinamas kelio prieaugio santykio D riba s prie laiko padidėjimo D t, kai laiko padidėjimas linkęs nulį. Nes

Geometrinė išvestinės reikšmė. Funkcijos grafiko liestinė.

Liečiamųjų linijų konstravimas yra viena iš tų problemų, dėl kurių atsirado diferencialinis skaičiavimas. Pirmasis publikuotas darbas, susijęs su diferencialiniu skaičiavimu, kurį parašė Leibnicas, buvo pavadintas Naujas metodas maksimumai ir minimumai, taip pat liestinės, kurioms nėra nei trupmeniniai, nei neracionalūs dydžiai, ir tam skirtas specialus skaičiavimo tipas yra kliūtis.

Tegul kreivė yra funkcijos grafikas y =f(x) stačiakampėje koordinačių sistemoje ( cm. ryžiai.).

Tam tikra verte x svarbu funkcija y =f(x). Šios vertybės x Ir y kreivės taškas atitinka M 0(x, y). Jei argumentas x duoti padidėjimas D x, tada nauja argumento reikšmė x+D x atitinka naują funkcijos reikšmę y+ D y = f(x + D x). Atitinkamas kreivės taškas bus taškas M 1(x+D x,y+D y). Jei nupiešite sekantą M 0M 1 ir žymimas j kampas, sudarytas skersinio su teigiama ašies kryptimi Jautis, iš paveikslo iš karto matyti, kad .

Jei dabar D x linkęs į nulį, tada taškas M 1 juda išilgai kreivės, artėdamas prie taško M 0 ir kampas j keičiasi su D x. At Dx® 0 kampas j linkęs į tam tikrą ribą a ir tiesė, einanti per tašką M 0, o dedamoji su teigiama x ašies kryptimi, kampas a, bus norima liestinė. Jo nuolydis yra:

Vadinasi, f´( x) = tga

tie. išvestinė vertė f´( x) nurodytai argumento vertei x lygus funkcijos grafiko liestinės suformuoto kampo tangentei f(x) atitinkamame taške M 0(x,y) su teigiama ašies kryptimi Jautis.

Funkcijų diferencijavimas.

Apibrėžimas. Jei funkcija y = f(x) turi išvestinę taške x = x 0, tada funkcija šiuo metu yra diferencijuojama.

Funkcijos, turinčios išvestinę, tęstinumas. Teorema.

Jei funkcija y = f(x) tam tikru momentu skiriasi x = x 0, tada šiame taške jis yra tęstinis.

Taigi funkcija negali turėti išvestinės nutrūkimo taškuose. Priešinga išvada yra neteisinga, t.y. nuo to, kad tam tikru momentu x = x 0 funkcija y = f(x) yra tęstinis, nereiškia, kad šiuo metu jis skiriasi. Pavyzdžiui, funkcija y = |x| nuolatinis visiems x(–Ґ x x = 0 neturi išvestinės. Šiuo metu grafiko liestinės nėra. Yra dešinioji ir kairioji, bet jos nesutampa.

Kai kurios diferencijuojamųjų funkcijų teoremos. Teorema apie išvestinės šaknis (Rolle teorema). Jei funkcija f(x) yra ištisinis segmente [a,b], skiriasi visuose šio segmento vidaus taškuose ir galuose x = a Ir x = b eina į nulį ( f(a) = f(b) = 0), tada segmento [ a,b] yra bent vienas taškas x= Su, a c b, kuriame išvestinė fў( x) eina į nulį, t.y. fў( c) = 0.

Baigtinio prieaugio teorema (Lagranžo teorema). Jei funkcija f(x) yra tęstinis intervale [ a, b] ir skiriasi visuose vidiniuose šio segmento taškuose, tada segmento viduje [ a, b] yra bent vienas taškas Su, a c b tai

f(b) – f(a) = fў( c)(b– a).

Dviejų funkcijų prieaugio santykio teorema (Koši teorema). Jeigu f(x) Ir g(x) – dvi ištisinės atkarpoje funkcijos [a, b] ir skiriasi visuose šio segmento vidiniuose taškuose, ir gў( x) niekur neišnyksta šiame segmente, tada segmento viduje [ a, b] yra toks punktas x = Su, a c b tai

Įvairių užsakymų dariniai.

Tegul funkcija y =f(x) yra diferencijuojamas tam tikru intervalu [ a, b]. Išvestinės vertės f ў( x), paprastai kalbant, priklauso nuo x, t.y. išvestinė f ў( x) taip pat yra funkcija x. Diferencijuodami šią funkciją gauname vadinamąją antrąją funkcijos išvestinę f(x), kuris yra pažymėtas f ўў ( x).

