Naršykite nurodytas diferencialinių metodų funkcijas internete. Bendroji mokslinių tyrimų schemos funkcija ir statybos grafika

Mes tiriame funkciją (Y \u003d frac (x ^ 3) (1-x)) ir sukurti savo tvarkaraštį.

1. Apibrėžimas.
Racionalios funkcijos (frakcijos) nustatymo sritis bus: denominoras nėra nulis, i.e. (1-x ne 0 \u003d\u003e x ne 1). Apibrėžimo plotas $$ d_f \u003d (- airty; 1) puodelis (1; +fty) $$

2. taškų pertraukos taškai ir jų klasifikavimas.
Funkcija turi vieną spragą x \u003d 1
mes tiriame tašką x \u003d 1. Rasta funkcijos riba į dešinę ir į kairę nuo tarpo taško, dešinės $$ \\ t -x)) \u003d - ° CFTY $$ ir į kairę nuo $ __ taško (x į 1-0) (frac (x ^ 3) (1-x)) \u003d + \\ Infty $$ yra antrosios rūšies nutraukimo taškas. Vienpusiai apribojimai yra lygūs (ėmimas).

Tiesus (x \u003d 1) yra vertikali asimptmas.

3. Funkcijos paritetas.
Pariteto tikrinimas (F (-s) \u003d FRAC ((x) ^ 3) (1 + x) (1 + x) \\ t Funkcija nėra nei netgi keista.

4. Nulinės funkcijos (sankirtos taškai su engų ašimi). Simbolio funkcijos intervalai.
Funkcijų nuliai (sankirtos taškas su sausu ašimi): Įsitikinkite (Y \u003d 0), mes (frac (x ^ 3) (1-x) \u003d 0 \u003d\u003e x \u003d 0). Kreivė turi vieną sankirtos tašką su jaučio ašimi su koordinatėmis ((0; 0)).

Funkcinių intervalų intervalai.
Atsižvelgiant į apsvarstytus intervalais ((- ° C; 1) (1; + fty)) Kreivė turi vieną sankirtos tašką su OX ašimi, todėl apsvarstysime tris apibrėžimo srities intervalus.

Nustatykite funkcijų ženklą apibrėžimo srities intervalais:
intervalas ((- 100)) Raskite funkcijų vertę bet kuriame taške (F (-4) \u003d frac (x ^ 3) (1-x)< 0 \), на этом интервале функция отрицательная \(f(x) < 0 \), т.е. находится ниже оси Ox
intervalas ((0; 1)) Raskite funkcijų vertę bet kuriame taške (f (0,5) \u003d frac (x ^ 3) (1-x)\u003e 0), šioje intervalui funkcija yra teigiama ( F (x)\u003e 0), t.y. Tai virš jauo ašies.
intervalas ((1; + efty)) Raskite funkcijų vertę bet kuriame taške (f (4) \u003d frac (x ^ 3) (1-x)< 0 \), на этом интервале функция отрицательная \(f(x) < 0 \), т.е. находится ниже оси Ox

5. Sankryžos taškas su OY ašimi: prilygsta (x \u003d 0), mes gauname (f (0) \u003d frac (x ^ 3) (1-x) \u003d 0). Sankryžos taško koordinatės su OY ašimi ((0; 0) \\ t

6. Monotoniologijos intervalai. Ekstremali funkcija.
Mes rasime kritinius (stacionarus) taškus, nes mes surasime pirmąjį darinį ir prilyginame jį nuliui $$ y "\u003d (frac (x ^ 3) (1-x))" \u003d frac (3x ^ 2 ( 1-x) + x ^ 3) ((1-x) ^ 2) \u003d FRAC (x ^ 2 (3-2x)) ((1-x) ^ 2) $$ prilygsta 0 $$ frac ( x ^ 2 (3 -2x)) ((1-x) ^ 2) \u003d 0 \u003d\u003e x_1 \u003d 0 quad x_2 \u003d frac (3) (2) $$ Rasti funkcijos vertę šiame punkte ( F (0) \u003d 0) ir (f (frac (3) (2)) \u003d -6.75). Du kritiniai taškai su koordinatėmis ((0; 0)) ir (1.5; -6.75) \\ t

Monotoniškumo intervalai.
Funkcija turi du kritinius taškus (galimų ekstremenumo taškus), todėl mes apsvarstysime monotoniją keturiais intervalais:
intervalas ((- aibty; 0), mes rasime pirmojo darinio vertę bet kuriuo intervalo tašku (F (-4) \u003d frac (x ^ 2 (3-2x)) ((1) -x) ^ 2)\u003e
intervalas ((0; 1) Radime pirmojo darinio vertę bet kuriuo intervalo tašku (f (0,5) \u003d frac (x ^ 2 (3-2x)) ((1-x) ^ 2)\u003e 0) Šiame intervale funkcija didėja.
intervalas ((1; 1,5) Radime pirmojo darinio vertę bet kuriuo intervalo tašku (F (1.2) \u003d frac (x ^ 2 (3-2x)) ((1-x) ^ 2)\u003e 0) Šiame intervale funkcija didėja.
intervalas ((1,5; + 100) Raskite pirmojo darinio vertę bet kuriuo intervalo tašku (F (4) \u003d frac (x ^ 2 (3-2x)) ((1-x) \\ t ^ 2)< 0\), на этом интервале функция убывает.

Ekstremali funkcija.

Funkcijos tyrime buvo gauti du kritiniai (stacionarūs) taškai intervale. Apibrėžiame, ar jie yra kraštutinumai. Apsvarstykite, kad pereinant prie kritinių taškų, pakeiskite išvestinių finansinių priemonių ženklą:

pUNKTAS (x \u003d 0) Išvestinis keičia ženklą C (quad + quad + quad + quad) - taško ekstremumas nėra.
pUNKTAS (x \u003d 1,5) Išvestinis darinys pakeičia žymenį C (quad + 0 quad - quad) - taškas yra maksimalus taškas.