Darinys n- funkcijų tvarka f(x) vadinamas (pirmosios eilės) išvestiniu n- 1- ir žymimas simboliu y(n) = (y(n– 1))ў.

Įvairių užsakymų skirtumai.

Funkcinis diferencialas y = f(x), kur x– nepriklausomas kintamasis, taip dy = f ў( x)dx, kai kurios funkcijos iš x, bet nuo x gali priklausyti tik pirmasis veiksnys f ў( x), antrasis veiksnys ( dx) yra nepriklausomo kintamojo prieaugis x ir nepriklauso nuo šio kintamojo reikšmės. Nes dy yra funkcija nuo x, tada galime nustatyti šios funkcijos skirtumą. Funkcijos diferencialo diferencialas vadinamas antruoju šios funkcijos diferencialu arba antros eilės diferencialu ir žymimas d 2y:

d(dx) = d 2y = f ўў( x)(dx) 2 .

Diferencialinis n- pirmos eilės yra vadinamas pirmuoju diferencialo diferencialu n- 1- užsakymas:

d n m = d(d n–1y) = f(n)(x)dx(n).

Dalinė išvestinė.

Jei funkcija priklauso ne nuo vieno, o nuo kelių argumentų x i(i svyruoja nuo 1 iki n,i= 1, 2,… n),f(x 1,x 2,… x n), tada diferencialiniame skaičiavime įvedama dalinės išvestinės sąvoka, apibūdinanti kelių kintamųjų funkcijos kitimo greitį, kai keičiasi tik vienas argumentas, pvz. x i. 1 eilės dalinė išvestinė atžvilgiu x i apibrėžiamas kaip įprasta išvestinė, ir daroma prielaida, kad visi argumentai, išskyrus x i, išlaikyti pastovias vertes. Daliniams išvestiniams įvedamas žymėjimas

Taip apibrėžtos 1-osios eilės dalinės išvestinės (kaip tų pačių argumentų funkcijos) savo ruožtu gali turėti ir dalines išvestines, tai yra antros eilės dalinės išvestinės ir pan. Tokios išvestinės, paimtos iš skirtingų argumentų, vadinamos mišriomis. Tos pačios eilės ištisiniai mišrūs dariniai nepriklauso nuo diferenciacijos eilės ir yra lygūs vienas kitam.

Anna Chugainova

Nuspręskite fizines užduotis arba matematikos pavyzdžiai yra visiškai neįmanomi be žinios apie išvestinę ir jos skaičiavimo metodus. Išvestinė yra viena iš svarbiausių matematinės analizės sąvokų. Šiandienos straipsnį nusprendėme skirti šiai pagrindinei temai. Kas yra darinys, koks jo fizinis ir geometrine prasme kaip apskaičiuoti funkcijos išvestinę? Visus šiuos klausimus galima sujungti į vieną: kaip suprasti išvestinę?

Geometrinė ir fizikinė išvestinės reikšmė

Tegul būna funkcija f(x) , nurodyta tam tikru intervalu (a, b) . Taškai x ir x0 priklauso šiam intervalui. Pasikeitus x, pasikeičia ir pati funkcija. Argumento keitimas – jo vertybių skirtumas x-x0 . Šis skirtumas parašytas kaip delta x ir vadinamas argumentų prieaugiu. Funkcijos pakeitimas arba padidėjimas yra skirtumas tarp funkcijos reikšmių dviejuose taškuose. Išvestinės priemonės apibrėžimas:

Funkcijos išvestinė taške yra funkcijos padidėjimo tam tikrame taške ir argumento prieaugio santykio riba, kai pastarasis linkęs į nulį.

Kitu atveju jis gali būti parašytas taip:

Kokia prasmė rasti tokią ribą? Ir štai kas tai yra:

funkcijos išvestinė taške yra lygi kampo tarp OX ašies ir funkcijos grafiko liestinės liestei duotame taške.

Fizinė išvestinės reikšmė: kelio išvestinė laiko atžvilgiu lygi tiesinio judėjimo greičiui.

Iš tiesų, nuo mokyklos laikų visi žino, kad greitis yra tam tikras kelias x=f(t) ir laikas t . Vidutinis greitis per tam tikrą laikotarpį:

Norėdami sužinoti judėjimo greitį tam tikru momentu t0 reikia apskaičiuoti ribą:

Pirma taisyklė: nustatykite konstantą

Konstantą galima išimti iš išvestinio ženklo. Be to, tai turi būti padaryta. Spręsdami matematikos pavyzdžius, priimkite tai kaip taisyklę - Jei galite supaprastinti išraišką, būtinai ją supaprastinkite .