7. Konversijos ir susigrąžinimo intervalai. Polių taškai.

Norėdami rasti konvejruojimo ir susigrąžinimo intervalus, mes randame antrą išvestinę funkciją ir prilyginame jį nuliui $$ y "\u003d (frac (x ^ (3-2x)) ((1-x) ^ 2))" \u003d Frac (2x (x ^ 2-3x + 3)) ((1-x) ^ 3) $$ prilygsta nuliui $$ frac (2x (x ^ 2-3x + 3)) ((1-x ^ 3) \u003d 0 \u003d\u003e 2x (x ^ 2-3x + 3) \u003d 0 \u003d\u003e x \u003d 0 $$ funkcija turi vieną kritinį antrojo tipo tašką su koordinatėmis ((0; 0)).
Apibrėžėme apibrėžimo srities intervalą, atsižvelgiant į kritinį antrojo tipo tašką (galimo paklojimo taškas).

intervalas ((- aibty; 0), mes rasime antrojo išvestinio veiksnio vertę bet kuriame punkte (F "" (- 4) \u003d frac (2x (x ^ 2-3x + 3)) (( 1-x) ^ 3)< 0 \), на этом интервале вторая производная функции отрицательная \(f""(x) < 0 \) - функция выпуклая вверх (вогнутая).
intervalas ((0; 1) Radsime antrojo išvestinio veiksnio vertę bet kuriuo punktu (F "(0,5) \u003d FRAC (2x (x ^ 2-3x + 3)) ((1-x) ) ^ 3)\u003e 0), šioje intervale, antroji išvestinė funkcija yra teigiama (F "" (x)\u003e 0) funkcija yra išgaubta žemyn (išgaubta).
intervalas ((1; fty) (1) rasite antrojo išvestinio vertės bet kuriuo punktu (F "(4) \u003d frac (2x (x ^ 2-3x + 3)) ((1- x) ^ 3)< 0 \), на этом интервале вторая производная функции отрицательная \(f""(x) < 0 \) - функция выпуклая вверх (вогнутая).

Polių taškai.

Apsvarstykite galimybę pakeisti antrojo išvestinio ženklo ženklą, kai juda kritiniu antrojo pobūdžio tašku:
Tuo taško (x \u003d 0), antrasis išvestinis darinys pakeičia ženklą C (quad 0 quad + quad), funkcijos grafikas keičia BUGGE, I.E. Tai yra infliacijos taškas su koordinatėmis ((0; 0)).

8. asimptotes.

Vertikalus asimptota.. Funkcijos grafikas turi vieną vertikalią asimptotą. (X \u003d 1) (žr. 2 punktą).
Pasviręs asimptota.
Norint, kad funkcijos grafikas (Y \u003d frac (x ^ 3) (1-x) (1-x)) buvo pasviręs asimpotte (Y \u003d kx + b), \\ t Būtina, kad yra du apribojimai $$ lim_ (x į + 100) \u003d \\ frac (f (x)) (x) \u003d k $$ mes randame tai $$ \\ t ) (Frac (x ^ 3) (x (1-x))) \u003d \\ Infty \u003d\u003e K \u003d 100 INFTY $$ ir antroji riba $$ lim_ (x į + 100) (f (x) - kx) \u003d b $ $, nes (K \u003d airty) - nėra pakenktų asimptotų.

Horizontalus asimptotika: Norint egzistuoti horizontaliai asimpotta, būtina, kad $$ lim___ (x į q infty) f (x) \u003d B $$ egzistavo (x įfty) f (x) \u003d b $$ (X į + 100) (frac (x ^ 3) (1-x)) \u003d - ° CFTY $$$$ \\ l lim_ (x įkrauna) (frac (x ^ 3) (1 -x)) \u003d - ° CFTY $$
Nėra horizontalių asimptotų.

9. Funkcijos grafikas.

Atskaitos taškai funkcijų tyrimo ir jų diagramų statybos yra būdingi taškai - atotrūkis, ekstremumas, slenkimas, sankryžos su ašimis koordinates. Su diferencinio skaičiavimo pagalba galite nustatyti būdingus bruožus funkcijas: didinti ir sumažinti, Maxima ir minimumai, kryptis išsipūtimas ir rekonstrukcijos grafika, asimptot.

Funkcijos grafikos eskizas gali būti (ir būtinas), kad būtų galima išmesti po asimptotų ir ekstremalų taškų, o konsoliduota funkcijos tyrimų lentelė yra patogi užpildyti tyrimo metu.

Paprastai naudoja šias funkcijos funkcijas.

1. Raskite apibrėžimo sritį, tęstinumo intervalus ir funkcijų pertraukos taškus.

2. Naršykite skaitymo ar keistumo funkciją (ašinė arba centrinė diagramos simetrija.

3. Rasti asimptotes (vertikalus, horizontalus arba pasviręs).

4. Rasti ir ištirti didėjančios ir mažėjančios funkcijos spragas, jo ekstremumo taškai.

5. Raskite išgaubtumo ir įrengimo kreivės intervalus, jo prielaidos taškai.

6. Raskite kreivės sankirtos taškus su koordinatės ašimis, jei jie egzistuoja.

7. Sudarykite konsoliduotą studijų lentelę.

8. Sukurkite tvarkaraštį, atsižvelgiant į pirmiau aprašytų elementų atliktos funkcijos tyrimą.

Pavyzdys. Naršykite funkciją

ir statyti savo tvarkaraštį.

7. Mes padarysime santraukos lentelę tyrimų, kur mes padarysime visus būdingus taškus ir intervalais tarp jų. Atsižvelgiant į funkcijos pasirengimą, mes gauname šią lentelę:

				Simbolių savybės
[-1, 0[			Dideja	Išgaubtas
				(0; 1) - maksimalus taškas
]0, 1[			Mažinti	Išgaubtas
				Priekių formų su ašimi taškas JAUTIS."Botuse" kampas

Kaip ištirti funkciją ir sukurti jo tvarkaraštį?

Atrodo, kad aš pradedu suprasti dvasingumą-įsiskverbė į pasaulio proletariato lyderio, raštų kolekcijos autorius 55 tūrio .... Neleistinių pajamų būdas prasidėjo su elementacine informacija apie funkcijos ir diagramosIr dabar, darbas laiku suvartojant temą baigiasi natūraliu rezultatu - Straipsnis visą funkcijos tyrimą. Ilgai lauktas užduotis yra suformuluota taip:

Naršykite diferencinių skaičiavimo metodų funkciją ir remiantis tyrimo rezultatais, kad būtų sukurtas jo tvarkaraštis

Arba trumpesnis: ištirti funkciją ir statyti diagramą.

Kodėl tyrinėti? Paprastais atvejais, mes nematome sunku suprasti elementariosios funkcijos, atkreipti tvarkaraštį gautą elementarinės geometrinės transformacijos. ir tt Tačiau savybės ir grafiniai vaizdai sudėtingesnių funkcijų yra toli nuo akivaizdaus, todėl visas tyrimas yra būtinas.

Pagrindiniai tirpalo etapai mažinami etaloninėmis medžiagomis. Funkcijų tyrimų schemaTai yra jūsų vadovas skyriuje. "AraTotes" reikalauja žingsnis po žingsnio paaiškinimo temos, kai kurie skaitytojai nežino, kur pradėti ir kaip organizuoti tyrimą, ir pažengę studentai gali būti suinteresuoti tik tam tikrose akimirkas. Bet kas galėtumėte, brangus lankytojas, siūloma santrauka su rodikliais į įvairias pamokas trumpiausiu laikotarpiu orientuotais ir nukreips jus į interesų kryptį. Robotai šmeižtai \u003d) vadovaujasi PDF failo pavidalu ir paėmė gerai nusipelnę vietą puslapyje Matematinės formulės ir lentelės.

Funkcijos, kurią naudojau 5-6 balai:

6) Papildomi punktai ir tvarkaraštis, pagrįstas tyrimo rezultatais.

Pasibaigus galutinio veiksmo sąskaita, manau, kad viskas yra aiški visiems - tai bus labai nusivylusi, jei per kelias sekundes ji bus kerta ir grąžinama į tobulinimą. Teisingas ir tikslus brėžinys yra pagrindinis sprendimo rezultatas! Labai tikėtina, kad "susieja" analitines abrazijas, nors neteisinga ir (arba) aplaidžios diagramos bus problemos net ir su idealiu atliktu tyrimu.

Pažymėtina, kad kitais šaltiniais mokslinių tyrimų punktų skaičius, jų įgyvendinimo ir registracijos stiliaus tvarka gali labai skirtis nuo man siūlomos schemos, tačiau daugeliu atvejų yra pakankamai. Paprasčiausias užduoties versija susideda iš tik 2-3 etapų ir yra suformuluotas taip: "Naršykite funkciją naudodami darinį ir statyti diagramą" arba "Naršykite funkciją naudodami 1 ir antrąjį darinį, statyti diagramą".

Natūralu - jei jūsų metodas yra išmontuotas išsamiai dar vienas algoritmas arba jūsų mokytojas griežtai reikalauja laikytis savo paskaitų, ji turės atlikti tam tikrus sprendimo pakeitimus. Ne sunkiau nei pakeičiant šakutę su grandininiu šaukštu.

Patikrinkite pasirengimo / keistumo funkciją:

Po to seka šablono įrašymas:
Todėl ši funkcija nėra net arba nelyginė.

Kadangi funkcija yra tęsiama, nėra vertikalių asimptotų.

NĖRA linkęs asimptot.

Pastaba : Primenu jums, kad tai yra didesnė augimo tvarkanei, todėl galutinė riba yra lygi " pliusas Begalybė. "

Sužinokite, kaip funkcija elgiasi begalybei:

Kitaip tariant, jei einame į dešinę, tvarkaraštis eina be galo toli, jei į kairę yra be galo. Taip, čia taip pat yra dvi ribos pagal vieną įrašą. Jei turite kokių nors sunkumų su dekoduojančiais ženklais, apsilankykite pamokoje be galo mažos savybės.

Taigi funkcija neapsiriboja iš viršaus ir. \\ T neapsiriboja žemiau. Atsižvelgiant į tai, kad mes neturime pertraukos taškų, jis tampa aišku ir funkcijos vertės sritis: - Taip pat bet koks galiojantis numeris.

Naudinga techninė technika

Kiekviena užduoties nustatymas atneša naują informaciją apie grafikąTodėl tirpalo metu patogu naudoti tam tikrą išdėstymą. Aš pavaizduosi koordinačių sistemą Kartovka Cartovo. Kas jau žinoma? Pirma, grafikas neturi asimptotų, todėl tiesioginis trūkumas nereikalingas. Antra, mes žinome, kaip funkcija elgiasi begalybėje. Pagal analizę atkreipkite pirmąjį suderinimą:

Atkreipkite dėmesį, kad pagal dorybę tęstinumas Funkcijos ir faktas, kad grafikas turėtų būti bent kartą kirsti ašį. O gal yra keletas sankirtos taškų?

3) nuliai ir derinimo intervalai.

Pirmiausia surasime grafiko sankirtos tašką su ordinato ašimi. Tai paprasta. Būtina apskaičiuoti funkcijos vertę, kai:

Pusė virš jūros lygio.

Norint rasti sankirtos taškus su ašimi (funkcijos nuliais), būtina išspręsti lygtį, ir čia mes turėsime nemalonų siurprizą:

Galų gale buvo pridėtas laisvas narys, kuris labai apsunkina užduotį.

Tokia lygtis turi bent vieną galiojančią šaknį ir dažniausiai šią šaknį yra neracionali. Blogesnėje pasakoje turėsime tris kiaules. Lygtis yra išspręsta naudojant vadinamąjį cardano formulės.Tačiau popieriaus žala yra palyginama beveik su visais tyrimais. Šiuo atžvilgiu jis yra suprantamesnis žodžiu arba dėl projekto, kad būtų bandoma pasirinkti bent vieną visas šaknis. Patikrinkite, nėra skaičiai:
- Netinkamas;
- yra!

Čia pasisekė. Jei nesėkmės atveju taip pat galima išbandyti, ir jei šie skaičiai nepateikė, tada yra labai mažai galimybių už pelningą lygties sprendimą. Tada studijų elementas yra geriau visiškai praleisti - galbūt tai taps vienu aiškesniu galutiniu žingsniu, kai bus pateikti papildomi taškai. Ir jei tos pačios šaknų (šaknys) yra aiškiai "blogai", tada derinimo intervalai yra geresni paprastai kukliai Silex Taip, jis yra labiau pavesta įvykdyti brėžinį.

Tačiau mes turime gražią šaknį, todėl padaliname polinomą be likučių:

Polinomo į polinomo į polinomą išsamiai algoritmas yra išmontuotas pirmuoju pamokos pavyzdžiu Sunkios ribos.

Kaip rezultatas, kairioji šaltinio lygties dalis sulankstyti į darbą:

Ir dabar šiek tiek apie sveiką gyvenimo būdą. Aš, žinoma, tai suprasiu kvadratinės lygtys. \\ t Jūs turite nuspręsti kiekvieną dieną, bet šiandien mes padarysime išimtį: lygtis Ji turi dvi galiojančias šaknis.

Skaitmeniniu tiesioginiu tašku atideda nustatytas vertes ir. \\ T intervalas. \\ T Nustatykite funkcijos funkcijas:


Taigi, intervalais Tvarkaraštis. \\ T
Žemiau abscisės ašies ir intervalais - virš šios ašies.

Gautos išvados leidžia išsamiai išsamiai aprašyti savo išdėstymą, o antrasis grafiko derinimas yra toks:

Atkreipkite dėmesį, kad funkcija būtinai turi būti bent viena maksimali ir intervale - bent vienas minimalus. Bet kiek kartų, kur ir kada "paslėpti" tvarkaraštį, mes dar nežinome. Beje, funkcija gali turėti be galo daug kraštutinumai.

4) didėjančia, sumažėjusi ir ekstremen funkcija.

Rasti kritinius taškus:

Ši lygtis turi dvi galiojančias šaknis. Aš atidėsiu juos skaitmeniniu tiesioginiu ir apibrėžiu išvestinių finansinių priemonių ženklus:


Todėl funkcija didėja ir mažėja.
Tuo metu funkcija pasiekia maksimalų: .
Tuo metu funkcija pasiekia minimalų: .

Įdiegti faktai svaro mūsų šabloną gana sunkiu rėmu:

Ką pasakyti, diferencialinis skaičiavimas - galingas dalykas. Galiausiai elgtis su grafiko forma:

5) išsipūtimas, prisitaikymas ir vielos.

Mes rasime svarbiausius antrojo išvestinės priemonės taškus:

Nustatykite ženklus:


Funkcijos grafikas yra išgaubtas ir įgaubtas. Apskaičiuokite infliacijos taško ordinatą :. \\ T

Beveik viskas pasirodė.

6) Lieka rasti papildomų taškų, kurie padės tiksliau sukurti tvarkaraštį ir atlikti savikontrolę. Šiuo atveju jie nėra pakankamai, bet mes nepaisysime:

Atlikite brėžinį:

Žalia spalva pažymėta su infliacija, kryžiai - papildomi taškai. Kubinės funkcijos grafikas yra simetriškas apie jo priesaikos tašką, kuris visada yra griežtai viduryje tarp maksimalaus ir minimumo.

Vykdydamas užduotį, aš atnešiu tris hipotetinius tarpinius brėžinius. Praktiškai pakanka piešti koordinačių sistemą, pažymėkite rastus taškus ir po kiekvieno tyrimo elemento protiškai įvertinkite, kaip gali atrodyti funkcijų grafikas. Studentai su geru mokymo lygiu nebus sunku atlikti tokią analizę tik proto be pritraukimo projektą.

Už savarankiškus sprendimus:

2 pavyzdys.

Naršykite funkciją ir sukurkite tvarkaraštį.

Yra greitesnis ir smagiau, pavyzdinis pavyzdinis apdailos dizainas pamokos pabaigoje.

Daug paslapčių atskleidžia dalinių racionalių funkcijų tyrimą:

3 pavyzdys.

Diferenciniai skaičiavimo metodai Naršyti funkciją ir remiantis tyrimo rezultatais, kad būtų sukurtas jo tvarkaraštis.

Sprendimas Šis sprendimas: Pirmasis tyrimo etapas nesiskiria su kažkuo nuostabiu, išskyrus skylę apibrėžimo srityje:

1) funkcija yra apibrėžta ir tęsiama visame skaitmeniniame tiesioginiame, išskyrus tašką, domenas: .

Tai reiškia, kad ši funkcija nėra net arba nelyginė.

Akivaizdu, kad funkcija yra ne periodinė.

Funkcijos grafikas yra du nepertraukiamieji šakos, esančios kairėje ir dešinėje pusėje plokštumoje - tai yra svarbiausia pirmojo taško išvada.

2) asimpotai, funkcijos elgesys begalybėje.

a) Naudojant vienpusius apribojimus, ištirti funkcijos elgesį šalia įtartino taško, kur jis yra akivaizdžiai vertikali asimptota:

Iš tiesų, funkcijos toleruoja begalinė pertrauka Tuo metu,
ir tiesiai (ašis) yra vertikalus asimptota. grafika.

b) Patikrinkite, ar egzistuoja įstrižai asimpotai:

Taip, tiesioginis yra pasviręs asimptoto Grafika, jei.

Analizės apribojimai neturi prasmės, nes tai yra taip aišku, kad funkcija apkaba su savo linkusi asimptota neapsiriboja iš viršaus ir. \\ T neapsiriboja žemiau.

Antrasis tyrimo punktas atnešė daug svarbių informacijos apie funkciją. Atlikite eskizo projektą:

Išvada numeris 1 susijęs su suderinimo intervalais. "Minus Infinity" funkcijos grafikas yra unikaliai esantis žemiau abscisės ašies, o ant "plius begalybės" - virš šios ašies. Be to, vienpusių ribų pranešė mums kaip kairę ir dešinę nuo funkcijos, taip pat daugiau nulio. Atkreipkite dėmesį, kad kairėje pusėje plokštumoje bent kartą tvarkaraštis privalo kirsti abscisos ašį. Dešinėje pusėje plokštumose zeros funkcijos gali būti ne.

2 išvesties numeris yra tas, kad funkcija padidėja ir į kairę (yra "iš apačios į viršų"). Šio taško dešinėje - funkcija mažėja (yra "viršaus į apačią"). Tinkamas diagramos filialas tikrai turėtų būti bent vienas minimumas. Kairieji kraštutinumai nėra garantuoti.

Išvados numeris 3 suteikia patikimą informaciją apie grafiko susigrąžinimą į taško kaimynystėje. Mes negalime nieko pasakyti apie begalybę / susigrąžinimą dėl begalybės, nes linija gali būti paspaudžiama į jų asimptotes tiek iš virš ir toliau. Apskritai, yra analitinis būdas išsiaiškinti jį dabar, bet dovana "už nieko" taps aiškesnis vėlesniais etapais.

Kodėl tiek daug žodžių? Stebėti vėlesnius mokslinių tyrimų taškus ir užkirsti kelią klaidoms! Daugiau skaičiavimai neturėtų prieštarauti išvadoms.

3) diagramos sankirtos taškai su koordinatės ašimis, simbolio funkcijos intervalais.

Funkcijos grafikas neperžengia ašies.

Intervalas metodas nustato ženklus:

, jeigu ;
, jeigu .

Iš taško rezultatai visiškai atitinka 1 išvadą. Po kiekvieno etapo pažvelgti į projektą, psichiškai nukreiptą į tyrimą ir atkreipti funkcijų tvarkaraštį.

Atsižvelgiant į nagrinėjamą pavyzdį, skaitiklis yra padalintas į vardiklį, kuris yra labai naudingas diferenciacijai:

Tiesą sakant, jis jau buvo atliktas, kai randami asimptotai.

- kritinis taškas.

Nustatykite ženklus:

padidėja iki. \\ t ir sumažėja. \\ t

Tuo metu funkcija pasiekia minimalų: .

Taip pat nebuvo išsiaiškinti diskusijos 2 ir greičiausiai, mes esame teisingame kelyje.

Taigi, funkcijų grafikas yra įgaubtas visoje apibrėžimo srityje.

Puikus - ir nedarykite nieko.

Nėra jokių priesaikos taškų.

Be to, konferencija atitinka 3 išvados numerį, rodo, kad begalybėje (ir ten ir ten) yra funkcijos grafikas aukščiau jos linkę asimptotes.

6) sąžiningai rožinė užduotis su papildomais taškais. Čia tai bus gana sunku dirbti, nes tyrime esame žinomi tik du taškai.

Ir paveikslėlį, kuris, tikriausiai, daugelis jau seniai pateikė:

Užduočių metu jums reikia kruopščiai užtikrinti, kad tarp tyrimo etapų nėra prieštaravimų, tačiau kartais situacija yra skubesnė arba netgi beviltiška. Čia "ne konvertuoti" analitikas - ir tai yra. Šiuo atveju aš rekomenduoju avarinį priėmimą: mes randame tiek taškų, kurie priklauso grafikai (kiek kantrybės yra pakankamai), ir mes atkreipiame juos į koordinačių plokštumoje. Daugeliu atvejų grafinė nustatytų verčių analizė jums pasakys, kur tiesa ir kur yra melas. Be to, grafikas gali būti anksčiau pastatytas naudojant bet kurią programą, pavyzdžiui, toje pačioje tremtyje (suprantama, už tai jums reikia įgūdžių).

4 pavyzdys.

Diferencialo skaičiavimo metodai Naršyti funkciją ir sukurti jo tvarkaraštį.

Tai yra nepriklausomo sprendimo pavyzdys. Jame savikontrolė sustiprina funkcija - grafikas yra simetriškas apie ašį, ir jei kažkas prieštarauja šiam faktui jūsų tyrime, ieškokite klaidos.

Taip pat galite ištirti aiškią arba nelyginę funkciją, o tada naudokite grafiko simetriją. Toks sprendimas yra optimalus, tačiau atrodo, kad mano nuomone, yra labai neįprasta. Asmeniškai manau, visa skaitmeninė ašis, bet aš rasiu papildomus taškus dar dešinėje:

5 pavyzdys.

Atlikti visišką funkcijos tyrimą ir sukurkite jo tvarkaraštį.

Sprendimas Šis sprendimas: Jis skubėjo:

1) funkcija yra apibrėžta ir tęsiama visoje skaitmeninėje eilutėje :.

Tai reiškia, kad ši funkcija yra keista, jo grafikas yra simetriškas, palyginti su koordinatės pradžia.

Akivaizdu, kad funkcija yra ne periodinė.

2) asimpotai, funkcijos elgesys begalybėje.

Kadangi funkcija yra tęsiama, tada vertikalios asimptotės nėra

Dėl funkcijos, kurioje yra eksponentas atskirai Tyrimas "Plus" ir "minus begalybė", tačiau mūsų gyvenimas palengvina grafiko simetriją - į kairę ir dešinėje yra asimptota, arba tai nėra. Todėl abu begaliniai ribos gali būti išduodami vienu įrašu. Mes naudojame sprendimą lopitalinė taisyklė:

Tiesioginė (ašis) yra horizontalus diagramos asimptota su.

Atkreipkite dėmesį į tai, kaip aš paspausiu visišką algoritmą ieškant asimptotes: riba yra visiškai lengvai ir paaiškina funkcijos elgesį begalybėje, ir horizontalus asimptota rado "tarsi tuo pačiu metu."

Nuo tęstinumo ir horizontalių asimptotų egzistavimas taip, kad funkcija ribotas iš viršaus ir. \\ T ribotas iš apačios.

3) grafiko sankirtos taškai su koordinačių ašimis, suderinimo intervalais.

Čia taip pat sumažina sprendimą:
Tvarkaraštis eina per koordinates kilmę.

Nėra jokių kitų taškų sankirtos su koordinatės ašimis. Be to, alpopurizmo intervalai yra akivaizdūs, o ašis negali būti parengta:, o tai reiškia, kad funkcijos funkcija priklauso tik nuo "ICA":
, jeigu ;
, jeigu .

4) padidėjimas, sumažėjimas, ekstremum funkcija.


- Kritiniai taškai.

Taškai yra simetriški, palyginti su nuliu, nes jis turėtų būti.

Nustatykite darinio požymius:


Funkcija padidėja intervalui ir sumažėja intervalais

Tuo metu funkcija pasiekia maksimalų: .

Pagal turtą (Figūrų funkcijos) minimumo negalima apskaičiuoti:

Kadangi funkcija mažėja intervale, tai akivaizdu "atėmus begalybę" tvarkaraštis yra pagal Su savo asimptota. Interviu funkcija taip pat mažėja, bet čia viskas yra priešinga - po perjungimo per maksimalų tašką, linija artėja prie ašies jau viršuje.

Iš to, kas išdėstyta, ji taip pat reiškia, kad funkcijos tvarkaraštis yra išgaubtas ant "atėmus begalybės" ir įgaubtu ant "plius begalybės".

Po šio tyrimo taško, funkcijos vertybių laukas taip pat buvo sudarytas:

Jei neturite nesusipratimų apie bet kokius momentus, dar kartą noriu atkreipti koordinuoti ašis nešiojamojo kompiuterio ir su pieštuku rankose iš naujo analizuoti kiekvieną išvadą.

5) konversija, grafikumas, grafikos.

- Kritiniai taškai.

Simetrijos taškai išsaugomi ir greičiausiai mes neklystame.

Nustatykite ženklus:


Funkcijų grafikas yra išgaubtas Ir įgaubtas .

Patvirtinta išsikiša į ekstropitus intervalus.

Visuose kritiniuose taškuose yra lenkimo geografijos. Mes surasime elgetų taškų ordinates, o vėl sumažins skaičiavimų skaičių, naudojant funkcijos keistumą:

Atlikti visą tyrimą ir sukurti funkcijos grafiką

y (x) \u003d x2 + 81-x.y (x) \u003d x2 + 81-x.

1) Funkcijos apibrėžimo sritis. Kadangi funkcija yra frakcija, turite rasti denominatoriaus nulio.

1-x \u003d 0, ⇒X \u003d 1.1-x \u003d 0, ⇒X \u003d 1.

Mes neįtraukiame vienintelio x \u003d 1x \u003d 1 nuo funkcijos nustatymo funkcijos ir gauname:

D (y) \u003d (- ∞; 1) ∪ (1; + ∞) .d (y) \u003d (- ∞; 1) ∪ (1; + ∞).

2) Ištirme funkcijos elgesį į atotrūkio taško kaimynystėje. Mes rasime vienpusius ribas:

Kadangi ribos yra lygios begalybei, taškas x \u003d 1x \u003d 1 yra antrosios rūšies atotrūkis, tiesia linija x \u003d 1x \u003d 1 yra vertikali asimptota.

3) Apibrėžėme funkcijos sankirtos taškus su koordinačių ašimis.

Raskite sankirtos taškus su ordinato oyoy ašimi, už kurią jie lygina x \u003d 0x \u003d 0:

Taigi, sankirtos taškas su oyoy ašimi turi koordinates (0; 8) (0; 8).

Raskite sankirtos taškus su "Oxox Abscissa" ašimi, už kurią mes įdėjote y \u003d 0y \u003d 0:

Lygtis neturi šaknų, todėl nėra sankirtos taškų su oxox ašimi.

Atkreipkite dėmesį, kad x2 + 8\u003e 0x2 + 8\u003e 0 už bet kurį xx. Todėl su x∈ (-∞; 1) x∈ (-∞; 1), funkcija y\u003e 0y\u003e 0 (trunka teigiamos vertės, grafikas yra virš abscisos ašies) su x∈ (1; + ∞) su x∈ (1; + ∞) x∈ (1; + ∞) funkcija y<0y<0 (принимает отрицательные значения, график находится ниже оси абсцисс).

4) Funkcija nėra nei netgi, nei keista, nes:

5) Mes tyrinėjame dažnio funkciją. Funkcija nėra periodinė, nes tai yra dalinė racionali veikla.

6) Ištirme ekstremalų ir monotonijos funkciją. Norėdami tai padaryti, suraskite pirmąją išvestinę funkciją:

Mes prilyginame pirmąjį darinį į nulį ir surasti stacionarus taškus (kuriame y '\u003d 0y' \u003d 0):

Trys gauti kritiniai taškai: x \u003d -2, x \u003d 1, x \u003d 4x \u003d -2, x \u003d 1, x \u003d 4. Mes padalijame visą plotą apibrėžti funkciją į intervalais šiais taškais ir nustatyti išvestinių medžiagų požymius kiekviename intervale:

Su x∈ (-∞; -2), (4; + ∞) x∈ (-∞; -2), (4; + ∞) darinys y '<0y′<0, поэтому функция убывает на данных промежутках.

Su x∈ (-2; 1), (1; 4) x∈ (-2; 1), (1; 4), išvestinė y '0y'\u003e 0, funkcija didėja šiais intervalais.

Tuo pačiu metu x \u003d -2x \u003d -2 - vietinio minimalaus taškas (funkcija mažėja, ir tada padidėja), x \u003d 4x \u003d 4 yra vietinio maksimalaus taškas (funkcija didėja, ir tada sumažėja).

Raskite šių punktų funkcijos reikšmes:

Taigi, minimalus taškas (-2; 4) (- 2; 4), maksimalus taškas (4; -8) (4; -8).

7) Naršome funkciją dėl infliacijos ir išsipuošimo. Mes randame antrąją išvestinę funkciją:

Mes prilyginame antrą darinį į nulį:

Gauta lygtis neturi šaknų, todėl nėra lizdinės plokštelės. Tuo pačiu metu, kai x∈ (-∞; 1) x∈ (-∞; 1) atliekamas y ''\u003e 0y "\u003e 0, ty funkcija įgaubta, kai x∈ (1; + ∞) x∈ (1; + ∞) veikia y ''<0y″<0, то есть функция выпуклая.

8) Tiriame funkcijos elgesį begalybei, tai yra.

Kadangi ribos yra begalinės, nėra horizontalių asimptotų.

Pabandykime nustatyti pasviręs asimptotes formos y \u003d kx + by \u003d kx + b. Apskaičiuokite K, BK, B reikšmes pagal žinomas formules:

Gavo, kad funkcijos turi vieną linkę asimptota y \u003d -x-1y \u003d -x-1.

9) Papildomi taškai. Apskaičiuokite funkcijos vertę kai kuriuose kituose taškuose tiksliau sukurti grafiką.

y (-5) \u003d 5,5; y (2) \u003d - 12; y (7) \u003d - 9.5.y (-5) \u003d 5,5; y (2) \u003d - 12; y (7) \u003d - 9.5.

10) Pagal gautus duomenis, mes statyti grafiką, pridėti jį asimptotes x \u003d 1x \u003d 1 (mėlyna), y \u003d -x-1y \u003d -x-1 (žalia) ir atkreipkite dėmesį į būdingus taškus (violetinė sankryža su ordinato ašimi, Oranžiniai kraštutinumai, juodi papildomi taškai):

4 užduotis: geometriniai, ekonominiai tikslai (aš nežinau, kas, yra pavyzdinis užduočių pasirinkimas su sprendimais ir formulėmis)

3.23 pavyzdys. a.

Sprendimas. x. ir. \\ T y. y.
Y \u003d A - 2 × A / 4 \u003d A / 2. Nuo X \u003d A / 4 yra vienintelis kritinis taškas, patikrinkite, ar ženklas keičiasi per perėjimo per šį tašką. Su xa / 4 s "\u003e 0 ir su x\u003e a / 4 s"< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

3.24 pavyzdys.

Sprendimas.
R \u003d 2, n \u003d 16/4 \u003d 4.

3.22 pavyzdys.Rasti ekstremalų funkciją F (x) \u003d 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14.

Sprendimas.Nuo F "(x) \u003d 6x 2 - 30x +36 \u003d 6 (x -2) (x - 3), tada kritiniai funkcijos taškai x 1 \u003d 2 ir x 2 \u003d 3. kraštutinumai gali būti tik šiuose taškuose . Taigi, kaip pereinant per tašką x 1 \u003d 2, išvestinis keičia ženklą plius už minuso, tada šiuo metu funkcija turi maksimalų. Perjungiant per tašką x 2 \u003d 3, išvestinis pakeitimus minuso Prisijungti Plius, todėl x 2 \u003d 3 taške bent jau. Apskaičiuokite funkcijų vertes taškuose
x 1 \u003d 2 ir x 2 \u003d 3, mes randame funkcijos kraštutinumą: maksimalus f (2) \u003d 14 ir bent f (3) \u003d 13.

3.23 pavyzdys.Būtina statyti stačiakampę platformą šalia akmens sienos, kad jis būtų išgręžtas su vielos tinkleliu nuo trijų pusių, ir į sieną pritvirtinta prie sienos. Nes tai yra a. Veikia akių modeliai. Koks yra aukščiausio lygio santykis?

Sprendimas.Žymi svetainės pusę x. ir. \\ T y.. Plotas yra lygus s \u003d xy. Leisti būti y. - Tai yra šono, esančio šalia sienos, ilgis. Tada, sąlyga, lygybė 2x + y \u003d a turėtų būti atliktas. Todėl y \u003d a - 2x ir s \u003d x (a - 2x), kur
0 ≤ x ≤ a / 2 (svetainės ilgis ir plotis negali būti neigiamas). S "\u003d a - 4x, a - 4x \u003d 0 ne x \u003d a / 4, iš kur
Y \u003d A - 2 × A / 4 \u003d A / 2. Nuo X \u003d A / 4 yra vienintelis kritinis taškas, patikrinkite, ar ženklas keičiasi per perėjimo per šį tašką. Su xa / 4 s "\u003e 0 ir su x\u003e a / 4 s"< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

3.24 pavyzdys.Būtina padaryti uždarą cilindrinį rezervuarą su talpos v \u003d 16p ≈ 50 m 3. Kas turėtų būti bako (R spindulio ir aukščio h) dydžiai, kad mažiausiai materialios sumos priklauso nuo jo gamybos?