Pavyzdys. Apskaičiuokime išvestinę:

Antra taisyklė: funkcijų sumos išvestinė

Dviejų funkcijų sumos išvestinė lygi šių funkcijų išvestinių sumai. Tas pats pasakytina ir apie funkcijų skirtumo išvestinę.

Mes nepateiksime šios teoremos įrodymo, o apsvarstysime praktinį pavyzdį.

Raskite funkcijos išvestinę:

Trečia taisyklė: funkcijų sandaugos išvestinė

Dviejų diferencijuojamų funkcijų sandaugos išvestinė apskaičiuojama pagal formulę:

Pavyzdys: suraskite funkcijos išvestinę:

Sprendimas:

Čia svarbu kalbėti apie sudėtingų funkcijų išvestinių skaičiavimą. Sudėtinės funkcijos išvestinė yra lygi šios funkcijos išvestinės sandaugai tarpinio argumento atžvilgiu ir tarpinio argumento išvestinei nepriklausomo kintamojo atžvilgiu.

Aukščiau pateiktame pavyzdyje susiduriame su tokia išraiška:

Šiuo atveju tarpinis argumentas yra 8 kartus didesnis už penktą laipsnį. Norėdami apskaičiuoti tokios išraiškos išvestinę, pirmiausia apskaičiuojame išvestinę išorinė funkcija pagal tarpinį argumentą, o tada padauginkite iš paties tarpinio argumento išvestinės nepriklausomo kintamojo.

Ketvirta taisyklė: dviejų funkcijų dalinio išvestinė

Dviejų funkcijų dalinio išvestinės nustatymo formulė:

Mes bandėme kalbėti apie išvestinius manekenams nuo nulio. Ši tema nėra tokia paprasta, kaip atrodo, todėl perspėkite: pavyzdžiuose dažnai pasitaiko spąstų, todėl būkite atsargūs skaičiuodami išvestines.

Jei turite klausimų šia ir kitomis temomis, galite susisiekti su studentų tarnyba. Už nugaros trumpalaikis Padėsime išspręsti sudėtingiausius testus ir išspręsti problemas, net jei dar niekada nedarėte išvestinių skaičiavimų.

Apibrėžimas. Tegul funkcija \(y = f(x) \) yra apibrėžta tam tikrame intervale, kuriame yra taškas \(x_0\). Suteikime argumentui prieaugį \(\Delta x \), kad jis nepaliktų šio intervalo. Raskime atitinkamą funkcijos \(\Delta y \) prieaugį (judėdami iš taško \(x_0 \) į tašką \(x_0 + \Delta x \)) ir sudarykime ryšį \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \). Jei šio santykio riba yra \(\Delta x \rightarrow 0\), tada nurodyta riba vadinama funkcijos išvestinė\(y=f(x) \) taške \(x_0 \) ir pažymėkite \(f"(x_0) \).

$$ \lim_(\Delta x \iki 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$

Simbolis y dažnai naudojamas išvestinei žymėti. Atkreipkite dėmesį, kad y" = f(x) yra nauja funkcija, tačiau natūraliai susijusi su funkcija y = f(x), apibrėžta visuose x taškuose, kuriuose egzistuoja aukščiau nurodyta riba . Ši funkcija vadinama taip: funkcijos y = f(x) išvestinė.

Geometrinė išvestinės reikšmė yra taip. Jeigu galima nubrėžti funkcijos y = f(x) grafiko liestinę taške su abscise x=a, kuris nėra lygiagretus y ašiai, tai f(a) išreiškia liestinės nuolydį :
\(k = f"(a)\)

Kadangi \(k = tg(a) \), tada lygybė \(f"(a) = tan(a) \) yra teisinga.

Dabar interpretuokime išvestinės apibrėžimą apytikslių lygybių požiūriu. Tegul funkcija \(y = f(x)\) turi išvestinę konkrečiame taške \(x\):
$$ \lim_(\Delta x \iki 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
Tai reiškia, kad netoli taško x apytikslė lygybė \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \approx f"(x)\), t.y. \(\Delta y \approx f"(x) \cdot\ Delta x\). Gautos apytikslės lygybės prasminga reikšmė yra tokia: funkcijos prieaugis yra „beveik proporcingas“ argumento prieaugiui, o proporcingumo koeficientas yra išvestinės reikšmė išvestinėje. duotas taškas X. Pavyzdžiui, funkcijai \(y = x^2\) galioja apytikslė lygybė \(\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x \). Jei atidžiai išanalizuosime išvestinės apibrėžimą, pamatysime, kad jame yra algoritmas, kaip jį rasti.