Sprendimas.Viso cilindro paviršiaus plotas yra S \u003d 2PR (R + H). Mes žinome cilindro v \u003d pr 2 h þ h \u003d v / pr 2 \u003d 16p / pr 2 \u003d 16 / r 2. Taigi, S (R) \u003d 2p (R2 + 16 / R). Rasti šios funkcijos darinį:
S "(R) \u003d 2p (2r - 16 / R2) \u003d 4p (R- 8 / R2). S" (R) \u003d 0 R3 \u003d 8, todėl,
R \u003d 2, n \u003d 16/4 \u003d 4.

Panaši informacija.

Už visą funkcijos tyrimą ir sukurti savo grafiką, rekomenduojama naudoti šią schemą:

1) Raskite lauko apibrėžimo sritį;

2) rasti funkcijos ir vertikalių asimptotų pertraukų taškus (jei jie yra);

3) ištirti begalybės funkcijos elgesį, surasti horizontalius ir linkusius asimptotes;

4) ištirti pasirengimo (keistumo) ir dažnio funkciją (trigonometrines funkcijas);

5) rasti ekstremalų ir monotonijos intervalus funkcijos;

6) nustatyti suvestinės ir taškų intervalais;

7) Suraskite sankirtos taškus su koordinatės ašimis, jei įmanoma, kai kurie papildomi taškai nurodant tvarkaraštį.

Funkcijos tyrimas atliekamas vienu metu su savo tvarkaraščio statyba.

9 pavyzdys. Naršykite funkciją ir sukurkite tvarkaraštį.

1. Nustatymo sritis:;

2. Funkcija toleruoja suskirstymo taškus
,
;

Ištirme funkciją vertikalių asimptotų buvimui.

;
,
─ Vertikalus asimptota.

;
,
─ Vertikalus asimptota.

3. Ištirme funkciją dėl linkę ir horizontalių asimptotes.

Tiesiai
─ pasviręs asimptota, jei
,
.

,
.

Tiesiai
─ horizontalus asimptota.

4. Funkcija yra net ir dėl
. Funkcijos pasirengimas rodo grafiko simetriją, palyginti su ordinato ašimi.

5. Rasti monotonijos intervalus ir ekstremalų funkciją.

Rasti kritinius taškus, t.y. taškai, kuriuose darinys yra 0 arba neegzistuoja:
;
. Turime tris taškus
;

. Šie taškai padalina visą galiojančią ašį į keturias spragas. Nustatyti ženklus kiekvienoje iš jų.

Intervalais (-∞; -1) ir (-1; 0), funkcija didėja, intervalais (0; 1) ir (1; + ∞) sumažėja. Perjungiant tašką
išvestinis darinys pakeičia ženklą nuo pliuso iki minuso, todėl šiuo metu funkcija turi maksimalų
.

6. Mes surasime BUDGE intervalus, infliekcijos tašką.

Rasti taškų lygus 0, arba neegzistuoja.

ji neturi galiojančių šaknų.
,
,

Points.
ir. \\ T
nutraukti faktinę ašį iki trijų intervalų. Nustatyti ženklą kiekviename intervale.

Taigi, kreivė intervalais
ir. \\ T
išgaubti, intervalu (-1; 1) išgaubta; PUNKTŲ PUNKTAI NE, nes funkcija taškuose
ir. \\ T
nenurodyta.

7. Raskite sankirtos taškus su ašimis.

Su ašimi
funkcijos grafikas susikerta taške (0; -1) ir su ašimi
tvarkaraštis nesikerta, nes Šios funkcijos numeratorius neturi galiojančių šaknų.

Nurodytos funkcijos grafikas parodytas 1 paveiksle.

1 pav. Funkcijos tvarkaraštis

Iš darinio sąvokos naudojimas ekonomikai. Funkcijos elastingumas

Dėl ekonominių procesų tyrimo ir išspręsti kitų taikomųjų užduočių, dažnai naudojamas funkcijos elastingumo koncepcija.

Apibrėžimas. Elastingumo funkcija
vadinama santykinio prieaugio funkcijos santykiais siekiant santykinio kintamojo prieaugio dėl
. (Vii)

Funkcijos elastingumas rodo maždaug, kiek procentų bus pakeisti funkciją
keičiant nepriklausomą kintamąjį 1%.

Analizuojant paklausą ir vartojimą, funkcijos elastingumas taikomas. Jei paklausos elastingumas (absoliučia verte)
Tada paklausa laikoma elastinga, jei
─ Neutralus, jei
─ Neelastinis palyginti su kaina (arba pajamomis).

10 pavyzdys. Apskaičiuokite funkcijos elastingumą
ir suraskite elastingumo rodiklio vertę = 3.

Sprendimas: Pagal formulę (VII) funkcijos elastingumas:

Leiskite x \u003d 3, tada
. Tai reiškia, kad jei nepriklausomas kintamasis padidės 1%, priklausomo kintamojo vertė padidės 1,42%.

11 pavyzdys. Leiskite paklausos funkcijai santykinė kaina turi išvaizdą
kur ─ nuolatinis koeficientas. Raskite paklausos funkcijos elastingumo rodiklio vertę už kainą x \u003d 3 den. vienetai.

Sprendimas: apskaičiuoti paklausos funkcijos elastingumą pagal formulę (VII)

Tikėjo
den.ed., mes gauname
. Tai reiškia, kad už kainą
den.ru. 1% kainos didinimas sukels paklausos sumažėjimą 6%, t.y. Paklausa yra elastinga.