Suformuluokime.

Kaip rasti funkcijos y = f(x) išvestinę?

1. Pataisykite \(x\) reikšmę, raskite \(f(x)\)
2. Suteikite argumentui \(x\) prieaugį \(\Delta x\), eikite į naują tašką \(x+ \Delta x \), raskite \(f(x+ \Delta x) \)
3. Raskite funkcijos prieaugį: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. Sukurkite ryšį \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. Apskaičiuokite $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
Ši riba yra funkcijos taške x išvestinė.

Jei funkcija y = f(x) turi išvestinę taške x, tai taške x ji vadinama diferencijuojama. Iškviečiama funkcijos y = f(x) išvestinės radimo procedūra diferenciacija funkcijos y = f(x).

Aptarkime tokį klausimą: kaip funkcijos tęstinumas ir diferenciamumas taške yra susiję vienas su kitu?

Tegul funkcija y = f(x) taške x diferencijuojama. Tada funkcijos grafiko taške M(x; f(x)) galima nubrėžti liestinę ir, prisiminkime, liestinės kampinis koeficientas yra lygus f "(x). Toks grafikas negali "nutrūkti" taške M, ty funkcija taške x turi būti ištisinė.

Tai buvo „rankiniai“ argumentai. Pateikime griežtesnį samprotavimą. Jei funkcija y = f(x) yra diferencijuojama taške x, galioja apytikslė lygybė \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x \). Jei šioje lygybėje \(\Delta x) \) linkęs į nulį, tada \(\Delta y \) bus linkęs į nulį, ir tai yra funkcijos tęstinumo taške sąlyga.

Taigi, jei funkcija yra diferencijuojama taške x, tai tame taške ji yra tolydi.

Atvirkščias teiginys nėra teisingas. Pavyzdžiui: funkcija y = |x| yra ištisinis visur, ypač taške x = 0, bet funkcijos grafiko liestinė "sandūros taške" (0; 0) neegzistuoja. Jei tam tikru momentu funkcijos grafiko liestinės negalima nubrėžti, tai išvestinė tame taške neegzistuoja.

Dar vienas pavyzdys. Funkcija \(y=\sqrt(x)\) yra ištisinė visoje skaičių tiesėje, įskaitant tašką x = 0. O funkcijos grafiko liestinė egzistuoja bet kuriame taške, įskaitant tašką x = 0 Bet šiuo metu liestinė sutampa su y ašimi, t.y. ji yra statmena abscisių ašiai, jos lygtis yra x = 0. Nuolydžio koeficientas tokios eilutės nėra, tai reiškia, kad \(f"(0) \) taip pat nėra

Taigi, susipažinome su nauja funkcijos savybe – diferenciacija. Kaip iš funkcijos grafiko galima daryti išvadą, kad ji yra diferencijuojama?

Atsakymas iš tikrųjų pateiktas aukščiau. Jei tam tikru momentu galima nubrėžti funkcijos grafiko liestinę, kuri nėra statmena abscisių ašiai, tai šiuo metu funkcija yra diferencijuojama. Jei tam tikru momentu funkcijos grafiko liestinė neegzistuoja arba ji yra statmena abscisių ašiai, tai šiuo metu funkcija nediferencijuojama.

Diferencijavimo taisyklės

Išvestinės radimo operacija vadinama diferenciacija. Atliekant šią operaciją dažnai tenka dirbti su koeficientais, sumomis, funkcijų sandaugomis, taip pat su „funkcijų funkcijomis“, tai yra su sudėtingomis funkcijomis. Remdamiesi išvestinės apibrėžimu, galime išvesti diferencijavimo taisykles, kurios palengvina šį darbą. Jei C yra pastovus skaičius, o f=f(x), g=g(x) yra kai kurios diferencijuojamos funkcijos, tai teisinga diferenciacijos taisyklės:

$$ C"=0 $$ $$ x"=1 $$ $$ (f+g)"=f"+g" $$ $$ (fg)"=f"g + fg" $$ $$ ( Cf)"=Cf" $$ $$ \left(\frac(f)(g) \right) " = \frac(f"g-fg")(g^2) $$ $$ \left(\frac (C)(g) \right) " = -\frac(Cg")(g^2) $$ Sudėtingos funkcijos išvestinė:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$

Kai kurių funkcijų išvestinių lentelė

$$ \left(\frac(1)(x) \right) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \right) " = a x^(a-1) $$ $$ \left(a^x \right) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \left(e^x \right) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arcctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $